Comportamento meccanico dei materiali Cenni di meccanica della frattura
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Intagli e meccanica della frattura
2
Cenni di meccanica della frattura
Il problemaStato di sollecitazione all’apice di un intaglioVerifica di componenti con difetti Determinazione del fattore di intensità delle tensioni Determinazione della tenacità alla fratturaCompetizione fra le modalità di cedimento
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Cenni di meccanica della frattura
4
Intagli vs. difetti (1/2)
INTAGLIO = variazioni della sezione resistente di un pezzo in una zona limitata, in genere legati a necessità di progetto e con geometria nota e voluta
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5
Intagli vs. difetti (2/2)
INTAGLIO = variazioni della sezione resistente di un pezzo in una zona limitata, in genere legati a necessità di progetto e con geometria nota e voluta
DIFETTO = discontinuità (a volte detta “cricca”) non prevista, con geometria e dimensioni eventualmente rilevabile (PnD), dovuta a inclusioni, corrosione, fatica, ecc ... Normalmente il raggio di fondo intaglio (ρ) tende a zero
6
Piastra con difetto passante (1/2)
2a
w
2a
y
x
spessore B
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7
Piastra con difetto passante (2/2)
2a
raggio di fondo intaglio
ρ→ 0
⇓
Kt → ∞
w
2a
y
x
spessore B
8
... all’aumentare del carico assiale (1/4)
P
Pw
2a
σpy
x
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9
... all’aumentare del carico assiale (2/4)
P
Pw
2a
σpy
x
A: collasso plastico
10
... all’aumentare del carico assiale (3/4)
P
Pw
2a
σpy
x
A: collasso plastico
B: rottura fragile
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11
... all’aumentare del carico assiale (4/4)
Materiale elastico perfettamente plastico ...
σσp
P
Pw
2a
σpy
x
A: collasso plastico
B: rottura fragile
12
Carico critico (1/5)
A: collasso plastico
Psnw
2a
σp
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13
Carico critico (2/5)
A: collasso plastico
Psnw
2a
σp
cr sn pP P B(w 2a)=≡ σ −
14
Carico critico (3/5)
A: collasso plastico B: rottura fragile
Psnw
2a
σp
cr sn pP P B(w 2a)=≡ σ −
P”
P”w
2a
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15
Carico critico (4/5)
A: collasso plastico B: rottura fragile
Psnw
2a
σp
cr sn pP P B(w 2a)=≡ σ −
P”
cr snP" P P≡ <
P”w
2a
16
Carico critico (5/5)
A: collasso plastico B: rottura fragile
Psnw
2a
σp
cr sn pP P B(w 2a)=≡ σ −
P”
cr snP" P P≡ <
P”w
2a
(legato a tensioni di trazione)
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17
Cenni storici I (1/4)
Griffith (1921)Interessato al comportamento del vetro; approccio energetico
18
Cenni storici I (2/4)
Griffith (1921)Interessato al comportamento del vetro; approccio energetico
II guerra mondialeUtilizzo di acciai altoresistenziali; strutture saldate
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19
Cenni storici I (3/4)
Griffith (1921)Interessato al comportamento del vetro; approccio energetico
II guerra mondialeUtilizzo di acciai altoresistenziali; strutture saldateNavi Liberty: 140 su 2500 spezzate in due, altre danneggiate in modo irreparabile
20
Cenni storici I (4/4)
Griffith (1921)Interessato al comportamento del vetro; approccio energetico
II guerra mondialeUtilizzo di acciai altoresistenziali; strutture saldateNavi Liberty: 140 su 2500 spezzate in due, altre danneggiate in modo irreparabileAerei Comet (1952 – 1954), ponti, serbatoi...
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21
Cenni storici II (1/4)
1949 Orowan e Irwin estendono gli studi di Griffithper tener conto della zona plastificata
22
Cenni storici II (2/4)
1949 Orowan e Irwin estendono gli studi di Griffithper tener conto della zona plastificata
1957 Irwin sviluppa la MFLE in modo organico
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23
Cenni storici II (3/4)
1949 Orowan e Irwin estendono gli studi di Griffithper tener conto della zona plastificata
1957 Irwin sviluppa la MFLE in modo organico
1964 Paris fornisce un metodo per valutare la crescita delle dimensioni del difetto sotto l’azione di carichi ciclici
24
Cenni storici II (4/4)
1949 Orowan e Irwin estendono gli studi di Griffithper tener conto della zona plastificata
1957 Irwin sviluppa la MFLE in modo organico
1964 Paris fornisce un metodo per valutare la crescita delle dimensioni del difetto sotto l’azione di carichi ciclici
1968 Rice (e altri) introducono la Meccanica della frattura elasto-plastica
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Cenni di meccanica della frattura
26
Definizioni
Impostazione di Irwin (1957), basata sulle equazioni proposte da Westergaard (1939)
Materiale perfettamente elastico, omogeneo ed isotropo
z
y
x
rθ
σyy
σxx
τxy
τyx
a
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27
Modi di apertura delle cricche (1/3)
Modo I
y
z
x
28
Modi di apertura delle cricche (2/3)
Modo I
y
z
x
y
z
x
Modo II
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29
Modi di apertura delle cricche (3/3)
Modo I
y
z
x
y
z
x
y
z
x
Modo II
Modo III
30
Formule Westergaard modo I (1/5)
Modo I
y
z
x
Ixx
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
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31
Formule Westergaard modo I (2/5)
Modo I
y
z
x
Iyy
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
Ixx
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
32
Formule Westergaard modo I (3/5)
Modo I
y
z
x
Ixy
K 3cos sen cos o[r]2 2 22 r
==θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π
Iyy
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
Ixx
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
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33
Formule Westergaard modo I (4/5)
Modo I
y
z
x
zz xz yz 0 tensione pianaσ = τ = τ =
Ixy
K 3cos sen cos o[r]2 2 22 r
==θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π
Iyy
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
Ixx
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
34
Formule Westergaard modo I (5/5)
Modo I
y
z
x
( )zz xx yy xz yz 0 def. pianaσ = ν σ + σ τ = τ =
zz xz yz 0 tensione pianaσ = τ = τ =
Ixy
K 3cos sen cos o[r]2 2 22 r
==θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π
Iyy
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
Ixx
K 3cos 1 sen sen o[r]2 2 22 r
=⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π
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35
Formule sintetiche modo I – def. KI- (1/3)
( )IIij ij
Kf
2 rσ = θ
π
Modo I y
z
x
σ
2a
y
x
σ
r θ
36
Formule sintetiche modo I – def. KI- (2/3)
IK Y a= σ
( )IIij ij
Kf
2 rσ = θ
π
Modo I y
z
x
σ
2a
y
x
σ
r θ
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37
Formule sintetiche modo I – def. KI- (3/3)
KI = fattore di intensità delle tensioni
IK Y a= σ
( )IIij ij
Kf
2 rσ = θ
π
Modo I y
z
x
σ
2a
y
x
σ
r θ
38
Formule sintetiche modi II e III (1/2)
y
z
x
Modo II
( )IIIIij ij
Kf
2 rσ = θ
π
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39
Formule sintetiche modi II e III (2/2)
y
z
x
y
z
x
Modo II
Modo III
( )IIIIij ij
Kf
2 rσ = θ
π
( )IIIIIIij ij
Kf
2 rσ = θ
π
40
Importanza del modo I (1/4)
σ
σ
α
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41
Importanza del modo I (2/4)
σ
σ
ασN ( )2
N senσ = σ α
42
Importanza del modo I (3/4)
σ
σ
ασN
τ( ) ( )sen cosτ = σ α α
( )2N senσ = σ α
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43
Importanza del modo I (4/4)
σ
σ
ασN
τ( ) ( )sen cosτ = σ α α
( )2N senσ = σ α
44
Modo I: andamenti per θ = 0 (1/5)
I Ixx
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
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45
Modo I: andamenti per θ = 0 (2/5)
I Ixx
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
I Iyy
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = + + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
46
Modo I: andamenti per θ = 0 (3/5)
I Ixx
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
I Iyy
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = + + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
Ixy
K 3cos sen cos 02 2 22 rθ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π
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47
Modo I: andamenti per θ = 0 (4/5)
I Ixx
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
I Iyy
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = + + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
Ixy
K 3cos sen cos 02 2 22 rθ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π
xx X yy Y σ = σ σ = σ
48
Modo I: andamenti per θ = 0 (5/5)
I Ixx
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = − + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
I Iyy
K K3cos 1 sen sen o r o r2 2 22 r 2 r
⎡ ⎤θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = + + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦π π
Ixy
K 3cos sen cos 02 2 22 rθ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π
xx X yy Y σ = σ σ = σ
x yr 0 → ⇒ σ → ∞ σ → ∞
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49
Andamenti di σY per θ = 0 (1/3)
x ≡ r
σY
≈ σ
IY
I
Ko[r]
2 r
K Y a
σ = +π
= σ
50
Andamenti di σY per θ = 0 (2/3)
x ≡ r
σY
zona K
≈ σ
IY
I
Ko[r]
2 r
K Y a
σ = +π
= σ
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51
Andamenti di σY per θ = 0 (3/3)
I materiali reali non possono sopportare tensioni “infinite”
Zona plastica all’apice del difetto
x ≡ r
σY
zona K
≈ σ
IY
I
Ko[r]
2 r
K Y a
σ = +π
= σ
52
Estensione della zona plastica (1/3)
Stato si tensione piana (STP): 2
Ip
p
K1r⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟π σ⎝ ⎠
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53
Estensione della zona plastica (2/3)
Stato si tensione piana (STP):
Stato di deformazione piana (SDP):
2
Ip
p
K1r⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟π σ⎝ ⎠
2
Ip
p
K1r3
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟π σ⎝ ⎠
54
Estensione della zona plastica (3/3)
Stato si tensione piana (STP):
Stato di deformazione piana (SDP):
Lo stato di deformazione piana è piùpericoloso!!!A parità di tensione nominale in SDP c’è maggiore energia a disposizione per la cricca
2
Ip
p
K1r⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟π σ⎝ ⎠
2
Ip
p
K1r3
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟π σ⎝ ⎠
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55
Forma della zona plastica (1/3)
y
x
SDP
STP
56
Forma della zona plastica (2/3)
y
x
SDP
STP
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57
Forma della zona plastica (3/3)
La meccanica della frattura lineare elastica èapplicabile se rp piccolo rispetto ad “a”
y
x
SDP
STP
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59
Quando avviene la rottura fragile? σcr (1/5)
cI KaYK =σ=
60
Quando avviene la rottura fragile? σcr (2/5)
I cr cK Y a K= =σ
cI KaYK =σ=
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61
Quando avviene la rottura fragile? σcr (3/5)
aYK
KaYK
ccr
ccrI
=
==
σ
σ
cI KaYK =σ=σ
a
σcr
a
Zonacritica
62
Quando avviene la rottura fragile? σcr (4/5)
aYK
KaYK
ccr
ccrI
=
==
σ
σ
cI KaYK =σ=σ
a
σcr
Kc
a
Zonacritica
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63
Quando avviene la rottura fragile? σcr (5/5)
aYK
KaYK
ccr
ccrI
=
==
σ
σ
cI KaYK =σ=σ
a
σcr
σ’cr
Kc
a
Zonacritica
64
Quando avviene la rottura fragile? acr (1/3)
cI KaYK =σ=
ccrnI KaYK == σ
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65
Quando avviene la rottura fragile? acr (2/3)
cI KaYK =σ=
σ
a
σ’n
a’cr
2
n
ccr
ccrnI
YK
a
KaYK
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
==
σ
σ
Zonacritica
66
Quando avviene la rottura fragile? acr (3/3)
cI KaYK =σ=
σ
a
σ’n
σ”n
a”cr a’cr
2
n
ccr
ccrI
YK
a
KaYK
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
==
σ
σ
Zonacritica
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Cenni di meccanica della frattura
68
Determinazione di KI (1/3)
IK Y a= σ
Y = fattore di forma: tabelle o calcoli FEM (el. specifici)
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69
Determinazione di KI (2/3)
IK Y a= σ
Y = fattore di forma: tabelle o calcoli FEM (el. specifici)
σ = tensione nominale calcolata senza considerare la presenza del difetto
70
Determinazione di KI (3/3)
IK Y a= σ
Y = fattore di forma: tabelle o calcoli FEM (el. specifici)
σ = tensione nominale calcolata senza considerare la presenza del difetto
a = dimensione del difetto: esistono regole per passare dal difetto reale a quello ideale
2c
2a
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71
Unità di misura (1/4)
SI
IK Y a= σ
12
IPa a m K Pa mσ = = ⇒ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
72
Unità di misura (2/4)
SI
IK Y a= σ
Sistema pratico
12
IPa a m K Pa mσ = = ⇒ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
12
IK MPa m MPa m= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦
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73
Unità di misura (3/4)
SI
IK Y a= σ
Sistema pratico
Sistema Inglese
12
IPa a m K Pa mσ = = ⇒ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
IK ksi in=⎡ ⎤⎣ ⎦
12
IK MPa m MPa m= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦
74
Unità di misura (4/4)
SI
IK Y a= σ
Sistema pratico
Sistema Inglese
12
IPa a m K Pa mσ = = ⇒ = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
IK ksi in=⎡ ⎤⎣ ⎦
1 ksi in 1.09 MPa m⋅ = ⋅
12
IK MPa m MPa m= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦
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75
Piastra con difetto centrale passante (1/2)
σ
2a
σ
se w >> a
IY K a= π = σ π
w
76
Piastra con difetto centrale passante (2/2)
σ
2a
σ
se w finita:
I
aY secw
K Y a
π⎛ ⎞= π ⎜ ⎟⎝ ⎠
= σw
se w >> a
IY K a= π = σ π
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77
Piastra con difetti laterali passanti (1/2)
σ
a
σ
w
a I
Y 1.12
K 1.12 a
= π
= σ π
se w >> a:
78
Piastra con difetti laterali passanti (2/2)
σ
a
σ
w
a I
Y 1.12
K 1.12 a
= π
= σ π
2 3a a aY 1.12 0.76 8.48 27.36 ...w w w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
se w >> a:
se w finita:
IK Y a= σ
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79
Piastra con difetto laterale passante (1/2)
σ
a
σ
w
I
Y 1.12
K 1.12 a
= π
= σ π
se w >> a
80
Piastra con difetto laterale passante (2/2)
σ
a
σ
w
I
Y 1.12
K 1.12 a
= π
= σ π
se w >> a
se w finita
IK Y a= σ
432
wa85.53
wa48.38
wa70.18
wa41.012.1Y ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−π=
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81
Difetto ellittico interno (1/4)
2c
2a σ
82
Difetto ellittico interno (2/4)
2c
2a
β
σ2
2 2I
a a4K sin cosc
σ π ⎛ ⎞= ⋅ β + β⎜ ⎟Φ ⎝ ⎠
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83
Difetto ellittico interno (3/4)
2c
2a
β
σ
I Im axaK K
2π σ πβ = ⇒ = =
Φ
22 2
Ia a4K sin cos
cσ π ⎛ ⎞= ⋅ β + β⎜ ⎟
Φ ⎝ ⎠
84
Difetto ellittico interno (4/4)
2c
2a
β
σ
23 a8 8 cπ π ⎛ ⎞Φ ≈ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
I Im axaK K
2π σ πβ = ⇒ = =
Φ
22 2
Ia a4K sin cos
cσ π ⎛ ⎞= ⋅ β + β⎜ ⎟
Φ ⎝ ⎠
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85
Difetti ellittici superficiali e d’angolo (1/3)
2c
Im ax kaK 1.12 M
Qπ= ⋅ ⋅ σ ⋅
aB
86
Difetti ellittici superficiali e d’angolo (2/3)
2c
Im ax kaK 1.12 M
Qπ= ⋅ ⋅ σ ⋅
aB
2
2
p
Q 0.212⎛ ⎞σ= Φ − ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
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87
Difetti ellittici superficiali e d’angolo (3/3)
2c
Im ax kaK 1.12 M
Qπ= ⋅ ⋅ σ ⋅
ca
B
aB
2Im ax k
aK 1.12 MQπ= ⋅ ⋅ σ ⋅
2
2
p
Q 0.212⎛ ⎞σ= Φ − ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
Cenni di meccanica della frattura
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89
Parametri che influenzano Kc (1/6)
Kc non dipende da tipo, forma e dimensioni del difetto
90
Parametri che influenzano Kc (2/6)
Kc non dipende da tipo, forma e dimensioni del difetto
Kc dipende da: Stato di sollecitazione (STP – SDP)
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91
Kc non dipende da tipo, forma e dimensioni del difetto
Kc dipende da: Stato di sollecitazione (STP – SDP)temperatura,
Parametri che influenzano Kc (3/6)
92
Parametri che influenzano Kc (4/6)
Kc non dipende da tipo, forma e dimensioni del difetto
Kc dipende da: Stato di sollecitazione (STP – SDP)temperatura,velocità di applicazione del carico
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93
Parametri che influenzano Kc (5/6)
Sottile ⇒ STP
Kc non dipende da tipo, forma e dimensioni del difetto
Kc dipende da: Stato di sollecitazione (STP – SDP)temperatura,velocità di applicazione del carico
Per i difetti passanti lo stato di sollecitazione dipende dallo spessore del componente:
94
Parametri che influenzano Kc (6/6)
Sottile ⇒ STP
Spesso ⇒ SDP
Kc non dipende da tipo, forma e dimensioni del difetto
Kc dipende da: Stato di sollecitazione (STP – SDP)temperatura,velocità di applicazione del carico
Per i difetti passanti lo stato di sollecitazione dipende dallo spessore del componente:
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95
Norme e provini (1/2)
ASTM E399-83BS 5447UNI 7969
Provino CT
96
Norme e provini (2/2)
ASTM E399-83BS 5447UNI 7969
Provino CT0.55w
0.25w
1.2w
1.25
w w a
B
45°
A
A Sez. AA
Eventuale cricca di fatica
3 5 91 72 2 2 2 2
I 12
P a a a a aK 2.9 185.5 655.7 1017 639w w w w wBw
valida per a 0.45 0.55w
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
= ÷
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97
Tenacità alla frattura KIc (1/6)
Kc
Spessore B
98
Tenacità alla frattura KIc (2/6)
Kc
Spessore B
KIc
KIc = tenacità alla frattura
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99
Tenacità alla frattura KIc (3/6)
Kc
Spessore B
KIc
KIc = tenacità alla frattura
se2
c
p
Ka 2.5
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
100
Tenacità alla frattura KIc (4/6)
Kc
Spessore B
KIc
KIc = tenacità alla frattura
se
2
c
p
KB 2.5
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
2
c
p
Ka 2.5
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
Comportamento meccanico dei materiali Cenni di meccanica della frattura
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101
Tenacità alla frattura KIc (5/6)
Kc
Spessore B
KIc
KIc = tenacità alla frattura
se
2
c
p
Kw 5.0
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
2
c
p
KB 2.5
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
2
c
p
Ka 2.5
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
102
Tenacità alla frattura KIc (6/6)
Kc
Spessore B
KIc
KIc = tenacità alla frattura
se
…allora Kc = KIc
2
c
p
Kw 5.0
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
2
c
p
KB 2.5
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
2
c
p
Ka 2.5
⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
Comportamento meccanico dei materiali Cenni di meccanica della frattura
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103
Effetto temperatura e velocità ... (1/2)
KIc
temperatura
104
Effetto temperatura e velocità ... (2/2)
KIc
temperatura
Velocità di applicazione del carico
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105
Coefficiente di sicurezza (1/2)
Normalmente, agendo dalla parte della sicurezza, si utilizza come valore critico la tenacità alla frattura (nelle condizioni di esercizio)
c IcK K=
106
Coefficiente di sicurezza (2/2)
Normalmente, agendo dalla parte della sicurezza, si utilizza come valore critico la tenacità alla frattura (nelle condizioni di esercizio)
Il coefficiente di sicurezza risulta:
c IcK K=
Ic
I
KCS
K=
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107
Valori tipici di KIc (1/2)
σp (MPa)Materiale KIc (MPa m1/2)
Acciai al C 240 >210
4320 (lastra) 1495 - 1640 50 - 63
Ac. maraging 250 1700 74 - 97
Al 7075-T6 560 32
Al 2014-T4 450 29
Ti 6Al-4V (lastra) 815 -835 85 -107
108
Valori tipici di KIc (2/2)
σp (MPa)Materiale KIc (MPa m1/2)
Acciai al C 240 >210
4320 (lastra) 1495 - 1640 50 - 63
Ac. maraging 250 1700 74 - 97
Al 7075-T6 560 32
Al 2014-T4 450 29
Ti 6Al-4V (lastra) 815 -835 85 -107
In genere più è alto il limite di snervamento minore è la tenacità a frattura
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Cenni di meccanica della frattura
110
Collasso plastico o frattura fragile? (1/6)
σ
2a
σ
w
Esempio
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111
Collasso plastico o frattura fragile? (2/6)
σ
2a
σ
w
Esempio comportamento duttile
crcr
PBw
=σ
112
Collasso plastico o frattura fragile? (3/6)
σ
2a
σ
w
Esempio comportamento duttile
crcr cr p
PP B(w 2a)
Bw= =σ σ −
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113
Collasso plastico o frattura fragile? (4/6)
σ
2a
σ
w
Esempio comportamento duttile
pcr p
B(w 2a) 2a1Bw w
= =σ − ⎛ ⎞σ σ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
crcr cr p
PP B(w 2a)
Bw= =σ σ −
114
Collasso plastico o frattura fragile? (5/6)
σ
2a
σ
w
Esempio comportamento duttile
comportamento fragile
pcr p
B(w 2a) 2a1Bw w
= =σ − ⎛ ⎞σ σ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
crcr cr p
PP B(w 2a)
Bw= =σ σ −
I IcK Y a K= =σ
Comportamento meccanico dei materiali Cenni di meccanica della frattura
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115
Collasso plastico o frattura fragile? (6/6)
σ
2a
σ
w
Esempio comportamento duttile
comportamento fragile
pcr p
B(w 2a) 2a1Bw w
= =σ − ⎛ ⎞σ σ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
crcr cr p
PP B(w 2a)
Bw= =σ σ −
Iccr
KY a
=σ
I IcK Y a K= =σ
116
Diagramma di Fedderson (1/4)
σcr
σp
2a/w
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −σσ =
wa21pcr
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117
Diagramma di Fedderson (2/4)
σcr
σp
2a/w
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −σσ =
wa21pcr
aYKIc
cr =σ
118
Diagramma di Fedderson (3/4)
σcr
σp
2a/w
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −σσ =
wa21pcr
aYKIc
cr =σ
Comportamento meccanico dei materiali Cenni di meccanica della frattura
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119
Diagramma di Fedderson (4/4)
σcr
σp
2a/w
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −σσ =
wa21pcr
aYKIc
cr =σ
Zona di sicurezza
120
Dimensione di sicurezza (1/3)
σcr
σp
2a/wap
ap = dimensione che garantisce il cedimento plastico
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121
Dimensione di sicurezza (2/3)
σcr
σp
2a/wap
ap = dimensione che garantisce il cedimento plastico
Ic p pK Y a= σ
122
Dimensione di sicurezza (3/3)
σcr
σp
2a/wap
ap = dimensione che garantisce il cedimento plastico
Ic p pK Y a= σ
2
Icp
p
Ka
Y
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
σ