České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební
Katedra speciální geodézie
Měření a hodnocení výškové lokální sítě na Pražském hradě
Bakalářská práce
2008 Jan Vaněček
1
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím konzultací
s Ing. Tomášem Jiřikovským a Ing. Lenkou Línkovou, literatury a internetových zdrojů
uvedených v seznamu literatury.
V Praze dne …………. ..... Jan Vaněček
….…...……………….
2
Na tomto místě bych chtěl poděkovat za odborné vedení, připomínky a odborné rady
při zpracování bakalářské práce vedoucímu Ing. Tomáši Jiřikovskému, bez kterého by tato
práce nemohla vzniknout. Dále nemohu opomenout Ing. Lenku Línkovou, která zastoupila
Ing. Jiřikovského v době jeho nepřítomnosti ve škole, a poděkovat jí za její rady.
Nakonec bych chtěl hlavně poděkovat svým rodičům, kteří mě po celou dobu studia
podporovali a díky nimž jsem se mohl plně soustředit na studium.
3
Abstrakt:
V této bakalářské práci se zabývám měřením a zpracováním lokální výškové sítě na
Pražském hradě, které se konalo na podzim roku 2007. V první části práce se zaměřuji na
technologický postup měření a zpracování jednotlivých měření včetně charakteristik
přesnosti. V druhé části práce se věnuji vyrovnání výškové sítě metodou MNČ a na závěr
porovnání použitého digitálního nivelačního přístroje s optickým nivelačním přístrojem.
Klíčová slova: nivelace, digitální nivelační přístroje, vyrovnání výškové sítě, Pražský hrad,
bakalářská práce
Abstract:
I`m concerned with a leveling and elaboration of a local height grid in the Prague castle
in this bachelor thesis. I aim at a technological process of leveling and a processing of
a measured data in the first part of the text. In the second part of the text, I aim at an
adjustment of the height grid and comparison of a digital and an optical level instrument.
Keywords: leveling, digital level instruments, adjustment of height grid, The Prague castle,
bachelor thesis
4
1 Úvod ........................................................................................................................ 6
2 Nivelační měření na Pražském hradě .................................................................. 7
2.1 Metodika měření ........................................................................................... 7
2.1.1 Geometrická nivelace ze středu ................................................................ 7
2.1.2 Metoda velmi přesné nivelace .................................................................. 8
2.1.3 Zaměření geotechnických vrtů ................................................................. 9
2.2 Jednotlivá měření ............................................................................................. 9
2.2.1 Použité přístroje a pomůcky ................................................................... 10
2.2.2 Měření dne 26. 10. 2007 ......................................................................... 10
2.2.3 Měření dne 6. 11. 2007 ........................................................................... 10
2.2.4 Měření dne 27. 11. 2007 ......................................................................... 11
2.2.5 Měření dne 12. 12. 2007 ......................................................................... 11
2.2.6 Měření dne 17. 4. 2008 ........................................................................... 11
3 Test nivelačního přístroje podle ČSN ISO 17123 ............................................. 12
3.1 Stručný obsah normy ČSN ISO 17123-2 ...................................................... 12
3.1.1 Postup 1: Zjednodušený test ................................................................... 12
3.1.2 Postup 2: Úplný test ................................................................................ 13
3.2 Výsledky testu nivelačního přístroje ............................................................. 16
3.2.1 Postup měření ......................................................................................... 16
3.2.2 Výpočty a zhodnocení výsledků testu .................................................... 16
4 Program na převod zápisníku Trimble ............................................................. 18
4.1 Struktura programu Převod ........................................................................... 19
4.2 Použití programu Převod ............................................................................... 20
5 Zpracování a vyrovnání měření ......................................................................... 22
5.1 Zpracování naměřených hodnot .................................................................... 22
5.1.1 Rozbor přesnosti po měření .................................................................... 22
5.1.2 Výpočet výběrové směrodatné kilometrové odchylky ........................... 23
5.1.3 Testování hypotéz o shodě směrodatných odchylek .............................. 23
5.2 Vyrovnání sítě ................................................................................................ 24
5
5.2.1 Vyrovnání zprostředkujících veličin ...................................................... 24
5.2.2 Vyrovnání vlastních měření .................................................................... 26
5.2.3 Výpočet výšek bočně určených bodů ..................................................... 28
5.2.4 Výpočet v programu Matlab ................................................................... 28
5.2.5 Porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří ................................................ 29
6 Porovnání digitálního a klasického nivelačního přístroje ................................ 30
6.1 Porovnání podle testu přístrojů dle normy ČSN ISO 17123-2 ...................... 30
6.2 Porovnání přístrojů podle měřených převýšení ............................................. 30
6.2.1 T – test (Studentův test) .......................................................................... 31
6.2.2 T – test (Studentův test) pro párové hodnoty.......................................... 33
6.3 Zhodnocení porovnání nivelačních přístrojů ................................................. 33
7 Závěr ..................................................................................................................... 35
Literatura ...................................................................................................................... 36
Seznam obrázků ............................................................................................................ 37
Seznam tabulek ............................................................................................................. 37
Seznam příloh ............................................................................................................... 38
6
1 Úvod
Pracovníci Katedry speciální geodézie se již dlouhou dobu věnují sledování posunů a
deformací objektů v lokalitě Pražského hradu a spolu s kolegy z Katedry geotechniky
sledují geotechnické vrty, které se také nacházejí na Pražském hradě. Tyto vrty a okolní
objekty byly do nedávné doby měřeny pouze odděleně nebo v souvislosti s nejbližším
okolím (např. sledování posunů zdi Na Valech, Matheyova pilíře apod.). Na podzim roku
2007 se proto rozběhl projekt, který řeší propojení všech geotechnických vrtů a vybraných
nivelačních bodů do jedné lokální výškové sítě a určení polohových souřadnic těchto vrtů a
bodů.
První výšková měření, která proběhla v rámci tohoto projektu, jsou předmětem mé
bakalářské práce. Věnuji se konkrétně jednotlivým výškovým měřením, která proběhla ke
konci roku 2007. Dále se v textu zabývám zpracováním měření včetně vyrovnání sítě a na
závěr porovnáním nivelačního přístroje Zeiss-Jena Ni007 a digitálního nivelačního přístroje
Trimble Zeiss DiNi 12T.
7
2 Nivelační měření na Pražském hradě
2.1 Metodika měření
2.1.1 Geometrická nivelace ze středu
Metoda geometrické nivelace ze středu je nejpřesnější, nejpoužívanější a také
nejjednodušší metodou určování výškových rozdílů. Její princip je patrný z Obr. 2.1. Mezi
body A, B, jejichž převýšení chceme určit, se přibližně doprostřed postaví nivelační přístroj.
Na bodech A, B se postaví nivelační latě. Na lati umístěné na bodě A se odečte čtení „vzad“
zA a na lati postavené na bodě B čtení „vpřed“ pB, pokud uvažujeme směr postupu měření
od A do B. Nivelované převýšení je potom
AB B A A Bh H H z pΔ = − = − . (2.1)
Jak již bylo řečeno, tato metoda nivelace má mnoho výhod. Její největší předností je
odstranění hlavní přístrojové chyby, nevodorovnosti záměrné přímky. Dále se tímto
postupem vyloučí vliv zakřivení Země, chyba z přeostření dalekohledu a v určitých
případech vliv refrakce a to, když jsou záměry vzad a vpřed přibližně stejně vysoko nad
terénem.
Vzhledem k požadavkům na přesnost měřených výškových rozdílů vyplývajících
z širokého uplatnění nivelace existují různé druhy nivelace, které pomocí vhodných
přístrojů, pomůcek a měřického postupu umožňují co nejefektivněji docílit požadované
přesnosti. Druhy nivelace podle zvyšujících se nároků na přesnost jsou tyto:
1. technická nivelace (TN)
2. přesná nivelace (PN)
Obr. 2.1 Princip geometrické nivelace ze středu
8
3. velmi přesná nivelace (VPN)
4. zvlášť přesná nivelace (ZPN)
2.1.2 Metoda velmi přesné nivelace
Při měření byla snaha dodržet zásady měření pro VPN pro II. řád ČSNS, tyto
požadavky jsou uvedeny např. v Metodickém návodu pro práci v Základním výškovém
bodovém poli [2]. Mezi tyto požadavky patří např.:
− základní měřickou metodou je geometrická nivelace ze středu
− měří se rektifikovaným přístrojem a rektifikovanými latěmi
− používá se pevný stativ
− přístroj a latě se nechají přizpůsobit teplotě okolního vzduchu
− latě se staví svisle na nivelační podložky
− k měření se použije dvojice (pár) nivelačních latí.
− nivelační pořad se zaměří tam a zpět
− nivelační oddíl se rozměří a rozdělí na sudý počet sestav
− pořadí nivelačních latí, které se staví na značku, se v opačném směru zamění
− směr zpět se měří v jiný den a v jinou denní dobu než směr tam
− největší přípustná délka záměry je 40 m, výška záměry nad terénem přitom
nesmí klesnout pod 0.8 m.
Avšak kvůli specifickým podmínkám na Pražském hradě nebyly některé z těchto
požadavků dodrženy. Jednalo se například o případy, kdy nivelace probíhala na schodech
nebo uvnitř budov, při tom byly porušeny tyto zásady měření:
− byl použit skládací stativ
− v některých případech nebyla dodržena výška záměry nad terénem
− nivelační oddíly byly zaměřeny tam a zpět bezprostředně po sobě.
Dále byly při měření dodržovány tyto zásady:
− jednotlivé oddíly byly rozměřovány měřickým kolečkem s přesností na 0.1 m,
oddíl byl rozdělen na sudý počet sestav nebo byl zaměřen jako jediná sestava
− před každým měřením byla provedena kontrola vodorovnosti záměrné přímky
přístroje Förstnerovou metodou, zjištěná oprava byla zaváděna během měření
pomocí software přístroje
− mezi jednotlivými sestavami byl stativ přístroje vždy otáčen o 180° ve směru
měření (bylo realizováno postavením označené nohy stativu doleva nebo
doprava kolmo ke směru měření), při měření zpět byla tato postavení zaměněna.
9
2.1.3 Zaměření geotechnických vrtů
Jednou z nejdůležitějších problematik je zaměření geotechnických vrtů, které se odvíjí
již od samotné konstrukce vrtu. Vlastní vrt je pod úrovní terénu krytý litinovým poklopem.
Vršek vrtu tvoří plastové osazení, ve kterém jsou šrouby k uchycení plastového krytu a
ocelový trn sloužící k umístění visacího zámku.
Vlastní zaměření vrtu probíhalo na speciální přípravek, který se vkládal do vrtu. My
jsme měli k dispozici dva tyto přípravky,
krátký a dlouhý, které jsme používali
v závislosti na hloubce vrtu. V případě vrtu
MPD01 (u katedrály sv. Víta) jsme použili
oba přípravky. Přípravek umístěný ve vrtu
nemá příliš velkou stabilitu, proto jsme se
snažili umisťovat přípravek vždy stejným
způsobem, aby značka na přípravku
směřovala k trnu pro zámeček. Ze stejného
důvodu jsme u každého vrtu zaměřili
převýšení i na ocelový trn pro zámeček,
tento bod jsme označili vždy číslem vrtu a
příponou Ex např. MPD01Ex.
2.2 Jednotlivá měření
Na podzim roku 2007 bylo na Pražském hradě měřeno celkem 4 krát, z toho dvě měření
byla provedena v prostorách baziliky a kláštera sv. Jiří, kde se v dubnu 2008 provedlo i třetí
měření. Toto třetí měření u sv. Jiří je také součástí mé práce. Větší počet měření se
nepovedlo uskutečnit z několika důvodů. Jedním z důvodů byl fakt, že nivelační bod, ke
kterému celá síť bude vztažena, nebyl v době měření vybudován. Tento bod by měl být
zřízen v lokalitě na Opyši a stabilizován hloubkovou stabilizací. Dalším důvodem byl
i nedostatek času pro měření.
Od konce dubna probíhají na Pražském hradě měření určování polohy metodou GPS,
měření polygonových pořadů a nivelační měření. Tato výšková měření již nejsou
z časových důvodů do mé práce zahrnuta.
Obr. 2.2 Geotechnický vrt MPD02
10
2.2.1 Použité přístroje a pomůcky
Pro měření byl vybrán digitální nivelační přístroj Trimble Zeiss DiNi 12T, u kterého
udává výrobce jednotkovou směrodatnou kilometrovou odchylku σ0 = 0.3 mm při použití
dvojice invarových nivelačních latí s čárovým kódem. Použili jsme konkrétně nivelační
přístroj katedry Speciální geodézie, výrobní číslo 701882. Dále jsme použili těžký skládací
stativ Trimble. Skládací stativ jsme zvolili s ohledem ke specifickým podmínkám Pražského
hradu (nivelace po schodech apod.).
Byly použity tyto nivelační latě s čárovým kódem od firmy Zeiss: dvojice invarových
nivelačních latí 3 m dlouhé s opěrkami (výrobní čísla: L1: 15912 a L2: 15415) a jedna
dvoumetrová invarová nivelační lať s čárovým kódem bez opěrek (výrobní číslo: 10322).
2.2.2 Měření dne 26. 10. 2007
První měřený pořad byl veden z Hradčanského náměstí z vrtu číslo VB011 přes
I. nádvoří Pražského hradu, kolem Matheyova pilíře, kde je zbudován vrt MPD02. Dále
jsme pokračovali po mostě přes Jelení příkop, okolo Míčovny až ke Královskému
letohrádku na vrt MPD05. Tohoto měření se zúčastnili Ing. Tomáš Jiřikovský, Ing. Zuzana
Fulková a Jan Vaněček.
Měřeno bylo od 8:00 přibližně do 15:00. Observační podmínky byly vhodné pro
nivelační měření: polojasno, bezvětří, 8 °C.
Použili jsme v předchozím odstavci
uvedenou dvojici nivelačních latí L1 a L2.
2.2.3 Měření dne 6. 11. 2007
Tento den byl nivelační pořad veden
z I. nádvoří Pražského hradu z nivelačního
bodu číslo 95 na II. nádvoří a Vikářskou
ulicí, ve které se nachází u katedrály
sv. Víta vrt číslo MPD01. Dále jsme
pokračovali Jiřskou ulicí až ke vchodu do
Jižních zahrad. Na tomto měření se podíleli
Ing. Tomáš Jiřikovský, Ing. Zuzana
Fulková, Jan Vaněček a Petr Vymetálek.
Měření proběhlo mezi 8:30 a 14:00
hod. Počasí tento den vypadalo následovně: Obr. 2.3 Vikářská ulice 6. 11. 2007
11
zataženo, 5 °C a silný vítr, kterým bylo měření především v okolí katedrály sv. Víta
ovlivněno. Opět jsme použili dvojici nivelačních latí L1 a L2.
2.2.4 Měření dne 27. 11. 2007
Tento den bylo poprvé měřeno v bazilice a klášteře sv. Jiří. Měření bylo navázáno na
vrt číslo MPD01 ve Vikářské ulici. Na nádvoří kláštera byl zaměřen vrt MPD04a, avšak vrt
MPD04, který se nachází uvnitř kláštera pod severní věží, nebyl zaměřen, protože se nám
nepovedlo otevřít kryt vrtu.
Při měření se objevily problémy při přechodu z vnitřních prostor kláštera ven, dva
oddíly proto musely být zaměřeny opakovaně. Tato situace byla pravděpodobně způsobena
velkým rozdílem teplot uvnitř a mimo budovu. Při měření uvnitř objektu, konkrétně pod
severní věží baziliky, bylo nutné svítit přenosnou zářivkou na lať, aby byl nivelační přístroj
schopen odečíst čtení na lati.
Měřili Ing. Tomáš Jiřikovský a Jan Vaněček od 8:00 do 12:00 hod. Při měření byla
použitá dvoumetrová nivelační lať bez opěrek, protože podmínky měření uvnitř kláštera
neumožňují použití delších latí.
Počasí tento den vypadalo následovně: zataženo, mírný vítr, venkovní vzduch měl
teplotu 4 °C a uvnitř budovy byla teplota 11 °C.
2.2.5 Měření dne 12. 12. 2007
Tento den bylo podruhé měřeno v klášteře sv. Jiří. Postup byl totožný s postupem jako
v předchozím případě s tím rozdílem, že byl rovněž zaměřen vrt MPD04.
Měření provedli Ing. Tomáš Jiřikovský a Ing. Pavla Formanová. Měření proběhlo od
12:00 do 16:00 hod. a za povětrnostních podmínek: zataženo, bezvětří, 5.9 °C venku a
11.1 °C uvnitř.
2.2.6 Měření dne 17. 4. 2008
Tento den bylo provedeno poslední měření v klášteře sv. Jiří. Postup měření byl shodný
jako v případě měření druhé etapy dne 12. 12. 2007.
Tentokrát bylo měřeno od 8:00 do 11:30 hod. a zúčastnili se jej Ing. Tomáš Jiřikovský,
Ing. Zuzana Fulková a Jan Vaněček. Počasí tento den bylo proměnlivé, zpočátku bylo
polojasno, později se objevily dešťové přeháňky, teplota vzduchu byla 15 °C.
12
3 Test nivelačního přístroje podle ČSN ISO 17123
Česká státní norma 17123 Optika a optické přístroje – Terénní postupy pro zkoušení
geodetických a měřických přístrojů uvádí terénní postupy pro určování a vyhodnocování
přesnosti geodetických přístrojů a jejich příslušenství při použití pro stavební a
zeměměřické práce. Postupy uvedené v této normě jsou míněny jako kontrola vhodnosti
přístroje pro daný úkol.
Norma se dělí na tyto části:
1. Teorie
2. Nivelační přístroje
3. Teodolity
4. Elektrooptické dálkoměry
5. Elektronické tachymetry
6. Rotační lasery
7. Optické provažovače
Tato norma přejímá anglickou verzi mezinárodní normy ISO 17123:2001, v České
republice vyšla v roce 2005.
Test digitálního nivelačního přístroje jsem provedl podle části 2, proto nyní uvedu její
stručný obsah, který se týká testu.
3.1 Stručný obsah normy ČSN ISO 17123-2
Text normy uvádí dva postupy, pro zjednodušený test a úplný test. Použil jsem úplný
test, proto postup zjednodušeného testu uvádím pouze okrajově.
3.1.1 Postup 1: Zjednodušený test
Zjednodušený postup zkoušky poskytuje odhad, zda přesnost daného vybavení je
odpovídající mezní odchylce.
Tento postup zkoušky je obvykle určen ke kontrolování přesnosti přístrojů užitých
v aplikacích, kde jsou běžné nestejné délky záměr.
Zjednodušený postup zkoušky je založen na omezeném počtu měření. Proto nemůže být
získána směrodatná odchylka. Jestliže je požadován přesnější odhad přesnosti nivelačního
přístroje v polních podmínkách, je nutné použít plný postup zkoušky.
13
3.1.2 Postup 2: Úplný test
Plný postup zkoušky je určen ke zjištění nejlepší dosažitelné přesnosti nivelačního
přístroje a jeho příslušenství v polních podmínkách. Postup je založen na rovnajících se
délkách záměr, aby byla splněna podmínka geometrické nivelace ze středu, proto nemůže
být tímto postupem zjištěna chyba sklonu záměrné osy nivelačního přístroje. Avšak tato
chyba nemá žádný vliv na výslednou výběrovou směrodatnou odchylku, protože se
měřickým postupem vyloučí.
Doporučené délky záměr jsou 30 m. Délky jiné než 30 m mohou být použity tam, kde
je jiná délka požadována projektem nebo při určení míry přesnosti nivelačního přístroje
v příslušných vzdálenostech.
Test tímto postupem je určen ke zjištění přesnosti specifického nivelačního přístroje.
Tato přesnost je vyjádřena v rámci výběrové směrodatné odchylky dvakrát měřeného
pořadu dlouhého 1 km: SISO-LEV.
Dále může být tento postup použit pro určení:
− přesnosti v použití nivelačních přístrojů jedním nivelačním týmem s jedním
nivelačním přístrojem a jeho příslušenstvím v určitém čase
− přesnosti v použití jednoho nivelačního přístroje v průběhu času
− přesnosti v používání každého z několika nivelačních přístrojů k tomu, aby
umožnily srovnání jejich příslušných dosažitelných přesností získaných při
podobných polních podmínkách.
a. konfigurace testu:
Pro udržení minimálního vliv refrakce by měla být vybrána horizontálně rovná oblast.
Povrch by měl být kompaktní, nejvhodnější je beton nebo asfalt. V případě vlivu přímého
slunečního osvitu musí být přístroj zastíněný slunečníkem.
Dva nivelační body A a B, by měly být postaveny v přibližné vzdálenosti d = 60 m od
sebe. Pro zajištění spolehlivých výsledků musí být nivelační latě ve stabilní pozici a
spolehlivě fixovány během celé zkoušky včetně opakování měření.
Nivelační přístroj musí být postaven přibližně ve stejné vzdálenosti mezi nivelačními
body, A a B ( 1 30 32
m m= ± ), pro zajištění redukování vlivu refrakce a sklonu záměrné osy
(Obr. 3.1).
14
b. měření:
Před zahájením měření je nutné počkat, než se přístroj přizpůsobí teplotě okolí. Čas
požadovaný na temperaci je přibližně dvě minuty na jeden stupeň Celsia rozdílu teplot
přístroje a vzduchu. Dále musí uživatel před měřením zkontrolovat chybu sklonu záměrné
přímky.
Měření je provedeno dvakrát. První část se skládá z dvaceti měření sestávajících se
z jednoho čtení vzad xAj (na nivelační lať v místě A) a jednoho čtení vpřed xBj (na nivelační
lať v místě B). Po každém měření musí být změněn horizont přístroje. Po deseti měřeních
zpět a vpřed ( j = 1, ..., 10) se pořadí čtení obrátí na dalších deset měření (j = 11, …, 20).
Pak budou nivelační latě na bodech A a B vyměněny a procedura bude zopakována
dvacetkrát stejným způsobem jako první část měření.
c. výpočet:
Z naměřených čtení vzad a vpřed se pomocí následujících vzorců určí výběrová
směrodatná odchylka SISO-LEV.
j Aj Bjd x x= − , 1,...40j = , kde jd jsou jednotlivá převýšení mezi body A a B. (3.1)
20
11 20
jj
dd ==
∑ kde 1d je aritmetický průměr převýšení z první části měření. (3.2)
40
212 20
jj
dd ==
∑ , kde 2d je aritmetický průměr převýšení z druhé části měření. (3.3)
1 2d dδ = − (3.4)
Rozdíl δ nemá vliv na určení výběrové směrodatné odchylky, ale lze z odhadnout
indexovou chybu dvou nivelačních latí.
Obr. 3.1 Konfigurace základny pro úplný test
15
1
2
; 1,..., 20
; 21,..., 40j j
j j
r d d j
r d d j
= − =
= − =, kde rj jsou opravy od průměrů. (3.5)
Potom suma kvadrátů oprav: 40 20 40
2 2 2
1 1 21j j j
j j jr r r
= = =
= +∑ ∑ ∑ (3.6)
Počet stupňů volnosti se určí: ( )2 20 1 38ν = ⋅ − = (3.7)
Výběrovou směrodatnou odchylku s převýšení mezi body vzdálenými 60 m je možné
určit ze vztahu:
402
1j
j
rs
ν==∑
. (3.8)
Výběrová směrodatná odchylka SISO-LEV dvakrát měřeného převýšení 1km dlouhého
pořadu se určí ze vztahu: 1000602ISO LEV
s msm− = ⋅ . (3.9)
Ve všech vzorcích jsou použity hodnoty počtu měření doporučené v této normě.
d. testy statistických hypotéz:
Všechny statistické testy jsou prováděné na hladině spolehlivosti 1 0.95α− = . Pro hodnoty
doporučené v normě je počet stupňů volnosti roven 38ν = .
Testované statistické hypotézy:
1. Testem určíme, zda odpovídá výpočtem určená výběrová směrodatná odchylka s základní
směrodatné odchylce σ určené výrobcem daného přístroje.
nulová hypotéza: s σ≤
alternativní hypotéza: s σ>
Nulová hypotéza není zamítnuta v případě, pokud je splněn vztah:
( )21s α ν
σν−Χ
≤ ⋅ , (3.10)
kde pro dané hodnoty ( )20.95 38 53.38χ = , jinak nulovou hypotézu zamítáme a
přijímáme alternativní hypotézu.
2. Testem určíme, zda dvě experimentálně zjištěné směrodatné odchylky ze dvou různých
měření patří do stejného základního souboru.
nulová hypotéza: 1 2s s=
alternativní hypotéza: 1 2s s≠
Nulová hypotéza není zamítnuta, jestliže je splněn vztah:
16
( ) ( )
22
1 / 2 1 221 / 2 1 2 1
1 ,,
s FF s α
α
ν νν ν −
−
≤ ≤ , (3.11)
kde pro dané hodnoty je hodnota F-rozdělení rovna ( )0.975 38,38 1.91F = , Pokud
nerovnost (3.11) neplatí, nulovou hypotézu zamítáme a přijímáme alternativní
hypotézu.
3. Testujeme, zda se indexová chyba dvojice nivelačních latí rovná nule:
nulová hypotéza: 0δ =
alternativní hypotéza: 0δ ≠
Nulová hypotéza není zamítnuta v případě, pokud je splněn vztah:
( )1 / 2s tδ αδ ν−≤ ⋅ , (3.12)
kde 10ssδ = . (3.13)
Pro dané hodnoty je hodnota Studentova t-rozdělení rovna 0.975 (38) 2.02t = .
3.2 Výsledky testu nivelačního přístroje
3.2.1 Postup měření
Vlastní test byl proveden 27. 3. 2008 ve sklepních prostorech Stavební fakulty ČVUT.
Testován byl digitální nivelační přístroj Trimble DiNi 12T v. č. 701882, kterým bylo
měřeno rovněž na Hradě, jak jsem uvedl v odstavci 2.2.1. Dále byla použita dvojice 2 m
dlouhých invarových latí s čárovým kódem (lať č. 1 - č.: 10333, lať č. 2 – č.: 10322).
Základna pro měření byla zvolena podle požadavků normy. Pro čtení na latích byl
vybrán způsob zpět – vpřed – vpřed – zpět proto, aby byla dodržena shodnost s měřením na
Hradě, kde se při měření využívá program přístroje Typ pořadu ZVVZ. Tento způsob také
napodobuje měření s klasickým optickým přístrojem, kde se na lati odečítá čtení na dvou
stupnicích. Do výpočtu byl použit průměr z těchto dvou čtení vzad nebo vpřed.
3.2.2 Výpočty a zhodnocení výsledků testu
Měřené hodnoty a tabulka s výpočty převýšení a oprav od průměrů jsou v příloze č. 2.
Vypočtené hodnoty průměrných převýšení 1. a 2. části:
1 26.30d = mm
2 26.34d = mm.
Rozdíl průměrných převýšení: 0.04δ = mm.
17
Výběrová směrodatná odchylka: 0.11s = mm.
Výběrová směrodatná kilometrová odchylka: 0.31ISO LEVs − = mm.
Výsledné hodnoty byly otestovány testy statistických hypotéz podle normy. Použil jsem
test č. 1 a test č. 3. Číselné hodnoty statistických testů:
- test č. 1: Dosazením hodnoty SISO-LEV do (3.10) dostaneme nerovnost:
0.31 0.36≤ .
Nerovnost je splněna, proto nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu.
- test č. 3: Z (3.13) dostaneme výběrovou směrodatnou odchylku 0.03sδ = mm,
kterou dosadíme do (3.12) a dostaneme nerovnost:
0.04 0.07≤ .
Nerovnost je splněna, proto nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu.
Z uvedených hodnot a především ze statistického testu č. 1 vyplývá, že experimentálně
určená směrodatná odchylka odpovídá směrodatné kilometrové odchylce, kterou udává
výrobce přístroje (σ = 0.3 mm). Z testu č. 3 můžeme usoudit, že indexová chyba dvojice
použitých latí se rovná nule.
18
4 Program na převod zápisníku Trimble
Jednou z největších výhod digitálního nivelačního přístroje je možnost registrace
měřených hodnot, to umožňuje samozřejmě i námi použitý nivelační přístroj. Pro načtení
zápisníku z přístroje a jeho zpracování slouží software výrobce Trimble Geomatics Office.
Tento software jsem ale neměl k dispozici, a proto byl zápisník z přístroje načten
v textovém formátu txt, který byl dále zpracován.
Struktura zápisníku je celkem jednoduchá a přehledná, avšak je zde spousta informací a
znaků vkládaných přístrojem, které znemožňují měřená data zkopírovat nebo oddělit od
zbytku nějakým efektivním způsobem (Obr. 4.1). Kopírování naměřených dat ze zápisníku
po jedné hodnotě není pohodlné ani příliš efektivní, proto jsem se rozhodl napsat
jednoduchý program, který by zápisník načetl, vybral naměřené hodnoty a tyto hodnoty
vypsal do textového souboru.
Obr. 4.1 Ukázka části zápisníku přístroje DiNi 12T
19
4.1 Struktura programu Převod
Pro napsání programu jsem si vybral programovací jazyk C++. Vlastní zdrojový kód
jsem napsal a kompilaci provedl a v programu Ultimate++ na platformě MS Windows XP.
Princip programu spočívá v postupném načítání řádků ze vstupního souboru, jejich
zpracovávání a uložení do paměti. Po načtení celého vstupního souboru dojde k vypsání
uložených dat do výstupního souboru.
Jako základní jednotku pro ukládání naměřených dat jsem zvolil jednu nivelační
sestavu, pro kterou jsem vytvořil objekt typu struct, do kterého se ve formě řetězců (string)
ukládají čísla bodů, čtení vzad a vpřed, délky záměr a případně i boční záměry. Dále jsou
jednotlivé sestavy ukládány do standardního kontejneru typu vector, který reprezentuje
jeden nivelační pořad (označení pořad odpovídá značení v zápisníku). Tyto pořady se
ukládají do výsledného objektu typu struct, který obsahuje opět tři kontejnery typu vector,
jeden pro ukládání pořadů typu ZVVZ, druhý pro pořady typu ZV a třetí pro měřená
převýšení, která jsou mimo pořady.
Celé zpracování se děje po jednotlivých pořadech. Pokud program načte návěští
v zápisníku „Pocatek poradu ZVVZ“ apod., které slouží i k rozpoznání typu pořadu, vytvoří
kontejner typu vector pro daný typ pořadu a ukládá do něj jednotlivé sestavy až do chvíle,
než narazí na návěští „Konec poradu“. Podle typu pořadu se zpracovávají i jednotlivé
sestavy, protože pro daný typ mají jednotnou strukturu dat. Výjimku tvoří měřená převýšení
mimo pořady, která se ukládají vždy po jednom do výsledného objektu typu vector
určeného pro tato měření.
Při zpracování zápisníku je programem přeskočena hlavička zápisníku a informace
o výšce počátečního a koncového bodu pořadu, celkové převýšení a celková délka pořadu,
které přístroj během měření počítá. Pokud bylo při měření opakované čtení nebo celé
stanovisko, program přeskočí špatné hodnoty, které jsou v zápisníku označeny u čísla bodu
sledem znaků ###, a načte jen správné hodnoty čtení. Pokud bychom chtěli hodnoty
opakovaných měření porovnat, museli bychom je vyhledat v zápisníku.
Po načtení všech dat ze vstupního souboru vypíše program tato data do výstupního
souboru v textovém formátu. Program vytváří výstupní soubor sám, název tohoto souboru je
proto vždy vystup.txt.
20
4.2 Použití programu Převod
Program Převod je konzolovou aplikací, z čehož vyplývá, že se musí spouštět
v Příkazovém řádku (Obr. 4.2). Při spouštění programu je nutné zadat vstupní soubor –
zápisník, který má být převeden. Program umí najednou zpracovat pouze jeden soubor,
proto, pokud chceme převést více zápisníků, musíme program spustit pro každý zápisník
zvlášť. Jak jsem již zmínil v předcházejícím odstavci 4.1, program pokaždé vytvoří výstupní
soubor vystup.txt, který obsahuje převedený zápisník a který se vytvoří v adresáři, kde byl
program Převod spuštěn.
Obr. 4.2 Ukázka spuštění programu Převod v Příkazovém řádku MS Windows
21
Obr. 4.3 Ukázka výstupu převedeného zápisníku programem Převod
Výstupní soubor má takovou strukturu, aby mohl být snadno načten do některého
tabulkového procesoru (MS Excel, OpenOffice.org Calc apod.) nebo matematického
software (Matlab, Octave), kde již může být proveden výpočet celého měření.
22
5 Zpracování a vyrovnání měření
5.1 Zpracování naměřených hodnot
Naměřené hodnoty jsem ze zápisníků přístroje převedl do programu MS Excel do
formy přehledných tabulek. Vypočetl jsem nivelovaná převýšení v jednotlivých oddílech,
délku těchto oddílů a rozdíl převýšení při měření tam a zpět. Bočně zaměřené body jsem
uvažoval jako volné nivelační pořady a vypočetl převýšení od počátečního bodu nivelačního
oddílu, ve kterém byl boční bod zaměřen, z měření tam i zpět. Nakonec jsem vypočetl
uzávěry uzavřených nivelačních polygonů.
5.1.1 Rozbor přesnosti po měření
V rozboru po měření byl testován rozdíl δ převýšení tam-zpět mezní odchylkou rozdílu
δM, kterou jsem zvolil tak, že odpovídá mezní odchylce pro II. řád Základního výškového
bodového pole, která je uvedena např. v [2] a má tvar:
2.25M Rδ = ⋅ , (5.1)
kde R je délka oddílu v kilometrech. Tento test byl prováděn už během měření z hodnot,
které byly vypočteny přístrojem, a v případě nesplnění nerovnosti:
Mδ δ≤ , (5.2)
byl daný oddíl znovu přeměřen. Tyto opakované oddíly potom nebyly zahrnuty do dalších
výpočtů.
Dále byly testovány uzávěry U v uzavřených nivelačních polygonech mezním
uzávěrem, který je určen opět pro II. řád Základního výškového bodového pole podle [2]:
2.25MU F= ⋅ , (5.3)
kde F je délka uzavřeného polygonu v km. Uzávěry musí splňovat nerovnost:
MU U≤ . (5.4)
Celkem byly změřeny čtyři uzavřené nivelační polygony (Tab. 5.1), z toho tři byly
stejné, protože se jedná o uzavřený polygon měřený na nádvoří kláštera sv. Jiří, který byl
zaměřen ve třech etapách. Z tabulky je zřejmé, že všechny uzávěry splňují nerovnost (5.4) a
že největší uzávěr má hodnotu 0.11 mm. Velikost uzávěrů závisí pravděpodobně i na tom,
že se jedná o krátké nivelační polygony, kdy maximální délka je 300 m.
23
Tab. 5.1 Přehled uzávěrů
Uzávěry v uzavřených polygonech
polygon mezi body U [mm] F [km] UM [mm]
2417-95-3A-5A-2417 0.09 0.29425 1.22
J8-J9-J10-J7-J8 1) 0.11 0.11879 0.78
J8-J9-J10-J7-J8 2) 0.05 0.11663 0.77
J8-J9-J10-J7-J8 3) -0.09 0.11896 0.78
5.1.2 Výpočet výběrové směrodatné kilometrové odchylky
Z rozdílů δ převýšení tam-zpět jsem vypočetl výběrovou směrodatnou kilometrovou
odchylku obousměrné nivelace, která se např. podle [2] určí:
2
10
1
1 12
Rni
iR in Rδσ
=
= ⋅ ⋅∑ , (5.5)
kde nR je počet nivelačních oddílů. Pro tato měření má hodnotu 10 0.337σ = mm.
Také je možné určit výběrovou směrodatnou kilometrovou odchylku z uzávěrů
v uzavřených nivelačních polygonech. Vzorec má tvar:
2
20
1
1 Fni
iF i
Un F
σ=
= ⋅∑ , (5.6)
kde nF je počet uzavřených polygonů. Z hodnot uzávěrů uvedených v Tab. 5.1 je hodnota
směrodatné odchylky 20 0.223σ = mm.
5.1.3 Testování hypotéz o shodě směrodatných odchylek
Předchozím výpočtem byly z měření získány dvě výběrové směrodatné odchylky, které
mají rozdílné hodnoty. Pro jejich porovnání je možné použít test statistické hypotézy
o rovnosti dvou směrodatných odchylek, tzv. F – test, který je popsán např. v [4].
Nulová hypotéza má tvar: 1 2 2 20 0 0:H σ σ= , alternativní hypotéza: 1 2 2 2
1 0 0:H σ σ≠ .
Testovacím kritériem bude veličina:
1 2
02 2
0
F σσ
= , (5.7)
která má F rozdělení (Fisherovo – Snedecorovo). Kritická hodnota má pro jednostranný test
a zvolenou hladinu významnosti α tvar 1 2( , )F n nα ′ ′ , kde 1n´ a 2n´ jsou stupně volnosti
testovaných veličin. Nulovou hypotézu zamítáme v případě F Fα> .
24
Pro α = 0.05 jsou číselné hodnoty: F = 2.29 a Fα=0.05 = 8.61. Nemůžeme tudíž nulovou
hypotézu zamítnout a předpokládáme rovnost směrodatných odchylek dvou základních
souborů, do kterých náleží testované výběrové směrodatné odchylky.
Dále je možné otestovat hypotézu, zda výběrová směrodatná kilometrová odchylka
odpovídá základní směrodatné kilometrové odchylce σ, kterou udává výrobce, testuje se zda
výběrová směrodatná odchylka odpovídá základní směrodatné odchylce. Podle [4]
testujeme nulovou hypotézu: 0 0: iH σ σ= , alternativní hypotéza: 1 0: iH σ σ≠ . Testovacím
kritériem je veličina, která má χ2- rozdělení:
20
iinχ σ
σ′
= ⋅ , (5.8)
kde in´ je počet stupňů volnosti a iσ0 je výběrová směrodatná odchylka. Při zvolené hladině
významnosti α budeme nulovou hypotézu zamítat v případě, že bude 2 21 / 2αχ χ −< nebo
2 2/ 2αχ χ> .
Při volbě α = 0.05 a dosazení číselných hodnot do (5.8) dostaneme: Tab. 5.2 Číselné hodnoty statistického testu
test 1σ0 test 2σ0
χ 2 45.43 χ 2 1.658
χ 21-α/2 21.48 χ 2
1-α/2 0.216
χ 2α/2 54.32 χ 2
α/2 9.350
Z hodnot uvedených v Tab. 5.2 je patrné, že ani v jednom případě nemůžeme zamítnout
nulovou hypotézu. Výběrové směrodatné kilometrové odchylky vypočtené ze souboru
měření tudíž odpovídají základní směrodatné kilometrové odchylce, kterou udává výrobce
přístroje.
5.2 Vyrovnání sítě
5.2.1 Vyrovnání zprostředkujících veličin
Metoda nejmenších čtverců (MNČ) je jedním ze způsobů vyrovnání, tj. způsobu jak
určit nejlepší odhad skutečné hodnoty měřené veličiny. MNČ je metoda, která při vyrovnání
klade požadavek minimalizace čtverců oprav měřených veličin 2 miniv →∑ . Tato
podmínka vyrovnání je v geodézii používaná nejčastěji, a to především z důvodů výpočtu.
Další možné podmínky vyrovnání jsou např. podle [4]:
25
a) minimalizace největší absolutní hodnoty opravy - { }max miniv →
b) minimalizace sumy absolutních hodnot oprav - miniv →∑ V geodézii se nejčastěji používá aplikace metody MNČ na vyrovnání zprostředkujících
veličin, tedy takových veličin, které je možné vyjádřit funkcí hledaných neznámých.
Označíme-li vektor měřených veličin L a vektor neznámých X a vektory vyrovnaných
měřených veličin a neznámých ,L X , můžeme napsat tento funkční vztah mezi hledanými
neznámými a měřenými veličinami:
( )L L v f X= + = , (5.9)
kde v jsou opravy měřených veličin. Jestliže za měřené veličiny budeme považovat
nivelovaná převýšení a za neznámé zvolíme výšky bodů, jsou funkce ( )f X v rovnici (5.9)
lineární a můžeme psát rovnice oprav:
v A X L= ⋅ − , (5.10)
kde matice A je matice plánu, která obsahuje derivace funkcí ( )f X podle jednotlivých
neznámých:
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
1
n
m m
n
f X f XX X
A
f X f XX X
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟
∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
L
M O M
L
, (5.11)
kde m je počet měření (funkcí ( )f X ) a n je počet neznámých výšek. V tomto případě, kdy
jsou funkce ( )f X jednoduché, obsahuje matice A pouze hodnoty 0, 1 a -1. Jestliže na
rovnici oprav (5.10) aplikujeme podmínku MNČ minTv P v⋅ ⋅ → , kde P je matice váhových
koeficientů jednotlivých měření, dostaneme soustavu normálních rovnic:
T TA P A X A P L⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . (5.12)
Součin TA P A⋅ ⋅ se často v literatuře označuje N – matice soustavy normálních rovnic,
součin TA P L⋅ ⋅ je možné potom označit n – vektor soustavy normálních rovnic. Soustava
normálních rovnic bude mít potom tvar:
N X n⋅ = . (5.13)
Řešením této soustavy získáme vyrovnané hodnoty neznámých - výšek bodů. Vyrovnané
hodnoty měřených veličin, v našem případě převýšení, určíme z vyrovnaných neznámých:
L L v A X= + = ⋅ . (5.14)
26
Po určení vyrovnaných neznámých je možné určit aposteriorní charakteristiky přesnosti
vyrovnaných neznámých i vyrovnaných měření plynoucí ze zavedení podmínky MNČ.
Aposteriorní jednotková směrodatná odchylka se vypočte podle:
0
Tapost v P v
fσ ⋅ ⋅
= , (5.15)
kde f je počet stupňů volnosti, nadbytečných měření.
Charakteristikou přesnosti vyrovnaných neznámých je kovarianční matice vyrovnaných
neznámých
1xQ N −= (5.16)
a směrodatné odchylky jednotlivých vyrovnaných neznámých
0i ii
apostx xQσ σ= ⋅ ,
(5.17)
kde iixQ jsou prvky na hlavní diagonále kovarianční matice.
Směrodatné odchylky vyrovnaných měření se určí stejným postupem z kovarianční
matice vyrovnaných měření, která se určí
TxLQ A Q A= ⋅ ⋅ . (5.18)
5.2.2 Vyrovnání vlastních měření
Při vyrovnání měření jsem použil postup vyrovnání, který je popsán v předcházejícím
odstavci, ale s jednou úpravou. Jako neznámé jsem zvolil výšky všech bodů v síti a sestavil
matici plánu A. V případě takovéto volby se jedná o volnou síť, matice N je singulární a
soustava normálních rovnic nejde vyřešit. Jedním ze způsobů řešení je fixace výšky
některého bodu na určité hodnotě pomocí tzv. pseudoměření. To znamená, že do výpočtu
přidáme ještě jedno měření, za které prohlásíme výšku určitého bodu Hfix se směrodatnou
odchylkou σfix.
Pro pseudoměření je nutné sestavit opět matici plánu Afix. V tomto případě jde pouze
o řádkový vektor, a obsahuje pouze 0 a jednu 1 na místě i, kde i je index bodu, na kterém
fixujeme výšku
( )0, 0,1,0, 0fixA = K K (5.19)
Váhová matice Pfix je pouze skalár a má tvar
2
1fix
fix
Pσ
= . (5.20)
Matice soustavy normálních rovnic N a vektor n se potom určí
27
T T
fix fix fix
T Tfix fix fix
N A P A A P A
n A P L A P H
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅. (5.21)
Řešení soustavy se dále provede standardním postupem podle (5.13).
Při vyrovnání sítě jsem provedl výpočet najednou pro měření provedená ve dnech 26.
10., 6. 11. a 27. 11. 2007. Pro tento výpočet jsem zvolil jako výchozí bod VB011Ex, na
kterém jsem výšku fixoval na hodnotě 100 m se směrodatnou odchylkou 0.1 mm. Druhou a
třetí etapu měření v bazilice sv. Jiří jsem vyrovnával každou samostatně tak, že za výchozí
bod jsem zvolil bod MPD01Ex. Výšku a směrodatnou odchylku výšky tohoto bodu jsem
převzal z prvního výpočtu vyrovnání.
Důležitým parametrem vyrovnání byla volba váhových koeficientů jednotlivých
převýšení. Jelikož klasická volba váhových koeficientů, kdy se váhy převýšení volí nepřímo
úměrné délce oddílu v km, neodpovídá situaci na Pražském hradě, kde jsou nivelační oddíly
krátké (maximální délky do 400 m), zvolil jsem váhové koeficienty nepřímo úměrné počtu
nivelačních sestav v nivelačním oddíle.
Ze všech měření jsem určil průměrnou délku nivelační sestavy sns = 26 m. Z jednotkové
směrodatné kilometrové odchylky, kterou udává výrobce, je možné určit směrodatnou
odchylku převýšení v jedné sestavě při měření tam a zpět
[ ]0 1000
nsns
s mσ σ= ⋅ , (5.22)
která pro danou průměrnou délku sestavy má hodnotu σns = 0.05 mm.
Kovarianční matice měření (jednotlivých převýšení) se určí
21
2
0
0
ns
L
ns n
nQ
n
σ
σ
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
L
M O M
L
, (5.23)
kde ni je počet nivelačních sestav v oddíle. Jestliže máme kovarianční matici měření, snadno
z ní určíme váhovou matici
1LP Q−= , (5.24)
která potom vstupuje do vyrovnání.
Pro porovnání různých způsobů volby váhových koeficientů jsem první výpočet
vyrovnání provedl třikrát pokaždé s jinou volbou vah. Nejprve jsem volil váhy nepřímo
úměrné počtu nivelačních sestav, podruhé jsem zvolil váhy rovné 1 a pro třetí výpočet jsem
váhy zvolil nepřímo úměrné délce oddílu v km. Z porovnání výsledků je zřejmé, že volba
vah nemá pro toto měření téměř žádný vliv. Rozdíly vyrovnaných výšek se většinou
28
pohybují v tisícinách milimetru. Pouze u jedné výšky rozdíl přesáhl 0.1 mm, jedná se o bod
MPD04a. Tento rozdíl mohl být způsoben způsobem měření, kdy převýšení na tento bod
bylo měřeno ze dvou stanovisek, jednou byla délka 28 m a podruhé pouze 9 m, ale jednalo
se vždy pouze o jednu sestavu, proto se zde mohl projevit rozdíl ve volbě vah. Výsledky
porovnání jsou v příloze č. 5.
5.2.3 Výpočet výšek bočně určených bodů
Bočně určené body byly vypočteny tak, že byly převedeny na volný nivelační pořad,
který začíná na počátečním bodě A daného nivelačního oddílu A-C a končí na bočně
určeném bodě B. Převýšení tedy dostaneme jako aritmetický průměr z převýšení tam a zpět
2
T ZAB AB
ABh hh Δ −Δ
Δ = . (5.25)
Tomuto převýšení je následně připočtena poměrná část opravy z vyrovnání, která přísluší
převýšení daného oddílu, ze kterého je bod bočně určen
AC ABAB AB
AC
v nh hn⋅
Δ = Δ + , (5.26)
kde vAC je oprava z vyrovnání daného oddílu, nAB je počet nivelačních sestav k bočně
určenému bodu a nAC je počet sestav celého oddílu. Výška bočně určeného bodu je potom
B A ABH H h= + Δ (5.27)
a směrodatná odchylka výšky se určí ze směrodatné odchylky počátečního bodu A
2 2B A ABH H hσ σ σΔ= + , (5.28)
kde AHσ je směrodatná odchylka výšky počátečního bodu A a
ABhσΔ je směrodatná
odchylka převýšení ΔhAB, která se určí
ABh ns ABnσ σΔ = ⋅ , (5.29)
kde σns se určí podle (5.22).
5.2.4 Výpočet v programu Matlab
Pro vlastní výpočet vyrovnání jsem zvolil program Matlab. Tento program disponuje
velkým množstvím funkcí pro operace s maticemi, které se hodí pro výpočet vyrovnání.
Celý výpočet jsem rozdělil do dvou skriptů (tzv. m – file), první pro výpočet prvního
vyrovnání a druhý pro výpočet vyrovnání a porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří.
V těchto dvou skriptech jsem použil funkci pro vyrovnání výškové sítě. Tuto funkci jsem
napsal tak, aby fungovala obecně pro jakýkoliv počet bodů a jakýkoliv bod, na kterém se
29
fixuje výška. Tato volba má výhodu i ve výpočtu, protože je velmi rychlé a jednoduché
provést změnu například bodu, na kterém se fixuje výška.
Všechny skripty a funkce pro výpočet programu Matlab jsou na přiloženém CD.
5.2.5 Porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří
Výšky bodů v jednotlivých etapách jsem vypočetl zvlášť, přičemž jsem jako pevný bod
bral bod MPD01Ex. Tento bod jsem zvolil z toho důvodu, že jsou k němu všechna měření
připojena a není přímo v bazilice sv. Jiří. Posuny na jednotlivých bodech jsem neurčoval,
protože to není předmětem této bakalářské práce, určil jsem pouze rozdíly mezi
jednotlivými etapami za účelem vyhledání hrubých chyb měření. Z těchto rozdílů je zřejmé,
že ve druhé etapě byla pravděpodobně hrubou chybou měření ovlivněna výška bodu
MPD04aEx, která se od ostatních etap liší téměř o 50 mm. Ostatní rozdíly se pohybují
v rámci desetin milimetru.
Porovnání jednotlivých etap jsou v příloze č. 5.
30
6 Porovnání digitálního a klasického nivelačního přístroje
V této kapitole bych chtěl provést porovnání dvou nivelačních přístrojů, které se
používají při měření na Pražském hradě. Jedná se o přístroj Trimble Zeiss DiNi 12T, se
kterým byla provedena měření zpracovávaná v této práci, a nivelační přístroj Zeiss-Jena
Ni007 (výrobní číslo 194047).
6.1 Porovnání podle testu přístrojů dle normy ČSN ISO 17123-2
V kapitole 3 jsem uvedl postup testu přístroje podle normy ČSN ISO 17123-2 a
výsledky tohoto testu pro přístroj DiNi 12T. Stejným způsobem byl testován i přístroj
Ni007, tento test provedl Petr Vymetálek, který mi také poskytl výsledky tohoto testu.
Testem určená výběrová směrodatná kilometrová odchylka má hodnotu 007 0.67NiISO LEVs mm− =
a podle testu statistické hypotézy 1 (více odstavec 3.1.2) tato hodnota odpovídá hodnotě,
kterou udává výrobce přístroje (σ = 0.7 mm). Kompletní výsledky testu Ni007 jsou v příloze
č. 6.
Porovnání přístrojů vychází z testu statistické hypotézy o rovnosti směrodatných
odchylek, který jsem popsal v odstavci 3.1.2. Po dosazení číselných hodnot do (3.11)
dostáváme tuto nerovnost
2
2
0.670.524 4.671 1.910.31
⎛ ⎞≤ = ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
,
která neplatí, proto zamítáme nulovou hypotézu a přijímáme alternativní hypotézu 007DiNi Ni
ISO LEV ISO LEVs s− −≠ . Z toho plyne, že digitální přístroj DiNi 12T má menší výběrovou
směrodatnou kilometrovou odchylku než klasický nivelační přístroj Ni007.
6.2 Porovnání přístrojů podle měřených převýšení
Část měření, která jsou zpracovávána v rámci této práce, se shoduje s měřením, které
provedli dne 17. 10. 2007 doc. J. Procházka a Ing. L. Línková nivelačním přístrojem Ni007.
Přehled těchto oddílů je vyznačen na přehledové mapce, která je přílohou č. 1.
Převýšení, která byla určena klasickým přístrojem, jsem přepočetl tak, aby odpovídala
oddílům měřeným digitálním přístrojem. Dále jsem vypočetl směrodatné odchylky těchto
převýšení. Směrodatná odchylka převýšení je
ABh s ABnσ σΔ = ⋅ , (6.1)
31
kde nAB je počet nivelačních sestav v oddíle a σs je směrodatná odchylka převýšení v sestavě
měřené tam a zpět, která má podle [7] hodnotu σs = 0.07 mm.
Tab. 6.1 Porovnávaná převýšení a jejich směrodatné odchylky
převýšení DiNi 12T Ni 007 Δh1 - Δh2
[mm] z bodu na bod Δh1 [m] σ1 [mm] Δh2 [m] σ2 [mm]
VB11 8 0.09443 0.07 0.09429 0.10 0.14
8 2417 0.01172 0.07 0.01176 0.12 -0.04
2417 5A 1.11884 0.10 1.11853 0.17 0.31
5A 3A -2.53794 0.10 -2.53796 0.16 0.02
5A MPD02 -0.63783 0.05 -0.63794 0.07 0.11
3A 95 0.32572 0.07 0.32574 0.12 -0.02
95 2417 1.09338 0.10 1.09347 0.16 -0.09
95 100 1.21855 0.10 1.21888 0.16 -0.33
100 132 0.12264 0.07 0.12270 0.14 -0.05
100 131 0.43094 0.05 0.43085 0.10 0.09
132 MPD01 -0.46639 0.07 -0.46657 0.07 0.18
6.2.1 T – test (Studentův test)
Tímto testem se testuje hypotéza, zda dva výběry s výběrovými průměry 1x , 2x a
výběrovými směrodatnými odchylkami σ1, σ2 jsou výběry ze dvou základních souborů, pro
které platí rovnost jejich středních hodnot. Test je uveden např. v [4]. Testovaná nulová
hypotéza má tvar: ( ) ( )0 1 2:H E x E x= .
Nejprve je nutné určit, zda si výběrové směrodatné odchylky odpovídají, podle toho se
pak volí testovací kritérium. Test směrodatných odchylek se provádí F – testem, postup
tohoto testu je uveden v odstavci 5.1.3. Tímto testem nebyly testovány jednotlivé
směrodatné odchylky daných převýšení, ale pouze jejich kvadratický průměr, který se
vypočte podle:
21,2
11,2
i
n
i
n
σσ ==
∑. (6.2)
Testovaná veličina se potom určí
32
2 222 2
1
0.1280.077
F σσ
= = (6.3)
a má číselnou hodnotu F = 2.78. Kritické hodnoty pro jednostranný test a hladiny
významnosti α = 0.05 a α = 0.01 mají velikosti F0.05 = 2.98 a F0.01 = 4.85. Z porovnání
testované veličiny a kritických hodnot je zřejmé, že nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu
na hladině významnosti 5% ani 1%. Domníváme se tedy, že přesnost určení jednotlivých
převýšení různými přístroji se významně neliší.
Testovací kritérium T – testu má tvar
1 2
2 21 2
1 2
x xt
n nσ σ
−=
+
, (6.4)
kde n1, n2 jsou počty prvků ve výběrech 1 a 2. Veličina t má Studentovo rozdělení
s ( )1 2 2n n+ − stupni volnosti. Nulovou hypotézu budeme zamítat při / 2t tα> .
Kritické hodnoty pro všechna rozdělení a pro danou hladinu významnosti jsem převzal ze
statistických tabulek, např. z [4] nebo [5].
Tento test aplikujeme na dvě dvojice převýšení, která mají největší rozdíl, jedná se
převýšení mezi body 95-100 a 2417-5A. Pokud pro tento test pro obě dvojice převýšení
nezamítneme nulovou hypotézu, budeme předpokládat, že bychom nulovou hypotézu
nezamítli ani pro ostatní dvojice převýšení, jejichž rozdíly jsou menší. Pokud test vyjádříme
číselně, dostaneme tyto hodnoty: Tab. 6.2 Hodnoty T – testu pro dvě vybraná převýšení
z bodu na bod Δh1 - Δh2
[mm] n1 σ1 [mm] n2 σ2 [mm] t t0.05
95 100 -0.33 2 0.10 2 0.16 2.54 4.30
2417 5A 0.31 3 0.10 3 0.17 2.73 2.78
Z hodnot uvedených v Tab. 6.2 je zřejmé, že pro obě dvojice převýšení je splněna
nerovnost pro přijetí nulové hypotézy T – testu. Nemůžeme tedy zamítnout nulovou
hypotézu, a proto lze předpokládat, že převýšení určená digitálně a klasicky jsou výběry ze
dvou základních souborů, jejichž střední hodnoty se rovnají.
Toto porovnání je pouze orientační, protože vzhledem k velikosti testovaného souboru
a počtu nadbytečných měření mají statistické testy malou sílu a hodně se zde projevuje vliv
náhodných chyb měření.
33
6.2.2 T – test (Studentův test) pro párové hodnoty
Tento test slouží k porovnání rozdílu dvojic (xi, yi), kdy dvojice jsou z náhodného
vektoru (X, Y). Testuje se nulová hypotéza ( ) ( )0 :H E X E Y= . Tento test jsem převzal z [8]
a upravil pro porovnání dvojic měřených převýšení.
Označí-li se rozdíly dvojic převýšení (h1i, h2i) 1 2i i ih hδ = − , kde i = 1,…n a směrodatná
odchylka tohoto rozdílu 2 21 2i i iδσ σ σ= + , je možné vypočítat průměrný rozdíl a
směrodatnou odchylku průměrného rozdílu. Průměrný rozdíl se určí váženým průměrem,
kde jako váhy jsou převrácené hodnoty kvadrátů směrodatných odchylek jednotlivých
rozdílů:
2
1i
i
pδσ
= , (6.5)
potom i i
i
ppδ
δ⋅
= ∑∑
(6.6)
a ( )
( ) ( )
2
1i i
i
pp nδ
δ δσ
⋅ −=
⋅ −∑∑
. (6.7)
Testovaným kritériem je veličina
tδ
δσ
= , (6.8)
která má Studentovo t – rozdělení s k = n – 1 stupni volnosti. Abychom nezamítali nulovou
hypotézu, musí platit nerovnost / 2 / 2t t tα α− ≤ ≤ .
Jestliže se dosadí číselné rozdíly převýšení do výše uvedených vzorců, dostáváme pro
hodnotu průměru 0.065δ = mm a jeho směrodatnou odchylku 0.041δσ = mm. Testované
kritérium má hodnotu t = 1.60 a kritická hodnota tα/2 = 2.23 pro hladinu významnosti
α = 0.05, z čehož plyne, že nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu a považujeme dvojice
převýšení za různé výběry ze dvou základních souborů, jejichž střední hodnoty se rovnají.
6.3 Zhodnocení porovnání nivelačních přístrojů
Z porovnání, která jsem provedl, lze usoudit, že digitální nivelační přístroj Trimble
Zeiss DiNi 12T má vyšší přesnost (nižší jednotkovou směrodatnou kilometrovou odchylku)
než klasický nivelační přístroj Zeiss-Jena Ni007. Měřená převýšení těmito přístroji si
vzájemně celkem odpovídají, což je vidět už z rozdílů převýšení. Dále jsem také
34
provedenými testy statistických hypotéz nevyvrátil hypotézu o rovnosti středních hodnot
základních souborů, i když tyto testy byly provedeny na souboru o malém rozsahu.
Vzhledem k těmto skutečnostem můžu vyslovit závěr, že pro měření na Pražském hradě je
možné nahradit klasický nivelační přístroj digitálním s tím, že digitální přístroj má
srovnatelnou nebo dokonce větší přesnost než klasický nivelační přístroj.
Digitální přístroj má oproti klasickému přístroji další výhody, které způsobují to, proč
se digitální nivelační přístroje stále více prosazují. Jednou nespornou výhodou digitálního
přístroje je registrace měřených dat, která eliminuje hrubé chyby z nesprávné ruční
registrace. Další výhodou je jistě i automatické odečítání na lati, které výrazně zrychluje
práci, avšak má i svá úskalí a omezení. Automatické odečítání je velmi citlivé na světelné
podmínky, lať musí být dobře osvětlena a již malý stín způsobí, že přístroj hlásí chybu.
Dalším problémem může být, že při čtení na kódové stupnici neexistuje možnost, jak
zkontrolovat čtení a je nutné věřit hodnotě, kterou určí přístroj.
35
7 Závěr
V této bakalářské práci jsem se především věnoval výškovým měřením na Pražském
hradě, která byla provedena pomocí digitálního nivelačního přístroje. Zaměřil jsem se na
jednotlivá měření a problémy, které se během nich vyskytly.
Pro převod digitálního zápisníku z přístroje jsem napsal jednoduchý program, který
podle mého názoru výrazně zrychlí a zpřehlední tuto fázi zpracování měření. Z rozdílů
měřených převýšení tam a zpět a z uzávěrů uzavřených nivelačních polygonů jsem určil
výběrové směrodatné kilometrové odchylky. Testy statistických hypotéz potvrdily, že tyto
odchylky odpovídají základní směrodatné odchylce, kterou udává výrobce. Tuto skutečnost
potvrdil i test přístroje, který jsem provedl podle normy ČSN ISO 17123-2.
Výšky všech bodů jsem určil vyrovnání metodou MNČ a dále aposteriorní
charakteristiky přesnosti vplývající z vyrovnání. Výšku výchozího bodu jsem zvolil na
100 m. Při výpočtu jsem neuvažoval vliv sbíhavosti hladinových ploch, tudíž k jednotlivým
převýšením nebyly připočteny korekce ze sbíhavosti hladinových ploch. Vypočtené výšky
jsou proto v místním systému a ne v systému Bpv.
V závěrečné části práce jsem provedl porovnání digitálního nivelačního přístroje a
klasického optického přístroje. Z tohoto porovnání jsem vyvodil závěr, že daný digitální
přístroj má vyšší přesnost než daný klasický přístroj. Z výsledků porovnání měřených
převýšení plyne, že si převýšení měřená digitálně a klasicky odpovídají. Myslím si, že je
možné nahradit klasický přístroj digitálním. Pokud vezmeme v úvahu i výhody digitálního
přístroje jako takového, je použití digitálního nivelačního přístroje přínosem po stránce
nejen přesnosti měření, ale i po stránce ekonomické.
36
Literatura
[1] BLAŽEK, Radim, SKOŘEPA, Zdeněk. Geodézie 3. 2. přeprac. vyd. Praha :
Vydavatelství ČVUT, 2004. 162 s. ISBN 80-01-03100-4.
[2] Zeměměřický úřad. Metodický návod pro práce v Základním výškovém bodovém
poli. [s.l.] : [s.n.], 2003. 46 s.
[3] ČNI. ČSN ISO 17123-2 : Optika a optické přístroje - Terénní postupy pro zkoušení
geodetických a měřických přístrojů. [s.l.] : [s.n.], 2005.
[4] HAMPACHER, Miroslav, RADOUCH, Vladimír. Teorie chyb a vyrovnávací počet
10. 1. dotisk vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2000. 159 s. ISBN 80-01-01704-4.
[5] HAMPACHER, Miroslav, RADOUCH, Vladimír. Teorie chyb a vyrovnávací počet
20. 1. dotisk vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2000. 140 s. ISBN 80-01-01703-6.
[6] ČEPEK, Aleš. Úvod do C++. 1. vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2004. 265 s.
Dostupný z WWW: <http://gama.fsv.cvut.cz/~cepek/uvodc++/uvodc++-2004-09-
11.pdf>.
[7] ČECH, Václav, JIŘIKOVSKÝ, Tomáš. Nivelace : Určení svislých posunů stavebního
objektu metodou přesné nivelace s nestejně dlouhými záměrami. [s.l.] : [s.n.], 2007. 13
s.
[8] BEDNÁŘ, Josef. Testování statistických hypotéz. [s.l.] : [s.n.], 2006. 8 s. Dostupný
z WWW: <http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=479>.
37
Seznam obrázků
Obr. 2.1 Princip geometrické nivelace ze středu .............................................................. 7
Obr. 2.2 Geotechnický vrt MPD02 ................................................................................... 9
Obr. 2.3 Vikářská ulice 6. 11. 2007 ................................................................................ 10
Obr. 3.1 Konfigurace základny pro úplný test ................................................................ 14
Obr. 4.1 Ukázka části zápisníku přístroje DiNi 12T ...................................................... 18
Obr. 4.2 Ukázka spuštění programu Převod v Příkazovém řádku MS Windows ........... 20
Obr. 4.3 Ukázka výstupu převedeného zápisníku programem Převod ........................... 21
Seznam tabulek
Tab. 5.1 Přehled uzávěrů ................................................................................................ 23
Tab. 5.2 Číselné hodnoty statistického testu .................................................................. 24
Tab. 6.1 Porovnávaná převýšení a jejich směrodatné odchylky ..................................... 31
Tab. 6.2 Hodnoty T – testu pro dvě vybraná převýšení.................................................. 32
38
Seznam příloh
1. Přehled nivelačních pořadů a nivelačních bodů měřených na podzim roku 2007
2. Měřená a vypočtená data k testu přístroje Trimble DiNi 12T
3. Vyrovnané výšky bodů
4. Porovnání výšek bodů pro různé volby váhových koeficientů při vyrovnání
5. Porovnání jednotlivých etap měření v bazilice sv. Jiří
6. Data k testu nivelačního přístroje Zeiss-Jena Ni007
7. CD se všemi dokumenty a skripty pro výpočet v programu Matlab
+ U
%
+ U
+ U
+ U
+ U%+ U+ U
+ U
+ U
+ U
+ U
+ U
+ U
+ U
+ U
%
+ U
+ U
+ U
+ U
% %+ U
+ U
+ U
+ U+ U
+ U+ U+ U+ U+ U
+ U%+ U
+ U
+ U
2 35
8
J4J3
J2J1
J5J7
J9J8
J662
87
84
95
100
131
132
133
103
145
195
166
165
164
102
120
119
114
2417
MPD
01M
PD04
MPD
05
MPD
02
VB01
1
+ U
nive
lačn
í bod
%ge
otec
hnic
ký v
rt
digi
tálně
dig.
+ o
ptic
ky
1:2
500
050
100
150
200
m
zdro
j: ht
tp://
geop
orta
l.cen
ia.c
z
Příloha č. 1: Přehled nivelačních bodů a pořadů měřených na podzim 2007
1S
Příloha č. 2: Měřená a vypočtená data k testu přístroje Trimble DiNi 12T
První polovina měření (i = 1,…20):
1 2 3 4 5 6 j XAj XBj dj rj rj
2 mm mm mm mm mm2
1 1524.11 1497.91 26.19 0.10 0.011 2 1523.85 1497.59 26.26 0.04 0.001 3 1523.61 1497.25 26.35 -0.06 0.003 4 1523.58 1497.17 26.41 -0.11 0.012 5 1523.70 1497.38 26.32 -0.03 0.001 6 1522.84 1496.65 26.19 0.10 0.011 7 1522.53 1496.17 26.37 -0.07 0.004 8 1522.97 1496.76 26.21 0.09 0.008 9 1523.34 1496.91 26.43 -0.13 0.017 10 1523.48 1497.10 26.39 -0.09 0.007 11 1524.37 1498.19 26.18 0.12 0.014 12 1524.64 1498.32 26.32 -0.02 0.000 13 1525.00 1498.72 26.28 0.02 0.000 14 1525.26 1498.89 26.37 -0.08 0.006 15 1525.64 1499.39 26.25 0.05 0.002 16 1525.87 1499.72 26.15 0.15 0.022 17 1526.09 1499.92 26.17 0.13 0.017 18 1526.46 1500.11 26.35 -0.05 0.003 19 1526.81 1500.46 26.35 -0.05 0.003 20 1527.06 1500.64 26.42 -0.12 0.014 Σ 30491.16 29965.19 525.97 -2.8E-14 0.15676
Druhá polovina měření (i = 21,…40):
7 8 9 10 11 12 j XAj XBj dj rj rj
2 mm mm mm mm mm2
1 1527.12 1500.75 26.38 -0.04 0.002 2 1527.15 1500.79 26.36 -0.02 0.001 3 1527.37 1501.09 26.27 0.06 0.004 4 1527.76 1501.37 26.38 -0.05 0.002 5 1527.85 1501.44 26.41 -0.07 0.006 6 1528.05 1501.89 26.17 0.17 0.029 7 1528.45 1502.41 26.04 0.29 0.084 8 1529.16 1502.74 26.42 -0.08 0.007 9 1529.39 1503.26 26.13 0.21 0.044 10 1529.68 1503.35 26.33 0.01 0.000 11 1529.97 1503.66 26.31 0.03 0.001 12 1530.14 1503.88 26.26 0.07 0.006 13 1530.46 1504.03 26.43 -0.10 0.009 14 1530.68 1504.37 26.31 0.03 0.001 15 1530.93 1504.62 26.32 0.02 0.000 16 1531.19 1504.85 26.35 -0.01 0.000 17 1531.56 1505.07 26.49 -0.15 0.023 18 1531.64 1505.29 26.35 -0.01 0.000 19 1532.16 1505.70 26.46 -0.13 0.017 20 1532.62 1506.07 26.55 -0.21 0.046 Σ 30593.28 30066.58 526.70 -1.4E-14 0.2809
Vypočtené průměry a směrodatné odchylky
d1= 26.30 mm d2= 26.34 mm
δ= 0.04 mm s= 0.11 mm
siso-lev= 0.31 mm
Příloha č. 3: Vyrovnané výšky všech bodů
Výšky bodů měřených ve dnech 26. 10., 6. 11. a 27. 11. 2007:
číslo bodu H [m] σH [mm] číslo bodu H [m] σH [mm]95 99.0128 0.2 MPD05Ex 81.8230 0.3 100 100.2313 0.2 J6 98.4945 0.2 132 100.3540 0.2 J8 98.9708 0.2 133 100.2487 0.2 J9 98.8404 0.2 62 98.0152 0.2 J10 98.8178 0.2 103 96.4121 0.2 J7 98.9159 0.2 145 83.4259 0.3 MPD04a 98.5529 0.2
VB011 100.1665 0.1 MPD04aEx 98.3032 0.2 114 101.6427 0.1 MPD01DL 100.3525 0.2 8 100.0944 0.1 J5 98.4805 0.2
2417 100.1061 0.1 J4 98.3980 0.2 3 98.6870 0.2 J3 98.8499 0.2 5 101.2250 0.2 J2 98.4656 0.2 2 98.5040 0.2 J1 98.5031 0.2
102 91.2000 0.2 131 100.6622 0.2 87 82.3911 0.3 195 84.6265 0.3
MPD01KR 100.0957 0.2 84 93.1743 0.2 MPD01Ex 99.8876 0.2 119 93.1807 0.2 VB011Ex 100.0000 0.1 120 92.0742 0.2 MPD02 100.7667 0.2 164 90.0531 0.2
MPD02Ex 100.5872 0.2 165 88.8276 0.2 MPD05 82.0324 0.3 166 87.6619 0.2
Výšky bodů měřených 12. 12. 2007 – 2. etapa sv. Jiří:
číslo bodu H [m] σH [mm]J6 98.4946 0.2
133 100.2488 0.2 J8 98.9708 0.2 J9 98.8404 0.2 J10 98.8178 0.2 J7 98.9160 0.2
MPD04a 98.5533 0.2 MPD04aEx 98.2541 0.2 MPD01KR 100.0957 0.2 MPD01Ex 99.8876 0.2
J5 98.4809 0.2 J4 98.3983 0.2 J3 98.8503 0.2 J2 98.4660 0.2 J1 98.5035 0.2
MPD04 98.2781 0.2
Výšky bodů měřených 17. 4. 2008 – 3. etapa sv. Jiří:
číslo bodu H [m] σH [mm]J6 98.4941 0.2
133 100.2487 0.2 J8 98.9706 0.2 J9 98.8402 0.2 J10 98.8173 0.2 J7 98.9156 0.2
MPD04a 98.5530 0.2 MPD04aEx 98.3027 0.2 MPD01KR 100.0957 0.2 MPD01Ex 99.8876 0.2
J5 98.4806 0.2 J4 98.3977 0.2 J3 98.8499 0.2 J2 98.4653 0.2 J1 98.5029 0.2
MPD04 98.2776 0.2
Příloha č. 4: Porovnání výšek bodů pro různé volby váhových koeficientů
vyrovnaná výška [m]
číslo bodu váha 1/ns váhy 1 váhy délka pořadu v km
rozdíl "1"-"2"
[mm]
rozdíl "1"-"3"
[mm]95 99.012764 99.012767 99.012771 -0.003 -0.007 100 100.231309 100.231313 100.231316 -0.004 -0.007 132 100.353951 100.353954 100.353957 -0.003 -0.006 133 100.248703 100.248706 100.248710 -0.003 -0.007 62 98.015216 98.015219 98.015222 -0.003 -0.006 103 96.412136 96.412139 96.412142 -0.003 -0.006 145 83.425888 83.425891 83.425895 -0.003 -0.007
VB011 100.166520 100.166520 100.166520 0.000 0.000 114 101.642725 101.642725 101.642725 0.000 0.000 8 100.094430 100.094430 100.094430 0.000 0.000
2417 100.106145 100.106145 100.106145 0.000 0.000 3 98.687046 98.687040 98.687053 0.006 -0.007 5 101.224988 101.224985 101.225000 0.003 -0.012 2 98.504009 98.504002 98.504015 0.007 -0.006
102 91.200009 91.200002 91.200015 0.007 -0.006 87 82.391144 82.391137 82.391150 0.007 -0.006
MPD01KR 100.095653 100.095656 100.095660 -0.003 -0.007 MPD01Ex 99.887563 99.887566 99.887580 -0.003 -0.017 VB011Ex 100.000000 100.000000 100.000000 0.000 0.000 MPD02 100.766698 100.766695 100.766710 0.003 -0.012
MPD02Ex 100.587158 100.587155 100.587170 0.003 -0.012 MPD05 82.032354 82.032348 82.032360 0.006 -0.006
MPD05Ex 81.823004 81.822998 81.823010 0.006 -0.006 J6 98.494478 98.494481 98.494485 -0.003 -0.007 J8 98.970753 98.970756 98.970760 -0.003 -0.007 J9 98.840377 98.840375 98.840380 0.002 -0.003 J10 98.817781 98.817774 98.817779 0.007 0.002 J7 98.915944 98.915953 98.915955 -0.009 -0.011
MPD05a 98.552914 98.552907 98.552812 0.007 0.102 MPD05aEx 98.303161 98.303154 98.303150 0.007 0.011 MPD01DL 100.352533 100.352536 100.352540 -0.003 -0.007
J5 98.480528 98.480531 98.480535 -0.003 -0.007 J4 98.397958 98.397961 98.397965 -0.003 -0.007 J3 98.849858 98.849861 98.849865 -0.003 -0.007 J2 98.465578 98.465581 98.465585 -0.003 -0.007 J1 98.503133 98.503136 98.503140 -0.003 -0.007
Příloha č. 5: Porovnání jednotlivých etap měření v bazilice sv. Jiří
Porovnání 1. a 2. etapy měření v bazilice sv. Jiří
číslo bodu 1. etapa 2. etapa ΔH [mm] H [m] H [m] 133 100.24870 100.24876 -0.06
MPD01KR 100.09565 100.09573 -0.08 MPD01Ex 99.88756 99.88756 0.00
J6 98.49448 98.49460 -0.13 J8 98.97075 98.97082 -0.07 J9 98.84038 98.84039 -0.01 J10 98.81778 98.81783 -0.05 J7 98.91594 98.91596 -0.01
MPD04a 98.55291 98.55326 -0.35 MPD04aEx 98.30316 98.25407 49.09 MPD01DL 100.35253
J5 98.48053 98.48087 -0.35 J4 98.39796 98.39827 -0.32 J3 98.84986 98.85030 -0.45 J2 98.46558 98.46599 -0.42 J1 98.50313 98.50351 -0.38
MPD04 98.27811
Porovnání 1. a 3. etapy měření v bazilice sv. Jiří
číslo bodu 1. etapa 3. etapa ΔH [mm] H [m] H [m]
133 100.24870 100.24872 -0.02 MPD01KR 100.09565 100.09573 -0.08 MPD01Ex 99.88756 99.88756 0.00
J6 98.49448 98.49407 0.41 J8 98.97075 98.97058 0.17 J9 98.84038 98.84023 0.15 J10 98.81778 98.81735 0.43 J7 98.91594 98.91561 0.34
MPD04a 98.55291 98.55302 -0.10 MPD04aEx 98.30316 98.30269 0.47 MPD01DL 100.35253
J5 98.48053 98.48059 -0.07 J4 98.39796 98.39767 0.29 J3 98.84986 98.84992 -0.07 J2 98.46558 98.46527 0.31 J1 98.50313 98.50295 0.19
MPD04 98.27762
Porovnání 2. a 3. etapy měření v bazilice sv. Jiří
číslo bodu 2. etapa 3. etapa ΔH [mm] H [m] H [m] J6 98.49460 98.49407 0.54
133 100.24876 100.24872 0.04 J8 98.97082 98.97058 0.24 J9 98.84039 98.84023 0.16 J10 98.81783 98.81735 0.48 J7 98.91596 98.91561 0.35
MPD04a 98.55326 98.55302 0.25 MPD04aEx 98.25407 98.30269 -48.62 MPD01KR 100.09573 100.09573 0.00 MPD01Ex 99.88756 99.88756 0.00
J5 98.48087 98.48059 0.28 J4 98.39827 98.39767 0.61 J3 98.85030 98.84992 0.38 J2 98.46599 98.46527 0.73 J1 98.50351 98.50295 0.57
MPD04 98.27811 98.27762 0.49
Příloha č. 6: Data k testu nivelačního přístroje Zeiss-Jena Ni007
Měřené hodnoty a opravy od průměrů
1 4 5 6 7 10 11 12
j dj rj rj
2 j
dj rj rj2
mm mm mm2 mm mm mm2 1 76.50 -0.14 0.020 1 76.63 -0.29 0.0863 2 76.65 -0.29 0.085 2 76.00 0.33 0.1097 3 76.58 -0.22 0.047 3 76.28 0.06 0.0032 4 76.48 -0.12 0.014 4 76.43 -0.09 0.0088 5 76.63 -0.27 0.071 5 76.03 0.31 0.0938 6 76.20 0.16 0.025 6 76.75 -0.42 0.1754 7 76.10 0.26 0.067 7 76.40 -0.07 0.0047 8 76.35 0.01 0.000 8 76.18 0.16 0.0244 9 76.30 0.06 0.003 9 76.25 0.08 0.0066 10 76.13 0.23 0.055 10 76.23 0.11 0.0113 11 75.98 0.38 0.147 11 76.50 -0.17 0.0285 12 76.23 0.13 0.018 12 75.85 0.48 0.2316 13 76.28 0.08 0.007 13 76.43 -0.09 0.0088 14 76.50 -0.14 0.020 14 76.68 -0.34 0.1182 15 76.33 0.03 0.001 15 76.53 -0.19 0.0375 16 76.23 0.13 0.018 16 76.40 -0.07 0.0047 17 76.38 -0.02 0.000 17 76.40 -0.07 0.0047 18 75.98 0.38 0.147 18 76.43 -0.09 0.0088 19 76.60 -0.24 0.058 19 76.05 0.28 0.0791 20 76.80 -0.44 0.195 20 76.23 0.11 0.0113 Σ 1527.18 -2.4E-13 0.997844 Σ 1526.63 -5.7E-14 1.057344
Vypočtené průměry a směrodatné odchylky
d1= 76.34 mm d2= 76.33 mm
δ= 0.03 mm s= 0.23 mm
siso-lev= 0.67 mm