Chapitre 2
EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
2. 1 Introduction
Dans les installations de production et de distribution de l’énergie électrique peuvent apparaître des valeurs très grandes (des dizaines et même des centaines de kiloampères) des courants de court-circuit. Ces courants de court-circuit déterminent des efforts électrodynamiques qui produisent des contraintes mécaniques sur les voies de courant, sur les contacts électriques et sur les autres composants des équipements électriques. Ces contraintes mécaniques peuvent déformer, déplacer ou détruire les voies de courant ainsi que les éléments de la construction (les isolateurs, par exemple). Le calcul des efforts électrodynamiques est nécessaire pour un dimensionnement correct de point de vue de la résistance mécanique et de l’amplitude des vibrations des ces composants des équipements électriques. Les normes imposent pour les appareils électriques et pour les installations électriques certaines valeurs pour le courant de stabilité électrodynamique (le plus grand courant de court-circuit, mesuré en valeur de crête qui est supporté par un appareil ou une voie de courant sans souffrir des déformations mécaniques importants. On peut dire que le calcul des efforts électrodynamiques est nécessaire : - pour le choix des appareils électrique qui doivent supporter sans dégâts mécaniques la valeur du courant de court-circuit calculé dans le point de montage ; - pour la conception des appareils électriques qui doivent ressister au courant de stabilité électrodynamique. D’autre part, une voie de courant (une barre, par exemple) parcouru par le courant de court-circuit n’est pas un système rigide (elle a une masse et une certaine élasticité) et à l’apparition d’une excitation, il est possible que la barre peut osciller sur certaines fréquences (la fondamentale et les armoniques). Dans certaines conditions peut apparître la ressonance qui amplifie les contraintes mécaniques.
2.2 Méthodes de calcul des éfforts électrodynamiques
On connaie, en général, trois méthodes pour le calcul des efforts électrodynamique : - la méthode de la force de Laplace, qui est utilisée lorsqu’on connaie la distribution spatiale des courants et du vecteur de l’induction magnétique, étant aplicable surtout dans le cas des circuits filiformes et dans les millieux à perméabilité magnétique constante ; - la méthode de la variation de l’énergie du champ magnétique, étant aplicable pour des configurations de circuits complexes dont on connaie les inductances et on peut evaluer l’énergie du champ magnétique ; - la méthode basée sur l’intégration des tensions maxwelliennes, qui apparaissent sur la surface des conducteurs et qui nécessite tout d’abord la résolution des équations du champ magnétique dans le domaine d’existance des conducteurs.
2.2.1 Méthode de la formule de Laplace
La force électrodynamique élémentaire Fr
d qui s’exerce sur l’élément lr
d d’un conducteur filiforme, parcouru par le courant i , est donnée par la formule de Laplace :
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
BliFr rr×= dd α= sindd liBF
r (2.1)
où : - B
r est le vecteur de l’induction magnétique dans le point où est situé l’élément l
rd ,
crée par le courant du même ou d’un autre conducteur ;
- α est l’angle entre les vecteurs lr
d et Br
;
Fig. 2.1 Relatif à la force de Laplace
Le vecteur Fr
d est toujour perpendiculaire sur le plan formé par les vecteurs lr
d et Br
( ). Le sens de la force électrodynamique est donné par la règle de la main gauche. Cette règle ne peut pas être appliquée que dans le cas où les circuits électriques ont une forme simple.
),d(d BlFrrr
⊥
Pour un conducteur qui suit le contour férmé C la force électrodynamique totale est : ∫∫ ×==
CC
BliFFrrr
dd (2.2)
Fig. 2.2 Cas des deux circuits
Si on considère le cas général des deux circuits filiformes (fig. 2.2), la force électrodynamique sur le circuit (2) on peut la calculer comme suit : 21F
r
- tout d’abord, on exprime la force électrodynamique élémentaire qui s’exerce sur l’élément 2dl
r ainsi
2
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
122221 dd BliF
rrr×= (2.3)
où est l’induction magnétique dans le point où est situé l’élément crée par le circuit (1) donnée par la formule de Biot-Savart
12Br
2dlr
∫×
πμ
=1
31
112d
4 C rrliB r
rrr
(2.4)
Si le millieu où sont situés les deux circuits est l’air, alors et la formule (2.4) devient :
70 104 −⋅π=μ=μ H/m
∫×
= −
13
11
712
d10C r
rliB r
rrr
(2.5)
La force élémentaire 21dF
r peut s’écrire ainsi :
∫×
×= −
13
11
72221
d10ddC r
rliliF r
rrrr
(2.6)
- finalement, on calcul la force électrodynamique totale 21F
r qui s’exerce sur le
circuit (2) causée par le circuit (1) en intégrant la relation (2.6) sur le contour 2 C
∫ ∫∫∫××
=×
×= −−
1 23
1221
7
13
11
C2
72212
)d(d10d10dC CC r
rlliir
rliliF r
rrr
r
rrrr
211 2
321
217
12)d)d(10 iiC
rllriiF
C C
rr
rrrr=
××= ∫ ∫− (2.7)
où le vecteurC
r s’appelle coefficient de contour défini ainsi :
∫ ∫××
= −
1 23
217 )d)d(10C C r
llrC r
rrrr (2.8)
Si les circuits sont coplanaires le coefficient de contour devient un scalaire :
∫ ∫β
= −
1 22
217 sindd10C C r
llC (2.9)
2.2.2 Méthode énergétique
On considère un électroaimant dont l’armature se deplase sur la direction de la coordonnée généralisée x (fig. 2.3) .
3
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Fig. 2.3 Relatif à la méthode énergétique
Fig. 2.4 Schéma électrique équivalente de l’électraimant
L’équation de bilan énergétique, dans l’interval de temp , pour l’électroaimant présenté à la figure 2.3 est :
dt
(2.10) xXWtRitui m dddd 2 ++= où : - l’énergie reçu aux bornes ; tuid - les pertes par effet Joule dans l’enroulement de la bobine ; tRi d2
- la variation de l’énergie magnétique du circuit ; mWd - le travail mécanique pour déplaser l’armature mobile. xXdL’équation du circuit électrique (fig. 2.4) est la suivante :
t
Riud
dΨ+= (2.11)
En remplaçant l’expresion de la tension (relation 2.11) dans l’équation de bilan (2.10) on
4
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
obtient après simplifications: (2.12) xXiWm ddd −Ψ= Si on suppose que l’armature mobile ne se deplase pas ( constant=x ) alors et la relation (2.12) devient et l’energie magnétique est donnée par la relation suivante :
0d =xΨ= dd iWm
(2.13) ∫Ψ
Ψ=0
diWm
Fig. 2.5 Définition de l’énergie magnétique Fig. 2.6 Définition de la coénergie magnétique
À la figure 2.6 est l’énergie magnétique complémentaire (où la coénergie magnétique). On constate que pour les circuits magnétiques non linéaires tandis que pour les circuits magnétiques linéaires (voir la figure 2.7)
*mW
*mm WW ≠
*mm WW =
Fig. 2.7 L’énergie et la coénergie dans le cas des circuits magnétiques linéaires
Si on suppose que le déplassement de l’armature mobile se fait à flux magnétique constant à partir de la relation (2.12) on obtient la première formule des forces généralisées :
ctd
d
=Ψ
−=x
WX m (2.14)
Si on tient compte que (2.15) iWW mm Ψ=+ *
En appliquant la differentielle pour l’équation (2.15) on obtient : iiWW mm dddd * Ψ+Ψ=+ Et en remplaçant l’expression de par celle obtenue de la relation (2.12), on obtient après simplifications :
Ψdi
(2.16) xXiWm ddd * +Ψ= Si on suppose que le déplassement de l’armature mobile se fait au courant constante à partir de la relation (2.16) on obtient la deuxième formule des forces généralisées :
5
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
ct
*
dd
=
=i
m
xW
X (2.17)
Quelques formules pour le calcul de l’énergie magnétique. L’énergie magnétique du système, pour des millieux non linéaires, peut être calculée à l’aide de la formule suivante :
(2.18) ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
V
B
m VBBHW dd)(0
0
Pour les millieux linéaires, l’énergie magnétique peut être calculée à l’aide d’une des formules suivantes :
∑∑∑= ==
=Ψ=n
k
n
jkjkj
n
kkkm iiLiW
1 11 21
21 (2.19)
∑ ∑∑= = =
+=n
k
n
k
n
jjkkjkkm iiMiLW
1 1 1
2
21 (2.20)
∫=V
m VHBW d2
rr
(2.21)
où , sont les inductances propres et les inductances mutuelles des circuits, - le
flux magnétique total du circuit k , kL kjM kΨ
Br
et Hr
sont l’induction magnétique et l’intensité du champ magnétique. Exemple : cas des deux bobines couplées. L’énergie magnétique a, conformement à la relation (2.20), l’expression explicite suivante :
21
222
211
22iiMiLiLWm ++= (2.22)
où :
2
211
1iLWm = représente l’énergie magnétique propre de la bobine 1 ;
2
222
2iLWm = représente l’énergie magnétique propre de la bobine ; 2
représente l’énergie magnétique d’interaction entre les bobines 1 et ; 2112 iiMWm = 2 Si on considère la coordonnée généralisée x , l’effort électrodynamique d’interaction entre les deux bobines sur la direction de cette coordonnée est donné par la relation suivante :
cste,
12
cste
2
cste
1
2121d
dd
dd
d
===
++=ii
m
i
m
i
m
xW
xW
xW
F ou
6
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
x
Miix
LixLiF
dd
dd
21
dd
21
2122
212
1 ++= (2.23)
où :
xLiF
dd
21 12
11 = représente la force électrodynamique intérieure de la bobine 1 ;
x
LiFd
d21 22
22 = représente la force électrodynamique intérieure de la bobine ; 2
x
MiiFd
d21
2112 = représente la force électrodynamique d’interaction entre les bobines 1
et 2 ;
2.2.3 Méthode des tensions maxwelliennes
Dans certaines situations (le cas des contacts électrique, par exemple), il est plus facil à calculer la force électrodynamique à l’aide des tensions maxwelliennes. Ainsi, la force magnétique qui s’exerce sur un conducteur compris à l’intérieur d’un volume borné par la surface férmée , ayant la normale extérieure n
ΣVr
, est calculée par la relation : Σ
(2.24) ∫Σ
= ATF ndr r
où nTr
représente la grandeur appellée la tension maxwellienne dans le champ magnétique, interprétée comme une densité surfacique de la force dont l’expression est :
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2HBnHnBTn
rrrrrrr
(2.25)
La méthode peut être appliquée facilement en deux cas particulaires : 1) Si la surface Σ est localement normale sur les lignes d’induction magnétique, le tenseur des tensions maxwelliennes est :
mn wnHBnT rrr
rr=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2 (2.26)
parce que les vecteurs B
r, Hr
et sont paralels et perpendiculaires sur la surface (fig. 2.8) nr Σ2) Si la surface est paralelle avec les lignes de l’induction magnétique ( ) le tenseur des tensions maxwelliennes est :
Σ Σ⊥nr
mn wnHBnT rrr
rr−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2 (2.27)
où est la densité de l’énergie magnétique. mw
7
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Fig. 2.8 Le cas des vecteurs Br
, Hr
et nr perpendiculaires sur la surface Σ
Fig. 2.9 Le cas des vecteurs Br
et Hr
paralels à la surface Σ
2.3 Détermination du sens d’orientation des forces électrodynamiques Dans le cas des circuits plus simple, le sense des forces électrodynamiques est déterminé à l’aide de la règle de la main gauche (voir la fig. 2.10).
Fig. 2.10 Règle de la main gauche
Dans le cas des circuits plus compliqués et quand le spectre des lignes de champ ne permet pas l’application de la règle de la main gauche alors on applique la règle d’orientation vers les zones à champ plus faible (voir les figures 2.11 et 2.12)
8
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
Fig. 2.11 Sense des forces électrodynamiques (orientation des forces vers les zones à champ plus faible)
Fig. 2.12 Sense des forces électrodynamiques (orientation des forces vers les zones à champ plus faible)
2.4 Forces électrodynamiques entre conducteurs filiformes Un conducteur est considèré filiforme si la section transversale est si petite qu’on peut la négliger. Ansi, l’hypotesse d’un conducteur filiformes signifie qu’on néglige le champ intérieur du conducteur. 2.4.1 Force électrodynamique entre deux portions de circuits filiformes, rectilignes et coplanaires On considère le cas des deux portions de circuit filiformes, rectilignes et coplanaires (fig. 2.13) :
9
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Fig. 2.13 Force électrodynamique entre deux portions de circuit filiformes et coplanaires
Tout d’abord, on calcule la force électrodynamique élémentaire qui s’exerce sur l’élément , parcouru par le courant qui se trouve dans le champ magnétique produit par le conducteur 1 :
21dFr
2dlr
2i
122221 dd BliF
rrr×= (2.28)
mais parce que , la relation vecteurielle (2.28) peut être écrite comme une relation scalaire
212 dlBrr
⊥
(2.29) 122221 dd BliF = où peut être calculée à l’aide de la formule de Biot-Savart (en considérant le conducteur 1 ayant la longueur ), ansi
12B
1l
∫β
β
− β=
2
1
217
12sind10r
yiB (2.30)
Si on calcule la force électrodynamique sur l’unité de longueur de l’élément (force spécifique), on obtient :
2dl
∫β
β
− β===
2
1
2217
1222
2121
sind10dd
ryiiBi
lF
f (2.31)
En tenant compte de relations suivantes
10
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
β= ctgxy ββ
−= dsin
d 2
xy β
=sin
xr
on obtient après simplifications
∫β
β
−− β−β=ββ=
2
1
1221
721721
coscos10dsin10
xii
xii
f (2.32)
Remarque importante. Si et π→β1 02 →β dans la relation (2.32) (c'est-à-dire le conducteur 1 a la longueur infinie) on obtient :
2
2121
721
210lF
xiif == − ou
xliiF 2
217
21210−= (2.33)
Si , et ll ≡2 FF ≡21 ax ≡ (fig. 2.14) on obtient :
aliiF 210 21
7−= (2.34)
Fig. 2.14 Force électrodynamique sur une portion de longueur « l » exercée par un conducteur de longueur infinie
2.4.2 Force électrodynamique entre deux portions de conducteurs paralleles de longueurs finis On considère deux conducteurs parallèles de longueurs finis et (fig. 2.15). Si on utilise la formule (2.32) adaptée pour la force électrodynamique sur l’élément , on peut écrire :
1l 2lABUVF ,d xd
d
iix
Ff ABUV γ+β
== − coscos10d
d 221
7,21 (2.35)
11
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
où, on tient compte que γ−π=β1 et donc γ−=β coscos 1 .
Fig. 2.15 Force électrodynamique entre deux portions de conducteurs paralleles de longueurs finis
La force électrodynamique élémentaire sur l’élément peut s’écrire ainsi : ABUVF ,d xd
xd
iiF ABUV dcoscos10d 221
7,
γ+β= − (2.36)
Si on intégre l’équation (2.36), on obtient la force électrodynamique sur le conducteur 2 ayant la longueur :
ABUVF ,
2l
( )∫ γ+β= −V
UABUV x
diiF dcoscos10 2
217, (2.37)
Si on utilise les relations géométriques suivantes
( ) 22
1
12cos
dxl
xl
+−
−=β
22cos
dxx+
=γ (2.38)
l’expession (2.37) peut se mettre sous la forme suivante
( )( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
+−
−= ∫ ∫−
V
U
V
UABUV x
dxxxx
dxl
xldiiF dd2d2
210
22221
1217, (2.39)
En tenant compte que
12
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
∫ +=+
22
222d dx
dxxx (2.40)
L’intégration du membre droite de la relation (2.39) donne
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−−+= −
V
U
V
UABUV dxldx
diiF 22
122217
, 10
(2.41) où
( ) AUAVdadaldxV
U−=+−++=+ 2222
222
( ) ( ) ( ) BUBVdaldalldxlV
U−=+−−+−−=+− 22
122
2122
1
Finalement la force est donnée par la relation suivante ABUVF ,
( )BVBUAUAVdiiF ABUV −+−= − 217
, 10 (2.42)
Si alors ∞→1l 2lAUAV →− et 2lBVBU →− et la force est donnée par la relation suivante
∞→ABUVF ,
dliiF ABUV
221
7,
210−∞→ = (2.43)
Remarque : La relation (2.43) a la même signification que la relation (2.34). 2.4.3 Force électrodynamique entre deux conducteurs paralleles de longueurs égales et finis. Coefficient de correction On considère deux conducteurs parallèles de longueurs égales et finis (fig. 2.16). Si on utilise la formule (2.32) adaptée pour la force électrodynamique sur l’élément , on peut écrire :
Fd xd
a
iixFf γ+β== − coscos10
dd 2
217
21 (2.44)
où, on tient compte que γ−π=β1 et donc γ−=β coscos 1 . La force électrodynamique élémentaire sur l’élément peut s’écrire ainsi : Fd xd
xa
iiF dcoscos10d 221
7 γ+β= − (2.45)
Si on intégre l’équation (2.45), on obtient la force électrodynamique sur le conducteur 2 F
13
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
ayant la longueur l :
( )∫ γ+β= −l
xaii 21F
02
7 dcoscos10 (2.46)
Fig. 2.16 Force électrodynamique entre deux conducteurs paralleles de longueurs égales et finis
Si on utilise les relations géométriques suivantes
( ) 222cos
axl
xl
+−
−=β
22cos
axx+
=γ (2.47)
l’expession (2.37) peut se mettre sous la forme suivante
( )( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
+−
−= ∫ ∫−
l l
xax
xxxaxl
xlaiiF
0 02222
217 ddd10 (2.48)
En tenant compte que
∫ −+=+
l
aalax
xx
0
2222
d (2.49)
après l’intégration du membre droite de la relation (2.48), on obtient :
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ϕ=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=−+= −−−
la
alii
la
la
aliiaal
aiiF 2101210210 21
72
21722217 (2.50)
où
14
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
la
la
la
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ϕ
2
1
s’appelle coefficient de correction qui tient compte que les conducteurs ne sont pas infinement longs et les dimensions et l sont comparables (fig.2.17). aSi la relation (2.50) devient la relation (2.34). al >>
Fig. 2.17 Coefficient de correction
2.4.4 Forces électrodynamiques exercés sur les conducteurs placés dans la proximité des parois ferromagnétiques Un conducteur parcouru par un courant électrique et placé dans la proximité d’un corps ferromagnétique est soumis à une force électrodynamique, qui a la tendence d’attirer le conducteur vers la paroi ferromagnétique (fig. 2.18). La perméabilité magnétique relative de la paroi ferromagnétique est beaucoup plus grande que la perméabilité magnétique de l’air et donc la reluctance magnétique à l’intérieur de la paroi est négligeable. Le déplacement du conducteur vers la paroi détermine la diminution de la reluctance magnétique du système et donc l’augmentation du flux magnétique et par conséquence la variation de l’énergie magnétique du système.
15
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Fig. 2.18 Conducteur placé dans la proximité de la paroi ferromagnétique
a) Cas d’un conducteur placé dans la proximité d’un semi-espace
ferromagnétique infinie Le calcul de la force électrodynamique d’attraction du conducteur vers la paroi
ferromagnétique peut s’effectuer en appliquant la méthode des images qui est basée sur le fait que le champ magnétique du système conducteur parcouru par le courant - paroi ferromagnétique est cré par deux conducteurs placés dans le même millieu (l’air dans ce cas) en éliminant la paroi ferromagnétique. Si on considère que la perméabilité magnétique du fer
, on peut montrer que le système des deux conducteurs cré le même champ magnétique si le conducteur image est parcouru par le même courant, dans le même sens et placé de façon symétrique (à la distance ) .
i
∞→μFe
pa
16
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
Fig. 2.19 Méthode des images
La force électrodynamique peut être calculée à l’aide de la formule (2.50), c'est-à-dire :
F
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ= −−
la
ali
la
aliF p
p
27p
p
27 210
22210 (2.51)
où
la
la
la p
2pp 22
12
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ
Ce phenomène est appliqué dans la construction des chambres de coupure de l’appareillage de commutation de basse tension de courant alternatif.
b) Cas d’un conducteur placé dans une niche ferromagnétique
Ce pfenomène d’attraction du conducteur est plus important, c'est-à-dire la force électrodynamique a une valeur plus grande, quand le conducteur est placé dans une niche ferromagnétique.
b1) Cas de la niche rectangulaire Dans le cas d’un conducteur infinement long parcouru par le courant électrique et
placé dans une niche ferromagnétique une force électrodynamique va apparaître qui le déplace vers l’intérieur de celle-ci (fig. 2.20, solution obtenue en QuickField).
iF
17
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Fig. 2.20 Conducteur dans une niche rectangulaire
Pour calculer la force électrodynamique on utilise un modèle simplifié (fig. 2.21) obtenu dans les hypothèses simplificatrices suivantes :
- à l’intérieur de la niche, les lignes de l’induction magnétique sont parallèles et lignes droites ;
- la perméabilité magnétique de la niche ferromagnétique est considérée de valeur infinie, donc on néglige le champ magnétique dans le fer.
En supossant que (milieu linéaire) et en utilisant la méthode énergétique, la force électrodynamique est donnée par relation suivante :
mm WW =*
cstedd
=
=i
m
xW
F (2.52)
L’énergie magnétique, dans ce cas, est donnée par la relation suivante :
1)(21)(
21)( ⋅Φ=Ψ= xixixWm (2.53)
18
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
Fig. 2.21 Modèle de la niche rectangulaire
Pour calculer le flux magnétique )(xΦ , on considère un tube de flux constant d’epaisseur situé à la distance yd y vers l’intérieur de la niche ferromagnétique. On écrite la lois du flux magnétique (on considère que le conducteur a la longueur l ) :
(2.54) ∫ ∫Σ
μ==Φx
y ylHABx0
0 dd)(rr
Pour calculer l’intégrale du membre droite de la relation (2.54), il faut déterminer l’intensité du champ magnétique dans le tube de flux sur la portion de l’entréfer δ . Pour cela, on écrite la lois du circuit magnétique sur la curbe
yHΓ du tube de flux constante
∫
Γ
=+δ= ilHHlH FeFey
rrd (2.55)
mais si on néglige ( 0 ), on obtient la valeur de l’intensité du champ magnétique
FeH ≅FeH
yH
δ
=iH y (2.56)
Ainsi, en remplaçant dans la relation (2.54), la la valeur du flux magnétique est donnée par la relation
yH )(xΦ
∫ δμ
=δ
μ=Φx
xil
ylix0
00 d)( (2.57)
En remplaçant l’expression du flux )(xΦ dans la relation (2.53) et pui l’expression de l’énergie magnétique dans la relation (2.52), on obtient l’expression de la force électrodynamique :
19
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
δμ
=Φ
=l
ixxiF 02
21
d)(d
21 (2.58)
Remarque : Conformement à la relation (2.58), la force électrodynamique reste constante pendant le déplacement du conducteur dans la niche. En réalité, la force diminue au fur à mesure que le conducteur avance vers l’intérieur de la niche à cause du phenomène de la saturation magnétique. Pour éliminer cette inconveniant, on utilise une niche triangulaire dont l’entréfer diminue vers l’intérieur de la niche et ainsi on peut compenser d’autre part la diminution de la force causée par l’effet de la saturation magnétique.
δ
b2) Cas de la niche triangulaire
Pour calculer la force électrodynamique on utilise un modèle simplifié (fig. 2.22) obtenu dans les hypothèses simplificatrices suivantes :
- à l’intérieur de la niche, les lignes de l’induction magnétique sont parallèles et lignes droites ;
- la perméabilité magnétique de la niche ferromagnétique est considérée de valeur infinie, donc on néglige le champ magnétique dans le fer.
En supossant aussi que dans le cas de la niche rectangulaire (milieu linéaire) et en utilisant la méthode énergétique, la force électrodynamique est donnée par relation suivante :
mm WW =*
xi
xW
Fi
m
d(x)d
21
dd
cste
Φ==
=
(2.59)
Fig. 2.22 Modèle de la niche triangulaire
Pour calculer le flux magnétique )(xΦ , on considère un tube de flux constant d’epaisseur situé à la distance vers l’intérieur de la niche ferromagnétique. On écrite la lois du flux magnétique (on considère que le conducteur a la longueur l ) :
yd y
20
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
(2.60) ∫ ∫Σ
μ==Φx
y ylHABx0
0 dd)(rr
Pour calculer l’intégrale du membre droite de la relation (2.54), il faut déterminer l’intensité du champ magnétique dans le tube de flux sur la portion de l’entréfer δ . Pour cela, on écrite la lois du circuit magnétique sur la curbe
yHΓ du tube de flux constante
∫
Γ
=+δ= ilHHlH FeFeyy
rrd (2.61)
mais si on néglige ( 0 ), on obtient la valeur de l’intensité du champ magnétique
FeH ≅FeH
yH
y
yiHδ
= (2.62)
Si on considère la congruence des triangles et , on peut écrire la relation suivante :
ABV CDV
h
yhy −=
δ
δ
hyh
y)( −δ
=δ (2.63)
et l’intensité du champ magnétique s’écrite ainsi :
yh
hiH y −δ= (2.64)
En remplaçant l’expression de donnée par la relation (2.64) dans la relation (2.60) et en intégrant, on obtient le flux magnétique :
yH
xh
hilhyh
yilhx
x
−δμ
=−δ
μ=Φ ∫ lnd)( 0
0
0 (2.65)
En remplaçant l’expression de dans la relation (2.59) et en dérivant, on obtient : )(xΦ
xh
hliF−δ
μ= 202
1 (2.66)
On constate que si alors la force électrodynamique (théoriquement) mais dans la pratique la valeur de la force est finie à cause de l’effet de la saturation magnétique qui diminue la force.
hx → ∞→F
Si on considère la congruence des triangles et on peut écrire la relation suivante :
ABV EFV
h
xhx −=
δδ
⇒xxh
h−δδ
=−
(2.67)
21
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
En tenant compt de la relation (2.67) la relation (2.66) peut s’écrire ainsi :
x
liFδ
μ= 202
1 (2.68)
Les niches ferromagnétiques triangulaires sont utilisées à la construction des chambres de coupure pour les appareils de commutation de basse tension en courant alternatif. 2.5 Forces éléctrodynamiques entre conducteurs à section transversale finie 2.5.1 Force éléctrodynamique entre conducteurs parallèles à section circulaire On considère deux conducteurs parallèles de longueur l , ayant le diamètre r2 et la distance entre les axes des conducteurs qui sont parcourus par le courant i . a
Fig. 2.23 Conducteurs parallèles à section circulaire
On determine la force électrodynamique à l’aide du théoreme des forces généralisées dans le champ magnétique. On connaie que l’inductance du système de conducteurs présenté à la fig. 2.23 est :
F
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+μ
πμ
=r
ralL r ln2
220 [ H ] (2.69)
En utilisant la méthode énergétique on obtient :
ccti
m
ali
aLi
aW
F ϕ=== −
=
210dd
21
dd 272
raa
c −=ϕ [ N ] (2.70)
Remarque : La formule (2.70) est la même formule que pour les conducteurs filiformes mais corrigée avec le facteur qui tient compte de la contribution du champ magnétique intérieur des conducteurs.
1>ϕc
2.5.2 Force éléctrodynamique sur un conducteur à section circulaire en forme de L On considère un conducteur circulaire en forme de L parcouru par le courant i (fig. 2.24). Tout d’abord, on exprime la force électrodynamique élementaire entre les éléments et , considérés comme des circuits filiformes (en utilisant la formule de Laplace):
dxdy
22
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
(2.71) 12
2 ddd BxiFrr
×= où est l’induction magnétique crée par l’élément dy dans le point où se trouve l’élément .
12dBr
dx
Fig. 2.24 Conducteurs parallèles à section circulaire
L’induction magnétique est donnée par la formule de Biot-Savart ainsi : 12Bdr
37
12d10d
rryiB r
rrr ×= − (2.72)
En tenant compte que les relations peuvent être écrites sous forme scalaire ansi : xB rr
dd 12 ⊥
122 dd BidxF ⋅= 2
712
sin10r
dyidB β⋅= − (2.73)
La force électrodynamique élémentaire peuvent être écrite sous la forme scalaire suivante :
2272 sin10
rdydxiFd β
= − (2.74)
En tenant compte que
β= ctgxy ββ
−= dxdy 2sin
β=
sinxr (2.75)
la relation (2.74) devient :
23
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
ββ= − dx
dxiFd sin10 272 (2.76)
En intégrant l’équation (2.76) on obient la force électrodynamique sur l’élément de largeur en considérant l’élément 1 du conducteur de longueur infinie ( ):
F 2a ∞→h
∫ ∫π−
−− =ββ=a
r raid
xdxiF
0
2/
2727 ln10sin10 (2.77)
Si la dimension est finie alors la formule de calcul de la force devient : h F
( )( )22
2227 ln10
ahhrrhhaiF
++
++= − (2.78)
Si le conducteur est en forme de U (fig. 2.25) la relation de calcul pour la force sera la suivante :
F
( )( )22
2227 ln102
ahhrrhhaiF
++
++⋅= − (2.79)
Fig. 2.25 Conducteurs à section circulaire en forme de U
2.5.3 Forces éléctrodynamiques entre deux barres à section transversale rectangulaire On considère le cas des barres à section transversale rectangulaire ayant la distance entre les axes des barres , l’épaisseur b et l’hauteur . Les barres sont de longueur infinie mais on calcule la force sur une portion de longueur du conducteur 2. Les calculs sont
a hl
24
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
valable dans les hypothèses : et ab << hb << (on suposse aussi que la densité du courant est distribuée de façon uniforme sur la section transversale des barres). a) Cas des barres assises sur chant On considère deux barres à section transversale rectangulaire, assises sur chant (fig. 2.26), parcourues par les courants et . 1i 2i
Fig. 2.26 Barres assises sur chant
L’élément d’épaisseur dx est parcouru par le courant et l’élément d’épaisseur est parcouru par le courant . Tout d’abord on calcul la force electrodynamique entre les éléments et considérés comme des circuits filiphormes en utilisant la méthode de Laplace:
1di dy
2didx dy
rldidiFd r
210 2172 −= (2.80)
Les courants élémentaires et s’expriment ainsi : 1di 2di
hdxidi 11 =
hdyidi 22 = (2.81)
La force électrodynamique élémentaire se décompose en deux forces élémentaires
et sur les directions « a » et « h » respectivement. Les forces électrodynamiques élémentaires de type s’annulement reciproquement grace à la synetrie, tandis que les forces de type s’aditionement donnant une force résultante qui agisse sur les deux barres :
rFd 2
aFd 2hFd 2
hFd 2
aFd 2
25
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
ϕ=ϕ= − cos210cos 21722
rli
hdyi
hdxFdFd ra (2.82)
En tenant compte que et la relation (2.82) devient : ra /cos =ϕ 222 yar +=
222
2
2172 210
yadydx
ha
aliiFd a +
= − (2.83)
La force électrodynamique résultante entre les deux barres s’obtient en intégrant la relation ci-dessus :
aF
),(210210 2
2
217
0222
2
217 ha
ha
alii
yadydx
ha
aliiF c
h xh
xa ϕ=
+= −
−
−
− ∫ ∫ (2.84)
où le coefficient de correction est donné par la relation suivante : ),( hacϕ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=ϕ 2
2
2
2
1lnarctan2),(ah
ah
ah
hahac
Remarque. La relation (2.84) a la même forme que la relation de calcul pour des conducteurs filiformes et paralels sauf le fait que la relation (2.84) est multipliée par le coefficient de correction . ),( hacϕ b) Cas des barres assises sur la largeur On considère deux barres à section transversale rectangulaire, assises sur la largeur (fig. 2.27), parcourues par les courants et . 1i 2i
Fig. 2.27 Barres assises sur la largeur
L’élément est parcouru par le courant et l’élément dy est parcouru par le courant . Tout d’abord on calcul la force electrodynamique entre les éléments et dy considérés comme des circuits filiphormes en utilisant la méthode de Laplace:
dx 1di 2didx
26
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
rldidiFd 210 21
72 −= (2.85)
Les courants élémentaires et s’expriment ainsi : 1di 2di
bdxidi 11 =
bdyidi 22 = (2.86)
En tenant compte que et en remplaçant et dans la relation (2.85) par les valeurs données par les formules (2.86), on obtient :
yxar ++= 1 1di 2di
yxa
dydxb
liiFd++
= −
1221
72 210 (2.87)
En intégrant l’équation (2.87) d’après x et entre les limites de leur valeur, on obtient : y
∫∫ ϕ=++
= −−b
c
b
baalii
yxadydx
ba
aliiF
021
7
10221
7 ),(210210 (2.88)
où
∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
++=ϕ
bb
c ab
ab
ab
ab
ba
yxadydx
baba
02
102 1ln11ln1),( (2.89)
Dans le cas où les dimensions des cotés sont comparables, on utilise la formule :
cDaliiF ϕ= − 210 21
7 (2.90)
où est le coefficient de correction de Dwight qui est fonction du ratio cDϕ )/()( hbba +− ayant comme paramètre le ratio (fig. 2.28). hb /
27
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Fig. 2.28 Abaque de Dwight
2.54 Force électrodynamique de tendrement d’une spire circulaire Pour le calcul de la force électrodynamique dans ce cas on utilise la méthode énergétique. Pour calculer l’inductance de la spire on part de la formule de Bashenoff qui donne l’inductance d’un circuit plain :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ξμμ
+ϕ−π
μ=
42ln
2 0
0
rlSl
L (2.91)
où - le perimètre du circuit mesuré sur la courbe l Γ ; - la surface bornée par le conducteur ; S r - le rayon du conducteur ; - coefficient de contour (ϕ 8ln2 −=ϕ pour le cercle, 077.0=ϕ pour le rectangle, pour le triangle équilatéral) ; 3.016.0 ÷=ϕ
- coefficient qui tient compte de l’effet de peau, ξ )(κ=ξ f , 22
μωσ=κ
r .
Si on considère une spire circulaire en cuivre ( 0μ=μ ), en négligeant l’effet de peau ( ) et pour laquelle et on obtient, en remplaçant dans la formule (2.91), l’inductance d’une spire circulaire :
1=ξ Rl π= 2 2RS π=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −μ= 75.18ln0 r
RRL (2.92)
Fig. 2.29 Force de tendrement d’une spire
28
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
Tout d’abord on calcule la force électrodynamique sur l’unité de longueur de la spire (fig. 2.29) : Rf
ctei
mR dR
dWR
f=π
=2
1 2
21 LiWm =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −μ
π= − 75.08ln1075.18ln
21
21 2
720 r
RRii
rRR
dRd
Rf R (2.93)
La force se décompose en deux composants et . Les composants de type
s’annulent réciproquement grace à la symetrie tandis que les composants de type s’additione pour équilibrer les deux forces de traction (forces tangentielle) qui remplace les forces internes de la spire si on coupe la spire d’après l’axe :
Rf xRf yRf
yRf xRf
TFy
∫∫∫π
π−
π
π−
π
π−
=ϕϕ=ϕϕ==2/
2/
2/
2/
2/
2/
2coscos2 RRRxRT RfdfRRdfdlfF
La force électrodynamique de tendrement d’une spire circulaire parcouru par le courant i , en tenant compte de la relation (2.93), est :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −== − 75.08ln10 27
RRiRfF RT (2.94)
La relation (2.94) peut être appliquée avec aproximation dans le cas des bobines cylindriques. Dans ce cas , où est le nombre de spires de la bobine et est le courant par la bobine.
0nii = n 0i
Pour calculer la force électrodynamique d’intéraction entre deux spires circulaires parcourues par les courants et , dans le même sens, (ayant les diamètres égaux) il est nécessaire de conaître l’inductance mutuelle :
1i 2i
x
MiiF∂∂
= 21 (2.95)
Fig. 2.30 Force axiale entre deux spires
En connaissant l’expression de l’inductance mutuelle entre les deux spires
29
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −μ= 28ln0 x
RRM (2.96)
on obtient ainsi la force électrodynamique d’interaction entre les deux spires :
xRiiF 210μ−= (2.97)
Le signe (-) signifie que lorsque la distance x augmente, l’inductance mutuelle diminue. La force électrodynamique est d’atraction ou de repulsion en fonction du sense des courants par les deux spires. 2.6 Force électrodynamique axiale aux conducteurs à section variable On considère un conducteur à section variable (fig. 2.31) où la densité de courant est reparti uniformement sur la section transversale du conducteur. On considère sur la ligne de la densité de courant un élément . Il faut trouver l’intensité du champ magnétique au milieu de l’élement dl . Pour cela on considère le cercle de rayon
di dlx et on ecrit la lois du
circuit magnétique sur la courbe définie par le cercle de rayon Γ x .
xildH =∫Γ
rr ⇒
22
1
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅==π⋅
Rzi
xxiixH xx xx HB 0μ= (2.98)
Fig. 2.31 Conducteur à section variable
La force électrodynamique sur l’élément ldr
qui est Fdr
2 peut être décomposée en deux composantes, xFd
r2 sur la direction x (en fait sur la direction du rayon r ) et yFd
r2 sur
30
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
la direction y : (2.99) yx FdFdFd
rrr222 += α= sin22 FdFd y α= cos22 FdFd x
La force élementaire Fd
r2 peut être calculée avec la relation de Laplace :
xx BlddiFd
rrrx2 = (2.100)
Parce que ldBx
rr⊥ la relation (2.100) peut être écrite ainsi :
xx BdldiFd ⋅⋅=2
Les forces élementaires de type s’annulent reciproquement à cause de la symmetrie tandis que les composantes de type s’aditionne en formant la résultante qui est la force électrodynamique axiale :
xFd 2
yFd 2yF
(2.101) α⋅⋅⋅= sin2
xxy BdldiFd En utilisant la relation (2.98) on obtient pour la relation suivante : xdi
2
2R
dzzidix =
et aussi, en tenant compte que α= cos/dydl et yxtg /=α et en remplaçant dans la relation (2.101), on obtient :
4
3202
Rdzz
ydyi
Fd y πμ
= (2.102)
La force axiale résultante sera obtenue en intégrant la relation (2.102) :
abidzz
ydy
RiF
b
a
R
y ln10104 27
0
34
27 −− =⋅= ∫ ∫ (2.103)
En tenant compte que rR
ab= on obtient la formule de calcul de la force électrodynamique
axiale :
rRiFy ln10 27−= (2.104)
Remarque: La formule de calcul (2.104) est valable pour n’importe quelle variation de la section de passage de la petite section à la grande section du conducteur (fig. 2.32). Si on aproxime la section de passage avec un nombre fini de section ayant une variation linéaire
31
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
definie par les rayons , , … , . Si on applique la formule de calcul (2.104) pour chaque section à variation linéaire et on fait la somme, on obtient la formule de calcul de la force électrodynamique axiale pour une variation quelconque de la section de passage :
0r 1r 2r 1−nr nr
( )
rRi
rr
irrrrrri
rr
rr
rri
rr
iF
nnn
n
i n
n
i
i
ln10
ln10lnlnlnlnlnln10
lnlnln10ln10
27-
0
2711201
27-
1
0 11
2
0
127127
==−⋅⋅⋅+−+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⋅⋅++==
−−
−
= −
−+− ∑
(2.105)
On constate que la formule de calcul (2.105) est la même avec la formule (2.104) donc la variation de la section de passage n’a pas d’importance.
Fig. 2.32 Section de passage quelconque
Un cas typique de voie de courant à section variable est le contact électrique. La valeur de la force axiale est très important en cas de court-circuit. On considère l’exemple suivante : le courant de court-circuit et le ratio des rayons est . La force axiale de repulsion en contact est :
kA 50=scI 2/ erR =
N 1000ln)10502(10ln10 2237max
27 =⋅⋅⋅⋅== −− erRiF
2. 7 Forces électrodynamiques dans les installations de courant alternatif 2.7.1 Forces électrodynamiques dans les installations monophasée
32
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
Ces forces électrodynamique apparaissent dans le transport et la distribution d’énergie électrique monophasée à deux conducteurs et aussi en triphasé quand on a un court-circuit entre deux conducteurs.
a) Cas du régime permanent L’expression du courant de court-circuit stabilisé est la suivante : (2.106) )sin(ˆ)( tIti ω=
La force électrodynamique est :
( ) vc FFtCItICtICCiF ±=ω−=ω−
=ω== )2cos(12
)2cos(1)2()(sinˆ 22222 (2.107)
2CIFc = )2cos(2 tCIFv ω= 0min =F 2
max 2CIF =
Fig. 2.33 Force électrodynamique dans une installation monophasée en régime permanent
b) Cas du régime transitoire L’expression du courant de court-circuit dans ce cas est :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α+α−ω= τ
−)sin()sin(ˆ)(
t
etIti (2.108)
La force électrodynamique s’écrit ainsi :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡αα−ω+α+α−ω
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α+α−ω==
τ−
τ−
τ−
)sin()sin(2)(sin)(sinˆ
)sin()sin(ˆ)(
22
22
2
22
tt
t
etetIC
etICtCiF (2.109)
33
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Le graphique de est présenté à la figure 2.34. On constate que pendant le régime transitoire il y a des pics (valeurs maximales) qui diminiue et des pics (valeurs minimales) qui augmente. En régime stabilisé de court-circuit les deux valeurs devient égales, qui correspondent au régime permanent.
)(tF
La valeur maximale de la force est obtenue lorsque le courant de court-circuit atteint la valeur du courant de choc :
( ) ( ) 22222max 224.348.68.122 CICIICIkCCiF yy ⋅==⋅⋅=== (2.110)
En régime transitoare la force maximale augmente de fois par rapport au régime permanent.
24.3
Fig. 2.34 Force électrodynamique dans une installation monophasée en régime transitoire
2.7.2 Forces électrodynamiques en installations triphasées
a) Cas du régime permanent On considère trois conducteurs assis en ligne (fig. 2.35) et parcourus par les courants :
)sin(ˆ1 tIi ω= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ω=3
2sinˆ2 tIi ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω=3
2sinˆ3 tIi (2.111)
Fig. 2.35 Forces électrodynamiques dans une installation triphasée en régime permanent
La force électrodynamique sur le conducteur 1 est :
34
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
)( 3132121311321121312 iCiCiiiCiiCFFF +=+=+= (2.112) En remplaçant dans (2.112) les expressions des courants données par (2.111), on obtient :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ωω+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ωω=3
2sin)sin(3
2sin)sin(ˆ1312
2 ttCttCIF (2.113)
En utilisant la formule,
( ))cos()cos(21sinsin bababa +−−=⋅ (2.114)
on obtient :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ω−+
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ω−π
=
322cos
322cos
2
322cos
232cos
2322cos
232cos
2ˆ
131213122
131312122
tCtCCC
I
tCC
tCC
IF
(2.115)
44444444 344444444 2144 344 21
VC FF
ItCtCICC
F 21312
21312
322cos
322cos
2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+ω+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ω−+
−=
Le terme de la force variable peut être écrit comme VF )2cos( θ+ωtFV ansi que la force électrodynamique sur le conducteur 1 peut être écrite ainsi : )2cos( θ+ω+= tFFF VC (2.116) Si on représente sous forme vectorielle la relation (2.115) et en tenant compt de la relation (2.116) à l’instant on obtient (fig. 2.36) que la composante constante est représentée par le vecteur
0=tOP . La composante variable est représentée par le vecteur PA qui tourne avec la
vitesse angulaire . La projection du vecteur tournant ω2 PA sur l’axe Ox donne la valeur de la composante variable, le vecteur PM , à l’instant quelconque t . La valeur instantanée de la force résultante à l’instant quelconque t est représenté par le vecteur OM
35
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Fig. 2.36 Relativ à la représentation vectoriele de la force électrodynamique
La valeur du VF de la force variable est donnée par la relation suivante :
21312
213
212
21312
213
212 3
2cos2 ICCCCICCCCFV −+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
++= (2.117)
On constate que la valeur de la force maximale et de la force minimale est donnée par la relation :
VC FFF ±=minmax,21312
2I
CCFC
+= 2
13122
132
12 ICCCCFV −+= (2.118)
On sais que le coefficient de contour est : C
al
aalC c
1210 7 ≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ϕ= − ⇒ CC =12
213CC = (2.119)
Fig. 2.37 Relativ à la force minimale et maximale
2222
2
minmax 2
343
2422 CIICCC
CCF ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+±+
= (2.120)
2
max 615.1 CIF = 2min 115.0 CIF −=
Si le conducteur 1 est placé au millieu (fig. 2.38) on a : CC =12 CCC −=−= 1213
36
Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
22222
minmax 3
2CIICCCCCF ±=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++±
−= (2.121)
Fig. 2.38 Force électrodynamique sur le conducteur situé au millieu
Le graphique des forces électrodynamiques auquelles sont soumis les trois conducteurs est présenté à la figure 2.39. On constate que la force maximale est sur le conducteur central ( 23CI ). Sur le conducteur lateral la force maximale ( ) est de repulsion tandis que la force minimale est d’attraction. Le conducteur central est sollicité de façon symetrique tandis que le conducteur lateral est sollicité nonsymetrique.
2615.1 CI
Fig. 2.39 Forces électrodynamiques en régime permanent en triphasé
b) Cas du régime transitoire
37
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
Dans ce cas nous allons calculer la force électrodynamique sur le conducteur le plus sollicité c'est-à-dire sur le conducteur central. L’expressions des courants, en régime transitoire, sur les trois phases sont :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α+α−ω= τ
−
)sin()sin(ˆ1
t
etIi
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π−α+
π+α−ω= τ
−
)3
2sin()3
2sin(ˆ2
t
etIi (2.122)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π+α+
π−α−ω= τ
−
)3
2sin()3
2sin(ˆ3
t
etIi
Le graphique des forces électrodynamique en régime transitoire sur les trois conducteurs est présenté à la fig. 2.40.
Fig. 2.40 Forces électrodynamiques en régime transitoire en triphasé
La force électrodynamique sur le conducteur central (fig. 2.40) est :
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Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π+α−
π−α−ω−
π−α+
π+α−ω
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α+α−ω=−=−=
τ−
τ−
τ−
)3
2sin()3
2sin()3
2sin()3
2sin(
)sin()sin(ˆ232131211
tt
t
etet
etICiiCiiCiiCiF
On applique la formule de transformation :
2
cos2
sin2)sin()sin( bababa +−=−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡αα−αα−ω+αα−ω−α−ωα−ω
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α−α−ω⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡α+α−ω
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α
π−⋅+α−ω
π⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α+α−ω=
τ−
τ−
τ−
τ−
τ−
τ−
τ−
)cos()sin()sin()cos()cos()sin()cos()sin(
ˆ3)cos()cos()sin()sin(ˆ3
)cos()3
2sin(2)cos(3
2sin2)sin()sin(ˆ
2
22
21
ttt
tt
tt
etetett
ICetetIC
etetICF
En utilisant la formule de transformation de type, )cos()sin(2)2sin( aaa = la relation ci-dessus devient :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α−α−ω−α−ω= τ
−τ−
)2sin()2sin(2))(2sin(32
21
tt
etetCIF (2.123)
Pour evaluer la valeur maximale de la relation (2.123) on utilise la propriété du modul (le modul d’une somme est inferieur ou égal avec la somme des modules) :
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α−+α−ω−+α−ω≤ τ
−τ−
)2sin()2sin(2))(2sin(32
21
tt
etetCIF (2.124)
Parce que 1)sin( ≤a et 8.0=τ−t
e pour un réseau standard, on obtient : [ ] [ ] 2222
1 6.524.338.08.0213 CICICIF =⋅⋅=+⋅+≤ (2.125) [ ] 2
1 6.5 CIF ≤ 2.8 Stabilité électrodynamique des équipements électriques. Résonance des barres
39
EQUIPEMENTS ELECTRIQUES
La stabilité électrodynamique est definie comme étant la capacité de l’équipement électrique de fair face aux effets mécanique provoquées par le courant de court-circuit. La stabilité électrodynamique est mesurée par le courant limite dynamique- qui est le plus grand valeur de crête qui peut être suportée par l’équipement à l’état fermé sans soufrir des deformations permanentes ou des dégats mécanique et sans se souder les contacts. Pour une même valeur du courant de court-circuit et la même distance entre conducteurs les forces électrodynamique les plus grandes sont obtenues dans le cas du court-circuit monophasé : (2.126) 2
1 48.6 CIF = Pour le court-circuit triphasé avec les conducteurs assis en ligne la force est : (2.127) 2
3 6.5 CIF = Dans les systèmes avec le neutre mis à la terre, le courant de court-circuit monophasé est égale avec le courant de court-circuit triphasé :
ff I
ZU
ZUII ====331 (2.128)
Dans les systèmes avec le neutre isolé, le courant de court-circuit biphasé est :
ff I
ZU
ZUI
23
23
22 === (2.129)
Pour un court-circuit biphasé la force électrodynamique maximale est : (2.130) 2
2 85.4 CIF = Remarque : Pour les système avec mise à la there le court-circuit monophasé est le plus dangereux et pour les système sans mise à la there le court-circuit triphasé est le plus dangereux. La resistance mécanique du matériau du conducteur dépand du sens de l’intensité de la force et de la durée d’action de celle-ci. L’effort produit par les forces électrodynamiques dans le conducteur ne doit pas dépasser l’effort unitaire admissible ( ) prévu dans les normes pour differents types de matériau. Par exemple pour l’aluminium
et pour cuivre . La relation qui fait la liaison entre l’effort unitaire effective et la force électrodynamique est :
aσ
24 N/m 106867 ⋅=σ Ala24 N/m 1013734 ⋅=σ Cua
kW
lf 2
=σ (2.131)
où - est la force électrodynamique sur l’unité de longueur, - la distance entre les supports de la barre, - un coefficient qui tient compte du mode d’appui sur le support (exemple pour les barres encastré sur les supports), W - le modul de ressistance de la barre.
lFf /= lk
10=k
Les forces électrodynamique peuvent s’amplifier à la resonance et elle peuvent augmenter jusqu'à 4 – 5 fois. Les fréquences propres des barres sont données par la formule :
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Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES
mEJ
lk
f ii 2
2
2π= (2.132)
où - coefficient qui tient compt du mode d’appui sur le support, - la distance entre les supports,
ik lE - le modul de Young, - le moment d’inertie, - la masse. J m
Pour eviter la resonance il faut eviter que le ratio entre la fréquence propre fondamentale et la fréquence industrielle ( ) ne soient pas dans l’interval ( ). Hz 50 46.0 ⋅⋅⋅
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