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CHAPITRE 5
LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE
5.1 FONCTION PARTIE ENTIÈRE DE BASE ET CANONIQUE
Fonction partie entière de base : f (x) = [x] où [x] =
Exemples : Déterminez la valeur de ces expressions.
a) [0,8]= b)[
]= c)2[3,3]- 3= d) -2[
]+1=
Fonction partie entière de forme canonique :
f (x) = a[b(x - h)] + k
5.2 RÔLE DES PARAMÈTRES « a » et « b »
x si x
le plus grand entier < x si x
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5.3 PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE
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Les propriétés de la fonction partie entière
PROPRIÉTÉ FONCTION SOUS
FORME CANONIQUE EXEMPLE
f(x) = a[b(x h)] + k f(x) = –2[0,5(x + 3)] + 4
(–3, 4)
1) Coordonnées
d’une extrémité fermée
d’un palier (h, k)
2) Domaine (dom f) dom f = (ou selon le contexte) dom f =
3) Image (ima f) ima f = k + a n, où n ima f = 4 + –2n, où n
ima f = …, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, …
4) Variation :
Croissance et
décroissance
• Si les paramètres a et b sont
de même signe (ou si ab > 0), alors
la fonction est croissante sur son
domaine.
• Si les paramètres a et b sont
de signes contraires (ou bien
ab < 0), alors la fonction est
décroissante sur son domaine.
Puisque (–2)(0,5) < 0, alors la fonction f est
décroissante sur
tous les nombres réels ( ).
5) Zéros de
la fonction f
S’ils existent, ce sont les valeurs de x
pour lesquelles f(x) = 0.
Les zéros sont dans l’intervalle
[1, 3[.
6) Ordonnée
à l’origine
C’est la valeur de f(0). f(0) = –2[0,5(0 + 3)] + 4
f(0) = –2[1,5] + 4
f(0) = –2(1) + 4
f(0) = 2
La valeur peut généralement être
lue sur le graphique.
7) Signe de
la fonction f
Selon l’équation de la fonction. La fonction f est :
• positive sur l’intervalle ]–, 3] ;
• négative sur l’intervalle [1, +[.
8) Extremums Aucun extremum, à moins que
le domaine soit limité par le contexte.
Selon la situation. Dans ce cas-ci, il n’y a
pas d’extremum.
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Exemples 2 et 3 :
PROPRIÉTÉ f(x) = –2[0,5(x – 0,5)] + 3 g(x) = –2 + 3[x + 1]
Graphique
Coordonnées
d’une extrémité
fermée d’un palier
Domaine
Image
Croissance et
décroissance
Zéros de
la fonction
Ordonnée
à l’origine
Signe de
la fonction
Extremums
Longueur du palier (marche)=
Distance entre 2 paliers(contremarche)=
Longueur du palier (marche)=
Distance entre 2 paliers(contremarche)=
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5.4 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS IMPLIQUANT UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE
Exemple 1 : Méthode algébrique pour déterminer les zéros de la fonction lorsqu’ils existent c'est-
à-dire lorsque le paramètre k est un multiple de a.
f (x) = ─2[3(x ─ 1)] + 4
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Exemple 2 : Résolvez 5 +
[
(x ─ 4)] = 6
Exemple 3 : Résolvez [
(x + 2)] + 4 = 5
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Exemple 4 : Déterminez le point ou les points d’intersections de ces 2 fonctions :
f(x) = [
(x ─ 4)] et g(x) = ─
x + 5
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Exemple 5 : Résolvez
[
(x ─ 10)] ─ 3 =
x + 2
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5.5 RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS IMPLIQUANT UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE
Exemple 1 : Méthode algébrique pour déterminer le signe de la fonction.
f(x) = [
(x ─ 5)] ─ 4
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Exemple 2 : Résolvez
[ (x + 3)] + 5 ≥ ─ 1
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Exemple 3 : Résolvez 3 [ (x ─ 5)] ─ 4 < 4
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5.6 RECHERCHE DE L’ÉQUATION D’UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE
Pour trouver l’équation sous forme canonique définissant une fonction de partie entière, il faut
connaître certaines informations parmi les suivantes :
- les coordonnées d’une extrémité fermée d’un palier ou marche (valeurs de h et k);
- la distance verticale entre deux paliers consécutifs, la hauteur de la contremarche
( valeur du paramètre a);
- la longueur de chaque palier ou marche (valeur du paramètre b);
- si la fonction est croissante ou décroissante (signe des paramètres a et b);
- l’ordre des points fermés et ouvert de chaque palier ou marche (signe du paramètre b)
- un ou deux points faisant partie de la fonction.
Exemple 1 : Déterminez l’équation canonique de la fonction partie entière ayant ses zéros dans
l’intervalle ]–1, 2], qui est décroissante et pour laquelle f(4,5) = –2.
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Exemple 2 : Déterminez l’équation canonique de cette fonction partie entière.
Exemple 3 : Déterminez l’équation canonique de la fonction partie entière ayant un palier correspondant
à l’intervalle ]0; 0,5] et pour laquelle f(1) = –1 et f(1,5) = –2,5 .
__________________________________________________________________________________________________ MATH 064506-TS 98 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC
5.7 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES IMPLIQUANT UNE FONCTION PARTIE ENTIÈRE
Exemple 1 : Un vendeur reçoit un salaire de base hebdomadaire de 150$ et une prime de 50$
pour chaque tranche complète de 1000$ de ventes effectuées dans la semaine.
a) Trouvez l’équation de cette fonction partie entière.
b) S’il réalise 12 480$ de ventes durant une semaine, quel sera son salaire?
c) Pour quel montant des ventes, le vendeur recevra-t-il un salaire de 1000$?
d) Est-il possible que le vendeur reçoive un salaire de 825$?
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Exemple 2 : Dans un stationnement, le tarif à payer est calculé ainsi : un coût minimum de 2$
comprenant la durée du stationnement inférieure à 30 minutes. Par la suite 1,50$ de plus par
tranche de 30 minutes non complétée.
a) Trouvez l’équation de cette fonction partie entière.
b) Quel est le coût pour 8h30 de stationnement?
c) Quelle est la durée de stationnement qui correspond à un tarif de 8$?
d) Quelle est la durée de stationnement qui correspond à un tarif de 10$?
__________________________________________________________________________________________________ MATH 064506-TS 100 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC
Exemple 3 : Dans un centre de villégiature, le coût de location d’un canot est de 12$ pour les deux
premières heures et de 8$ pour chaque deux heures ou fraction de deux heures additionnelle.
a) Trouvez l’équation de cette fonction partie entière.
b) Quel est le coût pour 7h15 de location?
c) Quelle est la durée d’une location qui correspond à un coût de 44$?
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Exemple 4 : Olivier veut concevoir un jardin rectangulaire sur son terrain. La largeur du jardin sera
de 2,5 m, mais la longueur reste à déterminer. Olivier estime qu’un sac de terre devrait être suffisant pour
couvrir une surface de 3 m2 et il ne veut pas acheter plus de 10 sacs pour son jardin. Déterminez la
longueur que pourrait avoir le jardin si Olivier se sert de 10 sacs de terre exactement.
Exemple 5: Anna, qui est pâtissière, confectionne au moins 60 gâteaux par semaine. La préparation
de chaque gâteau nécessite 400 g de farine, qu’Anna achète en sacs de 2 kg. Un ami lui fait remarquer qu’en
achetant des sacs de 5 kg elle économiserait au moins 30 $ par semaine. Que pensez-vous de cette
affirmation, sachant qu’un sac de 2 kg de farine coûte 3 $ alors qu’un sac de 5 kg coûte 5,50 $ ?