ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 1240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Chapter 3
Modelling in the Frequency Domain
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 2240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Introduction
Signals and systems Transfer functionDeveloping a mathematical model by
apply the fundamental physical laws of science end engineering in frequency domain
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 3240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Introduction to Signals and Systems
Signal Taxonomy
1 Deterministic signal x(t) = sin(t), x(t)=, x(t)=t 2 Random signalCausal system – physical signal generator is turned on at time t=0 then the produced causal signal y(t) satisfies.
y t ={x t for t≥00 for t06
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 4240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Continuous-Time Signals
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 5240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Discrete -Time Signals
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 6240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Element signals
Unit step functions
u t ={0 for t01 for t≥06
u kT s=u k ={0 for k01 for k≥06
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 7240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Unit impulse, Dirac impulse
t =du t
dtu t =∫−∞
td
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 8240-371 : Modelling in the Frequency Domain
1.∫−∞
∞d =1
2. limt 0
t =∞
3.t =0 for t≠04.t =−t
Properties of Dirac
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 9240-371 : Modelling in the Frequency Domain
∫−∞
∞x t t−t 0dt=∫−∞
∞x t 0t−t 0dt=x t 0
Sampling property
Kronecker delta function
kT s=k ={0 if k ≠01 for k =06
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 10240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Property of discrete-time impulse
1. ∑k=−∞
∞
K[k ]=1
2.K[k ]=
K[−k ]
Sampling property of discrete-time impulse function
∑k=−∞
∞
x [k ]K[k−k 0]= ∑
k=−∞
∞
x [k 0]K [k−k 0]=x [k 0]
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 11240-371 : Modelling in the Frequency Domain
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 12240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Rectangular Pulse
rect t={1 if ∣t ∣ / 20 otherwise 6
rect k
K ={1 if ∣k ∣K /20 otherwise 6
Continuous-time
Discrete-time
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 13240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Triangular Pulse
Continuous-time
Discrete-time
tri t={1−∣ t∣ if ∣t ∣
0 otherwise6
tri k
K={1−∣ kK ∣ if ∣k ∣K
0 otherwise6
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 14240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Ramp function
ramp t
T ={ t
Tif 0≤t T
0 otherwise6
ramp k
K={ k
Kif 0≤k K
0 otherwise6
Continuous-time
Discrete-time
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 15240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Complexe causal exponentials
x t =Ae tu t
x k = A e k T
s u k
= j
ej t
=cos t j sin t
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 16240-371 : Modelling in the Frequency Domain
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 17240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Linear system
Y(t) = (Sx)(t)
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 18240-371 : Modelling in the Frequency Domain
S a n x n ... a 1 x 1 t = S a n x n t ...Sa 1 x 1 t
= a n S x n t ... a 1 S x 1 t
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 19240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Cascaded interconnections
Subsystem Subsystem Subsystemr t
Inputc t
Output
- Input (Reference input)- Output (Controlled variable)
r t
c t
SystemInput Output
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 20240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Laplace Transform
For solving linear differential equations by convert to complex plane.
s = σ + jω s = complex variable σ = real part ω = imaginary part
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 21240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Definition
Laplace Transform
Inverse Laplace Transform
L [f t ]=F s=∫0∞f t e−st
dt
L−1[F s ]=
12 j
∫− j ∞
− j ∞F s e st
ds
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 22240-371 : Modelling in the Frequency Domain
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 23240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Inverse Laplace TransformPartial-function expansion
1 Roots of the Denominator of F(s) are Real and distinct
F s =N s
D s
=N s
a n sna n−1 s
n−1...a 0
=N s
sP 1 sP 2 ... sP m sP n
=K 1
s p 1
K 2
s p 2
...K m
s p m
K n
s p n
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 24240-371 : Modelling in the Frequency Domain
F s =N s
s p 1 s p 2 ... s p m s p n
=K 1
s p 1
K 2
s p 2
...K m
s p m
...K n
s p n
s p m F s = s p m K 1
s p 1
s p m K 2
s p 2
K m s p m K n
s p n
K m=N p m
− p m p 1 − p m p 2 ... − p m p n
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 25240-371 : Modelling in the Frequency Domain
F s =1
s1 s 2 s4
=K 1
s 1
K 2
s 2
K 3
s 4
K 1=1
−1 2 −1 4 =
13
K 2=1
− 2 1 − 2 4 =
12
K 3=1
−4 1 −4 42=
16
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 26240-371 : Modelling in the Frequency Domain
F s =1 /3
s1
1 /2 s 2
1 /6
s4
f t =13e
− t
12e
−2t
16e
− 4t
F s =N s
D s
=N s
s p 1r s p 2 ... s p n
2. Root of the Denominator of F(s) are real and repeated
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 27240-371 : Modelling in the Frequency Domain
=K 1
s p 1 r
K 2
s p 1 r − 1
...K r
s p 1
K r 1
s p 2 ...
K n
s p n
F s =N s
s p 1r s p 2 ... s p n
= K 1 s p 1 K 2 s p 12 K 3 ... s p 1
r −1 K r
s p 1r K r 1
s p 2 ...
s p 1r K n
s p n
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 28240-371 : Modelling in the Frequency Domain
K i=[ 1 i −1 !
di−1F s
dsi−1 ]
s p1
F s =2
s 1 s 22
F s =K 1
s 2 2
K 2
s 2
K 3
s 1
s22คูณดวย2
s 1= K 1 s 2 K 2
s 2 2 K 3
s 1
Example
i = 1, 2, ..., r 0! = 1
K 1=−2
........ (1)
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 29240-371 : Modelling in the Frequency Domain
− 2 s 1 2
= K 2− [ s 1 2 s 2 K 3]− s 2 2 K 3
s 1 2
=K 2 s2K 3[2 s1− s2]
s12
− 2 s 12
=K 2s s 2 K 3
s 12
K2=−2
First derivative of (1)
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 30240-371 : Modelling in the Frequency Domain
F s =−2
s 22
−2s 2
2
s1
2 s 22
= s 1 K 1
S 22
s 1 K 2
s 2K 3
K 3=2
f t =−2te−2t
− 2 e −2t 2 e −t
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 31240-371 : Modelling in the Frequency Domain
F s =N s
D s
=N s
s p 1 s2 asb ...
=K1
s p 1
K 2 s K 3
s2 asb
...
s2 asb
2. Root of the Denominator of F(s) are complex
- complex or imaginary
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 32240-371 : Modelling in the Frequency Domain
F s =3
s s22s5
3s s
22s5
=K 1
sK 2 sK 3
s22s5
K 1=35
s s22s5 คูณดวย
3= s2 s 5 K 1 K 2 s
2 K 3 s
= K 1 K 2 s2 2K 1 K 3 s 5K 1
Example
และจัดสมการใหม
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 33240-371 : Modelling in the Frequency Domain
3=K 235 s
2K 3
65 s 3
K 235=0 K 3
65=0
K 2=−35
K 3=−65
F s =3
s s22s5
=3 /55
−35
s2s
22s5
แทนคา K1
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 34240-371 : Modelling in the Frequency Domain
L [Ae− t cos t ]= A s a
s a 22
L [Be−at sin t ]= B
s a 22
L [Ae−at cos t Be−at sin t ]= A sa B
sa 22
F s =3 /55
−35
s11 / 2 2 s12 22
f t =35−
35e
− tcos 2t 1
2sin 2t
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 35240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Advantages : rapidly provide stability and transient response information.
Disadvantages : Limited applicability to linear to linear, time invariant system or system that can be approximated as such.
Advantages and Disadvantages
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 36240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Transfer function
a n
dnc t
d tn
a n − 1d
n − 1c t
d tn − 1
⋯ a 0 c t
= b m
dmr t
dtm
b m − 1d
m − 1r t
dtm − 1
⋯ b 0 r t
an snC s...a0C s=bms
mR s...b0R s
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 37240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Transfer function
C s
R s =G s =
b m smb m−1 s
m−1⋯b 0
a n sn a n−1 s
n−1⋯ a 0
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 38240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Electric Network Transfer Functions
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 39240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Electric Network Transfer Functions
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 40240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Electric Network Transfer Functions
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 41240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Block Diagram of Series RLC Network
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 42240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Block Diagram of Series RLC Network
Cs
CLs2 RCs 1
V(s) I(s)
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 43240-371 : Modelling in the Frequency Domain
1. Replace passive element values with their impedances.2. Replace all sources and time variables with their Laplace Transform3. Assume a transform current and a current direction in each mesh.4. Write Kirchhoff’s voltage law around the output.5. Solve the simultaneous equations for the output.6. Form the Transfer function.
Complex Circuits via Mesh Analysis
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 44240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Complex Circuits via Mesh Analysis
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 45240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Translational Mechanical System Transfer Functions
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 46240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Translational Mechanical System Transfer Functions
a. Mass, spring, and damper systemb. block diagram
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 47240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Rotational Mechanical System Transfer Functions
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 48240-371 : Modelling in the Frequency Domain
a. Physical systemb. schematicc. block diagram
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 49240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Transfer Functions for Systems with Gears
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 50240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Transfer Functions for Systems with Gears
a. angular displacement inlossless gears.b. torque in lossless gears.
ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 51240-371 : Modelling in the Frequency Domain
Electromechanical System Transfer Functions
DC motor : a. schematic; b. block diagram