Cinemática Relativística em Física de Partículas
Cinemática Relativística
ProfessoresSandro Fonseca de SouzaDilson de Jesus Damião
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Sumário! Motivações! Transformações de Lorentz! Sistemas de referência para processos de
colisão em FAE! Variáveis cinemáticas! Variáveis de Mandelstam! Seção de Choque ! Espaço de Fase! Resultados da Seção de Choque Exp.
2Cinemática Relativística
Bibliografia Sugerida! E. Byckling and K. Kajantie - Particle
Kinematics, March 1971, Finland.! R. Hagedorn - Relativistic Kinematics: A
guide to the Kinematic problems of High Energy Physics
! S. Novaes - Cinemática Relativística, UNESP-SP, Brasil
3Cinemática Relativística
Motivações! Introdução dos princípios básicos, aplicações
práticas e métodos conhecidos dos aspectos da FAE que são baseados puramente na cinemática.
! Cinemática pode ser definida como “a geometria do movimento”
! Cinemática relativística é uma aplicação da relatividade especial para reações com partículas elementares.
4Cinemática Relativística
Motivações
! Do ponto de vista da puramente cinemático, partículas são completamente caracterizados por suas energias e momentum (ex. seus quadrimomentum p);
! As reações de partículas observáveis são por tanto os decaimentos ou colisões;
! Os números quânticos internos são irrelevantes para a cinemática das partículas elementares.
5Cinemática Relativística
๏ Considerando um ponto A no espaço tempo onde:‣S pode ser descrito (x,y,z,t)‣e S’ (em movimento) pode ser
descrito (x’,y',z',t')(1) Considerando que o sistema S’
se move com uma velocidade constante v ao longo do eixo x
Transformações de Lorentz
6Cinemática Relativística
x
0 = �(x� vt)y0 = y
t
0 = �(t� vx)z0 = z
A
SS v
S ) S0 S0 ) S
x = �(x0 + vt)
t = �(t0 + vt)
y = y0
z = z0
c = 1
� =1p
1� v2fator de Lorentz
S’
vx
= |v| = v
p|| = p
x
= pcos#
๏ Considerando o quadi-momemtum ‣ S pode ser descrito
‣ e S’ (em movimento) pode ser:
Transformações de Lorentz
7Cinemática Relativística
A
SS v
c = 1
� =1p
1� v2fator de Lorentz
p ⌘ (E, p) = (E, px
, py
, pz
)
p0 ⌘ (E0, p0) = (E, p0x
, p0y
, p0z
)
‣ As transformações de Lorentz para o quadri-momentum são:
S’
p0
x
= �(px
� vE)
E0 = �(E � vpx
)p0
z = pz
p0y = py
vx
= |v| = v
S ) S0� =1p
1� v2fator de Lorentz
y
x
z
p||
p?
p
p = (px
, p
y
, p
z
) = |p|(sen✓cos�, sen✓sen�, cos✓)
✓
�p? =
qp2
y + p2z
✓
Noções e Convenções
c = ~ = 1
x
⌫ = (x0, x
1, x
2, x
3) = (t, ~x) = (t, x, y, z)
E = �mp = ��m
pµ = (p0, p1, p2, p3) = (E, ~p) = (E, ~pT
, pz
) = (E, px
, py
, pz
)
a.b = a0b0 � ~a.~b
Unidades Naturais
Coordenadas Espaço-TempoVetor contravariante
Momentum e Energia Relativística
Vetor quadrimomentum
Momentum escalar de dois quadrivetores a e b
Relação entre energia e momentum E2 = p2 +m2
m = massa de repouso
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� =pE
� = (1� �2)�1/2 = E/mVelocidade da partícula:
p2 = pµpµ = E2 � |p2| = m2
Exercício 0 : Quando um píon decai um dois fótons, qual a energia do fóton?
Sistemas de coordenadas
Na descrição destas colisões, dois sistemas de referência são usualmente utilizados:
• Sistema de Centro de Massa (CM): é o sistema onde:
~pa + ~pb = 0
Consideremos a colisão de duas partículas de quadrimomentum
(Ea, ~pa) (Eb, ~pb)
• Sistema de Laboratório (LAB): é o sistema no qual são feitas as medidas.• Em experimentos de alvo fixo este sistema coincide com o
sistema do alvo, onde uma das partículas encontra-se em repouso (e.g. b):
• Nos experimentos de anéis de colisão, onde feixes de partículas idênticas colidem em direções opostas, este sistema coincide com o CM.
~pb = 0
9
Sistemas de coordenadas
10
A energia total da colisão como sendo:
ET =ps =
qm2
1 +m22 + 2Elab
1 m2
Exercício 1: Prove a equação acima.
Sistema de Laboratório (LAB)
Exercício 2: Considerando
ET ⇡ps ⇡
q2Elab
1 m2
Elab1 � m1,m2
Prove está aproximação;
Experimento de Rutherford (1908)
Sistemas de coordenadas
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A energia total da colisão como sendo:
Exercício 3: Prove a equação acima.
Sistema de Centro de Massa (CM)
Prove está aproximação;
http://pdg.lbl.gov/2015/reviews/rpp2015-rev-kinematics.pdf
ET =p
s =q
m
21 + m
22 + 2E1E2(1� �1�2cos✓)
� =pE
ET =p
s = 2E1
p1 = �p2
m1 = m2
Exercício 4: Considerando
Sistemas de coordenadas
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A energia total da colisão como sendo:
Exercício 3: Prove a equação acima.
Sistema de Centro de Massa (CM)
Prove está aproximação;
http://pdg.lbl.gov/2015/reviews/rpp2015-rev-kinematics.pdf
ET =p
s =q
m
21 + m
22 + 2E1E2(1� �1�2cos✓)
� =pE
ET =p
s = 2E1
p1 = �p2
m1 = m2
Exercício 4: Considerando
Exercício 5: Um feixe de prótons com momentum de 100 GeV
atinge um alvo fixo de hidrogênio.
(a) Qual é a energia de centro de massa para está interação?
(b) Qual seria a energia do feixe necessária para atingir a
mesma energia do LHC?
(c) Quais os colisores assimétricos usados atualmente e por
que não usar um colisor mais potente?
Sistemas de coordenadas
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Comparando Colisores
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Comparando Colisores
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Exercício 5 a: Encontre
a energia de centro de
massa para o experimento de alvo fixo e um
colisor de partíc
ulas cujo o feixe de prótons tem
uma energia de 3,5 TeV.
Variáveis de Mandelstam
16Cinemática Relativística
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables
Em Física de Altas Energias seção de choque e razão de decaimentos são descritos por variáveis cinemáticas que são invariantes relativistísticos. Nos decaimentos de dois corpos existem de fato quatro invariantes disponíveis desde que a energia e momentum seja conservada de somente dois deles para definir a cinemática do evento.
http://www.physics.buffalo.edu/phy302/topic2/
Variáveis de Mandelstam
17Cinemática Relativística
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables
s = (p1 + p2)2 = (p01 + p0
2)2 = �(p1 + p2)(p0
1 + p02)
t = (p1 + p01)
2 = (p2 + p02)
2 = �(p1 + p01)(p2 + p0
2)
u = (p1 + p02)
2 = (p2 + p01)
2 = �(p1 + p02)(p2 + p0
1)
As variáveis de Mandelstam são invariantes de Lorentz em decaimentos de tipo 2->2
Variáveis de Mandelstam
18Cinemática Relativística
https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelstam_variables
s = (p1 + p2)2 = (p01 + p0
2)2 = �(p1 + p2)(p0
1 + p02)
t = (p1 + p01)
2 = (p2 + p02)
2 = �(p1 + p01)(p2 + p0
2)
u = (p1 + p02)
2 = (p2 + p01)
2 = �(p1 + p02)(p2 + p0
1)
As variáveis de Mandelstam são invariantes de Lorentz em decaimentos de tipo 2->2
Exercício 6 : Em espalhamento elástico do tipo: A+A =A+A, quais são as variáveis de Mandelstam?
s+ t+ u = m21 +m2
2 +M21 +M2
2
M21 M2
2
As variáveis de Mandelstam devem satisfazer a seguinte equação:
Exercício 7: Prove a relação acima.
http://physics.berkeley.edu/news-events/news/20160629/remembering-stanley-mandelstam-1928-2016
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Regiões do Espaço de Fase
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Regiões do Espaço de Fase
21Cinemática Relativística
Rapidez Transformação de Lorentz na direção do eixo Z. Exercício 8 : Mostre esta transformação.
22Cinemática Relativística
Rapidez Transformação de Lorentz na direção do eixo Z. Exercício 8 (a) : Mostre esta transformação abaixo.
23Cinemática Relativística
Rapidez Exercício 8 (aa): Mostre a dedução abaixo.
24Cinemática Relativística
Rapidez Exercício 8 (aaa): Mostre a dedução abaixo.
25Cinemática Relativística
Rapidez
26Cinemática Relativística
Rapidez
Decaimento de dois corpos
27Cinemática Relativística
Exercício 8 (b): Mostre em detalhes que o decaimento de dois corpos pode ser descrito por:
Exercício 9: Determine a energia e momentum para os seguinte decaimento de dois corpos
Decaimento de Três corpos
28Cinemática Relativística
Exercício 10: Prove o decaimento de 3 corpos.
Decaimento de Três corpos
29Cinemática Relativística
Exercício 10 (a) Prove o decaimento abaixo
Massa Invariante
30Cinemática Relativística
Exercício 11: Prove a equação abaixo
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_mass
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Energia Faltante Transversa • Se partículas invisíveis são criadas, apenas o seu momentum
transversal pode ser limitado: falta de energia transversa.
• Se uma partícula pesada é produzido e decai em duas partículas um dos quais é invisível, a massa da partícula principal pode ser restringida com a quantidade de massa transversa.
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Descoberta do W-> e + neutrino
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Descoberta do W-> e + neutrino
34Cinemática Relativística
Seção de Choque O conceito de seção de choque, como o nome sugere, corresponde a área afetiva de para uma colisão. A seção de choque de uma alvo esférico é definido por:
A unidade da seção de choque são dados em unidades de área, mas para espalhamento nuclear a área efetiva é da ordem da seção reta (secional) do núcleo. Por exemplo, para um núcleo de ouro de número de massa A = 197, o raio determinado pelo raio do núcleo é da ordem de 7 fermis.
35Cinemática Relativística
Seção de Choque de Espalhamento
Seção de choque de Rutherford
https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_section_(physics)
36Cinemática Relativística
Seção de choque é uma expressão da probabilidade de ocorrência de uma transição. A origem do termo devida do espalhamento nuclear onde núcleos apresentam uma área finita de uma partícula incidente.
Hoje em dia a ideia de uma área física é apenas uma analogia (pense partículas pontuais!) Embora secção transversal mantém dimensões [L2.]. A unidade da seção de choque é barn ( ~10-28 m2).
Seção de Choque em FAE
Imagine uma partícula em uma unidade de volume V que viaja através de objeto com uma velocidade v . O número de partículas que passam este alvo por unidade de tempo será v/L. O fluxo ( número de partículas por unidade de área) é v/LA ou v/V. Definimos uma unidade de volume a ser aquela que contém uma partícula, em seguida, o fluxo simplifica apenas a velocidade v
https://www.ippp.dur.ac.uk/~krauss/Lectures/QuarksLeptons/Basics/S_Matrix_3.html
37Cinemática Relativística
A razão de transição (razão de interação) é definida por:
Seção de Choque em FAE
https://en.wikipedia.org/wiki/Luminosity_(scattering_theory)
Experimento de alvo fixo
Colisores de Partículas
L = Luminosidade
https://home.cern/cern-people/opinion/2011/03/luminosity-why-dont-we-just-say-collision-rate
38Cinemática Relativística
Seção de Choque em FAE
https://en.wikipedia.org/wiki/Luminosity_(scattering_theory)
L = Luminosidade
https://home.cern/cern-people/opinion/2011/03/luminosity-why-dont-we-just-say-collision-rate
39Cinemática Relativística
Seção de Choque em FAE
https://en.wikipedia.org/wiki/Luminosity_(scattering_theory)
L = Luminosidade
https://home.cern/cern-people/opinion/2011/03/luminosity-why-dont-we-just-say-collision-rate
40Cinemática Relativística
Cinemática + Dinâmica https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%27s_golden_rule
Este é o número de estados disponíveis por unidade de energia no estado final.
41Cinemática Relativística
Cinemática + Dinâmica https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%27s_golden_rule
Este é o número de estados disponíveis por unidade de energia no estado final.
In quantum physics, Fermi's golden rule is a simple formula for the constant transition rate (probability of transition per unit time) from one energy eigenstate of a quantum system into other energy eigenstates in a continuum, effected by a perturbation. This rate is effectively constant.
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Regra de ouro de Fermi https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%27s_golden_rule
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Seção de choque pp
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Seção de choque no LHC
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Seção de choque diferencial do H→γγ para eventos inclusivos como função do pT do par de fótons.
Visualização de um candidato a Higgs em dois fótons.
Seção de choque do Higgs
Backup slides
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47Cinemática Relativística
Seção de Choque Seção de choque diferencial é a probabilidade de se observar uma partícula espalhada em um dado estado quântico por unidade de ângulo sólido, quando o alvo é atingido pelo fluxo de uma partícula por unidade de área.
Sistemas de coordenadas
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Transformações de Lorentz
49Cinemática Relativística
y
x
z'
#
yy0
x
x
0
z z0
SS0
v
p||
p?
p
p|| = p
x
= pcos#
p? =q
p2y + p2
z