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Modelos de Ecuaciones Simultáneas
Clase 9
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Modelo de oferta y demanda
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Modelo de oferta y demanda
1 2
1
2
2
Demanda:
Oferta:
( ) 0, var( )
( ) 0, var( )
cov( , ) 0
d
s
d d d
s s s
d s
Q P X e
Q P e
E e e
E e e
e e
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Modelo de oferta y demanda
Diagrama de influencia para dos modelos de regresión
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Modelo de oferta y demanda
Diagrama de influencia para un modelo de ecuaciones simultáneas
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Ecuaciones en forma reducida
1 1 2
2
1 1 1 1
1 1
s d
d s
P e P X e
e eP X
X v
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Ecuaciones en forma reducida
1
2
11 1 1 1
1 2 1 1
1 1 1 1
2 2
s
d s
s
d s
Q P e
e e
X e
e e X
X v
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El fallo de los MICO
• Los estimadores MICO para los parámetros en
un modelo de ecuaciones simultáneas son
sesgados porque existe correlación entre los
términos de error y las variables endógenas
colocadas al lado derecho de la ecuación.
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El problema de identificación
• En el modelo de oferta y demanda del slide 3:
– Los parámetros de la ecuación de demanda,
alpha1 y alpha2, no pueden ser estimados de
manera consistente por ningún método
– La pendiente de la ecuación de oferta, beta1,puede ser estimada de forma consistente
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El problema de identificación
El efecto de un cambio en el ingreso
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El problema de identificación
• Condición necesaria para la identificación: En un
sistema de M ecuaciones simultáneas, que de formaconjunta determinan los valores de M variablesendogenas, al menos M-1 variables deben estarausentes de una ecuación para que sea posible estimarlos parámetros de la ecuación.
• Cuando los parámetros se pueden estimar, se dice quela ecuación está identificada y sus parametros puedenser estimados de forma consistente.
• Si menos de M-1 variables son omitidas de la ecuación,
entonces se dice que está sub-identificada y susparámetros no pueden ser estimados de formaconsistente.
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Mínimo Cuadrados en Dos Etapas
• El procedimiento más usado para estimar los
parámetros de una ecuación estructural
identificada es el método de mínimo
cuadrados en dos etapas (2SLS)
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Mínimo Cuadrados en Dos Etapas
• Partiendo de la ecuación de oferta se sabe que no se
puede estimar usando MICO, porque el precio estácorrelacionado con los residuos. Pero se podría realizar la
siguiente transformación, usando la descomposición del
precio:
1 1 1
1 1
1 1 1
1 *
( )
s
s
P E P v X v
Q E P v e
E P v e
E P e
Nota: La variable explicativa es E(P)
la cual no es una variable aleatoria, por eso
se puede aplicar MICO y obtener un beta1
consistente
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Mínimo Cuadrados en Dos Etapas
• No se puede usar la variable en lugar de P
porque no se conoce el coeficiente pi1, pero se pudieracalcular usando el pi1 estimado de la ecuación de la
forma reducida de precios.
Nota: En muestras grandes, el precio estimado y el termino de errorno están correlacionados, por lo tanto, el beta1 estimado por MICO
es consistente.
Ese estimador de beta1 es el estimador mínimo cuadrados en dos
etapas.
1 E P X
1
1 *
ˆˆ
ˆˆ
P X
Q P e
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Mínimo Cuadrados en Dos Etapas
• En resumen, el procedimiento de estimación
en dos etapas es:
– La estimación usando mínimo cuadrados de la
ecuación en forma reducida de P y el cálculo de su
valor predicho P-hat
– La estimación usando mínimo cuadrados de la
ecuación estructura en la cual el valor de lavariable endógena derecha P se reemplaza por su
valor predicho P-hat
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El procedimiento de estimación
general del 2SLS
• El 2SLS puede ser usado para estimar losparámetros de cualquier ecuación identificadadentro de un sistema de ecuaciones simultáneas
•Suponga que la primera ecuación estructural delsistema es:
• Si esta ecuación está identificada, sus parámetrospueden ser estimados en dos etapas:
1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 y y y x x e
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El procedimiento de estimación
general del 2SLS
• Primero, estime los parámetros de las
ecuaciones de la forma reducida:
• …usando el método de mínimo cuadrados y
obtenga los valores predichos:
2 12 1 22 2 2
3 13 1 23 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
K K
K K
y x x x
y x x x
2 12 1 22 2 2 2
3 13 1 23 2 3 3
K K
K K
y x x x v
y x x x v
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El procedimiento de estimación
general del 2SLS
• Segundo, reemplace las variables endógenas,
y2, y3, colocadas al lado derecho de la
ecuación estrcutural por sus valores
predichos:
• …usando el método de mínimo cuadrados
estime los parámetros de esa ecuación
*
1 2 2 3 3 1 1 2 2 1ˆ ˆ y y y x x e
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Propiedades del 2SLS
• Los estimadores 2SLS son sesgados, pero
consistentes
• En muestras grandes, los estimadores 2SLS se
distribuyen aproximadamente como una normal
• Las varianzas y covarianzas pra los estimadores
2SLS son desconocidas para muestras pequeñas,
pero para grandes se tienen fórmulas que seaproximan a su valor verdadero
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Aplicaciones en EViews
• Abra el archivo truffles.wf1 y abra un grupo quecontenga las variables
• Examine las variables con View/DescriptiveStats/Common Sample
• El modelo es el siguiente:
• DI=Disposable income• PS= precio del substituto
• PF= Precio del factor de producción
1 2 3 4
1 2 3
Demanda:
Oferta:
d
i i i i
s
i i i i
Q P PS DI e
Q P PF e
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Aplicaciones en EViews
• Estime la forma reducida:
– Equation redform_q.ls q c ps di pf
– Equation redform_p.ls p c ps di pf
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Estimación por TSLS
Nota: la lista deinstrumentos
incluye a todas las
variables exógenas
Póngale como
nombre a esta
ecuación
Demanda
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Ecuación de demanda
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Ecuación de oferta
• La ecuación de oferta se puede estimar
escribiendo en la línea de comandos: – Equation supply.tsls q c p pf @ ps di pf
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Estimación por TSLS de un sistema de
ecuaciones
• Se puede aplicar TSLS ecuación por ecuación para
todas las ecuaciones identificadas en un sistema
de ecuaciones
• Si todas las ecuaciones de un sistema estánidentificadas, entonces se pueden estimar todas
en un solo paso
•Esto se hace mediante el uso del objeto: SYSTEM
• Acceda a Objects/New Objects y seleccione
System y póngale como nombre Truffle
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Estimación por TSLS de un sistema de ecuaciones
• Ahora entre el sistema de ecuacionesestructurales de oferta y demanda
• Entre también una línea que contenga todas lasvariables exógenas al sistema (PS, DI, PF), las
cuales son los instrumentos
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Cliquee Estimate y seleccione TSLS
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Resultados del sistema de ecuaciones• Los resultos son idénticos a la estimación individual,
pero esta forma de obtenerlos permite usarposteriormente procedimientos más avanzados
Nota: La identidad STC=SCE+SCR
sólo aplica en el caso de mínimos
cuadrados, por eso en los casosde TSLS o MCG el R2 puede
producir números negativos
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Otro ejemplo: Fulton Fish Market
•
Este mercado está localizado en NY y opera desde hacemás de 150 años
• La data se tomó diariamente de diciembre 2, 1991 amayo 8, 1992
• Se considera que la oferta es perfectamente inelástica(i.e., no se mueve con los precios)
• Dado que al inicio del día la oferta está fija, el precio esdeterminado por la demanda
• Si esto es así el feedback entre precios y cantidades se
elimina• En este caso se dice que el modelo es recursivo y la
demanda puede ser calculada por MICO
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Otro ejemplo: Fulton Fish Market
• Abra el archivo fultonfish.wf1
• Especifique la ecuación de demanda:
• Especifique la ecuación de oferta:
1 2 3 4 5 6ln ln d t t t t t t tQUAN PRICE MON TUE WED THU e
1 2 3ln ln
s
t t t t QUAN PRICE STORMY e
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Identificación
• Antes de realizar la estimación es preciso
determinar si los parámetros de las
ecuaciones están identificados
• La regla es que del sistema de M=2 ecuaciones
debe haber M-1=1 variable omitida de cada
ecuación
• Cuál es su opinión?
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Formas reducidas
•
Se especifican las variables endógenas enfunción de todas las exógenas:
• Los estimados mímino cuadráticos se
obtienen:
–
Ls lquan c mon tue wed thu stormy – Ls lprice c mon tue wed thu stormy
11 21 31 41 51 61 1
12 22 32 42 52 62 2
ln
ln
t t t t t t t
t t t t t t t
QUAN MON TUE WED THU STORMY
PRICE MON TUE WED THU STORMY
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Resultados de la forma reducida
Note que en la ecuación de precios las variables dummy no son significativas.
Recuerde que para poder identificar la curva de oferta es indispensable que por lo
menos uno de esos parámetros sean diferentes de cero. En este caso no se podrá
estimar la ecuación de oferta. Observe que la única significativa es Stormy, pero
cuando se sustituya en la ecuación estructural (el Lprice_hat) habrá perfecta
colinealidad con Stormy allí incluida.
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Resultados TSLS• Para estimar la ecuación de demanda:
– Tsls lquan c lprice mon tue wed thu @ mon tuewed thu stormy
Comente los resultados
de los coeficientes:
elasticidad precio y lasdummy