SOCIETATEA DE STIINTE MATEMATICE DIN ROM ANIATabara Gazeta Matematica si ViitoriOlimpici.ro
18-23 august 2014, Campulung Muscel
URZEALA FRACTALILOR
Prezentare de:Alexandru NEGRESCU
Universitatea POLITEHNICA din Bucuresti
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 1 / 50
Sa privim!
Feriga comuna (Dryopteris filix-mas)
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 2 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 3 / 50
Broccoli Romanesco
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 4 / 50
Plamani
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 5 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 6 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 7 / 50
Economie
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 8 / 50
Fulgere
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 9 / 50
,,Covorul” lui Sierpinski
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 10 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 11 / 50
Teorem a. Aria lui F este nula si perimetrul lui F este infinit.
Demonstratie. Suma ariilor partilor ındepartate este egala cu:
1
9+
8
81+
64
729+ ... =
1
9+
8
92+
82
93+ ... =
1
9
ñ
1 +8
9+
82
92+ ...
ô
=
=1
9
Ä
8
9
ä
∞
− 18
9− 1
=1
9
1−Ä
8
9
ä
∞
1− 8
9
→1
9
1
1− 8
9
= 1,
pentru n suficient de mare.Perimetrul ,,carpetei”este egal cu:
1 · 4 · 1 + 1 · 4 ·1
3+ 8 · 4 ·
1
32+ ... = 4 +
4
3
Ç
1 +8
3+
82
32+ ...
å
→ ∞.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 12 / 50
Dimensiunea fractala
Fractalii fac posibila cuantificarea unor termeni ca neregulat,intermitent, complicat sau dur. Cat de dur? Matematica ofera unnumar fiecarui fractal, numit dimensiunea sa fractala. Acesta nu esteun numar natural.
Sa presupunem ca exista o masura µ care are aceleasi proprietati calungimea, aria si volumul.Atunci
µ(F )
µ(f)=
Å
L
l
ãα
,
de unde8 = 3α,
ceea ce conduce la α = log3 8 = ln 8
ln 3' 1, 89.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 13 / 50
Triunghiul lui Sierpinski
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 14 / 50
Triunghiul lui Sierpinski (varianta moderna)
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 15 / 50
Fulgul lui Koch
Teorem a. Aria lui K este finita, dar perimetrul lui K este infinit.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 16 / 50
Trompeta lui Gabriel
Teorem a. Volumul lui T este finit, dar suprafata lui T este infinita.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 17 / 50
Multimea lui Cantor (1883)
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 18 / 50
A → AABAB → BBBBA → AABA → AABAAABABBBBAABA → . . .
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 19 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 20 / 50
Bourrre from Bach’s Cello Suite No. 3
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 21 / 50
Aceste obiecte matematice au fost denumite fractali de catre BenoıtMandelbrot , ın cartea sa Les objets fractals, forme, hasard etdimension (1975).
Un fractal este o forma geometrica aspra sau fragmentata care poatefi divizata ın parti, fiecare dintre aceste parti fiind (cel putinaproximativ) o copie la scara redusa a ıntregului.
Aceasta proprietate se numeste auto-similaritate.Termenul provine din latinescul fractus, care ınseamna: frant, fracturat.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 22 / 50
Multimea Mandelbrot
Multimea de puncte z0 din planul complex pentru care recurenta
zn+1 = z2n + z0
ofera un sir marginit.
In mod evident, −1 ∈ M, i ∈ M, 1 /∈ M .
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 23 / 50
In lucrarea sa, The Fractural Geome-try of Nature (1982), Mandelbrot ar-gumenteaza ca asemenea abstractiunigeometrice se potrivesc adesea culumea fizica mai bine decat curbele sisuprafetele netede. De exemplu, o liniede coasta neregulata arata destul deneteda daca o privim din avion, de lao ınaltime mare, dar, pe masura cene apropiem, tot mai multe neregu-laritati devin vizibile. Aceste neregu-laritati creeaza probleme si ın calcu-larea lungimei liniei de coasta sau afrontierei a doua tari vecine.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 24 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 25 / 50
Proprietati
sunt auto-similari;
au o structura fina la scari reduse arbitrar;
nu au frontiera neteda, ci complet neregulata, greu de descris detraditionala geometrie euclidiana;
au dimensiunea exprimata printr-un numar care nu este natural;
au o definitie simpla si recursiva.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 26 / 50
Cercurile lui Apollonius
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 27 / 50
Fluturii lui Klein
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 28 / 50
Lacul din Wada
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 29 / 50
Multimea Julia
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 30 / 50
Interesata de fractali a fost si artistul olandez M. C. Escher :
Smaller and smaller, 1956
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 31 / 50
Istorie. Functii continue, dar nediferentiabile
La ınceputul evolutiei Analizei Matematice impresia era ca orice functiecontinua era derivabila aproape peste tot.
Exemplul lui Riemann (1861)
f(x) =∞∑
k=1
sin(k2x)
k2
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 32 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 33 / 50
Exemplul lui Weierstrass (1872)
f(x) =∞∑
k=0
bk cosÄ
akπxä
,
unde a este un numar impar si b ∈ (0; 1) astfel ıncat ab > 1 + 3π2
.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 34 / 50
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 35 / 50
Exemplul lui Peano (1890)
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 36 / 50
Exemplul lui von Koch (1906)
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 37 / 50
Se cautau exemple de forma:
f(x) =∞∑
k=0
bkϕÄ
akπxä
,
unde ϕ este o functie periodica, aleasa convenabil.
Exemplul van der Waerden(1930)-Rudin(1964)
f(x) =∞∑
k=0
Å
3
4
ãk
ϕÄ
4kxä
,
unde functia ϕ este definita de ϕ(x) = |x|, pentru x ∈ [−1; 1], si seextinde prin periodicitatea ϕ(x+ 2) = ϕ(x), pentru orice x ∈ R.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 38 / 50
Demonstratie
ϕ(x) = |x|, pentru x ∈ [−1; 1];
ϕ(x+ 2) = ϕ(x), pentru x ∈ R.
-2 -1 0 1 2
1
ϕ este continua pe R;
pentru orice s, t ∈ R: |ϕ(s)− ϕ(t)| ≤ |s − t|.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 39 / 50
Construim functia
f(x) = ϕ(x) +3
4ϕ(4x) +
Å
3
4
ã2
ϕ(42x) +
Å
3
4
ã3
ϕ(43x) + ...
=∞∑
n=0
Å
3
4
ãn
ϕ(4nx).
Deoarece 0 ≤ ϕ(4nx) ≤ 1, pentru orice n ∈ N si x ∈ R, rezulta caÅ
3
4
ãn
ϕ(4nx) ≤
Å
3
4
ãn
.
Ce putem spune despre suma∞∑
n=0
Ä
3
4
än?
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 40 / 50
1 +3
4+
Å
3
4
ã2
+ ... =
Ä
3
4
ä
∞
− 1Ä
3
4
ä
− 1=
1−Ä
3
4
ä
∞
1−Ä
3
4
ä .
Cum 3
4< 1, deducem ca
Ä
3
4
änse apropie de 0 atunci cand n creste.
Gratie acestui fapt, suma devine
∞∑
n=0
Å
3
4
ãn
= 1 +3
4+
Å
3
4
ã2
+ ... =1
1−Ä
3
4
ä = 4.
Asadar, suma∞∑
n=0
Ä
3
4
änpoate fi calculata, deci seria este convergenta.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 41 / 50
Consideram patratele A0A1B1B0,A1A2B3B2, A2A3B5B4, ..., delaturi 1, r, r2, ... (r < 1). Deoa-rece triunghiurile dreptunghiceB0B1B2, B2B3B4, B4B5B6, ... suntasemenea, deducem coliniaritateapunctelor B0, B2, B4, ..., A∞. Cum sitriunghiurile dreptunghice A0B0A∞ si A
0A
1A
2A
'
B0
B1
B2
B3
B4
B5
1
1
r
r
r2
1
1-r
B1B2B0 sunt asemenea rezulta ca A0B0
B1B2= A0A∞
B1B0, de unde
1
1−r= 1+r+r2+...
1, deci
1 + r + r2 + r3 + ... =1
1− r.
Pentru r = 3
4, avem
1 +3
4+
Å
3
4
ã2
+
Å
3
4
ã3
+ ... =1
1− 3
4
= 4.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 42 / 50
Teorema lui Weierstrass
Consideram {fn} un sir de functii definite pe E, cu
|fn(x)| ≤ Mn (x ∈ E,n ∈ N).
Daca∞∑
n=0
Mn converge, atunci si∞∑
n=0
fn converge uniform pe E.
Reamintim ca, pentru orice n ∈ N si x ∈ R,Å
3
4
ãn
ϕ(4nx) ≤
Å
3
4
ãn
.
Conform Teoremei lui Weierstrass, seria∞∑
n=0
Ä
3
4
änϕ(4nx) converge
uniform pe R.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 43 / 50
Teorema transferului de continuitate
Daca {fn} este un sir de functii continue pe E si fn → f uniform pe E,atunci functia f este continua pe E.
Asadar, cum
f(x) =∞∑
k=0
Å
3
4
ãk
ϕ(4kx) = limn→∞
n∑
k=0
Å
3
4
ãk
ϕ(4kx)
︸ ︷︷ ︸
fn
iar functiile fn sunt continue, conform Teoremei transferului decontinuitate, rezulta ca functia f este continua pe R.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 44 / 50
Fie x ∈ R si m ∈ Z. Consideram
δm = ±1
24−m,
unde semnul este ales astfel ıncat sa nu existe vreun ıntreg ıntre 4mxsi 4m(x+ δm) = 4mx+ 4mδm.
Definim
γn :=ϕ(4n(x+ δm))− ϕ(4nx)
δm.
Pentru n > m, sa studiem
4n · δm = 4n−m · 4m · δm = 4n−m ·
Å
±1
2
ã
= ±22n−2m−1,
care este numar par, deci ϕ(4n(x+ δm)) = ϕ(4nx) si atunci γn = 0,pentru n > m.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 45 / 50
Pentru 0 ≤ n ≤ m, conform unei relatii stabilite anterior,
|γn| =
∣∣∣∣∣
ϕ(4n(x+ δm))− ϕ(4nx)
δm
∣∣∣∣∣≤
|4n · δm|
|δm|= 4n.
Ce putem spune despre γn?
|γn| =
∣∣∣∣∣
ϕ(4m(x+ δm))− ϕ(4mx)
δm
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
ϕÄ
4mx± 1
2
ä
− ϕ(4mx)
δm
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
1
2
δm
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣
1
2
±1
24−m
∣∣∣∣∣= 4m.
p p+1 -1 0 1
½ ½ ½
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 46 / 50
Sa studiem, pentru m → ∞ (i.e., δm → 0):
∣∣∣∣∣
f(x+ δm)− f(x)
δm
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
Ä
3
4
än[ϕ(4n(x+ δm))− ϕ(4nx)]
δm
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
Ä
3
4
änγnδm
δm
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
Å
3
4
ãn
γn
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣
γ0 +3
4γ1 +
Å
3
4
ã2
γ2 + ...+
Å
3
4
ãm
γm︸︷︷︸
4m
∣∣∣∣∣∣∣
≥ 3m −
∣∣∣∣∣γ0 +
3
4γ1 + ...+
Å
3
4
ãm−1
γm−1
∣∣∣∣∣
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 47 / 50
∣∣∣∣∣
f(x+ δm)− f(x)
δm
∣∣∣∣∣
≥ 3m −
∣∣∣∣∣γ0 +
3
4γ1 + ...+
Å
3
4
ãm−1
γm−1
∣∣∣∣∣
≥ 3m −
Ç
|γ0|+
∣∣∣∣
3
4γ1
∣∣∣∣+ ...+
∣∣∣∣∣
Å
3
4
ãm−1
γm−1
∣∣∣∣∣
å
≥ 3m −Ä
30 + 31 + ...+ 3m−1ä
= 3m −3m − 1
2
=3m + 1
2
iar 3m+1
2→ ∞ pentru m → ∞.
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 48 / 50
BIBLIOGRAFIE SI RECOMANDARI
1 Benoıt B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H.Freeman and Co., New York, 1982.
2 Didier Gonze, Fractals: theory and applications, Universite Librede Bruxelles, Belgium.
3 Nigel Lesmoir-Gordon (editor), The Colours of Infinity,Springer-Verlag, London, 2010.
4 http://www.math.uaic.ro/ necula/.5 http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal.6 http://universulenergiei.europartes.eu/intrebari/fractali/
7 http://www.national-magazin.ro/trebuie-sa-stii/fractali-natura-arta-stiinta-641
8 http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali
9 http://ro.math.wikia.com/wiki/Fractal
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 49 / 50
VA MULTUMESC PENTRUATENTIA ACORDATA!
Alexandru Negrescu (UPB) Urzeala Fractalilor 22 august 2014 50 / 50