CnicasCnicasCnicasCnicas
1
CnicasCnicasCnicasCnicas
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
CnicasCnicasCnicasCnicasCuandoCuandoCuandoCuando unaunaunauna rectarectarectarecta gggg (generatriz)(generatriz)(generatriz)(generatriz) quequequeque cortacortacortacorta aaaa otraotraotraotra rectarectarectarecta eeee(eje),(eje),(eje),(eje), giragiragiragira enenenen tornotornotornotorno aaaa ella,ella,ella,ella, apoyndoseapoyndoseapoyndoseapoyndose enenenen unaunaunauna curvacurvacurvacurva fijafijafijafijadddd (directriz),(directriz),(directriz),(directriz), generagenerageneragenera unaunaunauna superficiesuperficiesuperficiesuperficie cnicacnicacnicacnica....EnEnEnEn particularparticularparticularparticular sisisisi lalalala directrizdirectrizdirectrizdirectriz eseseses unaunaunauna circunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia yyyy elelelelejeejeejeeje eseseses perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular alalalal planoplanoplanoplano dededede lalalala circunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia pasandopasandopasandopasandoporporporpor susususu centro,centro,centro,centro, aaaa lalalala superficiesuperficiesuperficiesuperficie sesesese lalalalaporporporpor susususu centro,centro,centro,centro, aaaa lalalala superficiesuperficiesuperficiesuperficie sesesese lalalaladenominadenominadenominadenomina conoconoconocono circularcircularcircularcircular rectorectorectorecto....DenominamosDenominamosDenominamosDenominamos cnicascnicascnicascnicas aaaa laslaslaslas curvascurvascurvascurvasgeneradasgeneradasgeneradasgeneradas porporporpor lalalala interseccininterseccininterseccininterseccin dedededeunununun planoplanoplanoplano conconconcon elelelel conoconoconocono circularcircularcircularcircular rectorectorectorecto....
2Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
d: directriz
CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaEsEsEsEs lalalala CnicaCnicaCnicaCnica quequequeque sesesese obtieneobtieneobtieneobtiene cuandocuandocuandocuando elelelel planoplanoplanoplano quequequeque cortacortacortacorta aaaa lalalalasuperficiesuperficiesuperficiesuperficie cnicacnicacnicacnica eseseses perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular alalalal ejeejeejeeje dededede lalalala misma,misma,misma,misma, cortacortacortacorta aaaa todastodastodastodaslaslaslaslas generatricesgeneratricesgeneratricesgeneratrices yyyy nononono pasapasapasapasa porporporpor elelelel vrticevrticevrticevrtice....
3Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
ElipseElipseElipseElipseEs la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie Es la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie Es la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie Es la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie
cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las generatrices y no pasa por el vrtice.generatrices y no pasa por el vrtice.generatrices y no pasa por el vrtice.generatrices y no pasa por el vrtice.
4Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
HiprbolaHiprbolaHiprbolaHiprbolaEsEsEsEs lalalala cnicacnicacnicacnica quequequeque sesesese obtieneobtieneobtieneobtiene cuandocuandocuandocuando elelelel planoplanoplanoplano quequequeque cortacortacortacorta aaaa lalalalasuperficiesuperficiesuperficiesuperficie eseseses paraleloparaleloparaleloparalelo alalalal ejeejeejeeje dededede lalalala mismamismamismamisma yyyy nononono pasapasapasapasa porporporpor elelelelvrticevrticevrticevrtice....
5Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
PrabolaPrabolaPrabolaPrabolaEsEsEsEs lalalala cnicacnicacnicacnica quequequeque sesesese obtieneobtieneobtieneobtiene cuandocuandocuandocuando elelelel planoplanoplanoplano secantesecantesecantesecante aaaa lalalalaSuperficieSuperficieSuperficieSuperficie nononono eseseses perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular alalalal ejeejeejeeje dededede lalalala misma,misma,misma,misma, esesesesparaleloparaleloparaleloparalelo aaaa unaunaunauna generatrizgeneratrizgeneratrizgeneratriz yyyy nononono pasapasapasapasa porporporpor elelelel vrticevrticevrticevrtice....
6Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Cnica DegeneradaCnica DegeneradaCnica DegeneradaCnica DegeneradaCuandoCuandoCuandoCuando elelelel planoplanoplanoplano quequequeque cortacortacortacorta aaaa lalalala superficiesuperficiesuperficiesuperficie cnicacnicacnicacnica contienecontienecontienecontienealalalal vrticevrticevrticevrtice yyyy sesesese mantienemantienemantienemantiene paraleloparaleloparaleloparalelo aaaa susususu posicinposicinposicinposicin primitivaprimitivaprimitivaprimitiva seseseseobtieneobtieneobtieneobtiene unaunaunauna seccinseccinseccinseccin llamadallamadallamadallamada CnicaCnicaCnicaCnica DegeneradaDegeneradaDegeneradaDegenerada....
7Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferencia
8
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaal
l/geogebra/figuras/c1_circunf_constr.html
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaEsEsEsEs elelelel lugarlugarlugarlugar geomtricogeomtricogeomtricogeomtrico dededede loslosloslos puntospuntospuntospuntos deldeldeldel planoplanoplanoplano talestalestalestales quequequequesussussussus distanciasdistanciasdistanciasdistancias aaaa unununun puntopuntopuntopunto fijofijofijofijo (h(h(h(h;;;;k)k)k)k) eseseses constanteconstanteconstanteconstante (r)(r)(r)(r)(h(h(h(h;;;; k)k)k)k) eseseses elelelel centrocentrocentrocentro dededede lalalala circunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia yyyy rrrr eseseses elelelel radioradioradioradio dededede lalalalacircunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia....
9
1
1
C(h;k)
P(x;y)
r
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
1C(h;k)
P(x;y)
r
k
y
x - h
y - k
10
1h x
P pertenece a la circunferencia P pertenece a la circunferencia P pertenece a la circunferencia P pertenece a la circunferencia d( P, C)=r d( P, C)=r d( P, C)=r d( P, C)=r
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) y radio ry radio ry radio ry radio ry radio ry radio ry radio ry radio r
Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2 1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2 1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2 1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2
y centro (2; 3)y centro (2; 3)y centro (2; 3)y centro (2; 3)
11Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
2) 2) 2) 2) Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y centro (centro (centro (centro (----1; 2). Graficar1; 2). Graficar1; 2). Graficar1; 2). Graficar....
12Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia
13
Centro = (6; Centro = (6; Centro = (6; Centro = (6; ----3) y el radio es 3) y el radio es 3) y el radio es 3) y el radio es
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Clasificacin de las circunferenciasClasificacin de las circunferenciasClasificacin de las circunferenciasClasificacin de las circunferencias
VerdaderasVerdaderasVerdaderasVerdaderas
degeneradadegeneradadegeneradadegenerada
imaginariaimaginariaimaginariaimaginaria
14
degeneradadegeneradadegeneradadegenerada
Si r Si r Si r Si r 2222es positivoes positivoes positivoes positivoSi r Si r Si r Si r 2222es 0es 0es 0es 0
Si r Si r Si r Si r 2222es negativoes negativoes negativoes negativoMatemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ejemplos: Ejemplos: Ejemplos: Ejemplos: Analizar si las siguientes ecuaciones representan circunferenciasAnalizar si las siguientes ecuaciones representan circunferenciasAnalizar si las siguientes ecuaciones representan circunferenciasAnalizar si las siguientes ecuaciones representan circunferencias
a) xa) xa) xa) x2222+ y+ y+ y+ y2222 ---- 2x 2x 2x 2x ---- 6y 6y 6y 6y 15= 015= 015= 015= 0
xxxx2222 ---- 2x + y2x + y2x + y2x + y2222 ---- 6y 6y 6y 6y 15= 015= 015= 015= 0
2.2.2.2.xxxx....bbbb= = = = ----2x2x2x2xbbbb= (= (= (= (----2x) : (22x) : (22x) : (22x) : (2....xxxx) =) =) =) = ----1111
bbbb2222 ==== 1111
2.2.2.2.yyyy....bbbb= = = = ----6y6y6y6ybbbb= (= (= (= (----6y) : (2.6y) : (2.6y) : (2.6y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = ----3333bbbb2222 = = = = 9999
15
xxxx2222 ---- 2x +1 2x +1 2x +1 2x +1 ---- 1+ y1+ y1+ y1+ y2222 ---- 6y +9 6y +9 6y +9 6y +9 ---- 9 9 9 9 15= 015= 015= 015= 0
bbbb ==== 1111 bbbb = = = = 9999
(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 (y(y(y(y----3)3)3)3)2222
(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 ---- 1+ (y1+ (y1+ (y1+ (y----3)3)3)3)2222 ---- 9 9 9 9 15= 015= 015= 015= 0
(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3)3)3)3)2222 ----25= 025= 025= 025= 0Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3)3)3)3)2222 = 25= 25= 25= 25
b) 4xb) 4xb) 4xb) 4x2222+ 4y+ 4y+ 4y+ 4y2222 +16x +16x +16x +16x ---- 12y +36= 012y +36= 012y +36= 012y +36= 0
xxxx2222 + y+ y+ y+ y2222 +4x +4x +4x +4x ---- 3y +9= 03y +9= 03y +9= 03y +9= 0
Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , adems es una circunferencia verdadera.adems es una circunferencia verdadera.adems es una circunferencia verdadera.adems es una circunferencia verdadera.
xxxx2222 +4x +y+4x +y+4x +y+4x +y2 2 2 2 ---- 3y +9= 03y +9= 03y +9= 03y +9= 0
16
xxxx2222 + 4x +4 + 4x +4 + 4x +4 + 4x +4 ---- 4+ y4+ y4+ y4+ y2222 ---- 3y +9/4 3y +9/4 3y +9/4 3y +9/4 9/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 0
2.2.2.2.xxxx....bbbb= 4x= 4x= 4x= 4xbbbb= 4x : (2.= 4x : (2.= 4x : (2.= 4x : (2.xxxx) = ) = ) = ) = 2222
bbbb2222 = = = = 4444
2.2.2.2.yyyy....bbbb= = = = ----3y3y3y3ybbbb= (= (= (= (----3y) : (2.3y) : (2.3y) : (2.3y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = ----3/23/23/23/2bbbb2222 = = = = 9/49/49/49/4
(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 (y(y(y(y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 ---- 4+ (y4+ (y4+ (y4+ (y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222 ---- 9/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 0
(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222 +11/4= 0+11/4= 0+11/4= 0+11/4= 0
(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222 = = = = ---- 11/411/411/411/4
Es una circunferencia imaginariaEs una circunferencia imaginariaEs una circunferencia imaginariaEs una circunferencia imaginaria
c) xc) xc) xc) x2222+ y+ y+ y+ y2222 ----2x +1= 02x +1= 02x +1= 02x +1= 0
17
c) xc) xc) xc) x + y+ y+ y+ y ----2x +1= 02x +1= 02x +1= 02x +1= 0
xxxx2222----2x +1 + y2x +1 + y2x +1 + y2x +1 + y2222 = 0= 0= 0= 02222....xxxx....bbbb= = = = ----2x2x2x2x
bbbb= (= (= (= (----2x) : (2.2x) : (2.2x) : (2.2x) : (2.xxxx) =) =) =) = ----1111bbbb2222 = = = = 1111
(x(x(x(x----1)1)1)1)2222
(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 + y+ y+ y+ y2222 = 0= 0= 0= 0Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Posiciones relativas entre una circunferencia y una rectaPosiciones relativas entre una circunferencia y una rectaPosiciones relativas entre una circunferencia y una rectaPosiciones relativas entre una circunferencia y una recta
18
La recta es secante La recta es secante La recta es secante La recta es secante a la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferencia
La recta es tangente La recta es tangente La recta es tangente La recta es tangente a la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferencia
La recta es exteriorLa recta es exteriorLa recta es exteriorLa recta es exteriora la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferencia
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
ElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipsehttp://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c4_elipse_constr.html
19Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
ElipseElipseElipseElipseEsEsEsEs elelelel lugarlugarlugarlugar geomtricogeomtricogeomtricogeomtrico dededede loslosloslos puntospuntospuntospuntos deldeldeldel planoplanoplanoplano talestalestalestales quequequeque lalalalasumasumasumasuma dededede sussussussus distanciasdistanciasdistanciasdistancias aaaa dosdosdosdos puntospuntospuntospuntos fijosfijosfijosfijos llamadosllamadosllamadosllamadosfocosfocosfocosfocos eseseses igualigualigualigual aaaa unaunaunauna constanteconstanteconstanteconstante mayormayormayormayor quequequeque lalalala distanciadistanciadistanciadistanciaentreentreentreentre loslosloslos focosfocosfocosfocos....
P(x;y)
0 1
1
F1 F2
P(x;y)
20Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Elementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseTiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).Tiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).Tiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).Tiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.
FFFF1 1 1 1 =( =( =( =( ----c; 0)c; 0)c; 0)c; 0)FFFF2 2 2 2 =( c; 0)=( c; 0)=( c; 0)=( c; 0)
x
y
FFFF1111FFFF2222
b
b es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menor
a
21
xFFFF1111
c c
b es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menor
a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor
Los focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayorLos focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayorLos focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayorLos focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayor
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipse
VVVV1111 = (a; 0) = (a; 0) = (a; 0) = (a; 0) VVVV2222= (= (= (= (----a; 0) a; 0) a; 0) a; 0) VVVV3333= (0; b)= (0; b)= (0; b)= (0; b)x
y
FFFF1111FFFF2222
b
VVVV1111VVVV2222
VVVV3333
3333
VVVV4444= (0; = (0; = (0; = (0; ----b)b)b)b)
22
FFFF1111a
VVVV1111VVVV2222
VVVV4444
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ecuacin de la elipseEcuacin de la elipseEcuacin de la elipseEcuacin de la elipse
x
y
FFFF1111FFFF2222
P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)
P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)
a-cc
P pertenece a la elipse P pertenece a la elipse P pertenece a la elipse P pertenece a la elipse d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= k k k k
23
FFFF1111
ac
a+c a-c
a+c + aa+c + aa+c + aa+c + a----c = kc = kc = kc = k2 a = k2 a = k2 a = k2 a = k
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
xFFFF2 2 2 2 =(c;0)=(c;0)=(c;0)=(c;0)
P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)
c d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) ) ) ) ====
FFFF1 1 1 1 =(=(=(=(----c;0)c;0)c;0)c;0)
x2 y
2
x x
y
x1 y
1
x1
y1
d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F2222)= )= )= )=
24Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= kkkk
d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= 2a2a2a2a
= 2 a= 2 a= 2 a= 2 a
Elevando al cuadrado y haciendo operaciones Elevando al cuadrado y haciendo operaciones Elevando al cuadrado y haciendo operaciones Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a:
25
algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a:
122
2
2=+
by
a
x
Ecuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal xEcuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal xEcuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal xEcuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal x
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
xFFFF2 2 2 2 FFFF1 1 1 1
y Relacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cVVVV3 3 3 3
Como VComo VComo VComo V es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin:
a
c
b
Como VComo VComo VComo V3333 es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin:
d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= 2a2a2a2a
d( Vd( Vd( Vd( V3333, F, F, F, F1111) +d( V) +d( V) +d( V) +d( V3333, F, F, F, F2222)=)=)=)= 2a2a2a2a
d( Vd( Vd( Vd( V3333, F, F, F, F1111) = d( V) = d( V) = d( V) = d( V3333, F, F, F, F2222)=)=)=)= aaaa
aaaa2 2 2 2 =c=c=c=c2 2 2 2 + b + b + b + b 222226
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
ExcentricidadExcentricidadExcentricidadExcentricidadDefinimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como:
a
c =e
xFFFF2 2 2 2 FFFF1 1 1 1
y
a
En el caso de la Elipse, siempre se cumple:En el caso de la Elipse, siempre se cumple:En el caso de la Elipse, siempre se cumple:En el caso de la Elipse, siempre se cumple:
0 < e < 10 < e < 10 < e < 10 < e < 1
c
27Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaa
ll/geogebra/figuras/c6_elipse_excent.html
28Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ejemplo: Graficar la elipse: Ejemplo: Graficar la elipse: Ejemplo: Graficar la elipse: Ejemplo: Graficar la elipse:
Centro: ( 0 ; 0)Centro: ( 0 ; 0)Centro: ( 0 ; 0)Centro: ( 0 ; 0)Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje menor = b = 4Semieje menor = b = 4Semieje menor = b = 4Semieje menor = b = 4Cules son los vrtices?Cules son los vrtices?Cules son los vrtices?Cules son los vrtices?(5; 0) (5; 0) (5; 0) (5; 0) (0;4)(0;4)(0;4)(0;4)(5; 0) (5; 0) (5; 0) (5; 0) ((((----5;0)5;0)5;0)5;0)Cules son los focos? Cules son los focos? Cules son los focos? Cules son los focos? cccc2 2 2 2 + b + b + b + b 2222= a= a= a= a2 2 2 2
29
cccc2 2 2 2 + 16= 25+ 16= 25+ 16= 25+ 16= 25 cccc2 2 2 2 =25 =25 =25 =25 ---- 16161616 cccc2 2 2 2 =9=9=9=9 c=3 c=3 c=3 c=3
(0;4)(0;4)(0;4)(0;4)(0;(0;(0;(0;----4)4)4)4)
Los focos son (3; 0) y (Los focos son (3; 0) y (Los focos son (3; 0) y (Los focos son (3; 0) y (----3;0) 3;0) 3;0) 3;0)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Su excentricidad esSu excentricidad esSu excentricidad esSu excentricidad es
La ecuacin del eje focal es: y=0La ecuacin del eje focal es: y=0La ecuacin del eje focal es: y=0La ecuacin del eje focal es: y=0
30Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ecuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje xEcuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje xEcuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje xEcuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje x
y
FFFFFFFF2222
b a
k 1)()( 22
2
2=
+
bky
a
hx
31
x
FFFF1111c c
h
122 =+ ba
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Prof.Andrea Maidana
Elementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseTiene centro en el punto (h;k).Tiene centro en el punto (h;k).Tiene centro en el punto (h;k).Tiene centro en el punto (h;k).FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.
FFFF1 1 1 1 =( =( =( =( ----c; 0) + (h;k)c; 0) + (h;k)c; 0) + (h;k)c; 0) + (h;k)FFFF2 2 2 2 =( c; 0) +( h;k)=( c; 0) +( h;k)=( c; 0) +( h;k)=( c; 0) +( h;k)
b es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menor
y
FFFFFFFF2222
b a
k
32
b es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menor
a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor x
FFFF1111FFFF2222
c c
h
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipse
VVVV1111 = (a; 0) +(h ; k)= (a; 0) +(h ; k)= (a; 0) +(h ; k)= (a; 0) +(h ; k)VVVV2222= (= (= (= (----a; 0) +(h; k)a; 0) +(h; k)a; 0) +(h; k)a; 0) +(h; k)VVVV3333= (0; b) +(h ; k)= (0; b) +(h ; k)= (0; b) +(h ; k)= (0; b) +(h ; k)
y
FFFF1111FFFF2222
b
VVVV1111VVVV
VVVV3333
3333
VVVV4444= (0; = (0; = (0; = (0; ----b) +(h ; k)b) +(h ; k)b) +(h ; k)b) +(h ; k)
33
x
FFFF1111a
VVVV1111VVVV2222
VVVV4444
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Elipse con eje focal yElipse con eje focal yElipse con eje focal yElipse con eje focal yy
x
FFFF2222
El centro es el (0;0)El centro es el (0;0)El centro es el (0;0)El centro es el (0;0)
FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.FFFF1 1 1 1 =( 0; =( 0; =( 0; =( 0; ----c)c)c)c)FFFF2 2 2 2 =( 0; c)=( 0; c)=( 0; c)=( 0; c)
a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra
c
a
34
x
FFFF1111
a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra sobre el eje ysobre el eje ysobre el eje ysobre el eje yb es el semieje menor y se encuentra b es el semieje menor y se encuentra b es el semieje menor y se encuentra b es el semieje menor y se encuentra sobre el eje xsobre el eje xsobre el eje xsobre el eje x
cb
12
2
2
2=+
a
y
bx
Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
yx
FFFF2222
VVVV1111VVVV2222
VVVV3333
VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipseeee
VVVV1111 = (b; 0) = (b; 0) = (b; 0) = (b; 0)
VVVV2222 = (= (= (= (----b; 0)b; 0)b; 0)b; 0)
a
35
x
FFFF1111
VVVV4444
bb VVVV3333 = (0; a)= (0; a)= (0; a)= (0; a)a
VVVV3333 = (0; = (0; = (0; = (0; ----a)a)a)a)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Elipse con eje focal paralelo al eje yElipse con eje focal paralelo al eje yElipse con eje focal paralelo al eje yElipse con eje focal paralelo al eje yy
FFFF2222
El centro es (h;k)El centro es (h;k)El centro es (h;k)El centro es (h;k)
FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.FFFF1 1 1 1 =( 0; =( 0; =( 0; =( 0; ----c)+ (h; k)c)+ (h; k)c)+ (h; k)c)+ (h; k)FFFF2 2 2 2 =( 0; c) +( h; k)=( 0; c) +( h; k)=( 0; c) +( h; k)=( 0; c) +( h; k)
a es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje y
c
a
k
36
x
FFFF1111
a es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje yb es el semieje menor y es paralelo al eje xb es el semieje menor y es paralelo al eje xb es el semieje menor y es paralelo al eje xb es el semieje menor y es paralelo al eje xcb
Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es
h
1)()( 22
2
2=
+
a
kyb
hx
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
yFFFF2222
VVVV1111VVVV2222
VVVV3333
VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipseeee
VVVV1111 = (b; 0) +(h ; k)= (b; 0) +(h ; k)= (b; 0) +(h ; k)= (b; 0) +(h ; k)
VVVV2222 = (= (= (= (----b; 0) + (h ; k)b; 0) + (h ; k)b; 0) + (h ; k)b; 0) + (h ; k)
a
kkkk
37
x
FFFF1111
VVVV4444
bb VVVV3333 = (0; a) + (h ; k)= (0; a) + (h ; k)= (0; a) + (h ; k)= (0; a) + (h ; k)a
VVVV3333 = (0; = (0; = (0; = (0; ----a)+ (h ; k)a)+ (h ; k)a)+ (h ; k)a)+ (h ; k)
hhhh
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
EjemploEjemploEjemploEjemplo: Dada la ecuacin 16y: Dada la ecuacin 16y: Dada la ecuacin 16y: Dada la ecuacin 16y2222 + 25x+ 25x+ 25x+ 25x2222 + 32y + 32y + 32y + 32y ---- 100x 100x 100x 100x ---- 284 = 0 284 = 0 284 = 0 284 = 0 Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos.
2.2.2.2.xxxx....bbbb= = = = ----4x4x4x4xbbbb= (= (= (= (----4x) : (24x) : (24x) : (24x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = ----2222
16y16y16y16y2222 + 32y +25 x+ 32y +25 x+ 32y +25 x+ 32y +25 x2222 ---- 100x 100x 100x 100x ---- 284 = 0284 = 0284 = 0284 = 0
16 (y16 (y16 (y16 (y2222 + 2y) + 25 (x + 2y) + 25 (x + 2y) + 25 (x + 2y) + 25 (x 2 2 2 2 ----4x ) 4x ) 4x ) 4x ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0
2.2.2.2.yyyy....bbbb= 2y= 2y= 2y= 2ybbbb= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = 1111
38
bbbb= (= (= (= (----4x) : (24x) : (24x) : (24x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = ----2222bbbb2222 = = = = 4444
bbbb= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = 1111bbbb2222 = = = = 1111
16 (y16 (y16 (y16 (y2222 + 2y+ 2y+ 2y+ 2y+1 +1 +1 +1 ----1111) + 25 (x ) + 25 (x ) + 25 (x ) + 25 (x 2 2 2 2 ----4x 4x 4x 4x +4+4+4+4----4444) ) ) ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0
(y +1)(y +1)(y +1)(y +1)2222 (x(x(x(x----2)2)2)2)2222
16 (16 (16 (16 ((y+1)(y+1)(y+1)(y+1)2222 ----1111) + 25 () + 25 () + 25 () + 25 ((x(x(x(x----2) 2) 2) 2) 2222----4444) ) ) ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
16 (16 (16 (16 ((y+1)(y+1)(y+1)(y+1)2222 ----1111) + 25 () + 25 () + 25 () + 25 ((x(x(x(x----2) 2) 2) 2) 2222----4444) ) ) ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0
16 (y+1)16 (y+1)16 (y+1)16 (y+1)2222 ----16161616 +25 (x+25 (x+25 (x+25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 ----100 100 100 100 ----284284284284= 0 = 0 = 0 = 0
25 (x25 (x25 (x25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 +16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)2222 ----400400400400= 0 = 0 = 0 = 0
25 (x25 (x25 (x25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 +16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)2222 = 400 = 400 = 400 = 400
39
25 (x25 (x25 (x25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 +16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)2222 = 400 = 400 = 400 = 400
1400400
22 )1(16)2(25=+ + yx 1
2516
22 )1()2(=+ + yx
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
12516
22 )1()2(=+ + yx
Es una elipse
Su centro es (2; -1)
El semieje mayor es 5, y el eje
focal es paralelo
al eje y
40
al eje y
El semieje menor es 4
Cules son los vrtices?
(6; -1)
(-2;-1)
(2; 4)
(2; -6)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
12516
22 )1()2(=+ + yx
Cules son los focos?Cules son los focos?Cules son los focos?Cules son los focos?
cccc2 2 2 2 + b + b + b + b 2222= a= a= a= a2 2 2 2
cccc2 2 2 2 + 16= 25+ 16= 25+ 16= 25+ 16= 25 cccc2 2 2 2 =25 =25 =25 =25 ---- 16161616
41
cccc + 16= 25+ 16= 25+ 16= 25+ 16= 25 cccc =25 =25 =25 =25 ---- 16161616cccc2 2 2 2 =9=9=9=9c=3 c=3 c=3 c=3
Los focos son (0; 3) +(2 ; Los focos son (0; 3) +(2 ; Los focos son (0; 3) +(2 ; Los focos son (0; 3) +(2 ; ----1) y (0;1) y (0;1) y (0;1) y (0;----3)+ (2 ; 3)+ (2 ; 3)+ (2 ; 3)+ (2 ; ----1)1)1)1)(2; 2) (2; (2; 2) (2; (2; 2) (2; (2; 2) (2; ----4) 4) 4) 4)
El eje focal es x= 2El eje focal es x= 2El eje focal es x= 2El eje focal es x= 2
su excentricidad es 3/5su excentricidad es 3/5su excentricidad es 3/5su excentricidad es 3/5
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos son: (4;3) y (4;son: (4;3) y (4;son: (4;3) y (4;son: (4;3) y (4;----5)y su semieje mayor es 5. 5)y su semieje mayor es 5. 5)y su semieje mayor es 5. 5)y su semieje mayor es 5.
Centro: ( 4 ; Centro: ( 4 ; Centro: ( 4 ; Centro: ( 4 ; ----1)1)1)1)Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5
1)()( 22
2
2=
+
a
kyb
hxC =4
cccc2 2 2 2 + b + b + b + b 2222= a= a= a= a2 2 2 2
42
16 + b16 + b16 + b16 + b2 2 2 2 = 25= 25= 25= 25 bbbb2 2 2 2 =25 =25 =25 =25 ---- 16161616 bbbb2 2 2 2 =9=9=9=9 b=3 b=3 b=3 b=3
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Cnicas Cnicas Cnicas Cnicas
Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia Elipse Elipse Elipse Elipse
)()( 22 kyhx
1)()( 22
2
2=
+
a
kyb
hx
43
1)()( 22
2
2=
+
bky
a
hx
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
HiprbolaHiprbolaHiprbolaHiprbola
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall
/geogebra/figuras/c7_hiperbola_constr.html
44Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
HiprbolaHiprbolaHiprbolaHiprbolaEsEsEsEs elelelel lugarlugarlugarlugar geomtricogeomtricogeomtricogeomtrico dededede loslosloslos puntospuntospuntospuntos deldeldeldel planoplanoplanoplano talestalestalestales quequequeque lalalaladiferenciadiferenciadiferenciadiferencia enenenen valorvalorvalorvalor absolutoabsolutoabsolutoabsoluto dededede sussussussus distanciasdistanciasdistanciasdistancias aaaa dosdosdosdospuntospuntospuntospuntos fijosfijosfijosfijos llamadosllamadosllamadosllamados focosfocosfocosfocos eseseses igualigualigualigual aaaa unaunaunauna constanteconstanteconstanteconstantemenormenormenormenor quequequeque lalalala distanciadistanciadistanciadistancia entreentreentreentre loslosloslos focosfocosfocosfocos....
y
a
b
V1V20
x
P(x,y)
F1F2
c- c
45Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Elementos de la hiprbolaElementos de la hiprbolaElementos de la hiprbolaElementos de la hiprbola
Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)
FFFF1111 FFFF2222
FFFF1 1 1 1 y Fy Fy Fy F2222 son sus focosson sus focosson sus focosson sus focos
ccccFFFF1 1 1 1 = (= (= (= (----c;0)c;0)c;0)c;0)
cccc
2a2a2a2a
VVVV1111 VVVV2222
aaaa aaaa
46
cccc cccc FFFF2 2 2 2 = (c;0)= (c;0)= (c;0)= (c;0)
a es el semieje reala es el semieje reala es el semieje reala es el semieje real
VVVV1111 VVVV2222
VVVV1 1 1 1 y vy vy vy v2222 son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales VVVV1 1 1 1 = (= (= (= (----a; 0)a; 0)a; 0)a; 0) VVVV2 2 2 2 = (a; 0)= (a; 0)= (a; 0)= (a; 0)
El eje focal es el eje xEl eje focal es el eje xEl eje focal es el eje xEl eje focal es el eje x
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Tiene 2 asntotasTiene 2 asntotasTiene 2 asntotasTiene 2 asntotas
2b2b2b2b
y es el eje imaginarioy es el eje imaginarioy es el eje imaginarioy es el eje imaginarioVVVV3333
VVVV4444 VVVV3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices son los vrtices son los vrtices son los vrtices imaginariosimaginariosimaginariosimaginarios
47
VVVV3333 =(0; b)=(0; b)=(0; b)=(0; b)
VVVV4444 =(0; =(0; =(0; =(0; ----b)b)b)b)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0) Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0) Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0) Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0)
Las asntotas son rectas por lo tanto Las asntotas son rectas por lo tanto Las asntotas son rectas por lo tanto Las asntotas son rectas por lo tanto sus ecuaciones son de la forma sus ecuaciones son de la forma sus ecuaciones son de la forma sus ecuaciones son de la forma
y= mx + by= mx + by= mx + by= mx + b
b es 0, para ambas asntotas, ya que b es 0, para ambas asntotas, ya que b es 0, para ambas asntotas, ya que b es 0, para ambas asntotas, ya que cortan al eje y en (0;0).cortan al eje y en (0;0).cortan al eje y en (0;0).cortan al eje y en (0;0).
Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los
aaaa
bbbb pppp
48
m= m= m= m=
Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los puntos P=(a;b) y (0;0)puntos P=(a;b) y (0;0)puntos P=(a;b) y (0;0)puntos P=(a;b) y (0;0)
Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente: xxxx1111 yyyy1111xxxx2222 yyyy2222
Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y =
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
La otra asntota pasa por los puntos La otra asntota pasa por los puntos La otra asntota pasa por los puntos La otra asntota pasa por los puntos P=(P=(P=(P=(----a;b) y (0;0)a;b) y (0;0)a;b) y (0;0)a;b) y (0;0)
----aaaa
bbbbpppp
xxxx1111 yyyy1111xxxx2222 yyyy2222
49
m= m= m= m=
Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:
Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y =
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ecuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal xEcuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal xEcuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal xEcuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal x
pppp
FFFF1111 FFFF2222
Si P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbola
| d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222) | = k) | = k) | = k) | = k
VVVV2222
cccc aaaa
C+aC+aC+aC+a
aaaa
cccc
CCCC----aaaa
CCCC----aaaa
| (c+a) | (c+a) | (c+a) | (c+a) (c(c(c(c----a) | = ka) | = ka) | = ka) | = k
50
| c+a | c+a | c+a | c+a c+a) | = kc+a) | = kc+a) | = kc+a) | = k
| a +a | = k| a +a | = k| a +a | = k| a +a | = k
| 2a | = k| 2a | = k| 2a | = k| 2a | = k
2a = k2a = k2a = k2a = k
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Si P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbola | d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222) | = k) | = k) | = k) | = k
| d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222) | = 2a) | = 2a) | = 2a) | = 2a
d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) = ) = ) = ) =
FFFF1111=(=(=(=(----c ; 0)c ; 0)c ; 0)c ; 0) P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)
x1
y1 x
2y
2
51
x1
x2
y2
d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F2222) = ) = ) = ) =
FFFF2222=(c ; 0)=(c ; 0)=(c ; 0)=(c ; 0) P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)
y1
x1 x
2y
2
| d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222)|)|)|)|====|||| ||||= 2a= 2a= 2a= 2a
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a:
122
2
2=
by
a
x
Ecuacin de la hiprbolaEcuacin de la hiprbolaEcuacin de la hiprbolaEcuacin de la hiprbola de centro (0;0)y eje focal xde centro (0;0)y eje focal xde centro (0;0)y eje focal xde centro (0;0)y eje focal x
52Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Relacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y c
Trazamos la circunferencia de Trazamos la circunferencia de Trazamos la circunferencia de Trazamos la circunferencia de centro O y radio ccentro O y radio ccentro O y radio ccentro O y radio c
El tringulo AOB es un tringulo El tringulo AOB es un tringulo El tringulo AOB es un tringulo El tringulo AOB es un tringulo rectngulo, si aplicamos Pitgorasrectngulo, si aplicamos Pitgorasrectngulo, si aplicamos Pitgorasrectngulo, si aplicamos Pitgorasobtenemos:obtenemos:obtenemos:obtenemos:
53
obtenemos:obtenemos:obtenemos:obtenemos:
CCCC2222 = a= a= a= a2 2 2 2 +b+b+b+b2222
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
ExcentricidadExcentricidadExcentricidadExcentricidadDefinimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como:
En el caso de la HipEn el caso de la HipEn el caso de la HipEn el caso de la Hiprbola rbola rbola rbola , siempre se cumple:, siempre se cumple:, siempre se cumple:, siempre se cumple:
e > 1e > 1e > 1e > 1
a
c =e
54Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c11_hiperbola_excen
t.html
55
t.html
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Dada la Dada la Dada la Dada la siguientesiguientesiguientesiguiente ecuacin: ecuacin: ecuacin: ecuacin:
Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y excentricidad.excentricidad.excentricidad.excentricidad.Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Sus focos estn en el eje x.Sus focos estn en el eje x.Sus focos estn en el eje x.Sus focos estn en el eje x.
Su semieje real es 8Su semieje real es 8Su semieje real es 8Su semieje real es 8
Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6
13664
22
=
yx
56
Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6
Sus vrtices reales son : Sus vrtices reales son : Sus vrtices reales son : Sus vrtices reales son :
(8;0)(8;0)(8;0)(8;0) y(y(y(y(----8;0)8;0)8;0)8;0)
Sus vrtices imaginarios son : Sus vrtices imaginarios son : Sus vrtices imaginarios son : Sus vrtices imaginarios son : (0;6)(0;6)(0;6)(0;6) y (0;y (0;y (0;y (0;----6)6)6)6)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
CCCC2222 = a= a= a= a2 2 2 2 +b+b+b+b2222
CCCC2222 = 8= 8= 8= 82 2 2 2 +6+6+6+62222
CCCC2222 = 64+36= 64+36= 64+36= 64+36
CCCC2222 = 100= 100= 100= 100
C= 10C= 10C= 10C= 10
Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:
57
Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:
(10;0)(10;0)(10;0)(10;0) ((((----10 ; 0)10 ; 0)10 ; 0)10 ; 0)
Las asntotas son:Las asntotas son:Las asntotas son:Las asntotas son:
y=y=y=y= y=y=y=y=
y=y=y=y=
Su excentricidad es Su excentricidad es Su excentricidad es Su excentricidad es
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ecuacin de la hiprbola con centro (Ecuacin de la hiprbola con centro (Ecuacin de la hiprbola con centro (Ecuacin de la hiprbola con centro (h;kh;kh;kh;k) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x
hhhh
kkkk
Su centro es (h;k) Su centro es (h;k) Su centro es (h;k) Su centro es (h;k)
FFFF2222
FFFF1111
FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos son los focos son los focos son los focos
a es el semieje real a es el semieje real a es el semieje real a es el semieje real
b es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginario
aaaabbbb
Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:
58
hhhh
12222 )()(
=
bakyhx
Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
hhhh
kkkk
FFFF2222
FFFF1111
FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos son los focos son los focos son los focos
FFFF1 1 1 1 =( =( =( =( ----c; 0)+ (h; k)c; 0)+ (h; k)c; 0)+ (h; k)c; 0)+ (h; k)
cccc cccc
VVVV1111aaaa
VVVV2222aaaa
Su eje focal es paralelo al eje xSu eje focal es paralelo al eje xSu eje focal es paralelo al eje xSu eje focal es paralelo al eje x
59
hhhhFFFF2 2 2 2 =( c; 0)+ (h; k)=( c; 0)+ (h; k)=( c; 0)+ (h; k)=( c; 0)+ (h; k)
VVVV1111 y Vy Vy Vy V2222 son los vrtices realesson los vrtices realesson los vrtices realesson los vrtices reales
VVVV1 1 1 1 =( =( =( =( ----a; 0)+ (h; k)a; 0)+ (h; k)a; 0)+ (h; k)a; 0)+ (h; k)
VVVV2 2 2 2 =( a; 0)+ (h; k)=( a; 0)+ (h; k)=( a; 0)+ (h; k)=( a; 0)+ (h; k)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
VVVV3333
VVVV4444
VVVV3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices son los vrtices son los vrtices son los vrtices imaginariosimaginariosimaginariosimaginarios
bbbb
VVVV3 3 3 3 =( 0; b)+ (h; k)=( 0; b)+ (h; k)=( 0; b)+ (h; k)=( 0; b)+ (h; k)
bbbbVVVV4444=( 0; =( 0; =( 0; =( 0; ----b)+ (h; k)b)+ (h; k)b)+ (h; k)b)+ (h; k)
60Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Hiprbola con eje focal yHiprbola con eje focal yHiprbola con eje focal yHiprbola con eje focal ySu centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)
FFFF1 1 1 1 y Fy Fy Fy F2222 son sus focosson sus focosson sus focosson sus focos
FFFF1 1 1 1 = (0;= (0;= (0;= (0;----c)c)c)c)
FFFF2 2 2 2 = (0;c)= (0;c)= (0;c)= (0;c)
El eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje y
FFFF2222
vvvv2222
vvvv1111
aaaa
bbbbvvvv3333 vvvv4444
61
a es el semieje reala es el semieje reala es el semieje reala es el semieje real
VVVV1 1 1 1 y vy vy vy v2222 son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales VVVV1 1 1 1 = (0; = (0; = (0; = (0; ----a)a)a)a) VVVV2 2 2 2 = (0; a)= (0; a)= (0; a)= (0; a)
El eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yFFFF1111
b es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginario VVVV3 3 3 3 y vy vy vy v4444 son los vrtices imaginarios son los vrtices imaginarios son los vrtices imaginarios son los vrtices imaginarios
VVVV3 3 3 3 = (= (= (= (----b; 0)b; 0)b; 0)b; 0) VVVV4444= (b; 0)= (b; 0)= (b; 0)= (b; 0)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:
Es una hiprbola con eje focal Es una hiprbola con eje focal Es una hiprbola con eje focal Es una hiprbola con eje focal Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)
62
Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)
Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:
Anlogamente, se pueden buscar Anlogamente, se pueden buscar Anlogamente, se pueden buscar Anlogamente, se pueden buscar sus elementos . sus elementos . sus elementos . sus elementos .
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: ----9x9x9x9x2222 + 4y+ 4y+ 4y+ 4y2 2 2 2 + 54x + 54x + 54x + 54x ---- 8y 8y 8y 8y ----113 = 0113 = 0113 = 0113 = 0indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las asntotas.asntotas.asntotas.asntotas.
----9 (x9 (x9 (x9 (x2222 + 6x) + 4 (y+ 6x) + 4 (y+ 6x) + 4 (y+ 6x) + 4 (y2222 ----2y) 2y) 2y) 2y) ----113 = 0113 = 0113 = 0113 = 0
----9x9x9x9x2222 + 54x + 4y+ 54x + 4y+ 54x + 4y+ 54x + 4y2 2 2 2 ---- 8y 8y 8y 8y ----113 = 0113 = 0113 = 0113 = 0
2.2.2.2.xxxx....bbbb= 6x= 6x= 6x= 6xbbbb= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = 3333
2222
2.2.2.2.yyyy....bbbb= = = = ----2y2y2y2ybbbb= (= (= (= (----2y) : (2.2y) : (2.2y) : (2.2y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = ----1111bbbb2222 = = = = 1111
63
bbbb= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = 3333bbbb2222 = = = = 9999
----9 (x9 (x9 (x9 (x2222 + 6x + 6x + 6x + 6x + 9 + 9 + 9 + 9 ----9999) ) ) )
bbbb2222 = = = = 1111
+4 (y+4 (y+4 (y+4 (y2222 ----2y2y2y2y+1+1+1+1----1111) ) ) ) ----113= 0113= 0113= 0113= 0
(x+3)(x+3)(x+3)(x+3)2222 (y(y(y(y----1)1)1)1)2222
----9(9(9(9((x+3)(x+3)(x+3)(x+3)2222 ----9999) + 4 () + 4 () + 4 () + 4 ((y(y(y(y----1) 1) 1) 1) 2222----1111) ) ) ) ----113= 0113= 0113= 0113= 0
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
----9(9(9(9((x+3)(x+3)(x+3)(x+3)2222 ----9999) + 4 () + 4 () + 4 () + 4 ((y(y(y(y----1) 1) 1) 1) 2222----1111) ) ) ) ----113= 0113= 0113= 0113= 0
----9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)2222 +81+81+81+81 +4(y+4(y+4(y+4(y----1) 1) 1) 1) 2222 ----4 4 4 4 ----113113113113= 0 = 0 = 0 = 0
----9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)2222 +4(y+4(y+4(y+4(y----1) 1) 1) 1) 2222 ----36363636= 0 = 0 = 0 = 0
----9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)2222 +4(y+4(y+4(y+4(y----1) 1) 1) 1) 2222 =36=36=36=36
64
3636
36)1(4
36)3(9 22
=
++ yx
19
)1(4
)3( 22=
++
yx
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
19
)1(4
)3( 22=
++
yx
Se trata de una hiprbola con eje focal Se trata de una hiprbola con eje focal Se trata de una hiprbola con eje focal Se trata de una hiprbola con eje focal paralelo al eje y.paralelo al eje y.paralelo al eje y.paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje imaginario es 2, y es paralelo Su semieje imaginario es 2, y es paralelo Su semieje imaginario es 2, y es paralelo Su semieje imaginario es 2, y es paralelo al eje x.al eje x.al eje x.al eje x.Su centro es (Su centro es (Su centro es (Su centro es (----3;1)3;1)3;1)3;1)
vvvv1111
vvvv2222
vvvv3333vvvv4444
65
Su centro es (Su centro es (Su centro es (Su centro es (----3;1)3;1)3;1)3;1)
Sus vrtices reales son: Sus vrtices reales son: Sus vrtices reales son: Sus vrtices reales son: VVVV1111= (= (= (= (----3;3;3;3;----2) y V2) y V2) y V2) y V2 2 2 2 = (= (= (= (----3;4)3;4)3;4)3;4)Sus vrtices imaginarios son: Sus vrtices imaginarios son: Sus vrtices imaginarios son: Sus vrtices imaginarios son: VVVV3333= (= (= (= (----1;1) y V1;1) y V1;1) y V1;1) y V4 4 4 4 = (= (= (= (----5;1)5;1)5;1)5;1)
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
19
)1(4
)3( 22=
++
yx
Focos: Focos: Focos: Focos:
aaaa2 2 2 2 + b+ b+ b+ b2 2 2 2 = c= c= c= c2222
9 + 4= c9 + 4= c9 + 4= c9 + 4= c2222
13 = c13 = c13 = c13 = c2222
FFFF1111
13
FFFF2222
13
66
13=c
13 = c13 = c13 = c13 = c
FFFF1 1 1 1 = (= (= (= (----3; 1+3; 1+3; 1+3; 1+ 13 )
FFFF2 2 2 2 = (= (= (= (----3; 13; 13; 13; 1---- 13 )
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
a=3a=3a=3a=3
b=2b=2b=2b=2
Una de las asntotas pasa por Una de las asntotas pasa por Una de las asntotas pasa por Una de las asntotas pasa por los puntos los puntos los puntos los puntos ((((----3;1) y (3;1) y (3;1) y (3;1) y (----1;4) , 1;4) , 1;4) , 1;4) , y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser
y= 3/2 (x+3)(x+3)(x+3)(x+3) +1
La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por
y= ( ( ( ( 3/2 )))) x+ 11/2x+ 11/2x+ 11/2x+ 11/2
67
La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por los puntos los puntos los puntos los puntos ((((----3;1) y (3;1) y (3;1) y (3;1) y (----5;4) , 5;4) , 5;4) , 5;4) , y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser
y=- 3/2 (x+3)(x+3)(x+3)(x+3) +1
y= ( ( ( ( ----3/2 )))) x x x x ---- 7/27/27/27/2
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
EjemploEjemploEjemploEjemplo:::: DadaDadaDadaDada lalalala siguientesiguientesiguientesiguiente ecuacinecuacinecuacinecuacin:::: 4444xxxx2222 ++++ 8888xxxx yyyy2222 ++++ 4444yyyy ==== 0000AnalizarAnalizarAnalizarAnalizar dededede quequequeque tipotipotipotipo dededede cnicacnicacnicacnica sesesese tratatratatratatrata ::::
4444xxxx2222 ++++ 8888xxxx yyyy2222 ++++ 4444yyyy ==== 0000
4444(x(x(x(x2222 ++++ 2222x)x)x)x) (y(y(y(y2222 ---- 4444y)y)y)y) ==== 0000
4444(x(x(x(x2222 ++++ 2222xxxx ++++ 1111 ---- 1111)))) (y(y(y(y2222 ---- 4444yyyy ++++ 4444 ---- 4444)))) ==== 0000
4444(((( (x(x(x(x ++++ 1111))))2222 1111 )))) (((((((( yyyy ---- 2222))))2222 ---- 4444 )))) ==== 0000 Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera
68
4444(x(x(x(x ++++ 1111))))2222 4444 (y(y(y(y ---- 2222))))2222 ++++ 4444 ==== 0000
4444(x(x(x(x ++++ 1111))))2222 (y(y(y(y ---- 2222))))2222 ==== 0000
[[[[2222(x(x(x(x ++++ 1111)))) ++++ (y(y(y(y 2222)])])])] [[[[2222(x(x(x(x ++++ 1111)))) (y(y(y(y 2222)])])])] ==== 0000
[[[[2222xxxx ++++ 2222 ++++ yyyy 2222]]]] [[[[2222xxxx ++++ 2222 yyyy ++++2222]]]] ==== 00002222xxxx ++++ yyyy ==== 0000 2222xxxx yyyy ++++ 4444 ==== 0000
yyyy ==== ---- 2222xxxx yyyy ==== 2222xxxx ++++ 4444
Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera en dos rectas . en dos rectas . en dos rectas . en dos rectas .
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Cnicas Cnicas Cnicas Cnicas
Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola
69Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Cnicas Cnicas Cnicas Cnicas
Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia
Elipse Elipse Elipse Elipse Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola
70
1)()( 22
2
2=
+
bky
a
hx
1)()( 22
2
2=
+
a
kyb
hx
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
ParbolaParbolaParbolaParbola
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall
/geogebra/figuras/c12_parabola_constr.html
71Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
ParbolaParbolaParbolaParbolaEs el lugar geomtrico de los puntos del plano que Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directrizfija llamada directrizfija llamada directrizfija llamada directriz
y
xp/2 F
-p/2 r
0
P(x,y)
72Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Prof.Andrea Maidana
Elementos de la parbolaElementos de la parbolaElementos de la parbolaElementos de la parbolaV es el vV es el vV es el vV es el vrtice de la parbolartice de la parbolartice de la parbolartice de la parbola
V =(0; 0)V =(0; 0)V =(0; 0)V =(0; 0)e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra de la parbolade simetra de la parbolade simetra de la parbolade simetra de la parbola
Su ecuacin es x=0Su ecuacin es x=0Su ecuacin es x=0Su ecuacin es x=0
FFFFF es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola
d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directriz
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 73
VVVV
eeee
dddd
d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directrizpppp
La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la directrizdirectrizdirectrizdirectriz es pes pes pes p
El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)
La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =
Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia Elipse Elipse Elipse Elipse
Excentricidad Excentricidad Excentricidad Excentricidad
e= 0 e= 0 e= 0 e= 0 0
Ecuacin de la parbola con vrticeEcuacin de la parbola con vrticeEcuacin de la parbola con vrticeEcuacin de la parbola con vrtice(0; 0)(0; 0)(0; 0)(0; 0)
P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)
P pertenece a la parbola P pertenece a la parbola P pertenece a la parbola P pertenece a la parbola d( P, F) =d( P, F) =d( P, F) =d( P, F) = d( P, d) d( P, d) d( P, d) d( P, d)
FFFF
d( P, F) d( P, F) d( P, F) d( P, F) ====x
2 y2
yyyy
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 75
ddddF =(0; p/2)F =(0; p/2)F =(0; p/2)F =(0; p/2)
x1
y1
d( P, d)= d( P, d)= d( P, d)= d( P, d)= y +y +y +y +
y +y +y +y +
y +y +y +y +
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 76
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 77
Ecuacin de la parbolaEcuacin de la parbolaEcuacin de la parbolaEcuacin de la parbola de vrtice (0;0)y eje focal yde vrtice (0;0)y eje focal yde vrtice (0;0)y eje focal yde vrtice (0;0)y eje focal y
Concavidad de la parbola Concavidad de la parbola Concavidad de la parbola Concavidad de la parbola
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 78
a>0 a>0 a>0 a>0 a
Ejemplo: Dada la ecuacin xEjemplo: Dada la ecuacin xEjemplo: Dada la ecuacin xEjemplo: Dada la ecuacin x2222 = = = = ----16y hallar foco , vrtice16y hallar foco , vrtice16y hallar foco , vrtice16y hallar foco , vrticedirectriz y eje focal . Graficardirectriz y eje focal . Graficardirectriz y eje focal . Graficardirectriz y eje focal . Graficar
----16y = x16y = x16y = x16y = x2222
Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0) Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0) Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0) Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0)
Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 79
Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.
y
x
FFFF
El eje focal es x=0El eje focal es x=0El eje focal es x=0El eje focal es x=0
Para averiguar la directriz y el foco es Para averiguar la directriz y el foco es Para averiguar la directriz y el foco es Para averiguar la directriz y el foco es necesario averiguar pnecesario averiguar pnecesario averiguar pnecesario averiguar p
2p=2p=2p=2p=----16161616 p=p=p=p=----16/216/216/216/2
p=p=p=p=----8888
yx
FFFF
p=p=p=p=----88888888
El Foco es El Foco es El Foco es El Foco es (0; (0; (0; (0; ----4) 4) 4) 4)
La directriz es La directriz es La directriz es La directriz es y=4y=4y=4y=4
Para graficar la parbola armamos una tabla de valores Para graficar la parbola armamos una tabla de valores Para graficar la parbola armamos una tabla de valores Para graficar la parbola armamos una tabla de valores
xxxx y = (y = (y = (y = (----1/16)x1/16)x1/16)x1/16)x2222
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 80
xxxx y = (y = (y = (y = (----1/16)x1/16)x1/16)x1/16)x2222
----12121212 ----9999
----8888 ----4444
----4444 ----1111
0000 0000
4444 ----1111
8888 ----4444
12121212 ----9999
Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (h;kh;kh;kh;k) y eje focal paralelo al eje y) y eje focal paralelo al eje y) y eje focal paralelo al eje y) y eje focal paralelo al eje y
k
El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)
e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de la parbolade simetra y focal de la parbolade simetra y focal de la parbolade simetra y focal de la parbola
Su ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=h
La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:
( )2hxaky =FFFF
pppp
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 81
h
k
eeee
Su ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=h
F es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola
dddd d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directriz
pppp
La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la directrizdirectrizdirectrizdirectriz es pes pes pes p
El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2) +(h;k)+(h;k)+(h;k)+(h;k)
La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y = +k+k+k+k
Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x
x
y
V F
d
0
El vrtice es (0;0)El vrtice es (0;0)El vrtice es (0;0)El vrtice es (0;0)La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:
eeee
e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de la parbolala parbolala parbolala parbolapppp
a > 0
la parbolala parbolala parbolala parbola
Su ecuacin es y=0Su ecuacin es y=0Su ecuacin es y=0Su ecuacin es y=0F es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola
d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directriz
pppp
La distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directriz es pes pes pes p
El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )
82Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =
Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x
x
y
V F
d
0
y d
x
0
VF
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 83
a > 0a < 0
a>0 a>0 a>0 a>0 a
Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (h;kh;kh;kh;k) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x
k
El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:
2)( kyahx =e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de la parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje x
eeeeFFFF
dddd
pppp
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 84
h
la parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje x
Su ecuacin es y=kSu ecuacin es y=kSu ecuacin es y=kSu ecuacin es y=kF es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola
d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directriz es pes pes pes p
El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 ) +(h;k)+(h;k)+(h;k)+(h;k)La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x = +h+h+h+h
Cnicas Cnicas Cnicas Cnicas
Parbola Parbola Parbola Parbola
2)( kyahx =( )2hxaky =
85
a>0 a>0 a>0 a>0 a0
a
Ejemplo : Dada la ecuacin Ejemplo : Dada la ecuacin Ejemplo : Dada la ecuacin Ejemplo : Dada la ecuacin ---- 8x 8x 8x 8x yyyy2222 + 8y + 8y + 8y + 8y 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0 Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos.
---- 8x 8x 8x 8x yyyy2222 + 8y + 8y + 8y + 8y 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0
yyyy2222 + 8y + 8y + 8y + 8y ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0
((((yyyy2222 ---- 8y8y8y8y )))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0
2.2.2.2.yyyy....bbbb= = = = ----8y8y8y8ybbbb= (= (= (= (----8y) : (2.8y) : (2.8y) : (2.8y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = ----4444bbbb2222 = = = = 16161616
((((yyyy2222 ---- 8y8y8y8y +16 +16 +16 +16 ---- 16161616)))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Prof.Andrea Maidana86
((((yyyy2222 ---- 8y8y8y8y +16 +16 +16 +16 ---- 16161616)))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0
(y (y (y (y ----4444))))2222
((y ((y ((y ((y ----4444))))2222 ---- 16161616)))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0
(y (y (y (y ----4444))))2222 + + + + 16161616 ---- 8x 8x 8x 8x 32 32 32 32 = 0 = 0 = 0 = 0
(y (y (y (y ----4444))))2222 ---- 16 16 16 16 ---- 8x = 0 8x = 0 8x = 0 8x = 0
(y (y (y (y ----4444))))2222 ====8x +16 8x +16 8x +16 8x +16
(y (y (y (y ----4444))))2222 ====8888 (((( x +2x +2x +2x +2))))
(y (y (y (y ----4444))))2222 ====8888 (((( x +2x +2x +2x +2))))
El vrtice es (El vrtice es (El vrtice es (El vrtice es (----2 ; 4)2 ; 4)2 ; 4)2 ; 4)
eeeeFFFF
dddd
pppp
Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 87
e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de la parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje x
Su ecuacin es y=4Su ecuacin es y=4Su ecuacin es y=4Su ecuacin es y=4
2p=2p=2p=2p=----8888
p=p=p=p=----4444
El foco es el punto F =( El foco es el punto F =( El foco es el punto F =( El foco es el punto F =( ----4; 4)4; 4)4; 4)4; 4)
La directriz es la recta x =0La directriz es la recta x =0La directriz es la recta x =0La directriz es la recta x =0
Cnicas Cnicas Cnicas Cnicas
Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia
Elipse Elipse Elipse Elipse
1)()( 22
2
2=
+
bky
a
hx
1)()( 22
2
2=
+
a
kyb
hx
Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola Parbola Parbola Parbola Parbola
88
Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola
Matemtica II - Ctedra Santa Mara-
Parbola Parbola Parbola Parbola
2)( kyahx =
( )2hxaky =