Cónicas_Santa María

CnicasCnicasCnicasCnicas

1

CnicasCnicasCnicasCnicas

Matemtica II - Ctedra Santa Mara-

CnicasCnicasCnicasCnicasCuandoCuandoCuandoCuando unaunaunauna rectarectarectarecta gggg (generatriz)(generatriz)(generatriz)(generatriz) quequequeque cortacortacortacorta aaaa otraotraotraotra rectarectarectarecta eeee(eje),(eje),(eje),(eje), giragiragiragira enenenen tornotornotornotorno aaaa ella,ella,ella,ella, apoyndoseapoyndoseapoyndoseapoyndose enenenen unaunaunauna curvacurvacurvacurva fijafijafijafijadddd (directriz),(directriz),(directriz),(directriz), generagenerageneragenera unaunaunauna superficiesuperficiesuperficiesuperficie cnicacnicacnicacnica....EnEnEnEn particularparticularparticularparticular sisisisi lalalala directrizdirectrizdirectrizdirectriz eseseses unaunaunauna circunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia yyyy elelelelejeejeejeeje eseseses perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular alalalal planoplanoplanoplano dededede lalalala circunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia pasandopasandopasandopasandoporporporpor susususu centro,centro,centro,centro, aaaa lalalala superficiesuperficiesuperficiesuperficie sesesese lalalalaporporporpor susususu centro,centro,centro,centro, aaaa lalalala superficiesuperficiesuperficiesuperficie sesesese lalalaladenominadenominadenominadenomina conoconoconocono circularcircularcircularcircular rectorectorectorecto....DenominamosDenominamosDenominamosDenominamos cnicascnicascnicascnicas aaaa laslaslaslas curvascurvascurvascurvasgeneradasgeneradasgeneradasgeneradas porporporpor lalalala interseccininterseccininterseccininterseccin dedededeunununun planoplanoplanoplano conconconcon elelelel conoconoconocono circularcircularcircularcircular rectorectorectorecto....

2Matemtica II - Ctedra Santa Mara-

d: directriz

CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaEsEsEsEs lalalala CnicaCnicaCnicaCnica quequequeque sesesese obtieneobtieneobtieneobtiene cuandocuandocuandocuando elelelel planoplanoplanoplano quequequeque cortacortacortacorta aaaa lalalalasuperficiesuperficiesuperficiesuperficie cnicacnicacnicacnica eseseses perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular alalalal ejeejeejeeje dededede lalalala misma,misma,misma,misma, cortacortacortacorta aaaa todastodastodastodaslaslaslaslas generatricesgeneratricesgeneratricesgeneratrices yyyy nononono pasapasapasapasa porporporpor elelelel vrticevrticevrticevrtice....


ElipseElipseElipseElipseEs la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie Es la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie Es la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie Es la Cnica que se obtiene cuando el plano secante a la superficie

cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las cnica no es perpendicular a su eje , corta a todas las generatrices y no pasa por el vrtice.generatrices y no pasa por el vrtice.generatrices y no pasa por el vrtice.generatrices y no pasa por el vrtice.


HiprbolaHiprbolaHiprbolaHiprbolaEsEsEsEs lalalala cnicacnicacnicacnica quequequeque sesesese obtieneobtieneobtieneobtiene cuandocuandocuandocuando elelelel planoplanoplanoplano quequequeque cortacortacortacorta aaaa lalalalasuperficiesuperficiesuperficiesuperficie eseseses paraleloparaleloparaleloparalelo alalalal ejeejeejeeje dededede lalalala mismamismamismamisma yyyy nononono pasapasapasapasa porporporpor elelelelvrticevrticevrticevrtice....


PrabolaPrabolaPrabolaPrabolaEsEsEsEs lalalala cnicacnicacnicacnica quequequeque sesesese obtieneobtieneobtieneobtiene cuandocuandocuandocuando elelelel planoplanoplanoplano secantesecantesecantesecante aaaa lalalalaSuperficieSuperficieSuperficieSuperficie nononono eseseses perpendicularperpendicularperpendicularperpendicular alalalal ejeejeejeeje dededede lalalala misma,misma,misma,misma, esesesesparaleloparaleloparaleloparalelo aaaa unaunaunauna generatrizgeneratrizgeneratrizgeneratriz yyyy nononono pasapasapasapasa porporporpor elelelel vrticevrticevrticevrtice....


Cnica DegeneradaCnica DegeneradaCnica DegeneradaCnica DegeneradaCuandoCuandoCuandoCuando elelelel planoplanoplanoplano quequequeque cortacortacortacorta aaaa lalalala superficiesuperficiesuperficiesuperficie cnicacnicacnicacnica contienecontienecontienecontienealalalal vrticevrticevrticevrtice yyyy sesesese mantienemantienemantienemantiene paraleloparaleloparaleloparalelo aaaa susususu posicinposicinposicinposicin primitivaprimitivaprimitivaprimitiva seseseseobtieneobtieneobtieneobtiene unaunaunauna seccinseccinseccinseccin llamadallamadallamadallamada CnicaCnicaCnicaCnica DegeneradaDegeneradaDegeneradaDegenerada....


CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferencia

8

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaal

l/geogebra/figuras/c1_circunf_constr.html


CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaEsEsEsEs elelelel lugarlugarlugarlugar geomtricogeomtricogeomtricogeomtrico dededede loslosloslos puntospuntospuntospuntos deldeldeldel planoplanoplanoplano talestalestalestales quequequequesussussussus distanciasdistanciasdistanciasdistancias aaaa unununun puntopuntopuntopunto fijofijofijofijo (h(h(h(h;;;;k)k)k)k) eseseses constanteconstanteconstanteconstante (r)(r)(r)(r)(h(h(h(h;;;; k)k)k)k) eseseses elelelel centrocentrocentrocentro dededede lalalala circunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia yyyy rrrr eseseses elelelel radioradioradioradio dededede lalalalacircunferenciacircunferenciacircunferenciacircunferencia....

9

1

1

C(h;k)

P(x;y)

r


1C(h;k)

P(x;y)

r

k

y

x - h

y - k

10

1h x

P pertenece a la circunferencia P pertenece a la circunferencia P pertenece a la circunferencia P pertenece a la circunferencia d( P, C)=r d( P, C)=r d( P, C)=r d( P, C)=r


Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) Ecuacin cannica de la circunferencia de centro (h, k) y radio ry radio ry radio ry radio ry radio ry radio ry radio ry radio r

Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2 1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2 1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2 1) Hallar la ecuacin de una circunferencia de radio 2

y centro (2; 3)y centro (2; 3)y centro (2; 3)y centro (2; 3)


2) 2) 2) 2) Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y Hallar la ecuacin de una circunferencia de dimetro 10 y centro (centro (centro (centro (----1; 2). Graficar1; 2). Graficar1; 2). Graficar1; 2). Graficar....


3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia3) Hallar centro y radio de la siguiente circunferencia

13

Centro = (6; Centro = (6; Centro = (6; Centro = (6; ----3) y el radio es 3) y el radio es 3) y el radio es 3) y el radio es


Clasificacin de las circunferenciasClasificacin de las circunferenciasClasificacin de las circunferenciasClasificacin de las circunferencias

VerdaderasVerdaderasVerdaderasVerdaderas

degeneradadegeneradadegeneradadegenerada

imaginariaimaginariaimaginariaimaginaria

14

degeneradadegeneradadegeneradadegenerada

Si r Si r Si r Si r 2222es positivoes positivoes positivoes positivoSi r Si r Si r Si r 2222es 0es 0es 0es 0

Si r Si r Si r Si r 2222es negativoes negativoes negativoes negativoMatemtica II - Ctedra Santa Mara-

Ejemplos: Ejemplos: Ejemplos: Ejemplos: Analizar si las siguientes ecuaciones representan circunferenciasAnalizar si las siguientes ecuaciones representan circunferenciasAnalizar si las siguientes ecuaciones representan circunferenciasAnalizar si las siguientes ecuaciones representan circunferencias

a) xa) xa) xa) x2222+ y+ y+ y+ y2222 ---- 2x 2x 2x 2x ---- 6y 6y 6y 6y 15= 015= 015= 015= 0

xxxx2222 ---- 2x + y2x + y2x + y2x + y2222 ---- 6y 6y 6y 6y 15= 015= 015= 015= 0

2.2.2.2.xxxx....bbbb= = = = ----2x2x2x2xbbbb= (= (= (= (----2x) : (22x) : (22x) : (22x) : (2....xxxx) =) =) =) = ----1111

bbbb2222 ==== 1111

2.2.2.2.yyyy....bbbb= = = = ----6y6y6y6ybbbb= (= (= (= (----6y) : (2.6y) : (2.6y) : (2.6y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = ----3333bbbb2222 = = = = 9999

15

xxxx2222 ---- 2x +1 2x +1 2x +1 2x +1 ---- 1+ y1+ y1+ y1+ y2222 ---- 6y +9 6y +9 6y +9 6y +9 ---- 9 9 9 9 15= 015= 015= 015= 0

bbbb ==== 1111 bbbb = = = = 9999

(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 (y(y(y(y----3)3)3)3)2222

(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 ---- 1+ (y1+ (y1+ (y1+ (y----3)3)3)3)2222 ---- 9 9 9 9 15= 015= 015= 015= 0

(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3)3)3)3)2222 ----25= 025= 025= 025= 0Matemtica II - Ctedra Santa Mara-

(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3)3)3)3)2222 = 25= 25= 25= 25

b) 4xb) 4xb) 4xb) 4x2222+ 4y+ 4y+ 4y+ 4y2222 +16x +16x +16x +16x ---- 12y +36= 012y +36= 012y +36= 012y +36= 0

xxxx2222 + y+ y+ y+ y2222 +4x +4x +4x +4x ---- 3y +9= 03y +9= 03y +9= 03y +9= 0

Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , Es una circunferencia de centro (1 ; 3) y radio 5 , adems es una circunferencia verdadera.adems es una circunferencia verdadera.adems es una circunferencia verdadera.adems es una circunferencia verdadera.

xxxx2222 +4x +y+4x +y+4x +y+4x +y2 2 2 2 ---- 3y +9= 03y +9= 03y +9= 03y +9= 0

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xxxx2222 + 4x +4 + 4x +4 + 4x +4 + 4x +4 ---- 4+ y4+ y4+ y4+ y2222 ---- 3y +9/4 3y +9/4 3y +9/4 3y +9/4 9/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 0

2.2.2.2.xxxx....bbbb= 4x= 4x= 4x= 4xbbbb= 4x : (2.= 4x : (2.= 4x : (2.= 4x : (2.xxxx) = ) = ) = ) = 2222

bbbb2222 = = = = 4444

2.2.2.2.yyyy....bbbb= = = = ----3y3y3y3ybbbb= (= (= (= (----3y) : (2.3y) : (2.3y) : (2.3y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = ----3/23/23/23/2bbbb2222 = = = = 9/49/49/49/4

(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 (y(y(y(y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222


(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 ---- 4+ (y4+ (y4+ (y4+ (y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222 ---- 9/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 09/4 +9= 0

(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222 +11/4= 0+11/4= 0+11/4= 0+11/4= 0

(x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 + (y+ (y+ (y+ (y----3/2)3/2)3/2)3/2)2222 = = = = ---- 11/411/411/411/4

Es una circunferencia imaginariaEs una circunferencia imaginariaEs una circunferencia imaginariaEs una circunferencia imaginaria

c) xc) xc) xc) x2222+ y+ y+ y+ y2222 ----2x +1= 02x +1= 02x +1= 02x +1= 0

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c) xc) xc) xc) x + y+ y+ y+ y ----2x +1= 02x +1= 02x +1= 02x +1= 0

xxxx2222----2x +1 + y2x +1 + y2x +1 + y2x +1 + y2222 = 0= 0= 0= 02222....xxxx....bbbb= = = = ----2x2x2x2x

bbbb= (= (= (= (----2x) : (2.2x) : (2.2x) : (2.2x) : (2.xxxx) =) =) =) = ----1111bbbb2222 = = = = 1111

(x(x(x(x----1)1)1)1)2222

(x(x(x(x----1)1)1)1)2222 + y+ y+ y+ y2222 = 0= 0= 0= 0Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)Es una circunferencia degenerada, es el punto (1;0)


Posiciones relativas entre una circunferencia y una rectaPosiciones relativas entre una circunferencia y una rectaPosiciones relativas entre una circunferencia y una rectaPosiciones relativas entre una circunferencia y una recta

18

La recta es secante La recta es secante La recta es secante La recta es secante a la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferencia

La recta es tangente La recta es tangente La recta es tangente La recta es tangente a la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferencia

La recta es exteriorLa recta es exteriorLa recta es exteriorLa recta es exteriora la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferenciaa la circunferencia


ElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipseElipsehttp://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c4_elipse_constr.html


ElipseElipseElipseElipseEsEsEsEs elelelel lugarlugarlugarlugar geomtricogeomtricogeomtricogeomtrico dededede loslosloslos puntospuntospuntospuntos deldeldeldel planoplanoplanoplano talestalestalestales quequequeque lalalalasumasumasumasuma dededede sussussussus distanciasdistanciasdistanciasdistancias aaaa dosdosdosdos puntospuntospuntospuntos fijosfijosfijosfijos llamadosllamadosllamadosllamadosfocosfocosfocosfocos eseseses igualigualigualigual aaaa unaunaunauna constanteconstanteconstanteconstante mayormayormayormayor quequequeque lalalala distanciadistanciadistanciadistanciaentreentreentreentre loslosloslos focosfocosfocosfocos....

P(x;y)

0 1

1

F1 F2

P(x;y)


Elementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseTiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).Tiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).Tiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).Tiene centro, en este ejemplo ,es el (0;0).FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.

FFFF1 1 1 1 =( =( =( =( ----c; 0)c; 0)c; 0)c; 0)FFFF2 2 2 2 =( c; 0)=( c; 0)=( c; 0)=( c; 0)

x

y

FFFF1111FFFF2222

b

b es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menorb es el semieje menor

a

21

xFFFF1111

c c


a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor

Los focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayorLos focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayorLos focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayorLos focos de la elipse siempre se encuentran en el eje mayor


VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipse

VVVV1111 = (a; 0) = (a; 0) = (a; 0) = (a; 0) VVVV2222= (= (= (= (----a; 0) a; 0) a; 0) a; 0) VVVV3333= (0; b)= (0; b)= (0; b)= (0; b)x

y

FFFF1111FFFF2222

b

VVVV1111VVVV2222

VVVV3333

3333

VVVV4444= (0; = (0; = (0; = (0; ----b)b)b)b)

22

FFFF1111a

VVVV1111VVVV2222

VVVV4444


Ecuacin de la elipseEcuacin de la elipseEcuacin de la elipseEcuacin de la elipse

x

y

FFFF1111FFFF2222

P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)

P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)

a-cc

P pertenece a la elipse P pertenece a la elipse P pertenece a la elipse P pertenece a la elipse d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= k k k k

23

FFFF1111

ac

a+c a-c

a+c + aa+c + aa+c + aa+c + a----c = kc = kc = kc = k2 a = k2 a = k2 a = k2 a = k


xFFFF2 2 2 2 =(c;0)=(c;0)=(c;0)=(c;0)

P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)

c d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) ) ) ) ====

FFFF1 1 1 1 =(=(=(=(----c;0)c;0)c;0)c;0)

x2 y

2

x x

y

x1 y

1

x1

y1

d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F2222)= )= )= )=


d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= kkkk

d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= 2a2a2a2a

= 2 a= 2 a= 2 a= 2 a

Elevando al cuadrado y haciendo operaciones Elevando al cuadrado y haciendo operaciones Elevando al cuadrado y haciendo operaciones Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a:

25

algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a: algebraicas se llega a:

122

2

2=+

by

a

x

Ecuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal xEcuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal xEcuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal xEcuacin de la elipse de centro (0;0)y eje focal x


xFFFF2 2 2 2 FFFF1 1 1 1

y Relacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cVVVV3 3 3 3

Como VComo VComo VComo V es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin:

a

c

b

Como VComo VComo VComo V3333 es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin: es un punto de la elipse debe verificar la condicin:

d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F) +d( P, F2222)=)=)=)= 2a2a2a2a

d( Vd( Vd( Vd( V3333, F, F, F, F1111) +d( V) +d( V) +d( V) +d( V3333, F, F, F, F2222)=)=)=)= 2a2a2a2a

d( Vd( Vd( Vd( V3333, F, F, F, F1111) = d( V) = d( V) = d( V) = d( V3333, F, F, F, F2222)=)=)=)= aaaa

aaaa2 2 2 2 =c=c=c=c2 2 2 2 + b + b + b + b 222226


ExcentricidadExcentricidadExcentricidadExcentricidadDefinimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como:

a

c =e

xFFFF2 2 2 2 FFFF1 1 1 1

y

a

En el caso de la Elipse, siempre se cumple:En el caso de la Elipse, siempre se cumple:En el caso de la Elipse, siempre se cumple:En el caso de la Elipse, siempre se cumple:

0 < e < 10 < e < 10 < e < 10 < e < 1

c


http://docentes.educacion.navarra.es/msadaa

ll/geogebra/figuras/c6_elipse_excent.html


Ejemplo: Graficar la elipse: Ejemplo: Graficar la elipse: Ejemplo: Graficar la elipse: Ejemplo: Graficar la elipse:

Centro: ( 0 ; 0)Centro: ( 0 ; 0)Centro: ( 0 ; 0)Centro: ( 0 ; 0)Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje menor = b = 4Semieje menor = b = 4Semieje menor = b = 4Semieje menor = b = 4Cules son los vrtices?Cules son los vrtices?Cules son los vrtices?Cules son los vrtices?(5; 0) (5; 0) (5; 0) (5; 0) (0;4)(0;4)(0;4)(0;4)(5; 0) (5; 0) (5; 0) (5; 0) ((((----5;0)5;0)5;0)5;0)Cules son los focos? Cules son los focos? Cules son los focos? Cules son los focos? cccc2 2 2 2 + b + b + b + b 2222= a= a= a= a2 2 2 2

29

cccc2 2 2 2 + 16= 25+ 16= 25+ 16= 25+ 16= 25 cccc2 2 2 2 =25 =25 =25 =25 ---- 16161616 cccc2 2 2 2 =9=9=9=9 c=3 c=3 c=3 c=3

(0;4)(0;4)(0;4)(0;4)(0;(0;(0;(0;----4)4)4)4)

Los focos son (3; 0) y (Los focos son (3; 0) y (Los focos son (3; 0) y (Los focos son (3; 0) y (----3;0) 3;0) 3;0) 3;0)


Su excentricidad esSu excentricidad esSu excentricidad esSu excentricidad es

La ecuacin del eje focal es: y=0La ecuacin del eje focal es: y=0La ecuacin del eje focal es: y=0La ecuacin del eje focal es: y=0


Ecuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje xEcuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje xEcuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje xEcuacin de la elipse con centro (h;k) y eje focal paralelo al eje x

y

FFFFFFFF2222

b a

k 1)()( 22

2

2=

+

bky

a

hx

31

x

FFFF1111c c

h

122 =+ ba


Prof.Andrea Maidana

Elementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseElementos de la elipseTiene centro en el punto (h;k).Tiene centro en el punto (h;k).Tiene centro en el punto (h;k).Tiene centro en el punto (h;k).FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.

FFFF1 1 1 1 =( =( =( =( ----c; 0) + (h;k)c; 0) + (h;k)c; 0) + (h;k)c; 0) + (h;k)FFFF2 2 2 2 =( c; 0) +( h;k)=( c; 0) +( h;k)=( c; 0) +( h;k)=( c; 0) +( h;k)


y

FFFFFFFF2222

b a

k

32


a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor a es el semieje mayor x

FFFF1111FFFF2222

c c

h


VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipseson los vrtices de la elipse

VVVV1111 = (a; 0) +(h ; k)= (a; 0) +(h ; k)= (a; 0) +(h ; k)= (a; 0) +(h ; k)VVVV2222= (= (= (= (----a; 0) +(h; k)a; 0) +(h; k)a; 0) +(h; k)a; 0) +(h; k)VVVV3333= (0; b) +(h ; k)= (0; b) +(h ; k)= (0; b) +(h ; k)= (0; b) +(h ; k)

y

FFFF1111FFFF2222

b

VVVV1111VVVV

VVVV3333

3333

VVVV4444= (0; = (0; = (0; = (0; ----b) +(h ; k)b) +(h ; k)b) +(h ; k)b) +(h ; k)

33

x

FFFF1111a

VVVV1111VVVV2222

VVVV4444


Elipse con eje focal yElipse con eje focal yElipse con eje focal yElipse con eje focal yy

x

FFFF2222

El centro es el (0;0)El centro es el (0;0)El centro es el (0;0)El centro es el (0;0)

FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.FFFF1 1 1 1 =( 0; =( 0; =( 0; =( 0; ----c)c)c)c)FFFF2 2 2 2 =( 0; c)=( 0; c)=( 0; c)=( 0; c)

a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra

c

a

34

x

FFFF1111

a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra a es el semieje mayor y se encuentra sobre el eje ysobre el eje ysobre el eje ysobre el eje yb es el semieje menor y se encuentra b es el semieje menor y se encuentra b es el semieje menor y se encuentra b es el semieje menor y se encuentra sobre el eje xsobre el eje xsobre el eje xsobre el eje x

cb

12

2

2

2=+

a

y

bx

Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es


yx

FFFF2222

VVVV1111VVVV2222

VVVV3333

VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipseeee

VVVV1111 = (b; 0) = (b; 0) = (b; 0) = (b; 0)

VVVV2222 = (= (= (= (----b; 0)b; 0)b; 0)b; 0)

a

35

x

FFFF1111

VVVV4444

bb VVVV3333 = (0; a)= (0; a)= (0; a)= (0; a)a

VVVV3333 = (0; = (0; = (0; = (0; ----a)a)a)a)


Elipse con eje focal paralelo al eje yElipse con eje focal paralelo al eje yElipse con eje focal paralelo al eje yElipse con eje focal paralelo al eje yy

FFFF2222

El centro es (h;k)El centro es (h;k)El centro es (h;k)El centro es (h;k)

FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.son los focos de la elipse.FFFF1 1 1 1 =( 0; =( 0; =( 0; =( 0; ----c)+ (h; k)c)+ (h; k)c)+ (h; k)c)+ (h; k)FFFF2 2 2 2 =( 0; c) +( h; k)=( 0; c) +( h; k)=( 0; c) +( h; k)=( 0; c) +( h; k)

a es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje y

c

a

k

36

x

FFFF1111

a es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje ya es el semieje mayor y es paralelo al eje yb es el semieje menor y es paralelo al eje xb es el semieje menor y es paralelo al eje xb es el semieje menor y es paralelo al eje xb es el semieje menor y es paralelo al eje xcb

Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es Su ecuacin es

h

1)()( 22

2

2=

+

a

kyb

hx


yFFFF2222

VVVV1111VVVV2222

VVVV3333

VVVV1111 , V, V, V, V2222 , V, V, V, V3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipsson los vrtices de la elipseeee

VVVV1111 = (b; 0) +(h ; k)= (b; 0) +(h ; k)= (b; 0) +(h ; k)= (b; 0) +(h ; k)

VVVV2222 = (= (= (= (----b; 0) + (h ; k)b; 0) + (h ; k)b; 0) + (h ; k)b; 0) + (h ; k)

a

kkkk

37

x

FFFF1111

VVVV4444

bb VVVV3333 = (0; a) + (h ; k)= (0; a) + (h ; k)= (0; a) + (h ; k)= (0; a) + (h ; k)a

VVVV3333 = (0; = (0; = (0; = (0; ----a)+ (h ; k)a)+ (h ; k)a)+ (h ; k)a)+ (h ; k)

hhhh


EjemploEjemploEjemploEjemplo: Dada la ecuacin 16y: Dada la ecuacin 16y: Dada la ecuacin 16y: Dada la ecuacin 16y2222 + 25x+ 25x+ 25x+ 25x2222 + 32y + 32y + 32y + 32y ---- 100x 100x 100x 100x ---- 284 = 0 284 = 0 284 = 0 284 = 0 Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos.

2.2.2.2.xxxx....bbbb= = = = ----4x4x4x4xbbbb= (= (= (= (----4x) : (24x) : (24x) : (24x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = ----2222

16y16y16y16y2222 + 32y +25 x+ 32y +25 x+ 32y +25 x+ 32y +25 x2222 ---- 100x 100x 100x 100x ---- 284 = 0284 = 0284 = 0284 = 0

16 (y16 (y16 (y16 (y2222 + 2y) + 25 (x + 2y) + 25 (x + 2y) + 25 (x + 2y) + 25 (x 2 2 2 2 ----4x ) 4x ) 4x ) 4x ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0

2.2.2.2.yyyy....bbbb= 2y= 2y= 2y= 2ybbbb= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = 1111

38

bbbb= (= (= (= (----4x) : (24x) : (24x) : (24x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = ----2222bbbb2222 = = = = 4444

bbbb= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.= (2y) : (2.yyyy) = ) = ) = ) = 1111bbbb2222 = = = = 1111

16 (y16 (y16 (y16 (y2222 + 2y+ 2y+ 2y+ 2y+1 +1 +1 +1 ----1111) + 25 (x ) + 25 (x ) + 25 (x ) + 25 (x 2 2 2 2 ----4x 4x 4x 4x +4+4+4+4----4444) ) ) ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0

(y +1)(y +1)(y +1)(y +1)2222 (x(x(x(x----2)2)2)2)2222

16 (16 (16 (16 ((y+1)(y+1)(y+1)(y+1)2222 ----1111) + 25 () + 25 () + 25 () + 25 ((x(x(x(x----2) 2) 2) 2) 2222----4444) ) ) ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0


16 (16 (16 (16 ((y+1)(y+1)(y+1)(y+1)2222 ----1111) + 25 () + 25 () + 25 () + 25 ((x(x(x(x----2) 2) 2) 2) 2222----4444) ) ) ) ----284= 0284= 0284= 0284= 0

16 (y+1)16 (y+1)16 (y+1)16 (y+1)2222 ----16161616 +25 (x+25 (x+25 (x+25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 ----100 100 100 100 ----284284284284= 0 = 0 = 0 = 0

25 (x25 (x25 (x25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 +16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)2222 ----400400400400= 0 = 0 = 0 = 0

25 (x25 (x25 (x25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 +16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)2222 = 400 = 400 = 400 = 400

39

25 (x25 (x25 (x25 (x----2) 2) 2) 2) 2222 +16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)+16 (y+1)2222 = 400 = 400 = 400 = 400

1400400

22 )1(16)2(25=+ + yx 1

2516

22 )1()2(=+ + yx


12516

22 )1()2(=+ + yx

Es una elipse

Su centro es (2; -1)

El semieje mayor es 5, y el eje

focal es paralelo

al eje y

40

al eje y

El semieje menor es 4

Cules son los vrtices?

(6; -1)

(-2;-1)

(2; 4)

(2; -6)


12516

22 )1()2(=+ + yx

Cules son los focos?Cules son los focos?Cules son los focos?Cules son los focos?

cccc2 2 2 2 + b + b + b + b 2222= a= a= a= a2 2 2 2

cccc2 2 2 2 + 16= 25+ 16= 25+ 16= 25+ 16= 25 cccc2 2 2 2 =25 =25 =25 =25 ---- 16161616

41

cccc + 16= 25+ 16= 25+ 16= 25+ 16= 25 cccc =25 =25 =25 =25 ---- 16161616cccc2 2 2 2 =9=9=9=9c=3 c=3 c=3 c=3

Los focos son (0; 3) +(2 ; Los focos son (0; 3) +(2 ; Los focos son (0; 3) +(2 ; Los focos son (0; 3) +(2 ; ----1) y (0;1) y (0;1) y (0;1) y (0;----3)+ (2 ; 3)+ (2 ; 3)+ (2 ; 3)+ (2 ; ----1)1)1)1)(2; 2) (2; (2; 2) (2; (2; 2) (2; (2; 2) (2; ----4) 4) 4) 4)

El eje focal es x= 2El eje focal es x= 2El eje focal es x= 2El eje focal es x= 2

su excentricidad es 3/5su excentricidad es 3/5su excentricidad es 3/5su excentricidad es 3/5


Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos Ejemplo: Hallar la ecuacin de la elipse, sabiendo que sus focos son: (4;3) y (4;son: (4;3) y (4;son: (4;3) y (4;son: (4;3) y (4;----5)y su semieje mayor es 5. 5)y su semieje mayor es 5. 5)y su semieje mayor es 5. 5)y su semieje mayor es 5.

Centro: ( 4 ; Centro: ( 4 ; Centro: ( 4 ; Centro: ( 4 ; ----1)1)1)1)Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5Semieje mayor = a = 5

1)()( 22

2

2=

+

a

kyb

hxC =4

cccc2 2 2 2 + b + b + b + b 2222= a= a= a= a2 2 2 2

42

16 + b16 + b16 + b16 + b2 2 2 2 = 25= 25= 25= 25 bbbb2 2 2 2 =25 =25 =25 =25 ---- 16161616 bbbb2 2 2 2 =9=9=9=9 b=3 b=3 b=3 b=3


Cnicas Cnicas Cnicas Cnicas

Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia Elipse Elipse Elipse Elipse

)()( 22 kyhx

1)()( 22

2

2=

+

a

kyb

hx

43

1)()( 22

2

2=

+

bky

a

hx


HiprbolaHiprbolaHiprbolaHiprbola

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall

/geogebra/figuras/c7_hiperbola_constr.html


HiprbolaHiprbolaHiprbolaHiprbolaEsEsEsEs elelelel lugarlugarlugarlugar geomtricogeomtricogeomtricogeomtrico dededede loslosloslos puntospuntospuntospuntos deldeldeldel planoplanoplanoplano talestalestalestales quequequeque lalalaladiferenciadiferenciadiferenciadiferencia enenenen valorvalorvalorvalor absolutoabsolutoabsolutoabsoluto dededede sussussussus distanciasdistanciasdistanciasdistancias aaaa dosdosdosdospuntospuntospuntospuntos fijosfijosfijosfijos llamadosllamadosllamadosllamados focosfocosfocosfocos eseseses igualigualigualigual aaaa unaunaunauna constanteconstanteconstanteconstantemenormenormenormenor quequequeque lalalala distanciadistanciadistanciadistancia entreentreentreentre loslosloslos focosfocosfocosfocos....

y

a

b

V1V20

x

P(x,y)

F1F2

c- c


Elementos de la hiprbolaElementos de la hiprbolaElementos de la hiprbolaElementos de la hiprbola

Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)

FFFF1111 FFFF2222

FFFF1 1 1 1 y Fy Fy Fy F2222 son sus focosson sus focosson sus focosson sus focos

ccccFFFF1 1 1 1 = (= (= (= (----c;0)c;0)c;0)c;0)

cccc

2a2a2a2a

VVVV1111 VVVV2222

aaaa aaaa

46

cccc cccc FFFF2 2 2 2 = (c;0)= (c;0)= (c;0)= (c;0)

a es el semieje reala es el semieje reala es el semieje reala es el semieje real

VVVV1111 VVVV2222

VVVV1 1 1 1 y vy vy vy v2222 son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales VVVV1 1 1 1 = (= (= (= (----a; 0)a; 0)a; 0)a; 0) VVVV2 2 2 2 = (a; 0)= (a; 0)= (a; 0)= (a; 0)

El eje focal es el eje xEl eje focal es el eje xEl eje focal es el eje xEl eje focal es el eje x


Tiene 2 asntotasTiene 2 asntotasTiene 2 asntotasTiene 2 asntotas

2b2b2b2b

y es el eje imaginarioy es el eje imaginarioy es el eje imaginarioy es el eje imaginarioVVVV3333

VVVV4444 VVVV3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices son los vrtices son los vrtices son los vrtices imaginariosimaginariosimaginariosimaginarios

47

VVVV3333 =(0; b)=(0; b)=(0; b)=(0; b)

VVVV4444 =(0; =(0; =(0; =(0; ----b)b)b)b)


Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0) Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0) Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0) Ecuaciones de las asntotas de eje focal x y centro (0;0)

Las asntotas son rectas por lo tanto Las asntotas son rectas por lo tanto Las asntotas son rectas por lo tanto Las asntotas son rectas por lo tanto sus ecuaciones son de la forma sus ecuaciones son de la forma sus ecuaciones son de la forma sus ecuaciones son de la forma

y= mx + by= mx + by= mx + by= mx + b

b es 0, para ambas asntotas, ya que b es 0, para ambas asntotas, ya que b es 0, para ambas asntotas, ya que b es 0, para ambas asntotas, ya que cortan al eje y en (0;0).cortan al eje y en (0;0).cortan al eje y en (0;0).cortan al eje y en (0;0).

Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los

aaaa

bbbb pppp

48

m= m= m= m=

Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los Una de las asntotas pasa por los puntos P=(a;b) y (0;0)puntos P=(a;b) y (0;0)puntos P=(a;b) y (0;0)puntos P=(a;b) y (0;0)

Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente: xxxx1111 yyyy1111xxxx2222 yyyy2222

Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y =


La otra asntota pasa por los puntos La otra asntota pasa por los puntos La otra asntota pasa por los puntos La otra asntota pasa por los puntos P=(P=(P=(P=(----a;b) y (0;0)a;b) y (0;0)a;b) y (0;0)a;b) y (0;0)

----aaaa

bbbbpppp

xxxx1111 yyyy1111xxxx2222 yyyy2222

49

m= m= m= m=

Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:Calculemos la pendiente:

Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y = Entonces la ecuacin de la asntota es y =


Ecuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal xEcuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal xEcuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal xEcuacin de la hiprbola con centro (0;0) y eje focal x

pppp

FFFF1111 FFFF2222

Si P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbola

| d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222) | = k) | = k) | = k) | = k

VVVV2222

cccc aaaa

C+aC+aC+aC+a

aaaa

cccc

CCCC----aaaa

CCCC----aaaa

| (c+a) | (c+a) | (c+a) | (c+a) (c(c(c(c----a) | = ka) | = ka) | = ka) | = k

50

| c+a | c+a | c+a | c+a c+a) | = kc+a) | = kc+a) | = kc+a) | = k

| a +a | = k| a +a | = k| a +a | = k| a +a | = k

| 2a | = k| 2a | = k| 2a | = k| 2a | = k

2a = k2a = k2a = k2a = k


Si P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbolaSi P pertenece a la hiprbola | d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222) | = k) | = k) | = k) | = k

| d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222) | = 2a) | = 2a) | = 2a) | = 2a

d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F1111) = ) = ) = ) =

FFFF1111=(=(=(=(----c ; 0)c ; 0)c ; 0)c ; 0) P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)

x1

y1 x

2y

2

51

x1

x2

y2

d( P, Fd( P, Fd( P, Fd( P, F2222) = ) = ) = ) =

FFFF2222=(c ; 0)=(c ; 0)=(c ; 0)=(c ; 0) P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)P=(x ; y)

y1

x1 x

2y

2

| d (P; F| d (P; F| d (P; F| d (P; F1111) ) ) ) d (P; Fd (P; Fd (P; Fd (P; F2222)|)|)|)|====|||| ||||= 2a= 2a= 2a= 2a


Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a: Elevando al cuadrado y haciendo operaciones algebraicas se llega a:

122

2

2=

by

a

x

Ecuacin de la hiprbolaEcuacin de la hiprbolaEcuacin de la hiprbolaEcuacin de la hiprbola de centro (0;0)y eje focal xde centro (0;0)y eje focal xde centro (0;0)y eje focal xde centro (0;0)y eje focal x


Relacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y cRelacin entre a, b y c

Trazamos la circunferencia de Trazamos la circunferencia de Trazamos la circunferencia de Trazamos la circunferencia de centro O y radio ccentro O y radio ccentro O y radio ccentro O y radio c

El tringulo AOB es un tringulo El tringulo AOB es un tringulo El tringulo AOB es un tringulo El tringulo AOB es un tringulo rectngulo, si aplicamos Pitgorasrectngulo, si aplicamos Pitgorasrectngulo, si aplicamos Pitgorasrectngulo, si aplicamos Pitgorasobtenemos:obtenemos:obtenemos:obtenemos:

53

obtenemos:obtenemos:obtenemos:obtenemos:

CCCC2222 = a= a= a= a2 2 2 2 +b+b+b+b2222


ExcentricidadExcentricidadExcentricidadExcentricidadDefinimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como: Definimos a la excentricidad como:

En el caso de la HipEn el caso de la HipEn el caso de la HipEn el caso de la Hiprbola rbola rbola rbola , siempre se cumple:, siempre se cumple:, siempre se cumple:, siempre se cumple:

e > 1e > 1e > 1e > 1

a

c =e


http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c11_hiperbola_excen

t.html

55

t.html


Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Dada la Dada la Dada la Dada la siguientesiguientesiguientesiguiente ecuacin: ecuacin: ecuacin: ecuacin:

Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y Identificar la cnica, graficarla y hallar su centro, vrtices, focos , asntotas y excentricidad.excentricidad.excentricidad.excentricidad.Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Sus focos estn en el eje x.Sus focos estn en el eje x.Sus focos estn en el eje x.Sus focos estn en el eje x.

Su semieje real es 8Su semieje real es 8Su semieje real es 8Su semieje real es 8

Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6

13664

22

=

yx

56

Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6Su semieje imaginario es 6

Sus vrtices reales son : Sus vrtices reales son : Sus vrtices reales son : Sus vrtices reales son :

(8;0)(8;0)(8;0)(8;0) y(y(y(y(----8;0)8;0)8;0)8;0)

Sus vrtices imaginarios son : Sus vrtices imaginarios son : Sus vrtices imaginarios son : Sus vrtices imaginarios son : (0;6)(0;6)(0;6)(0;6) y (0;y (0;y (0;y (0;----6)6)6)6)


CCCC2222 = a= a= a= a2 2 2 2 +b+b+b+b2222

CCCC2222 = 8= 8= 8= 82 2 2 2 +6+6+6+62222

CCCC2222 = 64+36= 64+36= 64+36= 64+36

CCCC2222 = 100= 100= 100= 100

C= 10C= 10C= 10C= 10

Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:

57

Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:Entonces los focos son:

(10;0)(10;0)(10;0)(10;0) ((((----10 ; 0)10 ; 0)10 ; 0)10 ; 0)

Las asntotas son:Las asntotas son:Las asntotas son:Las asntotas son:

y=y=y=y= y=y=y=y=

y=y=y=y=

Su excentricidad es Su excentricidad es Su excentricidad es Su excentricidad es


Ecuacin de la hiprbola con centro (Ecuacin de la hiprbola con centro (Ecuacin de la hiprbola con centro (Ecuacin de la hiprbola con centro (h;kh;kh;kh;k) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x

hhhh

kkkk

Su centro es (h;k) Su centro es (h;k) Su centro es (h;k) Su centro es (h;k)

FFFF2222

FFFF1111

FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos son los focos son los focos son los focos

a es el semieje real a es el semieje real a es el semieje real a es el semieje real

b es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginario

aaaabbbb

Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:Su ecuacin es:

58

hhhh

12222 )()(

=

bakyhx



hhhh

kkkk

FFFF2222

FFFF1111

FFFF1111 y Fy Fy Fy F2222 son los focos son los focos son los focos son los focos

FFFF1 1 1 1 =( =( =( =( ----c; 0)+ (h; k)c; 0)+ (h; k)c; 0)+ (h; k)c; 0)+ (h; k)

cccc cccc

VVVV1111aaaa

VVVV2222aaaa

Su eje focal es paralelo al eje xSu eje focal es paralelo al eje xSu eje focal es paralelo al eje xSu eje focal es paralelo al eje x

59

hhhhFFFF2 2 2 2 =( c; 0)+ (h; k)=( c; 0)+ (h; k)=( c; 0)+ (h; k)=( c; 0)+ (h; k)

VVVV1111 y Vy Vy Vy V2222 son los vrtices realesson los vrtices realesson los vrtices realesson los vrtices reales

VVVV1 1 1 1 =( =( =( =( ----a; 0)+ (h; k)a; 0)+ (h; k)a; 0)+ (h; k)a; 0)+ (h; k)

VVVV2 2 2 2 =( a; 0)+ (h; k)=( a; 0)+ (h; k)=( a; 0)+ (h; k)=( a; 0)+ (h; k)


VVVV3333

VVVV4444

VVVV3333 y Vy Vy Vy V4444 son los vrtices son los vrtices son los vrtices son los vrtices imaginariosimaginariosimaginariosimaginarios

bbbb

VVVV3 3 3 3 =( 0; b)+ (h; k)=( 0; b)+ (h; k)=( 0; b)+ (h; k)=( 0; b)+ (h; k)

bbbbVVVV4444=( 0; =( 0; =( 0; =( 0; ----b)+ (h; k)b)+ (h; k)b)+ (h; k)b)+ (h; k)


Hiprbola con eje focal yHiprbola con eje focal yHiprbola con eje focal yHiprbola con eje focal ySu centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)Su centro es (0;0)

FFFF1 1 1 1 y Fy Fy Fy F2222 son sus focosson sus focosson sus focosson sus focos

FFFF1 1 1 1 = (0;= (0;= (0;= (0;----c)c)c)c)

FFFF2 2 2 2 = (0;c)= (0;c)= (0;c)= (0;c)

El eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje y

FFFF2222

vvvv2222

vvvv1111

aaaa

bbbbvvvv3333 vvvv4444

61

a es el semieje reala es el semieje reala es el semieje reala es el semieje real

VVVV1 1 1 1 y vy vy vy v2222 son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales son los vrtices reales VVVV1 1 1 1 = (0; = (0; = (0; = (0; ----a)a)a)a) VVVV2 2 2 2 = (0; a)= (0; a)= (0; a)= (0; a)

El eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yEl eje focal es el eje yFFFF1111

b es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginariob es el semieje imaginario VVVV3 3 3 3 y vy vy vy v4444 son los vrtices imaginarios son los vrtices imaginarios son los vrtices imaginarios son los vrtices imaginarios

VVVV3 3 3 3 = (= (= (= (----b; 0)b; 0)b; 0)b; 0) VVVV4444= (b; 0)= (b; 0)= (b; 0)= (b; 0)



Es una hiprbola con eje focal Es una hiprbola con eje focal Es una hiprbola con eje focal Es una hiprbola con eje focal Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)

62

Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)Paralelo al eje y y centro (h; k)


Anlogamente, se pueden buscar Anlogamente, se pueden buscar Anlogamente, se pueden buscar Anlogamente, se pueden buscar sus elementos . sus elementos . sus elementos . sus elementos .


Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: Ejemplo :Dada la siguiente ecuacin: ----9x9x9x9x2222 + 4y+ 4y+ 4y+ 4y2 2 2 2 + 54x + 54x + 54x + 54x ---- 8y 8y 8y 8y ----113 = 0113 = 0113 = 0113 = 0indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las indicar de que cnica se trata, graficarla y hallar centro, vrtices, focos y ecuaciones de las asntotas.asntotas.asntotas.asntotas.

----9 (x9 (x9 (x9 (x2222 + 6x) + 4 (y+ 6x) + 4 (y+ 6x) + 4 (y+ 6x) + 4 (y2222 ----2y) 2y) 2y) 2y) ----113 = 0113 = 0113 = 0113 = 0

----9x9x9x9x2222 + 54x + 4y+ 54x + 4y+ 54x + 4y+ 54x + 4y2 2 2 2 ---- 8y 8y 8y 8y ----113 = 0113 = 0113 = 0113 = 0

2.2.2.2.xxxx....bbbb= 6x= 6x= 6x= 6xbbbb= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = 3333

2222


63

bbbb= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2= (6x) : (2....xxxx) = ) = ) = ) = 3333bbbb2222 = = = = 9999

----9 (x9 (x9 (x9 (x2222 + 6x + 6x + 6x + 6x + 9 + 9 + 9 + 9 ----9999) ) ) )

bbbb2222 = = = = 1111

+4 (y+4 (y+4 (y+4 (y2222 ----2y2y2y2y+1+1+1+1----1111) ) ) ) ----113= 0113= 0113= 0113= 0

(x+3)(x+3)(x+3)(x+3)2222 (y(y(y(y----1)1)1)1)2222

----9(9(9(9((x+3)(x+3)(x+3)(x+3)2222 ----9999) + 4 () + 4 () + 4 () + 4 ((y(y(y(y----1) 1) 1) 1) 2222----1111) ) ) ) ----113= 0113= 0113= 0113= 0


----9(9(9(9((x+3)(x+3)(x+3)(x+3)2222 ----9999) + 4 () + 4 () + 4 () + 4 ((y(y(y(y----1) 1) 1) 1) 2222----1111) ) ) ) ----113= 0113= 0113= 0113= 0

----9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)2222 +81+81+81+81 +4(y+4(y+4(y+4(y----1) 1) 1) 1) 2222 ----4 4 4 4 ----113113113113= 0 = 0 = 0 = 0

----9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)2222 +4(y+4(y+4(y+4(y----1) 1) 1) 1) 2222 ----36363636= 0 = 0 = 0 = 0

----9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)9 (x+3)2222 +4(y+4(y+4(y+4(y----1) 1) 1) 1) 2222 =36=36=36=36

64

3636

36)1(4

36)3(9 22

=

++ yx

19

)1(4

)3( 22=

++

yx


19

)1(4

)3( 22=

++

yx

Se trata de una hiprbola con eje focal Se trata de una hiprbola con eje focal Se trata de una hiprbola con eje focal Se trata de una hiprbola con eje focal paralelo al eje y.paralelo al eje y.paralelo al eje y.paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje real es 3, y es paralelo al eje y.Su semieje imaginario es 2, y es paralelo Su semieje imaginario es 2, y es paralelo Su semieje imaginario es 2, y es paralelo Su semieje imaginario es 2, y es paralelo al eje x.al eje x.al eje x.al eje x.Su centro es (Su centro es (Su centro es (Su centro es (----3;1)3;1)3;1)3;1)

vvvv1111

vvvv2222

vvvv3333vvvv4444

65

Su centro es (Su centro es (Su centro es (Su centro es (----3;1)3;1)3;1)3;1)

Sus vrtices reales son: Sus vrtices reales son: Sus vrtices reales son: Sus vrtices reales son: VVVV1111= (= (= (= (----3;3;3;3;----2) y V2) y V2) y V2) y V2 2 2 2 = (= (= (= (----3;4)3;4)3;4)3;4)Sus vrtices imaginarios son: Sus vrtices imaginarios son: Sus vrtices imaginarios son: Sus vrtices imaginarios son: VVVV3333= (= (= (= (----1;1) y V1;1) y V1;1) y V1;1) y V4 4 4 4 = (= (= (= (----5;1)5;1)5;1)5;1)


19

)1(4

)3( 22=

++

yx

Focos: Focos: Focos: Focos:

aaaa2 2 2 2 + b+ b+ b+ b2 2 2 2 = c= c= c= c2222

9 + 4= c9 + 4= c9 + 4= c9 + 4= c2222

13 = c13 = c13 = c13 = c2222

FFFF1111

13

FFFF2222

13

66

13=c

13 = c13 = c13 = c13 = c

FFFF1 1 1 1 = (= (= (= (----3; 1+3; 1+3; 1+3; 1+ 13 )

FFFF2 2 2 2 = (= (= (= (----3; 13; 13; 13; 1---- 13 )


a=3a=3a=3a=3

b=2b=2b=2b=2

Una de las asntotas pasa por Una de las asntotas pasa por Una de las asntotas pasa por Una de las asntotas pasa por los puntos los puntos los puntos los puntos ((((----3;1) y (3;1) y (3;1) y (3;1) y (----1;4) , 1;4) , 1;4) , 1;4) , y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser

y= 3/2 (x+3)(x+3)(x+3)(x+3) +1

La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por

y= ( ( ( ( 3/2 )))) x+ 11/2x+ 11/2x+ 11/2x+ 11/2

67

La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por La otra asntota pasa por los puntos los puntos los puntos los puntos ((((----3;1) y (3;1) y (3;1) y (3;1) y (----5;4) , 5;4) , 5;4) , 5;4) , y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser y su ecuacin ser

y=- 3/2 (x+3)(x+3)(x+3)(x+3) +1

y= ( ( ( ( ----3/2 )))) x x x x ---- 7/27/27/27/2


EjemploEjemploEjemploEjemplo:::: DadaDadaDadaDada lalalala siguientesiguientesiguientesiguiente ecuacinecuacinecuacinecuacin:::: 4444xxxx2222 ++++ 8888xxxx yyyy2222 ++++ 4444yyyy ==== 0000AnalizarAnalizarAnalizarAnalizar dededede quequequeque tipotipotipotipo dededede cnicacnicacnicacnica sesesese tratatratatratatrata ::::

4444xxxx2222 ++++ 8888xxxx yyyy2222 ++++ 4444yyyy ==== 0000

4444(x(x(x(x2222 ++++ 2222x)x)x)x) (y(y(y(y2222 ---- 4444y)y)y)y) ==== 0000

4444(x(x(x(x2222 ++++ 2222xxxx ++++ 1111 ---- 1111)))) (y(y(y(y2222 ---- 4444yyyy ++++ 4444 ---- 4444)))) ==== 0000

4444(((( (x(x(x(x ++++ 1111))))2222 1111 )))) (((((((( yyyy ---- 2222))))2222 ---- 4444 )))) ==== 0000 Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera

68

4444(x(x(x(x ++++ 1111))))2222 4444 (y(y(y(y ---- 2222))))2222 ++++ 4444 ==== 0000

4444(x(x(x(x ++++ 1111))))2222 (y(y(y(y ---- 2222))))2222 ==== 0000

[[[[2222(x(x(x(x ++++ 1111)))) ++++ (y(y(y(y 2222)])])])] [[[[2222(x(x(x(x ++++ 1111)))) (y(y(y(y 2222)])])])] ==== 0000

[[[[2222xxxx ++++ 2222 ++++ yyyy 2222]]]] [[[[2222xxxx ++++ 2222 yyyy ++++2222]]]] ==== 00002222xxxx ++++ yyyy ==== 0000 2222xxxx yyyy ++++ 4444 ==== 0000

yyyy ==== ---- 2222xxxx yyyy ==== 2222xxxx ++++ 4444

Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera Hiprbola que degenera en dos rectas . en dos rectas . en dos rectas . en dos rectas .



Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola



Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia

Elipse Elipse Elipse Elipse Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola

70

1)()( 22

2

2=

+

bky

a

hx

1)()( 22

2

2=

+

a

kyb

hx


ParbolaParbolaParbolaParbola

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall

/geogebra/figuras/c12_parabola_constr.html


ParbolaParbolaParbolaParbolaEs el lugar geomtrico de los puntos del plano que Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que Es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directrizfija llamada directrizfija llamada directrizfija llamada directriz

y

xp/2 F

-p/2 r

0

P(x,y)


Prof.Andrea Maidana

Elementos de la parbolaElementos de la parbolaElementos de la parbolaElementos de la parbolaV es el vV es el vV es el vV es el vrtice de la parbolartice de la parbolartice de la parbolartice de la parbola

V =(0; 0)V =(0; 0)V =(0; 0)V =(0; 0)e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra de la parbolade simetra de la parbolade simetra de la parbolade simetra de la parbola

Su ecuacin es x=0Su ecuacin es x=0Su ecuacin es x=0Su ecuacin es x=0

FFFFF es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola

d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directriz

Matemtica II - Ctedra Santa Mara- 73

VVVV

eeee

dddd

d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directrizpppp

La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la directrizdirectrizdirectrizdirectriz es pes pes pes p

El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)

La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =

Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia Elipse Elipse Elipse Elipse

Excentricidad Excentricidad Excentricidad Excentricidad

e= 0 e= 0 e= 0 e= 0 0

Ecuacin de la parbola con vrticeEcuacin de la parbola con vrticeEcuacin de la parbola con vrticeEcuacin de la parbola con vrtice(0; 0)(0; 0)(0; 0)(0; 0)

P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)P = (x; y)

P pertenece a la parbola P pertenece a la parbola P pertenece a la parbola P pertenece a la parbola d( P, F) =d( P, F) =d( P, F) =d( P, F) = d( P, d) d( P, d) d( P, d) d( P, d)

FFFF

d( P, F) d( P, F) d( P, F) d( P, F) ====x

2 y2

yyyy


ddddF =(0; p/2)F =(0; p/2)F =(0; p/2)F =(0; p/2)

x1

y1

d( P, d)= d( P, d)= d( P, d)= d( P, d)= y +y +y +y +

y +y +y +y +

y +y +y +y +



Ecuacin de la parbolaEcuacin de la parbolaEcuacin de la parbolaEcuacin de la parbola de vrtice (0;0)y eje focal yde vrtice (0;0)y eje focal yde vrtice (0;0)y eje focal yde vrtice (0;0)y eje focal y

Concavidad de la parbola Concavidad de la parbola Concavidad de la parbola Concavidad de la parbola


a>0 a>0 a>0 a>0 a

Ejemplo: Dada la ecuacin xEjemplo: Dada la ecuacin xEjemplo: Dada la ecuacin xEjemplo: Dada la ecuacin x2222 = = = = ----16y hallar foco , vrtice16y hallar foco , vrtice16y hallar foco , vrtice16y hallar foco , vrticedirectriz y eje focal . Graficardirectriz y eje focal . Graficardirectriz y eje focal . Graficardirectriz y eje focal . Graficar

----16y = x16y = x16y = x16y = x2222

Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0) Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0) Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0) Como no hay desplazamiento en x y en y el vrtice es (0; 0)

Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.


Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.Como a es negativa, la parbola es cncava hacia abajo.

y

x

FFFF

El eje focal es x=0El eje focal es x=0El eje focal es x=0El eje focal es x=0

Para averiguar la directriz y el foco es Para averiguar la directriz y el foco es Para averiguar la directriz y el foco es Para averiguar la directriz y el foco es necesario averiguar pnecesario averiguar pnecesario averiguar pnecesario averiguar p

2p=2p=2p=2p=----16161616 p=p=p=p=----16/216/216/216/2

p=p=p=p=----8888

yx

FFFF

p=p=p=p=----88888888

El Foco es El Foco es El Foco es El Foco es (0; (0; (0; (0; ----4) 4) 4) 4)

La directriz es La directriz es La directriz es La directriz es y=4y=4y=4y=4

Para graficar la parbola armamos una tabla de valores Para graficar la parbola armamos una tabla de valores Para graficar la parbola armamos una tabla de valores Para graficar la parbola armamos una tabla de valores

xxxx y = (y = (y = (y = (----1/16)x1/16)x1/16)x1/16)x2222


xxxx y = (y = (y = (y = (----1/16)x1/16)x1/16)x1/16)x2222

----12121212 ----9999

----8888 ----4444

----4444 ----1111

0000 0000

4444 ----1111

8888 ----4444

12121212 ----9999

Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (h;kh;kh;kh;k) y eje focal paralelo al eje y) y eje focal paralelo al eje y) y eje focal paralelo al eje y) y eje focal paralelo al eje y

k

El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)

e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de la parbolade simetra y focal de la parbolade simetra y focal de la parbolade simetra y focal de la parbola

Su ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=h

La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:

( )2hxaky =FFFF

pppp


h

k

eeee

Su ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=hSu ecuacin es x=h

F es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola

dddd d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directriz

pppp

La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la La distancia entre el foco y la directrizdirectrizdirectrizdirectriz es pes pes pes p

El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2)El foco es el punto F =(0; p/2) +(h;k)+(h;k)+(h;k)+(h;k)

La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y =La directriz es la recta y = +k+k+k+k

Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x

x

y

V F

d

0

El vrtice es (0;0)El vrtice es (0;0)El vrtice es (0;0)El vrtice es (0;0)La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:

eeee

e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de la parbolala parbolala parbolala parbolapppp

a > 0

la parbolala parbolala parbolala parbola

Su ecuacin es y=0Su ecuacin es y=0Su ecuacin es y=0Su ecuacin es y=0F es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola

d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directriz

pppp

La distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directriz es pes pes pes p

El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )


La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =

Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x Parbola con eje focal x

x

y

V F

d

0

y d

x

0

VF


a > 0a < 0

a>0 a>0 a>0 a>0 a

Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (Ecuacin de la parbola con vrtice (h;kh;kh;kh;k) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x) y eje focal paralelo al eje x

k

El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)El vrtice es (h;k)La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:La ecuacin de la parbola es:

2)( kyahx =e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de la parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje x

eeeeFFFF

dddd

pppp


h

la parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje x

Su ecuacin es y=kSu ecuacin es y=kSu ecuacin es y=kSu ecuacin es y=kF es el focoF es el focoF es el focoF es el foco de la parbolade la parbolade la parbolade la parbola

d es la directrizd es la directrizd es la directrizd es la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directrizLa distancia entre el foco y la directriz es pes pes pes p

El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 )El foco es el punto F =( p/2 ; 0 ) +(h;k)+(h;k)+(h;k)+(h;k)La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x =La directriz es la recta x = +h+h+h+h


Parbola Parbola Parbola Parbola

2)( kyahx =( )2hxaky =

85

a>0 a>0 a>0 a>0 a0

a

Ejemplo : Dada la ecuacin Ejemplo : Dada la ecuacin Ejemplo : Dada la ecuacin Ejemplo : Dada la ecuacin ---- 8x 8x 8x 8x yyyy2222 + 8y + 8y + 8y + 8y 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0 Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos. Identificar de que cnica se trata, graficar y dar sus elementos.

---- 8x 8x 8x 8x yyyy2222 + 8y + 8y + 8y + 8y 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0

yyyy2222 + 8y + 8y + 8y + 8y ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0

((((yyyy2222 ---- 8y8y8y8y )))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0


((((yyyy2222 ---- 8y8y8y8y +16 +16 +16 +16 ---- 16161616)))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0


Prof.Andrea Maidana86

((((yyyy2222 ---- 8y8y8y8y +16 +16 +16 +16 ---- 16161616)))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0

(y (y (y (y ----4444))))2222

((y ((y ((y ((y ----4444))))2222 ---- 16161616)))) ---- 8x 8x 8x 8x 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0

(y (y (y (y ----4444))))2222 + + + + 16161616 ---- 8x 8x 8x 8x 32 32 32 32 = 0 = 0 = 0 = 0

(y (y (y (y ----4444))))2222 ---- 16 16 16 16 ---- 8x = 0 8x = 0 8x = 0 8x = 0

(y (y (y (y ----4444))))2222 ====8x +16 8x +16 8x +16 8x +16

(y (y (y (y ----4444))))2222 ====8888 (((( x +2x +2x +2x +2))))

(y (y (y (y ----4444))))2222 ====8888 (((( x +2x +2x +2x +2))))

El vrtice es (El vrtice es (El vrtice es (El vrtice es (----2 ; 4)2 ; 4)2 ; 4)2 ; 4)

eeeeFFFF

dddd

pppp


e es el eje e es el eje e es el eje e es el eje de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de de simetra y focal de la parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje xla parbola y es paralelo al eje x

Su ecuacin es y=4Su ecuacin es y=4Su ecuacin es y=4Su ecuacin es y=4

2p=2p=2p=2p=----8888

p=p=p=p=----4444

El foco es el punto F =( El foco es el punto F =( El foco es el punto F =( El foco es el punto F =( ----4; 4)4; 4)4; 4)4; 4)

La directriz es la recta x =0La directriz es la recta x =0La directriz es la recta x =0La directriz es la recta x =0


Circunferencia Circunferencia Circunferencia Circunferencia

Elipse Elipse Elipse Elipse

1)()( 22

2

2=

+

bky

a

hx

1)()( 22

2

2=

+

a

kyb

hx

Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola Parbola Parbola Parbola Parbola

88

Hiprbola Hiprbola Hiprbola Hiprbola


Parbola Parbola Parbola Parbola

2)( kyahx =

( )2hxaky =

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