ANTENAS – IST – A. Moreira 1
Agregados de antenas
• Conjunto de antenas com configuração geométricae eléctrica de forma que a adição vectorial dos campos radiados resultem em propriedadesespeciais do diagrama de radiação.
• Motivação– Ganhos elevados em determinadas aplicações– Formas específicas do diagrama de radiação
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Formatação do Diagrama de radiação
• A formatação do diagrama de radiação pode ser obtida por escolha adequada de:– Antenas, ou elementos que constituem o agregado– Configuração geométrica da posição das antenas
(linear, circular, planar)– Afastamento relativo entre as antenas– Amplitudes e fases das excitações
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Comparação entre Agregados e Reflectores
• Vantagens dos agregados
– Orientação por controlo de fase
– Feixes múltiplos– Possibilidade de
processamento de sinal– Formatação de feixe com
técnica digital
• Desvantagens dos agregados
– Mais dispendioso– Feixes mais estreitos com
reflectores
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Elementos de agregados
• Tipos de elementos:– Dipolos
– Fendas
– “patches” microstrip
– Cornetas e guias abertos
ANTENAS – IST – A. Moreira 5
Ex: agregado de dipolos com elementos com controlo individual
Conectores para ligação a circuito de alimentação (emissão) ou malha combinatória (recepção), ou a amplificadores e desfasadores individuais
ANTENAS – IST – A. Moreira 6
Circuito de alimentação (emissão)/ combinação do sinal (recepção -formatação de feixe)
Ex: alimentação série e paralelo de agregadoslineares de antenas impressas.
ANTENAS – IST – A. Moreira 7
Agregados lineares de antenas
• Num agregado de antenas iguais o posicionamento de qualquer antenapode ser obtido por translação de um elemento de referência
• A translação define a geometria do agregado
• Num agregado linear a posição de qualquer elemento obtem-se do elemento de referência por uma translação segundo uma direcção quedefine o “alinhamento do agregado”
• Quando o espaçamento entre duas antenas consecutivas é constante o agregado diz-se equiespaçado
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Configurações típicas
Antenas horizontaisAlinhamento vertical
Antenas verticaisAlinhamento horizontal
Antenas verticaisAlinhamento vertical
Antenas horizontaisAlinhamento horizontal
ANTENAS – IST – A. Moreira 9
Geometrias de alinhamento
x
ϕθψ cossincos =ψ
y
z
Alinhamneto segundo o eixo dos xx
y
ϕθψ sinsincos =
ψ
x
z
Alinhamneto segundo o eixo dos yy
z
θψθψcoscos =
=ψ
y
x
Alinhamneto segundo o eixo dos zz
Ψ , ângulo entre a direcção de alinhamento e a direcção espacial (θ ,ϕ)
ANTENAS – IST – A. Moreira 10
Ex: Agregado linear de duas antenas
d (2)
Espaçamento, d
Correntes, I1 , I2
alinham
ento
ψ
P
(P)(P)(P) 21 EEE +=
1cos
1
22 EE ψjkde
II
=
ψcosd
1I
2I
1cos
1
21 EE ×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ψjkde
II
Campo na ZD
Factor espacial
ANTENAS – IST – A. Moreira 11
Ex: Agregado linear de duas antenas
“Multiplicação dos Diagramas”1
cos
1
21 EE ×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ψjkde
II
)()( 1 ϕθϕθϕθ ,E,),(E ×= F Nota cosψ pode exprimir-se em função de (θ,ϕ)
“O diagrama de radiação pode obter-se multiplicando para cada direcção a função que descreve o campo radiado pela antena de referência, E1(θ,ϕ)com a função que descreve o factor espacial, F(θ,ϕ) ”
ANTENAS – IST – A. Moreira 12
ψ
Ex: Agregado linear de duas antenas
ψγγ cosc/ )1(
1
1
1cos
1
2
kdae
eII
j
ψjkd
=×+=
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
EE
EE
I1=I0 I2=aI0
dcosψ
Ex: I2=-I1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
=
2sin2
1
1
γ
γ
F
eF
-a
j
d
y
z
ANTENAS – IST – A. Moreira 13
Ex: Agregado linear de duas antenas
d
I1=I0
dcosψ
Ex: I2=-I1 d=λ/2
( )
2sin2
2sin sin sin2
2sin sin sin
F
kdF
γ
θ ϕ
π θ ϕ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
y
ψγ coskd=
ψ
I2= -I0
z
Plano yz 1sin =ϕ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= θ
λπ sinsin2 dF
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
FPlano xy 1sin =θ
ANTENAS – IST – A. Moreira 14
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Ex: Agregado linear de duas antenas
dI1=I0
dcosψ
Ex: I2=-I1 , dipolos de Hertz
d=λ/2sin 2sin sin sin
2E Cte πθ θ ϕ⎛ ⎞= × × ⎜ ⎟
⎝ ⎠
y
ψ
I2= -I0
zPlano yz
x
sin 2sin sin2
E Cte πθ θ⎛ ⎞= × × ⎜ ⎟⎝ ⎠
E
ANTENAS – IST – A. Moreira 15
Agregado linear de antenas equi-espaçadas
d
(1)
(2)
(...)
(...)
(N)
d
dd
1j1eI ϕ
2j2eI ϕ
NjN eI ϕ
Equi-espaçamento, d
Correntes, Iq
Coeficientes, aq
Nota: I0 , corrente de referência, não tem que ser forçosamente o valor da intensidade de corrente de uma das antenas do agregado
ANTENAS – IST – A. Moreira 16
Agregado linear de antenas equi-espaçadasDiferença de fase devido ao percurso, relativa a duas antenas
Equi-espaçamento, d• Diferença de fase devida à diferença de percurso entre antenas consecutivas até um ponto na zona distante
ψλπ
ψγ
cos2cosd
kd
=
=
d co
s ψ
(q+1)(q)...
ψ
P na
zona
di
stant
e
...d
ANTENAS – IST – A. Moreira 17
Sobreposição dos campos na zona distanteFactor Espacial
ψψψψ cos)1(cos)1(
11
cos2
cos
1
2
1
2
)()(
)()( kdqj
qdqjkqqjkdjkd eae
II
PEPE
eaeII
PEPE −− =×==×=
ψcos)1(
1
−
=∑= qjkd
q
N
qeaF
[ ] )1()()( 11cos)1(cos
21 =⋅+++= − aPeaeaaP NjkdN
jkd EE ψψ
F , factor espacial
Por conveniência podemos tomar como referência o campo radiado por uma antena num extremo, a “antena 1”
ANTENAS – IST – A. Moreira 18
Factor espacialRepresentação polinomial
Nota: Yq são as N-1 raízesdo polinómio F, de grau N-1
Representação dos afixosde Y no plano complexo
γ)1q(q
N
1q
YaF −
=∑= ψγ coskd=ψcosjkdeY =
Afixo de
1YeeY
cosjkd
j
=
=
=ψ
γ
γ
)())(( 121 −−−−= NN YYYYYYaF
F , é um polinómio de grau N-1
ANTENAS – IST – A. Moreira 19
Agregados uniformes com desfasamentoprogressivo
Um agregado linear equiespaçado diz-se uniforme se as antenas foremexcitadas com correntes de igual amplitude e fase
Se a diferença de fase entre as correntes de antenas sucessivas for idênticao agregado diz-se uniforme com desfasamento progressivo
Neste caso o desfasamento entre contribuições devidas a antenas sucessivas para o campo na zona distante, é dado por
1,0 == qq aII
δδ )1()1(0 , −− == qj
qqj
q eaeII
ψδγ coskd+=
ANTENAS – IST – A. Moreira 20
Agregados uniformes com desfasamento progressivoFactor espacial
)coskd)(1N(j)coskd(2j)coskd(j0 eee1)P(E)P(E ψδψδψδ +−++ ++++×=
factor espacial, F
γγγγ )1(2
1
)1( 1 −
=
− ++++==∑ NjjjN
q
qj eeeeF
)2/sin()2/Nsin(F
γγ
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=2/cosdsin
2/cosdNsinF
δψλ
π
δψλ
π
Representação de F com funções trigonométricas
Representação polinomial de F
F , série geométrica finita
ψδγγγ
γ
cos1
111 kdeZ
ZZ
ee j
N
j
jN
+==−
−=
−−
=
ANTENAS – IST – A. Moreira 21
Agregados uniformes com desfasamento progressivoFactor espacial – nulos e construção do diagrama
Nulos ... na variável Z , N-1raízes índice N da unidade
... na variável γ
1N,,1i/cm2iN2ee
1Z1Z
m,i
m2jjN
N
−=+=
=
≠=
ππγ
πγ
⇒= 0F
Ex: |F! N=4 antenas
N2π
− π2π−Nπ2 ππ2− γ
F
0
●
●
●
Localização dos nulos no plano ZRaízes índice N da unidade
ANTENAS – IST – A. Moreira 22
Agregados uniformes com desfasamento progressivoFactor espacial – direcção de máximo
Máximo(s) principal
NeeFm jj
=+++=⇒∨= 00 ...120 πγ (Nota: tomando como referência NII /10
seria Fmax=1 , valor normalizado)
=
ψ solução de ψδπ cos2 kdm +=
para m=0 )/cos( kda δψ −=
Possibilidade de “scanning”: actuar sobre o desfasamento progressivo permitedirigir o máximo de factor espacial para diferentes direcções (“scanning”)
ANTENAS – IST – A. Moreira 23
Agregados uniformes com desfasamento progressivoNível de lobos secundários
Máximos nos lobos secundários adjacentes ao principal
- Nível de lobos secundários
π
πππγ
32
23sin
133
NF
NN
FFN
S
SSS
≈
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈≈
dB5.13NLS −≈
ANTENAS – IST – A. Moreira 24
Construção geométrica do diagrama do factor espacialEx: Agregado uniforme de 4
antenas
N2π
− π2π−N2π ππ2− γ
)(F γ
δ ψcoskd
ψ
)(F ψ
Círculo de raio kd
Intervalo “visível”
[ ]kdkd +− δδ ,kd
ANTENAS – IST – A. Moreira 25
Agregados uniformes transversais
Com as antenas alimentadas em fase o factor espacialmaximiza para Ψ = π /2
ex: 6 antenas, afastadas de λ/2
Largura de feixe entre nulos
)(γF
γ
γ
02
coskd0
20
=⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
=↔=
δ
πδ
πψγ
ππ−
Nd22
Ndsin
λα
λα
≈
=
ANTENAS – IST – A. Moreira 26
Agregados uniformes longitudinais
Solução “clássica”
kd0coskd0
00
−=⇒+=
=↔=
δδ
ψγ
kd−=δ
)(γF
γ
γ
Intervalo visível
Nd222
Nd2sin
Nd1cos
N2coskdkd
λα
λαλα
πα
≅
≈−=
−=+−
Largura de feixe entre nulos
Intervalo visível = [-2kd, 0]
ANTENAS – IST – A. Moreira 27
Agregados uniformes longitudinais
Solução de Hansen-Woodyard: escolhe-se desfasagemprogressiva entre antenas que conduz a um lobo principal mais estreito N
kd πδ −−=
Nπ
−
δ
)(γF
γ
γ
Menor largura de feixe que com a solução “clássica”
Intervalo visível
Intervalo visível
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−
NNkd ππ ,2
ANTENAS – IST – A. Moreira 28
Agregados de excitação simétricacom desfasamento progressivo
d co
s ψ
(3)(2)
ψ
...d(1) d (N)
d co
s ψ
δjeA2δ2
3jeA
δ)1( −NjN eA0
1jeA
1211121 ,, AAAAAAAAAA NNpNpNN ===== −+−−
ANTENAS – IST – A. Moreira 29
Agregados de excitação simétricacom desfasamento progressivo
Nota: se o número de antenas for ímpar existe uma antena “M” ao centro do agregado
( 1)1 2
j j NNF A A e A eγ γ−= + +
1pNp1N2N1 AAAA,AA +−− ===Usando a simetria
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++=
−−
−
−−−−−2
)1N(j
N2
)3N(j
1N2
)3N(j
22
)1N(j
12
)1N(jeAeAeAeAeF
γγγγγ
Factor espacial
M21 A2
)3N(cosA22
)1N(cosA2F ++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
γγ
ANTENAS – IST – A. Moreira 30
Factor espacial de Agregados de excitação simétrica com desfasamento progressivo
cos( p γ/2 ) é um polinómio de grau p em cos(γ/2)
M21 A23NA221NA2F ++−+−= ]/)cos[(]/)cos[( γγ
1884343122
24
3
2
+−=
−=
−=
ααα
ααα
αα
coscoscoscoscoscos
coscos
Usando
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 128282
232423122
24
3
2
+−=
−=
−=
/cos/coscos/cos/cos/cos
/coscos
γγα
γγγ
γγ
Conclui-se que o factor espacial F é representado por um polinómio de grau N-1 em x=b cos(γ/2)
ANTENAS – IST – A. Moreira 31
Factor espacial
Ex: agregado de 5 antenas
( ) ( ) 321 A2/2cosA22/4cosA2F ++= γγ
( ) ( ) 12/cos82/cos8 24 +− γγ ( ) 12/cos2 2 −γ
( ) ( )[ ] ( )[ ] 32
224
1 A12/cos2A212/cos82/cos8A2F +−++−= γγγ
( )2/cosycom γ=
( ) ( )1232
124
1 A2A2AyA16A4yA16F +−+−+=ou
ANTENAS – IST – A. Moreira 32
Obtenção dos coeficientes de excitação poridentificação de polinómios
1233
122
2
14
1
A2A2AaA16A4ba
A16ba
+−=−=
=
32
24
13
22
412
411
aba21ba
83A
ba41ba
41A
ba161A
++=
+=
=
⇒
(Continuação do exemplo agregado de 5 antenas)
( ) ( )1232
124
1
322
244
144
A2A2AyA16A4yA16
aybayba)by(P)x(P
+−+−+=
++==
Identificação de polinómios ( )( )2/cosyebyxcom γ==
Relação entre os coeficientes polinomiais nas variáveis y e x
ANTENAS – IST – A. Moreira 33
Utilização de Polinómios na síntese de Factores espaciais
• O problema geral da síntese de factores espaciais de agregados lineares equiespaçados é determinar os coeficientes de excitação que conduzem a um factor espacial especificado. Trata-se portanto de encontrar um polinómio adequado ao factor espacial pretendido.
• Um problema menos restritivo pode ser o de procurar obter factores espaciais com propriedades específicas, por exemplo, relativas a níveis de lobos secundário ou larguras de feixe.Dadas as propriedades dos polinómios de Chebyshev, eles foram usados (Dolph) para a seguinte finalidade:
– Definido um nível de lobos secundário, obtem-se a menor largura de feixe possível do factor espacial.
– Definida uma largura de feixe, obtem-se o nível de lobos secundários mais baixo possível.
ANTENAS – IST – A. Moreira 34
Polinómios de Chebyshev
)()(2)(
188)(
34)(
12)(
)(1)(
11
244
33
22
1
0
xTxxTxT
xxxT
xxxT
xxT
xxTxT
ppp −+ −=
+−=
−=
−=
==
Polinómio e sua inversão para x>1
[ ] [ ][ ] [ ]
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −++−+==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −++−+==
−−
−
pp
p
pp
p
RRRRRTx
xxxxxTR
/12
/121
0
200
2000
1121)(
1121)(
))(coscos()(11 1 xpxTx p−=<<−
))(()1()(1
))(()(11
1
xchpchxTx
xchpchxTxp
p
p
−
−
−=−<
=>
No intervalo -1<x<1 podem ser representados por funções trigonométricas
Para |x|>1 podem ser representados por funções hiperbólicas
ANTENAS – IST – A. Moreira 35
Polinómios de Chebyshev
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
T2(x)T3(x)T4(x)T5(x)
ANTENAS – IST – A. Moreira 36
Polinómios de Chebyshev
• Passam por (1,1) e [-1,(-1) p]
1,0)12(2
cos −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= pnn
px n
π
• Extremos 1p1mp
mx m −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ,cos π
• Têm o crescimento mais rápido entre todos do mesmo grau que exibem variações limitadas no intervalo [-1,1]
• Nulos
• Oscilam entre ±1 no intervalo [-1,1]
Propriedades
ANTENAS – IST – A. Moreira 37
Identificação de um polinómio de Chebychev com um factor espacialCoeficientes de excitação
Ex: identificação de um polinómio de Chebyshev com o factor espacial de um agregado de 5 antenas
( ) ( )1232
124
1
22444
322
244
14
2216416
188)(
)(
AAAyAAyA
ybybbyT
aybaybabyP
+−+−+=
+−==
++=
32
24
13
22
412
411
aba21ba
83A
ba41ba
41A
ba161A
++=
+=
=
( )
1b4b3A
bb2A
b21A
243
242
41
+−=
−=
=
⇒
( )1,8,8 321 =−== aaa
ANTENAS – IST – A. Moreira 38
Agregados transversais (AT)Dolph-Chebyshev
2cosbx
coskd0
γψγ
δ
=
==
πλ ===
kddcpantenasEx
2/ /)4( 5:
x0x1
α
π
− π
x = bcosγ /2
b = x0
x
T4 (x) R =T4 (x0)
γγ
2 kd
ANTENAS – IST – A. Moreira 39
Dimensionamento (AT)
Antenas alimentadas em fase
)() 01N xTR2 −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ααπ sincoscoscos)
2kdb
22kdbx3 1
ψγδ cos,) kd01 ==
Correspondência entre o 1º nulo do polinómio e os nulos contíguos ao lobo principal, em ψ=π/2 ± α
Relação entre amplitude máxima do lobo principal e lobos secundários
ANTENAS – IST – A. Moreira 40
Dimensionamento (AT)
)(RTxb 11N0
−−==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= −
)(coscossin
1N2b1
kd2 1 πα
Dado R (NLS)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=α
π
sin2
cos
)1(2cos
kdN
bDada a largura de feixe α
A largura de feixe vem determinada por
)(1 bTR N −=R vem dado por
ANTENAS – IST – A. Moreira 41
Dimensionamento (AT)
[ ] [ ]
[ ] [ ]⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−++−+==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −++−+==
−−
−−−
−−−
−
11
211
211
)1(2
12
1
1121)(
1121)(
NNN
NN
N
RRRRRTb
bbbbbTR
Expressões úteis para cálculo do polinómio e sua inversão, para x>1
ANTENAS – IST – A. Moreira 42
Agregados longitudinais (AL)Dolph-Chebyshev
x0x1
− π
x = bcosγ /2
b ≠ x0
x
T4 (x) R =T4 (x0)
γγ
α
δ
2 kd
-1
Método de PritchardEscolhe-se para intervalo visível do polinómio [-1, x0 ]
ANTENAS – IST – A. Moreira 43
Dimensionamento (AL)Relação entre amplitude máxima do lobo principal e lobos secundários
Correspondência entre o 1º nulo do polinómio e o nulo contíguo ao lobo principal, em ψ=α
Método de Pritchard 3) e 4)
)() 01N xTR1 −= )(RTx 11N0
−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=2
cos)3 0kdbx δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−2
cos1)4 kdb δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
coscos)1(2
cos)2 αδπ kdbN
[ ]kd
kdxxb
sincos21 2/1
020 ++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−= −
2cot
11
tan20
01 kdxx
δ
)0(0 =↔ ψγx)(1 πψγ =↔−
3) e 4) implicam ⇒
ANTENAS – IST – A. Moreira 44
Síntese de factores espaciaisde agregados lineares
• O problema da síntese de factores espaciais de agregados consiste na escolha de uma geometria e dos coeficientes de excitação que conduzem a um factor espacial especificado.
• Quando se escolhe uma geometria de agregado linear resulta uma restrição que corresponde ao facto de os factores realizáveis terem obrigatoriamente simetria de revolução em torno da direcção que define o alinhamento.
• As especificações para o factor espacial são habitualmente relativas a |F| e podem ser pela definição de uma função |F(ψ)| num domínio contínuo ou num conjunto discreto de direcções (ψi ,|F(ψi)|)
ANTENAS – IST – A. Moreira 45
Síntese de factores espaciais de agregadoslineares equiespaçados
-M -(M-1) MM-10 ......índice p
0 1 N-1
p
q
jqq
jqq
eCc
eAa
δ
δ
=
=
∑
∑
−=
−
=
=
=
M
Mp
jpp
N
q
jqq
ecF
eaF
γ
γ1
0
Coeficientes Factor espacial
Vamos considerar a síntese de factores espaciais de agregados linearesequiespaçados. Por conveniência vamos considerar agregados com número ímpar de antenas as antenas serão renumeradas de acordo com o esquema
índice q ......
ψγ cos, kd=
ANTENAS – IST – A. Moreira 46
A escolha de um espaçamento entre antenas implica a relação
Através desta relação, especificar implica especificar
Note-se que só será realizável se for periódica com período 2π o que podeimplicar que o espaçamento entre antenas seja no máximo λ/2
Dada a periodicidade de podemos recorrer a uma série de Fourier pararepresentar o factor espacial pretendido
Síntese de Fourier
ψγ coskd=
[ ]πψψ ;0,)( ∈F
[ ]kdkdF ;,)( −∈γγ
)(γF
)(γF
ANTENAS – IST – A. Moreira 47
Síntese de Fourier
O problema resume-se a encontrar uma aproximação satisfatória para F à custa de um número finito de antenas.
Os factores espaciais realizáveis com um número ímpar (virtual) são da forma
Aproximaçãopor série de Fourier truncada
∑−=
=M
Mp
jppecF γ
∑∞
−∞=
=p
jppecF γ γγ
πγπγ de)(F
21cecFF jp2
0p
M
Mp
jppT
−
−=∫∑ ==≈⇒
ANTENAS – IST – A. Moreira 48
Síntese de Fouriernotas• Em princípio é sempre possível sintetizar um factor espacial desde que o
intervalo visível em γ seja inferior a 2π, o que implica uma escolha do espaçamento entre antenas inferior a λ /2.
• F desejado pode ser obtido com a aproximação que se pretenda. O erro diminuicom o aumento dos termos da série (número de antenas, 2M+1).
• Esta abordagem minimiza o erro quadrático médio, de acordo com as propriedades das séries de Fourier. Poderá existirá um compromisso entre o número de antenas e a precisão da truncatura.
• Habitualmente especifica-se | F | o que introduz um grau de liberdade adicionalna especificação de F.
• A obtenção dos coeficientes de Fourier é equivalente a encontrar os coeficientesde excitação das antenas
ANTENAS – IST – A. Moreira 49
Síntese de FourierEx: especificação de F
γ
)(γF
Ex: d=λ/2
kd=π
⎩⎨⎧ ≤≤∨−≤≤−
= indicado intervalo do fora 0
/22/ se 1)(
πγππγπγF
2/π−π− 2/π π0
ψπψγ
coscos
== kd
⎩⎨⎧ ≤≤∨≤≤
= indicado intervalo do fora 0
3/23/0 se 1)(
πψππψψF
ANTENAS – IST – A. Moreira 50
Síntese de FourierEx: cálculo dos coeficientes
Coeficientes de excitação
O cálculo do desenvolvimento de Fourier conduz a
Aproximação com 2M+1 elementos (aparentes)
∫−
=π
πγγ
πγ deFc jm
m )(21
21
0 =cπ1
11 −== −ccπ31
33 == −cc022 == −cc …044 == −cc
∑−=
=≈M
Mp
jppT ecFF γ
ANTENAS – IST – A. Moreira 51
Síntese de FourierEx: construção gráfica
kd
ψ
γ
)(γF
(Simetria em torno do alinha,mento)
∑−=
=4
4p
jppT ecF γ
M=4
9 elementos aparentes
2/π− 2/π0π− π
ANTENAS – IST – A. Moreira 52
Síntese por polinómios (Schelkunoff)
• Alternativamente à especificação de F num intervalo contínuo podeespecificar-se F para um conjunto discreto de direcções
• Lembra-se que F pode ser representado por um polinómio na variável
N
q
jqq
N
qYaeaF ∑∑
−
=
−
=
==1
0
1
0
γ
ψγγ cos, kdeY j ==
ANTENAS – IST – A. Moreira 53
Síntese por polinómios (Schelkunoff)
0cosjkd00 eY ΨΨ =→
q1Nq
1N
0q1N
q1q
1N
0q1
q0q
1N
0q0
YaF
YaF
YaF
−
−
=−
−
=
−
=
∑
∑
∑
=
=
= “Polinómios de Schelkunoff”
1Ncosjkd1N1N eY −=→ −−
ΨΨ
1cosjkd11 eY ΨΨ =→
⇒
A uma direcção correspondeiψii kd ψγ cos= ij
i eY γ=
( ) ii jqkdq
N
q
qjkyq
N
qi eaeaF ψcos
1
0
1
0∑∑
−
=
−
=
==
ANTENAS – IST – A. Moreira 54
Se os Yi ´s forem todos diferentes o determinante (de Vandermonde)
é diferente de zero e o sistema tem solução única. Será sempre o caso se o espaçamento entre antenas for inferior a λ /2
Síntese por polinómios (Schelkunoff)
1N1N
21N1N
1N1
211
1N0
200
YYY1
YYY1YYY1
−−−−
−
−
ANTENAS – IST – A. Moreira 55
Síntese por polinómios (Schelkunoff)
• Obter os coeficientes de excitação equivale a resolver um sistema de equações
• O número de antenas necessário depende do número de direcções especificadas.
• Com N condições independentes é possível encontrar uma solução com N antenas.
• Se o número de antenas pretendido for inferior ao número de condiçõesindependentes poderá encontrar-se uma solução que minimize o errorelativamente aos valores especificados para o factor espacial.
• Em princípio há liberdade de escolha da fase de F o que aumenta a possibilidade de diferentes realizações do factor espacial.
ANTENAS – IST – A. Moreira 56
Síntese por polinómios (Schelkunoff)Ex
Ex: d=λ/2
kd=π ψπγ cos=
γ
)(γF
2/π−π− 2/π π0
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
0
33
23
13
32
22
12
31
21
11
30
20
10
3
2
1
0
1111
aaaa
YYYYYYYYYYYY
FFFF [ ] [ ] [ ]FYa ⋅= −1( ) ( )
( ) ( ) 14/3cos4/30102/14/cos4/10
4/3cos
4/cos
ππ
ππ
π
ππππ
ππππγψ
j
j
jiiii
e
ee
FY
ANTENAS – IST – A. Moreira 57
Agregados Circulares
Ni2
iπϕ =
Antenas equi-espaçadas
•
•
•
•
•
•
•
••
•
iϕϕ
θ
iψ
rRi
P
a)cos(sin
cos)cos( /
i
i
21i
22i
arar
ar2arR
ϕϕθψ
ψ
−−=−≈
−+=
Geometria
Uma disposição geométrica das antenas em agregado circular é conveniente em certas aplicações como sistemas de busca de direcção e sistemas auxiliares de navegação
ANTENAS – IST – A. Moreira 58
Factor espacial
∑=
−=N
1i
jkai
ieaF )cos(sin ϕϕθ
refj
ii IeIa i /α=onde coeficientes de alimentação das antenas
A escolha de coeficientes que conduzem a uma adição em fase segundo (θ0 , ϕ0) conduz a e F toma a formaij
iii00i eAaka αϕϕθα =−−= ,)cos(sin
[ ]
[ ]∑
∑
=
−
=
−−−
=
=
N
1i
jkai
N
1i
jkai
i0i
i00i
eA
eAF
ψψ
ϕϕθϕϕθ
coscos
)cos(sin)cos(sin
Nota: o diagrama do factor espacial não exibe simetria de revolução
ψ0 i refere-se ao ângulo entre o vector de posição da antena i e a direcção (θ0, ϕ0)
Tomando uma antena de referência ao centro
ANTENAS – IST – A. Moreira 59
Agregado circular com excitação uniforme
∑=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−
=N
1i
Ni2
Ni2jka 00
eF)cos(sin)cos(sin πϕθπϕθCoeficientes com módulo
unitário, Ai=1, e fase escolhida para maximizar segundo (θ0 , ϕ0)
)( ρkNJF 0≈
[ ] 21200
200a /)sinsinsin(sin)cossincos(sin ϕθϕθϕθϕθρ −+−=
Para N elevado o factor espacial pode ser aproximado por
onde
e J0 (kρ) é a função de Bessel de ordem 0 e argumento kρ