consolidation d'un sol élastoplastique
par
J.-P. Magnan et A. BelkeztzLaboratoire Central des Ponts et Chaussées, Paris
1 lntroduction
Depuis les travaux de Sandhu et Wilson (1969), Sandhu(1972, 1976), Christian et Boehmer (1970), Christian et
àf. FgZz), Hwang et al. (1971, 1972\ et Yokoo et al.
(1971 a, b, c), la méthode des éléments finis est
devenue un outil courant pour t'analyse (théorique) des
problèmes de consolidation. Certains auteurs (Soulié,
igZA) ont même trouvé un accord raisonnable entre de
.. vrâiêg ' prévisions du comportement d'un remblai sursol compressible et les résultats des mesures.
Le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées s'est
intéressé très tôt à cette technique de calculnumérique et Richard (1975) et Humbert ont introduitdans le programme de calcul par éléments finisROSALIE un algorithme de traitement des problèmes
de consolidation tridimensionnelle dans le cas d'un sol
au squelette élastique linéaire (Guellec et al., 1976)'
ROSALIE a été ultérieurement complété par I'introduc-tion de l'élastoplasticité avec ou Sans écrou issage(Bef keziz et Mag nan , 1 982) dans le mod u le de
traitement de la consolidation (ROSALIE-Groupe 9)'
L'étude présentée dans cet article a été effectuée en
utilisant ce programme. Elle porte sur la consolidationdu sol de fondation du remblai B du site expérimentalde remblais Sur sols compressibles des Laboratoiresdes Ponts et Chaussées à Cubzac-les-Ponts (Magnan
et al., 1978). La consolidation a été calculée pou r
différentes hypothèses sur la loi de comportement du
squelette du sol :
élasticité linéaire isotroPe,élasticité linéaire anisotrope,élastoplasticité avec écrouissage (modèle Cam-
clay modifié).
Les résultats des calculs ont été ensuite confrontés aux
mesu res.
2 Le programme de calcul : Rosalie-Groupe 9
Le programme ROSALIE de calcul par éléments finiscomprend 16 Sous-ensernble appelés " Groupes ", plus
RËVUE FRANÇAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 19
trois modu les de maillage, et procède su ivant le
schéma de la figure 1. Le neuvième groupe,GROUPE 9, traite des problèmes de consolidation et
de diffusion de la chaleur. Les éléments utilisés sont du
type " déplacements,,. Avec les notations habituellespour ce genre de Problème :
e - tenseur des déformations (on fait I'hypothèse despetites déformations),g vecteu r des dérivées premières partielles de lacharge hydrau lique,E tenseu r d'élasticité,K tenseur des coefficients de perméabilité,H - charge hydraulique, comptée à partir de l'état initial(en supposant H : 0, initialement),Iw poids volumique de I'eau,
0:êrt*êzz*ê"",ô dérivée de o par rapPort au temPs,1r tenseur transposé du tenseur X,
F forces volu miques,U déplacements,T - forces appliquées à la su rface du domaine étudié,h débits imposés à la surface du domaine.étudié,O domaine étudié,So partie de la surface du domaine f) où les
contraintes sont imPosées,Sv - partie de la surface du domaine f) où le débit h est
imposé,
la résolution du problème de la consolidation d'un solélastique linéaire passe par la recherche simultanéed'un champ de déplacement U et d'une distribution de
charge hydraulique H qui vérifient :
FTôU df)u": L e'Eôe on - [ ^y*Hôo on - [- [. Trôu ds- - o (1)
et
rôJ : -t îwsrKôs do - I,ôaH on * J",
hôH ds,, - 0
(2)
39
l.IAILLE
Préparation du mail lage
MAPLAN
module planHATRID I uncAPo
module tridi.. I module structuremensionnel I
/ rrsT ivérifi cation
\ du maillage
\I
mauvais maillage
I Dessins des résultatsI A. TEST, impression, II perforation I
GROUPE ical cu] dugroupe i
I Rêsultats imprimés,/ pe"forés ou sur' support magnêtique I
TRACE ireprésentation
graphique
I Rêsul tats sous forme tf sraphique I
Fig. 1 Structure du programme ROSALTE
pour tout champ de déplacements virtuels admissible(c'est-à-dire vérifiant les conditions de déplacementimposées) ôU, avec les champs de déformations ôe etô0 associés, et pour toute distribution d'incrément decharge ôH admissible (c'est-à-dire vérifiant les condi-tions aux limites imposées à la charge hydraulique H),avec le champ de dérivées partielles ôg associé.
Après discrétisation de I'espace et du temps (par laméthode de Galerkin), I'analyse du problème débou-che sur une procédure de résolution itérative sur labase de l'équation matricielle
Go,'Vr*at : Lo, * Gi.. V,
avec les notations suivantes :
R matrice de rigidité du squelette du sol,C matrice de couplage entre l'écoulement et lesdéformations du squelette,At incrément de temps,F matrice-colonne des forces nodales imposées(forces volumiques et forces de surface confondues),O matrice-colonne des débits nodaux imposés.
Cette équation matricielle se résout .. facilement,,, à lacondition d'inverser la matrice Go,, qui est symétriqueet tridiagonalisable par blocs. Dans le programmeRosALlE-Groupe 9, I'inversion est réalisée par laméthode directe de Choleski par bande. La résolutiondonne les déplacements U et les charges H au tempst + at, qui permettent de calculer les autres inconnues,et en particulier les contraintes (les conventions designe du calcul sont celles de la mécanique des milieuxcontinus et non celles de la mécanique des sols).
ll faut noter que I'inversion de la matrice Go., qu i
conditionne pour une grande part le coût total ducalcul, doit être effectuée chaque fois que I'on modifieI'incrément de tennps at. En pratique, les calculsdoivent pour cette raison n'utiliser qu'un nombre limitéde valeurs de At dans chaque cas traité.L'introduction de l'élastoplasticité dans la procédurede calcul de la consolidation a été effectuée sousforme incrémentale, ên su pposant que la fonctionF(o', k) : 0 est à la fois le critère de plasticité et lepotentiel plastique (c'est-à-dire qu'on lui applique leprincipe de normalité), o' désignant l'état des contrain-tes effectives et k un paramètre d'écrouissage.
(3)
Gar:
1
-; R.r* zlJ^t :
_6r
R-C
-6rr - 2at
K-v -T
)c
î^1
2tF(t) +2F(t+At)l
Lat :
+ ta(t) + 2e(t+ at)l
v,*a, : till i îlil, V, : riltil
REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19 40
u": L erEôe on - [ Aoe(t)ôe do - I,
L'analyse du problème de la consolidation dans un solélastoplastique conduit à l'établissement de deuxéquations déduites du principe des travaux virtuets etanalogues à celles établies dans le cas du squeletteélastique linéaire. L'équation (1) relative au squelettedu sol est remplacée par l'équation suivante, écritedans le cas où la plasticité est traitée par la méthode dela contrainte initiale :
rwHô0 dO
t Frôu dcl - f Trôu ds-Jrr J"--0 (4)
avec les mêmes notations que pour l'équation (1), lacorrection de contrainte Aoe étant obtenue par cumuldes corrections introduites à chaque incrément decharge pour caractériser l'état de contrainte réel du solélastoplastique par rapport à l'état de contrainte fictifcalculé en élasticité linéaire :
Aoe(t, t + At) : Ao(t, t + At) - E de(t, t + At),
Aoo: |.'Ooo( r, r+ Ar) dr.Jg
L'équation relative à l'écoulement est identique àl'équation (2) établie dans le cas du squelette élastiquelinéai re.
Après discrétisation de I'espace et du temps, on obtientfinalement une équation de récurrence de la forme
Go,. Vl, : Li. + Gii . V3, (5)
avec les notations suivantes :
^ R -Culat :
-çr - 3at K3
r\ **lJat
tF(t) + 2F(t + at) + 2F o_"(t)l
-îto(t)+2e(t+at)l
qu'un processus itératif annexe, inclus dans leprocessus itératif général relatif au temps, cumulejusqu'à ramener en tout point du maillage l'état descontraintes effectives sur le critère de plasticité.
La figu re 2 explique le déroulement des calculs deconsolidation dans le cas des sols élastoplastiques.Dans son état actuel, le programme ROSALIE-Groupe I permet de traiter la consolidation de solsdont le critère de plasticité du squelette est I'un descritères de Tresca, Von Misès ou Mohr-Coulomb ou,depuis les travaux de Dang et Magnan (19771, te critèred'élastoplasticité avec écrouissage du modèle Cam-clay modifié.
3 Le cas traité : remblai B du site expérimentalde Cubzac-les-Ponts
L'étude a été réalisée sur le cas d'un remblai réel, édifiéen 1975 par les Laboratoires des Ponts et Chausséessur la rive nord de la Dordogne, à Cubzac-les-Ponts(Gironde). Ce remblai a fait I'objet de nombreusesétudes théoriques et expérimentales et a été décritdans plusieurs publications antérieures (Dang etMagnan, 1977; Magnan et al., 1978; Shahanguian,1980; Baghery, 1980). Nous nous contenterons derappeler ici la géométrie du remblai et du sol defondation (fig. 3) et de reproduire la coupe géotechni-que du sol de fondation, telle qu'elle résulte de lareconnaissance effectuée avant la construction duremblai (Tableau l).
o)c: o î^
Li.: L
Vô: [1,,,]'Faoo matrice-colonne des forces nodales dues auxcorrections de contraintes,
autres notations, comme pour l'équation (3).
Cette équation qui permet, par un processus itératif,d'obtenir la solution des problèmes de consolidationdans les sols élastoplastiques, appelle deux commen-taires :
d'une part, comme pour l'équation (3), la résolutionde l'équation matricielle (a) passe par-l'inversion dela matrice symétrique Go., qui dépend de I'incré-ment de temps at : on a tout intérêt à inverser cettematrice le moins souvent possible, si I'on veutgarder le bénéfice du traitement de la plasticité parla méthode des contraintes initiales;d'autre part, si l'on regarde la composition de lamatrice des inconnues, Vir, on constate qu'elle necomporte qu'une fonction définie au temps t + At :
la charge hydraulique H. Les déplacements u sontdéfinis au temps t et I'on pourrait craindre qu'ils nerestent constants. En réalité, ils varient, parI'intermédiaire des corrections de contraintes
oo-:-toooJoo-ooo)<l'
d3'oo
-+è
tQ
og)oao
lJ-
Vi': [ill'* o.,]'
Colcul ' étol initiol
Elol ô t'
Résolution deGV=L+GV'
Colcu I de as
'est de plcsficité
Résultofs ô l+at( o, u,H )
REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE NUMERO 19 41
Fig. 2
TableauCaractéristiques de compressibilité des
du sife expérimental de
1
so/s de fondation du remblai BCu bzac-les-Ponts
Drainage vertical Drainage horizontal
Couches eo o'lo
(kPa)
o('
(kPa)
c8 cc A, Bv
o': oJo48,3
o': oiro* , o': orlo + 48,3
Ah Bh
ot : orlo pour
ot : orlo
kh/k,,k,, cv(cm/s) 1cm2/s;
k"(cm/s)
cv(cm2ls)
k,,(cm/s)
cv(cm2ls1
kh(cmls)
0à1m1à2m2à3m3à4m4à5m5à6m6à7m7à8m8à9m
1
2,63,153,32,422,072,132,52,2
8,42024283236æ4548
7868363638,541
Æ5768
0,040,050,21
0,180,120,100,080,100,11
0,281,221,75',,70
1,281,181,11
1,301,20
2,28,24
13,410,58,957,Æ7,01
8,427,52
0,170,81
1,391,030,930,780,700,840,75
91,254,31
9,71,21,1
98,2
10-810-71o-810*71o-810-71o-71o-810-8
8,6. 10-'4,2.10-34,7 .10-41,6. 10-32 .10-33,2. 10-33,9. 10-33,3. 10-32,6. 10-3
6,5. 10-61,2. 1o-72,5. 10-85,4. 10-85,6. 10-86,8. 10-86,4. 10-86,6 . 1o-87 .10-8
2,4.10-38,7. 10-36,6. 10-s1,5. 10-41,8. 10-42,3.10-42,5. 10-42,7 .10-43 .10-4
5,7 .10-81,15.10-7
1 ,7 . 10-82,9. 1o-83,4. 10-84,1 . 1o-83,9. 1o-84,1 . 10-84,4. 10-8
3,6. 10-31,3. 1o-25,7. 10-51,1 .10-41,5. 10-41 ,8 . 10-42 .10-42,2.10-42,4.10-4
2,3
11
12
10
6,238
7,4
0,19
1 ,131,24'1,07
0,650,840.74
4,6. 10-6
1 ,4. 10-73,6. 10-71 .10-71,9. 10-71,1 . 10-71,5. 10-7
0,51
3,263,603,092,421
1,67
M ossiF h o moqèn e
--
Coupe CC
I
Fis. 3
3.1 Liste et hypothèses des calculs effectués
Trois séries de calculs ont été réalisées sur le remblai Bde Cubzac-les-Ponts :
deux calculs de consolidation dans I'hypothèsed'u n sol au squelette élastique isotrope (sol defondation homogène et sol de fondation divisé encinq couches horizontales);deux calculs de consolidation dans I'hypothèsed'un sol au squelette élastique anisotrope ou plusprécisément orthotrope à symétrie de révolution(sol de fondation homogène et sol de fondationdivisé en cinq couches horizontales);un calcul de consolidatiôn dans I'hypothèse où lecomportement élastoplastique du sol est régi par lemodèle Cam-clay modifié (sol de fondation diviséen cinq couches horizontales).
Dans tous les cas, le remblai a été remplacé par unedistribution trapézoidale de pressions à la surface dumassif de sol.
Maillages et discrétisation du temps
Les calculs ont tous été effectués sur deux maillagescorrespondant respectivement au cas du massif defondation homogène et au cas du massif de fondationdivisé en cinq couches (fig . 4). Ces maillages sontcomposés d'éléments rectangulaires à huit næuds, àI'intérieur desquels les fonctions d'interpolation desdéplacements et de la charge hydraulique sont despolynômes du second degré.
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Mcrssit hétenoqene
-
Couches
Fis. 4
Pou r la discrétisation du temps, on a cherchésimultanément à :
représenter aussi fidèlement que possible la vitessede construction du remblai,couvrir une période de temps suffisammentétendue (20 ans),l'imiter au strict minimum les modifications deI'incrément de temps At au cours du calcul, pourlimiter le nombre d'inversions de la matrice Gor.
Ceci a conduit au choix des incréments de tempssuivants (fig. 5) :
six incréments de 1 jour,suivis de quatre incréments de 10 jours,suivis de dix incréments de 100 jours,suivis de cinq incréments de 1 000 jours.
L'utilisation de quatre valeurs de At permet de n'avoirque quatre inversions de la matrice Go, à effectuer.
Propriétés du sol (élasticité linéaire isotrope)
Chaque couche de sol est caractérisée par cinqparamètres :
le coefficient de pression des terres au repos, Ks,le module d'Young E et le coefficient de Poissoh v,les coeff icients de perméabilité verticale k,, ethorizontale kh.
Faute de résultats expérimentaux, on a attribué aucoefficient de Poisson la valeur arbitrai rê v: 0,35 et aucoefficient Ko la valeur également arbitraire Ko: 0,43.
42
583 poinlr ol c mon ls
39'e kPo 18,3 kPo
chonge conslonle 4q3 kFo
6 fois
1 fois
1 joun
10 jouns
Le module d'Young a été déduit du module ædométri-que E*o moyen entre l'état initial du sol et son état finalsous le poids du remblai, êh utilisant la valeur choisiepour u. Les coefficients de perméabilité du sol ont étéchoisis d'après les valeurs indiquées dans la coupegéotechnique (tableau 1).
Les tableaux 2 et 3 rassemblent les valeu rs desparamètres adoptées pour les calculs dans les cas dusol homogène et du sol hétérogène.
Propriétés du sol (élasticité linéaire anisotrope)
Chaque couche de sol est caractérisée par h u itparamètres :
le coefficient de pression des terres au repos, Ke,
les cinq paramètres de l'élasticité linéaire ortho-trope à symétrie de révolution r E,, En, un, u., et G.,,les coefficients de perméabilité verticale k., ethorizontale kh.
Les valeurs du coefficient Ko et des coefficients deperméabilité k" et k., sont identiques à celles adoptéespour le calcul en élasticité isotrope. Pour lesparamètres d'élasticité, pour lesquels on ne disposait
REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 19
10 fois 100 jo., ns
5 fois 100O jo u ns
pas de valeu rs expérimentales, on a fait les choixsu ivants :
le module d'élasticité verticale E, est égal aumodule d'Young de l'élasticité isotrope,le rapport EhlE,, est égal à 2, valeur médiane deI'intervalle de variation indiqué pour les argilesdans la synthèse bibliog raph ique de Garn ier (1 973),le rapport G"/E, est égal à 0,5, d'après une synthèsedes publications concernant ce sujet,les valeurs de u6 et vv ont été choisies après uneétude paramétrique, de façon à assurer que lesdéplacements horizontaux continuent vers I'exté-rieur après la fin du chargement, que le rapport dudéplacement latéral maximal au tassement sousI'axe du remblai reste de I'ordre de 0,2 et que lerapport du tassement final au tassement initial soitvoisin de 10.
2
3
1
t"
chonge conslon le 18,3 k fu
chonge conslonle 48,3 kPo
Fig. 5
Tableau 2Hypothèses du calcul (sol homogène élastique isotrope)
Tableau 3Hypothèses du calcul (sol hétérogène élastique isotrope)
Les tableaux 4 etparamètres utilisées
Propriétés du solsage)
5 présentent les valeu rs despour les calculs.
(élastoplasticité avec écrou is-
Couche v E(kPa) kn(m/s) k"(m/s) Ko
0m-9m 0,35 300 1 ,62 - 10-s 0,96 . 10-e 0,43
Couche v E(kPa) kn(m/s) k"(m/s) Ko
0m-1m1m-2m2m-4m4m-6m6m-9m
0,350,350,350,350.35
1 8143748
222246382
0,46 . 10-s1 ,25. 10-s2,50 - 10-e2,95. 10-s1 ,30 - 10-s
0,90 . 10-e1 ,25. 10-s0,72. 10-s1 ,08 . 10-s0.94 . 10-s
0,430,430,430,430,43
43
Tableau 4Hypothèses du calcul (élasticité linéaire anisotrope, sol homogène)
Tableau 5Hypothèses du calcul (élasticité linéaire anisotrope, sot hétérogène)
Tableau 6Hypothèses du calcul (élastoplasticité avec écrouissage)
Couche En(kPa) E"(kPa) G"(kPa) uh vY kn(m/s) k"(m/s) Ko
0m-9m 600 300 150 0,9 0,1 1 ,62. 10-e 0,96 . 10-s 0,43
Couche En(kPa) E"(kPa) G"(kPa) uh vY kn(m/s) k"(m/s) Ko
0m-1m1m-2m2m-4m4m-6m6m-9m
3 6287 496
445492764
1 8143748
222246382
9071874
111123191
0,80,80,8750,8750,850
0,10,10,10,10.1
1,80 . 10-e1,25. 10-s2,50. 10-e2,95. 10-s2,95. 10-s
1 ,80 . 10-s1 ,21 . 10-s0,72. 10-e1 ,08 . 10-s1 .gg . 10-s
0,430,430,430,430.43
Couches Paramètresd'élasticité Paramètres de plasticité Ecou lement
E(kPa) v À x M ês ê\o eE kn(m/s) k"(m/s)
0m-1m1m-2m2m-4m4m-6m6m-9m
6 0007 6001 2201 8302 990
0,350,350,350,350,35
0,120,530,750,530.52
0,0170,0220,0850,0480,042
1,2'1,2
1,21,21.2
1,002,603,232,252.28
1,474,725,784,114.29
1,032,663,482,342.24
1 ,80 . 10-e1 ,25 - 10-s2,50 - 10-e2,95. 10-e2.95. 10-s
1 ,80 . 10-e1 ,21 . 10-e0,72. 10-s1 ,08 . 10-e1 ,88 . 10-e
Chaque couche de sol est caractérisée par onzeparamètres :
le coefficient de pression des terres au repos, Ks,les huit paramètres qui décrivent la surface d'étatlimite du modèle Cam-clay modifié(\, ,, M, ê^o, eE), le comportement élastique iso-trope du squelette à I'intérieur de la surface d'étatlimite (E, ,) et l'état initial du sol (eo),les deux coefficients de perméabilité verticale k,, ethorizontale kh.
r
Fig. 6
REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19
Pour ce calcul, on a pris un coefficient de pression desterres au repos Ko : 0,5. Les coefficients de perméabi-lité sont identiques à ceux des calculs précédents. Lavafeur du coefficient de Poisson v a été fixée cette foisencore à 0,35. Le module d'Young E a été obtenu parlinéarisation des cou rbes de déchargement-recharEement isotrope (cou rbe de pente )( su r lafigure 6).
La valeur des paramètres de la courbe d'état limite aété déduite des résultats des essais ædométriques,sauf pour M, calculé à I'aide de la formule de Burland
M- 6sinÔ'3 - sin ô'
(ô'- angle de frottement interne du squelette du sol).
Le tableau 6 présente les valeu rs des paramètresutilisées pour les calculs.
3.2 Résultats des calculs
Squelette élastique isotrope
La f igu re 7 reg rou pe les résu ltats des deux calcu lseffectués avec un massif de sol homogène et un massifde sol hétérogène.
On observe sur cette figure que le tassement initial dela su rface du sol sous I'axe du remblai est plusimportant dans le cas dir sol homogène, maisqu'ultérieurement le tassement se poursuit à la mêmevitesse dans les deux cas.
44
(m)
b - Déplocemenls honizontqux è
010203040
0
'l
2
3
4
5
6
7
I9
z
0
1
2
3
4
5
6
7
I9
z
0
1
2
3
tt
5
6
7
I9
z
o - Tortemcnl roui I'qxc du ncmbloi
t ( jour: )
y(ml
oj
1040 j
4o4O j
verlicole du pied du nembloi
Au ( kPo )
f homogènef hélénogène-
lo
50
b- Déplocemenfs honizontoux
010203010
--al=:--\\- --..-\ \'
t (, jounr )
y (cm)
140i,
640 j
1040j
6040j
ô lo vcrlicole du pied du nembloi
50Au (kPo)
hom ogè nehéténogène
-\--\'
c- Sunpnessions inrenslitielles sous l'oxe du'nembloi
Fig. 7
Le déplacement horizontal du sol à la verticale du pieddu remblai est beaucoup plus important dans le cas dumassif de sol homogène, ce qu i s'explique par larigidité plus grande des deux couches de surface dansle cas du massif hétérogène. Comme dans tous lescalculs de consolidation des sols élastiques isotropes,on obtient une déformée latérale qu i revient versI'intérieur du remblai au cours de la consolidation, cequi n'est jamais observé sur les remblais réels.
Les isochrones de surpression interstitielle sous I'axedu remblai sont peu différentes lorsque I'on passe dusol homogène au sol hétérogène. On h'â, pour cetteraison, représenté qu'un seul réseau d'isochrones surla figure 7. On note sur I'isochrone correspondant à lafin du chargement (t: Oj) des ondulations provoquéespar les oscillations de la solution numérique lors despremières itérations du calcul.
Squelette élastique an isotrope
La figure 8 regroupe les résultats des deux calculseffectués dans I'hypothèse du squelette élastiqueanisotrope (sol homogène et sol hétérogène).
Le tassement du milieu du remblai est le même dansles deux cas.
Les déplacements horizontaux sont plus importantsdans le cas du sol homogène, toujours parce que lescouches supérieures du sol hétérogène sont plusrigides. Les résultats des calculs sont conformes à ce
REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19
\-\\---. i Mcsstf
\\l
c - Sunpnessrons tnter.stlltelles 3ous I'oxe du nembloi
Fis. I
que I'on attendait, compte tenu de la façon dont on achoisi la valeu r des paramètres vv et u6 : lesdéplacements horizontaux augmentent au cours de laconsolidation.
Cette fois encore les isochrones de su rpressioninterstitielle diffèrent peu d'un calcul à I'autre et cesont les isochrones pour le sol homogène qul sontreprésentées sur la figure 8.
Squelette élastoplastique avec écrouissage
L'évolution des zones plastiques (au sens du modèleCam-clay modifié) au cou rè de la construction duremblai puis de la consolidation est représentée sur lafigure 9. On note que le sol devient progressivementplastique en commençant par la partie inférieure de lacouche. Initialement, l'état limite est atteint dans lapartie de la surface d'état limite où les déformationsplastiques entraînent un écrouissage du sol. Au coursde la consolidation (pour t - 1040 j et t:6040 j), deszones plastiques avec anti-écrouissage se développentdans les deux couches plus rigides qui constituent lapartie supérieure du sol.
Les résultats du calcul sont représentés sur la figure 10sous la même forme que pour les calculs précédents.On note sur cette figure que les déplacementshorizontaux sous le pied du remblai se développentvers I'extérieu r dans la partie inférieu re du sol defondation et vers I'intérieur dans sa partie supérieure
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TosscmGnt obtcnvô tout lroxe du rembbi
4 6 E 10 1211 t6 18 20
Fig. 9
I ( jouns)
TossemGnl soùs Itoxc du rcmbloi
y (cm)
4O1O i
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b - D6plocemenls horizonloux à lo
01020304{_50vcnlicole du pied du nembloi
Au (kPo)
Mo:sif n6r6ro9ê ne
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640j1040j
c - Surpncssions intrnst i tielles sous t'o xe du nem blo i
Fig. 10
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y(cm)
oj167 i
667 i1100 j
b- DéPloccmcnlr honizontoux oblervâ ô b vrnlicolc du picd du rcrnbbi
01020il)1050Au (kPo)
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c- Surpresionr intcnrtitidllr obrrnvlrr rour rtoxc du nrmHoi
Fig. 1 1
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z
plus rigide. D'autre part,sions interstitielles estsupérieure de la couche.
la dissipation des surpres-plus rapide dans la partie
3.3 Comportement observé du remblai B deCu bzac-les-Ponts
Pour faciliter la comparaison des résultats des mesuresavec ceux des calculs, nous avons représenté sur lafigure 11 les déplacements et surpressions interstitiel-les observés sous le remblai, sous une forme analogueà celle des figures 7, I et 10.
La partie supérieure des isochrones de surpressioninterstitielle n'a pas été représentée sur cette figure carle toit de la nappe oscille chaque année entre le niveaudu terrain naturel et une profondeur de 1,5 m.
3.4 Comparaison des calculs et des mesures
La figure 12 compare une sélection des courbes detassement et de déplacements horizontaux et desisochrones de surpression interstitielle calculées avecles mesures correspondantes.
Pour les tassements sous I'axe du remblai, les mesuressont plus proches des calculs effectués en élasticitélinéaire isotrope (sol homogène et sol hétérogène) eten élasticité linéaire anisotrope dans le cas du solhomogène.
46
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élosticitaiso lrope ( honrogène)
-r' --or'
élosr icité onisolnope ( hété nogè ne )(cm)
o - Tossemenl sous I'oxe du nembloi
20æ 3000 1000 5000
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c - Sunpr.essions intenstirietles sous Itoxe du nernbloi
Fig. 12
47
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t
$'*,/-:4/
{
l=10j
Du point de vue des déplacements horizontaux, lasituation est toute différente : les deux calcu ls enélasticité linéaire isotrope sont à rejeter parce qu'ilsprédisent des déplacements d'amplitude exagérée etdont l'évolution est en contradiction avec celle desmesures. Les déplacements immédiats des calculsélastiques anisotropes sont trop importants mais leurvaleuràt:1040 iest prochedes mesures. Le calculenélastoplasticité donne des résultats un peu meilleurs.
La comparaison des isochrones de su rpressioninterstitielle montre que le calcul élastoplastiquedonne des résultats plus satisfaisants que tes autres,notamment dans la moitié supérieure de la couche.
3.5 Commentaires
S'if existe dans chacune des parties de la figure 12 unou plusieurs calculs en bon accord avec les mesures,aucune des hypothèses n'est vraiment satisfaisantevis-à-vis de I'ensemble des résultats analysés :
l'élasticité linéaire isotrope conduit à des valeursaberrantes des déplacements horizontaux,l'élasticité linéai re anisotrope est meilleu re vis-à-visdes déplacements horizontaux mais moins bonnepour les tassements,l'élastoplasticité type Cam-clay modifié est lameilleure pour les déplacements horizontaux et lessurpressions interstitielles, mais la pire pour letassement sous I'axe du remblai.
Même si l'élastoplasticité semble avoir un légeravantage sur les autres modèles de calcul, il est évidentque les recherches doivent se poursuivre si I'on veutobtenir un jour des prédictions numériques fiables desdéplacements, contraintes et pressions interstitiellesdans tout le sol de fondation.
On pou rrait tenter d'améliorer les prévisions descalculs en jouant sur les valeurs des paramètresmécaniques du sol de fondation. A part l'élasticitéisotrope, qui donne des résultats qualitativementinexacts, les modèles de calcul utilisés conduisent eneffet à des erreurs quantitatives que I'on peut espérercorriger en modifiant la valeur des nombreux paramè-tres :
8 paramètres seulement dans le cas de l'élasticitéanisotrope (sol homogène), mais40 paramètres pour l'élasticité anisotrope dans lecas du sol hétérogène divisé en 5 couches et55 paramètres dans le cas des calculs élastoplasti-ques avec écrouissage.
Dans le cadre de l'étude rapportée ici, on a refuséd'entrer dans le jeu arbitraire. des études paramétri-ques. Ce choix s'explique par trois raisons :
d'une part, on ne disposait pas de valeurs mesuréesdes paramètres qui puissent garder leurs modifica-tions ultérieures à I'intérieur de limites raisonna-bles,d'autre part, le coût important des calculs élasto-plastiques interdisait en pratique leur multiplica-tion,et enfin, il a été jugé préférable de continuer deperfectionner le modèle de calcul dans le sensd'une élastoplasticité anisotrope avec écrouissage,plutôt que de rester au niveau du modèle Cam-claymodifié (ce travail est en cours au L. C. P.C.).
ll peut être utile de faire un dernier commentaire sur lescalculs présentés dans cet article: I'utilisation desméthodes numériques est rarement exempte deproblèmes de convergence, d'oscillations des résul-
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tats, etc. qui font que les résultats publiés ont souventété précédés de calculs préliminaires variés, destinés àaméliorer le maillage ou à tester le choix desincréments de temps. Les calculs effectués dans lecadre de la présente étude ont comporté un certainnombre d'étapes préliminaires de ce genre, destinées àtester le maillage mais non les valeurs des paramètresmécaniques du sol.
4 Conclusion
La comparaison su r le cas du remblai B du siteexpérimental de Cubzac-les-Ponts des possibilités desmodèles élastique isotrope, élastique orthotrope derévolution et élastoplastique isotrope avec écrouissage(Cam-clay modifié) pour I'analyse numérique desproblèmes de consolidation des sols de fondationcompressibles a mis en évidence les défauts qualitatifsde l'élasticité isotrope et les possibilités offertes parl'élasticité an isotrope et l'élastoplasticité. Pou r laprédiction des déplacements horizontaux du sol defondation sous les remblais, en particulier, le progrèsréalisé par abandon de l'élasticité isotrope dans lescalculs de consolidation est très sensible puisque I'ona pu obtenir pour la première fois des déplacementshorizontaux évoluant vers I'extérieur au cours de laconsolidation.
Toutefois, des études complémentaires, utilisant desvaleurs des paramètres déterminées en laboratoire surdes échantillons de sol intact, seront encore nécessai-res si I'on veut démontrer la validité de I'une ou I'autrede ces deux méthodes, qu'il n'est pour l'instant pasquestion d'utiliser au niveau de l'élaboration desprojets.
Remerciements
La mise au point de la version du programmeRoSALIE-Groupe 9 utilisée pour cette étude a étébeaucou p facilitée par les conseils de MM. Franck,Guellec et Humbert, auxquels les auteurs exprimentleur gratitude.
Références bibliog raph iques
Baghery s. (1980). Probabilités et statistiques enmécanique des sols: analyse probabiliste de lastabilité et des tassements de remblais su r solscompressibles (site expérimental de Cubzac-les-Ponts). Thèse de docteur-ingénieur. École Nationaledes Ponts et Chaussées, Paris, déc. 1980 ,27T pages.
Bef keziz A., Magnan J. P. (1982). Analyse numérique dela consolidation bidimensionnelle des sols élastoplas-tiques. Traitement par la méthode des éléments finis etapplication au remblai expérimental B de Cubzac-les-Ponts. Laboratoire central des Ponts et Chaussées.Rapport de Recherche à paraître.
Christian J.T., Boehmer J.w. (1970). plane strainconsolidation by finite elements. Proc. ASCE, Journalof S. M. F. D., vol. 96, no SM4, 14gO-1457.
christian J.T., Boehmer J.w., Martin p. p. (1972).Consolidation of a layer under a strip load. proc. ASCE,Journal ,of S. M. F. D., vol. 98, no SM7, Og3-707.
Dang M.T., Magnan J.P. (1977). Application desmodèles élastoplastiques de I'Université de Cambridgeau calcul du comportement d'un remblai expérimentalsu r sols mous. Laboratoire Central des Ponts etChaussées, Rapport de Recherche LPC no 74,106 pages.
Garnier J. (1973). Tassements et contraintes. Influencede la rigidité de la fondation et de I'anisotropie dumassif. Thèse de doctorat de spécialité. UniversitéScientifique et Médicale de Grenoble, 193 pages.
Guellec P., Ricard A., Humbert P. (1976). Notice deprésentation du programme Rosalie. Laboratoirecentral des Ponts et Chaussées. Rapport du Départe-ment de Géotechnique.
Hwang C.T., Morgenstern N.R., Murray D.W. (1971). Onsolutions of plane strain consolidation problems byfinite element method. Canadian Geotechnical Journal,vol. 8, no 1 , 109-1 17.
Hwang C.T., Morgenstern N.R., Mu rray D.W. (1972).Application of the finite element method to consolida-tion problems. Proc. 1st Intern. Conf. on NumericalMethods in Geomechanics, Vicksburg, 739-760.
Magnan J.P. Mieussens C., Queyroi D. (1978). Compor-tement du remblai expérimental B à Cubzac-les-Ponts.Revue Française de Géotechnique, no 5, 23-36.
Ricard A. (1975). Étude des massifs continus à ,
comportement non linéaire. Application aux problèmesde génie civil. Laboratoire Central des Ponts etChaussées. Rapport de recherche LPC no 44.
Sandhu R.S. (19721. Finite element analysis ofconsolidation and creep. Proc. 1st Intern. Conf. onNumerical Methods in Geomechanics, Vicksburg,697-733.
Sandhu R.S. (1976). variational principles for finiteefement analysis of consolidation. Proc. 2nd Intern.Conf. on Numerical Methods in Geomechanics,Bf acksburg , 20-41.
sandhu R.s., wilson E.L. (1969). Finite elementanalysis of seepage in elastic media. proc. ASCE,Journal of Engineering Mechanics Div., vol. gs,no EM3, 641-652.
Shahanguian S. (1980). Détermination expérimentaledes courbes d'état limite de I'argile organique deCubzac-les-Ponts. Thèse de docteur-ingénieur. uni-versité Pierre et Marie Curie (Paris Vl). Avril 1980.
soulié M. (1978). Les éléments finis : outil deprédiction. Application aux remblais sur sots compres-sibles. Coopération France-Québec : E. N. p. C.-Université Laval. Séminaire de formation continue surles Nouvelles méthodes d'étude des remblais sur solscompressibles.
Yokoo Y., Yamagata K., Nagaoka H. (1971 a). Finiteelement analysis of consolidation following undraineddeformation. soils and Foundations, vol. 11, no 4,37-57.
Yokoo Y., Yamagata K., Nagaoka H. (1971 b). variatio-nal principles for consolidation. Soils and Founda-tions, vol. 11, no 4, 25-35.
Yokoo Y., Yamagata K., Nagaoka H. (1971 c). Finiteelement method applied to Biot's consolidation theory.Soils and Foundations. Vol. 11, no 1, 29-45.
REVUE FRANçA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 19 49