Download pdf - Cours de Mathématiques en terminale S - My MATHS … · Cours de Mathématiques en terminale S ... 22 I.1 Activités ... l’espace du produit scalaire dans le plan

Cours de Mathématiques en terminale S

Michel IMBERT

Année scolaire 2017-2018

Lycée Bertran de Born - Périgueux

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Livre de la classe

My Maths Space 2 2 sur 114

Table des matières

1 Limites de suites 9I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.1 Notion de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.2 Sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.3 Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV Comportement asymptotique d’une suite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.1 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.1.1 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.1.2 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.2 Suites n’ayant pas de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.3 Limites de suites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

IV.3.1 Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.3.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.3.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IV.4 Rappels des formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.5 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.6 Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IV.6.1 Théorème d’encadrement ou « des gendarmes » . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.6.2 Existence de limite par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.6.3 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IV.7 Application : limite d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20IV.7.1 Une Inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20IV.7.2 Limite d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Les fonctions 21I Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.2.1 Limites en +∞ et en −∞ ( x 7−→ ±∞ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2.2 Limite d’une fonction en un réel a ( x 7−→ a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4 Limites en +∞ et −∞ d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.5 Limites en +∞ et −∞ d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.6 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.7 Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1 Continuité en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.3 Théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.4 Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III Dérivabilité d’une fonction sur intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

III.2 Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.3 Dérivées et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.3 Courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1 Approche expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

V.1.1 Pas de raccordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1.2 Un raccordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1.3 Avec un trou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1.4 Un saut .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

V.2 Continuité en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35VI ANNEXE 2 : La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Nombres complexes (partie 1) 37I Découvrir les nombres complexes sans complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II L’ensemble C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.1 Un nouvel ensemble de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.2 Un vocabulaire spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.3 Égalité de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.4 Somme et produit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.5 Quotient de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.6 Résolution d’équations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.1 Affixe d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.2 Affixe d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

IV Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40V Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V.1 Racines carrées d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41V.2 Équation ax2 + bx+ c = 0 avec (a, b et c réels ; a 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

VI Annexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.1 Une formule pour une solution de x3 = px+ q, (p, q) ∈ R2 . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.2 Des calculs avec i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.3 Aspect géométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 La fonction exponentielle 45I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II Une fonction égale à sa dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II.1 Propriétés vérifiées par une solution de (Ed) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III La fonction Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.1 Théorème et Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.2 Nombre e et notation ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.3 Propriétés asymptotiques : limites en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.4 Courbe de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.5 Croissance comparée. Limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III.6 Fonction dérivée de eu avec u dérivable sur un intervalle I . . . . . . . . . . . . . . 51

IV Annexe 1 : Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Les probabilités Discrètes 53I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . 54

I.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

I.2.1 Un cas particulier : la loi équirépartie (uniforme) . . . . . . . . . . . . . . 55I.3 Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.3.1 Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55I.3.2 Événement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


I.3.3 Intersection et réunion d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55I.4 Arbre de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.1 Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.3 Paramètres d’une loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

II.3.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.3.2 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58II.3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

III.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.2.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

IV Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60IV.1 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

V Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60V.1 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60V.2 Dénombrer les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60V.3 Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61V.4 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 La fonction logarithme népérien 63I Fonction réciproque d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

I.1 Définition d’une bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I.2 Représentation graphique d’une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I.3 Des exemples déjà rencontrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

II Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.3 Dérivabilité, Sens de variation et équivalences importantes . . . . . . . . . . . . . 65II.4 Représentation graphique de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.5 Propriétés de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II.6 Utilisation des propriétés de ln : résolution d’équation, d’inéquation . . . . . . . . . 67

III Dérivée de ln(u) où u > 0 et dérivable sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67IV Croissance comparée. n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 L’espace 69I Positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

I.1 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70I.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70I.3 Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

II Parallèlisme dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71III Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

III.1 Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2 Droite orthogonale à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV Vecteurs de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.1 Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.2 Caractérisation vectorielle d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.3 Repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IV.3.1 Décomposition d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV.3.2 Repérage de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV.3.3 Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.3.4 Représentation paramétrique d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


8 Calcul intégral 77I INTÉGRALE d’une fonction continue et positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

I.1 Domaine associé à une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.2 Intégrale d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.3 Valeur moyenne d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

II Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

III.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III.2 Ensemble de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III.3 Primitive et condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III.4 Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III.5 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81III.6 Tableaux de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

IV Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.2 Intégrales et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

V Calcul d’aires et de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82VI Annexe 1 : aire sous la courbe d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . . . . . . 84

VI.1 Aire sous la courbe d’une fonction affine par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . 84VI.2 Aire sous la courbe de la fonction carré entre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

VII Annexe 2 : tableau des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9 Nombres complexes (partie 2) 87I Module et Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.2 Propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

II Notation Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II.2 FORMULES de MOIVRE et D’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

III Nombres complexes en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91III.1 Module et argument de l’affixe d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

III.1.1 ⊲ Module et argument de zB − zA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91III.1.2 Module et argument de zD−zC

zB−zA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10 Les probabilités continues 93I Vers les lois continues, analyse d’une situation concrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

I.1 Notion de densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95I.2 Loi de probabilité associée à une fonction de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95I.3 Espérance d’une variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

II Exemples de lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96II.1 Loi uniforme sur [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96II.2 Loi exponentielle ou loi de durée de vie sans vieillissement . . . . . . . . . . . . . . 97II.3 Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

II.3.1 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98II.4 Variable aléatoire centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

II.4.1 Théorème de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101II.4.2 La loi normale N (µ;σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11 Produit scalaire dans l’espace 103I Produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

I.1 Extension à l’espace du produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 104I.2 Extension de l’expression dans un repère orthonormé (O;~i;~j;~k) . . . . . . . . . . . 104I.3 Produit scalaire et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

I.3.1 Orthogonalité de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105I.4 Orthogonalité : méthodes générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

I.4.1 Orthogonalité de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106I.4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


II Plan dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106II.1 Vecteur normal à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106II.2 Équation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107II.3 Exercices importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

12 Echantillonnage, estimation 109I Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

I.1 Mise en place de la notion d’intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . 110I.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110I.1.2 Intervalles de fluctuation vus au lycée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

I.2 Intervalle de fluctuation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110I.2.1 Retour sur le théorème de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110I.2.2 Retour sur le nombre uα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111I.2.3 Intervalle de fluctuation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111I.2.4 Exemple d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

II Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113II.1 Principe de l’étude d’un caractère C dans une population P . . . . . . . . . . . . . 113II.2 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

II.2.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113II.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

II.3 Intervalle de fluctuation ou Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114



Chapitre 1

Limites de suites

SommaireI Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.1 Notion de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.2 Sens de variation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.3 Suite majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14III.1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV Comportement asymptotique d’une suite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.1 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.2 Suites n’ayant pas de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.3 Limites de suites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.4 Rappels des formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.5 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.6 Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.7 Application : limite d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

• © • © •

9

L 1 : LiÆmites de suites TS >2017/18

I Généralités

I.1 Notion de suite

1. Notations et vocabulaire

DéfiÆnition

Une suite est une fonction de N dans R, qui associe à tout entier naturel ununique réel.

On note la suite : (un)n∈N ou plus simplement (un).

un est le terme général de la suite ou le terme de rang n. (écriture simplifiée de la notation fonc-tionnelle u(n)).Il faut distinguer (un) notation de la suite et un qui est un nombre réel.

Remarque 1 : Si l’on considère la suite (un)n>0, le premier terme est u0 et le n-ième terme estle terme de rang n− 1 c’est à dire un−1.Certaines suites ne sont définies qu’à partir d’un rang n0, on note (un)n>n0

.

Ex :(

1

n

)

n>1

, le premier terme est u1.

2. Modes de génération d’une suite

• A partir d’une expression expliciteOn peut alors calculer directement un à partir de n. On a plus précisément un = f(n) où f estune fonction définie sur [0;+∞[ .

Exemple 1 un =n2

n+ 2. Cal uler u2 et u10.

Exemple 2 vn =√

2n+ (−1)n . Cal uler v2 et le inquième terme de la suite.

• Avec une relation de récurrence

Ces suites sont définies par le(s) premier(s) terme(s) et par une relation dite de récurrence quidonne le procédé pour calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s). Souvent, on associeune fonction f et la relation de récurrence est de la forme un+1 = f(un) (f fonction de passage).

Exemple 3

u0 = −1un+1 = 2un + 3 ∀n ∈ N

. Donner la fon tion de passage. Cal uler u4.


3. Représentation graphique des termes d’une suite

• Cas un = f(n) : expression explicite

Reprendre l’exemple 1 : un =n2

n+ 2,

les termes (un) sont les images desentiers naturels par la fonction f

définie sur [0;+∞[ par f(x) =x2

x+ 2

1

2

3

4

5

6

7

−11 2 3 4 5 6 7−1 O ~i

~j

Cf

• Cas un+1 = f(un) : suite récurrente

Soit :

u0 = −1un+1 =

1

2un + 2 ∀n ∈ N

On considère la fonction de passage f défi-nie par :

f(x) =1

2x+ 2

et l’on a successivement u1 = f(u0), u2 =f(u1) , .... chaque image calculée doit servirà calculer la suivante donc graphiquementon doit « reporter » les images calculéessur l’axe des abscisses. La droite d’équa-tion y = x sert à cela.

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3 O ~i

~j

y = x

y = 12x+ 2

I.2 Sens de variation d’une suite

1. Définitions

DéfiÆnition

• Une suite est dite croissante si pour pour tout n de N, un+1 > un.• Une suite est dite décroissante si pour pour tout n de N, un+1 6 un• Une suite est dite constante si pour pour tout n de N, un+1 = un

Une suite qui est soit croissante, soit décroissante, soit constante est dite mo-notone

2. Techniques de détermination du sens de variation

• Différence de deux termes consécutifsOn calcule un+1 − un et on étudie le signe de cette différence en gardant à l’esprit que n est unentier naturel donc n > 0. (souvent le point de départ de démonstration)

∗ ∀n ∈ N, un+1 − un > 0 ⇔ un+1 > un ⇔ (un) croissante

∗ ∀n ∈ N, un+1 − un 6 0 ⇔ un+1 6 un ⇔ (un) décroissante


Exemple 4 Déterminer le sens de variation de la suite (un) dénie par :

u0 = 3

un+1 = un −1

n+ 1∀n ∈ N

• Cas des suites strictement positivesLorsque la suite (un) est strictement positive (∀n ∈ N, un > 0), on peut comparer le quotientun+1

unà 1.

∗ ∀n ∈ N,un+1

un> 1 ⇔ un+1 > un ⇔ (un) croissante

∗ ∀n ∈ N,un+1

un6 1 ⇔ un+1 6 un ⇔ (un) décroissante

Exemple 5 Déterminer le sens de variation de la suite (un)n>1 dénie par : un =n

3n

• Cas des suites du type un = f(n)

On peut se servir du sens de variation de la fonction f sur [0;+∞[ (calcul de la dérivée de f etrecherche du signe de f ′ sur [0;+∞[).

∗ Si f est croissante sur [0;+∞[ , alors (un) croissante

∗ Si f est décroissante sur [0;+∞[ , alors (un) décroissante

Exemple 6 Déterminer le sens de variation de la suite (un)n>1 dénie par : un =−n+ 2

2n+ 5

Remarque 2 Importante : Dans le cas où (un) est définie par :

u0un+1 = f(un) ∀n ∈ N

, la suite (un) n’a pas nécessairement le même sens de variation que la fonction depassage f .

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III )

I.3 Suite majorée, minorée, bornée

1. Définitions

DéfiÆnition

• Une suite est dite majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n de

N, un 6 M . On dit que M est un majorant de la suite (un).

• Une suite est dite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n deN, un > m . On dit que m est un minorant de la suite (un).

• Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

2. TechniquesEn utilisant sa calculatrice, un ordinateur, son intuition, on peut conjecturer que la suite admetun majorant M ou un minorant m. On le démontre en établissant que l’on a, pour tout n de N,un 6 M ou un > M .

• Technique de la différence : on exprime un−M ou un−m puis on étudie le signe de l’expression.


Exemple 7 Démontrer que la suite (un) par un =n2 + n+ 1

n2 − n+ 1est majorée par 3.

• On utilise les règles de calcul avec les inégalités (additionner, multiplier par un nombrepositif ou négatif, rangements des inverses, des carrés, des racines carrées, ... )

Exemple 8 Démontrer que la suite (un)n>1 par un = 3− 1

nest bornée.

• Dans le cas où l’on a une expression explicite de un, l’étude de la fonction f telle queun = f(n) peut conduire au résultat.Reprendre l’exemple 7.

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III).

• Cas particulier des suites monotonesUne suite croissante est minorée par son premier terme et une suite décroissante est majoréepar son premier terme.

II Suites arithmétiques et géométriques

II.1 Suites arithmétiques

1. Définition

DéfiÆnition

Une suite (un) est arithmétique lorsque l’on passe d’un terme de la suite ausuivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé raison. On a :

∀n ∈ N, un+1 = un + r

On démontre qu’une suite (un) est arithmétique en exprimant un+1−un et en montrant que cettedifférence est constante pour tout entier n.

En effet : ∀n ∈ N, un+1 − un = r⇔ un+1 = un + r

Exemple 9 Soit (un) dénie par : un = 3n+ 1 pour tout entier naturel n. Prouver que (un) est arithmétique.

2. Sens de variation d’une suite arithmétique

Propriétés

• Si r > 0, la suite arithmétique (un) est strictement croissante.• Si r < 0, la suite arithmétique (un) est strictement décroissante.• Si r = 0, la suite arithmétique (un) est constante.

3. Relations entre les termes

• Soit la suite arithmétique (un) de premier terme u0 et de raison r, on a :∀n ∈ N, un = u0 + nr

• Soit la suite arithmétique (un) de raison r, on a :∀n, p ∈ N, un = up + (n− p)r

Exemple 10 :

1. On onsidère la suite arithmétique (un) de raison r = −2 telle que u9 = 15. Exprimer un en fon tion de n.2. On onsidère la suite arithmétique (un) telle que u13 = 7 et u39 = 20. Exprimer un en fon tion de n.


4. Somme de termes consécutifs

Soit (un) une suite arithmétique. Soit S = up+up+1+.....+un−1+un la somme de termes consécutifsde la suite (un). On a :

S = Nombre de termes de la somme × premier terme + dernier terme

2

Exemple 11 (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r = 1, 5. Cal uler S = u7+u8+...+u20

II.2 Suites géométriques

1. Définition

DéfiÆnition

Une suite (un) est géométrique lorsque l’on passe d’un terme de la suite ausuivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé raison. On a :

∀n ∈ N, un+1 = un × q

On démontre qu’une suite (un) est géométrique en exprimant un+1 sous la forme constante × unpour tout entier n.

Exemple 12 Soit (un) dénie par : un = 3n+2×2n−1pour tout entier naturel n. Prouver que (un) est géométrique.

2. Sens de variation de (qn)

Propriétés

• Si q > 1, la suite de terme général (qn) est strictement croissante.• Si 0 < q < 1, la suite de terme général (qn) est strictement décroissante.• Si q < 0, la suite de terme général (qn) n’est pas monotone.

3. Relations entre les termes

• Soit la suite géométrique (un) de premier terme u0 et de raison q, on a :∀n ∈ N, un = u0 × qn

• Soit la suite géométrique (un) de raison q, on a :∀n, p ∈ N, un = up × qn−p

Exemple 13 :

1. On onsidère la suite géométrique (un) de raison q = 3 telle que u5 = −27. Exprimer un en fon tion de n et

étudier le sens de variation de (un).2. On onsidère la suite géométrique (un) telle que u5 = 16 et u11 = 1024. Quelles valeurs peut prendre la raison qde ette suite ? Cal uler u3.

4. Somme de termes consécutifs

Soit (un) une suite géométrique de raison q 6= 1. Soit S une somme de termes consécutifs de lasuite (un). On a :

S = premier termede la somme × 1− qnombres de termes de la somme

1− q

Exemple 14 Cal uler S = 1 + q + q2 + ...+ qp−1pour q diérent de 0 et de 1 et p entier naturel non nul.

III Raisonnement par récurrence

III.1 Théorème

1. Situation propiceOn considère la suite (un)n∈N définie par : u0 = 1 et un+1 = 0, 2un + 4.On souhaite démontrer, par exemple, que pour tout n appartenant à N : un 6 5 .


On nomme P (n) cette propriété écrite au rang n ( P pour propriété et n pour insister sur le faitque la propriété dépend de cet entier)

Réflexe : On examine la propriété pour les premières valeurs prises par l’entier n.

un 5 P (n) vraie ou fausse

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

On pourrait continuer ainsi l’examen de beaucoup d’entiers mais quel que soit le nombre de va-leurs de n testées semblant valider la propriété, on ne peut pas considérer la propriété vraie pourtout entier naturel n de N. (Est-il nécessaire de vous rappeler que l’ensemble N est infini ? Il y atoujours un entier après celui que vous avez testé !)

2. Caractère héréditaire d’une propriété

DéfiÆnition

Soit P (n) une propriété dépendant d’un entier n et n0 ∈ N. On dit que P esthéréditaire à partir du rang n0 si

pour un entier n > n0, P (n) vraie implique que P (n+ 1) est vraie.

(il faut comprendre : supposer que P (n) est vraie pour un n implique qu’elleest vraie au rang suivant)

Exemple 15 La propriété du 1. est-elle héréditaire à partir de 0 ?

Exemple 16 Soit a un réel positif. Soit P (n) la propriété : (1+ a)n > 1+na. P est-elle héréditaire à partir de 0 ?

3. Principe du raisonnement par récurrence (admis)

Théorème

Soit P (n) une propriété dépendant d’un entier n et n0 ∈ N.

Si la propriété P (n0) est vraie (initialisation),et si P est héréditaire à partir du rang n0,

alors pour tout entier n > n0, la propriété P (n) est vraie.

Exemple 17 Les propriétes des exemples 15 et 16 sont-elles vraies pour tout n entier naturel.

EXERCICE 1 Soit la suite (un) définie par :

u0 = 3

un+1 =1

2un − 1 ∀n ∈ N

. Démontrer par récurrence

que (un) est décroissante et minorée par −2 c’est à dire la propriété P (n) : un > un+1 > −2


IV Comportement asymptotique d’une suite numérique

IV.1 Limite d’une suite

(un)n∈N est une suite de nombres réels.

IV.1.1 Limite finie

DéfiÆnition

On dit que (un)n∈N tend vers ℓ (lorsque n tend vers +∞), quand tout intervalleouvert contenant ℓ contient tous les termes de (un)n∈N à partir d’un certain rang.On dit alors que la suite (un)n∈N est convergente ou converge vers ℓ.

Cela se note limn→+∞

un = ℓ

• Traduction rigoureuse (Utiliser dans le supérieur en mathématiques) :« Pour tout ǫ > 0, il existe un entier naturel nǫ (qui dépend de ǫ) tel que :

Pour tout n > nǫ, on a |un − ℓ| 6 ǫ ( ou encore un ∈ [ℓ− ǫ; ℓ+ ǫ] ) »

Remarque 3 Lorsqu’une suite ne converge pas, on dit qu’elle diverge (C’est le cas des suites quiont une limite infine ou de celles qui n’ont pas de limite). Par exemple la suite (−1)n diverge car ....

Théorème Si une suite (un)n∈N converge alors sa limite ℓ est unique.

Exemple 18 Conje turer si les suites suivantes, dénies pour tout entier naturel n, ont une limite nie et donner elle- i

lorsqu'elle existe.

un =−3

1 + n2, u0 = 0.5 et un+1 = −1

2un + 1, u0 = 1 et un+1 =

1

2un

Exemple 19 (un)n∈N est la suite dénie pour tout entier naturel n ≥ 1 par un = 1/nDémontrer que la suite (un)n∈N onverge vers 0

Limite de suites de référence :(

1√n

)

,(

1

n

)

,(

1

n2

)

,(

1

n3

)

, . . . ,(

1

np

)

avec p ∈ N∗ tendent vers 0.

Preuve pour la suite(

1√n

)

: ....

Limite de suites de référence : Les suites (qn) avec −1 < q < 1 ont pour limite 0.

IV.1.2 Limite infinie

DéfiÆnition

On dit que (un)n∈N tend vers +∞ (lorsque n tend vers +∞), quand tout intervalledu type [A; +∞[, avec A ∈ R contient tous les termes de la suite (un)n∈N pour nassez grand.

Cela se note limn→+∞

un = +∞

• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :« Pour tout A ∈ R, il existe un entier naturel nA (qui dépend de A) tel que :

Pour tout n tel que n > nA, on a un > A ( ou encore un ∈ [A; +∞[ ) »


• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :« Il existe un rang n, à partir duquel un dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis. »

Limites de suites de référence :(√n), (n), (n2), (n3), . . . , (np) avec p ∈ N∗ tendent vers +∞.

Preuve pour la suite (n2) : ....

Limite de suites de référence :Les suites (qn) avec q > 1 ont pour limite +∞.

EXERCICE 2 :

1. Donner la définition d’une suite (wn) qui tend vers −∞.....

2. Donner des suites qui tendent vers −∞. ....

IV.2 Suites n’ayant pas de limite

Par exemple, la suite définie sur N par un = (−1)n, celle définie par un = cos(n), etc ... Il existe aumoins un intervalle ne contenant pas tous les termes de la suites à partir de n’importe quel rang.

Exemple 20 (un)n∈N dénie par un = n(−1)n

IV.3 Limites de suites et opérations

IV.3.1 Addition et soustraction

Soient ℓ et ℓ′ deux réels. Alors :

Si (un) a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞Si (vn) a pour limite ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors (un + vn) a pour limite . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple 21 Déterminer les limites des suites dénies sur N par un = 3n2+2n−10 ; vn = n2−n+1 puis wn =√n+

1

n2.

IV.3.2 Limite d’un produit


Si (un) a pour limite ℓ ℓ > 0 ℓ < 0 ℓ > 0 ℓ < 0 +∞ −∞ +∞ 0

Si (vn) a pour limite ℓ′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞alors (un × vn) a pour limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple 22 Cal uler limn→+∞

(

1√n+ 1

)

(n2 + 3)


IV.3.3 Limite d’un quotient


Si (un) a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ 0 ±∞ 0 ±∞Si (vn) a pour limite ℓ′ ±∞ 0 ℓ′ ±∞ 0 0 ±∞

alors(

unvn

)

a pour limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2

1− n2.

Étudier la limite de la suite (wn)n∈N dénie sur N par wn =2 + n

3 + n

IV.4 Rappels des formes indéterminées

Il existe 4 formes indéterminées qui nécessitent l’utilisation d’une technique ou d’une propriétépour lever l’indétermination.

«∞−∞ » « 0×∞ » «∞∞ » «

0

0»

EXERCICE 3 :

1. Calculer limn→+∞

√n− n2 puis lim

n→+∞5 + 2n2 − 7n3.

2. limn→+∞

√n+ 1−√n puis lim

n→+∞6n − 32n.

IV.5 Limites et inégalités

ThéorèmeSoit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels convergentes.

S’il existe p ∈ N tel que pour n > p, un 6 vn alors limn→+∞

un 6 limn→+∞

vn

IV.6 Théorèmes d’existence de limites

IV.6.1 Théorème d’encadrement ou « des gendarmes »

Théorème Si(un)n∈N et (wn)n∈N convergent vers ℓ∃p ∈ N,∀n ∈ N, n > N =⇒ un 6 vn 6 wn

alors

(vn)n∈N est convergenteet lim

n→+∞vn = ℓ


(−1)n + 3n2

n2

IV.6.2 Existence de limite par comparaison

Théorèmes

• ∃p ∈ N,∀n ∈ N, n > p =⇒ un 6 vn et limn→+∞

un = +∞ =⇒ limn→+∞

vn = +∞ ;

• ∃p ∈ N,∀n ∈ N, n > p =⇒ un 6 vn et limn→+∞

vn = −∞ =⇒ limn→+∞

un = −∞ .

Ces théorèmes sont communément appelés « théorèmes de comparaison » .


n+ sin(n)


IV.6.3 Théorème de la limite monotone

Théorèmes

Soit (un)n∈N une suite monotone.

• Soit (un)n∈N une suite croissante de nombre réels.

⊲ Si (un)n∈N est majorée alors elle est convergente.

⊲ Si (un)n∈N n’est pas majorée, alors elle est divergente et limn→+∞

un = +∞.

• Soit (un)n∈N une suite décroissante de nombre réels.

⊲ Si (un)n∈N est minorée alors elle est convergente.

⊲ Si (un)n∈N n’est pas minorée, alors elle est divergente et limn→+∞

un = −∞.

Remarque 4 Ce théorème établit l’existence de la limite d’une suite mais ne permet d’en donner lavaleur.

Exemple 26 :

1. un = 0.2424...24 (n séquen es 24)

2. un =n

n+ 1

EXERCICE 4 Soit (un) une suite décroissante et strictement positive. Montrer que la suite (wn) défi-

nie par wn =1

1 + unest convergente.

EXERCICE 5 Dans chaque cas, comparer la suite (un) à la suite (vn) afin de déterminer la limite dela suite (un)

1. pour tout entier n ≥ 3, un = n2 +

√

n+ 1

n− 2et vn = n2.

2. pour tout entier naturel n, un = −n− n2 + 1

n2 + 2et vn = −n.

3. pour tout entier naturel n, un = n3 + (−1)n et vn = n3.


IV.7 Application : limite d’une suite géométrique

IV.7.1 Une Inégalité

On rappelle l’inégalité de Bernoulli,

Pour tout n ∈ N et tout a réel strictement positif,

(1+ a)n > 1+ na

Démontrer par récurrence plus tôt dans la leçon !

IV.7.2 Limite d’une suite géométrique

(un) est une suite géométrique de raison q non nulle. On sait que, pour tout n ∈ N, un = u0qn .

En utilisant les opérations sur les limites, pour connaître le comportement de (un), il suffit deconnaître celui de la suite (qn) et le signe de u0.

Théorème

Soit q un nombre réel, on a :

• Si q > 1, ...

• Si −1 < q < 1, ...

• Si q 6 −1, ...

• Si q = 1, ...

Démonstration (ROC) du premier point : (utiliser l’inégalité de Bernoulli et un théorème de com-paraison)....

Exemple 27 Cal uler les limites suivantes :

• limn→+∞

−3× 2n.

• limn→+∞

2

5n.

• limn→+∞

5(−14)n.

• limn→+∞

2n+1 + 3n+1

32n−1

• limn→+∞

1 +1

2+

(

1

2

)2

+ . . .+

(

1

2

)n

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Chapitre 2

Les fonctions

SommaireI Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4 Limites en +∞ et −∞ d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.5 Limites en +∞ et −∞ d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.6 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.7 Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1 Continuité en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.3 Théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.4 Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III Dérivabilité d’une fonction sur intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.2 Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.3 Dérivées et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.3 Courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1 Approche expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.2 Continuité en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

VI ANNEXE 2 : La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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21

L 2 : Les fon tions TS >2017/18

Le second degré, vu en classe de 1ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuellesd’une équation du second degré, signe d’une expression du second degré, représentation graphique etvariations d’une fonction polynomiale du second degré.

I Limite d’une fonction

I.1 Activités

Celles du livre page 60 : Situations A, B et C.

I.2 Définitions

I.2.1 Limites en +∞ et en −∞ ( x 7−→ ±∞ )

f est une fonction définie sur un intervalle de la forme Iα = [α; +∞[ ou Iβ =]−∞;β].

1. LiÆmite iÆnfiÆnie ( x 7−→ ±∞ )

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞,quand tout intervalle du type [A; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pourx assez grand.

Cela se note limx→+∞

f(x) = +∞

• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :« A ∈ R, il existe un réel xA (qui dépend de A) tel que :

x ∈ Iα et x > xA implique que f(x) > A ( ou encore f(x) ∈ [A; +∞[ ) »

O[α

Remarque 5 Utiliser la définition pour prouver que limx→+∞

f(x) = +∞ revient à chercher s’il

existe des solutions dans Iα à l’inéquation f(x) > A et ceci pour n’importe lequel des nombres Aque je choisis.

Exemple 28 f(x) = x2dénie sur I0 = [0;+∞[ (f(x) > 0 don hoix de A > 0)

A = 100 A = 106 ........ A quel onque positif

EXERCICE 6 Prouver que limx→+∞

√x = +∞

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit que f(x) tend vers −∞ lorsque x tend vers +∞,quand tout intervalle du type ]−∞;B] contient toutes les valeurs de f(x) pourx suffisamment grand.


f(x) = −∞


EXERCICE 7(a) Écrire deux définitions analogues traduisant limx→−∞

f(x) = +∞ et limx→−∞

f(x) =

−∞

(b) Donner un exemple de fonction pour chacune des limites précédentes.

Fonctions de référence dont il faut retenir les limites

limx→+∞

x = +∞ limx→−∞

x = −∞

limx→+∞

x2 = +∞ limx→−∞

x2 = +∞

limx→+∞

xn = +∞ (n ∈ N∗) limx→−∞

x3 = −∞

limx→+∞

√x = +∞ lim

x→−∞xn =

+∞ si n est pair−∞ si n est impair

2. LiÆmite fiÆnie ( f(x) 7−→ ℓ )

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit que f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers +∞, quandtout intervalle ouvert contenant ℓ, contient toutes les valeurs de f(x) pour xsuffisamment grand.


f(x) = ℓ

• Traduction rigoureuse :« pour tout ǫ > 0, il existe un réel xǫ (qui dépend de ǫ) tel que :

x ∈ Iα et x > xǫ implique que |f(x)− ℓ| < ǫ ( ou encore f(x) ∈]ℓ− ǫ; ℓ+ ǫ[ ) »

O

+ℓ

[α

Remarque 6 Utiliser la définition pour prouver que limx→+∞

f(x) = ℓ revient à chercher s’il existe

un nombre à partir duquel tous les nombres plus grands sont solutions dans Iα de l’inéquation|f(x)− ℓ| < ǫ et ceci pour n’importe lequel des nombres ǫ que je choisis.

Exemple 29 f(x) =1

xdénie sur I0 =]0;+∞[

ǫ = 0, 1 ǫ = 10−5........ ǫ quel onque positif

EXERCICE 8 Prouver que limx→+∞

3x− 1

x+ 2= 3

DéfiÆnition

On dit que f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers −∞, ...

On note ...

EXERCICE 9 Donner un exemple de fonction : une vérifiant limx→+∞

h(x) = 1 et l’autre limx→+∞

g(x) =

−2


Fonctions de référence dont il faut retenir les limites

limx→+∞

1

x= 0 lim

x→−∞1

x= 0

limx→+∞

1

x2= 0 lim

x→−∞1

x2= 0

limx→+∞

1

xn= 0 (n ∈ N∗) lim

x→−∞1

xn= 0 (n ∈ N∗)

limx→+∞

1√x= 0

3. Asymptote horizontale

DéfiÆnition

Lorsque f a pour limite ℓ en +∞ (en −∞), on dit que la droite d’équationy = ℓ est asymptote horizontale à la courbe Cf en +∞ (en −∞). D’un pointgraphique, la courbe de f « se rapproche » de la droite d’équation y = ℓ.

limx→+∞

f(x) = ℓ

O

+ℓ

[α

limx→−∞

f(x) = ℓ

O

+ℓ

]β

Exemple 30 Traduire graphiquement la limite de l'exer i e 8.

I.2.2 Limite d’une fonction en un réel a ( x 7−→ a )

f est définie sur un ensemble (intervalle, réunion d’intervalles, ...) dont a est l’une des bornes.

1. LiÆmite iÆnfiÆnie ( f(x) 7−→ ∞ )

DéfiÆnition

On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a, quand tout intervallede la forme [A; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche dea.

Cela se note limx→a

f(x) = +∞

Traduction approximative :« Il existe des x proche de a dont l’image dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis »

Exemple 31 Déterminer limx→0

1

x2

Faire un s héma illustrant le résultat.

2. LiÆmite fiÆnie ( f(x) 7−→ ℓ )

DéfiÆnition

On dit que f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers a, quand tout intervalleouvert contenant ℓ, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche dea.

Cela se note limx→a

f(x) = ℓ


Remarque 7 Dans certains cas, pour x proche de a, f(x) prend des valeurs positives très grandeset des valeurs négatives très petites suivant que x est inférieur ou supérieur à a,donc f n’a pas de limite en a.

Exemple 32 f : x 7−→ 3

x− 2. Étude en 2.

x 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999

f(x)

x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001

f(x)

O

3. AsÆymptote verti ale

DéfiÆnition

Lorsque limx→a

f(x) = +∞ ou −∞, on dit que la droite ∆ : x = a est asymptote

verticale à Cf et cette définition se généralise aux limites à gauche ou à droite.

Illustrations :

limx→a

f(x) = +∞

O

limx→a

f(x) = −∞

O

limx→ax>a

f(x) = +∞ , limx→ax<a

f(x) = −∞

O

I.3 Opérations sur les limites

On considère deux fonctions f et g, admettant des limites soit en −∞, soit en +∞, soit en un réel a.

Limite d’une sommelim f ℓ ℓ +∞ −∞ +∞lim g ℓ′ ±∞ +∞ −∞ −∞lim (f + g) FI

Limite d’un produitlim f ℓ ℓ 6= 0 +∞ +∞ −∞ 0

lim g ℓ′ ±∞ +∞ −∞ −∞ ±∞lim (f × g) FI

Limite d’un quotientlim f ℓ ℓ +∞ −∞ ℓ 6= 0 0 ±∞lim g ℓ′ 6= 0 ±∞ ℓ′ 6= 0 ℓ′ 6= 0 0 0 ±∞lim ( f

g) ∞ FI FI

Attention, de nombreuses situations né essitent lutilisation de la règle des signes de la multi-

pli ation ou de la diÆvision ( e sont les mêmes !)


Exemple 33 Déterminer la limite en 3 de f : x 7−→ 1− x

(x − 3)2

I.4 Limites en +∞ et −∞ d’une fonction polynôme

Propriété

Limite d’une fonction polynôme en ±∞En +∞ et en −∞ uniquement, la limite de la fonction polynôme définie sur R

par :

x 7−→ anxn + ....+ a1x+ a0 (avec an 6= 0)

est celle de la fonction x 7−→ anxn.

On dit qu'à liÆnfiÆni uÆne fon tion polynme a même liÆmite que son terÆme

de plus haut degré.

Exemple 34 Étudier la limite en +∞ de la fon tion x 7−→ 1 + 2x− 5x3

I.5 Limites en +∞ et −∞ d’une fonction rationnelle

Propriété

Limite d’une fonction rationelle en ±∞En +∞ et en −∞ uniquement, la limite de la fonction rationnelle définie surR− v.i par :

x 7−→ anxn + ....+ a1x+ a0

bpxp + .... + b1x+ b0(avec an 6= 0 et bp 6= 0)

est celle de la fonction x 7−→ anxn

bpxp

On dit qu'à liÆnfiÆni uÆne fon tion rationÆnelle a même liÆmite que le rapport

des terÆmes de plus haut degré.

Exemple 35 Étudier la limite en +∞ de la fon tion x 7−→ x3 − x+ 1

8x2 − 1

I.6 Théorèmes de comparaison

Les résultats ci-dessous permettent, dans certains cas, de déterminer la limite lorsque x tend versa (a fini ou infini) d’une fonction f , par comparaison à d’autres fonctions dont le comportement estconnu.

Théorème

Théorème des gendarmes (Limite finie)

Si, pour x assez « proche » de a, on a l’encadrement

u(x) 6 f(x) 6 v(x),

et si u et v ont la même limite ℓ en a, alors limx→a

f(x) = ℓ

traduction graphique pour a = +∞


O

Exemple 36 :

∀x ∈]0; 1], 2

x6 f(x) 6

3

x. Quelle est la limite de f en +∞ ?

Exemple 37 :

∀x ∈]1; +∞[,2x

x− 16 f(x) 6

2x+ 1

x− 1. Quelle est la limite de f en +∞ ?

Théorème

Théorèmes de comparaison (Limite infinie)

• Si, pour x assez « proche » de a, on a l’inégalitéf(x) > u(x),et si lim

x→au(x) = +∞, alors lim

x→af(x) = +∞

• Si, pour x assez « proche » de a, on a l’inégalitéf(x) 6 u(x),et si lim

x→au(x) = −∞, alors lim

x→af(x) = −∞

Exemple 38 Étudier le omportement de f : x 7−→ x− 2 sinx en +∞.

I.7 Limite d’une fonction composée

Théorème

a, b et ℓ sont chacun un réel ou l’un des symboles∞ ou −∞.

Si limx→a

f(x) = b et limy→b

g(y) = ℓ alors limx→a

g o f(x) = ℓ

schéma de composition

a b L

xf

gyf(x)

g(y) = g(f(x))

Exemple 39 :

Étudier la limite éventuelle en +∞ de u : x 7−→√

2 + 3x2

4x2 − 1.

II Continuité d’une fonction sur un intervalle

Soit a un réel et f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. a admet une image f(a).

Mise en route, le document ANNEXE 1

II.1 Continuité en a

DéfiÆnition

La fonction f est continue en a si

limx→a

f(x) = f(a)

La fonction f est continue sur l’intervalle I si f est continue en tout réel a de I.Si f n’est pas continue en a, on dit que f est discontinue en a.

Remarque 8 Compte-tenu de ce qui précède, une fonction f est continue en a si elle admet une limiteen a : ce sera obligatoirement f(a).


Exemple 40O ~i

~j

←− Exemple de fon tion non ontinue en

1 :

(dis ontinuité en 1)

f(x) =

x2 pour x < 1−x2 + 3 pour x > 1

La fon tion inverse est ontinue

sur ]−∞; 0[∪]0; +∞[. −→

O ~i

~j

Important

Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions trigo-nométriques,les fonctions usuelles vues en seconde et en première, les composées deces fonctions sont continues sur leur ensemble de définition.

EXERCICE 10 On considère la fonction h définie sur R par f(x) =

x2 − 3x+ 5 pour x < 0k pour x > 0

Pour quelle valeur de k, la fonction f est-elle continue sur R ?

II.2 Théorème des valeurs intermédiaires

ThéorèmeSoit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I . Pour toutréel k compris entre f(a) et f(b) , il existe un réel c compris entre a et b tel que :f(c) = k.

Interprétation graphique

O ~i

~j

Nécessité de la continuité

O ~i

~j

Exemple 41 En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle onvenablement hoisi, démontrer que

l'équation x3 − 3x = 1 admet au moins une solution.

O ~i

~j

...

II.3 Théorème de la bijection

ThéorèmeSoit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a etb deux réels de I . Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) , il existe un uniqueréel c compris entre a et b tel que : f(c) = k.

Remarque 9 : Dans un tableau de variation, la flêche indique la continuité et la stricte monotonie.Ainsi le théorème de la bijection s’applique dans l’une des deux situations suivantes :


x

Variationsde f

a b

f(a)f(a)

f(b)f(b)

c

k

x

Variationsde f

a b

f(a)f(a)

f(b)f(b)

c

k

Exemple 42 Reprendre l'exemple 40 et dénombrer le nombre de solutions sur R.

II.4 Résolution d’équations

Une équation (E) étant donnée, on se ramène à une équation de la forme f(x) = k où k est un réel(souvent k = 0, sinon on peut s’y ramener) et f une fonction continue sur un intervalle à préciser (si cen’est déjà fait).

Méthode

• Si la question consiste à justifier l’existence de solutions, on utilise éven-tuellement le théorème des valeurs intermédiaires.

• Si la question fait allusion à l’existence d’une unique solution sur un inter-valle ou du nombre de solutions de l’équation, on utilise le théorème dela bijection. (calcul de dérivée et tableau de variation)

• Si l’on demande explicitement les valeurs approchées de solutions, on utilisela calculatrice ou un ordinateur : tableau de valeurs et balayage oualgorithme (par exemple dichotomie).

Exemple 43 Donner la valeur arrondie au entième des solutions de l'équation de l'exemple 40.

III Dérivabilité d’une fonction sur intervalle

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un réel de I.

III.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé

1. DéfiÆnition

DéfiÆnition

On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement de f en a admetune limite L en a, c’est à dire lorsque :

limx→a

f(x)− f(a)

x− a= ℓ ou écrit autrement, lim

h→0

f(a+ h)− f(a)

h= ℓ

Dans ce cas, ℓ est appelé le nombre dérivé de f en a, et on note f ′(a).

1

2

3

−1

−2

−3

1 2−1−2−3−4

b

b

a

Interprétation graphique :

Le taux d’accroissementf(x)− f(a)

x− aest la pente de la

droite ∆ passant par les points A(a; f(a)) et M(x; f(x)).

Lorsque x tend vers a, le point M se « rapproche » de A etla droite ∆ devient la tangente à la courbe de la fonctionen A.


2. Équation de la taÆngente

Propriété

f est une fonction dérivable en a. L’équation de la tangente à Cf au pointd’abscisse a est :

y = f ′(a)(x − a) + f(a)

3. Fon tion non dériÆvable en uÆn réel a

Il ne s’agit pas de tenir un discours trop théorique sur la dérivabilité. A partir de deux exemplescomprendre ce que peut être une fonction non dérivable en un réel a.

• On définit la fonction f sur ]0;+∞[ de la façon suivante : f(x) =

1

xpour 0 < x < 1

−x2 + 2x pour x > 1

O ~i

~j

La fonction f est-elle dérivable en 1 ? Est-elle dérivable sur]0;+∞[ ?

• Prouver que la fonction x 7−→ √x n’est pas dérivable en 0 (Elle est donc continue sur [0;+∞[ etdérivable sur ]0;+∞[)

4. DériÆvabilité et ontiÆnuité

Propriété

Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I alors elle est continuesur cet intervalle.

III.2 Calculs de dérivées

1. Fon tion dériÆvée

DéfiÆnition

Lorsqu’une fonction est dérivable en tout nombre d’un intervalle I, nous pou-vons définir la fonction dérivée :

f ′ : x 7−→ f ′(x) sur I

Avec la notation différentielle (Sciences physiques, Enseignement supérieur, ...), f ′ se note encoredf

dx


2. DériÆvées des fon tions usuelles

Fonction Dérivée Ensemble de dérivation

x 7−→ k ,k ∈ R x 7−→ 0 R

x 7−→ x x 7−→ 1 R

x 7−→ x2 x 7−→ 2x R

x 7−→ x3 x 7−→ 3x2 R

x 7−→ xn ,n ∈ N∗ x 7−→ nxn−1 R

x 7−→ 1

xx 7−→ − 1

x2]−∞; 0[ ou ]0;+∞[

x 7−→ 1

xn,n ∈ N∗ x 7−→ − n

xn+1]−∞; 0[ ou ]0;+∞[

x 7−→ √x x 7−→ 1

2√x

]0;+∞[

x 7−→ sinx x 7−→ cos x R

x 7−→ cos x x 7−→ − sinx R

x 7−→ tan x x 7−→ 1

cos2 x= 1 + tan2 x

]

−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

[

,k ∈ Z

3. DériÆvée de la fon tion x 7−→√

u(x)

Théorème(√u)′

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.La fonction f : x 7−→

√

u(x) est dérivable sur tout intervalle J inclus dans Itel que, pour tout x de J , u(x) > 0.

On a, pour tout x ∈ J , f ′(x) =u′(x)

2√

u(x)

Exemple 44 Dérivabilité de x 7−→√x2 − 3 sur un intervalle J à déterminer ...

4. DériÆvée de la fon tion x 7−→ [u(x)]n ,n ∈ Z∗

Théorème(un)′

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.La fonction f : x 7−→ [u(x)]n (n ∈ Z∗) est dérivable :• sur I, si n > 0 ;• sur tout intervalle J inclus dans I tel que, pour tout x de J , u(x) 6= 0, si

n < 0.

On a, pour tout x de l’ensemble de dérivabilité de f ,f ′(x) = n× u′(x)× [u(x)]n−1

Exemple 45 Dérivabilité de g : x 7−→ (5x2 − 3x+ 2)2 et de h : x 7−→(

1

4x− 7

)3

...

5. DériÆvée d'uÆne fon tion du type f o u où u est affiÆne

Théorème

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, a et b sont deuxnombres réels.La fonction g : x 7−→ f(ax+ b) est dérivable sur tout intervalle J tel que, pourtout x de J , ax+ b ∈ I.

On a, pour tout x ∈ J , g′(x) = a× f ′(ax+ b)


Exemple 46 Dérivabilité de g : x 7−→ cos(2x− 1) ...

6. DériÆvée d'uÆne fon tion omposée : as général

Schéma de composition de f = v o u

x ∈ I y ∈ J v o u(x) ∈ R

xu

vyu(x)

v(y) = v(u(x))

T H É O R È M E :• u définie et dérivable sur I et à valeurs dans

J(u(x) ∈ J) ;

• v dérivable sur J

La fonction f = v ou est dérivable sur I et :

pour tout x ∈ I, f ′(x) = u′(x)× v′(u(x))

7. DériÆvées et opérations

Opération Fonction Dérivée

Multiplication par un scalaire ku ku′

Addition u+ v u′ + v′

Multiplication uv u′v + uv′

Inverse1

u− u′

u2

Quotientu

v

u′v − uv′

v2

Composition v o u u′ × (v′ o u)

III.3 Dérivées et variations

1. Variations d’une fonction (rappels)

Propriété

Soit f une fonction dérivable sur un intevalle I :• Si la dérivée f ′ est nulle sur I, alors f est constante sur I ;• Si f ′ est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points isolés où

elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I ;• Si f ′ est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés

où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I ;

2. f dérivable sur un intervalle ouvert I et x0 un réel de I.Si en x0 la dérivée f ′ s’annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0(minimum ou maximum).

Remarque 10 Même si un énoncé ne le précise pas, étudier le sens de variation d’une fonc-tion sur un intervalle impose presque toujours le calcul et la recherche du signe de sa déri-vée sur l’intervalle considéré


IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel

IV.1 Définitions

Soit x ∈ R. On définit deux fonctions,

cos : R −→ R

x 7−→ cos(x)

• De cos(−x) = cos(x), il résulte que deuxnombres opposés ont la même image.

D’un point de vue graphique la courbe re-présentative de la fonction cosinus Ccos estsymétrique par rapport à l’axe des ordonnées

.

• © •

• De cos(x+ 2kπ) = cos(x), il résulte que deuxnombres « distants » d’un multiple de 2π ontla même image.

sin : R −→ R

x 7−→ sin(x)

•De sin(−x) = − sin(x), il résulte que deux nombresopposés ont des images opposées.

D’un point de vue graphique la courbe représen-tative de la fonction sinus Csin est symétrique parrapport à l'origine O du repère .

•© •

• De sin(x + 2kπ) = sin(x), il résulte que deuxnombres « distants » d’un multiple de 2π ont lamême image.

D’un point de vue graphique les courbes représentatives des fonctions cosinus Ccos et sinus Csin sontcomposées d’un « motif » qui se répète : on dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques depériode 2π.

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et,

∀x ∈ R, (cos)′(x) = − sin(x) et (sin)′(x) = cos(x)

Quelques forÆmules

• ∀x ∈ R, cos2(x) + sin2(x) = 1 ;• ∀(x, y) ∈ R2, cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y) ;• ∀(x, y) ∈ R2, cos(x− y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y) ;• ∀(x, y) ∈ R2, sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) ;• ∀(x, y) ∈ R2, sin(x− y) = sin(x) cos(y)− cos(x) sin(y) ;• en particulier, ∀x ∈ R, sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ;• et, ∀x ∈ R, cos(2x) = cos2(x)− sin2(x) = 2 cos2(x)− 1 = 1− 2 sin2(x) ;• il y en a plein d’autres :-)


IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus

x croît

cos(x) décroîtO

0π

π/2

x

cos′(x) = sin(x)

Variationsde cos

0 π

−11

−1−1

x croîtsin(x) croîtsin(x) décroît

O0π

π/2

x

sin′(x) = cos(x)

Variationsde sin

0π2 π

+ 0 −

00

11

00

IV.3 Courbes

Courbes Ccos et Csin

π/2 π−π/2−π

1

−1 Ccos

Csinbc bcbcbc

bc

bc

• © • © •

IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique

On considère la fonctionh : R −→ R

x 7−→ cos(2x) sin(x)− 1

1. Étudier les variations de h sur[

0; π2]

.

2. Pour tout x réel, calculer h(

π2 + x

)

− h(

π2 − x

)

. Que peut-on en déduire pour la courbe de h ?.

3. Pour tout x réel, calculer1

2[h(π − x) + h(π + x)]. Que peut-on en déduire pour la courbe de h ?.

4. Calculer, pour tout x réel, h(x+ 2π). En déduire le tracé de Ch.

• © • © •


V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité

V.1 Approche expérimentale

V.1.1 Pas de raccordement

On définit le mécanisme f sur R de la façon suivante : f(x) =

−x+ 3 pour x < 2x+ 2 pour x > 2

O ~i

~j

1. f est-elle une fonction ?

2. Combien vaut f(0), f(2), f(4) ?

3. Construire la courbe de la fonction f dans le repère ci-contre.

4. Par simple lecture graphique, donner limx→2x<2

f(x) puis

limx→2x>2

f(x).

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

V.1.2 Un raccordement

On définit la fonction f sur R de la façon suivante : f(x) =

−x+ 1 pour x < −3x+ 7 pour x > −3

O ~i

~j

1. Combien vaut f(−4), f(2), f(−3) ?

2. Construire la courbe de la fonction f dans le repère ci-contre.

3. Par simple lecture graphique, donner limx→−3x<−3

f(x) puis

limx→−3x>−3

f(x).

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

V.1.3 Avec un trou

On considère la fonction f définie sur R− 2 par : f(x) =x2 − 3x+ 2

x− 2

1. f admet-elle une image en 2 ?

2. Émettre une conjecture sur la limite de f en 2. La démontrer.

3. Conclusion.

V.1.4 Un saut ....

On définit la fonction f sur R de la façon suivante : f(x) =

2x+ 3 pour x < 16 si x = 1−0.5x+ 5.5 pour x > 1

1. Combien vaut f(1) ?

2. Quelle valeur est « candidate » pour limite de f en 1 ?

3. En utilisant la définition d’une limite finie en 1, prouver que f n’a pas de limite en 1.

V.2 Continuité en a

On peut lire dans le programme de Terminale S qu’une fonction continue sur un intervalle I estune fonction dont on peut tracer la courbe « sans lever le crayon » .A la lumière de ce que nous venons de voir, peut-on donner une définition rigoureuse de la continuitéd’une fonction en a (a ∈ I) ?


VI ANNEXE 2 : La fonction tangente

Cette annexe est sous la forme d’un exercice.

On appelle la fonction tangente la fonction, notée tan, définie par

tan(x) =sin(x)

cos(x)

On note C sa courbe représentative.

Partie A : Étude globale

1. Justifier que l’ensemble D de définition de la fonction tan est R−

(2k + 1)π

2, k ∈ Z

.

2. La fonction tangente est-elle paire ? impaire ? Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

3. Démontrer que, pour tout x appartenant à D, x+ π appartient à D et tan(x+ π) = tan(x). Quepeut-on en déduire ?

Partie B : Étude de la fonction tangenteD’après les résultats précédents, on peut restreindre l’étude de la fonction tangente à l’intervalle[

0;π

2

[

.

1. Déterminer la limite de la fonction tan à gauche enπ

2. Interpréter graphiquement le résultat.

2. Établir que, pour tout réel appartenant à D :

(tan)′(x) = 1 + tan2(x) =1

cos2(x)

3. Dresser le tableau de variations de la fonction tangente sur[

0;π

2

[

.

4. Construire la courbe C sur D ∩ [−2π; 2π].

Partie C : Position relative de courbes.

1. Déterminer l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0.

2. Étudier le signe de la fonction g définie sur]

−π

2;π

2

[

par g(x) = tan(x)− x.

(On commencera par l’étude des variations de g)

3. En déduire la position de C par rapport à T .


Chapitre 3

Nombres complexes (partie 1)

SommaireI Découvrir les nombres complexes sans complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II L’ensemble C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.1 Un nouvel ensemble de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.2 Un vocabulaire spécifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.3 Égalité de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.4 Somme et produit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.5 Quotient de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.6 Résolution d’équations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.1 Affixe d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.2 Affixe d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

IV Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40V Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V.1 Racines carrées d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41V.2 Équation ax2 + bx+ c = 0 avec (a, b et c réels ; a 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

VI Annexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.1 Une formule pour une solution de x3 = px+ q, (p, q) ∈ R2 . . . . . . . . . . . . . . 43VI.2 Des calculs avec i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.3 Aspect géométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

• © • © •

37

L 3 : Nombres omplexes (1) TS >2017/18

I Découvrir les nombres complexes sans complexe

Voir l’annexe 1.

II L’ensemble C

II.1 Un nouvel ensemble de nombres

Théorème

T h é o r è m e :Il existe un ensemble C (ensemble des nombres complexes) contenant R et véri-fiant :• C contient R.• C est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de R

et suivent les mêmes règles de calcul.• Il existe un élément i de C tel que i2 = −1.• Tout élément z de C s’écrit de manière unique : z = a+ ib (a et b réels)

II.2 Un vocabulaire spécifique

Si un nombre complexe s’écrit de manière unique z = a+ ib avec a, b réels alors :

• a+ ib s’appelle l’écriture algébrique de z ;• a est la partie réelle de z ; on note a = Re(z) ;• b est la partie imaginaire de z, notée b = Im(z) ;• Re(z) et Im(z) sont des nombres réels ;

• Si b = 0 alors z = a et z ∈ R (on retrouve le fait que C contient R). On dit alors que z est réel ;• Si a = 0 alors z = ib , on dit alors que z est imaginaire pur.

• © • © •

EXERCICE 11 Soit x ∈ R et z le nombre complexe défini par :

z = x+ 2 + i(x− ix) + 2i − 5ix

1. À quelle condition portant sur x, z est-il réel ?

2. À quelle condition z est-il imaginaire pur ?

• © • © •

II.3 Égalité de deux nombres complexes

a, b, a′, b′ sont des nombres réels quelconques.

z = z′ ⇔ a+ ib = a′ + ib′ ⇔ a = a′ et b = b′

En particulier : a+ ib = 0⇔ a = b = 0 .


II.4 Somme et produit de deux nombres complexes

On utilise les mêmes règles de calcul que dans R en tenant compte du fait que i2 = −1Voir exemples dans l’activité de découverte.

Exemple 47 Donner l'é riture algébrique de z1 = (2i− 1)(3 + 4i)− 4i(3− 2i)2

et de z2 = (x+ iy)(x− iy) (ave (x, y) ∈ R2)

II.5 Quotient de nombres complexes

Comme tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme a+ ib :

• 1

3− 4i=

1

3− 4i× . . . . . . . . .

. . . . . . . . .=

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .= . . . . . . . . .

• 1− i1 + i

=1− i1 + i

× . . . . . . . . .

. . . . . . . . .=

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .=

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .= . . . . . . . . .

Remarque 11 Cette technique est à connaître.

EXERCICE 12 Calculer (a+ ib)(a− ib)

En déduire la valeur du produit suivant : (a+ ib)(a

a2 + b2− i

b

a2 + b2) et l’inverse de a+ ib.

II.6 Résolution d’équations dans C

Les techniques utilisées dans R sont transposables donc :

Résoudre dans C

3z + 6i = z − 2

Résoudre dans C−iz + 1

= 2

1. Montrer que, pour tout z ∈ C,

z2 − 6z + 25 = (z − 3)2 + 16

2. En déduire les solutions dans C de l’équationz2 − 6z + 25 = 0

III Le plan complexe

Le plan muni d’un repère orthonormal direct (O ; ~u,~v) est appelé plan complexe.

III.1 Affixe d’un point

• Soit z = x + iy un nombre complexe, le point Mde coordonnées (x, y) est l’image de z noté M(z).

• Si le point M a pour coordonnées (x, y), on luiassocie le nombre complexe z = x + iy appeléaffixe de M et noté zM .

espace 0 ~u

~v

b

M(z)

~ry

x

axe réel

axe imaginaire


III.2 Affixe d’un vecteur

~u

~v

0

B(zB)

b

A(zA)

z−−→AB

= zB − zA

• si ~r = x~u+ y~v , on note z~r = x+ iy

• Pour tout point A : z−−→OA

= zA

• Quels que soient les vecteurs ~r et ~s et le réel λ : z~r+~s = z~r + z~s et zλ~r = λz~r

• Pour tous points A et B : z−−→AB

= zB − zA

• I milieu de [AB]⇔ zI =zB + zA

2

• Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si,ils ont les mêmes affixes

EXERCICE 13 :

~u

~v

0b

b

bb

b b

A(. . . . . . . . .)

B(. . . . . . . . .)

E(. . . . . . . . .)F (. . . . . . . . .)

D(. . . . . . . . .)C(. . . . . . . . .)

Dans le plan complexe, on donne les points A, B, C, D,E et F .Compléter les affixes des points sur la figure.Déterminer les affixes des vecteurs

−−→AB,

−−→OF ,

−−→CD,

−−→AB −−−→CD,−3−−→BC + 2

−−→AB,

puis celle du milieu I de [DC].

IV Conjugué d’un nombre complexe

DéfiÆnition

Définition : Soit z = a+ ib un nombre complexe (a et b réels).

On appelle conjugué de z le nombre complexe z = a− ib (il faut lire « z barre »)

Exemple 48 Quels sont les onjugués des nombres omplexes : 1− 5i, −3 et −i ?

Remarque 12 :

~u

~v

0

bM(z = a+ ib)

axe des réels

axe des imaginaires

Soit z ∈ C et M son point image dans le plan complexe.

Placer les trois points images des nombres complexes z, −z et−z.


Propriétés

Propriétés liées à la onjugaison

∗ z réel⇔ z = z ;

∗ z imaginaire pur⇔ z = −z ;

∗ Pour tout nombre z complexe, z = z .

∗ Pour tous nombres complexes z et z′, et tout entier n :

• z + z′ = z + z′ ; −z = −z ; zz′ = zz′ ; zn = zn ;

•(

1

z

)

=1

zet (

z

z′) =

z

z′

∗ ∀z ∈ C, z+ z = 2Re(z)

∗ ∀z ∈ C, z− z = 2iIm(z)

∗ ∀z ∈ C, z = a+ ib. zz est réel et zz = a2 + b2

EXERCICE 14 Déterminer les conjugués des nombres complexes suivants :

z1 = (2− i)(i− 5) et z2 =3 + 2i3i

EXERCICE 15 Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tels que z2 − z soit réel.

EXERCICE 16 Équation « mélangeant » z et z.Résoudre les deux équations suivantes : 2z + i = z + 1 et z2 = z

V Équations du second degré

V.1 Racines carrées d’un réel

Théorème

• Si a > 0, l’équation z2 = a admet deux solutions réelles opposées√a et

−√a ;

• Si a 6 0, l’équation z2 = a admet deux solutions imaginaires conjuguées

i√−a et −i

√−a .

Exemple 49 Quelles sont les solutions de l'équation z2 = −8 ?


V.2 Équation ax2 + bx+ c = 0 avec (a, b et c réels ; a 6= 0)

Théorème

L’équation ax2 + bx+ c = 0 avec (a, b et c réels ; a 6= 0) admet des solutions dans C.

On note ∆ = b2 − 4ac le discriminant de l’équation.

• Si ∆ = 0 , une solution unique : x = − b

2a(réel)

• Si ∆ > 0 , deux solutions réelles : x =−b±

√∆

2a;

• Si ∆ < 0 , deux solutions complexes conjuguées : x =−b± i

√−∆

2a;

Exemple 50 Résoudre dans C l'équation x2 + x+ 1 = 0.

EXERCICE 17 :Pour tout nombre complexe z, on pose :

P (z) = z3 − 3z2 + 3z + 7

1. Calculer P (−1).2. Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait :

P (z) = (z + 1)(z2 + az + b)

3. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.


VI Annexe 1

VI.1 Une formule pour une solution de x3 = px+ q, (p, q) ∈ R2

Un mathématicien italien Scipione del Ferro (1465-1526) propose une formule donnant une solutionx0 de l’équation du troisième degré : x3 = px+ q où p et q sont des nombres réels.(le théorème des valeurs intermédiaires nous assure l’existence d’au moins une solution à cette équation)

x0 =3

√

√

√

√q −

√

q2 − 4p3

27

2+

3

√

√

√

√q +

√

q2 − 4p3

27

2

En essayant d’utiliser la formule ci-dessous, déterminer une solution de (E) : x3 = 36x + 91. (E)a-t-elle d’autres solutions ?Recommencer avec l’équation (E′) : x3 = 15x+ 4, que remarquez-vous ?

Rafaël Bombelli (1526-1573) eut l’idée d’utiliser les règles de calcul usuelles en tenant compte dufait que (

√−1)2 = −1 (règle habituellement interdite dans l’ensemble R des nombres réels).

• Prouver alors que (2 +√−1)3 = 2 + 11

√−1 et que (2−

√−1)3 = 2− 11

√−1 ;

• Prouver également que (11√−1)2 = (−11

√−1)2 = −121.

En utilisant les règles de calculs précédentes, prouver que 4 est solution de (E′).

Léonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse, eut l’idée de poser i =√−1 et donc i2 = −1.

Réécrire les égalités précédentes avec la nouvelle notation

VI.2 Des calculs avec i

1. Effectuer les calculs suivants et mettre les résultats sous la forme x+ iy.

• (3 + 5i) + (1− 2i) ; (3− 2i) + (−2 + i) ; (3 + i) + (−3 + i) ; (4− 3i)− (1− i) ;• (−5 + 2i)− (8 + i) + (3− 4i)− 5i + 1 ; (1 + i) + (1 + 2i) + (1 + 3i)− 2− 5i)

2. Même consigne avec les produits suivants :• (−5 + 2i)(4 + i) ; (3− i)(3 + i) ; (3 + i)2 ; (3 + i)3 ; i3 ; i4 ; (1− i)3 ; (1 + i)2(1− i)2.

3. Mettre sous la forme x+ iy les nombres1

3− 4iet

1− i1 + i

.

VI.3 Aspect géométrique des nombres complexes

L’écriture x+ iy avec x et y réels nous aiguille vers le couple (x; y) coordonnées d’un point représen-tant un nombre complexe dans un plan appelé plan complexe et repéré par (0;−→u ;−→v ).

Placer dans le plan complexe le point A associé au nombre zA = 3 + 2i, puis le point B associé aunombre zB = −1 + 4i. Placer le point C associé à zA + zB et le point D correspondant à zAzB .

On attribue au vecteur−−→AB un nombre complexe noté z−→

AB. Quelle est à votre avis la valeur de z−→

AB?

Donner une formule générale.

Calculer OA, OB et OC.

• © • © •



Chapitre 4

La fonction exponentielle

SommaireI Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II Une fonction égale à sa dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II.1 Propriétés vérifiées par une solution de (Ed) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III La fonction Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.1 Théorème et Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.2 Nombre e et notation ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.3 Propriétés asymptotiques : limites en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.4 Courbe de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.5 Croissance comparée. Limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III.6 Fonction dérivée de eu avec u dérivable sur un intervalle I . . . . . . . . . . . . . 51

IV Annexe 1 : Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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45

L 4 : La fon tion exponentielle TS >2017/18

I Introduction

Un noyau radioactif, instable, se désintègre (c’est à dre qu’il se transforme spontanément après unedurée indéterminée en un noyau plus stable). S’il est impossible de prévoir la date de désintégrationd’un noyau donné, on constate cependant en considérant à un instant t un échantillon macroscopiqued’un grand nombre de noyaux, que la variation du nombre de ces noyaux par seconde est proportion-nelle au nombre de noyaux présents à l’instant t dans l’échantillon.

On appelle N0 le nombre initial de noyaux et N(t) le nombre de noyaux restants (non désintégrés)à l’instant t.

Supposons que l’expérience commence à un instant t alors, pour tout h > 0, N(t+ h) est le nombrede noyaux présents à la date t+ h.

On note ∆t la variation du temps entre les dates t et t+ h, on a donc ∆t = (t+ h)− t = h.

La variation du nombre de noyaux entre les dates t et t+h est donc N(t+h)−N(t) que l’on nomme∆N .

La variation du nombre de noyaux par seconde est proportionnelle au nombre d’atomes présent audébut de l’expérience et à la variation de temps entre les deux dates. Cela signifie qu’il existe un réel ktel que

∆N = kN(t)∆t ⇔ ∆N

∆t= kN(t) (1)

Remarque 13 ∆N < 0 car N(t+ h)−N(t) < 0 donc k < 0.Les physiciens préférant travailler avec des constantes positives, on pose k = −λ avec λ > 0. λ estappelée constante de désintégration radioactive, elle est caractéristique de noyau considéré.Par exemple, pour le Radium 226, elle vaut environ 1, 37 × 10−11 (en s−1).

En exprimant∆N

∆ton trouve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., ce qui nous fait penser au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de la fonction N . Si l’expérience dure un temps extrêmement court, cela se traduit par une valeurde h proche de 0. Il est donc « naturel » de s’intéresser à

limh→0

N(t+ h)−N(t)

h=

hyp:N drivable. . . . . . . . . . . . et donc (1)⇔ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ceci signifie que N est une fonction proportionnelle à sa dérivée. Pour déterminer N , il faut doncsavoir résoudre une équation mettant en jeu une fonction et sa dérivée. Une équation où l’inconnue est. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..On note cette équation

y′ = −λy et la fonction N (vérifiant N(0) = N0) en est la solution.

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Dans cette leçon, l’enjeu sera le suivant : Existe-t-il une fonction f dérivable sur R vérifiant

(Ed)

f ′(x) = f(x)f(0) = 1

?

Pour conclure, on donnera ensuite une expression possible de la fonction N de l’introduction.


II Une fonction égale à sa dérivée

II.1 Propriétés vérifiées par une solution de (Ed)

Résultat

ADMIS

Il existe une fonction f solution de (Ed). (ce qui donne une raison de la chercher)Pour les courageux et/ou les « amoureux des maths », voir une preuve de l’existenced’une telle fonction :

Lien vers l’existence

1. ⊲ La fonction f est continue sur R.

2. ⊲ La fonction f vérifie la relation fonctionnelle f(x+ a) = f(x)f(a), ∀(x, a) ∈ R2

Trame delaDémonstration

Soit a un nombre réel fixé (constante). On pose k(x) = f(x+a)f(−x) pour toutx ∈ R

(a) Montrer que k est dérivable sur R et calculer k′(x).

(b) Calculer k(0). En déduire que, pour tous x et a réels :

f(x+ a)f(−x) = f(a) (2)

(c) Déduire de (2) les résultats suivants :

i. f(x)f(−x) = 1 pour tout x ∈ R ;

ii. la fonction f ne s’annule pas sur R ;

iii. f(x+ a) = f(x)f(a), ∀(x, a) ∈ R2

3. ⊲ La fonction f est strictement positive sur R

4. ⊲ Unicité de la fonction f

Comme souvent en mathématiques, pour démontrer l’unicité d’un objet mathématique, on sup-pose qu’il y en a deux.Supposons qu’il existe deux fonctions f1 et f2 dérivables sur R, solutions de (Ed).

On pose, pour tout x ∈ R, m(x) = f1(x)f2(−x).

5. ⊲ Courbe de la fonction f


https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definition-exponentielle.pdf

O a+ h

Mreel

f(a+ h)

Mappr.f(a+ h)

approchéeA

bcbc

bcbc

bc bc

bc

a

En A est tracé la tangente à Cf d’équation :y = f ′(a)(x− a) + f(a).

Le point de Cf d’abscisse a + h est le point Mreel et il est« interpolé » par le point Mappr. de la tangente ayant lamême abscisse.

Grâce à la méthode d’Euler qui s’appuie sur l’approxima-tion affine d’une fonction dérivable en a.

f(x) ≈ f ′(a)(x − a) + f(a) pour x voisin de a.

On peut calculer, avec une précision mesurée, les imagespar la fonction f et construire une courbe « approchée ».

A tiÆvité

ACTIVITÉ de construction de la courbe de la fonction f vérifiant lesystème différentiel (Ed) : Voir l’Annexe 1.

III La fonction Exponentielle

III.1 Théorème et Définition

ThéorèmeIl existe une unique fonction f dérivable sur R, telle que f ′ = f et f(0) = 1 . Onl’appelle exponentielle et elle est notée exp .

Conséquen es :

• exp(0) = 1 ;

• exp est dérivable sur R et exp′(x) = exp(x) ;

• ∀x ∈ R, exp(x) > 0 ;

• exp est strictement croissante sur R .

Propriété

T héorème démontré daÆns II.1.2

Pour tous réels a et b : exp(a+ b) = exp(a)× exp(b)

• © • © •

Conséquen es

Corollaire

Pour tous réels a et b et pour tout entier relatif n :

• exp(a− b) =exp(a)

exp(b);

• exp(na) = [exp(a)]n ;

• exp(−b) = 1

exp(b);

• exp( an) =n√

exp(a), (n > 1) .

III.2 Nombre e et notation ex

Le nombre exp(1) est noté e . La calculatrice nous donne : e ≈ 2, 718281828.

Avec a = 1 dans exp(na) = [exp(a)]n, on obtient : exp(n) = .....

On décide de prolonger à tout x réel, l’égalité obtenue sur les entiers et on pose, par convention :

exp(x) = ex pour tout x ∈ R


Reformuler les propriétés et constater qu’elles correspondent à l’usage d’une notation puissance.

Remarque 14 Comme tout nombre réel, le nombre e est limite d’une suite de nombres rationnels, ilest important de savoir que

e = limn→+∞

(

1 + 1n

)n

III.3 Propriétés asymptotiques : limites en l’infini

Propriété

LiÆmites en liÆnfiÆni :

limx→+∞

ex = +∞ et limx→−∞

ex = 0 ; une limite de référence : limx→+∞

ex

x= +∞

La courbe Cexp admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en −∞.

Démonstations : On pose ϕ(x) = ex − x idées : y = −x et x2

III.4 Courbe de la fonction exp

O 1

e

1

~i

~j

Cexp

y=x+1

bc

bc

bc

Équations des tangentes auxpoints de Cexp d’abscisses 0 et1 :

Propriétés

• ex = ey ⇔ x = y , démo : La fonction exponentielle et continue et strictementcroissante sur R donc c’est une bijection de R sur ]0;+∞[ : Tout nombre réelstrictement positif a un unique antécédent par exp.

• Cas particulier : ex = 1⇔ x = 0 , démo : y = 0 dans la propriété précédente.

• Pour x, y ∈ R, ex < ey ⇔ x < y , démo : exp est strictement croissante sur R

• Cas particulier : 0 < ex < 1⇔ x < 0 , démo : y = 0 dans la propriétéprécédente et ex > 0, ∀x ∈ R.

• Cas particulier : ex > 1⇔ x > 0 , démo : Encore le sens de variation.

Remarque 15 Ces propriétés seront très utiles pour trouver les signes d’expressions comportant desexponentielles : notamment les signes de dérivées dans les études de fonctions.Utilisées également dans la résolution d’équations et d’inéquations.


Exemple 51 Résoudre les équations ou inéquations suivantes :

∗ e

3x−1 = 1⇔ ...

∗ e

x2−x = e⇔ ...

∗ e

3−4x <1

e

⇔ ...

∗ e

5−x2

> e

4x ⇔ ...

• © • © •

Exemple 52 Déterminer le signe de e

x2 − e

xlorsque x ∈ R.

III.5 Croissance comparée. Limites de référence

LIMITESLiÆmites à onÆnaître :

∀n ∈ N , limx→+∞

ex

xn= +∞ et lim

x→−∞xnex = 0

Traduction possible à utiliser avec prudence :A l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x.

EXERCICE 18 Calculer les limites suivantes :

• limx→+∞

e2x+1

x

• limx→+∞

3

6 + 2e−x

• limx→+∞

ex√x

• limx→+∞

x+ 3

ex + 1

• limx→+∞

ex + x

3− 2ex

• limx→+∞

ex

x2 − 2x− 1

• limx→−∞

x3 − 3x− 1

ex

• limx→0

ex − 1

x


III.6 Fonction dérivée de eu avec u dérivable sur un intervalle I

Théorème

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction eu, est dérivable surl’intervalle I et on a :

(eu)′ = u′ × eu

Dans le cas où la fonction u est affine,

la dérivée de x 7→ eax+b est la fonction x 7→ . . . . . .

La démonstration s’obtient par la dérivation de fonctions composées et le fait que (exp)′ = exp.

Exemple 53 Soit f la fon tion dénie sur R par : f(x) = e

1−x2

.Cal uler f ′(x) et déterminer les variations de f sur R.

EXERCICE 19 Associer chaque courbe à sa fonction : f1 : x 7−→ e−x2

; f2 : x 7−→ e−1

x ; f3 : x 7−→ e−x.

O

1 O

1

O

1


IV Annexe 1 : Méthode d’Euler

Approximation affine d’une fonction f en a

O ~i

~j

a a+ h

f(a+ h)

fapp(a+ h)Ta

Cf

bc

bcbc

w

Soit f une fonction dérivable a (a ∈ R).Conséquence : Cf admet en ce point une tan-gente Ta.

L’équation de Ta est : y = f ′(a)(x− a) + f(a)L’équation de Cf est : y = f(x)

Mét hode :

On prend comme valeur approchée de f(a + h),la valeur de fapp(a + h) obtenue en remplaçantx par a + h dans l’équation de la tangente On adonc :

fapp(a+ h) ≈ f ′(a)h+ f(a)

Soit f l’unique fonction dérivable surR vérifiant le problème différentiel (Ed)

∀x ∈ R, f ′(x) = f(x)f(0) = 1

1. En utilisant le principe d’approximation affine avec h = 0.5, calculer les valeurs approchées def(0.5) et de f(1). En déduire celles de f(−0.5) et de f(−1).

...

1

2

3

4

0.5 1.0 1.5−0.5−1.0−1.5−2.02. h est désormais un nombre positif proche de 0. Donner, toujours par le même principe d’approxi-

mation affine, les valeurs approchées de f(h), f(2h), .... , f(nh) pour tout n ∈ N. Quelles remarquespouvez-vous faire ?

3. Écrire un algorithme qui permet de placer dans un repère les points de la courbe de la fonction fentre −3 et 3. L’utilisateur devra saisir la valeur de h.

• © • © •


Chapitre 5

Les probabilités Discrètes

SommaireI Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités . . . . . . . . . . 54

I.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.3 Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55I.4 Arbre de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

II Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.1 Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.3 Paramètres d’une loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

III Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

IV Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60IV.1 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

V Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60V.1 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60V.2 Dénombrer les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60V.3 Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61V.4 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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53

L 5 : Probabilités onditionÆnelles TS >2017/18

I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard. Les mathématiques interviennent pourapporter un modèle « collant » le mieux possible à la réalité. Ce modèle comporte un univers et uneloi de probabilité. Le choix de ces deux éléments n’est pas unique mais il est généralement induitpar une approche fréquentiste et une idée que l’on se fait à priori de l’expérience.

Exemple 54 :

L'expérien e onsiste à lan er une piè e de monnaie (pile ou fa e)

• Quelles sont les issues possibles ?

• Quelle probabilité attibue-t-on à haque issue ?

I.1 Univers

Vo abulaire

• Expérience aléatoire : C’est une expérience qui a plusieurs issues pos-sibles et l’on ne peut pas prévoir avec certitude quel sera le résultat. Elle estliée au hasard.

• Univers Ω : C’est l’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire.on note Ω = x1, x2, ..., xn

• Événement : C’est un résultat composé d’une ou plusieurs issues d’uneexpérience aléatoire. C’est une partie de l’univers Ω.

Exemple 55 :

• On lan e un dé* et on regarde le numéro de la fa e obtenue :

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6• On lan e un dé* et on regarde si le numéro de la fa e obtenue est pair ou impair : Ω = P, I• On lan e une piè e de monnaie* : Ω = P, F• On lan e deux piè es de monnaie* : Ω = . . . . . . . . . . . .• On lan e deux dés* : Ω = (i, j), 1 6 i, j 6 6

* : équilibré(e)(s) ou pas

I.2 Loi de probabilité

DéfiÆnition

Définir une loi de probabilité P sur Ω, c’est associer à chaque issue xi unnombre pi positif ou nul vérifiant 0 6 pi 6 1 tel que :

p1 + p2 + ......+ pn = 1 où n est le nombre d’issues de l’univers.

pi est appelée probabilité de l’issue xi et cela se note : P (xi) = pi.

P : Ω −→ [0; 1]

xi 7−→ P (xi) = pi

Exemple 56 : Une urne omporte six boules : 3 rouges, 2 jaunes et 1 bleue. On prélève une boule et on note sa ouleur.

Quelle loi de probabilité est-il raisonnable d'asso ier à ette expérien e ?


I.2.1 Un cas particulier : la loi équirépartie (uniforme)

LorsqueΩ est de cardinal fini (nombre d’éléments deΩ fini) et que l’on attribue la même probabilitéà chaque issue, on dit que l’on choisit une probabilité P équirépartie, on a alors :

• pour toute issue xi de Ω : P (xi) =1

card(Ω)

• pour tout événement A : P (A) =card(A)

card(Ω)=

nombre d′elements deA

nombre d′elements deΩ

On dit aussi, dans une telle situation qu’il y a équiprobabilité.

EXERCICE 20 :Dans un jeu de 32 cartes, les cartes sont réparties en quatre catégories (coeur, carreau, trèfle, pique).Dans chaque catégorie, il y a huit cartes : As - Roi - Dame - Valet - 10 - 9 - 8 - 7.On tire une carte au hasard.

1. Quelle est la probabilité de tirer une carte rouge ?

2. Quelle est la probabilité de tirer un roi ?

3. Quelle est la probabilité de tirer une sept noir ?

I.3 Calculs de probabilités

Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire et P une loi de probabilité qui modélise l’expé-rience.

I.3.1 Probabilité d’un événement

Propriété

La probabilité d’un événement A est la somme de toutes les probabilités desissues appartenant à A.

Exemple 57 : On lan e un dé truqué tel que la probabilité de réalisation des fa es soit proportionnelle au hire marqué

sur la fa e.

1. Quelle loi de probabilité P est pré onisée dans ette situation ?

2. Cal uler la probabilité d'obtenir un hire pair.

I.3.2 Événement contraire

DéfiÆnition

etPropriété

L’événement contraire d’un événement A est composé des issues de l’univers quine sont pas dans A. On le note A.

Sa probabilité se calcule de la manière suivante : P (A) = 1− P (A)

Exemple 58 :

On lan e à nouveau le dé truqué de l'exemple pré édent et on relève la fa e obtenue.

A : La fa e obtenue est au moins 2 . Dé rire A et al uler sa probabilité. En déduire P (A).

I.3.3 Intersection et réunion d’événements

DéfiÆnition

A et B sont deux événements constitués d’issues d’un univers Ω.

• L’intersection de A et de B est l’événement noté A ∩B formé des issuescommunes à l’événement A et à l’événement B.

• La réunion de A et de B est l’événement noté A ∪B formé des issuesconstituant l’événement A ou l’événement B.


Exemple 59 On dispose d'une urne à l'intérieur de laquelle il y a 20 boules indis ernables au tou her numérotées de 1 à

20. On tire au hasard une boule. On onsidère l'événement A : le numéro de la boule est divisible par 5 et l'événement

B : le numéro de la boule est un hire. Dé rire les événements A ∩B et A ∪B. Cal uler leur probabilité.

Propriétés

Soit A et B deux événements, P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) (⋆) .

Certaines situations conduisent à P (A ∩ B) = 0, on dit alors que les événementsA et B sont incompatibles et

(⋆) devient P (A ∪B) = P (A) + P (B).

I.4 Arbre de probabilités

A et B deux événements.

AP (A)

B. . . . . .

B. . . . . .

AP (A)

B. . . . . .

B. . . . . .

Règles et calculs sur un arbre de probabilités :

À chaque « nœud » figure une issue (ou événement).

On indique au dessus de chaque branche qui y conduitsa probabilité.

La somme des probabilités de toutes les branchespartant d’un même noeud est égale à 1.

L’événement intersection est le résultat d’un cheminpossible sur l’arbre et sa probabilité est le produitdes probabilités figurant sur chaque branche parcourue.

La probabilité de l’événement B =

A ∩B;A ∩B

se calcule en ajoutant les probabilités P (A ∩ B) etP (A ∩ B) : on fait donc la somme des produits deprobabilités résultant du « passage » sur les cheminsconduisant à B : formule des probabilités totales vueplus loin dans la leçon.

II Variables aléatoires

Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire et P une loi de probabilité qui modélise l’expé-rience.

II.1 Notion de variable aléatoire

DéfiÆnition

Une variable aléatoire discrète définie sur Ω est une application qui, à chaqueissue de Ω, associe un nombre réel. On la note X.

X : Ω −→ R

xi 7−→ X(xi) = vi

L’ensemble des valeurs prises par la variable X est noté X(Ω) = v1, v2, . . . , vn

Notation : Lorsque x désigne un nombre réel, l’événement « X prend la valeur x » est noté (X = x).

Exemple 60 Un jeu de hasard onsiste à lan er un dé équilibré à 6 fa es. Le lan eur gagne la somme double de la valeur

de la fa e obtenue si elle- i est paire, sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé.

On appelle X le gain, positif ou négatif, du joueur après un lan er.


I i, l'ensemble des issues possibles est Ω = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

on a déni ave X une variable aléatoire réelle telle que :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

II.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs v1, v2, ....., vn.

DéfiÆnition

Lorsqu’à chaque valeur vi de X(Ω) ( avec 1 ≤ i ≤ n) prise par une variable aléatoireX, on associe la probabilité pi de l’événement (X = vi), on dit que l’on définit la loide probabilité de la variable aléaoire X.

Remarque 16 En général, on présente la loi d’une variable aléatoire X sous la forme d’un tableau,qui récapitule les valeurs prises par X ainsi que les probabilités associées :

Valeurs de X : vi v1 v2 v3 ... vn

Probabilité : p(X = vi) p1 p2 p3 ... pn

Exemple 61 On reprend l'énon é de l'exemple pré édent. La loi de X est donnée par :

vi −10 −6 −2 4 8 12

p(X = vi)

Remarque 17 On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilités élémentaires fait1

On écritn∑

i=1p(X = vi) = 1

II.3 Paramètres d’une loi de probabilité

II.3.1 Espérance

Soit X une variable aléatoire de loi :

Valeurs de X : vi v1 v2 v3 ... vn

Probabilité : p(X = vi) p1 p2 p3 ... pn

DéfiÆnition

On appelle espérance de la variable aléatoire X le réel noté E(X) qui vaut :

E(X) = p1v1 + p2v2 + ...+ pnvn =n∑

i=1

pivi.

Remarque 18 Ce nombre représente la valeur moyenne de la variable aléatoire X.• Si E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur ;• Si E(X) < 0 , le jeu est défavorable ;• Si E(X) = 0, le jeu est équitable.

Exemple 62 Ave l'exemple pré édent, on trouve


II.3.2 Variance et écart-type

DéfiÆnition

On appelle variance de la variable aléatoire X le réel noté V (X) qui vaut :

V (X) = p1[v1 −E(X)]2 + p2[v2 − E(X)]2 + ...+ pn[vn − E(X)]2

ou encore

V (X) =n∑

i=1

pi[vi − E(X)]2.

On appelle écart-type de X le réel noté σ(X) défini par :

σ(X) =√

V (X).

Exemple 63 Cal ul de la varian e pour l'exemple pré édent :

V (X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V (X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D'où l'é art-type :

σx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.3.3 Propriétés

♦ La variance et l’écart-type d’une variable aléatoire réelle X sont des nombres positifs.

♦ L’écart-type mesure la dispersion des valeurs d’une variable aléatoire par rapport à son espé-rance.

♦ Si X est exprimé dans un certaine unité, σX l’est dans la même unité.

Théorème

La propriété suivante permet un calcul plus rapide de la variance :

V (X) = p1x21 + p2x

22 + ...+ pnx

2n − E2(X) =

n∑

i=1

(pix2i )− E2(X) = E(X2)− E2(X).

Propriétés

Soient a et b deux réels, on a :

E(aX + b) = aE(X) + b V (aX + b) = a2V (X) σ(aX + b) = |a|σ(X)

III Probabilités conditionnelles

III.1 Exemple introductif

Un joueur tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. On considère les événements suivants :

• F="la carte tirée est une figure"

• R="la carte tirée est un roi"

∗ Calculer p(F ), p(R) et p(R ∩ F )

∗ Le joueur affirme : "la carte tirée est une figure". Quelle est alors la probabilité que ce soit un roi ?

On sait que la carte tirée est un roi. Les calculs de probabilités s’en trouvent modifiés. On dé-finit donc une nouvelle probabilité pF qui sera nulle sur les issues ne correspondant pas à unefigure. Pour déterminer la probabilité que la carte soit un roi, nous devons seulement considérerles rois parmi les figures par rapport au nombre total de figures :


On a donc : pF (R) =Card(R ∩ F )

Card(F )= ...

La probabilité pF (R) s’appelle la probabilité conditionnelle de R sachant F (sous-entendu sachantque F est réalisé : c’est une certitude ! ! !)

III.2 Probabilité conditionnelle

DéfiÆnition

Soit une expérience aléatoire d’univers Ω, p une probabilité sur Ω et B un événe-ment tel que p(B) 6= 0.On définit une nouvelle probabilité sur Ω, notée pB , en posant pour tout événementA :

pB(A) =p(B ∩A)

p(B)

pB(A) est parfois notée p(A|B).

Remarque 19 :• La relation ci-dessus est également utilisée dans l’autre sens : p(B∩A) = pB(A)p(B) = pA(B)p(A)

• L’événement contraire de (A|B) est (A|B) (le contraire de A sachant B est A sachant B)

EXERCICE 21 Une urne comporte 8 boules : 5 rouges et 3 jaunes. On tire au hasard, successivementet sans remise, deux boules de l’urne. Quelle est la probabilité de tirer une jaune sachant que l’on atiré une rouge ?

III.2.1 Exemple

On considère trois urnes U1, U2 et U3 contenant des boules rouges ou jaunes.

U1 : 1 rouge et 5 jaunes ; U2 : 3 rouges et 1 jaune ; U3 : 1 rouge et 2 jaunes.

On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité que laboule tirée soit rouge ?

1. Arbre de probabilités

2. Résolution


III.2.2 Formule des probabilités totales

Théorème

Soit Ω un univers muni d’une probabilité p.Si des parties B1, B2, ..., Bn de probabilités non nulles, constituent une partitionde Ω, alors pour tout événement A, on a :

p(A) =

n∑

k=0

p(Bk ∩A) =

n∑

k=0

pBk(A)p(Bk) = pB1

(A)p(B1) + ...+ pBn(A)p(Bn)

EXERCICE 22 no 39 page 378

IV Indépendance

IV.1 Événements indépendants

DéfiÆnition

On dit que deux événements sont indépendants lorsque :

pA(B) = p(B) ou encore pB(A) = p(A) ou encore que p(A ∩B) = p(A)p(B)

Remarque 20 :• La troisième caractérisation de l’indépendance est une conséquence des deux autres.

• Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation (ou non) de l’un n’a pas d’in-fluence sur la probabilité de réalisation de l’autre.

EXERCICE 23 On lance une pièce deux fois de suite et on considère les événements A1 : « FACE au premier lancer

et A2 : « FACE au second lancer » . Les événements A1 et A2 sont-ils indépendants ?

EXERCICE 24 :

On lance n fois un dé. on note A : « on obtient au moins un 6 au cours des n lancers ».

1. Calculer p(A).

2. Comment choisir n pour que la probabilité de A soit supérieure ou égale à 0.95 ?

V Loi Binomiale

V.1 Combinaisons

DéfiÆnition

Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0 6 p 6 n ; on appellecombinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p éléments. (l’ordren’a aucune importance)Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble de n éléments est noté(

n

p

)

(lire « p parmi n »)

Remarque 21 Compléter(

n

1

)

= . . . puis(

n

n

)

= . . . et(

n

0

)

= . . .

V.2 Dénombrer les combinaisons

Formule

Pour n et p entiers tels que 0 6 p 6 n, on a :

(

n

p

)

=n(n− 1)...(n − p+ 1)

p!=

n!

p!(n− p)!


Exemple 64 Au loto, ombien y a-t-il de tirages de 5 numéros parmi 49 ?

Exemple 65 Dans un jeu de 32 artes, on hoisit 5 artes au hasard ( es artes s'appellent une main ).

1. Combien de mains ontiennent exa tement 2 dames et 1 roi ?

2. Combien de mains ontiennent au moins 3 rois ? ( 'est à dire 3 rois ou 4 rois)

V.3 Propriétés des coefficients binomiaux

Propriétés

∗ Pour tous entiers n et p tels que 0 6 p 6 n, on a :(

n

p

)

=

(

n

n− p

)

∗ Pour tous entiers n et p tels que 1 6 p 6 n−1, on a :(

n

p

)

=

(

n− 1

p

)

+

(

n− 1

p− 1

)

(relation de Pascal)

V.4 Loi Binomiale

DéfiÆnition

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contrairesde probabilités respectives p et q, avec p+ q = 1 (ainsi q = 1− p)

Exemple 66 :

∗ Lan er d'une piè e équilibrée ave pour issues ontraires pile (p = 0.5) et fa e (q = 0.5)

∗ Tirage d'une boule dans une urne ontenant 70 boules blan hes et 30 boules vertes→ S : tirer une boule blan he

(p = 0.7) et E = S : tirer une boule verte (q = 0.3)

Remarque 22 : L'événement de probabilité p est souvent nommé S pour su ès et elui de probabilité q = 1 − p est

nommé E pour é he .

DéfiÆnition

Certaines situations en probabilité consistent en la répétition de n épreuves deBernoulli identiques et indépendantes (schéma de Bernoulli). La variable aléatoireX à valeurs dans 0, 1, ..., n qui compte le « nombre de succès » (nombre de fois queS se réalise) suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Remarque 23 : La loi binomiale de paramètres n et p est notée B(n, p).La répétition des n épreuves de Bernoulli peut être décalée dans le temps ou simultanée dés que lesévénements sont indépendants.

Théorème

: Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p).

• Pour k = 0, 1, ..., n, la probabilité de l’événement (X = k) est(

n

k

)

pkqn−k .

• L’espérance et la variance de X sont E(X) = np et V (X) = npq .

Remarque 24 : La probabilité d’obtenir au moins un succès est calculée par :p(X > 1) soit 1− p(X = 0) = 1− qn (à rapprocher d’exercices déjà vus dans la leçon 6)

Exemple 67 Un Q.C.M omporte 10 questions orant ha une 3 réponses possibles. On répond omplétement au hasard.

Quelles sont les probabilités :

∗ d'obtenir 2 réponses exa tes ?

∗ d'avoir la "moyenne" (5 réponses ou plus exa tes) ?

Exemple 68 Sujet de BAC : Amérique du Nord juin 2016



Chapitre 6

La fonction logarithme népérien

SommaireI Fonction réciproque d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

I.1 Définition d’une bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I.2 Représentation graphique d’une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I.3 Des exemples déjà rencontrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

II Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.3 Dérivabilité, Sens de variation et équivalences importantes . . . . . . . . . . . . 65II.4 Représentation graphique de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.5 Propriétés de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II.6 Utilisation des propriétés de ln : résolution d’équation, d’inéquation . . . . . . . . 67

III Dérivée de ln(u) où u > 0 et dérivable sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67IV Croissance comparée. n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

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63

L 6 : La fon tion logarit hÆme népérien TS >2017/18

I Fonction réciproque d’une fonction

I.1 Définition d’une bijection

Le théorème dit « de la bijection » permet d’établir une bijection entre un intervalle I et un intervalleJ . Il est venu le moment de donner une définition « propre » d’une telle fonction.

DéfiÆnition

I et J sont des intervalles de R. f est une bijection de I sur J signifie que :

« Pour tout y de J , il existe un unique x ∈ I tel que y = f(x). »

ou Tout de nombre de J admet exactement un antécédent dans I par f .

Exemple 69 • f : x 7−→ x2dénie sur [0; 3] est une bije tion de [0; 3] sur [0; 9].

• f : x 7−→ x2dénie sur [−3; 3] n'est pas une bije tion. (en eet, 4 qui partie de [0; 9] admet deux anté édents −2

et 2 dans [−3; 3]).

x y

f

· · ·x ∈ I y ∈ J

Si f est une bijection de I sur J , il existe une fonction définie surJ , notée f−1, appelée fonction réciproque de f :

y = f(x)x ∈ I

⇔

· · ·· · ·

I.2 Représentation graphique d’une fonction réciproque

Résultat : Dans un repère orthonormal, les courbesreprésentatives de f et de f−1 sont symétriquespar rapport à la droite ∆ d’équation y = x.

Cela permet en particulier, d’en déduire :• des calculs de limites ;• des existences de tangentes (dérivabilité) ;

O ~i

~j

b

b

y=x

Cf

I.3 Des exemples déjà rencontrés

• cos : [0;π] −→ [−1; 1]x 7−→ cos(x)

La fonction cosinus réalise une bijection de [0;π] sur [−1; 1] : elle admet la

bijection réciproque notée arccosinus définie de la façon suivantearccos : [−1; 1] −→ [0;π]

x 7−→ arccos(x)

• sin : [−π2 ;−π

2 ] −→ [−1; 1]x 7−→ sin(x)

La fonction sinus réalise une bijection de [−π2 ;−π

2 ] sur [−1; 1] : elle admet

la bijection réciproque notée arcsinus définie de la façon suivantearcsin : [−1; 1] −→ [−π

2 ;−π2 ]

x 7−→ arcsin(x)


II Fonction logarithme népérien

Au chapitre 4, nous avons vu que la fonction exponentielle (exp : x 7−→ ex) est continue, strictement

croissante sur R. Ainsi grâce au théorème vu en L2, exp réalise une bijection de R sur ]0;+∞[. D’aprèsle paragraphe précédent, elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0;+∞[.

II.1 Définition

DéfiÆnition

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction expo-nentielle. Elle est notée ln. Elle est définie sur ]0;+∞[ et réalise une bijection de]0;+∞[ sur R.

y = lnxx ∈]0;+∞[

⇔

x = ey

y ∈ R

II.2 Conséquences

Conséquen es

• ln(1) = 0 car e0 = 1 ;

• ln(e) = 1 car e1 = e ; ;

• Pour tout x ∈ R, ln(ex) = x

• Pour tout x ∈]0;+∞[, elnx = x

II.3 Dérivabilité, Sens de variation et équivalences importantes

On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ (et donc continue sur cet intervalle ! Leçon 2)Pour x ∈]0;+∞[, on considère la fonction u : x 7−→ exp(lnx).

u est-elle dérivable sur ]0;+∞[ ?

En remarquant que u(x) = x, en déduire la dérivée de la fonction ln pour x > 0.

IMPORTANT

⊲ La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[ et, pour tout

x > 0, ln′(x) =1

x;

⊲ La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur]0;+∞[.

Dernière propriété qui permet d’écrire que, x et y étant des réels strictement positifs :

Propriétés

ln(x) = ln(y)⇔ x = y

ln(x) < ln(y)⇔ x = y

Signe de ln(x)

ln(x) = 0⇔ x = 1 ;

ln(x) < 0⇔ 0 < x < 1 ;

ln(x) > 0⇔ x > 1 .

II.4 Représentation graphique de la fonction ln

Les courbes représentatives de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite d’équationy = x, ce qui donne :


O

e

1

e~i

~j

y=x

Cln

Cexp

bc

bc

bc bc

1

Les limites à retenir et déduites de celles de lafonction exponentielle par symétrie :

• limx→0

lnx = −∞

• limx→+∞

lnx = +∞

• limx→+∞

lnx

x= 0 (⋆)

EXERCICE 25 On considère la fonctionf : [1;+∞[−→ R

x 7−→ f(x) = ln(x)− 2√x

Réaliser l’étude de la fonction

f , en déduire que pour x > 1, 0 6ln(x)

x<

2√x

, puis démontrer la limite (⋆).

II.5 Propriétés de la fonction ln

Pour tous réels x et y strictement positifs et pour tout entier relatif n, on a :

Propriétés

• ln(xy) = ln(x) + ln(y) , démo : Se déduit de la propriété, eX+Y = eX × eY ,poser X = ln(x) et Y = ln(y)

• ln

(

1

x

)

= − ln(x) , démo : Se déduit de la propriété, e−X =1

eX, poser

X = ln(x).

• ln

(

x

y

)

= ln(x)− ln(y) démo : Utiliser les deux premières propriétés avec

x

y= x× 1

y

• ln (xn) = n ln(x) démo : Se déduit de la propriété enX = (eX)n, poserX = ln(x)

• ln ( n√x) =

1

nln(x) (n > 1) démo : Se déduit de la propriété e

Xn =

n√

eX ,

poser X = ln(x)

Exemple 70 Exprimer les nombres A = ln(36) et B = ln(2, 25) en fon tion de ln(2) et de ln(3).


II.6 Utilisation des propriétés de ln : résolution d’équation, d’inéquation

⊲ On considère l’équation (E) : ln(x2 + 4x+ 3) = ln(x+ 7) .

ln n’est définit que sur ]0;+∞[ donc quel est l’ensemble de définition de cette équation ?

(E) a d’éventuelles solutions⇔

· · ·· · ·

⊲ On considère l’inéquation (I) : ln(3x− 1) 6 2 , la résoudre.

⊲ On considère la fonction N définie sur [0;+∞[ par N(t) = N0e−λt où N0 et λ sont des constantes

positives. Déterminer, en fonction de λ, la valeur de t pour laquelle N(t) =1

2N0.

⊲ Soit n ∈ N. On pose pn = 1−(

5

8

)n

. Résoudre pn > 0, 99.

III Dérivée de ln(u) où u > 0 et dérivable sur I

Théorème

Soit u une fonction dérivable sur I et pour tout x de I, u(x) > 0.

La fonction ln u est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I, (ln u)′(x) =u′(x)u(x)

Exemple 71 Soit h : x 7−→ ln(4− x2). Sur quel intervalle I, h est-elle dérivable ? Cal uler h′(x) pour x ∈ I.

IV Croissance comparée. n ∈ N∗

⊲ Comparaison de xn et de ln(x) en +∞ : limx→+∞

ln(x)

xn= 0 . A comparer à : lim

x→+∞ex

xn= +∞ (L4)

⊲ Comparaison de xn et de ln(x) en 0 : limx→0

xn lnx = 0 . A comparer à : limx→−∞

xnex = 0 (L4)

Exemple 72 Cal uler limx→+∞

(x3 − lnx) et limx→1

lnx

x− 1.


∈


Chapitre 7

L’espace

SommaireI Positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

I.1 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70I.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70I.3 Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

II Parallèlisme dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71III Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

III.1 Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72III.2 Droite orthogonale à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

IV Vecteurs de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.1 Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.2 Caractérisation vectorielle d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.3 Repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

• © • © •

69

L 7 : L'espa e TS >2017/18

I Positions relatives de droites et de plans

I.1 Positions relatives de deux droites

Propriété

Deux droites d1 et d2 sont soit coplanaires (appartiennent à un même plan), soitnon coplanaires.

Exemple 73 :

H

C

E

DF

A

B

G

ABCDEFGH est un ube.

• Les droites (EG) et (FG) appartiennent au même plan . . . . . . . . . sont. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Les droites (AD) et (FG) appartiennent au même plan . . . . . . . . . sont. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Les droites (AD) et (GC) sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarque 25 Si deux droites ne sont pas coplanaires, alors elles ne sont ni sécantes, ni parallèles.

I.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan

DéfiÆnition

Parallélisme d’une droite avec un plan

P

Propriété Une droite d et un plan P sont soit sécants, soit parallèles.


Exemple 74 :

bI

H

C

E

DF

A

B

G


• La droite (GI) et le plan (ABC) sont

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• La droite (EG) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans le plan

(EFG).

• La droite (EG) et le plan (ABC) sont

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.3 Positions relatives de deux plans

Propriété Propriété : Deux plans P1 et P2 sont soit sécants, soit parallèles.

Exemple 75 :

H

C

E

DF

A

B

GABCDEFGH est un ube.

• Les plans (BCG) et (BCE) sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . suivant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Les plans (ABC) et (EFG) sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Parallèlisme dans l’espace

Théorème

P

P ′Q

d1

d2


Exemple 76 :

b

b

bJ

I

M

H

C

E

D

F

A

B

GConstruire la se tion d'un ube.

• Construire sur la gure i- ontre l'interse tion du plan

(IMJ) ave le ube ABCDEFGH .

Théorème« du toit »

d′∆

P

P ′

d

Exemple 77 :

b

b

bE

C

B

A

G

F

Appli ation du théorème du toit.

ABCD est une pyramide. Le segment [FG] est parallèle à

l'arête [BC]. E est un point du plan (ABC).• Construire en justiant, l'interse tion du plan (EFG)

ave la pyramide et l'interse tion des plans (ABC) et

(EFG).

III Orthogonalité dans l’espace

III.1 Droites orthogonales

DéfiÆnition

Propriété

Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonaleà l’une est orthogonale à l’autre.


Exemple 78 :

H

C

E

DF

A

B

G


• Les droites (EH) et (EF ) sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Les droites (BC) et (EF ) sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En eet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarque 26 :

• Deux droites perpendiculaires sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.2 Droite orthogonale à un plan

DéfiÆnition

Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si,elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.

Propriété

Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogo-nale à toutes les droites du plan.

Exemple 79 :

H

C

E

DF

A

B

GABCDEFGH est un ube.

• (AE) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . aux droites (AD) et . . . . . . . . . .

(AD) et (AB) sont sé antes et dénissent le plan (ABC) don

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• De plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 26 :

• d1 ⊥ d2, d1 ⊥ d3 et d2 ⊥ d3 ;• Le point H est l’orthocentre du triangle ABC ;

Montrer que (OH) est orthogonale au plan (ABC).

orthocentre


IV Vecteurs de l’espace

Propriétés

GÉNÉRALISATIONComme point de départ, on généralise les propriétés vues dans le plan concer-nant les vecteurs :

• −−→AB =−−→CD ⇔ ABDC parallélogramme ;

• Règles de calcul : pour tous réels k, k′ et tous vecteurs ~u,~v,k(k′~u) = kk′~u (k + k′)~u = k~u+ k′~u k(~u+ ~v) = k~u+ k~v ;

• ~u et ~v colinéaires⇔ il existe k ∈ R tel que ~v = k~u ;• Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs di-

recteurs colinéaires ;• Relation de Chasles et régle du parallélogramme (addition vectorielle) ;• M appartient à la droite d passant par A et de vecteur directeur ~u si et seule-

ment si il existe un réel t tel que−−→AM = t~u (dessin)

• . . .

IV.1 Vecteurs coplanaires

DéfiÆnition

Définition : Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si en traçant leurs re-présentants à partir d’un même point A, leurs extrémités sont coplanaires avecA.

Exemple 80 :

H

C

E

DF

A

B

G

ABCDEFGH est un ube. Citer trois ve teurs oplanaires ;

Deux ve teurs sont toujours oplanaires, ontrairement à deux droites.

Illustration : . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Citer trois ve teurs non oplanaires ;

IV.2 Caractérisation vectorielle d’un plan

Un plan est défini par trois points non alignés. Or si l’on considère 3 points non alignés, A, B et C,les vecteurs

−−→AB,

−→AC ne sont pas colinéaires.

DéfiÆnition

Cara té-

risation

Un plan est donc également défini par la donnée d’un point et de deux vecteursnon colinéaires appelés : vecteurs directeurs du plan

Ainsi, par exemple,−−→AB et

−→AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC),

•M ∈ (ABC)⇔ il existe des réels x et y tels que−−→AM = x

−−→AB + y

−→AC

Un point du plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires, définissent un repèredu plan de sorte que :

• −−→AM = x−−→AB + y

−→AC ⇔M a pour coordonnées (x; y) dans le repère (A;

−−→AB;

−→AC).

Ve teurs

Coplanaires

Soit ~u et ~v deux vecteurs non colinéaires. Les vecteurs ~u, ~v et ~w sont coplanaires

si et seulement si il existe des reéls x et y, tels que :

~w = x~u+ y~v

Remarque 27 Une droite d de vecteur directeur ~w est parallèle à un plan Pde vecteurs directeurs ~u et ~v si et seulement si ~u, ~v et ~w sont coplanaires. (dessin)


IV.3 Repères de l’espace

IV.3.1 Décomposition d’un vecteur

On retient :• Dans le plan, on peut décomposer tout vecteur sur 2 vecteurs non colinéaires ;• Dans l’espace, on peut décomposer tout vecteur sur 3 vecteurs non coplanaires.

Soit A,B,C et D quatre points non coplanairesde l’espace. Pour tout point M ,

• il existe des réels x, y, z tels que :−−→AM = x

−−→AB + y

−→AC + z

−−→AD ,

• Ce triplet est unique. (démontré en TD)

bb b

bb

b

B

A

D

CM

Compléter :−−→AM = . . .

−−→AB + . . .

−→AC + . . .

−−→AD

IV.3.2 Repérage de l’espace

DéfiÆnition

Définition : Un repère de l’espace est formé d’un point (origine) et de troisvecteurs non coplanaires.

D’après ce qui précède, en posant A = O,−−→AB =~i,

−→AC = ~j et

−−→AD = ~k, on en déduit :

Coordonnées

d'un

point

Soit(

O, ~i, ~j, ~k)

un repère de l’espace :

Pour tout point M de l’espace, il existe un triplet (x; y; z) de réels tels que

−−→OM = x~i+ y~j + z~k

On note M(x; y; z) ; Les trois nombres x(abscisse), y(ordonnée) et z(cote) sont lescoordonnées de M .

Pour tout vecteur ~u, il existe un point M tel que−−→OM = ~u (représentant), donc on peut

définir de manière analogue les coordonnées d’un vecteur.

Coordonnées

d'un

ve teur

Soit(

O, ~i, ~j, ~k)


Pour tout vecteur ~u, il existe un triplet (x; y; z) de réels tels que ~u = x~i + y~j + z~k.

On note ~u

xyz

.

Toute uÆne série de propriétés à onÆnaître pour traÆvailler aÆve les oordonÆnées de ve teurs.

Propriétés

Soit(

O, ~i, ~j, ~k)


• Si ~u

xyz

et ~v

x′

y′

z′

alors ~u+ ~v

x+ x′

y + y′

z + z′

et k~u

kxkykz

, ∀k ∈ R.

• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont pro-portionnelles.

• Si A(xA; yA; zA) et (xB ; yB; zB) alors−−→AB

xB − xAyB − yAzB − zA

et le milieu de [AB] a

pour coordonnées(

xA + xB2

;yA + yB

2;zA + zB

2

)


IV.3.3 Représentation paramétrique d’une droite

0 ~j

~k

~i

b

A(x0, y0, z0)

Droite d

Vecteur directeur −→u−→u

αβγ

Représentation paramétrique d’une droite

Le droite d passant par A(x0, y0, z0) et admet-tant le vecteur −→u comme vecteur directeur apour système d’équations paramétriques :

x = x0 + tαy = y0 + tβ t ∈ R

z = z0 + tγ

A une valeur du paramètre t, correspond ununique point de coordonnées (x, y, z) de d et ré-ciproquement.

Démonstration

Exemple 81

x = 4− 5ty = −2 + 2t t ∈ R

z = 1 + 3test une représentation paramétrique d'une droite d.

1. Donner un point A et un ve teur dire teur ~u de d : . . .

2. Quel point B obtient-on pour t = −1 ?

3. É rire

−−→AB en fon tion de ~u.

4. Le point C(−6; 2; 7) appartient-il à la droite d ?

IV.3.4 Représentation paramétrique d’un plan

0 ~j

~k

~i

b

A(x0, y0, z0)×

~u

αβγ

~v

α′

β′

γ′

Représentation paramétrique d’une droite

Le plan P passant par A(x0, y0, z0) et admettantles vecteur ~u et ~v comme vecteurs directeurs apour système d’équations paramétriques :

x = x0 + tα+ t′α′

y = y0 + tβ + t′β′ t, t′ ∈ R

z = z0 + tγ + t′γ′

A un couple de paramètres (t, t′), correspond ununique point de coordonnées (x, y, z) de P et ré-ciproquement.

Démonstration

Exemple 82 Soit R(−6; 2; 7), ~u

−123

et ~v

1−14

. Donner une représentation paramétrique du plan P passant par A

et dirigé par ~u et ~v


Chapitre 8

Calcul intégral

SommaireI INTÉGRALE d’une fonction continue et positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

I.1 Domaine associé à une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.2 Intégrale d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78I.3 Valeur moyenne d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

II Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 79III Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

III.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III.2 Ensemble de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79III.3 Primitive et condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III.4 Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III.5 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81III.6 Tableaux de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

IV Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV.2 Intégrales et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

V Calcul d’aires et de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82VI Annexe 1 : aire sous la courbe d’une fonction continue positive . . . . . . . . . . 84

VI.1 Aire sous la courbe d’une fonction affine par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . 84VI.2 Aire sous la courbe de la fonction carré entre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

VII Annexe 2 : tableau des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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77

L 8 : Cal ul iÆntégral TS >2017/18

I INTÉGRALE d’une fonction continue et positive

I.1 Domaine associé à une fonction positive

Le domaine D délimité par la courbe Cf , l’axe des abscisses, et lesdroites d’équations x = a et x = b est appelé domaine associé à unefonction positive sur [a; b].

D = M(x; y) tels que a 6 x 6 b et 0 6 y 6 f(x)Unité d’aire :

0

unite d′aire1

1 0

y = f(x)

Da b

Exemple 83 :

Voir Annexe 1 : Aire sous la ourbe d'une fon tion positive .

I.2 Intégrale d’une fonction continue positive

DéfiÆnition

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] avec a 6 b.On appelle intégrale de a à b de la fonction f l’aire du domaine associé à f sur[a; b], exprimée en unité d’aire.

Ce nombre est noté

∫ b

a

f(x) dx

⊲

∫ b

af(x) dx se lit « intégrale de a à b de f(x) dx ».

⊲ a et b sont les bornes de l’intégrale.⊲ la lettre x dans l’intégrale peut être remplacée par t, s, ...., c’est une variable muette.

de sorte que :

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(t) dt =

∫ b

a

f(s) ds = . . .

Exemple 84 :

Cal uler

∫ 2

0

2x+ 1 dx puis

∫ b

a

m dx où m ∈ R+et a 6 b.

I.3 Valeur moyenne d’une fonction continue positive

DéfiÆnition

Soit f une fonction continue et positive sur [a; b]avec a 6 b.La valeur moyenne de la fonction f sur [a; b] estle réel :

m =1

b− a

∫ b

af(t) dt (1)

0 a b

m

Cf


Interprétation graphique : L’aire du domaine associé à f sur [a; b] estégale à celle du rectangle de dimensions b− a et m.

II Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

f est une fonction continue sur [a, b] avec a 6 b. On appelle intégrale de a à b de f le nombre définide la façon suivante :

∗ Si f est négative sur [a, b] :

∫ b

a

f(s)ds = −aire(D)

Remarque 28 Une intégrale peut donc prendre une valeur

négative . . . . Calculer∫ 3

1−xdx.

∗ Si f est de signe quelconque sur [a, b] :

∫ b

af(s)ds = −aire(D1) + aire(D2)− aire(D3) + aire(D4)− aire(D5)

Remarque 29 Une intégrale peut être nulle sans que la fonc-

tion f soit la fonction nulle. Calculer∫ 3

−1(2x− 2) dx.

0

Cf

ba

D

0

Cf

ba

D1

D2

D3

D4

D5

III Primitives d’une fonction

III.1 Primitive

DéfiÆnition

D É F I N I T I O N : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelleprimitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I vérifiant pour tout x de I :

F ′(x) = f(x)

Exemple 85 :

Déterminer une primitive des fon tions suivantes dénies sur R :

f : x 7−→ x g : x 7−→ x3 h : x 7−→ xn (n ∈ N)

Primitives des fon tions suivantes dénies sur ]0; +∞[ :

f : x 7−→ 1√x

g : x 7−→ 1

xh : x 7−→ e

−x

Exer i es du livre : 30 à 36 page 220.

III.2 Ensemble de primitives

Théorème

T H É O R È M E : Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalleI.

⊲ Quel que soit k ∈ R, la fonction G : x 7−→ F (x) + k est aussi une primitivede f sur I.

⊲ Toute primitive de f sur I s’obtient en ajoutant une constante réelle à uneprimitive quelconque de f .


~i

~j

intervalle I0

CFprimitives de f sur I

b (x0; y0)

III.3 Primitive et condition initiale

Théorème

Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I.Soit x0 unréel de I et y0 un réel quelconque.Alors il existe une unique primitive F de f sur I vérifiant la conditionF (x0) = y0.

Traduction graphique :

EXERCICE 27 : Soit a un nombre réel. On définit la fonction H sur [0;+∞[ par H(x) =2

3x√x+ a.

1. Prouver que H est une primitive de x 7−→ √x sur [0;+∞[.

2. Déterminer la primitive de la fonction racine carrée qui vaut 1 en 1.

III.4 Intégrale et primitive

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un nombre de I.

La fonction F : x 7−→∫ x

af(t)dt est une primitive de f sur I.

C’est l’unique primitive de f qui s’annule en a.

Démonstration difficile (seulement dans le cas d’une fonction continue croissante et positive sur I)

Exercices du livre : 69 à 73 page 223.

Conséquence : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.


III.5 Théorème fondamental du calcul intégral

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant a et b. On a le résulatcapital suivant :

∫ b

af(t)dt = G(b)−G(a) où G est une primitive quelconque de f sur I.

Notation : le nombre G(b)−G(a) se note [G(t)]ba

Démonstration :

• © • © •

Exemple 86 Cal uler

∫ π

0

sin(u)du puis

∫ 1

−1

1

2s+ 3ds

III.6 Tableaux de primitives

Tableaux donné en ANNEXE 2.

Exemple 87 Cal uler I =

∫

e

2

e

1

t ln tdt ; K =

∫ 1

0

s√

s2 + 1ds et L =

∫

e

1

ln s

sds

IV Propriétés de l’intégrale

IV.1 Propriétés

Propriétés

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant a et b.

Pour tout a de I :∫ a

af(t)dt = 0

Pour tous a, b et c de I :∫ c

af(t)dt+

∫ b

cf(t)dt =

∫ b

af(t)dt

Si a 6 b :∫ b

af(t)dt = −

∫ a

bf(t)dt

α et β deux réels :∫ b

a[αf(t) + βg(t)]dt = α

∫ b

af(t)dt+ β

∫ b

ag(t)dt

Exemple 88 Cal uler

∫ 1

0

5e2x + 3xex2

dx


IV.2 Intégrales et inégalités

Propriétés

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b] avec a 6 b.

Positivité : Si f > 0 sur [a, b], alors :∫ b

af(t)dt > 0 .

Intégration d’une inégalité : Si f > g sur [a, b], alors :∫ b

af(t)dt >

∫ b

ag(t)dt .

Inégalités de la moyenne :

• Si pour tout x de [a, b], m 6 f(x) 6 M alors m(b− a) 6

∫ b

af(t)dt 6 M(b− a)

• Si pour tout x de [a, b], |f(x)| 6 M alors

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(t)dt

∣

∣

∣

∣

6 M(b− a)

EXERCICE 28 On pose, pour n > 1, In =

∫ 1

0tne−tdt

Sans calculer In :

1. Étudier le sens de variation de la suite (In) ;

2. Déterminer, à l’aide d’un encadrement, la limite de la suite (In).

V Calcul d’aires et de volumes

Théorème

Soit f et g deux fonctions conti-nues sur I, a et b deux réels de Itels que a 6 b.

Lorsque f 6 g sur [a, b], l’airedu domaine D délimité par lescourbes Cf et Cg et les droitesd’équations x = a et x = b secalcule avec :

aire(D)=∫ b

a(g(t) − f(t))dt

~i

~j

0 a b

Cg

Cf

D

Exemple : Aire du domaine entre les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus et lesdroites d’équations x = 0 et x = π.

~i

~j

0


~j

~k

~i0

bcote b

bcote a

bt

Plan : z = t Section S(t)

Soit un solide délimité par les plans d’équationsrespectives z = a et z = b.

Tout plan d’équation z = t, avec t ∈ [a, b] coupe cesolide suivant une section d’aire S(t), en unitésd’aire.

Lorsque S est une fonction continue de t, on admetque le volume V du solide est, en unités de volume :

V =

∫ b

aS(t)dt

Appli ation : Volume d’une boule de rayon R.


VI Annexe 1 : aire sous la courbe d’une fonction continue positive

Soit f une fonction définie par :

f(x) =

1 si x ∈[

−2;−1

2

[

5

2si x ∈

[

−1

2; 2

[

1

2si x ∈ [2; 3]

Tracer la courbe Cf représentant f et calculer l’aire du domainesitué sous la courbe entre l’axe des abscisses et les droites d’équa-tions x = −2 et x = 3.

0 ~i

~j

VI.1 Aire sous la courbe d’une fonction affine par morceaux

f est une fonction affine par morceaux représentée ci-contre. Cf

est la courbe représentative de f sur [−1; 2].

On note AD l’aire du domaine situé entre l’axe des abscisses, lacourbe Cf et les droites d’équations x = −1 et x = 2.

1. En utilisant les rectangles hachurés, donner la valeur del’aire Am qui minore AD (Am < AD).

2. En utilisant les rectangles en pointillés, donner la valeur del’aire AM qui majore AD (AM > AD).

3. En utilisant des triangles et des trapèzes, calculer la valeurexacte de AD.

0b

b

b

b

~i

~j

VI.2 Aire sous la courbe de la fonction carré entre 0 et 1

Il s’agit de calculer l’aire A

O

1

1

y = x2

A

pré-requis :

12 + 22 + .... + n2 =n(n+ 1)(2n + 1)

6

Soit n un entier (n > 1). On partage le segment [0, 1] en n segments de

longueur1

n.

On construit des rectangles comme sur le schéma ci-contre et on appelle :

• in la somme des aires des rectangles construits au-dessous de lacourbe (hachurés)

• sn la somme des aires des rectangles construits au-dessus de lacourbe (coloriés)

Quel encadrement de A peut-on écrire ?

1

O1

y = x2

1

n

2

n........ n− 1

n

1. En utilisant le pré-requis, donner l’expression de in en fonction de n.

2. Par des considérations graphiques, en déduire l’expression de sn en fonction de in et de n.

3. En utilisant l’encadrement de A et un théorème important, donner la valeur de A.

Remarque 30 On pourrait démontrer également que (in) est croissante et que (sn) est décroissante.


VII Annexe 2 : tableau des primitives usuelles

Fonction f Fonction primitive F Intervalle

x 7−→ a, a ∈ R∗ x 7−→ ax+K R

x 7−→ xn, n ∈ N x 7−→ xn+1

n+ 1+K R

x 7−→ 1

xx 7−→ ln |x|+K ]−∞, 0[ ou ]0,+∞[

x 7−→ 1

xn= x−n, n ∈ N \ 0, 1 x 7−→ x−n+1

−n+ 1+K =

1

(−n+ 1)xn−1+K ]−∞, 0[ ou ]0,+∞[

x 7−→ 1√x

x 7−→ 2√x+K ]0,+∞[

x 7−→ xα, α > 0 x 7−→ xα+1

α+ 1+K ]0,+∞[

x 7−→ ex x 7−→ ex +K R

x 7−→ eax+b avec a ∈ R∗, b ∈ R x 7−→ 1

aeax+b +K R

x 7−→ cos x x 7−→ sinx+K R

x 7−→ sinx x 7−→ − cos x+K R

x 7−→ sin(ax+ b) avec a ∈ R∗, b ∈ R x 7−→ −1

acos(ax+ b) +K R

x 7−→ cos(ax+ b) avec a ∈ R∗, b ∈ R x 7−→ 1

asin(ax+ b) +K R

x 7−→ 1 + tan2(x) =1

cos2(x)x 7−→ tan x+K ] − π

2 + kπ; π2 + kπ[avec k ∈ Z

Si la primitive cherchée n’est pas dans le tableau précédent, utiliser le tableau suivant où u est unefonction usuelle dérivable sur un intervalle.

Fonction Fonction primitive Intervalle

u′un avec n ∈ Nun+1

n+ 1+K intervalle contenu dans Du

u′

un= u′u−n avec n ∈ N et n > 2

u−n+1

−n+ 1+K =

1

(−n+ 1)un−1+K intervalle contenu dans Du ∩ x tq u(x) 6= 0

u′√u

2√u+K intervalle contenu dans Du ∩ x tq u(x) > 0

u′uα avec α ∈ R+∗ uα+1

α+ 1+K intervalle contenu dans Du

u′eu eu +K intervalle contenu dans Du

u′

uln |u|+K intervalle contenu dans Du



Chapitre 9

Nombres complexes (partie 2)

SommaireI Module et Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.2 Propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

II Notation Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II.2 FORMULES de MOIVRE et D’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

III Nombres complexes en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91III.1 Module et argument de l’affixe d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

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87

L 9 : Nombres omplexes (2) TS >2017/18

I Module et Argument d’un nombre complexe

Tout point M du plan peut être repéré par un couple de coordonnéespolaires (r, θ) (r > 0, θ réel)

• r est la distance OM ;• θ est une mesure de l’angle (~u,

−−→OM).

Lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires :(r, θ) est un couple de coordonnées polaires de M et (x, y) les coordon-nées cartésiennes de M :

0 ~u

~v

bM

r = OM

θ

On a : x = rcosθ et y = rsinθ ⇔ r =√

x2 + y2 et cos(θ) =x

r, sin(θ) =

y

r.

I.1 Définition

DéfiÆnition

D É F I N I T I O N : Soit z un nombre complexe non nul, M le point d’affixe z et(r, θ) un couple de coordonnées polaires de M . On décide des termes suivants :

• r est le module de z et cela se note r = |z| ;

• θ est un argument de z et cela se note θ =arg(z)[2π] ;

I.2 Propriétés :

• z = x+ iy, on a : |z| =√

x2 + y2 ou encore |z|2 = x2 + y2 = zz

• Soit M d’affixe z, arg(z) = (−→u ;−−→OM) (2π)

• Pour tout réel x, le module de x est la valeur absolue de x et :⊲ si x > 0, arg(x) = 0 (2π) ;

⊲ si x < 0, arg(x) = π (2π) ; (dessin)

• z 6= 0, z imaginaire pur⇔ arg(z) = ±π

2(2π) (dessin)

• |z| = |z| et arg(z) = −arg(z) (2π) ; (dessin)

• | − z| = |z| et arg(−z) = π+arg(z) (2π) ; (dessin)

Exemple 89 Cal uler le module et l'argument de z1 = 1 + i, z2 = 1 + i

√3, z3 = −3i et z4 = 2+ 3i


Tableau récapitulatif des propriétés vérifiées par module et argument :Quels que soient les nombres complexes z et z′ (z′ 6= 0) :

Produit |z × z′| = |z| × |z′| arg(zz′) =arg(z)+arg(z′) (2π)

Puissance |zn| = |z|n arg(zn) = narg(z) (2π)

Inverse

∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z| arg(

1

z

)

= −arg(z) (2π)

Quotient∣

∣

∣

z

z′

∣

∣

∣=|z||z′| arg

( z

z′

)

=arg(z)−arg(z′) (2π)

Conjugue |z| = |z| arg(z) = −arg(z) (2π)

Oppose | − z| = |z| arg(−z) = π+arg(z) (2π)

I.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Théorème

Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme

z = r(cosθ + i sinθ) où r = |z| et θ =arg(z) (2π).

Ré iproquement : Si un nombre complexe non nul z s’écrit sous la formez = r(cosθ + isinθ) avec r > 0 alors |z| = r et arg(z) = θ (2π).

L’écriture z = r(cosθ + i sinθ) s’appelle la forme trigonométrique de z.

EXERCICE 29 1. Quelle est la forme trigonométrique de z1 = −1 + i√3.

2. z2 est un nombre complexe de module 3 et d’argument −π

4. Quelle est la forme algébrique de z2 ?

3. z3 = −3(cos θ + i sin θ). z3 est-il écrit sous forme trigonométrique ?

Remarque 31 Soit z = r(cosθ + isinθ) et z′ = r′(cosθ′ + i sinθ′) deux nombres complexes. Alors, on a :• zz′ = rr′(cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′)) ;

• z

z′=

r

r′(cos(θ − θ′) + i sin(θ − θ′)) (z′ 6= 0) ;

Exemple 90 d'utilisation de la forme trigonométrique :

1. Cal uler (1 + i

√3)5 ;

2. Déterminer une forme trigonométrique de

−√3 + i

−1− i

.

3. Déterminer une forme trigonométrique de (√3 + 3i)(3− i

√3).

EXERCICE 30 On considère le nombre complexe :

z = 1−√3 + i (1 +

√3)

1. Écrire z2 sous forme algébrique.

2. Déterminer le module et un argument de z2.

3. Indiquer le signe de la partie réelle de z et celui de la partie imaginaire, puis, à l’aide des pro-priétés sur module et arguments, déterminer le module et un argument de z.

4. Déduire de ce qui précéde les lignes trigonométriques de7π

12, puis de

π

12.


II Notation Exponentielle

II.1 Notation

Si l’on pose f(θ) = cosθ + isinθ, la remarque 1 prouve que f(θ + θ′) = f(θ)× f(θ′)De plus si l’on applique la formule de la dérivée d’une somme à la fonction f = cos + i sin, on obtient :f ′(θ) = if(θ), d’où par analogie avec les relations vérifiées par l’exponentielle, on définit :

DéfiÆnition Pour tout réel θ, on pose ei θ = cosθ + i sinθ

Conséquences :

• Tout nombre complexe z non nul, de module r et d’argument θ s’écrit

z = rei θ : cette écriture est appelée forme exponentielle de z etré iproquement, de la même manière qu’avec la forme trigonométrique : siz = rei θ et r > 0, alors |z| = r et arg(z) = θ[2π].

• (important) |ei θ| = 1 et arg(ei θ) = θ[2π].

• Grâce aux propriétés des formes trigonométriques (th.2.) vues précédem-ment, l’exponentielle complexe possède des propriétés qui rappellent cellesde l’exponentielle réelle :

ei θ × ei θ′ = ei (θ+θ′) ;ei θ

ei θ′ = ei (θ−θ′) ; (ei θ)n = einθ ; ei θ = e−i θ .

EXERCICE 31 :Écrire les nombres suivants sous forme algébrique : ei π

6 et 4ei π4 .

Donner la forme exponentielle des nombres suivants : 1 ; −1 ; i ; −i ;1

2+ i

√3

2; 1 + i ; (1− i )8.

II.2 FORMULES de MOIVRE et D’EULER

ForÆmules

Formules de MOIVRE : Pour tout θ et tout entier n :

• (cosθ + i sinθ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) (reformulation de (ei θ)n = einθ)

• (cosθ − i sinθ)n = cos(nθ)− i sin(nθ) (changement en −θ dans la formuleprécédente)

Formules d’EULER :

Pour tout réel θ : cosθ =ei θ + e−i θ

2et sinθ =

ei θ − e−i θ

2i


III Nombres complexes en géométrie

III.1 Module et argument de l’affixe d’un vecteur

Soit ~w un vecteur d’affixe z~w et A le point tel que−→OA = ~w.

D’après ce qui précède, z~w = z−→OA

= zA − zO = zA carzO = 0, donc nous avons :

|z~w| = |zA| = OA = ||~w||arg(z~w) = arg(zA) = (~u,

−→OA) = (~u, ~w)[2π]

0 ~u

~v

bA

r = OA

θ

~w

III.1.1 ⊲ Module et argument de zB − zA

Propriétés

A et B sont deux points d’affixes respectives zA et zB dans le plan complexe repérépar (O ; ~u,~v) orthonormé. On a :

|zB − zA| = AB

démonstration : ......

Exemple 91 Soit A(1 − 2i), B(3 + 2i) et C(−3). Quelle est la nature du triangle ABC ?

=⇒ Utilisation dans la recherche d’ensemble de points :

• M(z) vérifie |z − z1| = r (r > 0). On pose ......

• M(z) vérifie |z − z1| = |z − z2|. On pose ......

Exemple 92 Quel est l'ensemble des points M(z) qui vérient |z + 3i| = |z − 1 + i| ?

Propriété

A et B sont deux points d’affixes respectives zA et zB dans le plan complexe repérépar (O ; ~u,~v) orthonormé direct. On a :

arg(zB − zA) = (−→u ;−−→AB) (2π)


Exemple 93 Soit A(−2 − 2i), B(3 + 3i). Cal uler (−→u ;−−→BA).

Remarque 32 Il faudra être vigilant car |zB − zA| = |zA − zB | en effet AB = BA maisarg(zB − zA) 6=arg(zA − zB).A vérifier .......


III.1.2 Module et argument de zD−zCzB−zA

Propriété

Soit ~w et ~w′ des vecteurs non nuls d’affixes respectives z~w et z ~w′, on a :

arg

(

zw′

zw

)

= (w, w′) (2π)


Propriétés :

Soit w et w′ des vecteurs non nuls d’affixes respectives z~w et z ~w′.

• w et w′ colinéaires⇔ zw′

zwréel ;

• w et w′ orthogonaux⇔ zw′

zwimaginaire pur .

Exemple 94 d'utilisation :

A,B,C et D sont quatre points deux à deux distin ts d'axes respe tives zA, zB, zc et zD. Exprimer en fon tion d'un angle

orienté de ve teurs arg

(

zD − zCzB − zA

)

. Exprimer

∣

∣

∣

∣

zD − zCzB − zA

∣

∣

∣

∣

en fon tion de AB et CD.

Propriété

En résumé, pour quatre points quelconque A,B,C et D (B 6= A)

∣

∣

∣

∣

zD − zCzB − zA

∣

∣

∣

∣

=CD

ABet arg

(

zD − zCzB − zA

)

= (−−→AB;

−−→CD) (2π)

Remarque 33 En particulier,

∣

∣

∣

∣

zC − zAzB − zA

∣

∣

∣

∣

=. . . . . .

. . . . . .et arg

(

zC − zAzB − zA

)

= ...................... (2π)

EXERCICE 32 Reprendre l’exemple 90 et prouver, en utilisant la relation avec les angles orientés devecteurs que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.


Chapitre 10

Les probabilités continues

SommaireI Vers les lois continues, analyse d’une situation concrète . . . . . . . . . . . . . . . 94

I.1 Notion de densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95I.2 Loi de probabilité associée à une fonction de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . 95I.3 Espérance d’une variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

II Exemples de lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96II.1 Loi uniforme sur [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96II.2 Loi exponentielle ou loi de durée de vie sans vieillissement . . . . . . . . . . . . . 97II.3 Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98II.4 Variable aléatoire centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

• © • © •

93

L 10 : Lois de probabilité à densité TS >2017/18

I Vers les lois continues, analyse d’une situation concrète

Expérien e : On lan e un dé équilibré jusqu'à e qu'il tombe sur la fa e 6.

Soit X la variable aléatoire orrespondant au nombre d'étapes pour que le dé tombe sur 6 pour

la première fois.

1. X peut-il être égal à 10 ? à 20 ? Comment décririez-vous X(Ω) correspondant aux valeurs possiblesprises par la variable X ?

2. Soit k un entier naturel. Décrire par une phrase l’événement (X = k).

3. Pour tout entier naturel k, donner l’expression de la probabilité de l’événement (X = k).

4. Simulation : On simule un grand nombre de lan ers du dé (1 million de fois) et on tra e

l'histogramme des fréquen es observées des valeurs de X

5. On a d’autre part tracé une courbe qui « approxime » cet histogramme. À quel type de courbe faitpenser cete courbe ? On fait l’hypothèse que la courbe est celle d’une fonction définie par

f : x 7→ λe−λx où λ est un nombre réel.

Déterminer à l'aide du graphique une valeur appro hée de λ et al uler une valeur appro hée

de la probabilité que le nombre d'étapes pour obtenir 6 soit ompris entre 5 et 10. (dessin)


I.1 Notion de densité de probabilité

DéfiÆnition

Définition : Dans le cas d’une variable aléatoire continue (la variable prend uneinfinité de valeurs), l’histogramme des fréquences est remplacé par une courbe(C) représentative d’une fonction f possédant les trois propriétés suivantes :

• f est positive sur R ;• f est continue par morceaux sur R ; (avec éventuellement des points de dis-

continuité)

•∫ +∞

−∞f(t) dt = 1.

La fonction f est la densité de probabilité de la variable aléatoire X.

Remarque 34 Le troisième point mérite une explication à cause des bornes infinies de l’intégrale. Ilfaut comprendre,

∫ +∞

−∞f(t) dt = lim

y→−∞

∫ a

yf(t) dt+

∫ b

af(t) dt+ lim

x→+∞

∫ x

bf(t) dt (a et b dépendant de la fonction de densité)

Vérifier que la fonction f : x 7−→

0 si x < 0λe−λx si x > 0

définie sur R est une fonction de densité associée à

une variable aléatoire.

1 2 3−1−2−3−4

0,1

I.2 Loi de probabilité associée à une fonction de densité

DéfiÆnition

Soit f une fonction densité de probabilité associée à une variable aléatoire X défi-nie sur R.On définie une loi de probabilité p de la manière suivante :

• p(X ∈ [a; b]) =

∫ b

af(t) dt (a<b)

• p(X ∈ [a; +∞[) =

∫ +∞

af(t) dt (comprendre lim

x→+∞

∫ x

af(t) dt)

Remarque 35 :1. L’événement (X ∈ [a; b]) se note aussi (a 6 X 6 b).

Ainsi, on écrira indifféremment p(X ∈ [a; b]) , p(a 6 X 6 b) .

2. L’événement (X ∈ [a; +∞[) se note aussi (X > a).Ainsi, on écrira indifféremment p(X ∈ [a; +∞[) , p(X > a) .

On notera que p(X > a) = 1− p(X < a) car (X > a) et (X < a)

sont des événements contraires.

3. ∀a ∈ R, p(X = a) = 0. En loi continue, la probabilité « ponc-tuelle » est nulle.

4. p(X > a) = p(X > a).

Exemple 95 :

On admet que la fon tion x 7→ 1

2e

−|x|est une densité de probabilité.

Cal uler p(0 6 X 6 5]) et p(X > 5).


I.3 Espérance d’une variable aléatoire continue

Propriété

Une variable aléatoire X suit une loi de probabilité continue sur R.

L’espérance mathématique de X est donnée par la formule : E(X) =

∫ +∞

−∞tf(t) dt.

La variable aléatoire admet une espérance si l’intégrale « existe » (intégrale conver-gente). Ce sera toujours le cas au lycée.

Remarque 36 L’intégrale∫ +∞

−∞tf(t) dt est convergente signifie que

∫ +∞

−∞tf(t) dt = lim

y→−∞

∫ a

ytf(t) dt+

∫ b

atf(t) dt+ lim

x→+∞

∫ x

btf(t) dt = ℓ (ℓ nombre réel)

II Exemples de lois continues

II.1 Loi uniforme sur [a; b]

DéfiÆnition

Définition : Une variable aléatoire X suit une loi continue uniforme sur [a; b] (a 6=b) si, et seulement si, X a pour densité de probabilité la fonction f définie par :

∀t ∈ [a; b], f(t) =1

b− afon tion onstante

∀t ∈ R− [a; b], f(t) = 0

EXERCICE 33 Calculer l’espérance mathématique d’une variable aléatoire X qui suit une loi uni-forme sur [a; b].

Si a 6 c 6 d 6 b, Calculer p(X ∈ [c; d]).

Exemple 96 Le hoix d'un nombre dans un intervalle [a; b] est modélisé par la loi uniforme sur [a; b]. Si l'on onsidère par

exemple, la loi uniforme sur [0; 1]. On note X la variable aléatoire égale au hoix du nombre.

• Quelle est la probabilité de hoisir le nombre 0.234 ?

• Comparer p([0.25; 0.4]) et p([0.751; 0.901]).

• Quelle est la probabilité que l'événement (√X > 0.5) soit réalisé ?

Remarque 37 Au deuxième point, on trouve comme probabilités la longueur desintervalles car la loi uniforme est considérée sur [0; 1]. Que se passe t-il sur [0; 2] ?


EXERCICE 34 On onsidère que le temps d'attente T à un gui het, en minutes, est une variable

aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [0; 20].

1. Déterminer la probabilité qu'une personne arrivant au gui het attende entre inq minutes

et un quart d'heure à e gui het.

2. Déterminer la probabilité qu'une personne attende plus d'un quart d'heure à e gui het.

3. Déterminer le temps d'attente moyen que peut espérer une personne arrivant à e gui het.

II.2 Loi exponentielle ou loi de durée de vie sans vieillissement

DéfiÆnition

Définition : Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ(λ > 0) sur [0;+∞[ si, et seulement si, X a pour densité de probabilité la fonctionf définie par :

∀t ∈ [0;+∞[, f(t) = λe−λt

∀t ∈]−∞; 0[, f(t) = 0

EXERCICE 35 Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ sur [0;+∞[. Ré-pondre aux questions suivantes :

• [c; d] est inclus dans [0;+∞[. Calculer p(X ∈ [c; d]).

• a > 0. Calculer p(X < a).

• Calculer p(X ∈]a; +∞[).

Propriété

Propriété : Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de para-mètre λ

Pout tous réels positifs t et h, p(T>t)(T > t+ h) = p(T > h).

Démonstration

Commentaires importants

Propriété

Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de

paramètre λ vaut1

λ.

Démonstration : Chercher une primitive de t 7−→ λte−λt sous la forme F (t) = (mt+ n)e−λt.


EXERCICE 36 Une variable aléatoire X suit

une loi exponentielle de paramètre λ > 0.Déterminer λ sa hant que

p(1 6 X 6 2) =1

4.

En déduire la valeur de p(X > 1).

EXERCICE 37 Le temps d'attente, en se ondes, à la aisse d'un magasin

est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.

1. Sa hant que la probabilité d'attendre moins de 3 minutes à la

aisse est de 0,835, déterminer la valeur de λ à 10−2près.

2. En déduire la probabilité d'attendre moins d'une minute à la

aisse.

3. Quel est le temps moyen d'atente à ette aisse ?

II.3 Lois normales

II.3.1 Loi normale centrée réduite

1. Une nouvelle densité de probabilité sur R

Propriété

Propriété : Soit f la fonction définie sur R par :

f(t) =1√2π

e−t2/2

est continue, positive sur R et vérifie∫ +∞

−∞f(t) dt = 1. (au sens vu dans la

remarque 1.)f est donc une fonction densité de probabilité sur R.

2. La loi N (0; 1)

DéfiÆnition

Définition : La loi de probabilité ayant pour densité de probabilité la fonctionf définie sur R par

f : t 7−→ 1√2π

e−t2/2

s’appelle la loi normale centrée réduite, notée N (0;1).

Dire que X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduiteN (0; 1), signifie que pour tous réels a et b tels que a < b, on a :

p(X ∈ [a; b]) =

∫ b

a

1√2π

e−t2/2 dt.

0a b

p(X ∈ [a; b])

3. Paramètres de la loi N (0; 1)

−→ Espérance : On rappelle que E(X) =

∫ +∞

−∞tf(t) dt.

En pratique, on calcule dans le cas d’une N (0; 1),∫ x

−x

t√2π

e−t2/2 dt (x > 0) et l’on fait tendre x

vers +∞.

−→ Variance : On admet que si X suit une N (0; 1) alors V (X) = 1 et donc σ(X) = 1

4. Propriétés


Propriétés

Soit f définie sur R, la fonction densité de N (0; 1)• L’aire totale sous la courbe de f est égale à 1 : elle représente

p(X ∈]−∞; +∞[).

0

aire = 1

• La fonction f est paire donc Cf symétrique par rapport à l’axe des or-données.

• L’aire sous la courbe sur [0;+∞[ est égale à1

2.

0

aire = 1/2

• Pour tout réel u, p(X 6 −u) = p(X > u) = 1− p(X 6 u)

0

p(X 6 u)

−u u ,,

5. Calcul de probabilités

On ne connaît pas de primitive explicite de la fonction t 7−→ 1√2π

e−t2/2. On utilisera donc la cal-

culatrice pour obtenir des estimations des résultats (voir document calculatrices)

EXERCICE 38 X suit une loi normale N (0; 1).

(a) Déterminer une valeur approchée de p(X 6 0, 59).

(b) Déterminer une valeur approchée de p(0, 1 6 X 6 0, 2).

(c) Déterminer une valeur approchée de p(X > 0, 4).

6. Nombre uα

Théorème

Soit X une variable aléatoire suivant une N (0; 1), ∀α ∈ [0; 1], il existe ununique nombre uα tel que

p(−uα 6 X 6 uα) = 1− α


Démonstration : ∀u > 0, p(−u 6 X 6 u) = . . . . . .

0

1− α

−uα uα

1−α2

1−α2

,

,

Valeurs de uα à connaître

α 1− α uα Interprétation

0,05 0,95 1,96 p(−1, 96 6 X 6 1, 96) ≈ 0, 95

0,01 0,99 2,58 p(−2.58 6 X 6 2.58) ≈ 0, 99

II.4 Variable aléatoire centrée réduite

La plan he de Galton est un dispositif onstitué d'une plaque

ontenant n rangées disposés en quin on es sur lesquels

arrivent des billes. En arrivant sur un plot, haque bille a

une han e sur deux de partir à droite ou à gau he.

En bas de la plaque, les billes arrivent dans des ba s

numérotés de 0 à n suivant le nombre de fois qu'elles sont

allées à gau he ou à droite au ours de leur des ente.

←− Ci- ontre une plan he de Galton de dix rangées.

1. On note X la variable aléatoire égale au numéro du ba dans lequel arrive une bille donnée.

En supposant que les dépla ements d'une rangée à l'autre sont indépendants, déterminer

la loi de X.

2. On suppose n = 20 et que l'on fait l'expérien e ave 200 billes. Quelle est la valeur

de l'espéran e E(X) et de l'é art-type σ(X) ?.

3. On pose Z = X−10√5. On dit que l'on a entré et réduit la variable X. Déterminer l'ensemble

des 21 valeurs prises par la variable (compléter le tableau)

Z = . . . −10√5

4. On a simulé l'expérien e et l'on obtient le graphique suivant :

https://www.youtube. om/wat h?v=6YDHBFVIvIs


https://www.youtube.com/watch?v=6YDHBFVIvIs

II.4.1 Théorème de Moivre-Laplace

Soit Xn une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n; p). Si on fixe la valeur de p et que l’onfait augmenter n, l’histogramme représentant les valeurs prises par Xn semble se rapprocher d’unecourbe « en cloche ».

En revanche, si on considère la variable aléatoire Zn =Xn − np

√

np(1− p), on s’aperçoit que, quelle que soit

la valeur de n choisie, la courbe « en cloche » associée à Zn semble toujours la même (hauteur, étale-ment, symétrie par rapport à l’axe des ordonnées). On dit que la variable Xn a été centrée et réduite.

Théorème

Soit Xn une variable aléatoire suivant une B(n; p). On pose Zn =Xn − np

√

np(1− p),

variable centrée et réduite associée à Xn.Alors, pour tous réels a et b, a < b, on a :

limn→+∞

p(Zn ∈ [a; b]) =

∫ b

a

1√2π

e−t2/2 dt

II.4.2 La loi normale N (µ;σ2)

DéfiÆnition

Définition : Dire qu’une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2) signifie

que la variable aléatoire Z =X − µ

σsuit la loi normale N (0; 1).

L’espérance de X est alors µ et sa variance σ2.

Démonstration : A partir de E(aX + b) = aE(X) + b et V (aX + b) = a2V (X).

Remarque 38 La loi normaleN (µ;σ2) est une loi continue de probabilité à densité, il existe donc une

fonction g défine sur R, continue et positive telle que, pour tous a < b, on ait p(a 6 X 6 b) =

∫ b

ag(t) dt.

L’expression de g : t 7−→ 1

σ√2π

e−1

2

(

x− µ

σ

)2

n’est pas au programme.

Intervalles « un, deux, trois sigma » :

µ

µ− σ µ+ σ

p(µ− σ 6 X 6 µ+ σ) ≈ 0, 68

µ− 2σ µ+ 2σ

µ− 3σ µ+ 3σ


EXERCICE 39 :

Sur une haîne d'embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en L) de liquide fournie

par la ma hine pour remplir haque bouteille de ontenan e 110 L peut être modélisée par une

variable aléatoire de loi normale de moyenne µ et d'é art-type σ = 2.La législation impose qu'il y ait moins de 0,1% de bouteilles ontenant moins d'un litre.

1. A quelle valeur moyenne µ doit-on régler la machine pour respecter cette législation ?solution : µ ≈ 106, 18

2. La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors la probabilité qu’une bouteille dé-borde lors du remplissage ?solution : ≈ 0, 028

3. Le directeur de la coopérative veut qu’il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordent au risquede ne pas suivre la législation.

(a) Quelle est alors la valeur de µ ?solution : µ ≈ 105, 34

(b) Quelle est alors, dans les conditions de la question précédente, la probabilité que la bouteillecontienne moins d’un litre ?solution : ≈ 0, 0038

(c) La législation n’étant plus respectée, déterminer µ et σ afin qu’il y ait mloins de 0,1% de bou-teilles de moins d’un litre et moins de 1% de bouteilles qui débordent.solution : µ et σ solutions d’un système d’inéquations.


Chapitre 11

Produit scalaire dans l’espace

SommaireI Produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

I.1 Extension à l’espace du produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . 104I.2 Extension de l’expression dans un repère orthonormé (O;~i;~j;~k) . . . . . . . . . . 104I.3 Produit scalaire et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105I.4 Orthogonalité : méthodes générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

II Plan dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106II.1 Vecteur normal à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106II.2 Équation cartésienne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107II.3 Exercices importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

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103

L 11 : Produit s alaire daÆns lespa e TS >2017/18

I Produit scalaire dans l’espace

I.1 Extension à l’espace du produit scalaire dans le plan

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : Soit ~u et ~v deux ve teurs de l'espa e et A,B et C trois

points tels que ~u =−−→AB et ~v =

−→AC alors il existe au moins un plan P

ontenant A,B et C.

On définit le produit s alaire ~u ~v de ~u par ~v omme étant le produit

s alaire ~u ~v dans le plan P vu en lasse de première.

(dessin)

On peut ainsi étendre à l’espace des expressions et propriétés du produit scalaire dans le plan, cequi donne les propriétés suivantes :

Avec le projeté orthogonal :

A B

C

H

• −→u −→v = −→u

−→v′ où

−→v′ est le projeté orthogonal de −→v sur −→u .

Ainsi, si −→u =−−→AB, −→v =

−→AC et

−→v′ =

−−→AH

−−→AB

−→AC =

−−→AB

−−→AH = ±AB ×AH (± : « plus ou moins »)

Avec le cosinus (−→u et −→v non nuls) :

−→u −→v = ||−→u || × ||−→v || cos((−→u ,−→v ))

Autrement dit, si A 6= B et si A 6= C,−−→AB

−→AC = AB ×AC × cos(BAC).

Avec les normes :

−→u −→v =

1

2

(

||−→u +−→v ||2 − ||−→u ||2 − ||−→v ||2)

=1

2

(

||−→u ||2 + ||−→v ||2 − ||−→u −−→v ||2)

Ce qui s’écrit aussi, avec le deuxième partie de la formule :−−→AB

−→AC =

1

2

(

AB2 +AC2 −BC2)

I.2 Extension de l’expression dans un repère orthonormé (O;~i;~j;~k)

Théorème

Soit −→u

xyz

et −→v

x′

y′

z′

alors dans le repère orthonormé (O;~i;~j;~k), le produit scalaire de −→u par −→v est égalà

−→u −→v = xx′ + yy′ + zz′

Distan e : si A(xA; yA) et B(xB ; yB) alors

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2


Propriétés du produit scalaire :

• −→u −→v = −→v

−→u

• (k−→u ) −→v = k(−→u −→v ) = −→u (k−→v ) où k ∈ R

• −→u (−→v +−→w ) = −→u −→v +−→u

−→w

• (−→u +−→v )2 = ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2−→u −→v

• (−→u −−→v )2 = ||−→u −−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 − 2−→u −→v

• (−→u +−→v ) (−→u −−→v ) = ||−→u ||2 − ||−→v ||2

I.3 Produit scalaire et orthogonalité

DéfiÆnition

Deux ve teurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit s alaire

est nul.

I.3.1 Orthogonalité de deux droites

Propriété

Soit deux droites d1 et d2 de vecteurs directeurs ~u1 et ~u2.

d1 et d2 sont orthogonales si et seulement si ~u1 ~u2 = 0

EXERCICE 40 Dans un repère orthonormé,on considère les pointsA(1;−1; 0), B(−1;−2;−1) etC(3;−1; 1).Calculer

−−→AB

−→AC, puis AB et AC ; en déduire une valeur approchée à 0, 1 près de l’angle (

−−→AB;

−→AC).

Solution :

−−→AB

xB − xA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .yB − yA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .zB − zA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

et−→AC

xC − xA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .yC − yA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .zC − zA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

donc−−→AB

−→AC = . . . . . . . . .

AB = ||−−→AB|| = . . . . . . . . . AC = ||−→AC|| = . . . . . . . . .

cos((−−→AB;

−→AC)) =

−−→AB

−→AC

AB ×AC= . . . . . . . . . d’où (

−−→AB;

−→AC) = . . . . . . . . .

• © • © •

EXERCICE 41 :

H

C

E

DF

A

B

G

On considère un cube ABCDEFGH. On choisit un repère de l’espace orthonormé lié au cube :(A;

−→AB;

−−→AD;

−→AE)

1. Montrer que la droite (EC) est orthogonale aux droites (BD) et (BG).

2. Qu’en déduit-on pour la droite (EC) et le plan (DBG) ?

Démar he :

Écrire les coordonnées des points E,C,B,D et G. Puis calculer, les coordonnées des vecteurs−−→EC,

−−→BD et

−−→BG.

• −−→EC

−−→BD = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .,

Que peut-on en déduire : les vecteurs−−→EC et

−−→BD sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . et les droites

. . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• −−→EC

−−→BG = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .,

Que peut-on en déduire : les vecteurs−−→EC et

−−→BG sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . et les droites

. . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Qu’en déduit-on pour la droite (EC) et le plan (DBG) ?

• © • © •

EXERCICE 42 ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a. (Toutes les fa es sont des triangles équilatéraux (angles

π3))

1. Calculer−→AB

−−→CB et

−→AB

−−→BD.

2. Montrer que (AB) et (CD) sont orthogonales.

Démar he :


1.−→AB

−−→CB =

−→BA

−−→BC =

formule cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . .

−→AB

−−→BD = −−→

BA −−→BD =

formule cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.−→AB

−−→CD =

−−→CD=

−−→CB+

−−→BD

. . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclure

I.4 Orthogonalité : méthodes générales

I.4.1 Orthogonalité de deux droites

Propriété

Propriété : Deux droites d1 et d2 de vecteurs directeurs ~u1 et ~u2 sont orthogonalessi et seulement si ~u1 ~u2 = 0

Exemple 97 On onsidère les droites d1 et d2 dénies de la façon suivante :

• d1 passe par A(4; 1;−5) et B(6; 4; 5) ;

• d2 dont une représentation paramétrique est

x = 4ty = 1− 6t , t ∈ R

z = −3 + t. d1 et d2 sont-elles orthogonales ?

Méthode : Coordonnées de ~u1 ve teur dire teur de d1 et de ~u2 un ve teur dire teur de d2. Ee tuer le produit s alaire

~u1 ~u2.

Con lure.

I.4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Propriété

Propriété : Une droite d de vecteur directeur ~ud est orthogonale à un plan P devecteurs directeurs ~vP et ~wP si et seulement si ~ud. ~vP = 0 et ~ud. ~wP = 0

Exemple 98 On onsidère les droites d et le plan P dénis de la façon suivante :

• P dont une représentation paramétrique est

x = 6 + 2t− 4t′

y = 5 + 3t− t′ , t, t′ ∈ R

z = −1 + 10t;

• d dont une représentation paramétrique est

x = 4ty = 1− 6t , t ∈ R

z = −3 + t. d est-elle orthogonale à P ?

Méthode : Coordonnées de ~ud vecteur directeur de d et de ~vP et ~wP deux vecteurs directeurs de P.Effectuer les produits scalaires ~ud ~vP et ~ud ~wP .Con lure.

II Plan dans l’espace

II.1 Vecteur normal à un plan

DéfiÆnition

Définition : Un vecteur ~n non nul est normal à un plan P si et seulement si il estorthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de P. (dessin)

Conséquences :• Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs qui dirigent le plan ;


• Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.

Propriétés

−→ Deux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal de l’unest colinéaire à un vecteur normal de l’autre. (dessin)

−→ Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normalde l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre. (dessin)

Exemple 99 Déterminer un ve teur normal à un plan onnaissant 3 points du plan :

Soit (O;~i;~j;~k) un repère orthonormé. A(1; 2; 3), B(−2; 4; 5) et C(−3; 1;−1).Prouver que A,B et C dénissent un plan et trouver les oordonnées d'un ve teur normal au plan (ABC).

Solution :

−−→AB

xB − xA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

yB − yA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

zB − zA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

et

−→AC

xC − xA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

yC − yA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

zC − zA =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

don

−−→AB et

−→AC ne sont pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar leurs oordonnées ne sont pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( justifi ation :

. . .

. . .6= . . .

. . .)

Les points A,B et C dénissent bien un plan.

On pose ~n

abc

un ve teur normal du plan (ABC).

~n est normal au plan (ABC)⇔

~n −−→AB = 0

~n −→AC = 0

⇔2 quations,3 inconnues

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Plusieurs ve teurs normaux sont possibles, on hoisit l'une des oordonnées a, b ou c ; le système pré édent devient un

système de deux équations à deux in onnues. Con lure.

• © • © •

II.2 Équation cartésienne d’un plan

Soit A un point d’un plan P. On a donc, pour tout point M de P,−−→AM .~n = 0. Réciproquement, si un

point M vérifie−−→AM .~n = 0, alors M est dans le plan P.

Conséquen e : Le plan P qui passe par A et de vecteur normal ~n est l’ensemble des pointsM de l’espace tels que

−−→AM .~n = 0

(dessin)

0 ~j

~k

~i

b

−d

c

b

A(xA, yA, zA)

Plan P

Vecteur normal −→n

−→n

abc

:Dans le repère R = (O;~i;~j;~k), tout plan P admet uneéquation de la forme :

ax+ by + cz + d = 0 (avec a, b et c non tous nuls)

et réciproquement l’ensemble des points M(x; y; z)tels que ax+ by + cz + d = 0 est un plan de vecteur

normal ~n

abc

.


Exemple 100 :

Donner une équation du plan P passant par A(−2, 1, 3) et de ve teur normal ~n

2−61

II.3 Exercices importants

1. Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan :

Dans un repère orthonormé (O;~i;~j;~k), on considère la droite (AB) où A(1; 2;−1) et B(0; 1; 3) et leplan P d’équation x+ y + z − 1 = 0. Prouver que (AB) coupe le plan P. Préciser en quel point.

2. Déterminer la droite d’intersection de deux plans :

Dans un repère orthonormé (O;~i;~j;~k), on considère les plans P et Q d’équations respectivesx − 3y + 2z = 5 et 2x + y + 7z = 1. Prouver que P et Q sont sécants et détermienr une repré-sentation paramétrique de leur droite d’intersection.


Chapitre 12

Echantillonnage, estimation

SommaireI Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

I.1 Mise en place de la notion d’intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . 110I.2 Intervalle de fluctuation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

II Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113II.1 Principe de l’étude d’un caractère C dans une population P . . . . . . . . . . . . 113II.2 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113II.3 Intervalle de fluctuation ou Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

• © • © •

109

L 12 : E haÆntillonÆnage et estiÆmation TS >2017/18

I Intervalle de fluctuation

On schématise de la façon suivante :

Contexte : Dans une certaine population, la pro-portion d’individus présentant le caractère C est p.Que peut-on dire de la fréquence f de C sur unéchantillon aléatoire de taille n ?

Population

Caractère C

de proportion p

connue ou

supposée connue

Échantillon

de taille n

Fréquence f

de C ?

I.1 Mise en place de la notion d’intervalle de fluctuation

I.1.1 Définition

Soit Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n; p) et α un réel de l’intervalle ]0; 1[. On

pose Fn =Xn

nla variable aléatoire fréquence du succès.

DéfiÆnition

Définition : Tout intervalle [a; b] tel que : P (Fn ∈ [a; b]) > 1−α peut-être considérécomme un intervalle de fluctuation de Fn au seuil de 1− α

Remarque 39 L’intervalle [0; 1] est-il un intervalle de fluctuation ? ...

I.1.2 Intervalles de fluctuation vus au lycée

• En Seconde : Vous avez vu, que sous les conditions 0, 3 < p < 0, 7, un intervalle de fluctuation

de la variable Fn =Xn

nau seuil de 95% est l’intervalle :

[

p− 1√n; p+

1√n

]

• En première : On rechercher l’intervalle qui « symétrise » les probabilités que Xn soit à l’ex-térieur. En pratique, on cherche le plus petit entier a pour lequel P (Xn 6 a) est strictementsupérieur à 0,025 et le plus petit entier b pour lequel p(Xn 6 b) est supérieur ou égal à 0,975. On

prend alors comme intervalle de fluctuation de Fn =Xn

nl’intervalle :

[

a

n;b

n

]

Remarque 40 D’autres intervalles de fluctuation sont possibles, on peut par exemple prendre celuiqui a une amplitude minimale, ou le plus petit intervalle centré sur l’espérance de Fn. (E(Fn) = p)

EXERCICE 43 On joue à Pile ou Face avec une pièce truquée telle que P (Pile) = 0, 3. On la lance 100fois et on note X100 la variable aléatoire qui compte le nombre de Pile. X100 suit une . . . . . . . . . . Donnertrois intervalles I100 de fluctuation de F100 au seuil de 95% et calculer la probabilité des événementsF100 ∈ I100 pour chacun de ces intervalles.

I.2 Intervalle de fluctuation asymptotique

I.2.1 Retour sur le théorème de Moivre-Laplace

Théorème : Soit Xn une variable aléatoire suivant une B(n; p). On pose Zn =Xn − np

√

np(1− p), variable centrée

et réduite associée à Xn.


Alors, pour tous réels a et b, a < b, on a :

limn→+∞

P (Zn ∈ [a; b]) =

∫ b

a

1√2π

e−t2/2 dt = P (Z ∈ [a; b]) où Z suit la loi N (0; 1)

I.2.2 Retour sur le nombre uα

Théorème et Définition : Soit Z une variable aléatoire suivant une N (0; 1), ∀α ∈ [0; 1], il existe un uniquenombre uα tel que

P (−uα 6 Z 6 uα) = 1− α

Valeurs de uα à connaître

α 1− α uα Interprétation

0,05 0,95 1,96 P (−1, 96 6 Z 6 1, 96) ≈ 0, 95

0,01 0,99 2,58 P (−2.58 6 Z 6 2.58) ≈ 0, 99

0

1− α

−uα uα

1−α2

1−α2

,

I.2.3 Intervalle de fluctuation asymptotique

Théorème

Soit α ∈]0; 1[ et Xn une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n; p).La probabilité que Fn prenne ses valeurs dans l’intervalle

In = . . .

se rapproche de . . . . . . . . . quand la taille de l’échantillon devient grande. On note. . ..

Démonstration : Xn une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n; p).

1. Écrire M.L avec a = −uα et b = uα.

2. « Revenir » à la variable Xn dans P (Zn ∈ [−uα;uα]).

3. Conclure

Remarque 41 ⊲ Lorsqu’une suite (un)n∈N converge vers ℓ, pour n « assez grand » le terme un derang n constitue une approximation de ℓ.Ici, la situation est inverse, la suite (P (Fn ∈ In))n>1 admet 1− α comme limite. On doit se poserla question du choix de conditions pour lesquelles P (Fn ∈ In) est « proche » de 1− α.


Les conditions communément admises sont :

n > 30, np > 5, n(1− p) > 5

On peut don sous es onditions, dire que P (Fn ∈ In) est quasiment égal à 1− α.

De sorte que, l’intervalle In =

[

p− uα

√

p(1− p)√n

; p + uα

√

p(1− p)√n

]

est un intervalle de fluctua-

tion « approchée » de la variable fréquence Fn =Xn

nau seuil 1− α. (au sens vu au I.1.1)

Approchée, en effet, car la suite de terme général P(

Xn

n∈ In

)

n’est pas monotone, on ne peut

pas savoir si la probabilité de l’intervalle est supérieure ou inférieure à la limite 1− α.

⊲ Pour n = 44 et p = 0, 5, l’intervalle In continent celui de 1S ; il contient donc plus de 95% desfréquences d’échantillons de taille 44.Pour n = 60 et p = 0, 5, l’intervalle In est inclus dans celui de 1S : peut-être contient-il moins de95% des fréquences observées sur des échantillons de taille 60 !

DéfiÆnition

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire Fn =Xn

nau

seuil 1−α est un intervalle déterminé à partir de p et de n et qui contient Fn avecune probabilité d’autant plus proche de 1− α que n est grand.

Ainsi d'après le théorème vu en I.2.3, l'intervalle

In =

[

p− uα

√

p(1− p)√n

;p+ uα

√

p(1− p)√n

]

est un intervalle de flu tuation asymptotique de Fn au seuil 1− α.

I.2.4 Exemple d’utilisation

On admet que dans la population d’enfants de 11 à 14 ans d’un département français le pourcentaged’enfants ayant eu une crise d’asthme dans leur vie est de 13%.Un médecin d’une ville de ce département est surpris du nombre important d’enfants le consultantayant eu une crise d’asthme et en informe les services sanitaires. Ceux-ci décident d’entreprendre uneétude et d’évaluer la proportion d’enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d’asthme.Il sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.

La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieure à la

borne supérieure de l'intervalle de flu tuation asymptotique au seuil de 95% alors une investigation

plus omplète sera mise en pla e afin de re her her les fa teurs de risques pouvant expliquer

ette proportion élevée.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de jeunes de11 à 14 ans ayant eu une crise d’asthme dans un échantillon de taille 100. (vérifier au préalableque les conditions d’utilisation de l’expression de l’intervalle sont réalisées : schéma de Bernoulliet conditions avec n et p)

2. L’étude réalisée auprès de 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjà eu des crises d’asthme.Que pouvez-vous en conclure ?

3. Le médecin n’est pas convaincu par cette conclusion et déclare que le nombre de jeunes interrogéesétait insuffisant pour mettre en évidence qu’il y avait plus de jeunes ayant eu des crises d’asthmedans sa ville que dans le reste du département. Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu’uneproportion observée de 19% soit en dehors de l’intervalle de fluctuation asymptotique ?


II Estimation

II.1 Principe de l’étude d’un caractère C dans une population P

Deux méthodes sont possibles :

• La méthode exhaustive qui consiste à recenser tous les individus de la population. Cette méthode,en raison de son coût et de sa durée, est fort peu employée.

• La méthode des sondages qui consiste à n’étudier qu’un échantillonE, extrait de la population, et àinduire, à partir des résultats observés sur cet échantillon des résultats concernant la populationentière. La difficulté est d’obtenir un échantillon représentatif de la population. Nous admettronsqu’en réalisant un tirage au sort, cette condition est réalisée.

Contexte : La fréquence d’individus présentant lecaractère C sur un échantillon de taille n est f .Que peut-on dire de la proportion p de C dans lapopulation ?

PopulationProportion p

du caractère C ?

Échantillonde taille nFréquence fde C connue

II.2 Intervalle de confiance

II.2.1 Principe général

Étant donné une proportion p inconnue, la procédure d’estimation consiste à utiliser les informa-tions recueillies dans un échantillon sélectionné de manière aléatoire pour obtenir la valeur de la va-riable Fn destinée à fournir une estimation de p. Cette estimation va varier d’un échantillon à l’autre,il est donc nécessaire d’apprécier l’incertitude en fournissant une estimation par intervalle, appeléintervalle de confiance de p.

Propriété

Xn est une variable qui suit une loi binomiale B(n; p) et on note Fn =Xn

n.

Ob suppose que n > 30, np > 5, n(1− p) > 5.

p est une proportion inconnue (∈]0; 1[), l’intervalle[

Fn −1√n;Fn +

1√n

]

contient

pour n assez grand, la proportion p avec une probabilité environ égale à 0,95.

Démonstration :

1. n > 30, np > 5, n(1− p) > 5. En utilisant l’intervalle de fluctuation asymptotique du paragrapheprécédent, prouver que

P

(

p− 1√n6

Xn

n6 p− 1√

n

)

≈ 0, 95.

2. En déduire que P

(

Fn −1√n6 p 6 Fn −

1√n

)

≈ 0, 95 ce qui se traduit en disant que l’intervalle

aléatoire[

Fn −1√n: Fn +

1√n

]

a une probabilité approximativement égale à 0,95 de contenir p, ou encore

environ 95% des intervalles[

Fn −1√n: Fn +

1√n

]

contiennent p.


II.2.2 Application

On calcule une fréquence f à partir d’un échantillon de taille n, on détermine l’intervalle[

f − 1√n; f +

1√n

]

.

DéfiÆnition

Cet intervalle est appelé intervalle de confiance de la proportion p inconnue auniveau de confiance 0,95.

Remarque 42 En réalisant le tirage d’un échantillon, on obtient un intervalle de confiance de la pro-portion inconnue p au niveau de confiance de 0,95.Ainsi, à chaque choix d’échantillon, on obtient un intervalle de confiance différent.

Exemple 101 : Estimation à partir d'un é hantillon.

A et B sont andidats à une éle tion. La population semble partagée entre les deux andidats. Un journal dé ide de réaliser

un sondage sur un é hantillon de 900 personnes et onstate que 468 sont favorables à A. Que devrait-il dire à ses le teurs ?

Exemple 102 : Dans un urne ontenant des boules rouges et bleues en proportions in onnues, on ee tue des tirages au

hasard ave remise.

1. Après avoir ee tué 100 tirages, on ompte 52 boules rouges et 48 boules bleues. Donner un intervalle de onan e

à 95% de la proprotion p de boules rouges dans l'urne.

2. Combien faudrait-il, au minimum, ee tuer de tirages pour obtenir un intervalle de onan e à 95% de longueur

inférieure ou égale à 0,02 ?

II.3 Intervalle de fluctuation ou Intervalle de confiance

Règle générale :

⊲ On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la population est connue ousi l’on fait une hypothèse sur sa valeur : on prend alors une décision sur cette hypothèse.(exercice corrigé page 409)

⊲ On utilise un intervalle de confiance lorsque l’on veut estimer une proportion inconnue dansune population.(exercice 8 résolu page 414)

intervalle de fluctuation intervalle de confiancep connue p inconnue

n > 30, np > 5, n(1− p) > 5 n > 30, np > 5, n(1− p) > 5

Asymptotique au seuil 1− α Au niveau de confiance 95%

IF =

[

p− uα

√

p(1− p)√n

; p + uα

√

p(1− p)√n

]

IC =

[

f − 1√n; f +

1√n

]

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