CPE 332CPE 332Computer Computer
Engineering Engineering Mathematics IIMathematics II
Part III, Part III, Chapter 11 ODEChapter 11 ODE
Today Topics• Chapter 11 Ordinary Differential
Equation• HW 10 Due
Differential Equation• เป็นสมการทางคณิตศาสตร ์ท่ีประกอบด้วย
Derivative (หรอื Integral)– Solution ของสมการคือ Function ท่ีไมม่ ี
Derivative หรอื Integral ปรากฏอยู่• รูปแบบทัว่ไปคือ (First Order)
– dy/dx = f(x,y)– กรณีพเิศษท่ี dy/dx = f(x) เราสามารถแก้สมการโดยใช้
การ Integrate• dy = f(x)dx• y = f(x)dx = F(x) + C : ค่า C สามารถหาได้โดยการ
กำาหนด Initial condition– ปกติการแก้สมการทัว่ไปไมส่ามารถใช ้Integrate ได้
Example 1• Solve for 4,2;3 2 yxx
dxdy
Example 1• Solve for 4,2;3 2 yxx
dxdy
Solution) (General
3
3
3
2
2
Cxy
dxxy
dxxdy
Example 1• Solve for 4,2;3 2 yxx
dxdy
4
424
4y2,xSolution) (General
3
3
3
3
3
2
2
xy
CC
Cxy
dxxy
dxxdy
Differential Equation• ค่า Order สงูสดุของ Derivative จะ
กำาหนด Order ของ Differential Equation– จำานวน Initial Condition ท่ีจะต้องใชจ้ะเท่ากับ
ค่าของ Order ของสมการ
Example 2
]23[2
2]23[
223
022]3[
022][
42
),(),( Find42:),(
2
3
32
32
32
33
23
23
xyyx
dxdy
yxxydxdy
yxdxdy
dxdyxy
xdxdyy
dxdyxy
dxdxx
dxdy
dxdxyy
dxdx
dxdxyxy
dxd
yxFdxdyxfxyxyyxF
Example 2• แก้สมการ
]23[2),( 2
3
xy
yxyxfdxdy
dxxy
yxy
dxxy
yxdy
]23[2
]23[2
2
3
2
3
Integrate ไมไ่ด้
Differential Equation• Tools ทางคณิตศาสตรท์ี่สำาคัญสำาหรบัใชใ้น
การแก้ปัญหา Differential Equation– Laplace Transform (one side/two side)– Fourier Transform ใชไ้ด้เชน่กัน– Z-Transform ใชส้ำาหรบัแก้ปัญหา Discrete
Version ของ Differential Equation• คือ Differential Equation ท่ีได้จากการสุม่ตัวอยา่ง
ของตัวแปร• กรณีนี้เราเรยีก Difference Equation
– ทัง้หมดนี้อยูใ่นเน้ือหาวชิา CPE 308
Differential Equation• บทน้ีเราจะมาด ูNumerical Method
สำาหรบัใชใ้นการแก้สมการ Differential Equation– เราจะจำากัดอยูท่ี่ First Order และ Initial
Condition ท่ีจุดตัง้ต้น– เป็นสมการของ Ordinary Differential
Equation• One Independent Variable
– สามารถดัดแปลงสำาหรบั Higher Order ได้– กรณีท่ีเป็น Boundary Condition จะต้องใช้
วธิอ่ืีน • ศึกษาเพิม่เติมได้จาก Reference
Chapter 10• Ordinary Differential Equation
ODE
ODE
ODE
ODE: One Step Method
0x
0x
0y1y
2y3y 4y
1x 2x 3x 4x
h
ODE: One Step Method
Euler’s Method
Euler’s Method
Euler’s Method
Euler’s Method
Euler’s Method
Euler’s Method
Heun and Polygon Method
Heun Method
Heun Method
Heun Method
Heun and Polygon Method
Heun Method
Heun and Polygon Method
Heun Method
Heun Method
Improved Polygon Method
Improved Polygon Method
Runge-Kutta Method
Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Second Order Runge-Kutta Method
Third Order Runge-Kutta Method
Third Order Runge-Kutta Method
Forth Order Runge-Kutta Method
Forth Order Runge-Kutta Method
Higher Order Runge-Kutta Method
Comparison
Chapter 11 Homework (HW 11)
• Download และทำาใน Sheet
End of Chapter 11• Next Week
– Ch. 12 Curve Fitting (ไมม่ใีน Text)– HW 12– Last Chapter
• Course ENDs