CPE 332CPE 332Computer Computer

Engineering Engineering Mathematics IIMathematics II

Part III, Part III, Chapter 11 ODEChapter 11 ODE

Today Topics• Chapter 11 Ordinary Differential

Equation• HW 10 Due

Differential Equation• เป็นสมการทางคณิตศาสตร ์ท่ีประกอบด้วย

Derivative (หรอื Integral)– Solution ของสมการคือ Function ท่ีไมม่ ี

Derivative หรอื Integral ปรากฏอยู่• รูปแบบทัว่ไปคือ (First Order)

– dy/dx = f(x,y)– กรณีพเิศษท่ี dy/dx = f(x) เราสามารถแก้สมการโดยใช้

การ Integrate• dy = f(x)dx• y = f(x)dx = F(x) + C : ค่า C สามารถหาได้โดยการ

กำาหนด Initial condition– ปกติการแก้สมการทัว่ไปไมส่ามารถใช ้Integrate ได้

Example 1• Solve for 4,2;3 2 yxx

dxdy

Example 1• Solve for 4,2;3 2 yxx

dxdy

Solution) (General

3

3

3

2

2

Cxy

dxxy

dxxdy

Example 1• Solve for 4,2;3 2 yxx

dxdy

4

424

4y2,xSolution) (General

3

3

3

3

3

2

2

xy

CC

Cxy

dxxy

dxxdy

Differential Equation• ค่า Order สงูสดุของ Derivative จะ

กำาหนด Order ของ Differential Equation– จำานวน Initial Condition ท่ีจะต้องใชจ้ะเท่ากับ

ค่าของ Order ของสมการ

Example 2

]23[2

2]23[

223

022]3[

022][

42

),(),( Find42:),(

2

3

32

32

32

33

23

23

xyyx

dxdy

yxxydxdy

yxdxdy

dxdyxy

xdxdyy

dxdyxy

dxdxx

dxdy

dxdxyy

dxdx

dxdxyxy

dxd

yxFdxdyxfxyxyyxF

Example 2• แก้สมการ

]23[2),( 2

3

xy

yxyxfdxdy

dxxy

yxy

dxxy

yxdy

]23[2

]23[2

2

3

2

3

Integrate ไมไ่ด้

Differential Equation• Tools ทางคณิตศาสตรท์ี่สำาคัญสำาหรบัใชใ้น

การแก้ปัญหา Differential Equation– Laplace Transform (one side/two side)– Fourier Transform ใชไ้ด้เชน่กัน– Z-Transform ใชส้ำาหรบัแก้ปัญหา Discrete

Version ของ Differential Equation• คือ Differential Equation ท่ีได้จากการสุม่ตัวอยา่ง

ของตัวแปร• กรณีนี้เราเรยีก Difference Equation

– ทัง้หมดนี้อยูใ่นเน้ือหาวชิา CPE 308

Differential Equation• บทน้ีเราจะมาด ูNumerical Method

สำาหรบัใชใ้นการแก้สมการ Differential Equation– เราจะจำากัดอยูท่ี่ First Order และ Initial

Condition ท่ีจุดตัง้ต้น– เป็นสมการของ Ordinary Differential

Equation• One Independent Variable

– สามารถดัดแปลงสำาหรบั Higher Order ได้– กรณีท่ีเป็น Boundary Condition จะต้องใช้

วธิอ่ืีน • ศึกษาเพิม่เติมได้จาก Reference

Chapter 10• Ordinary Differential Equation

ODE

ODE

ODE

ODE: One Step Method

0x

0x

0y1y

2y3y 4y

1x 2x 3x 4x

h

ODE: One Step Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Euler’s Method

Heun and Polygon Method

Heun Method

Heun Method

Heun Method

Heun and Polygon Method

Heun Method

Heun and Polygon Method

Heun Method

Heun Method

Improved Polygon Method

Improved Polygon Method

Runge-Kutta Method

Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Second Order Runge-Kutta Method

Third Order Runge-Kutta Method

Third Order Runge-Kutta Method

Forth Order Runge-Kutta Method

Forth Order Runge-Kutta Method

Higher Order Runge-Kutta Method

Comparison

Chapter 11 Homework (HW 11)

• Download และทำาใน Sheet

End of Chapter 11• Next Week

– Ch. 12 Curve Fitting (ไมม่ใีน Text)– HW 12– Last Chapter

• Course ENDs