Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Korrelation und Asset Value Ansatz
Portfoliokreditrisko Seminar
CreditMetrics
17. Oktober 2007Robert Schilling
Seminarleitung: PD Dr. Rafael WeißbachUniversität Mannheim
2
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Schätzungder
Korrelationen
Schätzungder
Volatilität
VaR des Portfolios bezüglich Kreditrisiken
Berechnungdes
Exposures
3
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Inhalt
1. Abhängigkeiten
2. Portfolioeffekte beim Kreditrisiko
3. CreditMetrics
4. Asset Value Modell
5. Faktormodell
6. Beispiel: Pfizer und Allianz
Schluss
4
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Abhängigkeiten
Existenz von Korrelation bei Kreditausfällen?Businessmodelle jeder Firma einzigartig?
Beobachtete Ausfälle bzw. Ratingänderungen anhand historischer Zeitreihendaten
Vergleich der credit events verschiedener Schuldner zu gleichem Zeitpunkten
Indizien für Abhängigkeiten?Gemeinsame Ursachen/Ereignisse: Konjunktur, Finanzkrisen, etc.
Indizien für Unabhängigkeit der Bonitätsänderungen? z.B. stabile Häufigkeit von Defaults über die Zeit (für eine Vielzahl an beobachteten Unternehmen, Stichprobe ausreichend groß)
5
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Historische Ausfallraten
Realität/Evidenz: Existenz von Abhängigkeiten, signifikant größer Null(Moody‘s oder S&P default rate statistics)
Quelle: Moody‘s 1970-1995 1-year default rates and volatilities (Carty & Lieberman [96a]). JPMorgan – CM TechnicalDocument
• Problem: u.a. Beobachtungszeitraum und Konjunktur
6
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Direkte gemeinsame Ratingänderung
• Gemeinsame Ratingänderungen, historisch (1.234 Firmen, 40 Quartale)
• Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten (in %):
Bsp.: 2 Schuldner, P (BBB BBB und A A) = 0.787
Quelle: JPMorgan – CM Technical Document
7
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Portfolioeffekte bei der Modellierung des Kreditrisikos
• Kreditrisiko prob(„credit event={ugrade, downgrade, default}) > 0
• Messung des Kreditrisikos: messbare stochastische Faktoren, die die Eintrittswahrscheinlichkeit und die Größe des Kreditrisikos determinieren
• Korrekte Modellierung des Portfoliokreditrisikos verlangt Beachtung gemeinsamer Stochastik der gesamten Risikofaktoren
- „perfektes“ Modell muss alle Abhängigkeiten beinhalten
- Ausfallkorrelationen der KN, Recovery Rates Korrelationen, Korrelation Recovery und Ausfallwahrscheinlichkeit , …
• Praxis: Beschränkung der Analyse von Korrelationseffekten auf stochastische Abhängigkeiten innerhalb der möglichen credit events
⇔
8
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
• CreditMetrics: Konzentration auf Korrelationen von möglichen Credit events{Ratingänderung, Default}, Ausschluss möglicher Abhängigkeiten der recovery rates oder Exposures – Annahme der Unabhängigkeit!
• Argument: Extreme Ratingänderungen (Bonitätszustandsänderungen) wie bei Eintritt Default – Zustand mit extremen Wertänderungen verbunden
höchste Relevanz für Portfoliowert:Ausfallkorrelation bzw. der Eintritt gemeinsamer Ausfälle mehrerer Schuldner eines Portfolios
• Auswirkungen der Höhe der Korrelation: Value at Risk sehr sensitiv auf Korrelation
9
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Credit Metrics
• Basis Ratingsystem
– Schuldner mit Einzelrating– Ermitlung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für Veränderungen des
Portfoliowerts– Am Risikohorizint T – Risiko: Ratingänderungen der Schuldner zum Riskohorizont T– Credit Event: {default, upgrade, downgrade}
• Interessierende Größen für den Portfoliowert
1.) Umweltzustände = {(Kombination der Ratingzustände der KN)}
(siehe letzte Woche: Bonität/Rating bestimmt CreditSpreadPresentValue Verfahren zur Bewertung)
2.) Eintrittswahrscheinichkeiten der Umweltzustände
• Ziel: Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Veränderung des Portfoliowertes zum Risikohorizont T infolge Bonitätsänderungen
10
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Asset Value Modell
Asset Value Modell (Unternehmenswertmodell) nach Merton (1974)
• Indirekter Ansatz • Modellierung gemeinsamer Wahrscheinlichkeiten von Ratingänderungen• Mögliche credit events: {upgrade, downgrade, default}• Keine historischen Daten mehr nötig
Ansatz:• Unternehmen bestehend aus
Assets (Aktiva) und Liabilities (Verbindlichkeiten)
-Assets--Liabilities-
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Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Idee
1. Annahme Existenz eines jedem credit event zugrunde liegenden Prozesses
Erklärung für einzelne RatingänderungErklärung gemeinsamer Ratingänderungen
Vorteil: Prozess beobachtbar und erklärbar(i. Ggs. zum Vorgehen direkter Beobachtungen von Ausfallhäufigkeiten)
2. Schätzung der den Prozess bestimmenden Parameter
Resultat: Änderung Unternehmenswert Änderung Bonität bzw. Rating
Verbesserte Schätzung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit von Bonitätszustandsänderungen
12
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
• Vereinfachung: credit events: {default, non default}
• Implikation Unternehmenswert:
Am Risikohorizont T gilt:
a) b)
-Assets--Liabilities-
-Assets--Liabilities-
Assets > liabilities Assets < liablities(Zahlungsunfähigkeit)
credit event: no default credit event: non default
13
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Erweiterung: Interesse an verschiedenen Bonitätszuständen eines Schuldners zwischen default und non default zum Risikohorizont T
Ziel: Bestimmung ratingadäquater Wertintervalle der Assetrealisationen in T
UnternehmenswertT
Ausgangs-rating BB
Max. Schwankungsbreite damit keine Ratingänderung
Quelle: nach JPMorgan – CM Technical Document
14
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Bestimmung der Renditegrenzen• Verteilungsannahme: Aktivarenditen (0,1) nv. • Wahrscheinlichkeitsmasse unter kritischer Renditegrenze
= Ausfallwahrscheinlichkeit gemäß Rating• Adäquat für alle Ratingänderungen
Beispiel: Ausgangsrating BBB und Übergangswahrscheinlichkeiten (T)• Vorgabe historischer Übergangswahrscheinlichkeiten (1 Jahr) je Rating• Annahme homogener Schuldner je Rating
• RBBB default als gesuchte kritische Ausfallrendite• gegeben: P(BBB Default)=0.0018• Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung:
N-1 (P=0.0018) = - 2.9112 (RBBB default)
~
15
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Ratingänderung ohne Default
• gegeben: P (BBB CCC)=0.0012• P( RBBB default<R< RBBB CCC ) = P( -2.9112<R< RBBB CCC)
N (RBBB CCC) – N (RBBB default )= N (RBBB CCC) – N (-2.9112)= 0.0012
N (RBBB CCC) = 0.0012 + N(-2.9112) = 0.0012 + 0.0018= 0.003
N-1 (P=0.003) = -2.7479 (RBBB CCC)
16
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
5.59%
A
86.9%
BBB
5.30%
BB
1.2%
B
0.12%
CCC
0.02%
AAA
0.33%
AA
0.18%
Default
Rendite T-Renditeintervall-
RBBB default
RBBB CCC
Quelle: nach JPMorgan – CM Technical Document
17
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Fall: Zwei Kreditnehmer
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit Ratingänderung zweier Schuldner
• Annahme: Assetrendite (0,1) nv.• zwei Assetprozesse• P (RBBB<RBBB default und RBB<RBB Default)
• Paarweise Korrelation schätzen• (beachte: Volatilitäten der Assetrendite(n) ohne Einfluss, Grund sind
standardisierte Renditen)
21
)RRR2ρ((R)ρ2(1
1R
2
R
dRdReρ12π
1 2221
212
defaultBB2
default---BBB1 +−
−
−
∞−∞−∫∫>−−>
−
18
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Schätzung Assetkorrelation
• Beobachtung der Assetwerte/-renditen schwierig• Aktienkurse/Kursrenditen börsengehandelter Unternehmen allg. Info
• Korrelation Kursrenditen als Proxy für Korrelation Assetrenditen• aber: paarweise Korrelationen aufwändig
(M Schuldner M(M-1)/2 Paare zu schätzen))
• Einführung lineares FaktormodellAktienindex als systematischer ErklärungsfaktorEinteilung nach Land und BrancheWegfall redundanter Branchen (hohe Korrelation)
Annahmen: 1. keine Abhängigkeit der firmenspezifischen Komponente (ε)2. keine Abhängigkeit der unsystematischen Komponente von
systematischen Komponente (Index)
Renditekorrelationen vollständig von Indexkorrelation erklärt
M = 30044.850 Korrelationen
19
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Indizes Verfügbarkeit
Quelle: nach JPMorgan – CM Technical Document
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Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Lineares Faktormodell
Allgemeine Form des Erklärungsmodells:
Kursrendite Kreditnehmer j:
Daten CreditMetrics
• Betrachtung der Indexrenditen auf Wochenbasis (190 Wochen)
• Mittelwert und Standardabweichung
• Paarweise Kovarianzen aller Indexpaare, Indexkorrelationen
jkj,2j,21j,1erKreditnehm εw...INDEXwINDEXwRj
+++=
21
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Anwendung
Vorgehen:
1. Festlegung Gewichtungsfaktoren Firma – Index/LandHintergrund: Höhe des Erklärungsgehaltes Index/Land an Firma; Höhe des nicht durch Index erklärten Anteil der Aktienrendite
2. Standardisierte Rendite als gewichtet Indexrendite und verbleibendem unsystematischen Teil der Rendite
3. Anwendung der Gewichtungsfaktoren zur Schätzung der Korrelation
22
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Beispiel: Pfizer und Allianz
Zielstellung: Korrelation Pfizer und Allianz
Vorgehen:
1. Indexpartizipation (systematische Komponente)A)
DeutschlandLand
InsuranceFinance+BankingBranche
PharmaBranche
USALand
AllianzDeutschland/Finance+Banking, Insurance
PfizerUSA/Pharma-Chemie
75%25%
90%
23
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
CreditMetrics Information:
Quelle: JPMorgan – CM Technical Document
0.080.1612.03%USA/Pharma
0.3410.162.09%D/Insurance
10.340.081.25%D/
Bank+Finanz
D/Bank+Finanz
D/InsuranceUSA/Pharma
KorrelationenVoltilitätINDEX
24
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
B) Systematische und firmenspezifische Renditekomponente
Pfizer: 90% Indexrendite 10% nicht erklärte Rendite
Allianz: 80% Indexrendite 20% nicht erklärte Rendite
25
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Gewichtung
• Pfizer, standardisierte Renditen:
| w1=0.9| Rendite (0,1) nv
Summe der Vola muss 1 ergeben
• Allianz, standardisierte Renditen:
! Indexformung aus 25% D/Bank und 75% D/Insurance
Volatilität berechnen
Pfizer2
US_PHARMA1
Pfizer R̂wRwR +=
Allianz3
eD_Insuranc2
D_Bank1
Allianz R̂wRwRwR ++=
0.44w1w
)R̂Var(w)Var(Rw )Var(R212
Pfizer22
US_PHRAMA21
Pfizer
=−=
+=
26
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Volatiltät des „Index“
• Summe Volatilität 1:80% erklärt, davon 75% durch D_Insurance, 25% durch D_Bank
0.017σσ*ρ*0.25*0.75*2σ0.25σ0.75σ̂ D_BankeD_InsurancD_Bank) ce,(D_Insuran2D_Bank
22eD_Insuranc
2 =++=
6.08.01w
0.15σ̂
0,25σ0.80w
0.74σ̂
σ0.750.80 w
23
D_Bank2
eD_Insuranc1
=−=
==
==
27
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Resultat
Gewichtungsfaktoren• Pfizer:
w1 0.9w2 0.44
• Allianz:w1 0.74w2 0.15w3 0.6
Einsetzen in Faktormodell
ideosynkratische Rendite unabhängig
PfizerUS_PHARMAPfizer R̂0.44R0.9R +=
AllianzeD_InsurancD_BankAllianz R̂0.6R0.74R 0.15R ++=
28
Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Korrelation im 2 Schuldner Fall
Korrelation Pfizer – Allianz
D_Bank),(US_Pharmae)D_Insuranc,(US_PharmaAllianz)(Pfizer, ρ0.150.90ρ0.740.90ρ +=
0.080.1612.03%USA/ Pharma
0.3410.162.09%D/ Insurance
10.340.081.25%D/Bank+ Finanz
D/Bank+ Finanz
D/Insurance
USA/Pharma
KorrelationenVoltilitätINDEX
08.00.150.900.160.740.90ρ Allianz)(Pfizer, +=
117.008.00.150.900.160.740.90ρ Allianz)(Pfizer, =+=
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Abhängigkeiten
Portfolio-Effekte
CreditMetrics
Schluss
Asset Value
Faktormodell
Beispiel
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit
21
)RRR2ρ((R)ρ2(1
1R
2
R
dRdReρ12π
1 2221
212
defaultBB2
default---BBB1 +−
−
−
∞−∞−∫∫>−−>
−