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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER
ESCUELA DE POSGRADO
EL CUBO Y SUS ELEMENTOS: UNA SECUENCIA DIDCTICA BASADA EN
EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMTRICO EN ESTUDIANTES
DEL CUARTO GRADO DE EDUCACIN PRIMARIA
Tesis para optar el grado de Magster en Enseanza de las Matemticas
que presenta
MARA TERESA,PORTUGALAVALOS
Dirigido por
JESS VICTORIA,FLORES SALAZAR
San Miguel, 2015
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A mi hijo Luis Adrin, por todo el tiempo que no le
pude dedicar, al realizar esta investigacin. A mi
madre Brgida, por las grandes muestras de amor y
dedicacin. A la memoria de mi padre Roberto
Portugal Neyra, por ser ejemplo de perseverancia y
superacin. A David Aguilar, quien me motiv a
iniciar y concluir esta nueva etapa profesional de mi
vida.
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AGRADECIMIENTO
A Dios, por darme la fortaleza en cada paso que doy en la vida, y por poner en mi camino
a las personas que tuvieron un rol importante para que hiciera realidad esta metaanhelada.
Al Ministerio de Educacin del Per, quien por medio del Programa Nacional de Becas y
Crdito Educativo-PRONABEC, me permiti acceder a la Beca Presidente de la
Repblica denomina Beca Docente de Posgrado para estudios de Maestra en Ciencias
de la Educacin en el Per 2014.
A la Maestra Enseanza de las Matemticas de la Pontificia Universidad Catlica del
Per por haber contribuido en mi formacin acadmica y contar conun excelente equipo
de profesores del ms alto nivel.
A mi querida y estimada asesora, la Dra. Jess Victoria Flores Salazar, por toda la
dedicacin que le ha brindado a esta investigacin, por guiarme con disciplina y
exigencia en este camino de la investigacin Matemtica y sobre todo por su valioso
tiempo compartido conmigo, valoro cada minuto a su lado, es usted una excelente
maestra.
A los miembros del jurado a la Mg. Carolina Reao de la Pontificia Universidad Catlica
del Per y al Dr. Fumikaso Saito de la pontificia Universidad Catlica de Sao Paolo de
Brasil, por sus pertinentes observaciones y sugerencias para mejorar la investigacin.
A la Dra. Cecilia Gaita Iparraguirre, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por
sus sabias enseanzas en los cursos que fue mi maestra.
Al Dr. Uldarico Malaspina Jurado, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por
ensearnos a amar las Matemticas y brindarnos siempre su valioso tiempo.
Al Dr. Hctor Velsquez, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por su
disposicin y valiossimo apoyo en esta investigacin.
A la profesora Sonia Pea, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por entregarse
con tanta pasin en los cursos de ingls, es ud. una maestra admirable, de vocacin, que
siempre recordar por confiar en nosotros, entendernos, y exigirnos con paciencia y
disciplina, muchas gracias.
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Al profesor Jorge Polar Jara director de la I.E. N 1143 Domingo Faustino Sarmiento,
por creer en m al darme la oportunidad de iniciar esta nueva experiencia de la maestra,
Gracias por impulsar en sus maestros el desarrollo profesional.
A mi madre Brgida, mis hermanos; Diana, Roberto, Giselle y Luis quienes me apoyaron
en todo y me comprendieron en muchas ocasiones.
A David Aguilar, por motivarme a desarrollarme profesionalmente, por ser mi soporte y
apoyo en los momentos ms difciles que me toc vivir, por compartir conmigo que la
mejor herencia que podemos dejar a nuestro hijo es una buena educacin.
A Norma Espinoza Esteban, porque cada da vivido en la Universidad, me ha enseado a
valorar la vida y a las personas, de ti aprend, que por ms conocimiento que una personatenga, no vale nada si no busca primero ser un buen ser humano.
A mis amigas y amigos compaeros de la maestra en Enseanza de las Matemticas
primaria y secundaria, en especial a Beatriz Espinoza, Rubn Jara, Luis Marav, Vernica
Castillo, Ysabel Valentn, Edith Ochoa, y Alicia Becerra, por sus consejos y apoyo
incondicional a lo largo de esta maestra.
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RESUMEN
El presente trabajo de investigacin tiene como objetivo analizar, basados en la teora de
Parzysz, el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico, especficamente el trnsito de las
etapas G0 a G1 en estudiantes del cuarto grado de educacin primaria (9 y 10 aos de
edad) cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos, por medio de una secuencia
didctica en la que se usa el material concreto y el ambiente de geometra dinmica Cabri
3D, para lo cual planteamos la siguiente pregunta de investigacin:Estudiantes del 4to
grado de educacin primaria desarrollan su Pensamiento Geomtrico, en las etapas G0 y
G1, cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos en una secuencia didctica con
material concreto y Cabri 3D?. Para este estudio tomamos como marco terico el
Desarrollo del Pensamiento Geomtrico de Parzysz y como marco metodolgico aspectos
de la Ingeniera Didctica de Artigue. La secuencia didctica de la parte experimental
consta de dos actividades. La primera actividad tiene cuatro preguntas orientadas a
identificar el desarrollo del pensamiento geomtrico en las etapas G0 y G1 en estudiantes
cuando estudian el cubo en material concreto. La segunda actividad consta tambin de
cuatro preguntas orientadas a distinguir la etapas G0 y G1 del Desarrollo del Pensamiento
Geomtrico cuando estudian el cubo y sus elementos en las que se utiliza el Cabri 3D.Finalmente, consideramos que el desarrollo de las dos actividades permiti identificar y
estudiar el trnsito de etapas G0 y G1 de los estudiantes al desarrollar la secuencia
didctica. Adems, pensamos que el uso del Cabri 3D en la segunda actividad fue
sustancial para el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico de los estudiantes ya que la
manipulacin directa y el arrastre que este ambiente de geometra dinmica posee facilit
dicho desarrollo.
Palabras claves:Geometra, Cubo, Material concreto, Cabri 3D.
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ABSTRACT
This research aims to analyze, based on the theory of Parzysz, the development of
geometrical thinking, specifically the transit from G0 to G1 stage in fourth graders (9 to
10 years old) when they study the notion of cube and its elements, through a didactical
sequence in which the solid material and the environment of Cabri 3D dynamic geometry
were used. Thus, the following research question was raised: Did fourth-grade students
of primary education develop their geometrical thinking in the G0 and G1 stages while
studying the concept of cube and its elements in a didactical sequence with the solid
material and Cabri 3D?. For this study, we have considered the development of Parzyszs
Geometrical Thinking as our theoretical framework, and some aspects of Artigues
Didactical Engineering as our methodological framework. The didactical sequence of the
experimental part consisted of two activities. The first activity had four questions
designed to identify the students development of geometrical thinking in the G0 and G1
stages in which they studied the particular solid cube. The second activity had also four
questions designed to distinguish the G0 and G1 geometrical thinking development stages
in which they studied the cube and its elements by using Cabri 3D. Finally, we
considered that the development of both activities allowed us to identify and study the
transit of the students from G0 to G1 stages while developing the didactical sequence
mentioned above. We also believed that the use of Cabri 3D in the second activity was
substantial for the development of students geometrical thinking due to the direct
manipulation and drag that this dynamic geometrical environment possesses which has
facilitated this development.
Keywords: Geometry, Cube, solid material, Cabri 3D.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Ventana de inicio del Cabri 3D versin 2.1 ....................................................... 25
Figura 2. Barra de herramientas del Cabri 3D ................................................................... 25
Figura 3. Herramienta poliedros ........................................................................................ 25
Figura 4. Herramienta manipulacin ................................................................................. 26
Figura 5. Herramienta punto .............................................................................................. 27
Figura 6. Herramienta segmento ....................................................................................... 27
Figura 7. Herramienta polgono ....................................................................................... 27
Figura 8. Herramienta longitud ......................................................................................... 28
Figura 9. Funcin atributos para el color de curva ............................................................ 28
Figura 10. Funcin atributos para el color de la superficie ............................................... 28
Figura 11. Adaptado de Maciel (2004, p.73) ..................................................................... 35
Figura 12. Estructura de Cubo construido en varitas......................................................... 36
Figura 13. Caras del cubo construido en Cabri 3D............................................................ 37
Figura 14. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D ...................................................... 38
Figura 15. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D ...................................................... 38
Figura 16. Demostracin de las diagonales del cubo ........................................................ 39
Figura 17. Geometra no axiomtica ................................................................................. 40
Figura 18. Tetraedro .......................................................................................................... 45
Figura 19. Clasificacin de los poliedros .......................................................................... 46
Figura 20. Cubo ABCD-EFGH ......................................................................................... 47
Figura 21. Reconocemos slidos geomtricos .................................................................. 49
Figura 22. Reconocemos slidos geomtricos .................................................................. 50
Figura 23. Conocemos los slidos geomtricos ................................................................ 50
Figura 24. Conocemos los slidos geomtricos ................................................................ 51
Figura 25. Reconocemos los slidos geomtricos ............................................................. 52
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Figura 26. Reconocemos los slidos geomtricos ............................................................. 52
Figura 27.Identificamos slidos geomtricos .................................................................... 53
Figura 28. Manipulacin del cubo y prisma ...................................................................... 56
Figura 29. Respuesta de Danield en la Actividad 1 ........................................................... 57
Figura 30. Respuesta de Josu en la Actividad 1 .............................................................. 58
Figura 31. Pregunta N 2 de la Actividad 1 con material concreto ................................... 58
Figura 32. Respuesta de Danield de la actividad 1 pregunta 2 .......................................... 60
Figura 33. Respuesta de Danield de la pregunta 2 ............................................................ 60
Figura 34. Respuesta de Josu completando la tabla de la pregunta 2 .............................. 61
Figura 35. Respuesta de Josu de la pregunta 2 ................................................................ 62
Figura 36. Pregunta 3 de la actividad 1 ............................................................................. 62
Figura 37. Respuesta de Danield de la pregunta 3 ............................................................ 63
Figura 38. Manipulacin del material concreto prisma y cubo ......................................... 64
Figura 39. Respuesta de Josu pregunta 3 ......................................................................... 64
Figura 40. Pregunta 4 de la actividad 1 ............................................................................ 64
Figura 41. Estructura del cubo en madera (30cm)............................................................. 66
Figura 42. Respuesta de Danield de la pregunta 4 ............................................................ 66
Figura 43. Respuesta de Josu de la pregunta 4 ................................................................ 68
Figura 44. Pregunta 1 de la actividad 2 ............................................................................. 69
Figura 45. Uso de la funcin arrastre en el cubo ............................................................... 70
Figura 46. Uso de la funcin manipulacin directa en el cubo ......................................... 70
Figura 47. Arrastre de un vrtice para aumentar la longitud de la arista .......................... 71
Figura 48. Arrastre de un vrtice para disminuir la longitud de la arista ......................... 71
Figura 49. Respuesta de Danield actividad 2 .................................................................... 72
Figura 50. Respuesta de Danield actividad 2 .................................................................... 72
Figura 51. El cubo cuando aumenta la longitud de sus aristas .......................................... 73
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Figura 52. El cubo cuando la longitud de sus aristas disminuyen ..................................... 73
Figura 53. Manipulacin del cubo haciendo uso de la funcin manipulacin directa ...... 74
Figura 54. El cuadrado cuando se hace uso de la funcin manipulacin directa ............. 74
Figura 55. Josu resuelve la tabla de la actividad con Cabri 3D ....................................... 75
Figura 56. Pregunta 2 de la actividad 2 ............................................................................. 75
Figura 57. Uso de la herramienta longitud para las aristas del cubo ................................ 76
Figura 58. Danield ubicando el cursor en las aristas del cubo ......................................... 77
Figura 59. Longitud de la arista del cubo por Danield ..................................................... 77
Figura 60. Respuesta de Danield de la actividad 2 ............................................................ 78
Figura 61. Josu ubica el cursor en la arista del cubo ...................................................... 78
Figura 62. Medida de la arista por Josu ........................................................................... 79
Figura 63. Uso de la funcin manipulacin directa ........................................................... 79
Figura 64. Vista del cuadrado con el uso de la funcin manipulacin directa .................. 79
Figura 65. Respuesta de Josu en la pregunta 2 ................................................................ 80
Figura 66. Pregunta 3 de la actividad 2 ............................................................................. 80
Figura 67. Color de la arista del cubo ................................................................................ 81
Figura 68. Color de los vrtices del cubo .......................................................................... 81
Figura 69. Medida de longitud de las aristas del cubo ...................................................... 82
Figura 70. Uso de la herramienta color de curva ............................................................... 82
Figura 71. Vista del cubo con el uso de manipulacin directa .......................................... 83
Figura 72. Respuesta de Danield ....................................................................................... 83
Figura 73. Respuesta de Danield ....................................................................................... 83
Figura 74. Josu ubica el cursor en una arista ................................................................... 84
Figura 75. Color de curva de una de las aristas por Josu ................................................. 84
Figura 76. Respuesta de Josu sobre el nmero de aristas del cubo ................................. 85
Figura 77. Respuesta de Josu sobre el nmero de vrtices del cubo ............................... 85
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Figura 78. Pregunta 4 de la actividad 4 ............................................................................. 85
Figura 79. Reconocimiento de una de las caras cuadradas del cubo ................................ 86
Figura 80. Coloreado de las caras del cubo con la funcin superficie del objeto ............ 86
Figura 81. Coloreado de una de las caras del cubo por Daniel ........................................ 87
Figura 82. El cuadrado al hacer uso de la funcin manipulacin directa ......................... 87
Figura 83. Respuesta de Daniel reconociendo las caras del cubo ..................................... 87
Figura 84. Cubo ABCD-EFGH construdo por Danield .................................................. 88
Figura 85. Coloreado de las caras del cubo por Josu ....................................................... 88
Figura 86. Respuesta de Josu ........................................................................................... 89
Figura 87. Cubo ABCD-EFGH ......................................................................................... 89
Figura 88. Cubo ABCD-EFGH ......................................................................................... 90
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LISTA DE CUADROS
Cuadro 1. Especificaciones de las herramientas del Cabri ....................................................... 26
Cuadro 2. Contenidos de geometra de 1 a 4to grado de primaria .......................................... 31
Cuadro 3. Capacidades de geometra de 1 a 4to grado de primaria ........................................ 31
Cuadro 4. Estndares Nacionales del Per de Geometra por ciclos ........................................ 32
Cuadro 5. Elementos del cubo .................................................................................................. 47
Cuadro 6. Textos analizados ..................................................................................................... 48
Cuadro 7. Descripcin de las actividades de la investigacin .................................................. 55
Cuadro 8. Los elementos del cubo ........................................................................................... 90
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NDICE
CONSIDERACIONES INICIALES ......................................................................................... 14
CAPITULO I: LA PROBLEMTICA...................................................................................... 15
1.1. Antecedentes ................................................................................................................... 15
1.2. Ambiente de geometra dinmica Cabri 3D ................................................................... 24
1.3. Justificacin de la investigacin ..................................................................................... 29
1.4. Pregunta y objetivos de la investigacin ......................................................................... 34
CAPITULO II: DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMTRICO DE
PARZYSZ Y APECTOS DE LA INGENIERA DIDCTICA ............................................... 35
2.1. Desarrollo del Pensamiento Geomtrico ........................................................................ 35
2.2 Metodologa de investigacin: aspectos de la Ingeniera Didctica ............................... 41
CAPTULO III: EL CUBO ....................................................................................................... 44
3.1. Aspectos matemticos ..................................................................................................... 45
3.2.
Aspectos didcticos del libro del 4to grado de primaria ................................................. 48
CAPTULO IV: EXPERIMENTO Y ANLISIS ..................................................................... 54
4.1. Desarrollo de la investigacin ......................................................................................... 54
Resultados del experimento ....................................................................................................... 91
Consideraciones finales ............................................................................................................. 92
REFERENCIAS ........................................................................................................................ 95
ANEXOS ................................................................................................................................... 98
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CONSIDERACIONES INICIALES
En nuestro medio, es frecuente que los temas de geometra queden relegados a los
ltimos meses del ao escolar en la educacin primaria. Esto ocurre por varios motivos,uno de los cuales puede ser el poco conocimiento de los profesores del nivel primario en
temas de geometra plana que trabajarn con sus estudiantes en el ao escolar debido a
que en la formacin inicial son pocos los cursos que se dedican a matemticas.
A continuacin, presentamos los cuatro captulos en que se desarrolla nuestro trabajo.
En el primer captulo, presentamos algunas investigaciones relacionadas con el objeto
matemtico cubo y el marco terico en el que nos basamos en la tesis que es el Desarrollo
del Pensamiento Geomtrico. Tambin se presentan los antecedentes que guardan
relacin con el objeto matemtico en material concreto y los antecedentes vinculados con
el uso del ambiente de geometra dinmica Cabri 3D. Adicionalmente, formulamos la
pregunta de investigacin y los objetivos de la investigacin.
El segundo captulo est compuesto por los aspectos tericos y metodolgicos de la
investigacin. En cuanto al marco terico, tomamos aspectos del Desarrollo del
Pensamiento Geomtrico (DPG) de Parzysz (1988). Especficamente nos centramos en
las etapas G0 y G1 de la geometra no axiomtica que propone el investigador y en la
adaptacin que hemos realizado para efectos de nuestra investigacin. Adems,
presentamos aspectos de la Ingeniera Didctica de Artigue, que es la base metodolgica
que gua nuestra investigacin.
En el tercer captulo, presentamos el objeto matemtico cubo y el anlisis didctico de los
libros de texto del primer al cuarto grado de educacin primaria del Ministerio de
Educacin del Per (MINEDU), concretamente estudiamos las unidades donde se aborda
el objeto matemtico cubo.
En nuestro ltimo captulo, caracterizamos el escenario y a los sujetos de investigacin.
Adems, presentamos las actividades propuestas en la investigacin y sus respectivos
anlisis a priori y a posteriori.
Finalmente, presentamos los resultados y consideraciones finales de la investigacin en el
que sealamos tambin las futuras investigaciones que podemos realizar a partir de este
estudio.
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CAPITULO I: LA PROBLEMTICA
La investigacin que presentamos se centra en el estudio del Desarrollo del Pensamiento
Geomtrico en estudiantes del 4to grado de educacin primaria, con el objeto matemticocubo, para lo cual, organizamos este captulo de la siguiente manera: antecedentes, el
Cabri 3D, la justificacin de la investigacin y finalmente, en este captulo presentamos
la pregunta de investigacin y sus respectivos objetivos.
1.1. Antecedentes
Los antecedentes estn organizados de acuerdo a tres caractersticas, los antecedentes que
tienen relacin con el objeto matemtico cubo, antecedentes relacionados al referencial
terico que es el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico y antecedentes relacionados a la
metodologa de la investigacin que es la Ingeniera Didctica de Artigue.
Antecedentes que guardan relacin con el objeto matemtico y el referencial terico
En primer lugar, presentamos el trabajo de Fernndez (2013), cuyo objetivo fue analizar
el uso de perspectivas y Cabri 3D para reducir el conflicto entre lo visto y lo sabido de la
representacin del cubo. La investigadora utiliz como referencial terico el estudio de
Parzysz sobre el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico y sobre lo visto y lo sabido y
como metodologa aspectos de la Ingeniera Didctica.
Cabe resaltar que el marco terico que utiliz la investigadora ser el que se emplear en
este trabajo.
En la parte experimental de su investigacin emple material manipulativo y el ambiente
de geometra dinmica Cabri 3D, los sujetos de investigacin fueron estudiantes entre 11
y 13 aos de edad del 1er ao de educacin secundaria. La investigacin tom como
referencial terico las etapas G0, G1, G2 y G3 el Desarrollo del Pensamiento Geomtricopero se centr en analizar los resultados de las actividades que permitieron observar y
analizar las dos primeras etapas del desarrollo del Pensamiento Geomtrico G0 y G1; sin
embargo, en la actividad cuatro las respuestas de los alumnos evidenciaron que se
encontraban en transicin a la etapa G2.
La investigadora concluye que el uso del Cabri 3D ayud a los estudiantes a diferenciar
caractersticas entre el modelo y su representacin especialmente en cuanto al trabajo de
la perspectiva caballera. Adems, el ambiente de geometra dinmica ayud a losestudiantes a observar la representacin del cubo desde diferentes puntos de vista.
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Asimismo, logr verificar que el uso del Cabri 3D posibilit que los estudiantes
construyeran e interpretaran la representacin del cubo, particularmente en la perspectiva
Caballera. Adems, segn Fernndez (2013) los estudiantes lograron comprender que el
cubo puede ser representado y observado mediante diferentes perspectivas y diferentes
puntos de vista.
Esta investigacin es importante para nuestro estudio, porque nos brinda aportes sobre el
objeto matemtico ya que la autora utiliz material concreto para la representacin del
cubo, asimismo la metodologa empleada en la investigacin ser subsidio para la nuestra
porque pensamos trabajar con la misma metodologa, Ingeniera Didctica y pensamos
tomar como referente la secuencia de actividades propuestas las cuales adaptaremos para
nuestra investigacin ya que trabajaremos con estudiantes del nivel primario.
En segundo lugar, presentamos la investigacin de Cozzolino (2008) cuyo objetivo fue
explorar la perspectiva para ayudar al estudiante a ampliar la capacidad de visualizacin
de objetos geomtricos utilizando el Cabri 3D. La investigacin se realiz con estudiantes
entre los 13 y 14 aos de edad en Brasil.
Dicha investigacin se realiz en cuatro encuentros y seis actividades, en el primer
encuentro la investigadora presenta a los estudiantes un poco de historia de lasperspectivas (caballera y cnica) en diapositivas, asimismo, los estudiantes exploran el
ambiente de geometra dinmica Cabri 3D, en el segundo encuentro los estudiantes
responden a cuestionarios sobre figuras geomtricas tridimensionales, en el tercer
encuentro se realiza un estudio de la perspectiva cnica en las representaciones de cubos
y resuelven ejercicios, en el cuarto y ltimo encuentro se realiza un estudio de la
perspectiva caballera de objetos geomtricos tridimensionales.
La autora toma, como referencial terico el DPG y como metodologa de investigacin elDiseo Experimental y tiene como propsito lograr que los estudiantes a travs del uso de
la herramienta Cabri 3D, logren el desarrollo de la etapa G1, asimismo la investigadora
seala que la enseanza de las perspectivas y el uso del Cabri 3D facilitaron que los
estudiantes representen con facilidad un objeto geomtrico tridimensional como el cubo,
en el plano bidimensional.
Finalmente, la investigadora concluy en su investigacin que los estudiantes articularon
diferentes puntos de vista, tanto en el ambiente de lpiz y papel y en el ambiente de
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geometra dinmica Cabri 3D, tambin que el uso de la perspectiva caballera es una
herramienta adecuada para el aprendizaje de geometra espacial.
Las investigaciones presentadas anteriormente toman al cubo como objeto matemtico y
como marco terico las etapas del Desarrollo del Pensamiento Geomtrico de Parzysz
(1988), as como el uso del Cabri 3D, el cual nosotros tomaremos como modelo las
actividades propuestas con el uso del Cabri 3D y las adaptaremos para el nivel primario
para nuestra investigacin. Adems tomaremos las actividades propuestas por Fernndez
(2013) especialmente actividades propuestas con el uso del material concreto para la
parte experimental y de Cozzolino (2008) actividades propuestas con el Cabri 3D ya que
la investigacin nos muestra la importancia del uso del geometra dinmica en el
aprendizaje de este objeto matemtico y la autora manifiesta que el uso de la tecnologa
ayud a tener buenos resultados en el nivel secundario, lo cual nos incentiva a aplicarlo y
adaptarlo en el nivel primario en el cual se desarrolla nuestra investigacin.
Antecedentes que guardan relacin con el objeto matemtico
Guilln et al. (1992) investigan las representaciones planas de objetos tridimensionales
(cubo, tetraedro, octaedro, prisma) usando material concreto, el uso del software, y
materiales impresos. Su estudio tiene como objetivos: identificar las destrezas devisualizacin espacial de los estudiantes y de las lecturas y escritura de representaciones
planas de cuerpos tridimensionales. Utilizan como marco referencial el Modelo de
razonamiento geomtrico de Van Hiele, ya que lo consideran como un excelente modelo
de representacin de los procesos de desarrollo del razonamiento de las matemticas y
utilizan como metodologa el Mtodo de Enseanza Heurstico ya que lo consideran el
ms apropiado como complemento del modelo de Van Hiele.
Todas las actividades propuestas en la investigacin han sido diseadas y basadas en lamanipulacin de diferentes slidos geomtricos con material concreto como son: el cubo,
tetraedro, octaedro, prisma. El experimento se llev a cabo con estudiantes de 6to grado
de E.G.B en Valencia Espaa con estudiantes que tienen entre los 10 y 11 aos de edad.
Se disearon 50 actividades desarrolladas en 23 sesiones de 50 minutos cada una y
divididas en dos partes: actividades de Posiciones que se bas en la colocacin de los
slidos o sus representaciones en posiciones especficas en el espacio y las segunda de
Representaciones en la que los alumnos representan diferentes figuras planas enperspectiva; adems desde el punto de vista de los contenidos las actividades se dividen
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en 4 tipos: actividades de comparacin de slidos, actividades del movimiento de los
slidos, estos dos grupos pertenecen a las actividades de Posiciones; actividades de
representaciones de slidos; actividades de construccin de slidos, estas dos actividades
constituyen actividades de dibujo y construccin las cuales pertenecen al grupo de las
actividades de Representaciones.
A continuacin analizaremos una de las actividades de Guilln et al. (1992),
especficamente la actividad 2.a.5 dado que estamos interesados en la representacin del
cubo y en esta actividad los estudiantes realizaron la manipulacin real del solido
geomtrico (cubo en varillas). El objetivo de esta actividad fue la observacin minuciosa
del poliedro analizando las relaciones entre un elemento del slido y otro, los estudiantes
deban manipular el cubo en varillas y colocarlo en la misma posicin del cubo
representado en la lmina, los estudiantes observaron que el cubo representado en la
lmina estaba inclinado y al observar el cubo real en varillas fue que dedujeron que la
posicin del cubo estaba en perspectiva, fue entonces que por medio de la manipulacin
del cubo en varillas lograron colocarlo en la misma posicin que el de la lmina.
Los autores concluyen en su estudio que existen representaciones que a los estudiantes les
resultan ms difciles que otras y que se requiere destrezas de visualizacin para el
manejo del tema de los poliedros para resolver de manera correcta y eficaz los problemas;
como por ejemplo, las actividades de movimientos de slidos reales como en la actividad
analizada 2.a.5 fueron ms fciles que las actividades de movimientos en el ordenador
(software), asimismo en la utilizacin de slidos opacos y de varillas hubo una diferencia;
los de varillas permitieron un anlisis mayor en cuanto al reconocimiento de las
propiedades y elementos de los slidos (caras, aristas y vrtices) eran visibles, por el
contrario en los slidos opacos no se visualizaban estas propiedades.
Esta investigacin nos brinda aportes para nuestro estudio en el objeto matemtico cubo,
dado que los alumnos manipulan el material concreto en varillas y mencionan sus
caractersticas, nosotros tomaremos esta actividad para desarrollar el nivel G0 del
pensamiento geomtrico.
Otra investigacin es la de Abascal (2014) quien trabaj con estudiantes de 7 a 12 aos
de edad de Educacin Primaria en Cantabria, tuvo como objetivo observar de qu forma
se manifiestan las etapas y la representacin plana de cuerpos tridimensionales al usar
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cuatro slidos geomtricos y que destrezas presentan los estudiantes al dibujar en
perspectiva con el fin de entender los procesos de visualizacin de los alumnos.
La investigadora utiliz la teora del Modelo de Razonamiento de Van Hiele para la
enseanza y el aprendizaje de la geometra y la teora sobre la Formacin de Conceptos
Geomtricos desarrollados por Vinner y Hershkowitz.
El estudio tuvo una muestra total de 73 nios entre los 7 y 12 aos y se dividi en tres sub
grupos por edades, el primer grupo de 23 nios de 7 a 8 aos de edad del 2do grado, el
segundo grupo de 26 nios de 9 y 10 aos de edad del 4to grado y el ltimo grupo de 24
nios de 11 y 12 aos de edad que cursaban el 6to grado. El estudio consisti en realizar
la representacin plana de cuatro slidos: el cubo, pirmide, cilindro y cono, estos slidos
se les presentaban a cada grupo de nios y deban representarlos tal como los vean y
dibujar como crean ello que era el desarrollo de la figura.
El experimento se realiz a travs de una prueba inspirada en Piaget e Inhelder, la prueba
consisti en mostrar cuatro slidos construidos con cartulina, un cilindro, un cono, un
cubo y una pirmide (tetraedro) de alturas 15, 18, 6 y 8 cm. respectivamente. La prueba
tena dos partes, en la primera los estudiantes deban dibujar el slido en una hoja de
papel tal como lo vean y en la segunda parte deban dibujar como ellos crean que era eldesarrollo de ese poliedro. Para esto se colocaron los slidos en una mesa delante de la
pizarra y los alumnos podan acercarse a observar de cerca si lo necesitaban.
Las pruebas arrojaron que en el caso del cubo 19 nios entre 7 y 8 aos, pertenecen a la
etapa esquemtica plana y los 4 nios restantes a la etapa esquemtica espacial
(Mitchelmore) en el caso de los nios entre 9 y 10 aos con el mismo objeto matemtico
6 nios en la etapa esquemtica espacial mostrando un incremento de nios en la
representacin del objeto matemtico con 10 nios en la etapa esquemtica plana y 6nios en la etapa esquemtica espacial realista.
La investigadora concluye que la evolucin de las etapas esquemtica plana a la etapa
esquemtica realista se ve desarrollada en los dos grupos de edades entre los 7 y 8 aos
de edad evidenciando un progreso de la etapa esquemtica espacial en el grupo de 9 y 10
aos de edad. Adems que para realizar representaciones planas de objetos
tridimensionales se requiere de habilidades de visualizacin por la dificultad que se
evidencia al pasar del plano al espacio tridimensional.
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Esta investigacin aporta a la nuestra en cuanto a las representaciones planas de cuerpos
tridimensionales en este caso del cubo, ya que la autora experimenta con material
concreto y hace uso del lpiz y papel para las representaciones planas de los slidos que
observan. Nosotros tomaremos estos aportes para nuestra investigacin en vista que
nosotros analizaremos el cubo en el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico.
Antecedentes que guardan relacin con el objeto matemtico en material concreto
Por otro lado la Biblioteca Pedaggica del estado de Mxico (2008) realiz un estudio
acerca del origami como recurso didctico para la enseanza y aprendizaje de la
geometra en secundaria. Esta investigacin tuvo como objetivos disear ejercicios de
origami en los que se pueda visualizar los conceptos y propiedades de las figuras y
slidos geomtricos a travs de la manipulacin y el doblado del papel. La teora que se
desarroll fue la teora de Van Hiele. La investigacin se llev a cabo en la escuela
telesecundaria N 165 Quetzalcoati en Tejupilco Mxico. Los contenidos considerados
para la investigacin fueron trazos y construcciones geomtricas, conocimiento y uso
didctico de los diferentes instrumentos de medida, la exploracin de simetra de una
figura, el conocimiento, manipulacin y representacin plana de slidos comunes, la
aplicacin de frmulas de clculo de permetro, reas y volmenes, as como el teorema
de Pitgoras y la iniciacin del mtodo deductivo.
El estudio desarroll 31 actividades. Nosotros nos centraremos en describir la actividad
30, ya que desarrolla la construccin del cubo en origami. Esta actividad lleva por
nombre construccin de un cubo. Su objetivo es que el alumno identifique el nmero de
caras, vrtices y aristas que tiene este poliedro. Los alumnos deben recortar 24 cuadros de
papel Amrica de 4 colores diferentes, 5 de cada color y 24 de papel bond blanco de 21
cm cada uno para construir paso a paso el cubo. Luego se realizan preguntas, como por
ejemplo: Cuntas caras pueden verse? Los autores observaron que, segn la posicin en
que se encuentran, los nios vern distinto nmero de caras. Otra pregunta fue: Qu
datos pueden encontrar en el cubo con la regla? Se espera que los alumnos midan las
aristas y contesten que todas miden igual. Con esta actividad, se concluye que, a partir de
la observacin y la manipulacin del material concreto los alumnos llegan a descubrir que
el cubo tiene 6 caras y 12 aristas, todo centrado en un nivel perceptivo.
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Esta investigacin nos muestra la importancia del uso de material concreto como el papel,
ya que, a partir del doblado, se pueden reconocer nociones geomtricas y sus propiedades
en especial, en el estudio del cubo.
Cabe notar que el uso del papel como material didctico ha sido reafirmado en Per
(2004), por la Unidad de Medicin de la Calidad Educativa (UMC), segn se lee en la
siguiente cita.
Entre otras actividades puede ser muy til el uso del origami como elementomotivador. Este antiguo arte no solo contribuir al desarrollo de lapsicomotricidad fina sino que, con un enfoque adecuado, puede ayudar alestudiante en el proceso de identificacin de formas bsicas y en la incorporacindel lenguaje geomtrico. Por ejemplo, si un docente est enseando a hacer unvaso a partir de una hoja de papel cuadrada, debera utilizar trminos geomtricosapropiados como cuadrado, diagonal, ngulo, lado, simetra, entre otros. (Per,2004, p.101).
Consideramos importante el uso del material concreto como el papel para desarrollar
nociones matemticas geomtricas y reconocer a travs de ellas elementos y propiedades
de objetos matemticos, para lo cual nosotros estamos interesados en desarrollar en
nuestra investigacin ya que nuestro estudio se desarrollar con estudiantes entre los 9 y
10 aos de edad y es a travs de la manipulacin de material concreto que el estudiante
interiorizar caractersticas del cubo y sus elementos.
Por otro lado Villarroel y Grecia (2011) realizaron un estudio sobre los materiales
concretos didcticos para geometra en el 1er ao de secundaria, el estudio propone
identificar y caracterizar los materiales didcticos concretos que pueden utilizarse para
identificar las habilidades geomtricas que desarrolla la utilizacin de cada uno de ellos.
Este trabajo se desarroll dentro de la corriente didctica de la escuela de Hans
Freudenthal conocida como Matemtica Realista ya que afirman las autoras que estacorriente concibe la matemtica escolar como un conjunto de actividades progresivas y
reflexivas, entendidas como razonables, realizables o imaginables en forma concreta.
Adicionalmente este estudio se adhiere a esta postura ya que en cuanto a la manipulacin
de objetos concretos permite hacer descubrimiento geomtrico propio y construir
mentalmente los objetos matemticos. La metodologa que se emple fue el enfoque
cualitativo ya que el estudio procura brindar aportes a la comprensin de la forma en que
se usa el material didctico concreto, as como fomentar el desarrollo de habilidades
geomtricas. Los datos recolectados en el estudio se tabularon en un registro de
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Materiales didcticos concretos, teniendo en cuenta 3 dimensiones de anlisis que
describimos a continuacin:
Dimensin 1 Descripcin del material Dimensin 2 Inters Didctica matemtica
Dimensin 3 Versatilidad del material se identificaron siete grupos de materiales
didcticos concretos que pueden ser utilizados en la enseanza de la geometra como son:
los bloques lgicos de Dienes, rompecabezas geomtricos, el tangram, el Geoplano,
transformaciones dinmicas, el origami o papiroflexia, los criterios para agrupar los
materiales concretos fueron siete criterios: criterios de calidad, criterio de materia prima,
criterio de disponibilidad del material, criterio de movilidad, criterio de contenidos
conceptuales y criterio de versatilidad del material. Las autoras concluyen que la
manipulacin responsable de los materiales didcticos concretos con pleno conocimiento
de sus potencialidades y limitaciones presentadas favorece la enseanza y aprendizaje de
la geometra.
Antecedentes que guardan relacin con el ambiente de geometra dinmica Cabri
3D y el referencial terico
La investigacin de Salazar (2009) analiz como los estudiantes del segundo ao de
enseanza media entre los 13 y 14 aos de edad, se apropian de las nociones detransformaciones geomtricas en el espacio, cuando se interacta con el ambiente de
geometra dinmica Cabri 3D. La investigadora afirma,
La geometra dinmica despierta en los estudiantes, los aspectos exploratorios yestratgicos a lo largo de sus construcciones geomtricas, ayuda a que losestudiantes analicen las propiedades geomtricas. Adems de promover cambiosen el aprendizaje de la geometra, ya que abre la posibilidad para que losestudiantes construyan y exploren figuras y establezcan relaciones entre ellas (p.38).
La investigacin tuvo como referencial terico el enfoque instrumental, y la Teora deRegistros de Representacin Semitica para comprender como los alumnos interactan
con el Cabri 3D, la investigadora afirma que esta teora fue de gran apoyo para
comprender como los estudiantes ven o visualizan una figura geomtrica, para ello
defini el Registro Figural Dinmico porque le permiti reconocer las diferentes
aprehensiones de los estudiantes en la interaccin con el Cabri 3D, la investigacin
utiliz la Ingeniera Didctica como metodologa y concluye que el uso del software
Cabri 3D facilit la aprensin perceptiva de las figuras y permiti dinamizarlas.
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Esta investigacin nos parece importante porque utiliza el ambiente de geometra
dinmica y nosotros usaremos en nuestro estudio el software Cabri 3D un software
favorable en la enseanza y aprendizaje de la geometra porque funciona como un
simulador en la representacin de los objetos tridimensionales como lo muestran
numerosos estudios.
Tambin Salazar y Gaita (2012) iniciaron un estudio de objetos elementales en la
geometra espacial con ayuda del software Cabri 3D con estudiantes de Arquitectura de la
Pontificia Universidad Catlica del Per, donde los estudiantes tuvieron la oportunidad
de manipular representaciones de objetos como el punto la recta, el plano, y la esfera, el
estudio aprovech las potencialidades que ofrece el Cabri 3D como la opcin de cambiar
de punto de vista para cambiar un objeto, la determinacin de posiciones relativas como
el paralelismo etc.
Para el desarrollo de las actividades las investigadoras utilizaron el modelo terico DPG.
La experiencia se plante cinco actividades en la cual en relacin a la tercera actividad
los estudiantes deban manipular un cubo previamente construido y determinar el tipo de
figura, las autoras manifiestan que la mayora de estudiantes logr realizar con xito esta
tarea, los estudiantes tambin manipularon uno de los vrtices, afirmando que creca el
cubo y tambin sus caras, con esta actividad se evidencia que los estudiantes se
encuentran el nivel G1.
Las investigadoras concluyeron que las actividades propuestas en las que se hizo uso del
Cabri 3D favorecieron la evolucin de las etapas del pensamiento G0 a G1 y en algunos
casos del G1 al G2 manifiestan que lo que contribuy a este hecho fue la posibilidad de
manipular objetos, as como el poder posicionarse en distintas ubicaciones cambiando de
perspectiva en la observacin de los objetos, as mismo el Cabri 3D facilita la
comprensin de componentes tericos y el paso entre dichos niveles de pensamiento
geomtrico.
Consideramos relevante las investigacin de Salazar (2009) y Salazar y Gaita (2012) ya
que nosotros tomaremos el software Cabri 3D, en el desarrollo de algunas actividades
donde se muestra la graduacin del paso de las etapas del pensamiento geomtrico donde
se evidencia el paso de G0 al G1 y en algunos caso de G1 a G2.
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1.2. Ambiente de geometra dinmica Cabri 3D
Como estamos interesados en trabajar con el ambiente de geometra dinmica Cabri 3D
y lpiz y papel, esta parte del trabajo se focalizar en presentar aspectos del Cabri 3D
como geometra dinmica.
Ya que pensamos que la matemtica, en particular los temas de geometra, deben estar a
la par con los cambios tecnolgicos que se vive en el mundo, durante aos la forma
clsica de presentar la geometra, presenta las figuras estticas cuando se presentan en
una posicin en particular, una concepcin particular una figura particular, esto conlleva
a que el alumno prevalezca las figuras geomtricas de una manera esttica.
En relacin con lo anterior cuando las figuras geomtricas adquieren movimiento, esdecir adquieren dinamismo, estamos en presencia de la geometra dinmica y esto
permitir que el estudiante se forme una idea ms general de las figuras geomtricas y no
asocie las propiedades a una forma particular de las figuras.
Por otro lado, otra ventaja de la geometra dinmica es que el alumno puede mover la
representacin de la figura geomtricaa travs de la funcin de arrastre y as la figura
seguir conservando ciertas propiedades.
Elegimos el Cabri 3D ya que segn Fernndez (2013) permite que los estudiantes
manipulen, arrastren, y exploren los objetos tridimensionales como el cubo y visualicen
sus elementos y caractersticas, en este caso el de la representacin del cubo(p.32).
Por lo antes mencionado, consideramos apropiado el uso del Cabri 3D. Este software
ofrece una amplia variedad de opciones para desarrollar contenidos no solo de geometra
sino tambin de lgebra y estadstica. Es sencillo de utilizar, lo que facilita desarrollar
actividades a travs de las herramientas y recursos que ofrece a travs de la
experimentacin y la manipulacin de distintos elementos, favoreciendo la realizacin de
construcciones para deducir resultados y propiedades a partir de la observacin directa.
La ventana inicial del Cabri 3D, en su versin 2, presenta la barra de herramienta y el
rea de trabajo, la figura 1 muestra el rea de trabajo que es un plano.
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Figura 1. Ventana de inicio del Cabri 3D versin 2.1
A continuacin presentamos en la figura 2 la barra de herramientas que utilizaremos en
nuestras actividades.
Figura 2.Barra de herramientas del Cabri 3D
Adems, el Cabri 3D presenta en su barra de herramientas una opcin denominada
Poliedros de la cual se despliega una caja de herramientas donde se seleccionar el cubo
como observamos en la figura 3.
Figura 3. Herramienta poliedros
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Ya que en nuestra investigacin realizaremos un estudio de los elementos del cubo,
consideramos pertinente presentar otras opciones de la barra de herramientas como punto,
segmento, longitud, polgono, cara del cubo, ya que los estudiantes pueden usar otras
herramientas que le permitan apropiarse de las propiedades del cubo mediante la
manipulacin del Cabri 3D.
Cuadro 1. Especificaciones de las herramientas del Cabri
Fuente: Adaptado delmanual del usuario Cabri 3D v2 (2007, pp. 16-29)
A continuacin presentaremos algunos ejemplos del uso de estas herramientas que sern
utilizadas en el desarrollo de actividades que propondremos en la parte experimental:
1. Herramienta manipulacin: esta herramienta permitir a los estudiantes
seleccionar puntos y objetos, as como desplazarlos en el rea de trabajo. Adems
permite activar y desactivar cualquier herramienta del Cabri 3D.
Figura 4. Herramienta manipulacin
Herramienta cono Construccin
Manipulacin Permite seleccionar puntos y objetos.
Punto Permite construir puntos sobre la parte visible del
objeto.
Segmento Permite construir un segmento definido por 2
puntos.
Polgono Permite construir un polgono definido por 3
puntos o ms.
Longitud Permite medir la longitud de objetos y partes de los
objetos siguientes: segmentos, lados de polgonos,
aristas de poliedros.
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2. Herramienta punto:Permite construir puntos sobre la parte visible del objeto.
Figura 5. Herramienta punto
3. Herramienta segmento: Permite construir un segmento definido por 2 puntos.
Figura 6. Herramienta segmento
4. Herramienta polgono: Permite construir un polgono definido por 3 puntos o
ms.
Figura 7. Herramienta polgono
5. Herramienta longitud: Permite medir la longitud de objetos y partes de los
objetos siguientes: segmentos, lados de polgonos, aristas de poliedros.
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Figura 8. Herramienta longitud
6. Funcin atributos-color: esta funcin del Cabri 3D permite modificar el color de
fuente de los objetos, en nuestro trabajo la modificacin del color de las aristas del
cubo.
Figura 9. Funcin atributos para el color de curva
7. Funcin atributos-fuente: esta funcin del Cabri 3D permite modificar el color de
fuente de los objetos, en nuestro trabajo modificacin del color de la superficie
del cubo.
Figura 10. Funcin atributos para el color de la superficie
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Despus de la presentacin de las herramientas del Cabri 3D que utilizaremos en la parte
experimental en las actividades de nuestra investigacin presentamos la justificacin de
nuestro trabajo.
1.3. Justificacin de la investigacin
De acuerdo a nuestra experiencia profesional hemos observado que en educacin
primaria la enseanza de la geometra est relegada a pocos temas que son tratados en
pocas clases. A esto se le suma que en los pocos casos que se desarrollan estos
contenidos, los estudiantes presentan dificultades al representar figuras tridimensionales a
travs de representaciones planas, pensamos que esto se debe al poco tiempo que se le
dedica en las aulas la enseanza de la geometra espacial o se tiene carencia en los
contenidos que se enseanza, as lo menciona Per (2005):
Se ha observado que los docentes desarrollan en menor tiempo y con menorprofundidad las capacidades referidas a la geometra. Si consideramos que lasexperiencias de aprendizaje no se circunscriben nicamente al ltimo grado quese est cursando, sino que son la acumulacin integradora de las experiencias a lolargo de toda la escolaridad, el que no se trabaje la geometra con el tiempo y laprofundidad requeridas desde los grados anteriores puede ser una de las causasque influye negativamente en el aprendizaje de los estudiantes en este eje (Per,2005, p.98)
Creemos que los temas de geometra estn siendo relegados en las aulas, postergndolospara fin de ao, y sabemos que el aprendizaje es un conjunto integrador de experiencias
vividas durante todo el ao, en consecuencia sea esto una de las causas que influyen
negativamente en el aprendizaje de la geometra.
Por otro lado Per (2004) a travs de la Unidad de la Medicin de la Calidad Educativa
(UMC) tom la prueba nacional aplicada a 850 instituciones educativas de primaria,
arroj que slo el 9,6% de estudiantes que finalizaban el 2do grado de primaria se
encontraban en el nivel suficiente en el rea de matemtica, que es el nivel que se esperaque los estudiantes logren al culminar el 2do grado. Las capacidades que se consideraron
en esta prueba en el aspecto de comunicacin matemtica fueron: Identifican figuras y
cuerpos geomtricos (rectngulo, cuadrado, tringulo, crculo, cubo y cilindro) y sus
elementos (lados, caras, vrtices o esquinas), relacionndolos con objetos de su entorno.
Asimismo para el sexto grado la prueba nacional 2004 arroj tambin que los estudiantes
que culminan la primaria solo un 7,9% estn en el nivel suficiente, las capacidades que se
consideraron en el rea de geometra para el sexto grado en el aspecto de comunicacin
matemtica son: identifica, grfica y compara figuras y cuerpos geomtricos.
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Asimismo la Per (2004) UMC., afirma que:
La iniciacin a la geometra fue evaluada en el 2004 mediante preguntas referidasal reconocimiento de figuras elementales planas y del espacio. Por lo general se
emple el lenguaje geomtrico convencional y se utilizaron preguntas derespuesta corta de respuesta extensa y de opcin mltiple.
Las principales dificultades de los estudiantes a la iniciacin a la geometrafueron: los estudiantes no manejan el vocabulario geomtrico convencional, losestudiantes no identifican figuras geomtricas elementales (cuadrado, rectngulo,tringulo, pirmide, cubo etc.), ni a partir de las formas ni de las propiedades.(Per, 2004, p. 202).
Esto es evidencia que el rea de geometra ha estado descuidado y es una de las reas que
necesita trabajar con mayor profundidad, tal vez uno de los motivos sea como manifiesta
Per (2004) a travs del cuestionario Oportunidades de aprendizajes del sexto grado
(ODA6PM) donde:
De acuerdo con los resultados del cuestionario Oportunidades De Aprendizaje desexto grado (ODA6PM) ms del 60% de los estudiantes tiene docente que handedicado poco tiempo o que no han trabajado la iniciacin a la geometra durantetodo el ao. La razn principal por la que no se ha hecho es por la falta de tiempoy la postergacin para la final del ao escolar, segn manifestaron los docenteinvestigadoras encuestados, sin embargo, dado que el cuestionario ODA 6to PMse aplic en la segunda semana de noviembre, es muy probable que el tiempodisponible a partir de esa fecha y en lo que queda del ao, no haya sido suficientepara el desarrollo de estas capacidades. (Per, 2004, p.203).
El documento, presenta algunas sugerencias para el trabajo de la geometra, presentamos
a continuacin algunas sugerencias que consideramos de inters para nuestro estudio:
En primer lugar propiciar una exploracin activa de los objetos que se presentan en el
espacio lo que inicialmente despertar el inters en los estudiantes y estarn motivados.
Manifiesta que el entorno tiene una gran fuente de objetos a ser observados y
manipulados y que es partir de estas acciones donde los estudiantes van a construir
imgenes mentales que les permitir razonar sobre los objetos.
En segundo lugar propone el diseo de actividades con material concreto (plegado y corte
de papel, modelos, utilizacin de palitos y bolitas de masilla) ya que esto propiciar el
desarrollo de diferentes habilidades cognitivas, perceptivas y comunicativas.
Asimismo, en Per (2009) Diseo Curricular Nacional (DCN) en el rea de matemtica,
en el organizador geometra y medicin se precisan claramente los conocimientos
vrtices, aristas, caras de un cubo como contenido matemtico para el cuarto grado de
primaria a ser trabajado en todas las escuelas del pas, evidenciado la falta de continuidadde este tema y dejando un vaco entre el primer grado y cuarto grado de primaria donde
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los estudiantes recin conocen los elementos del cubo, no contando con los
conocimientos previos acerca de este objeto matemtico.
En el cuadro N 2 mostramos los contenidos que considera Per (2009) Diseo
Curricular Nacional para el organizador de Geometra desde el primer grado de primaria
hasta el sexto grado.
Cuadro 2. Contenidos de geometra de 1 a 4to grado de primaria
1er grado 2do grado 3er grado 4to grado
Formas geomtricasbsicas: rectngulo,tringulo, cuadrado,crculo, cubo, cilindroy esfera
Figuras planas en elprisma recto, cubo,pirmide.
Rectas paralelas yperpendiculares encuerposgeomtricos.
Vrtices, caras,aristas de uncubo,prisma rectode base poligonal.
Fuente: Adaptado dePer (2009, pp. 192-198)
Las capacidades que deben desarrollar los estudiantes son las que mostramos en el cuadro
3:
Cuadro 3. Capacidades de geometra de 1 a 4to grado de primaria
1er grado 2do grado 3er grado 4to gradoEstablecer relacionescon los objetos de su
entorno como el cubo.
Identificar figurasplanas en el cubo.
Identificar rectasparalelas yperpendiculares encuerposgeomtricos.
Identificarvrtices, caras,aristas de uncubo, en prismas.
Fuente: Adaptado dePer (2009, pp. 192-198)
Como se observa en el cuadro 2 en el primer grado se debe ensear el cubo como forma
bsica A qu se refiere en su forma bsica? Es tal vez a que los estudiantes deban
manipular representaciones de objetos tridimensionales como el cubo a travs de materialconcreto? O tal vez a que deban reconocer algunas caractersticas elementales del cubo y
llegar por intuicin a reconocer algunas propiedades del cubo? Parece no precisar
claramente los contenidos deseados para este objeto matemtico. Por otro lado en el 2do
grado nos hablan de figuras planas en el cubo y en el 3er grado ya de rectas paralelas y
perpendiculares para llegar al cuarto grado que es el inters de nuestro estudio donde
afirma se debe abordar vrtices, aristas y caras de un cubo, pensamos que he aqu la
importancia de ensear de manera progresiva a los estudiantes la geometra donde se
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evidencien las fases con caractersticas propias del DPG. que estudiaremos en esta
investigacin.
En el mismo sentido la NCTM, National Council of Teachers of Mathematics en los
Principios y Estndares para la Educacin Matemtica (2000) considera para el rea de
Geometra lo siguiente,
En la etapa 3-5, deberan desarrollar formas ms precisas de describir las figuras,centrndose en identificar describir sus propiedades y aprendiendo elcorrespondiente vocabulario especializado. Para consolidar sus ideas, deberandibujar y construir figuras, comparar y discutir sus atributos, clasificarlas, yelaborar y considerar definiciones basadas en sus propiedades (NCTM, 2000,p.169).
Asimismo para el uso de la tecnologa en el rea de geometra la afirmacin antes
sealada se refuerza con Los Principios y Estndares para la Educacin Matemtica
(2003) de laNational Council of Teachers of Mathematics(NCTM), que afirma:
En los programas que han adoptado las recomendaciones de los Principios yEstndares, los alumnos de los niveles medios habrn explorado y descubiertorelaciones entre figuras geomtricas, usando frecuentemente programas degeometra dinmica. Basndose en las caractersticas de los polgonos ypoliedros. (p.313).
En la actualidad contamos con Per (2013) Mapas de Progreso, que son nuestros
estndares nacionales y son las metas que esperamos que los estudiantes de todo el pas
logren al trmino de cada ciclo.
Cuadro 4. Estndares Nacionales del Per de Geometra por ciclos
III CICLO (1 y 2do grado) IV CICLO (3er y 4to grado) V CICLO (5to y 6to grado)
Relaciona objetos de su entornocon formas bidimensionales ytridimensionales, nombra y
describe sus elementos, lasclasifica, explica el criterioutilizado y las representa conmaterial concreto o con dibujos.Interpreta e identifica la longitud,superficie y capacidad comoatributos medibles, diferentes.
Clasifica y representa formasbidimensionales ytridimensionales tomando en
cuenta sus caractersticasgeomtricas comunes ydescribe el criterio utilizado.
Describe y representa formasbidimensionales ytridimensionales de acuerdo
a las propiedades de suselementos bsicos y lasconstruye a partir de ladescripcin de sus elementos.
Fuente: Adaptado Per (2013, p. 9)
En el cuadro 4 podemos observar que hay similitudes con los estndares internacionales
donde se precisa identificar, describir propiedades, construir o representar figurasgeomtricas por medio del dibujo, as como comparar y clasificar y construir definiciones
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a partir de las propiedades. Nuestro estudio sobre el cubo es pertinente ya que se
evidencia nuestro objeto matemtico en los estndares internacionales (NCTM), Diseo
Curricular Nacional (DCN) y Mapas de Progreso.
Las investigaciones de Fernndez (2013) Cozzolino (2008), Salazar (2009), Abascal
(2014), Guillen (1992), el Per (2009), Per (2013) que describimos muestran la
importancia del uso del material concreto para el desarrollo del pensamiento geomtrico
asimismo el Diseo Curricular Nacional a pesar del desfase que se ha mostrado considera
el uso de material concreto en los primeros ciclos de educacin bsica, tambin es
pertinente el uso del material concreto porque la NCTM considera el material concreto de
manera implcita en los estndares internacionales.
Por todo lo anterior expuesto, es que estamos interesados en analizar por un lado, como
se desarrolla el Pensamiento Geomtrico por medio del material concreto.
Asimismo, las investigaciones tambin muestran la importancia del uso de una ambiente
de geometra dinmica como el Cabri 3D para la enseanza y el aprendizaje del cubo. Sin
embargo, nosotros estamos interesados en estudiar la representacin y elementos del cubo
en el nivel primario por medio de material concreto y con el uso del Cabri 3D porque
pensamos que estas herramientas permiten que los estudiantes de cuarto grado deprimaria aprendan estas nociones de manera intuitiva. Sabemos que los nios entre los 9
y 10 aos se encuentran en el nivel del pensamiento de las operaciones concretas, es decir
que su pensamiento est ligado todava a sus experiencias concretas y necesitan
manipular objetos para ayudar a su proceso de aprendizaje, es por ello que consideramos
pertinente utilizar en primer lugar material concreto para pasar al uso de herramientas
tecnolgicas.
Estamos interesados en que los estudiantes del Cuarto grado de primaria movilicen la
nocin de cubo, con todos sus aspectos, sus caractersticas, elementos, propiedades,
usando el material concreto y el Cabri 3D y para analizar esto usamos como herramienta
terica el Desarrollo del Pensamiento Geomtrica, para el estudio de como los estudiantes
movilizan la nocin del cubo.
En base a los antecedentes presentados, la pertinencia del Cabri 3D y la justificacin de la
investigacin presentaremos la pregunta de investigacin y los objetivos general y
especficos.
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1.4. Pregunta y objetivos de la investigacin
Pregunta de la investigacin
Estudiantes del 4to grado de educacin primaria desarrollan su PensamientoGeomtrico, en las etapas G0 y G1, cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos
en una secuencia didctica con material concreto y Cabri 3D?
Objetivos de investigacin
A continuacin presentamos los objetivos que guan nuestra pesquisa.
Objetivo general
Analizar las etapas G0 y G1 del Desarrollo del Pensamiento Geomtrico en estudiantes
del 4to grado de educacin primaria cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos
en una secuencia didctica con material concreto y Cabri 3D.
Objetivos especficos
Identificar las etapas G0 y G1 del Desarrollo del Pensamiento Geomtrico en
estudiantes de 4to de educacin primaria cuando estudian el cubo en una
secuencia didctica en la que se utiliza material concreto.
Distinguir las etapas G0 y G1 y el trnsito del Desarrollo del Pensamiento
Geomtrico en estudiantes de 4to de educacin primaria cuando estudian el cubo
en una secuencia didctica en la que se utiliza Cabri 3D.
En el siguiente captulo para alcanzar los objetivos planteados presentamos el marco
terico y aspectos metodolgicos.
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CAPITULO II: DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
GEOMTRICO DE PARZYSZ Y APECTOS DE LA INGENIERA
DIDCTICAEn este captulo presentaremos los aspectos tericos y metodolgicos de nuestra
investigacin, los aspectos tericos estn dados por el Desarrollo del Pensamiento
Geomtrico segn Parzysz, en cuanto a la metodologa nos centraremos en aspectos de la
Ingeniera Didctica.
2.1. Desarrollo del Pensamiento Geomtrico
Para desarrollar nuestro trabajo de investigacin utilizaremos como subsidio terico el
enfoque de Parzysz (1988) que es llamado Desarrollo del Pensamiento Geomtrico. Cabe
aclarar que el autor se bas en las teoras de Van Hiele, Houdemente y Kusnial y de
Henry, que han desarrollado aspectos de Geometra, de los cuales realiz una articulacin
de las mismas y realiz una propuesta terica diferente de esas teoras. Ver figura 11.
Figura 11. Adaptado de Maciel (2004, p.73)
En la figura 11 mostramos la clasificacin que propone el autor sobre el Desarrollo del
Pensamiento Geomtrico, el autor realiza una clasificacin del Pensamiento Geomtrico
en dos grandes grupos: Geometra no axiomtica y Geometra axiomtica.
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En la Geometra no axiomtica estn los niveles G0 (Geometra concreta) y G1
(Geometra espacio grfica) es decir donde los objetos son fsicos y las validaciones son
perceptivas. En la geometra axiomtica Parzysz (1988) propone dos etapas, G2
(Geometra proto- axiomtica) y G3 (Geometra axiomtica) en ambos los objetos son
tericos y las validaciones son deductivas en base a los objetos tericos. A seguir
especificaremos con ms detalle el primer grupo del Desarrollo Pensamiento Geomtrico.
Geometra concreta (G0):en esta etapa, el estudiante todava parte de la realidad, de
lo concretoy los objetos son fsicos donde se pueden observar sus caractersticas como
el tipo de material por ejemplo madera, pajillas y diferentes colores, etc.). Las
validaciones que realizan los estudiantes acerca de los objetos matemticos parten de su
percepcin al observar o manipularlos.
Figura 12. Estructura de Cubo construido en varitas
Por ejemplo, observar las caractersticas de la estructura del cubo construido en varitas
como mostramos en la figura 12 (cuando se asume que tiene caras transparentes).
Geometra espacial-grfica (G1): de acuerdo con el investigador, en esta etapa el
estudiante todava confunde geometra y realidad es decir confunde la nocin del
objeto ideal con el objeto representado que est en la realidad, sin embargo comienza a
discernir las propiedades de las figuras ms todava sin poder explicarlas.
Asimismo segn el autor, las tcnicas utilizadas para que el estudiante resuelva una
actividad, pueden ser utilizados instrumentos como: regla, comps, escuadra,
transportador, etc.
Adems, es la Geometra espacio grfica, en este nivel los objetos son bidimensionales,
como por ejemplo representaciones del cubo hechos con lpiz y papel. En esta etapa de
geometra espacio-grfica (ver figura 13), la justificacin de las propiedades del cubo son
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realizadas por lo que se ve, por lo que es visible, cuyas validaciones continan siendo
perceptivas.
Figura 13. Caras del cubo construido en Cabri 3D
Por ejemplo en la figura 13 observamos las caras del cubo representado en el software
Cabri 3D.
El otro grupo que presenta Parzysz (1988), es el de la Geometra axiomtica, donde se
encuentran las etapas G2 (Geometra Proto - axiomtica) y G3 o (Geometra axiomtica).
A continuacin presentamos la etapa proto-axiomtica y axiomtica.
Geometra Proto-axiomtica (G2): en esta etapa, segn el autor ocurre la concepcin deun esquema de esa realidad, en este momento las definiciones cobran sentido y los
resultados obtenidos empricamente pueden ser utilizados en conjunto con tcnicas
deductivas. Las tcnicas utilizadas se refieren a objetos geomtricos en los cuales la
existencia es asegurada por las definiciones, axiomas y propiedades consideradas.
Los conceptos son objetos tericos y las demostraciones de los teoremas son hechas a
partir de condiciones aceptadas por los estudiantes de manera intuitiva. Por ejemplo, a
nivel secundario cuando se ensea que la longitud de la diagonal del cubo se puedecalcular en funcin de la longitud de su arista, se usa el Teorema de Pitgoras.
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Diagonal del cubo
Dnde:
D es la diagonal del cubo y
a es la arista del cubo
Entonces, D= a3
Figura 14. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D
Desarrollo de la diagonal principal del cubo
Figura 15. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D
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La figura 15 muestra que para hallar la diagonal del cubo ABCD-EFGH, primero se halla
la diagonal de la base ABCD del cubo, por medio del teorema de Pitgoras, que es a ,
luego para hallar la diagonal BH tambin se usa el Teorema de Pitgoras obtenindose D
= a . En este ejemplo observamos que se moviliza la etapa G2 por que se tienen que
usar el teorema de Pitgoras dos veces.
Geometra Axiomtica (G3): llamada por Parzysz (1988) etapa axiomtica. En esta
etapa, de acuerdo con esta teora, los axiomas son demostrados completamente. Por
ejemplo, presentamos la demostracin de Pogorelov (1972) en donde muestra las
diagonales del cubo llamados por l paralelpedo.El prisma se denomina paralelpedo si tiene como base un paralelogramo, todaslas caras del paralelpedo son paralelogramos. Se llama diagonal del paralelpedotodo segmento que une dos vrtices no pertenecientes a una misma cara. Elparalelpedo tiene 4 diagonales A1 A3 A2 A4 A3 A1 y A4 A2.
Teorema 24.2 las diagonales del paralelpedo se cortan en un punto que las dividepor la mitad.
Demostracin: consideremos dos diagonales cualesquiera digamos A1 A3 y A2A4, puesto que los cuadrilteros A1 A2 A3 A4 y A2 A2 A3 A3 sonparalelogramos, el cuadrilatero.A4 A1 A2 A3 es tambin un paralelogramo. Las
diagonales del paraleleppedo A1 A3 A4 A2 del paraleleppedo son tambindiagonales del paralelogramo por eso se cortan en un punto de interseccin o lasdivide por la mitad.
Anlogamente se demuestra que las diagonales A1 A3 y A2 A4 as como lasdiagonales A1 A3 A1 A3 y A2 A1 se cortan y el punto de interseccin las dividepor la mitad. Es as que queda demostrado el teorema (p. 176-177).
.
.
Figura 16. Demostracin de las diagonales del cubo
Fuente: Pogorelov (1974, p. 177)
La figura 16, presenta la representacin figural de la demostracin de las diagonales de
un cubo.
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Segn Parzysz, podemos hacer que el estudiante consiga Desarrollar su Pensamiento
Geomtrico cuando se trabaja con modelos espacio fsico, espacio-grfico, proto-
axiomtico, e hipottico-deductivo. Ya que de acuerdo con el investigador Parzysz citado
en Maciel (2004 p. 75) el inicio de la geometra espacial puede ser hecha teniendo el
recorrido no solamente de las representaciones diseadas sino tambin de maquetas
tridimensionales y eso hace que cualquier alumno pueda hacerlo.
Adaptacin al nivel de Educacin Primaria
Nuestra investigacin se desarrolla en el nivel primaria especficamente con estudiantes
del cuarto grado entre 9 y 10 aos de edad, consideramos pertinente desarrollar las etapas
de la geometra no axiomtica (G0 y G1) propuestos por Parzysz (1988), y desarrolladas
tambin en la investigacin de Maciel (2004), porque las validaciones que realizarn los
estudiantes sern basados en su percepcin, a travs de la manipulacin del material
concreto donde percibirn caractersticas propias de los objetos fsicos para relacionarlos
con el Cabri 3D.
Nos centraremos en el grupo de la geometra no axiomtica del Desarrollo del
Pensamiento Geomtrico, donde se encuentran las etapas G0 (Geometra concreta) y G1
(Geometra espacio-grfico), de acuerdo con el investigador la etapa G0 que propone elautor ser tomada como lo define el autor porque es adecuado para nuestra investigacin.
Sin embargo para efectos de nuestra investigacin al nivel G1 lo llamaremos Geometra
figural porque la representacin de las figuras sern dadas en material concreto y el
software Cabri 3D nuestras actividades trabajaremos bsicamente con figuras
geomtricas como el cuadrado.
Figura 17. Geometra no axiomtica
Fuente:Adaptado de Maciel (2004, p.73)
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Otra de las razones en que nos basaremos para investigar los dos primeros niveles (G0 y
G1) es porque de acuerdo con Almoloud (2015) en el paso del nivel G1 y G2 se pasa de
la geometra concreta que se basa en la percepcin, a la geometra proto-axiomtica
(nivel G2) que se basa en teoremas definiciones y axiomas para hacer demostraciones
matemticas.
2.2Metodologa de investigacin: aspectos de la Ingeniera Didctica
La presente investigacin tiene caractersticas de una investigacin cualitativa. Nos
basamos en Hernndez, Fernndez y Baptista (2010) y Taylor y Bogdan (1986).
Para Hernndez, Fernndez y Baptista (2010) definen investigacin cualitativa como Larecoleccin de datos sin medicin numrica para descubrir o afinar preguntas de
investigacin en el proceso de interpretacin (p.7). Asimismo los investigadores
consideran las situaciones, eventos, las personas y sus interacciones como conductas
observadas y sus manifestaciones.
En el mismo sentido Taylor y Bogdan (1986) consideran en un sentido amplio, la
investigacin cualitativa como aquello que produce datos descriptivos: con las propias
palabras de las personas habladas o escritas y la conducta observable(p.20).
Asimismo, los investigadores consideran como componentes importantes de la
investigacin cualitativa: la observacin y seleccin de escenarios.
En Educacin Matemtica, Borba (2004) describe las caractersticas de una investigacin
cualitativa en Educacin Matemtica y manifiesta que:
1.- Una investigacin cualitativa tiene la fuente directa de los datos en el medio
natural.
2.- Una investigacin cualitativa es descriptiva.
3.- Los investigadores cualitativos tienen ms inters por el proceso que
simplemente por los resultados o productos.
4.- Los investigadores cualitativos tienden a analizar sus datos inductivamente.
5.- El significado es de vital importancia en el enfoque cualitativo. (p. 6).
Nosotros tomamos la postura de investigacin cualitativa descrita por Borba. Y
tomaremos dentro de esta aspectos de la Ingeniera Didctica de Artigue (1995) como
metodologa de investigacin que presentamos a seguir.
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Aspectos de Ingeniera Didctica
Segn Artigue (1995), La Ingeniera Didctica como Metodologa de investigacin, se
caracteriza en primer lugar por un esquema experimental basado en las realizaciones
didcticas en clase, es decir sobre la concepcin, realizacin, observacin y anlisis de
enseanza (p.36). En este sentido, nosotros desarrollaremos un trabajo experimental en
el mbito de la enseanza y aprendizaje en clase con estudiantes del cuarto grado de
educacin primaria sobre los elementos del cubo como objeto matemtico.
Cabe resaltar que nuestra investigacin se ubica dentro de la micro ingeniera, porque es
puntual y nos permite de manera local observar la complejidad de los fenmenos
ocurridos en clase, es as que en nuestro estudio, estamos desarrollando una secuencia de
actividades para aprender un contenido determinado en nuestro caso el estudio del cubo y
sus elementos en un aula de cuarto grado de educacin primaria.
De acuerdo con la investigadora la Ingeniera Didctica tiene las siguientes fases:
1. Anlisis preliminar
2. Anlisis a priori
3. Experimentacin
4. Anlisis a posteriori
A continuacin desarrollaremos aspectos de cada una de las fases para efectos de nuestra
investigacin.
Anlisis preliminar
La autora en esta fase considera:
El anlisis epistemolgicode los contenidos contemplados en la enseanza.
En nuestro estudio tomaremos aspectos del objeto matemtico.
El anlisis cognitivo concepciones de los estudiantes, de las dificultades y
obstculos que determinan su evolucin.
En nuestro estudio se presentarn las investigaciones que anteceden nuestra
investigacin como Fernndez (2013), Cozzolino (2008), Guilln (1992) y
Abascal (2014) ya que estas investigaciones toman nuestro objeto matemtico en
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estudio, hacen uso del Cabri 3D que nosotros trabajaremos, y propician el uso de
material concreto.
El anlisis didcticoanlisis de la enseanza tradicional y sus efectos.
En nuestro estudio realizaremos un anlisis de los documentos oficiales que
proporciona Per (2012) como son los textos didcticos que utilizan los
estudiantes del primer al cuarto grado de primaria con relacin al objeto
matemtico cubo.
Concepcin y anlisis a priori
Despus de haber realizado el anlisis preliminar es decir de haber analizado: los
antecedentes, el objeto matemtico cubo, los libros de textos del primer al cuarto grado
de educacin primaria, se han generado condiciones para crear las actividades. En este
sentido, Artigue (1995) distingue dos tipos de variables de comandoque interfieren en el
desarrollo de la actividad y que el investigador considera pertinentes, que pueden ser:
variables macro didcticas (organizacin global de la Ingeniera) y variables micro
didcticas (organizacin local de la secuencia o fase).
En nuestra investigacin, las variables macro didcticas son los sujetos de la
investigacin, el uso del ambiente de geometra dinmica Cabri 3D, el uso del material
concreto, el tiempo de las actividades, el lugar o medio donde se realizar la
experimentacin, los equipos de trabajo, etc. Estas variables macro didcticas sern
desarrolladas en la parte experimental de nuestra investigacin que constar en una
secuencia de dos actividades donde se movilizar nuestro objeto matemtico cubo y el
reconocimiento de sus elementos con material concreto y a travs del uso del Cabri 3D.
Y las variables micro didcticas o locales, en nuestra investigacin se encuentran
implcitas, cabe recordar que estamos tomando aspectos de la ingeniera didctica.
Luego de haber concebido la secuencia de actividades, se realizar el anlisis a priori,
que son las posibles soluciones o respuestas esperadas de los estudiantes en relacin con
el marco terico utilizado. Para la autora, el objetivo del anlisis a priori es determinar en
qu las selecciones hechas de las variables van a permiten controlar los comportamientos
de los estudiantes y sus significados. Este anlisis a priori comprende dos partes: una
parte descriptiva y otra predictiva en la cual se centra las caractersticas de una situacin a
didctica que se ha querido disear y que se va a tratar de ensear a los alumnos. Por lo
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tanto el anlisis a priori es el anlisis de las repuestas de los estudiantes a la luz de la
teora.
Experimentacin
La experimentacin es la puesta en prctica de los instrumentos, es el contacto entre la
docente investigadora y los sujetos de la investigacin, aqu se realizar un registro de la
observacin de las actividades. En nuestro estudio desarrollaremos una secuencia
didctica, esta secuencia didctica consta de dos actividades, en la primera actividad
pretendemos que los estudiantes observen, manipulen y describan el cubo en material
concreto, en la segunda actividad pretendemos que los estudiantes exploren el cubo y suselementos en Cabri 3D y finalmente realizaremos un cierre de cada actividad
formalizando las nociones matemticas del cubo y sus elementos.
Anlisis a posteriori y validacin
Para Artigue (1995) esta fase se basa en el conjunto de datos recogidos durante la fase de
la experimentacin y de todas las observaciones registradas durante la secuencia de
actividades de enseanza aprendizaje, al igual que los resultados o productos que
obtenemos de las actividades. Asimismo esta fase se caracteriza por realizar una
contratacin entre el anlisis a priori y a posteriori de las actividades referidas al cubo con
el uso del material concreto y el Cabri 3D, bsicamente la validacin de la Ingeniera
Didctica es en esencia interna.
En el siguiente captulo presentaremos a nuestro objeto matemtico cubo, los aspectos
matemticos donde consideramos nociones generales pertinentes y los anlisis didcticos
de los libros de texto de cuarto grado.
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CAPTULO III: EL CUBO
En este captulo presentaremos aspectos matemticos referidos al objeto matemtico cubo
y algunos conceptos fundamentales para su mayor comprensin, as como aspectosdidcticos del libro del cuarto grado de primaria de Per (2012).
3.1. Aspectos matemticos
Como nuestra investigacin se centra en el estudio del cubo, en este captulo tomaremos
los aportes de Gonzales y Snchez (1999) para presentar el objeto matemtico en estudio.
Antes de presentar el cubo explicaremos algunos conceptos fundamentales. A
continuacin presentaremos la definicin de poliedros que usaremos en nuestra
investigacin.
Poliedros
El Lima (2000) define poliedro como, Poliedro es una reunin de un nmero finito de
polgonos planos llamados caras donde:
a) Cada lado de uno de esos polgonos es tambin lado de, un y solo un, otro polgono.
b) La interseccin de dos caras cualesquiera o es un lado comn o un vrtice.
Cada lado de un polgono comn a dos caras, es llamado una arista del poliedro y cada
vrtice de una cara es un vrtice del poliedro.
Figura 18. Tetraedro
Para explicar los elementos del poliedro nos basaremos en los aportes de Fernndez
(2013, p. 44). En La representacin del poliedro de la figura 1 identificamos los
siguientes elementos:
Vrtices del poliedro : A, B, C, D.
Aristas del poliedro : AB, BC, CA, AD, DC, DBCaras del poliedro : ABC, ADC, ADB, DBC
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Asimismo, Rangel (1982) realiza una clasificacin de poliedros que consideramos nos
ayudar a ubicar nuestro objeto matemtico cubo, dentro de los poliedros regulares como
muestra la figura 19.
.
Figura 19. Clasificacin de los poliedros
Fuente:Adaptado de Rangel (1982, p. 12).
Tambin Gonzales y Snchez (1999), definen al cubo como: Poliedro regular formado
por seis caras cuadradas que concurren tres en cada vrtice. Tiene 8 vrtices y 12 aristas
(p.10).
Por ejemplo, en la figura 20 presentamos la representacin del cubo y sus elementos en
Cabri 3D:
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Figura 20. Cubo ABCD-EFGH
El cuadro 5 muestra los elementos del cubo: vrtices, aristas, caras del cubo.
Cuadro 5. Elementos del cubo
Tomaremos los aportes de Gonzales y Snchez para el estudio del objeto matemtico
cubo, ya que tiene relacin con el estudio que realizaremos en los libros de texto del
cuarto grado de primaria que reciben los estudiantes de Per (2012).
Nosotros tomaremos los aportes de Lima (2000) para la definicin de poliedro en el