cubo y suselemtos

7/26/2019 cubo y suselemtos

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER

ESCUELA DE POSGRADO

EL CUBO Y SUS ELEMENTOS: UNA SECUENCIA DIDCTICA BASADA EN

EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMTRICO EN ESTUDIANTES

DEL CUARTO GRADO DE EDUCACIN PRIMARIA

Tesis para optar el grado de Magster en Enseanza de las Matemticas

que presenta

MARA TERESA,PORTUGALAVALOS

Dirigido por

JESS VICTORIA,FLORES SALAZAR

San Miguel, 2015


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A mi hijo Luis Adrin, por todo el tiempo que no le

pude dedicar, al realizar esta investigacin. A mi

madre Brgida, por las grandes muestras de amor y

dedicacin. A la memoria de mi padre Roberto

Portugal Neyra, por ser ejemplo de perseverancia y

superacin. A David Aguilar, quien me motiv a

iniciar y concluir esta nueva etapa profesional de mi

vida.


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AGRADECIMIENTO

A Dios, por darme la fortaleza en cada paso que doy en la vida, y por poner en mi camino

a las personas que tuvieron un rol importante para que hiciera realidad esta metaanhelada.

Al Ministerio de Educacin del Per, quien por medio del Programa Nacional de Becas y

Crdito Educativo-PRONABEC, me permiti acceder a la Beca Presidente de la

Repblica denomina Beca Docente de Posgrado para estudios de Maestra en Ciencias

de la Educacin en el Per 2014.

A la Maestra Enseanza de las Matemticas de la Pontificia Universidad Catlica del

Per por haber contribuido en mi formacin acadmica y contar conun excelente equipo

de profesores del ms alto nivel.

A mi querida y estimada asesora, la Dra. Jess Victoria Flores Salazar, por toda la

dedicacin que le ha brindado a esta investigacin, por guiarme con disciplina y

exigencia en este camino de la investigacin Matemtica y sobre todo por su valioso

tiempo compartido conmigo, valoro cada minuto a su lado, es usted una excelente

maestra.

A los miembros del jurado a la Mg. Carolina Reao de la Pontificia Universidad Catlica

del Per y al Dr. Fumikaso Saito de la pontificia Universidad Catlica de Sao Paolo de

Brasil, por sus pertinentes observaciones y sugerencias para mejorar la investigacin.

A la Dra. Cecilia Gaita Iparraguirre, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por

sus sabias enseanzas en los cursos que fue mi maestra.

Al Dr. Uldarico Malaspina Jurado, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por

ensearnos a amar las Matemticas y brindarnos siempre su valioso tiempo.

Al Dr. Hctor Velsquez, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por su

disposicin y valiossimo apoyo en esta investigacin.

A la profesora Sonia Pea, de la Pontificia Universidad Catlica del Per, por entregarse

con tanta pasin en los cursos de ingls, es ud. una maestra admirable, de vocacin, que

siempre recordar por confiar en nosotros, entendernos, y exigirnos con paciencia y

disciplina, muchas gracias.


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Al profesor Jorge Polar Jara director de la I.E. N 1143 Domingo Faustino Sarmiento,

por creer en m al darme la oportunidad de iniciar esta nueva experiencia de la maestra,

Gracias por impulsar en sus maestros el desarrollo profesional.

A mi madre Brgida, mis hermanos; Diana, Roberto, Giselle y Luis quienes me apoyaron

en todo y me comprendieron en muchas ocasiones.

A David Aguilar, por motivarme a desarrollarme profesionalmente, por ser mi soporte y

apoyo en los momentos ms difciles que me toc vivir, por compartir conmigo que la

mejor herencia que podemos dejar a nuestro hijo es una buena educacin.

A Norma Espinoza Esteban, porque cada da vivido en la Universidad, me ha enseado a

valorar la vida y a las personas, de ti aprend, que por ms conocimiento que una personatenga, no vale nada si no busca primero ser un buen ser humano.

A mis amigas y amigos compaeros de la maestra en Enseanza de las Matemticas

primaria y secundaria, en especial a Beatriz Espinoza, Rubn Jara, Luis Marav, Vernica

Castillo, Ysabel Valentn, Edith Ochoa, y Alicia Becerra, por sus consejos y apoyo

incondicional a lo largo de esta maestra.


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RESUMEN

El presente trabajo de investigacin tiene como objetivo analizar, basados en la teora de

Parzysz, el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico, especficamente el trnsito de las

etapas G0 a G1 en estudiantes del cuarto grado de educacin primaria (9 y 10 aos de

edad) cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos, por medio de una secuencia

didctica en la que se usa el material concreto y el ambiente de geometra dinmica Cabri

3D, para lo cual planteamos la siguiente pregunta de investigacin:Estudiantes del 4to

grado de educacin primaria desarrollan su Pensamiento Geomtrico, en las etapas G0 y

G1, cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos en una secuencia didctica con

material concreto y Cabri 3D?. Para este estudio tomamos como marco terico el

Desarrollo del Pensamiento Geomtrico de Parzysz y como marco metodolgico aspectos

de la Ingeniera Didctica de Artigue. La secuencia didctica de la parte experimental

consta de dos actividades. La primera actividad tiene cuatro preguntas orientadas a

identificar el desarrollo del pensamiento geomtrico en las etapas G0 y G1 en estudiantes

cuando estudian el cubo en material concreto. La segunda actividad consta tambin de

cuatro preguntas orientadas a distinguir la etapas G0 y G1 del Desarrollo del Pensamiento

Geomtrico cuando estudian el cubo y sus elementos en las que se utiliza el Cabri 3D.Finalmente, consideramos que el desarrollo de las dos actividades permiti identificar y

estudiar el trnsito de etapas G0 y G1 de los estudiantes al desarrollar la secuencia

didctica. Adems, pensamos que el uso del Cabri 3D en la segunda actividad fue

sustancial para el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico de los estudiantes ya que la

manipulacin directa y el arrastre que este ambiente de geometra dinmica posee facilit

dicho desarrollo.

Palabras claves:Geometra, Cubo, Material concreto, Cabri 3D.


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ABSTRACT

This research aims to analyze, based on the theory of Parzysz, the development of

geometrical thinking, specifically the transit from G0 to G1 stage in fourth graders (9 to

10 years old) when they study the notion of cube and its elements, through a didactical

sequence in which the solid material and the environment of Cabri 3D dynamic geometry

were used. Thus, the following research question was raised: Did fourth-grade students

of primary education develop their geometrical thinking in the G0 and G1 stages while

studying the concept of cube and its elements in a didactical sequence with the solid

material and Cabri 3D?. For this study, we have considered the development of Parzyszs

Geometrical Thinking as our theoretical framework, and some aspects of Artigues

Didactical Engineering as our methodological framework. The didactical sequence of the

experimental part consisted of two activities. The first activity had four questions

designed to identify the students development of geometrical thinking in the G0 and G1

stages in which they studied the particular solid cube. The second activity had also four

questions designed to distinguish the G0 and G1 geometrical thinking development stages

in which they studied the cube and its elements by using Cabri 3D. Finally, we

considered that the development of both activities allowed us to identify and study the

transit of the students from G0 to G1 stages while developing the didactical sequence

mentioned above. We also believed that the use of Cabri 3D in the second activity was

substantial for the development of students geometrical thinking due to the direct

manipulation and drag that this dynamic geometrical environment possesses which has

facilitated this development.

Keywords: Geometry, Cube, solid material, Cabri 3D.


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LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Ventana de inicio del Cabri 3D versin 2.1 ....................................................... 25

Figura 2. Barra de herramientas del Cabri 3D ................................................................... 25

Figura 3. Herramienta poliedros ........................................................................................ 25

Figura 4. Herramienta manipulacin ................................................................................. 26

Figura 5. Herramienta punto .............................................................................................. 27

Figura 6. Herramienta segmento ....................................................................................... 27

Figura 7. Herramienta polgono ....................................................................................... 27

Figura 8. Herramienta longitud ......................................................................................... 28

Figura 9. Funcin atributos para el color de curva ............................................................ 28

Figura 10. Funcin atributos para el color de la superficie ............................................... 28

Figura 11. Adaptado de Maciel (2004, p.73) ..................................................................... 35

Figura 12. Estructura de Cubo construido en varitas......................................................... 36

Figura 13. Caras del cubo construido en Cabri 3D............................................................ 37

Figura 14. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D ...................................................... 38

Figura 15. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D ...................................................... 38

Figura 16. Demostracin de las diagonales del cubo ........................................................ 39

Figura 17. Geometra no axiomtica ................................................................................. 40

Figura 18. Tetraedro .......................................................................................................... 45

Figura 19. Clasificacin de los poliedros .......................................................................... 46

Figura 20. Cubo ABCD-EFGH ......................................................................................... 47

Figura 21. Reconocemos slidos geomtricos .................................................................. 49

Figura 22. Reconocemos slidos geomtricos .................................................................. 50

Figura 23. Conocemos los slidos geomtricos ................................................................ 50

Figura 24. Conocemos los slidos geomtricos ................................................................ 51

Figura 25. Reconocemos los slidos geomtricos ............................................................. 52


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Figura 26. Reconocemos los slidos geomtricos ............................................................. 52

Figura 27.Identificamos slidos geomtricos .................................................................... 53

Figura 28. Manipulacin del cubo y prisma ...................................................................... 56

Figura 29. Respuesta de Danield en la Actividad 1 ........................................................... 57

Figura 30. Respuesta de Josu en la Actividad 1 .............................................................. 58

Figura 31. Pregunta N 2 de la Actividad 1 con material concreto ................................... 58

Figura 32. Respuesta de Danield de la actividad 1 pregunta 2 .......................................... 60

Figura 33. Respuesta de Danield de la pregunta 2 ............................................................ 60

Figura 34. Respuesta de Josu completando la tabla de la pregunta 2 .............................. 61

Figura 35. Respuesta de Josu de la pregunta 2 ................................................................ 62

Figura 36. Pregunta 3 de la actividad 1 ............................................................................. 62


Figura 38. Manipulacin del material concreto prisma y cubo ......................................... 64

Figura 39. Respuesta de Josu pregunta 3 ......................................................................... 64

Figura 40. Pregunta 4 de la actividad 1 ............................................................................ 64

Figura 41. Estructura del cubo en madera (30cm)............................................................. 66


Figura 43. Respuesta de Josu de la pregunta 4 ................................................................ 68


Figura 45. Uso de la funcin arrastre en el cubo ............................................................... 70

Figura 46. Uso de la funcin manipulacin directa en el cubo ......................................... 70

Figura 47. Arrastre de un vrtice para aumentar la longitud de la arista .......................... 71

Figura 48. Arrastre de un vrtice para disminuir la longitud de la arista ......................... 71

Figura 49. Respuesta de Danield actividad 2 .................................................................... 72

Figura 50. Respuesta de Danield actividad 2 .................................................................... 72

Figura 51. El cubo cuando aumenta la longitud de sus aristas .......................................... 73


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Figura 52. El cubo cuando la longitud de sus aristas disminuyen ..................................... 73

Figura 53. Manipulacin del cubo haciendo uso de la funcin manipulacin directa ...... 74

Figura 54. El cuadrado cuando se hace uso de la funcin manipulacin directa ............. 74

Figura 55. Josu resuelve la tabla de la actividad con Cabri 3D ....................................... 75


Figura 57. Uso de la herramienta longitud para las aristas del cubo ................................ 76

Figura 58. Danield ubicando el cursor en las aristas del cubo ......................................... 77

Figura 59. Longitud de la arista del cubo por Danield ..................................................... 77

Figura 60. Respuesta de Danield de la actividad 2 ............................................................ 78

Figura 61. Josu ubica el cursor en la arista del cubo ...................................................... 78

Figura 62. Medida de la arista por Josu ........................................................................... 79

Figura 63. Uso de la funcin manipulacin directa ........................................................... 79

Figura 64. Vista del cuadrado con el uso de la funcin manipulacin directa .................. 79

Figura 65. Respuesta de Josu en la pregunta 2 ................................................................ 80


Figura 67. Color de la arista del cubo ................................................................................ 81

Figura 68. Color de los vrtices del cubo .......................................................................... 81

Figura 69. Medida de longitud de las aristas del cubo ...................................................... 82

Figura 70. Uso de la herramienta color de curva ............................................................... 82

Figura 71. Vista del cubo con el uso de manipulacin directa .......................................... 83

Figura 72. Respuesta de Danield ....................................................................................... 83

Figura 73. Respuesta de Danield ....................................................................................... 83

Figura 74. Josu ubica el cursor en una arista ................................................................... 84

Figura 75. Color de curva de una de las aristas por Josu ................................................. 84

Figura 76. Respuesta de Josu sobre el nmero de aristas del cubo ................................. 85

Figura 77. Respuesta de Josu sobre el nmero de vrtices del cubo ............................... 85


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Figura 79. Reconocimiento de una de las caras cuadradas del cubo ................................ 86

Figura 80. Coloreado de las caras del cubo con la funcin superficie del objeto ............ 86

Figura 81. Coloreado de una de las caras del cubo por Daniel ........................................ 87

Figura 82. El cuadrado al hacer uso de la funcin manipulacin directa ......................... 87

Figura 83. Respuesta de Daniel reconociendo las caras del cubo ..................................... 87

Figura 84. Cubo ABCD-EFGH construdo por Danield .................................................. 88

Figura 85. Coloreado de las caras del cubo por Josu ....................................................... 88

Figura 86. Respuesta de Josu ........................................................................................... 89




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LISTA DE CUADROS

Cuadro 1. Especificaciones de las herramientas del Cabri ....................................................... 26

Cuadro 2. Contenidos de geometra de 1 a 4to grado de primaria .......................................... 31

Cuadro 3. Capacidades de geometra de 1 a 4to grado de primaria ........................................ 31

Cuadro 4. Estndares Nacionales del Per de Geometra por ciclos ........................................ 32

Cuadro 5. Elementos del cubo .................................................................................................. 47

Cuadro 6. Textos analizados ..................................................................................................... 48

Cuadro 7. Descripcin de las actividades de la investigacin .................................................. 55

Cuadro 8. Los elementos del cubo ........................................................................................... 90


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NDICE

CONSIDERACIONES INICIALES ......................................................................................... 14

CAPITULO I: LA PROBLEMTICA...................................................................................... 15

1.1. Antecedentes ................................................................................................................... 15

1.2. Ambiente de geometra dinmica Cabri 3D ................................................................... 24

1.3. Justificacin de la investigacin ..................................................................................... 29

1.4. Pregunta y objetivos de la investigacin ......................................................................... 34

CAPITULO II: DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMTRICO DE

PARZYSZ Y APECTOS DE LA INGENIERA DIDCTICA ............................................... 35

2.1. Desarrollo del Pensamiento Geomtrico ........................................................................ 35

2.2 Metodologa de investigacin: aspectos de la Ingeniera Didctica ............................... 41

CAPTULO III: EL CUBO ....................................................................................................... 44

3.1. Aspectos matemticos ..................................................................................................... 45

3.2.

Aspectos didcticos del libro del 4to grado de primaria ................................................. 48

CAPTULO IV: EXPERIMENTO Y ANLISIS ..................................................................... 54

4.1. Desarrollo de la investigacin ......................................................................................... 54

Resultados del experimento ....................................................................................................... 91

Consideraciones finales ............................................................................................................. 92

REFERENCIAS ........................................................................................................................ 95

ANEXOS ................................................................................................................................... 98


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CONSIDERACIONES INICIALES

En nuestro medio, es frecuente que los temas de geometra queden relegados a los

ltimos meses del ao escolar en la educacin primaria. Esto ocurre por varios motivos,uno de los cuales puede ser el poco conocimiento de los profesores del nivel primario en

temas de geometra plana que trabajarn con sus estudiantes en el ao escolar debido a

que en la formacin inicial son pocos los cursos que se dedican a matemticas.

A continuacin, presentamos los cuatro captulos en que se desarrolla nuestro trabajo.

En el primer captulo, presentamos algunas investigaciones relacionadas con el objeto

matemtico cubo y el marco terico en el que nos basamos en la tesis que es el Desarrollo

del Pensamiento Geomtrico. Tambin se presentan los antecedentes que guardan

relacin con el objeto matemtico en material concreto y los antecedentes vinculados con

el uso del ambiente de geometra dinmica Cabri 3D. Adicionalmente, formulamos la

pregunta de investigacin y los objetivos de la investigacin.

El segundo captulo est compuesto por los aspectos tericos y metodolgicos de la

investigacin. En cuanto al marco terico, tomamos aspectos del Desarrollo del

Pensamiento Geomtrico (DPG) de Parzysz (1988). Especficamente nos centramos en

las etapas G0 y G1 de la geometra no axiomtica que propone el investigador y en la

adaptacin que hemos realizado para efectos de nuestra investigacin. Adems,

presentamos aspectos de la Ingeniera Didctica de Artigue, que es la base metodolgica

que gua nuestra investigacin.

En el tercer captulo, presentamos el objeto matemtico cubo y el anlisis didctico de los

libros de texto del primer al cuarto grado de educacin primaria del Ministerio de

Educacin del Per (MINEDU), concretamente estudiamos las unidades donde se aborda

el objeto matemtico cubo.

En nuestro ltimo captulo, caracterizamos el escenario y a los sujetos de investigacin.

Adems, presentamos las actividades propuestas en la investigacin y sus respectivos

anlisis a priori y a posteriori.

Finalmente, presentamos los resultados y consideraciones finales de la investigacin en el

que sealamos tambin las futuras investigaciones que podemos realizar a partir de este

estudio.


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CAPITULO I: LA PROBLEMTICA

La investigacin que presentamos se centra en el estudio del Desarrollo del Pensamiento

Geomtrico en estudiantes del 4to grado de educacin primaria, con el objeto matemticocubo, para lo cual, organizamos este captulo de la siguiente manera: antecedentes, el

Cabri 3D, la justificacin de la investigacin y finalmente, en este captulo presentamos

la pregunta de investigacin y sus respectivos objetivos.

1.1. Antecedentes

Los antecedentes estn organizados de acuerdo a tres caractersticas, los antecedentes que

tienen relacin con el objeto matemtico cubo, antecedentes relacionados al referencial

terico que es el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico y antecedentes relacionados a la

metodologa de la investigacin que es la Ingeniera Didctica de Artigue.

Antecedentes que guardan relacin con el objeto matemtico y el referencial terico

En primer lugar, presentamos el trabajo de Fernndez (2013), cuyo objetivo fue analizar

el uso de perspectivas y Cabri 3D para reducir el conflicto entre lo visto y lo sabido de la

representacin del cubo. La investigadora utiliz como referencial terico el estudio de

Parzysz sobre el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico y sobre lo visto y lo sabido y

como metodologa aspectos de la Ingeniera Didctica.

Cabe resaltar que el marco terico que utiliz la investigadora ser el que se emplear en

este trabajo.

En la parte experimental de su investigacin emple material manipulativo y el ambiente

de geometra dinmica Cabri 3D, los sujetos de investigacin fueron estudiantes entre 11

y 13 aos de edad del 1er ao de educacin secundaria. La investigacin tom como

referencial terico las etapas G0, G1, G2 y G3 el Desarrollo del Pensamiento Geomtricopero se centr en analizar los resultados de las actividades que permitieron observar y

analizar las dos primeras etapas del desarrollo del Pensamiento Geomtrico G0 y G1; sin

embargo, en la actividad cuatro las respuestas de los alumnos evidenciaron que se

encontraban en transicin a la etapa G2.

La investigadora concluye que el uso del Cabri 3D ayud a los estudiantes a diferenciar

caractersticas entre el modelo y su representacin especialmente en cuanto al trabajo de

la perspectiva caballera. Adems, el ambiente de geometra dinmica ayud a losestudiantes a observar la representacin del cubo desde diferentes puntos de vista.


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Asimismo, logr verificar que el uso del Cabri 3D posibilit que los estudiantes

construyeran e interpretaran la representacin del cubo, particularmente en la perspectiva

Caballera. Adems, segn Fernndez (2013) los estudiantes lograron comprender que el

cubo puede ser representado y observado mediante diferentes perspectivas y diferentes

puntos de vista.

Esta investigacin es importante para nuestro estudio, porque nos brinda aportes sobre el

objeto matemtico ya que la autora utiliz material concreto para la representacin del

cubo, asimismo la metodologa empleada en la investigacin ser subsidio para la nuestra

porque pensamos trabajar con la misma metodologa, Ingeniera Didctica y pensamos

tomar como referente la secuencia de actividades propuestas las cuales adaptaremos para

nuestra investigacin ya que trabajaremos con estudiantes del nivel primario.

En segundo lugar, presentamos la investigacin de Cozzolino (2008) cuyo objetivo fue

explorar la perspectiva para ayudar al estudiante a ampliar la capacidad de visualizacin

de objetos geomtricos utilizando el Cabri 3D. La investigacin se realiz con estudiantes

entre los 13 y 14 aos de edad en Brasil.

Dicha investigacin se realiz en cuatro encuentros y seis actividades, en el primer

encuentro la investigadora presenta a los estudiantes un poco de historia de lasperspectivas (caballera y cnica) en diapositivas, asimismo, los estudiantes exploran el

ambiente de geometra dinmica Cabri 3D, en el segundo encuentro los estudiantes

responden a cuestionarios sobre figuras geomtricas tridimensionales, en el tercer

encuentro se realiza un estudio de la perspectiva cnica en las representaciones de cubos

y resuelven ejercicios, en el cuarto y ltimo encuentro se realiza un estudio de la

perspectiva caballera de objetos geomtricos tridimensionales.

La autora toma, como referencial terico el DPG y como metodologa de investigacin elDiseo Experimental y tiene como propsito lograr que los estudiantes a travs del uso de

la herramienta Cabri 3D, logren el desarrollo de la etapa G1, asimismo la investigadora

seala que la enseanza de las perspectivas y el uso del Cabri 3D facilitaron que los

estudiantes representen con facilidad un objeto geomtrico tridimensional como el cubo,

en el plano bidimensional.

Finalmente, la investigadora concluy en su investigacin que los estudiantes articularon

diferentes puntos de vista, tanto en el ambiente de lpiz y papel y en el ambiente de


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geometra dinmica Cabri 3D, tambin que el uso de la perspectiva caballera es una

herramienta adecuada para el aprendizaje de geometra espacial.

Las investigaciones presentadas anteriormente toman al cubo como objeto matemtico y

como marco terico las etapas del Desarrollo del Pensamiento Geomtrico de Parzysz

(1988), as como el uso del Cabri 3D, el cual nosotros tomaremos como modelo las

actividades propuestas con el uso del Cabri 3D y las adaptaremos para el nivel primario

para nuestra investigacin. Adems tomaremos las actividades propuestas por Fernndez

(2013) especialmente actividades propuestas con el uso del material concreto para la

parte experimental y de Cozzolino (2008) actividades propuestas con el Cabri 3D ya que

la investigacin nos muestra la importancia del uso del geometra dinmica en el

aprendizaje de este objeto matemtico y la autora manifiesta que el uso de la tecnologa

ayud a tener buenos resultados en el nivel secundario, lo cual nos incentiva a aplicarlo y

adaptarlo en el nivel primario en el cual se desarrolla nuestra investigacin.

Antecedentes que guardan relacin con el objeto matemtico

Guilln et al. (1992) investigan las representaciones planas de objetos tridimensionales

(cubo, tetraedro, octaedro, prisma) usando material concreto, el uso del software, y

materiales impresos. Su estudio tiene como objetivos: identificar las destrezas devisualizacin espacial de los estudiantes y de las lecturas y escritura de representaciones

planas de cuerpos tridimensionales. Utilizan como marco referencial el Modelo de

razonamiento geomtrico de Van Hiele, ya que lo consideran como un excelente modelo

de representacin de los procesos de desarrollo del razonamiento de las matemticas y

utilizan como metodologa el Mtodo de Enseanza Heurstico ya que lo consideran el

ms apropiado como complemento del modelo de Van Hiele.

Todas las actividades propuestas en la investigacin han sido diseadas y basadas en lamanipulacin de diferentes slidos geomtricos con material concreto como son: el cubo,

tetraedro, octaedro, prisma. El experimento se llev a cabo con estudiantes de 6to grado

de E.G.B en Valencia Espaa con estudiantes que tienen entre los 10 y 11 aos de edad.

Se disearon 50 actividades desarrolladas en 23 sesiones de 50 minutos cada una y

divididas en dos partes: actividades de Posiciones que se bas en la colocacin de los

slidos o sus representaciones en posiciones especficas en el espacio y las segunda de

Representaciones en la que los alumnos representan diferentes figuras planas enperspectiva; adems desde el punto de vista de los contenidos las actividades se dividen


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en 4 tipos: actividades de comparacin de slidos, actividades del movimiento de los

slidos, estos dos grupos pertenecen a las actividades de Posiciones; actividades de

representaciones de slidos; actividades de construccin de slidos, estas dos actividades

constituyen actividades de dibujo y construccin las cuales pertenecen al grupo de las

actividades de Representaciones.

A continuacin analizaremos una de las actividades de Guilln et al. (1992),

especficamente la actividad 2.a.5 dado que estamos interesados en la representacin del

cubo y en esta actividad los estudiantes realizaron la manipulacin real del solido

geomtrico (cubo en varillas). El objetivo de esta actividad fue la observacin minuciosa

del poliedro analizando las relaciones entre un elemento del slido y otro, los estudiantes

deban manipular el cubo en varillas y colocarlo en la misma posicin del cubo

representado en la lmina, los estudiantes observaron que el cubo representado en la

lmina estaba inclinado y al observar el cubo real en varillas fue que dedujeron que la

posicin del cubo estaba en perspectiva, fue entonces que por medio de la manipulacin

del cubo en varillas lograron colocarlo en la misma posicin que el de la lmina.

Los autores concluyen en su estudio que existen representaciones que a los estudiantes les

resultan ms difciles que otras y que se requiere destrezas de visualizacin para el

manejo del tema de los poliedros para resolver de manera correcta y eficaz los problemas;

como por ejemplo, las actividades de movimientos de slidos reales como en la actividad

analizada 2.a.5 fueron ms fciles que las actividades de movimientos en el ordenador

(software), asimismo en la utilizacin de slidos opacos y de varillas hubo una diferencia;

los de varillas permitieron un anlisis mayor en cuanto al reconocimiento de las

propiedades y elementos de los slidos (caras, aristas y vrtices) eran visibles, por el

contrario en los slidos opacos no se visualizaban estas propiedades.

Esta investigacin nos brinda aportes para nuestro estudio en el objeto matemtico cubo,

dado que los alumnos manipulan el material concreto en varillas y mencionan sus

caractersticas, nosotros tomaremos esta actividad para desarrollar el nivel G0 del

pensamiento geomtrico.

Otra investigacin es la de Abascal (2014) quien trabaj con estudiantes de 7 a 12 aos

de edad de Educacin Primaria en Cantabria, tuvo como objetivo observar de qu forma

se manifiestan las etapas y la representacin plana de cuerpos tridimensionales al usar


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cuatro slidos geomtricos y que destrezas presentan los estudiantes al dibujar en

perspectiva con el fin de entender los procesos de visualizacin de los alumnos.

La investigadora utiliz la teora del Modelo de Razonamiento de Van Hiele para la

enseanza y el aprendizaje de la geometra y la teora sobre la Formacin de Conceptos

Geomtricos desarrollados por Vinner y Hershkowitz.

El estudio tuvo una muestra total de 73 nios entre los 7 y 12 aos y se dividi en tres sub

grupos por edades, el primer grupo de 23 nios de 7 a 8 aos de edad del 2do grado, el

segundo grupo de 26 nios de 9 y 10 aos de edad del 4to grado y el ltimo grupo de 24

nios de 11 y 12 aos de edad que cursaban el 6to grado. El estudio consisti en realizar

la representacin plana de cuatro slidos: el cubo, pirmide, cilindro y cono, estos slidos

se les presentaban a cada grupo de nios y deban representarlos tal como los vean y

dibujar como crean ello que era el desarrollo de la figura.

El experimento se realiz a travs de una prueba inspirada en Piaget e Inhelder, la prueba

consisti en mostrar cuatro slidos construidos con cartulina, un cilindro, un cono, un

cubo y una pirmide (tetraedro) de alturas 15, 18, 6 y 8 cm. respectivamente. La prueba

tena dos partes, en la primera los estudiantes deban dibujar el slido en una hoja de

papel tal como lo vean y en la segunda parte deban dibujar como ellos crean que era eldesarrollo de ese poliedro. Para esto se colocaron los slidos en una mesa delante de la

pizarra y los alumnos podan acercarse a observar de cerca si lo necesitaban.

Las pruebas arrojaron que en el caso del cubo 19 nios entre 7 y 8 aos, pertenecen a la

etapa esquemtica plana y los 4 nios restantes a la etapa esquemtica espacial

(Mitchelmore) en el caso de los nios entre 9 y 10 aos con el mismo objeto matemtico

6 nios en la etapa esquemtica espacial mostrando un incremento de nios en la

representacin del objeto matemtico con 10 nios en la etapa esquemtica plana y 6nios en la etapa esquemtica espacial realista.

La investigadora concluye que la evolucin de las etapas esquemtica plana a la etapa

esquemtica realista se ve desarrollada en los dos grupos de edades entre los 7 y 8 aos

de edad evidenciando un progreso de la etapa esquemtica espacial en el grupo de 9 y 10

aos de edad. Adems que para realizar representaciones planas de objetos

tridimensionales se requiere de habilidades de visualizacin por la dificultad que se

evidencia al pasar del plano al espacio tridimensional.


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Esta investigacin aporta a la nuestra en cuanto a las representaciones planas de cuerpos

tridimensionales en este caso del cubo, ya que la autora experimenta con material

concreto y hace uso del lpiz y papel para las representaciones planas de los slidos que

observan. Nosotros tomaremos estos aportes para nuestra investigacin en vista que

nosotros analizaremos el cubo en el Desarrollo del Pensamiento Geomtrico.

Antecedentes que guardan relacin con el objeto matemtico en material concreto

Por otro lado la Biblioteca Pedaggica del estado de Mxico (2008) realiz un estudio

acerca del origami como recurso didctico para la enseanza y aprendizaje de la

geometra en secundaria. Esta investigacin tuvo como objetivos disear ejercicios de

origami en los que se pueda visualizar los conceptos y propiedades de las figuras y

slidos geomtricos a travs de la manipulacin y el doblado del papel. La teora que se

desarroll fue la teora de Van Hiele. La investigacin se llev a cabo en la escuela

telesecundaria N 165 Quetzalcoati en Tejupilco Mxico. Los contenidos considerados

para la investigacin fueron trazos y construcciones geomtricas, conocimiento y uso

didctico de los diferentes instrumentos de medida, la exploracin de simetra de una

figura, el conocimiento, manipulacin y representacin plana de slidos comunes, la

aplicacin de frmulas de clculo de permetro, reas y volmenes, as como el teorema

de Pitgoras y la iniciacin del mtodo deductivo.

El estudio desarroll 31 actividades. Nosotros nos centraremos en describir la actividad

30, ya que desarrolla la construccin del cubo en origami. Esta actividad lleva por

nombre construccin de un cubo. Su objetivo es que el alumno identifique el nmero de

caras, vrtices y aristas que tiene este poliedro. Los alumnos deben recortar 24 cuadros de

papel Amrica de 4 colores diferentes, 5 de cada color y 24 de papel bond blanco de 21

cm cada uno para construir paso a paso el cubo. Luego se realizan preguntas, como por

ejemplo: Cuntas caras pueden verse? Los autores observaron que, segn la posicin en

que se encuentran, los nios vern distinto nmero de caras. Otra pregunta fue: Qu

datos pueden encontrar en el cubo con la regla? Se espera que los alumnos midan las

aristas y contesten que todas miden igual. Con esta actividad, se concluye que, a partir de

la observacin y la manipulacin del material concreto los alumnos llegan a descubrir que

el cubo tiene 6 caras y 12 aristas, todo centrado en un nivel perceptivo.


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Esta investigacin nos muestra la importancia del uso de material concreto como el papel,

ya que, a partir del doblado, se pueden reconocer nociones geomtricas y sus propiedades

en especial, en el estudio del cubo.

Cabe notar que el uso del papel como material didctico ha sido reafirmado en Per

(2004), por la Unidad de Medicin de la Calidad Educativa (UMC), segn se lee en la

siguiente cita.

Entre otras actividades puede ser muy til el uso del origami como elementomotivador. Este antiguo arte no solo contribuir al desarrollo de lapsicomotricidad fina sino que, con un enfoque adecuado, puede ayudar alestudiante en el proceso de identificacin de formas bsicas y en la incorporacindel lenguaje geomtrico. Por ejemplo, si un docente est enseando a hacer unvaso a partir de una hoja de papel cuadrada, debera utilizar trminos geomtricosapropiados como cuadrado, diagonal, ngulo, lado, simetra, entre otros. (Per,2004, p.101).

Consideramos importante el uso del material concreto como el papel para desarrollar

nociones matemticas geomtricas y reconocer a travs de ellas elementos y propiedades

de objetos matemticos, para lo cual nosotros estamos interesados en desarrollar en

nuestra investigacin ya que nuestro estudio se desarrollar con estudiantes entre los 9 y

10 aos de edad y es a travs de la manipulacin de material concreto que el estudiante

interiorizar caractersticas del cubo y sus elementos.

Por otro lado Villarroel y Grecia (2011) realizaron un estudio sobre los materiales

concretos didcticos para geometra en el 1er ao de secundaria, el estudio propone

identificar y caracterizar los materiales didcticos concretos que pueden utilizarse para

identificar las habilidades geomtricas que desarrolla la utilizacin de cada uno de ellos.

Este trabajo se desarroll dentro de la corriente didctica de la escuela de Hans

Freudenthal conocida como Matemtica Realista ya que afirman las autoras que estacorriente concibe la matemtica escolar como un conjunto de actividades progresivas y

reflexivas, entendidas como razonables, realizables o imaginables en forma concreta.

Adicionalmente este estudio se adhiere a esta postura ya que en cuanto a la manipulacin

de objetos concretos permite hacer descubrimiento geomtrico propio y construir

mentalmente los objetos matemticos. La metodologa que se emple fue el enfoque

cualitativo ya que el estudio procura brindar aportes a la comprensin de la forma en que

se usa el material didctico concreto, as como fomentar el desarrollo de habilidades

geomtricas. Los datos recolectados en el estudio se tabularon en un registro de


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Materiales didcticos concretos, teniendo en cuenta 3 dimensiones de anlisis que

describimos a continuacin:

Dimensin 1 Descripcin del material Dimensin 2 Inters Didctica matemtica

Dimensin 3 Versatilidad del material se identificaron siete grupos de materiales

didcticos concretos que pueden ser utilizados en la enseanza de la geometra como son:

los bloques lgicos de Dienes, rompecabezas geomtricos, el tangram, el Geoplano,

transformaciones dinmicas, el origami o papiroflexia, los criterios para agrupar los

materiales concretos fueron siete criterios: criterios de calidad, criterio de materia prima,

criterio de disponibilidad del material, criterio de movilidad, criterio de contenidos

conceptuales y criterio de versatilidad del material. Las autoras concluyen que la

manipulacin responsable de los materiales didcticos concretos con pleno conocimiento

de sus potencialidades y limitaciones presentadas favorece la enseanza y aprendizaje de

la geometra.

Antecedentes que guardan relacin con el ambiente de geometra dinmica Cabri

3D y el referencial terico

La investigacin de Salazar (2009) analiz como los estudiantes del segundo ao de

enseanza media entre los 13 y 14 aos de edad, se apropian de las nociones detransformaciones geomtricas en el espacio, cuando se interacta con el ambiente de

geometra dinmica Cabri 3D. La investigadora afirma,

La geometra dinmica despierta en los estudiantes, los aspectos exploratorios yestratgicos a lo largo de sus construcciones geomtricas, ayuda a que losestudiantes analicen las propiedades geomtricas. Adems de promover cambiosen el aprendizaje de la geometra, ya que abre la posibilidad para que losestudiantes construyan y exploren figuras y establezcan relaciones entre ellas (p.38).

La investigacin tuvo como referencial terico el enfoque instrumental, y la Teora deRegistros de Representacin Semitica para comprender como los alumnos interactan

con el Cabri 3D, la investigadora afirma que esta teora fue de gran apoyo para

comprender como los estudiantes ven o visualizan una figura geomtrica, para ello

defini el Registro Figural Dinmico porque le permiti reconocer las diferentes

aprehensiones de los estudiantes en la interaccin con el Cabri 3D, la investigacin

utiliz la Ingeniera Didctica como metodologa y concluye que el uso del software

Cabri 3D facilit la aprensin perceptiva de las figuras y permiti dinamizarlas.


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Esta investigacin nos parece importante porque utiliza el ambiente de geometra

dinmica y nosotros usaremos en nuestro estudio el software Cabri 3D un software

favorable en la enseanza y aprendizaje de la geometra porque funciona como un

simulador en la representacin de los objetos tridimensionales como lo muestran

numerosos estudios.

Tambin Salazar y Gaita (2012) iniciaron un estudio de objetos elementales en la

geometra espacial con ayuda del software Cabri 3D con estudiantes de Arquitectura de la

Pontificia Universidad Catlica del Per, donde los estudiantes tuvieron la oportunidad

de manipular representaciones de objetos como el punto la recta, el plano, y la esfera, el

estudio aprovech las potencialidades que ofrece el Cabri 3D como la opcin de cambiar

de punto de vista para cambiar un objeto, la determinacin de posiciones relativas como

el paralelismo etc.

Para el desarrollo de las actividades las investigadoras utilizaron el modelo terico DPG.

La experiencia se plante cinco actividades en la cual en relacin a la tercera actividad

los estudiantes deban manipular un cubo previamente construido y determinar el tipo de

figura, las autoras manifiestan que la mayora de estudiantes logr realizar con xito esta

tarea, los estudiantes tambin manipularon uno de los vrtices, afirmando que creca el

cubo y tambin sus caras, con esta actividad se evidencia que los estudiantes se

encuentran el nivel G1.

Las investigadoras concluyeron que las actividades propuestas en las que se hizo uso del

Cabri 3D favorecieron la evolucin de las etapas del pensamiento G0 a G1 y en algunos

casos del G1 al G2 manifiestan que lo que contribuy a este hecho fue la posibilidad de

manipular objetos, as como el poder posicionarse en distintas ubicaciones cambiando de

perspectiva en la observacin de los objetos, as mismo el Cabri 3D facilita la

comprensin de componentes tericos y el paso entre dichos niveles de pensamiento

geomtrico.

Consideramos relevante las investigacin de Salazar (2009) y Salazar y Gaita (2012) ya

que nosotros tomaremos el software Cabri 3D, en el desarrollo de algunas actividades

donde se muestra la graduacin del paso de las etapas del pensamiento geomtrico donde

se evidencia el paso de G0 al G1 y en algunos caso de G1 a G2.


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1.2. Ambiente de geometra dinmica Cabri 3D

Como estamos interesados en trabajar con el ambiente de geometra dinmica Cabri 3D

y lpiz y papel, esta parte del trabajo se focalizar en presentar aspectos del Cabri 3D

como geometra dinmica.

Ya que pensamos que la matemtica, en particular los temas de geometra, deben estar a

la par con los cambios tecnolgicos que se vive en el mundo, durante aos la forma

clsica de presentar la geometra, presenta las figuras estticas cuando se presentan en

una posicin en particular, una concepcin particular una figura particular, esto conlleva

a que el alumno prevalezca las figuras geomtricas de una manera esttica.

En relacin con lo anterior cuando las figuras geomtricas adquieren movimiento, esdecir adquieren dinamismo, estamos en presencia de la geometra dinmica y esto

permitir que el estudiante se forme una idea ms general de las figuras geomtricas y no

asocie las propiedades a una forma particular de las figuras.

Por otro lado, otra ventaja de la geometra dinmica es que el alumno puede mover la

representacin de la figura geomtricaa travs de la funcin de arrastre y as la figura

seguir conservando ciertas propiedades.

Elegimos el Cabri 3D ya que segn Fernndez (2013) permite que los estudiantes

manipulen, arrastren, y exploren los objetos tridimensionales como el cubo y visualicen

sus elementos y caractersticas, en este caso el de la representacin del cubo(p.32).

Por lo antes mencionado, consideramos apropiado el uso del Cabri 3D. Este software

ofrece una amplia variedad de opciones para desarrollar contenidos no solo de geometra

sino tambin de lgebra y estadstica. Es sencillo de utilizar, lo que facilita desarrollar

actividades a travs de las herramientas y recursos que ofrece a travs de la

experimentacin y la manipulacin de distintos elementos, favoreciendo la realizacin de

construcciones para deducir resultados y propiedades a partir de la observacin directa.

La ventana inicial del Cabri 3D, en su versin 2, presenta la barra de herramienta y el

rea de trabajo, la figura 1 muestra el rea de trabajo que es un plano.


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Figura 1. Ventana de inicio del Cabri 3D versin 2.1

A continuacin presentamos en la figura 2 la barra de herramientas que utilizaremos en

nuestras actividades.

Figura 2.Barra de herramientas del Cabri 3D

Adems, el Cabri 3D presenta en su barra de herramientas una opcin denominada

Poliedros de la cual se despliega una caja de herramientas donde se seleccionar el cubo

como observamos en la figura 3.

Figura 3. Herramienta poliedros


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Ya que en nuestra investigacin realizaremos un estudio de los elementos del cubo,

consideramos pertinente presentar otras opciones de la barra de herramientas como punto,

segmento, longitud, polgono, cara del cubo, ya que los estudiantes pueden usar otras

herramientas que le permitan apropiarse de las propiedades del cubo mediante la

manipulacin del Cabri 3D.

Cuadro 1. Especificaciones de las herramientas del Cabri

Fuente: Adaptado delmanual del usuario Cabri 3D v2 (2007, pp. 16-29)

A continuacin presentaremos algunos ejemplos del uso de estas herramientas que sern

utilizadas en el desarrollo de actividades que propondremos en la parte experimental:

1. Herramienta manipulacin: esta herramienta permitir a los estudiantes

seleccionar puntos y objetos, as como desplazarlos en el rea de trabajo. Adems

permite activar y desactivar cualquier herramienta del Cabri 3D.

Figura 4. Herramienta manipulacin

Herramienta cono Construccin

Manipulacin Permite seleccionar puntos y objetos.

Punto Permite construir puntos sobre la parte visible del

objeto.

Segmento Permite construir un segmento definido por 2

puntos.

Polgono Permite construir un polgono definido por 3

puntos o ms.

Longitud Permite medir la longitud de objetos y partes de los

objetos siguientes: segmentos, lados de polgonos,

aristas de poliedros.


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2. Herramienta punto:Permite construir puntos sobre la parte visible del objeto.

Figura 5. Herramienta punto

3. Herramienta segmento: Permite construir un segmento definido por 2 puntos.

Figura 6. Herramienta segmento

4. Herramienta polgono: Permite construir un polgono definido por 3 puntos o

ms.

Figura 7. Herramienta polgono

5. Herramienta longitud: Permite medir la longitud de objetos y partes de los

objetos siguientes: segmentos, lados de polgonos, aristas de poliedros.


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Figura 8. Herramienta longitud

6. Funcin atributos-color: esta funcin del Cabri 3D permite modificar el color de

fuente de los objetos, en nuestro trabajo la modificacin del color de las aristas del

cubo.

Figura 9. Funcin atributos para el color de curva

7. Funcin atributos-fuente: esta funcin del Cabri 3D permite modificar el color de

fuente de los objetos, en nuestro trabajo modificacin del color de la superficie

del cubo.

Figura 10. Funcin atributos para el color de la superficie


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Despus de la presentacin de las herramientas del Cabri 3D que utilizaremos en la parte

experimental en las actividades de nuestra investigacin presentamos la justificacin de

nuestro trabajo.

1.3. Justificacin de la investigacin

De acuerdo a nuestra experiencia profesional hemos observado que en educacin

primaria la enseanza de la geometra est relegada a pocos temas que son tratados en

pocas clases. A esto se le suma que en los pocos casos que se desarrollan estos

contenidos, los estudiantes presentan dificultades al representar figuras tridimensionales a

travs de representaciones planas, pensamos que esto se debe al poco tiempo que se le

dedica en las aulas la enseanza de la geometra espacial o se tiene carencia en los

contenidos que se enseanza, as lo menciona Per (2005):

Se ha observado que los docentes desarrollan en menor tiempo y con menorprofundidad las capacidades referidas a la geometra. Si consideramos que lasexperiencias de aprendizaje no se circunscriben nicamente al ltimo grado quese est cursando, sino que son la acumulacin integradora de las experiencias a lolargo de toda la escolaridad, el que no se trabaje la geometra con el tiempo y laprofundidad requeridas desde los grados anteriores puede ser una de las causasque influye negativamente en el aprendizaje de los estudiantes en este eje (Per,2005, p.98)

Creemos que los temas de geometra estn siendo relegados en las aulas, postergndolospara fin de ao, y sabemos que el aprendizaje es un conjunto integrador de experiencias

vividas durante todo el ao, en consecuencia sea esto una de las causas que influyen

negativamente en el aprendizaje de la geometra.

Por otro lado Per (2004) a travs de la Unidad de la Medicin de la Calidad Educativa

(UMC) tom la prueba nacional aplicada a 850 instituciones educativas de primaria,

arroj que slo el 9,6% de estudiantes que finalizaban el 2do grado de primaria se

encontraban en el nivel suficiente en el rea de matemtica, que es el nivel que se esperaque los estudiantes logren al culminar el 2do grado. Las capacidades que se consideraron

en esta prueba en el aspecto de comunicacin matemtica fueron: Identifican figuras y

cuerpos geomtricos (rectngulo, cuadrado, tringulo, crculo, cubo y cilindro) y sus

elementos (lados, caras, vrtices o esquinas), relacionndolos con objetos de su entorno.

Asimismo para el sexto grado la prueba nacional 2004 arroj tambin que los estudiantes

que culminan la primaria solo un 7,9% estn en el nivel suficiente, las capacidades que se

consideraron en el rea de geometra para el sexto grado en el aspecto de comunicacin

matemtica son: identifica, grfica y compara figuras y cuerpos geomtricos.


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Asimismo la Per (2004) UMC., afirma que:

La iniciacin a la geometra fue evaluada en el 2004 mediante preguntas referidasal reconocimiento de figuras elementales planas y del espacio. Por lo general se

emple el lenguaje geomtrico convencional y se utilizaron preguntas derespuesta corta de respuesta extensa y de opcin mltiple.

Las principales dificultades de los estudiantes a la iniciacin a la geometrafueron: los estudiantes no manejan el vocabulario geomtrico convencional, losestudiantes no identifican figuras geomtricas elementales (cuadrado, rectngulo,tringulo, pirmide, cubo etc.), ni a partir de las formas ni de las propiedades.(Per, 2004, p. 202).

Esto es evidencia que el rea de geometra ha estado descuidado y es una de las reas que

necesita trabajar con mayor profundidad, tal vez uno de los motivos sea como manifiesta

Per (2004) a travs del cuestionario Oportunidades de aprendizajes del sexto grado

(ODA6PM) donde:

De acuerdo con los resultados del cuestionario Oportunidades De Aprendizaje desexto grado (ODA6PM) ms del 60% de los estudiantes tiene docente que handedicado poco tiempo o que no han trabajado la iniciacin a la geometra durantetodo el ao. La razn principal por la que no se ha hecho es por la falta de tiempoy la postergacin para la final del ao escolar, segn manifestaron los docenteinvestigadoras encuestados, sin embargo, dado que el cuestionario ODA 6to PMse aplic en la segunda semana de noviembre, es muy probable que el tiempodisponible a partir de esa fecha y en lo que queda del ao, no haya sido suficientepara el desarrollo de estas capacidades. (Per, 2004, p.203).

El documento, presenta algunas sugerencias para el trabajo de la geometra, presentamos

a continuacin algunas sugerencias que consideramos de inters para nuestro estudio:

En primer lugar propiciar una exploracin activa de los objetos que se presentan en el

espacio lo que inicialmente despertar el inters en los estudiantes y estarn motivados.

Manifiesta que el entorno tiene una gran fuente de objetos a ser observados y

manipulados y que es partir de estas acciones donde los estudiantes van a construir

imgenes mentales que les permitir razonar sobre los objetos.

En segundo lugar propone el diseo de actividades con material concreto (plegado y corte

de papel, modelos, utilizacin de palitos y bolitas de masilla) ya que esto propiciar el

desarrollo de diferentes habilidades cognitivas, perceptivas y comunicativas.

Asimismo, en Per (2009) Diseo Curricular Nacional (DCN) en el rea de matemtica,

en el organizador geometra y medicin se precisan claramente los conocimientos

vrtices, aristas, caras de un cubo como contenido matemtico para el cuarto grado de

primaria a ser trabajado en todas las escuelas del pas, evidenciado la falta de continuidadde este tema y dejando un vaco entre el primer grado y cuarto grado de primaria donde


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los estudiantes recin conocen los elementos del cubo, no contando con los

conocimientos previos acerca de este objeto matemtico.

En el cuadro N 2 mostramos los contenidos que considera Per (2009) Diseo

Curricular Nacional para el organizador de Geometra desde el primer grado de primaria

hasta el sexto grado.

Cuadro 2. Contenidos de geometra de 1 a 4to grado de primaria

1er grado 2do grado 3er grado 4to grado

Formas geomtricasbsicas: rectngulo,tringulo, cuadrado,crculo, cubo, cilindroy esfera

Figuras planas en elprisma recto, cubo,pirmide.

Rectas paralelas yperpendiculares encuerposgeomtricos.

Vrtices, caras,aristas de uncubo,prisma rectode base poligonal.

Fuente: Adaptado dePer (2009, pp. 192-198)

Las capacidades que deben desarrollar los estudiantes son las que mostramos en el cuadro

3:

Cuadro 3. Capacidades de geometra de 1 a 4to grado de primaria

1er grado 2do grado 3er grado 4to gradoEstablecer relacionescon los objetos de su

entorno como el cubo.

Identificar figurasplanas en el cubo.

Identificar rectasparalelas yperpendiculares encuerposgeomtricos.

Identificarvrtices, caras,aristas de uncubo, en prismas.

Fuente: Adaptado dePer (2009, pp. 192-198)

Como se observa en el cuadro 2 en el primer grado se debe ensear el cubo como forma

bsica A qu se refiere en su forma bsica? Es tal vez a que los estudiantes deban

manipular representaciones de objetos tridimensionales como el cubo a travs de materialconcreto? O tal vez a que deban reconocer algunas caractersticas elementales del cubo y

llegar por intuicin a reconocer algunas propiedades del cubo? Parece no precisar

claramente los contenidos deseados para este objeto matemtico. Por otro lado en el 2do

grado nos hablan de figuras planas en el cubo y en el 3er grado ya de rectas paralelas y

perpendiculares para llegar al cuarto grado que es el inters de nuestro estudio donde

afirma se debe abordar vrtices, aristas y caras de un cubo, pensamos que he aqu la

importancia de ensear de manera progresiva a los estudiantes la geometra donde se


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evidencien las fases con caractersticas propias del DPG. que estudiaremos en esta

investigacin.

En el mismo sentido la NCTM, National Council of Teachers of Mathematics en los

Principios y Estndares para la Educacin Matemtica (2000) considera para el rea de

Geometra lo siguiente,

En la etapa 3-5, deberan desarrollar formas ms precisas de describir las figuras,centrndose en identificar describir sus propiedades y aprendiendo elcorrespondiente vocabulario especializado. Para consolidar sus ideas, deberandibujar y construir figuras, comparar y discutir sus atributos, clasificarlas, yelaborar y considerar definiciones basadas en sus propiedades (NCTM, 2000,p.169).

Asimismo para el uso de la tecnologa en el rea de geometra la afirmacin antes

sealada se refuerza con Los Principios y Estndares para la Educacin Matemtica

(2003) de laNational Council of Teachers of Mathematics(NCTM), que afirma:

En los programas que han adoptado las recomendaciones de los Principios yEstndares, los alumnos de los niveles medios habrn explorado y descubiertorelaciones entre figuras geomtricas, usando frecuentemente programas degeometra dinmica. Basndose en las caractersticas de los polgonos ypoliedros. (p.313).

En la actualidad contamos con Per (2013) Mapas de Progreso, que son nuestros

estndares nacionales y son las metas que esperamos que los estudiantes de todo el pas

logren al trmino de cada ciclo.

Cuadro 4. Estndares Nacionales del Per de Geometra por ciclos

III CICLO (1 y 2do grado) IV CICLO (3er y 4to grado) V CICLO (5to y 6to grado)

Relaciona objetos de su entornocon formas bidimensionales ytridimensionales, nombra y

describe sus elementos, lasclasifica, explica el criterioutilizado y las representa conmaterial concreto o con dibujos.Interpreta e identifica la longitud,superficie y capacidad comoatributos medibles, diferentes.

Clasifica y representa formasbidimensionales ytridimensionales tomando en

cuenta sus caractersticasgeomtricas comunes ydescribe el criterio utilizado.

Describe y representa formasbidimensionales ytridimensionales de acuerdo

a las propiedades de suselementos bsicos y lasconstruye a partir de ladescripcin de sus elementos.

Fuente: Adaptado Per (2013, p. 9)

En el cuadro 4 podemos observar que hay similitudes con los estndares internacionales

donde se precisa identificar, describir propiedades, construir o representar figurasgeomtricas por medio del dibujo, as como comparar y clasificar y construir definiciones


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a partir de las propiedades. Nuestro estudio sobre el cubo es pertinente ya que se

evidencia nuestro objeto matemtico en los estndares internacionales (NCTM), Diseo

Curricular Nacional (DCN) y Mapas de Progreso.

Las investigaciones de Fernndez (2013) Cozzolino (2008), Salazar (2009), Abascal

(2014), Guillen (1992), el Per (2009), Per (2013) que describimos muestran la

importancia del uso del material concreto para el desarrollo del pensamiento geomtrico

asimismo el Diseo Curricular Nacional a pesar del desfase que se ha mostrado considera

el uso de material concreto en los primeros ciclos de educacin bsica, tambin es

pertinente el uso del material concreto porque la NCTM considera el material concreto de

manera implcita en los estndares internacionales.

Por todo lo anterior expuesto, es que estamos interesados en analizar por un lado, como

se desarrolla el Pensamiento Geomtrico por medio del material concreto.

Asimismo, las investigaciones tambin muestran la importancia del uso de una ambiente

de geometra dinmica como el Cabri 3D para la enseanza y el aprendizaje del cubo. Sin

embargo, nosotros estamos interesados en estudiar la representacin y elementos del cubo

en el nivel primario por medio de material concreto y con el uso del Cabri 3D porque

pensamos que estas herramientas permiten que los estudiantes de cuarto grado deprimaria aprendan estas nociones de manera intuitiva. Sabemos que los nios entre los 9

y 10 aos se encuentran en el nivel del pensamiento de las operaciones concretas, es decir

que su pensamiento est ligado todava a sus experiencias concretas y necesitan

manipular objetos para ayudar a su proceso de aprendizaje, es por ello que consideramos

pertinente utilizar en primer lugar material concreto para pasar al uso de herramientas

tecnolgicas.

Estamos interesados en que los estudiantes del Cuarto grado de primaria movilicen la

nocin de cubo, con todos sus aspectos, sus caractersticas, elementos, propiedades,

usando el material concreto y el Cabri 3D y para analizar esto usamos como herramienta

terica el Desarrollo del Pensamiento Geomtrica, para el estudio de como los estudiantes

movilizan la nocin del cubo.

En base a los antecedentes presentados, la pertinencia del Cabri 3D y la justificacin de la

investigacin presentaremos la pregunta de investigacin y los objetivos general y

especficos.


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1.4. Pregunta y objetivos de la investigacin

Pregunta de la investigacin

Estudiantes del 4to grado de educacin primaria desarrollan su PensamientoGeomtrico, en las etapas G0 y G1, cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos

en una secuencia didctica con material concreto y Cabri 3D?

Objetivos de investigacin

A continuacin presentamos los objetivos que guan nuestra pesquisa.

Objetivo general

Analizar las etapas G0 y G1 del Desarrollo del Pensamiento Geomtrico en estudiantes

del 4to grado de educacin primaria cuando estudian la nocin de cubo y sus elementos

en una secuencia didctica con material concreto y Cabri 3D.

Objetivos especficos

Identificar las etapas G0 y G1 del Desarrollo del Pensamiento Geomtrico en

estudiantes de 4to de educacin primaria cuando estudian el cubo en una

secuencia didctica en la que se utiliza material concreto.

Distinguir las etapas G0 y G1 y el trnsito del Desarrollo del Pensamiento

Geomtrico en estudiantes de 4to de educacin primaria cuando estudian el cubo

en una secuencia didctica en la que se utiliza Cabri 3D.

En el siguiente captulo para alcanzar los objetivos planteados presentamos el marco

terico y aspectos metodolgicos.


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CAPITULO II: DESARROLLO DEL PENSAMIENTO

GEOMTRICO DE PARZYSZ Y APECTOS DE LA INGENIERA

DIDCTICAEn este captulo presentaremos los aspectos tericos y metodolgicos de nuestra

investigacin, los aspectos tericos estn dados por el Desarrollo del Pensamiento

Geomtrico segn Parzysz, en cuanto a la metodologa nos centraremos en aspectos de la

Ingeniera Didctica.

2.1. Desarrollo del Pensamiento Geomtrico

Para desarrollar nuestro trabajo de investigacin utilizaremos como subsidio terico el

enfoque de Parzysz (1988) que es llamado Desarrollo del Pensamiento Geomtrico. Cabe

aclarar que el autor se bas en las teoras de Van Hiele, Houdemente y Kusnial y de

Henry, que han desarrollado aspectos de Geometra, de los cuales realiz una articulacin

de las mismas y realiz una propuesta terica diferente de esas teoras. Ver figura 11.

Figura 11. Adaptado de Maciel (2004, p.73)

En la figura 11 mostramos la clasificacin que propone el autor sobre el Desarrollo del

Pensamiento Geomtrico, el autor realiza una clasificacin del Pensamiento Geomtrico

en dos grandes grupos: Geometra no axiomtica y Geometra axiomtica.


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En la Geometra no axiomtica estn los niveles G0 (Geometra concreta) y G1

(Geometra espacio grfica) es decir donde los objetos son fsicos y las validaciones son

perceptivas. En la geometra axiomtica Parzysz (1988) propone dos etapas, G2

(Geometra proto- axiomtica) y G3 (Geometra axiomtica) en ambos los objetos son

tericos y las validaciones son deductivas en base a los objetos tericos. A seguir

especificaremos con ms detalle el primer grupo del Desarrollo Pensamiento Geomtrico.

Geometra concreta (G0):en esta etapa, el estudiante todava parte de la realidad, de

lo concretoy los objetos son fsicos donde se pueden observar sus caractersticas como

el tipo de material por ejemplo madera, pajillas y diferentes colores, etc.). Las

validaciones que realizan los estudiantes acerca de los objetos matemticos parten de su

percepcin al observar o manipularlos.

Figura 12. Estructura de Cubo construido en varitas

Por ejemplo, observar las caractersticas de la estructura del cubo construido en varitas

como mostramos en la figura 12 (cuando se asume que tiene caras transparentes).

Geometra espacial-grfica (G1): de acuerdo con el investigador, en esta etapa el

estudiante todava confunde geometra y realidad es decir confunde la nocin del

objeto ideal con el objeto representado que est en la realidad, sin embargo comienza a

discernir las propiedades de las figuras ms todava sin poder explicarlas.

Asimismo segn el autor, las tcnicas utilizadas para que el estudiante resuelva una

actividad, pueden ser utilizados instrumentos como: regla, comps, escuadra,

transportador, etc.

Adems, es la Geometra espacio grfica, en este nivel los objetos son bidimensionales,

como por ejemplo representaciones del cubo hechos con lpiz y papel. En esta etapa de

geometra espacio-grfica (ver figura 13), la justificacin de las propiedades del cubo son


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realizadas por lo que se ve, por lo que es visible, cuyas validaciones continan siendo

perceptivas.

Figura 13. Caras del cubo construido en Cabri 3D

Por ejemplo en la figura 13 observamos las caras del cubo representado en el software

Cabri 3D.

El otro grupo que presenta Parzysz (1988), es el de la Geometra axiomtica, donde se

encuentran las etapas G2 (Geometra Proto - axiomtica) y G3 o (Geometra axiomtica).

A continuacin presentamos la etapa proto-axiomtica y axiomtica.

Geometra Proto-axiomtica (G2): en esta etapa, segn el autor ocurre la concepcin deun esquema de esa realidad, en este momento las definiciones cobran sentido y los

resultados obtenidos empricamente pueden ser utilizados en conjunto con tcnicas

deductivas. Las tcnicas utilizadas se refieren a objetos geomtricos en los cuales la

existencia es asegurada por las definiciones, axiomas y propiedades consideradas.

Los conceptos son objetos tericos y las demostraciones de los teoremas son hechas a

partir de condiciones aceptadas por los estudiantes de manera intuitiva. Por ejemplo, a

nivel secundario cuando se ensea que la longitud de la diagonal del cubo se puedecalcular en funcin de la longitud de su arista, se usa el Teorema de Pitgoras.


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Diagonal del cubo

Dnde:

D es la diagonal del cubo y

a es la arista del cubo

Entonces, D= a3

Figura 14. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D

Desarrollo de la diagonal principal del cubo

Figura 15. Diagonal del cubo construido en Cabri 3D


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La figura 15 muestra que para hallar la diagonal del cubo ABCD-EFGH, primero se halla

la diagonal de la base ABCD del cubo, por medio del teorema de Pitgoras, que es a ,

luego para hallar la diagonal BH tambin se usa el Teorema de Pitgoras obtenindose D

= a . En este ejemplo observamos que se moviliza la etapa G2 por que se tienen que

usar el teorema de Pitgoras dos veces.

Geometra Axiomtica (G3): llamada por Parzysz (1988) etapa axiomtica. En esta

etapa, de acuerdo con esta teora, los axiomas son demostrados completamente. Por

ejemplo, presentamos la demostracin de Pogorelov (1972) en donde muestra las

diagonales del cubo llamados por l paralelpedo.El prisma se denomina paralelpedo si tiene como base un paralelogramo, todaslas caras del paralelpedo son paralelogramos. Se llama diagonal del paralelpedotodo segmento que une dos vrtices no pertenecientes a una misma cara. Elparalelpedo tiene 4 diagonales A1 A3 A2 A4 A3 A1 y A4 A2.

Teorema 24.2 las diagonales del paralelpedo se cortan en un punto que las dividepor la mitad.

Demostracin: consideremos dos diagonales cualesquiera digamos A1 A3 y A2A4, puesto que los cuadrilteros A1 A2 A3 A4 y A2 A2 A3 A3 sonparalelogramos, el cuadrilatero.A4 A1 A2 A3 es tambin un paralelogramo. Las

diagonales del paraleleppedo A1 A3 A4 A2 del paraleleppedo son tambindiagonales del paralelogramo por eso se cortan en un punto de interseccin o lasdivide por la mitad.

Anlogamente se demuestra que las diagonales A1 A3 y A2 A4 as como lasdiagonales A1 A3 A1 A3 y A2 A1 se cortan y el punto de interseccin las dividepor la mitad. Es as que queda demostrado el teorema (p. 176-177).

.

.

Figura 16. Demostracin de las diagonales del cubo

Fuente: Pogorelov (1974, p. 177)

La figura 16, presenta la representacin figural de la demostracin de las diagonales de

un cubo.


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Segn Parzysz, podemos hacer que el estudiante consiga Desarrollar su Pensamiento

Geomtrico cuando se trabaja con modelos espacio fsico, espacio-grfico, proto-

axiomtico, e hipottico-deductivo. Ya que de acuerdo con el investigador Parzysz citado

en Maciel (2004 p. 75) el inicio de la geometra espacial puede ser hecha teniendo el

recorrido no solamente de las representaciones diseadas sino tambin de maquetas

tridimensionales y eso hace que cualquier alumno pueda hacerlo.

Adaptacin al nivel de Educacin Primaria

Nuestra investigacin se desarrolla en el nivel primaria especficamente con estudiantes

del cuarto grado entre 9 y 10 aos de edad, consideramos pertinente desarrollar las etapas

de la geometra no axiomtica (G0 y G1) propuestos por Parzysz (1988), y desarrolladas

tambin en la investigacin de Maciel (2004), porque las validaciones que realizarn los

estudiantes sern basados en su percepcin, a travs de la manipulacin del material

concreto donde percibirn caractersticas propias de los objetos fsicos para relacionarlos

con el Cabri 3D.

Nos centraremos en el grupo de la geometra no axiomtica del Desarrollo del

Pensamiento Geomtrico, donde se encuentran las etapas G0 (Geometra concreta) y G1

(Geometra espacio-grfico), de acuerdo con el investigador la etapa G0 que propone elautor ser tomada como lo define el autor porque es adecuado para nuestra investigacin.

Sin embargo para efectos de nuestra investigacin al nivel G1 lo llamaremos Geometra

figural porque la representacin de las figuras sern dadas en material concreto y el

software Cabri 3D nuestras actividades trabajaremos bsicamente con figuras

geomtricas como el cuadrado.

Figura 17. Geometra no axiomtica

Fuente:Adaptado de Maciel (2004, p.73)


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Otra de las razones en que nos basaremos para investigar los dos primeros niveles (G0 y

G1) es porque de acuerdo con Almoloud (2015) en el paso del nivel G1 y G2 se pasa de

la geometra concreta que se basa en la percepcin, a la geometra proto-axiomtica

(nivel G2) que se basa en teoremas definiciones y axiomas para hacer demostraciones

matemticas.

2.2Metodologa de investigacin: aspectos de la Ingeniera Didctica

La presente investigacin tiene caractersticas de una investigacin cualitativa. Nos

basamos en Hernndez, Fernndez y Baptista (2010) y Taylor y Bogdan (1986).

Para Hernndez, Fernndez y Baptista (2010) definen investigacin cualitativa como Larecoleccin de datos sin medicin numrica para descubrir o afinar preguntas de

investigacin en el proceso de interpretacin (p.7). Asimismo los investigadores

consideran las situaciones, eventos, las personas y sus interacciones como conductas

observadas y sus manifestaciones.

En el mismo sentido Taylor y Bogdan (1986) consideran en un sentido amplio, la

investigacin cualitativa como aquello que produce datos descriptivos: con las propias

palabras de las personas habladas o escritas y la conducta observable(p.20).

Asimismo, los investigadores consideran como componentes importantes de la

investigacin cualitativa: la observacin y seleccin de escenarios.

En Educacin Matemtica, Borba (2004) describe las caractersticas de una investigacin

cualitativa en Educacin Matemtica y manifiesta que:

1.- Una investigacin cualitativa tiene la fuente directa de los datos en el medio

natural.

2.- Una investigacin cualitativa es descriptiva.

3.- Los investigadores cualitativos tienen ms inters por el proceso que

simplemente por los resultados o productos.

4.- Los investigadores cualitativos tienden a analizar sus datos inductivamente.

5.- El significado es de vital importancia en el enfoque cualitativo. (p. 6).

Nosotros tomamos la postura de investigacin cualitativa descrita por Borba. Y

tomaremos dentro de esta aspectos de la Ingeniera Didctica de Artigue (1995) como

metodologa de investigacin que presentamos a seguir.


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Aspectos de Ingeniera Didctica

Segn Artigue (1995), La Ingeniera Didctica como Metodologa de investigacin, se

caracteriza en primer lugar por un esquema experimental basado en las realizaciones

didcticas en clase, es decir sobre la concepcin, realizacin, observacin y anlisis de

enseanza (p.36). En este sentido, nosotros desarrollaremos un trabajo experimental en

el mbito de la enseanza y aprendizaje en clase con estudiantes del cuarto grado de

educacin primaria sobre los elementos del cubo como objeto matemtico.

Cabe resaltar que nuestra investigacin se ubica dentro de la micro ingeniera, porque es

puntual y nos permite de manera local observar la complejidad de los fenmenos

ocurridos en clase, es as que en nuestro estudio, estamos desarrollando una secuencia de

actividades para aprender un contenido determinado en nuestro caso el estudio del cubo y

sus elementos en un aula de cuarto grado de educacin primaria.

De acuerdo con la investigadora la Ingeniera Didctica tiene las siguientes fases:

1. Anlisis preliminar

2. Anlisis a priori

3. Experimentacin

4. Anlisis a posteriori

A continuacin desarrollaremos aspectos de cada una de las fases para efectos de nuestra

investigacin.

Anlisis preliminar

La autora en esta fase considera:

El anlisis epistemolgicode los contenidos contemplados en la enseanza.

En nuestro estudio tomaremos aspectos del objeto matemtico.

El anlisis cognitivo concepciones de los estudiantes, de las dificultades y

obstculos que determinan su evolucin.

En nuestro estudio se presentarn las investigaciones que anteceden nuestra

investigacin como Fernndez (2013), Cozzolino (2008), Guilln (1992) y

Abascal (2014) ya que estas investigaciones toman nuestro objeto matemtico en


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estudio, hacen uso del Cabri 3D que nosotros trabajaremos, y propician el uso de

material concreto.

El anlisis didcticoanlisis de la enseanza tradicional y sus efectos.

En nuestro estudio realizaremos un anlisis de los documentos oficiales que

proporciona Per (2012) como son los textos didcticos que utilizan los

estudiantes del primer al cuarto grado de primaria con relacin al objeto

matemtico cubo.

Concepcin y anlisis a priori

Despus de haber realizado el anlisis preliminar es decir de haber analizado: los

antecedentes, el objeto matemtico cubo, los libros de textos del primer al cuarto grado

de educacin primaria, se han generado condiciones para crear las actividades. En este

sentido, Artigue (1995) distingue dos tipos de variables de comandoque interfieren en el

desarrollo de la actividad y que el investigador considera pertinentes, que pueden ser:

variables macro didcticas (organizacin global de la Ingeniera) y variables micro

didcticas (organizacin local de la secuencia o fase).

En nuestra investigacin, las variables macro didcticas son los sujetos de la

investigacin, el uso del ambiente de geometra dinmica Cabri 3D, el uso del material

concreto, el tiempo de las actividades, el lugar o medio donde se realizar la

experimentacin, los equipos de trabajo, etc. Estas variables macro didcticas sern

desarrolladas en la parte experimental de nuestra investigacin que constar en una

secuencia de dos actividades donde se movilizar nuestro objeto matemtico cubo y el

reconocimiento de sus elementos con material concreto y a travs del uso del Cabri 3D.

Y las variables micro didcticas o locales, en nuestra investigacin se encuentran

implcitas, cabe recordar que estamos tomando aspectos de la ingeniera didctica.

Luego de haber concebido la secuencia de actividades, se realizar el anlisis a priori,

que son las posibles soluciones o respuestas esperadas de los estudiantes en relacin con

el marco terico utilizado. Para la autora, el objetivo del anlisis a priori es determinar en

qu las selecciones hechas de las variables van a permiten controlar los comportamientos

de los estudiantes y sus significados. Este anlisis a priori comprende dos partes: una

parte descriptiva y otra predictiva en la cual se centra las caractersticas de una situacin a

didctica que se ha querido disear y que se va a tratar de ensear a los alumnos. Por lo


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tanto el anlisis a priori es el anlisis de las repuestas de los estudiantes a la luz de la

teora.

Experimentacin

La experimentacin es la puesta en prctica de los instrumentos, es el contacto entre la

docente investigadora y los sujetos de la investigacin, aqu se realizar un registro de la

observacin de las actividades. En nuestro estudio desarrollaremos una secuencia

didctica, esta secuencia didctica consta de dos actividades, en la primera actividad

pretendemos que los estudiantes observen, manipulen y describan el cubo en material

concreto, en la segunda actividad pretendemos que los estudiantes exploren el cubo y suselementos en Cabri 3D y finalmente realizaremos un cierre de cada actividad

formalizando las nociones matemticas del cubo y sus elementos.

Anlisis a posteriori y validacin

Para Artigue (1995) esta fase se basa en el conjunto de datos recogidos durante la fase de

la experimentacin y de todas las observaciones registradas durante la secuencia de

actividades de enseanza aprendizaje, al igual que los resultados o productos que

obtenemos de las actividades. Asimismo esta fase se caracteriza por realizar una

contratacin entre el anlisis a priori y a posteriori de las actividades referidas al cubo con

el uso del material concreto y el Cabri 3D, bsicamente la validacin de la Ingeniera

Didctica es en esencia interna.

En el siguiente captulo presentaremos a nuestro objeto matemtico cubo, los aspectos

matemticos donde consideramos nociones generales pertinentes y los anlisis didcticos

de los libros de texto de cuarto grado.


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CAPTULO III: EL CUBO

En este captulo presentaremos aspectos matemticos referidos al objeto matemtico cubo

y algunos conceptos fundamentales para su mayor comprensin, as como aspectosdidcticos del libro del cuarto grado de primaria de Per (2012).

3.1. Aspectos matemticos

Como nuestra investigacin se centra en el estudio del cubo, en este captulo tomaremos

los aportes de Gonzales y Snchez (1999) para presentar el objeto matemtico en estudio.

Antes de presentar el cubo explicaremos algunos conceptos fundamentales. A

continuacin presentaremos la definicin de poliedros que usaremos en nuestra

investigacin.

Poliedros

El Lima (2000) define poliedro como, Poliedro es una reunin de un nmero finito de

polgonos planos llamados caras donde:

a) Cada lado de uno de esos polgonos es tambin lado de, un y solo un, otro polgono.

b) La interseccin de dos caras cualesquiera o es un lado comn o un vrtice.

Cada lado de un polgono comn a dos caras, es llamado una arista del poliedro y cada

vrtice de una cara es un vrtice del poliedro.

Figura 18. Tetraedro

Para explicar los elementos del poliedro nos basaremos en los aportes de Fernndez

(2013, p. 44). En La representacin del poliedro de la figura 1 identificamos los

siguientes elementos:

Vrtices del poliedro : A, B, C, D.

Aristas del poliedro : AB, BC, CA, AD, DC, DBCaras del poliedro : ABC, ADC, ADB, DBC


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Asimismo, Rangel (1982) realiza una clasificacin de poliedros que consideramos nos

ayudar a ubicar nuestro objeto matemtico cubo, dentro de los poliedros regulares como

muestra la figura 19.

.

Figura 19. Clasificacin de los poliedros

Fuente:Adaptado de Rangel (1982, p. 12).

Tambin Gonzales y Snchez (1999), definen al cubo como: Poliedro regular formado

por seis caras cuadradas que concurren tres en cada vrtice. Tiene 8 vrtices y 12 aristas

(p.10).

Por ejemplo, en la figura 20 presentamos la representacin del cubo y sus elementos en

Cabri 3D:


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Figura 20. Cubo ABCD-EFGH

El cuadro 5 muestra los elementos del cubo: vrtices, aristas, caras del cubo.

Cuadro 5. Elementos del cubo

Tomaremos los aportes de Gonzales y Snchez para el estudio del objeto matemtico

cubo, ya que tiene relacin con el estudio que realizaremos en los libros de texto del

cuarto grado de primaria que reciben los estudiantes de Per (2012).

Nosotros tomaremos los aportes de Lima (2000) para la definicin de poliedro en el

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cubo y suselemtos