36
ANALIZĂ NUMERICĂ
Conf. univ. dr. Gheorghe Grigore
I. APROXIMĂRI, ERORI
DefiniŃie. Dacă într-un calcul, în exprimarea unui rezultat înlocuim
numărul (vectorul) a cu numărul (vectorul) *a , spunem că l-am aproximat pe a
cu *a . DiferenŃa ** aaa −=∆ se numeşte eroarea cu care l-am aproximat pe a
prin *a . Spre exemplu, dacă numărul real a , care este o fracŃie zecimală infinită, se
aproximează cu o fracŃie zecimală *a finită unde în fracŃia infinită a lui a s-au înlocuit cu zero cifrele zecimale de la un rang în colo, se spune că aproximarea s-a
făcut prin rotunjire, iar diferenŃa *aa − se numeşte eroare de rotunjire. Astfel,
dacă ......, 2210 aaaaa = şi nn aaaaaaaaa ...,...00..., 210210* == , spunem că
rotunjirea s-a făcut la zecimala de ordin n. O asemenea rotunjire se poate face şi astfel:
<
≥+=
+
+−
5dacã...,
5adacã10...,
1210
1n210*
nn
nn
aaaaa
aaaaa
În acest caz naa −⋅≤− 102
1* .
DefiniŃie. Dacă a este un număr (vector), iar *a este numărul (vectorul)
obŃinut ca efect al unei formule matematice (egalitate, inegalitate), atunci *aa − se numeşte eroare de metodă sau rest. Astfel, prin aproximarea sumei unei serii convergente cu o sumă parŃială a sa, eroarea ce se face este un rest (numit chiar restul seriei). În formula lui Taylor:
( ) ( ) ( ) ( ) 10
)1(
00
0)(
)!1(!)( +
+
=
−+
ξ+−=∑ n
nn
k
kk
xxn
fxx
k
xfxf ,
expresia ( ) ( ) 1
0
)1(
)!1(+
+
−+
ξ nn
xxn
f este restul în aproximarea lui )(xf prin
( ) ( )∑=
−n
k
kk
xxk
xf
00
0)(
!.
De obicei, nu se evaluează *a∆ ci ** aaa −=∆ numită valoarea
absolută a erorii. De regulă, se poate găsi doar un majorant ∆′≤− *aa .
37
DefiniŃie. O cifră zecimală de ordinul n a lui *a se numeşte cifră exactă
dacă valoarea absolută a erorii nu depăşeşte n−10 .
De exemplu, dacă 73214,1=a şi 73202,1* =a , atunci primele patru
zecimale din *a sunt exacte.
În condiŃiile precedente, dacă a şi *a sunt vectori într-un spaŃiu normat,
atunci eroarea se apreciează prin *aa − , de fapt printr-un majorant pentru
*aa − .
II. METODE DIRECTE DE REZOLVARE A SISTEMELOR
DE ECUATII LINIARE
II.1. Metoda lui Gauss
Se consideră sistemul aAx = (1)
unde ( ){ }mjiijaA,...,1, ∈
= este o matrice reală, ( )maaa ,...,1= , mRa∈ şi
( )mxxx ,...,1= , mRx∈ . Presupunem că sistemul are soluŃie unică, deci că
0det ≠A . În metoda Gauss se transformă sistemul (1) în unul echivalent cu matricea triunghiulară. Transformarea se face prin operaŃii liniare, realizându-se eliminarea succcesivă a necunoscutelor. Sunt necesare şi unele permutări de linii şi de coloane, operaŃii numite de pivotare. Fixăm prima coloană în (1) şi permutând două linii plasăm coeficientul de modul maxim din prima coloană în prima linie. În particular, acest coeficient (numit pivot) este nenul. Sistemul se scrie
)0(
1
)0(i
m
jjij axa =∑
=
, { }mi ,...,1∈ (2)
unde )0(1
)0(11 iaa ≥ , { }mi ,...,1∈∀ .
ÎmpărŃind prima linie a sistemului cu )0(11a ea devine
1)1(
12)1(
121 ... bxaxax mm =+++ (3)
unde )0(
11
)0(1)1(
1a
aa j
j = , { }mj ,...,2∈ , )0(
11
)0(1
1a
ab = .
38
Pentru { }mi ,...,2∈ înmulŃim ecuaŃia (3) cu )0(1ia şi o scădem din linia i a
sistemului (2). ObŃinem sistemul:
)1()1(2
)1(2
)1(2
)1(22
)1(22
1)1(
12)1(
121
...
...
...
mmmmm
mm
mm
axaxa
axaxabxaxax
=++
=++=+++
⋯ (4)
unde )1()0(
1)0()1(
ijiijij aaaa −= , { }mji ,...,2, ∈
1)0(
1)0()1( baaa iii −= , { }mi ,...,2∈
Determinantul matricii sistemului format cu ultimele 1−n linii ale sistemului (4) este nenul, căci, în caz contrar, ar rezulta 0det =A . Procedeul aplicat în prima etapă se poate aplica sistemului
)1()1(2
)1(2
)1(2
)1(22
)1(22
...
...
mmmmm
mm
axaxa
axaxa
=++
=++
⋯
După m paşi se ajunge la sistemul
mm
mm
mm
bx
bxaxaxbxaxax
=
=+++=+++
⋯2
)2(23
)2(232
1)1(
12)1(
121
......
(5)
Sistemul (5) este atunci echivalent cu (1) şi din mm bx = obŃinem succesiv
∑+=
−=m
ijj
iijii xabx
1
)( , { }1,...,1−∈ mi
ObservaŃie. În procedeul prezentat, s-au permutat numai linii şi se spune că rezolvarea s-a făcut prin pivotare parŃială. Dacă se permută şi coloane, se poate realiza ca la fiecare pas să se obŃină un sistem în care coeficientul pivot să fie cel mai mare în modul printre coeficienŃii sistemului (se spune că rezolvarea s-a făcut prin pivotare totală). Se încearcă prin aceasta să se evite împărŃiri la numere mici, caz în care erorile de rotunjire pot fi mai mari. Exemplu. Folosind metoda lui Gauss să se rezolve sistemul:
35,899,669,165,321,2
45,1528,204,821,777,3
21,1246,278,745,892,3
65,1090,110,462,23,8
4321
4321
4321
4321
−=+++
=+++
=+++
−=+++
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Prin pivotare de linii şi după operaŃiile descrise mai sus se obŃine:
39
7392314,0
4353474,49999438,55358069,40866916,0
571198,128444456,57936942,1
8982563,51127318,03003764,13902438,22166556,08101949,05142771,54840965,65983132,09523856,2
2874090,204169881,11777108,60193519,6
2398790,175626508,18436144,52126026,72831325,12289156,04939759,03156626,0
4
4
43
43
43
432
432
432
432
4321
−=
−==+−=+−
=+=++−=++
=++
=++−=+++
x
xxxxx
xxxxxxxx
xxx
xxxxxxx
Rezultă apoi 599892,43 =x , 1764066,12 −=x , 0147991,31 −=x .
ExerciŃiu. Folosind metoda Gauss să se rezolve sistemul:
9,95,22,0
9,32,53,0
9,215,845,04,0
7,21,02
4321
4322
4321
4321
=−++
−=++−
=−++
=+−+
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
R. 11 =x , 22 =x , 33 =x , 14 −=x .
II. 2. Metoda rădăcinii pătrate
Pe mR se consideră produsul scalar canonic, ∑=
=m
iii yxyx
1
, . Matricea
reală ( ){ }mjiijaA,...,1, ∈
= se numeşte pozitiv definită dacă 0, >xAx , pentru orice
0≠x , mRx∈ , adică dacă 01,
>∑=
m
jijiij xxa , 0≠∀x , ( )mxxx ,...,1= .
Amintim că matricea B se numeşte triunghiulară subdiagonală dacă deasupra diagonalei principale are numai zerouri. Dacă ( )
{ }mjiijbB,...,1, ∈
= atunci
( ){ }mjijibB,...,1,
*
∈= .
Fundamentul teoretic al metodei rădăcinii pătrate este următorul rezultat de factorizare. Teorema 1. Matricea reală A este simetrică şi pozitiv definită dacă şi
numai dacă există matricea nesingulară B astfel încât *BBA = . Fie A simetrică, pozitiv definită, ( ) { }mjiaA ij ,...,1, ∈= şi B
nesingulară, triunghiulară subdiagonală, ( ){ }mjiijbB,...,1, ∈
= , astfel încât
ABB =* (1)
40
Pentru a avea loc (1) este suficient să luăm:
1111 ab = , 11
11 b
ab ii = , { }mi ,...,2∈ (2)
∑−
=
−=1
1
2i
kikiiii bab , { }mi ,...,2∈ (3)
−= ∑
−
=
1
1
1 i
kikjkji
iiji bba
bb , { }mij ,...,1+∈ (4)
0=ijb dacă ji < (5)
Fie sistemul de ecuaŃii liniare aAx = (6)
unde A este simetrică şi pozitiv definită. Pentru rezolvarea directă a acestui
sistem, după descompunerea precedentă *BBA = se ajunge la axBB =* şi se
rezolvă succesiv sistemele cu matrici triunghiulare aBy = şi apoi yxB =* . Dacă
( )maaa ,...,1= , soluŃia sistemului aBy = este
11
11 b
ay = (7)
−= ∑
−
=
1
1
1 i
kkiki
iii yba
by , { }mi ,...,2∈ (8)
Sistemul yxB =* dă, în fine, soluŃia sistemului (6):
mm
mm b
yx = (9)
−= ∑
+=
m
ikikii
iii xby
bx
1
1, { }1,...,1−∈ mi (10)
Exemplu. Folosind metoda rădăcinii pătrate să se rezolve sistemul:
9,022,044,066,0
7,022,032,054,0
5,044,032,042,0
3,066,054,042,0
4321
4321
4321
4321
=+++
=+++
=+++
=+++
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
SoluŃie. Cu formulele (2), (3) şi (4) se obŃine
−
=
7055999,01853329,01793891,066,0
08353761,01026969,054,0
009075241,042,0
0001
B
41
Cu formulele (7) şi (8) se obŃine 3,01 =y , 4121102,02 =y ,
5933585,03 =y , 0459763,14 =y .
În fine, cu formulele (9) şi (10) se obŃine 4823929,14 =x ,
0391662,13 =x , 04348,02 =x , 25778,11 −=x .
ExerciŃii. Cu metoda rădăcinii pătrate să se rezolve sistemele: a)
349,944,446,043,088,0
009,946,098,287,134,1
115,043,087,195,342,0
172,1188,034,142,012,2
4321
4321
4321
4321
=+++
=+++
=+++
=+++
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
R. 7,31 =x , 5,12 −=x , 1,23 =x , 3,14 =x
b)
7,032,054,0
5,032,042,0
3,054,042,0
321
321
321
=++
=++
=++
xxx
xxx
xxx
R. 240521,01 −=x , 3737264,02 =x , 7102889,03 =x .
II.3. Metoda lui Ritz de inversare a unei matrici
simetrice şi pozitiv definite
Ca şi în paragraful precedent, pe mR se consideră produsul scalar canonic. Fie ( )
{ }mjiijaA,...,1, ∈
= o matrice reală, simetrică şi pozitiv definită.
Amintim că vectorii mRvu ∈, se numesc A-ortogonali dacă 0, =vAu . Dacă
{ }mxx ,...,1 sunt vectori A-ortogonali şi nenuli, atunci formează bază în mR .
Dacă mRx∈ , se notează RRx m →:* , yxyx ,)(* = , iar dacă
( )maaax ,...,, 21= , atunci
=
221
22212
12121
*
mmm
m
m
aaaaa
aaaaa
aaaaa
xx
⋯
⋮⋱⋮⋮
⋯
⋯
.
Fie { }mxx ,...,1 vectori A-ortogonali şi nenuli. Notăm
*11
111 ,
1xx
xAxC = , ∑
=
=k
iii
iik xx
xAxC
1
*1 (1)
42
Teorema 1. Dacă kxx ,...,1 sunt A-ortogonali şi nenuli, atunci
jjk xAxC = , { }kj ,...,1∈ 1−= ACm .
Algoritmul următor construieşte un sistem de m vectori A-ortogonali
nenuli şi cu formulele (1) conduce la 1−A .
Fie 01 ≠x , mRx ∈1 , şi *11
111 ,
1xx
xAxC = .
Presupunem că am construit kxx ,...,1 vectori A-ortogonali şi nenuli.
Aceasta permite să construim
∑=
=k
iii
iik xx
xAxC
1
*
,
1.
Alegem apoi mRy∈ , astfel încât yAyCk ≠ . Fie AyCyx kk −=+1 . Atunci 1−= ACm .
Exemplu. Să considerăm matricea simetrică şi pozitiv definită
=
132,054,0
32,0142,0
54,042,01
A
Luăm )0,0,1(1 =x şi obŃinem
=
000
000
001
1C
Luăm apoi ( )0,1,0=y şi obŃinem 0)0;1;42,0(1 ≠−=− AyCy . Putem
lua )0;1;42,0(2 =x şi atunci
−
−
=
000
02141816,15099562,0
05099562,02141816,1
2C
Considerând )1;0;0(=y constatăm că
( )1;1131617,0;492472,02 −−=− AyCy şi putem lua deci
)1;1131617,0;492472,0(3 −−=x . Rezultă că
−−
−−
−−
==−
4329727,11621568,07056955,0
1621568,02325314,14300986,0
7056955,04300986,05617176,1
31 CA .
43
III. METODE ITERATIVE DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAłII LINIARE
III.1. Elemente de analiză funcŃională
Se notează cu ( )mRL spaŃiul operatorilor liniari definiŃi pe mR . Se ştie că, organizat cu operaŃiile obişnuite de adunare, înmulŃire cu scalari şi cu operaŃia de
compunere, ( )mRL este o algebră cu unitate. Se notează cu I operatorul identitate
( xxI =)( , mRx∈∀ ).
Se notează cu mM mulŃimea matricilor reale cu m linii şi m coloane,
organizată ca algebră cu operaŃiile obişnuite de adunare, înmulŃire cu scalari şi înmulŃire a matricilor. Fiecărei matrici ( )
{ }mjiijaA,...,1, ∈
= i se asociază operatorul liniar, notat
pentru început A~, mm RRA →:
~, definit prin yxA =
~, unde dacă
( )myyy ,...,1= , ( )mxxx ,...,1= , atunci
∑=
=m
jjiji xay
1
, { }mi ,...,1∈
CorespondenŃa AA~
֏ este un izomorfism de algebre între mM şi
( )mRL , deci este o bijecŃie în care sumei a două matrici îi corespunde suma operatorilor, produsului dintre o matrice şi un număr îi corespunde produsul operatorului corespunzător cu acel număr, iar înmulŃirii a două matrici îi corespunde compunerea operatorilor corespunzători. Având în vedere acestea, se
identifică A~ cu A şi se notează operatorul A
~ tot cu A .
Dacă pe mR se fixează o normă, notată ⋅ , atunci pe spaŃiul ( )mRL se
consideră norma operatorială indusă:
AxAx 1sup
≤= .
Au loc proprietăŃile:
xAAx ⋅≤ , mRx∈∀
BAAB ⋅≤ .
De exemplu, dacă operatorul A este generat de matricea ( ){ }mjiija,...,1, ∈
, iar
pe mR se consideră ∞⋅ ( i
mixx
≤≤∞=
1max ), atunci se notează
∞≤∞
∞= AxA
x 1sup (1)
44
şi are loc formula
∑=
≤≤∞=
m
jij
miaA
11max (1')
Dacă se consideră pe mR norma 1⋅
=∑
=
m
i
xx1
11, atunci, prin
definiŃie
111
1sup AxAx ≤
= (2)
şi are loc formula
∑=
≤≤=
m
iij
mjaA
111max (2')
Deoarece ( ) ∞<= 2dim mRmL , orice două norme pe ( )mRL , în
particular cele date de (1) sau (2), sunt echivalente.
Amintim că prezenŃa unei norme pe ( )mRL conduce la existenŃa unei
distanŃe, ( ) BABAd −=, şi deci se poate vorbi în acest spaŃiu de convergenŃă,
continuitate etc. Astfel, dacă ( ) NnnA ∈ este un şir în ( )mRL şi ( )mRA L∈ , atunci
AAnn
=∞→
lim înseamnă 0lim =−∞→
AAnn
.
Fie ( )mRB L∈ , BBB ⋅=2 , …, 1−⋅= nn BBB . Teoremă 1. AfirmaŃiile următoare sunt echivalente:
i) 0lim =∞→
n
nB ;
ii) 1lim <∞→
n n
nB ;
iii) 0lim =∞→
xB n
n, pentru orice mRx∈ .
Se notează
( ) ( ){ }0det,max =λ−∈λλ=ρ IBCB
şi se arată că ( ) n n
nBB
∞→=ρ lim , deci afirmaŃiile din teorema precedentă sunt
echivalente şi cu ( ) 1<ρ B . Dacă una din afirmaŃiile din teorema precedentă are
loc, se scrie 0lim =∞→
n
nB .
MulŃimea ( ){ }0det =λ−∈λ IVC se numeşte spectrul lui B şi se notează
( )BS . Dacă matricea B este simetrică, atunci spectrul ei este format numai din numere reale.
45
Dacă o matrice T are spectrul format din numere reale, atunci ( )TS∈λ
dacă şi numai dacă există mRx∈ , 0≠x , astfel încât xTx λ= . Un asemenea vector x se numeşte vector propriu pentru T corespunzător valorii proprii λ .
Matricea T se numeşte pozitiv definită dacă 0, >xTx pentru orice mRx∈ , 0≠x ( , este produsul scalar canonic pe mR ).
Reamintim că o aplicaŃie RRp m →: se numeşte normă dacă
i) 00)( =⇒= xxp ;
ii) )()( xpxp λ=λ R∈λ∀ , mRx∈∀ ;
iii) )()()( ypxpyxp +≤+ mRyx ∈∀ , .
Atunci 0)( ≥xp pentru orice mRx∈ . Cu ajutorul unei asemenea
aplicaŃii se introduce pe mR noŃiunea de distanŃă între doi vectori: )(),( yxpyxd −= .
Se ştie că pe mR orice două norme p, q sunt echivalente în sensul :
0, >µλ∃ , astfel încât )()()( xpxqxp µ≤≤λ mRx∈∀ . Dacă p şi q sunt două norme echivalente, atunci un şir este convergent în raport cu norma p dacă şi numai dacă este convergent în raport cu norma q.
Dacă ( ) Nnnx ∈)( , ( ))()(
1)( ,..., n
mnn xxx = , atunci şirul ( ) Nn
nx ∈)( se numeşte
convergent dacă există ( ) mn Rxxx ∈= ,...,1 , astfel încât i
ni
nxx =
∞→
)(lim
{ }mi ,...,1∈∀ . Se scrie xx n
n=
∞→
)(lim .
Dacă p este o normă pe mR , atunci ( ) 0limlim )()( =−⇔=∞→∞→
xxpxx n
n
n
n.
III.2. Metoda lui Jacobi
Se consideră sistemul bxBI =− )( (1)
unde I este matricea unitate, ( ){ }mjiijbB,...,1, ∈
= , ( )mxxx ,...,1= , ( )mbbb ,...,1= .
Pe componente sistemul (1) se scrie
i
m
jjiji bxbx =−∑
=1
, { }mi ,...,1∈ (1')
Fie mRx ∈)0( şi ( ) Nnnx ∈)( şirul definit prin
bBxx nn +=+ )()1( (2)
46
Dacă ( ))()(2
)(1
)( ,...,, nm
nnn xxxx = atunci, pe componente, şirul (2) se scrie
i
m
j
njij
ni bxbx +=∑
=
+
1
)()1( , { }mi ,...,1∈ (2')
Teorema 1. AfirmaŃiile următoare sunt echivalente
i) 0lim =∞→
n
nB
ii) BI − este o bijecŃie şi pentru orice nRbx ∈,)0( , şirul (2) converge către
soluŃia z a sistemului (1).
Dacă ⋅ este norma operatorială indusă pe ( )mRL şi 1<≤ qB , atunci
au loc şi următoarele evaluări ale erorii:
)0()1()1()()(
11xx
q
qxx
q
qzx
nnnn −
−≤−
−≤− − .
Procedeul prin care soluŃia z se aproximează prin )(nx se numeşte metoda lui Jacobi. Fie sistemul
aAx = (3)
unde ( ){ }mjiijaA,...,1, ∈
= şi ( )maaa ,...,1= . Dacă 0≠iia pentru orice { }mi ,...,1∈ ,
atunci matricea
=
mma
a
D
⋯
⋮⋱⋮
⋯
0
011
este inversabilă şi
=−
mma
aD
10
01
111
⋯
⋮⋱⋮
⋯
.
Sistemul (3) este echivalent cu bxBI =− )( (4)
unde ADIB 1−−= şi aDb 1−= . Pe componente, sistemul (4) se scrie
∑≠
=
+−=m
ij
j ii
ij
ii
iji a
bx
a
ax
1
(4')
Presupunem că
∑≠
=
>m
ij
jijii aa
1
{ }mi ,...,1∈∀ (5)
47
Atunci
1:max11
<== ∑≠
=≤≤∞q
a
aB
m
ij
j ii
ij
mi (6)
Conform teoremei Jacobi, sistemul (5), şi deci (3), are pentru orice mRa∈ soluŃie unică z şi pentru orice mRx ∈)0( , şirul bBxx nn +=+ )()1(
converge către z. Au loc evaluările de eroare:
∞∞
−
∞−
−≤−
−≤− )0()1()1()()(
11xx
q
qxx
q
qzx
nnnn (7)
Dacă ( ))()(2
)(1
)( ,...,, nm
nnn xxxx = , atunci, pe componente, şirul este definit
prin
ii
im
ij
j
nj
ii
ijni a
ax
a
ax +−= ∑
≠
=
+
1
)()1( , { }mi ,...,1∈ (8)
Dacă au loc relaŃiile (5), se spune că matricea A este diagonal dominantă pe linii. Pentru acelaşi sistem (3) şi cu aceleaşi notaŃii ca mai sus, să presupunem că
∑≠
=
>m
ji
iijjj aa
1
{ }mj ,...,1∈∀ (9)
Sistemul (3) este schivalent cu ( ) aDxCI =− (10)
unde 1−−= ADIC . Considerăm sistemul
axCI =− )( (11) Din (9) rezultă că
1:max111
<== ∑≠
=≤≤q
a
aC
m
ji
i jj
ij
mj (12)
Conform teoremei lui Jacobi, sistemul (11) are soluŃie unică w şi, pentru
orice mRy ∈)0( , şirul ( ) Nnny ∈)( , definit prin aCyy nn +=+ )()1( , converge către
w. Atunci, sistemul (10), şi deci sistemul (3), are soluŃie unică z şi anume
wDz 1−= . Şirul ( ) Nnnx ∈)( , )(1)( nn yDx −= , converge către z şi au loc evaluările
de eroare:
q
qyy
aq
qyy
azx
n
iimi
nn
iimi
n
−−≤
−−≤−
≤≤
−
≤≤1min
1
1min
1 )0()1(
1
)1()(
1
1
)(
48
Dacă ( ))()(1
)( ,..., nm
nn yyy = , ( ))()(1
)( ,..., nm
nn xxx = , atunci
i
m
ij
j
nj
jj
ijni ay
a
ay +−= ∑
≠
=
+
1
)()1(
ii
im
ij
j
nj
jj
ij
ii
ni a
ay
a
a
ax +−= ∑
≠
=
+
1
)()1( 1
Dacă au loc inegalităŃile (9), se spune că matricea A este diagonal dominantă pe coloane. Exemplul 1. Să rezolvăm sistemul următor cu o eroare mai mică decât
310− :
78,221,114,025,0
555,115,013,141,0
515,03,025,002,1
321
321
321
=+−−
=−+−
=−−
xxx
xxx
xxx
Este evident că sunt adevărate inegalităŃile (5). Rezultă că sistemul este cu matrice diagonal dominantă pe linii şi deci are soluŃia unică z. SoluŃia se poate aproxima cu termenii şirului (8), care în acest caz devine:
2975206,21157024,02066115,0
3761061,11327433,03628318,0
5049019,02941176,0245098,0
)(2
)(1
)1(3
)(3
)(1
)1(2
)(3
)(2
)1(1
++=
++=
++=
+
+
+
nnn
nnn
nnn
xxx
xxx
xxx
Parametrul q din (6) este în acest caz 5392156,0=q . Eroarea se evaluează conform formulei (7), care în acest caz este
∞
−
∞−≤− )1()()( 17,1 nnn xxzx
Luând )0;0;0()0( =x , se obŃine
)9991238,2;498743,2;9988054,1()10( =x
)9996073,2;4994498,2;9994339,1()11( =x
şi avem 33)11( 101017,1 −− ≈⋅≤− zx .
Exemplul 2. Să rezolvăm cu o eroare mai mică decât 210− sistemul
68,32799,6459,0489,2
17,50224,5724,10351,1
91,5968,518,2714,8
321
321
321
=+−
=++−
=++
xxx
xxx
xxx
49
Matricea sistemului este diagonal dominantă pe linii. Şirul (8) este acum
8065892,40675099,03660832,0
678229,44871316,01259791,0
8751434,66522836,02501721,0
)(2
)(1
)1(3
)(3
)(1
)1(2
)(3
)(2
)1(1
++−=
+−=
+−−=
+
+
+
nnn
nnn
nnn
xxx
xxx
xxx
Evaluarea erorii se face conform formulei
∞
−
∞−≤− )1()()( 25,9 nnn xxzx
Luând )5;3;3()0( =x obŃinem
)7037528,3;3304719,3;6252229,3()11( =x
)7042958,3;330778,3;626055,3()12( =x
)7040118,3;3304516,3;6256242,3()13( =x
III.3. Metoda Gauss-Seidel
Se consideră sistemul ( ) bxBI =− (1)
Dacă ( ){ }mjiijbB,...,1, ∈
= , se notează
=
mm
m
b
bb
R
⋯
⋮⋱⋮
⋯
0
111
şi RBL −= .
Sistemul (1) este echivalent cu cxCI =− )( (2)
unde ( ) RLIC 1−−= , ( ) bLIc 1−−= . Metoda Gauss-Seidel este metoda Jacobi pentru sistemul (2). Se consideră
deci şirul ( ) Nnnx ∈)( , definit prin cCxx nn +=+ )()1( , şi se aproximează cu )(nx
soluŃia sistemului (1) atunci când aceasta există şi este unică.
Şirul ( ) Nnnx ∈)( poate fi descris prin construcŃia echivalentă
bRxLxx nnn ++= ++ )()1()1( (3) care pe componente este
i
m
ij
njij
i
j
njij
ni bxbxbx ++= ∑∑
=
−
=
++ )(1
1
)1()1( (3')
Se observă că specificul acestei metode este că în schema de construcŃie de la teorema Jacobi se intervine cu următoarea modificare: în construcŃia
componentei de ordin i a lui )1( +nx se utilizează componentele lui )1( +nx anterior evaluate.
50
Fie
∑=
=m
jjbq
111 ,
∑∑=
−
=
+=m
ijijj
i
jiji bqbq
1
1
, { }mi ,...,1∈
{ }{ }miqq i ,...,1max ∈=
Teorema 1. Dacă 1<q , atunci sistemul (1) are soluŃie unică z şi pentru
orice mRx ∈)0( , şirul (3) converge către z. Au loc atunci următoarele formule de evaluare a erorii:
∞∞
−
∞−
−≤−
−≤− )0()1()1()()(
11xx
q
qxx
q
qzx
nnnn
Teorema 2. Dacă au loc inegalităŃile
11
≤∑=
m
jijb { }mi ,...,1∈∀
1<∑=
m
ijijb { }mi ,...,1∈∀
(4)
atunci 1<q şi deci are loc teorema 1. În plus, şirul dat de metoda Jacobi este de
asemenea convergent către soluŃia sistemului (1). ObservaŃie. Dacă sistemul de rezolvat este dat sub forma aAx = , şi dacă poate fi adus la forma echivalentă
( ) bxBI =− (5)
unde ADIB 1−−= , ADb 1−= , atunci inegalitătile (4) pentru sistemul (5) sunt:
ii
m
ij
jij aa ≤∑
≠
=1
{ }mi ,...,1∈∀
ii
m
ijij aa <∑
+= 1
{ }mi ,...,1∈∀
(6)
CondiŃiile (6) ne asigură deci că pentru sistemul (5) se poate aplica teorema 1. Atunci
∑=
=m
j
j
a
aq
2 11
11 , ∑∑
+=
−
=
+=m
ij ii
iji
jj
ii
ij
i a
aq
a
aq
1
1
1
, { }mi ,...,1∈
51
Pe componente şirul (3) este
11
1
2
)(
11
1)1(1 a
ax
a
ax
m
j
nj
jn +−= ∑=
+
ii
im
ij
nj
ii
ijnj
ii
ijni a
ax
a
ax
a
ax +−−= ∑∑
+=
+
1
)()()1( , { }mi ,...,2∈
(7)
Exemplul 1. Folosind metoda Gauss-Seidel, să se rezolve sistemul:
5,1610
6102
108210
321
321
321
−=++
−=++−
=+−
xxx
xxx
xxx
SoluŃie. Se verifică pentru început că au loc inegalităŃile (6). Şirul (7) este:
65,11,01,0
6,01,02,0
8,101,02,0
)1(2
)1(1
)1(3
)(3
)1(1
)1(2
)(3
)(2
)1(1
−−−=
−−=
+−=
+++
++
+
nnn
nnn
nnn
xxx
xxx
xxx
Parametrii iq sunt 3,01 =q ; 16,02 =q ; 046,03 =q şi deci 3,0=q .
Pornind de la iteraŃia iniŃială )0;0;0()0( =x , după patru paşi se obŃine
soluŃia cu cinci zecimale exacte (soluŃia exactă este )3;2;5,11( − ). ExerciŃiu. Folosind metoda Gauss-Seidel, să se aproximeze, cu o eroare
mai mică decât 510− , soluŃia sistemului:
11,165,328,181,098,0
48,2281,071,485,073,0
705,2253,198,053,405,1
855,1681,075,002,182,3
4321
4321
4321
4321
=+++
=+++
=+++
=+++
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
IndicaŃie. 7106315,0=q ; soluŃia exactă este )2;5,3;3;5,2(=z .
III.4. Metode de relaxare
Sub acest nume sunt cunoscute unele variaŃiuni ale metodelor Jacobi şi
Gauss-Seidel. Dacă în una din metodele amintite, şirul aproximant ( ) Nnnx ∈)( este
prezentat schematic prin )()()1( nnn xxx ∆+=+ , relaŃie care se citeşte "pentru a
oŃine pe )1( +nx i se adaugă lui )(nx corecŃia )(nx∆ ", atunci într-o metodă de relaxare se supracorectează înmulŃimd corecŃia cu un parametru pozitiv. Se face
deci o construcŃie de forma )()()1( nnn xxx ∆α+=+ .
52
III.4.1. Metoda relaxării simultane
Se consideră sistemul aAx = (1)
unde A este simetrică şi pozitiv definită. Atunci A este inversabilă şi deci sistemul (1) are soluŃie unică. Dacă ( )
{ }mjiijaA,...,1, ∈
= , atunci 0>iia pentru orice
{ }mi ,...,1∈ . Diagonala D a lui A este atunci o matrice inversabilă şi sistemul (1) este echivalent cu
( ) αα =− bxBI (2)
unde ADIB 1−α α−= şi aDb 1−
α α= .
Metoda relaxării simultane este metoda Jacobi pentru sistemul (2). SoluŃia
ecuaŃiei (1) se aproximează deci cu termenii şirului ( ) Nnnx ∈)( , unde
αα+ += bxBx nn )()1( (3)
ConvergenŃa metodei Jacobi pentru (2) este echivalentă cu faptul că ( ) 1<ρ αB şi avem:
PropoziŃie 1. Spectrul matricii AD 1− este format din numere reale strict
pozitive. Dacă ( ) ( )mAD λλλ=− ,...,, 211
S , atunci
( ) ( )mB αλ−αλ−αλ−=α 1,...,1,1 21S .
În continuare, se presupune că spectrul lui AD 1− este ordonat:
mλ≤≤λ≤λ ...21 . Se notează ∑=
=m
iiiiD
xax1
2 . Fie 0≠α , R∈α .
Teorema 1. Dacă A este o matrice simetrică şi pozitiv definită, atunci următoarele afirmaŃii sunt echivalente:
i) Pentru orice mRx ∈)0( şirul (3) converge către soluŃia z a ecuaŃiei (1);
ii) mλ
<α<2
0 .
Dacă are loc ii), atunci evaluarea erorii se face prin
D
n
D
nn
D
n xxq
qxx
q
qzx )0()1()1()()(
11−
−≤−
−≤− −
unde imi
q αλ−=≤≤
1max1
.
ObservaŃia 1. Pe componente şirul (3) este
( )ii
im
ij
j
nj
ii
ijni
ni a
ax
a
axx α+α−α−= ∑
≠
=
+
1
)()()1( 1 (4)
53
ObservaŃia 2. Dacă ⋅ este o normă operatorială pe ( )mRL şi
AD 1
20
−<α< , atunci
mλ<α<
20 şi deci se poate aplica teorema 1.
Dacă notăm ( ) imi
q αλ−=α≤≤
1max1
, o valoare mai mică a lui ( )αq asigură
o convergenŃă mai rapidă. Teorema 2.
( )1
1
1
220min
λ+λ
λ−λ=
λ+λ=
λ<α<α
m
m
mm
qq .
Spunem că mλ+λ1
2 este valoarea optimă a parametrului de relaxare.
III.4.2. Metoda relaxării succesive
Este vorba de o relaxare a metodei Gauss-Seidel, corespunzătoare sistemului (1), modelat, spre exemplu, ca în metoda lui Jacobi pentru matrici diagonal dominante pe linii. Se consideră deci sistemul (1) în care matricea A este simetrică şi pozitiv definită. Dacă ( )
{ }mjiijaA,...,1, ∈
= , se notează
=
− 00
000
0000
1,1
21
mmm aa
aL
⋯
⋮⋮⋱⋮⋮
⋯
⋯
,
=
mma
a
a
D
⋯
⋮⋱⋮⋮
⋯
⋯
00
00
00
22
11
, DLAR −−= .
Pentru 0≠α sistemul (1) este echivalent cu ( ) αα =− cxCI (5)
unde
−
−α
+α
=−
α RDLDC 111
1
. aLDc1
1−
α
+α
= .
SoluŃia z a sistemului (1) se aproximează cu termenii şirului ( ) Nnnx ∈)( ,
unde
αα+ += cxCx nn )()1( (6)
54
Teoremă. Dacă matricea A este simetrică şi pozitiv definită, atunci următoarele afirmaŃii sunt echivalente:
i) Pentru orice mRx ∈)0( , şirul (6) converge către soluŃia z a sistemului (1); ii) 20 <α< . Dacă 20 <α< , atunci evaluarea erorii se face prin
A
n
A
nn
A
n xxq
qxx
q
qzx )0()1()1()()(
11−
−≤−
−≤− − (7)
unde
∑∑= =
=m
i
m
jijijA
xxax1 1
iar
AAx
AxCCq α
≤α ==
1sup .
ObservaŃie. Pe componente, şirul (6) este
( )ii
im
ij
njij
ii
ni
i
j
njij
ii
ni a
axa
axxa
ax
α+
α−α−+
α−= ∑∑
+=
−
=
++
1
)()(1
1
)1()1( 1 (8)
Exemplul 1. Cu notaŃiile din acest paragraf să se afle valoarea optimă a parametrului de relaxare şi folosind atunci metoda relaxării simultane să se
aproximeze soluŃia sistemului cu o eroare mai mică decât 310− . a)
15112
51112
482211
321
21
321
=++−
−=++
=−+
xxx
xxx
xxx
SoluŃie.
( )
+−
=−
22
3321,
11
12,
22
33211ADS .
Metoda relaxării simultane converge dacă 3321
440
−<α< .
Valoarea optimă a parametrului de relaxare este 21
22=α . Pentru acest α
şirul (4) din paragraful 4 este
21
30
21
1
21
2
21
421
102
21
2
21
1
21
421
96
21
4
21
4
21
1
)(3
)(2
)(1
)1(3
)(3
)(2
)(1
)1(2
)(3
)(2
)(1
)1(1
+−−=
−−−−=
++−−=
+
+
+
nnnn
nnnn
nnnn
xxxx
xxxx
xxxx
55
Pornind cu iteraŃia iniŃială )0;0;0()0( =x , se obŃine
)9996218,2;999463,5;9992418,5()7( −=x .
SoluŃia exactă este )3;6;6( −=z . b)
327
4873
7237
321
321
321
−=++−
=++
=−+
xxx
xxx
xxx
.
( )
+−
=−
14
1711,
14
1711,
7
101ADS
Metoda relaxării simultane converge dacă 10
140 <α< . Valoarea optimă a
parametrului de relaxare este 041787,1=α . Pentru această valoare se obŃine cel
mai mic q , care este 4882671,00 =q . Vom lua 04,1=α . Şirul (4) din
paragraful 4 este
7
28,3304,0
7
04,1
7
04,17
92,49
7
04,104,0
7
12,37
88,74
7
04,1
7
12,304,0
)(3
)(2
)(1
)1(3
)(3
)(2
)(1
)1(2
)(3
)(2
)(1
)1(1
−−−=
+−−−=
++−−=
+
+
+
nnnn
nnnn
nnnn
xxxx
xxxx
xxxx
.
Pornind de la iteraŃia iniŃială )0;0;0()0( =x , se obŃine
)000039,4;0005719,4;0004329,8()11( −=x .
SoluŃia exactă este )4;4;8( −=z .
Exemplul 2. Folosind metoda relaxării succesive cu 5,1=α , să se rezolve sistemul:
327
4873
7237
321
321
321
−=++−
=++
=−+
xxx
xxx
xxx
IndicaŃie. Şirul (8) din paragraful 4 este:
8571428,65,07
5,1
7
5,1
285714,107
5,15,0
7
5,4
428571,157
5,1
7
5,45,0
)(3
)1(2
)1(1
)1(3
)(3
)(2
)1(1
)1(2
)(3
)(2
)(1
)1(1
−−−=
+−−−=
++−−=
+++
++
+
nnnn
nnnn
nnnn
xxxx
xxxx
xxxx
56
IV. METODE NUMERICE DE REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAłII NELINIARE
EcuaŃiile studiate în acest capitol vor fi de forma 0)( =xf sau xxf =)( . Pentru început, va fi studiată posibilitatea rezolvării unor asemenea ecuaŃii în cazul funcŃiilor reale de o variabilă reală.
IV.1. Metoda bisecŃiei
Fie [ ]ba, un interval în R şi [ ] Rbaf →,: o funcŃie continuă.
Presupunem că există şi este unic ( )baz ,∈ , astfel încât 0)( =zf . Atunci
0)()( <⋅ bfaf .
Fie aa =0 , bb =0 şi fie [ ]
+
+∈ 0
0000011 ,
2,
2,, b
babaaba ,
astfel încât ( ) ( ) 011 ≤⋅ bfaf . Dacă ( ) ( ) 011 =⋅ bfaf , atunci rădăcina căutată este
200 ba +. Dacă ( ) ( ) 011 <⋅ bfaf , continuăm construcŃia. Alegem
[ ]
+
+∈ 1
1111122 ,
2,
2,, b
babaaba astfel încât ( ) ( ) 022 ≤⋅ bfaf . Dacă
( ) ( ) 022 =⋅ bfaf , atunci rădăcina căutată este 2
11 ba +. În caz contrar,
( ) ( ) 022 <⋅ bfaf şi aşa mai departe. Să presupunem că procesul este infinit, deci că se construieşte un şir
[ ]( ) Nnnn ba ∈, de intervale, astfel încât ( ) ( ) 0<⋅ nn bfaf şi nnn
abab
2
−=− .
Avem atunci nn bza << pentru orice Nn∈ . Se aproximează z cu na (sau cu
nb ) , alegerea făcându-se în funcŃie de eroarea propusă folosind următoarele
formule de evaluare a erorii:
nn
abaz
20
−≤−≤ ,
nn
abzb
20
−≤−≤ .
Exemplul 1. Să rezolvăm cu o eroare mai mică decât 210− ecuaŃia 0sin2 =− xx .
SoluŃie. Prin metode elementare se constată că ecuaŃia are trei rădăcini:
00 =x ,
ππ
∈ ,21x , 12 xx −= . Considerăm deci funcŃia xxxf −= sin2)( .
57
Avem ( ) 02
<π⋅
πff . Pentru a aproxima rădăcina 1x cu o eroare mai mică
decât 210− va trebui să avem 100
1
2 1<
π+n
, pentru care este suficient să luăm
8=n . Folosind metoda bipartiŃiei, constatăm că [ ]
ππ=
512
309,
512
308, 88 ba şi deci
rădăcina 1x se poate aproxima cu 512
308π sau cu
512
309π, făcând o eroare mai mică
decât 31013,6512
−⋅≈π
.
Exemplul 2. Să aproximăm prin metoda bipartiŃiei, făcând o eroare mai
mică decât 210− , rădăcina din intervalul
ππ4
3,
4 a ecuaŃiei 022 =−− xtgx .
SoluŃie. Se consideră funcŃia Rf →
ππ4
3,
4: , 22)( −−= xtgxxf .
Avem 04
3
4<
π⋅
πff şi prin metode elementare se constată că rădăcina este
unică în intervalul considerat. Pentru ca în metoda bipartiŃiei eroarea să fie mai
mică decât 210− este suficient ca 100
1
28<
⋅
πn
, adică π>+ 1002 3n . Este suficient
să luăm 6=n . După realizarea calculelor avem 1024
3196
π=a ,
1024
3206
π=b .
Rădăcina se poate aproxima deci cu 1024
319π sau cu
1024
320π, făcând o eroare mai
mică decât 3106,31024
−⋅≈π
.
IV.2. Metoda aproximaŃiilor succesive
Metoda este folosită pentru rezolvarea aproximativă a unor ecuaŃii de forma xxf =)( . Aproximarea se face prin termenii unui şir ( ) Nnnx ∈ construit
după formula ( )nn xfx =+1 . Suportul teoretic este dat de principiul contracŃiei pe
care îl vom prezenta pentru funcŃii reale de o variabilă reală. Fie I un interval în R . DefiniŃie. FuncŃia RIf →: se numeşte contracŃie dacă există [ )1,0∈q ,
astfel încât yxqyfxf −≤− )()( , pentru orice Iyx ∈, .
ObservaŃie 1. Orice contracŃie este uniform continuă şi este deci continuă.
58
ObservaŃie 2. Constanta q nu este unică. PropoziŃie. Fie RIf →: o funcŃie derivabilă, pentru care există
[ )1,0∈q , astfel încât qxf ≤′ )( pentru orice Ix∈ . Atunci f este o contracŃie.
Teoremă (principiul contracŃiei). Fie I un interval închis în R şi IIf →: o contracŃie. Atunci există şi este unic Iz∈ , astfel încât zzf =)( .
Pentru orice Ix ∈0 , şirul ( ) Nnnx ∈ , definit prin ( )nn xfx =+1 , converge către z.
Dacă yxqyfxf −≤− )()( pentru orice Iyx ∈, ( [ )1,0∈q ), atunci
011 11xx
q
qxx
q
qzx
n
nnn −−
≤−−
≤− − .
ObservaŃie. Aproximarea lui z prin nx (teorema precedentă) este cu atât
mai eficientă cu cât q este mai mic.
Exemplu. Fie funcŃia ( )323
1)( xxf −= . Să se arate că
⊂
3
2,0
3
2,0f şi că pe acest interval f este o contracŃie. Să se rezolve
ecuaŃia xxf =)( cu o eroare mai mică decât 510− .
SoluŃie. FuncŃia f este strict descrescătoare, continuă, 3
2)0( =f ,
81
46
3
2=
f , deci
⊂
3
2.0
3
2,0f . Apoi,
9
4)( ≤′ xf pentru orice
∈3
2,0x şi deci yxyfxf −≤−
9
4)()( . Conform principiului contracŃiei,
există şi este unic un punct
∈3
2,0z , astfel încât zzf =)( . Fie
3
20 =x şi
( )nn xfx =+1 . La fiecare pas eroarea se evaluează prin 15
4−−<− nnn xxzx .
Avem
6101111 1004,5596077,05960707,0
5
4
5
4 −⋅=−=−≤− xxzx
Se aproximează z cu 5960707,011 =x , făcând o eroare mai mică decât 61004,5 −⋅ .
ObservaŃie. În exemplul precedent s-a modelat ecuaŃia 0233 =−+ xx , astfel încât să se ajungă la forma xxf =)( .
59
ExerciŃiu 1. Fie 0>a şi [ ) Raf →+∞,: ,
+=x
axxf
2
1)( .
Folosind principiul contracŃiei, să se arate că şirul ( ) Nnnx ∈ , definit prin
+=+
nnn x
axx
2
11 , ax >0 , este convergent şi că 1−−≤− nnn xxax .
ExerciŃiul 2. Folosind metoda din exemplul 1, să se aproximeze cu o
eroare mai mică decât 510− rădăcina din intervalul
2
1,0 a ecuaŃiei
0155 =+− xx . IndicaŃie. Cu şirul lui Rolle se arată că ecuaŃia are trei rădăcini reale în intervalele ( )1,−∞− , ( )1,1− , ( )+∞,1 . Cu metoda bipartiŃiei se reduce intervalul
( )1,1− la
2
1,0 . Pe acest interval se modelează ecuaŃia sub forma ( ) xx =+1
5
1 5 .
FuncŃia ( )15
1)( 5 += xxf este atunci o contracŃie pe
2
1,0 .
IV.3. Metoda lui Newton
Cunoscută şi sub numele de metoda tangentei, metoda aproximează rădăcinile unor ecuaŃii de forma 0)( =xf .
Fie [ ] Rba ⊂, .
Teorema 1 (metoda lui Newton). Fie [ ] Rbaf →,: o funcŃie de clasă 2
C , astfel încât 0)(),( ≠′′′ xfxf pentru orice [ ]bax ,∈ şi 0)()( <⋅ bfaf .
Atunci există şi este unic ( )baz ,∈ , astfel încât 0)( =zf . Pentru orice
[ ]bax ,0 ∈ , astfel încât ( ) ( ) 000 >′′⋅ xfxf , şirul ( ) Nnnx ∈ definit prin
( )( )n
nnn xf
xfxx
′−=+1 rămâne în [ ]ba, , converge către z şi
( )
[ ])(inf
,xf
xfzx
bax
nn ′
≤−∈
.
Teorema 2 (metoda lui Newton simplificată). Fie [ ] Rbaf →,: o
funcŃie de clasă 2C , astfel încât 0)(),( ≠′′′ xfxf pentru orice [ ]bax ,∈ şi
0)()( <⋅ bfaf . Atunci există şi este unic ( )baz ,∈ , astfel încât 0)( =zf . Dacă
[ ]bax ,0 ∈ este astfel încât ( ) ( ) 000 >′′⋅ xfxf , atunci şirul ( ) Nnnx ∈ definit prin
( )( )0
1 xf
xfxx nnn ′−=+ rămâne în [ ]ba, , converge către z şi
( )
[ ])(inf
,xf
xfzx
bax
nn ′
≤−∈
.
60
Exemplul 1. Să se rezolve, cu o eroare mai mică decât 610− , ecuaŃia
0733 =−− xx . SoluŃie. Prin metode elementare se constată că ecuaŃia are o singură rădăcină reală, aflată în intervalul [ ]3,2 , unde 0)(),( ≠′′′ xfxf pentru orice x.
Dacă 30 =x , atunci ( ) ( ) 000 >′′ xfxf şi deci, conform teoremei 1, şirul ( ) Nnnx ∈ ,
definit prin ( )( ) 33
722
3
1 −
+=
′−=+
n
n
n
nnn
x
x
xf
xfxx , converge către rădăcina ecuaŃiei
considerate. Deoarece
[ ]9)(inf
3,2=′
∈xf
x, eroarea se evaluează prin
739
1 3 −−≤− nnn xxzx . Se obŃine 4259887,24 =x , iar eroarea este mai mică
decât 8107 −⋅ . Exemplul 2. Să se rezolve ecuaŃia 01 =−− xarctgx . SoluŃie. Folosind pentru început metoda bipartiŃiei, se constată că ecuaŃia
are soluŃie unică aflată în intervalul [ ]3,2 . Avem 2
2
1)(
x
xxf
+=′ ,
( )221
2)(
x
xxf
+=′′ , funcŃii care nu se anulează în intervalul [ ]3,2 . Se poate lua
30 =x . Deoarece [ ] 5
4)(min
3,2=′
∈xf
x, pentru şirul ( ) Nnnx ∈ definit prin
( )( )2
2
1
11
n
nnnnn
x
xxarctgxxx
+−−−=+
sau
( )n
n
n
n xxarctg
xx
11
11
21 −+
+=+ ,
eroarea se evaluează după formula ( )nn xfzx4
5≤− . Se obŃine
1322679,23 =x , ( ) 73 10−=xf şi rădăcina se aproximeazăă cu 3x , făcându-se o
eroare mai mică decât 71025,1 −⋅ . ObservaŃie. În cele două exemple precedente este de remarcat numărul mic de iteraŃii făcute pentru obŃinerea unei aproximări bune, aceasta în comparaŃie cu metoda bipartiŃiei.
61
IV.4. Metoda lui Newton (cazul funcŃiilor de mai multe variabile)
Se consideră pe spaŃiul mR una din normele uzuale, spre exemplu
imixx
≤≤∞=
1max , iar pe spaŃiul ( )mRL norma operatorială indusă AxA
x 1sup
≤= .
Astfel, dacă ( ){ }mjiijaA,...,1, ∈
= , atunci ∑=
≤≤∞=
m
jij
miaA
11max .
Amintim că dacă mm RRDf →⊂: , ( )mfff ,...1= este derivabilă,
atunci
( )
( ) ( )
( ) ( )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=′
001
01
01
1
0
xx
fx
x
f
xx
fx
x
f
xf
m
mm
m
⋯
⋮⋱⋮
⋯
.
Metoda urmăreşte rezolvarea aproximativă a sistemului de ecuaŃii neliniare ( )( )
( ) 0,...,
0,...,
0,...,
1
12
11
=
=
=
mm
m
m
xxf
xxf
xxf
⋯ (1)
Sistemul precedent se scrie 0)( =xf , unde ( )mfff ,...,1= .
PropoziŃiile care urmează produc tehnicile necesare obŃinerii metodei lui Newton în acest cadru.. Amintim că
{ }ryxRyrxB m <−∈=),( ; { }ryxRyrxB m ≤−∈=),( .
PropoziŃia 1. Fie D o mulŃime deschisă şi convexă în mR şi mRDf →:
o funcŃie derivabilă, pentru care există 0>M , astfel încât
yxMyfxf −≤′−′ )()( pentru orice Dyx ∈, . Fie Dw∈ un punct în care
derivata )(wf ′ este inversabilă şi fie ( ) 1)( −′≥α wf . Fie 0>r , astfel încât
DrwB ⊂),( şi 1<αMr . Atunci, pentru orice ),( rwBx∈ , există ( ) 1)( −′ xf şi
( )Mr
xfα−α
≤′ −
1)( 1
.
FuncŃia f este injectivă pe ),( rwB .
62
PropoziŃia 2. Fie mRD ⊂ o mulŃime deschisă şi convexă, fie mRDf →: o funcŃie derivabilă pentru care există 0>M , astfel încât
yxMyfxf −≤′−′ )()( pentru orice Dyx ∈, . Atunci
2
2))(()()( yx
Myxyfyfxf −≤−′−− Dyx ∈∀ , .
Teorema 1 (metoda lui Newton). Fie mRD ⊂ o mulŃime deschisă şi
convexă, mRDf →: o funcŃie derivabilă pentru care există 0>M , astfel încât
yxMyfxf −≤′−′ )()( pentru orice Dyx ∈, . Presupunem că există
Dz∈ , astfel încât 0)( =zf şi că )(zf ′ este inversabilă. Fie ( ) 1)( −′≥α zf ,
( )1,0∈q şi 0>r , astfel încât DrzB ⊂),( şi α+
<Mq
qr
)21(
2. Atunci, pentru
orice ),()0( rzBx ∈ , şirul ( ) Nnnx ∈)( , construit prin
( )( ) ( )( ))(1)()()1( nnnn xfxfxx−+ ′−= ,
rămâne în ),( rzB , converge către z şi
rqzxnn 12)( −≤− .
Teorema 2 (metoda lui Newton simplificată). Cu aceleaşi ipoteze şi notaŃii ca în teorema precedentă, fie 0>r , astfel încât DrzB ⊂),( şi
α+<
Mq
qr
)2(. Atunci, pentru orice ),(,)0( rzBwx ∈ , şirul ( ) Nn
nx ∈)( definit
prin
( ) ( )( ))(1)()1( )( nnn xfwfxx −+ ′−=
rămâne în ),( rzB , converge către z şi
rqzx nn ≤−)( .
ObservaŃie. În prezentarea teoremei 1, prezenŃa unui parametru iniŃial ( )1,0∈q şi alegerea corespunzătoare a razei r, astfel încât
α+<
Mq
qr
)21(
2,
este făcută pentru a pune în evidenŃă superrapiditatea procesului în vecinătatea soluŃiei z. O variantă mai acceptabilă în eventualitatea în care se doreşte verificarea îndeplinirii ipotezelor este următoarea:
63
Teorema 3. Fie mRD ⊂ o mulŃime deschisă şi convexă, mRDf →: o
funcŃie derivabilă pentru care există 0>M , astfel încât
yxMyfxf −≤′−′ )()( pentru orice Dyx ∈, . Presupunem că există
Dz∈ , astfel încât 0)( =zf , şi că există ( ) 1)( −′ zf . Fie ( ) 1)( −′>α zf şi
0>r , astfel încât DrzB ⊂),( şi 3
2<αMr . Atunci, pentru orice
),()0( rzBx ∈ , şirul ( ) Nnnx ∈)( , construit prin
( )( ) ( )( ))(1)()()1( nnnn xfxfxx−+ ′−= ,
rămâne în ),( rzB , converge către z şi
rqzxnn 12)( −≤− ,
unde
( )Mr
Mrq
α−α
=12
.
În metoda Newton simplifiată se poate impune restricŃia 3
1<αMr ,
evaluarea erorii fiind rqzx nn ≤−)( cu precizarea că ( )Mr
Mrq
α−α
=12
3.
Exemplu. Fie sistemul
02020
040202
2
=+−+
=+−+
yxy
xyx
Prin metode grafice, construind în acelaşi sistem de axe graficele curbelor
de ecuaŃii 24020 xxy −−= şi 22020 yyx −−= , constatăm că sistemul are două rădăcini, ambele în primul cadran şi că una dintre rădăcini este localizată în [ ] [ ]2,13,2 × . Pentru a aproxima aceastăă rădăcină considerăm funcŃia
( )2020,4020),( 22 +−++−+= yxyxyxyxf Atunci
−
−=′
2021
1202),(
y
xyxf
( )
−−
−−
δ=′ −
2021
120201),( 1
x
yyxf
unde 39940404),(det +−−=′=δ xyxyyxf . Se poate arăta că sunt îndeplinite condiŃiile din teorema 3, spre exemplu că pe dreptunghiul considerat derivata este în fiecare punct inversabilă. Fie
)1,2()0( =x şi ( )( ) ( )( ))(1)()()1( nnnn xfxfxx−+ ′−= . Atunci
64
( )( )
+=
′−= −
3
5
161
118
287
1)1,2(
3
51,2)1,2( 1)1( fx .
Se obŃine )184,1;324,2()1( =x . Apoi
( )
+=
046,0
105,0
352,151
163,17
270
1184,1;324,2)2(x .
Se găseşte )187,1;331,2()2( =x .
ObservaŃie. ( ) )00003,0;0005,0()2( −=xf .
IV.5. Metoda Newton-Kantorovici
Metoda lui Newton prezentată în paragraful precedent are avantajul de a fi foarte rapid convergentă şi dezavantajul de a localiza procesul iterativ în jurul soluŃiei necunoscute. Acest dezavantaj este înlăturat în varianta următoare a metodei, datorată lui Kantorovici. În acest procedeu stabilitatea metodei în domeniul de definiŃie se face pas cu pas prin intermediul următoarei proprietăŃi: PropoziŃia 1. Cu ipotezele şi notaŃiile din paragraful 1, fie
( ) ( ))()()( 1 xfxfxxg −′−= . Dacă există ),( rwBx∈ astfel încât
),()( rwBxg ∈ , atunci
( )wxgM
xxgMxgxgg
−α−
−α≤−
)(12
)()())((
2
.
Teorema 1 (metoda Newton-Kantorovici). Fie mm RRDf →⊂: , o
funcŃie derivabilă pentru care există 0>M , astfel încât
yxMyfxf −≤′−′ )()( pentru orice Dyx ∈, . Fie ( )( ) 1−′≥α wf ,
( ) ( ))()( 1 wfwf −′≥β . Dacă 2
1<αβM şi DrwB ⊂),( , unde
( )MM
r αβ−−α
= 2111
,
atunci ecuaŃia 0)( =xf are soluŃie unică ),( rwBz∈ . Dacă wx =)0( şi
( )( ) ( )( ))(1)()()1( nnnn xfxfxx−+ ′−= ,
atunci ( )rwBx n ,)( ∈ şi zx n
n=
∞→
)(lim .
65
Teorema 2 (metoda Newton-Kantorovici simplificată). Cu notaŃiile şi
ipotezele din teorema precedentă, există şi este unic ),( rwBz∈ , astfel încât
0)( =zf . Pentru orice ),()0( rwBx ∈ , şirul ( ) Nnnx ∈)( ,
( ) ( )( ))(1)()1( )( nnn xfwfxx −+ ′−= rămâne în ),( rwB , converge către z şi
)0()1()1()()(
11xx
q
qxx
q
qzx
nnnn −
−≤−
−≤− −
unde Mrq α= ( ( )MM
r αβ−−α
= 2111
).
Teorema 3. Fie mRD ⊆ o mulŃime deschisă şi convexă, mRDf →: o
funcŃie derivabilă pentru care există 0>M , astfel încât
( ) ( ) yxMyfxf −≤′−′ pentru orice Dyx ∈, . Fie Dx ∈)0( , astfel încât
( )( )0xf ′ este inversabilă şi fie ( )( )( ) 10 −′≥α xf . Fie ( )( )( ) ( )( )( )010 xfxf
−′≥β şi
presupunem că 9
82 <αβM . Fie ( )M
Mr αβ−−
α= 211
1 şi presupunem că
( ) DrxB ⊂,0 .
Atunci există şi este unic ( )( )rxBz ,0∈ , astfel încât 0)( =zf . Şirul
( ) Nnnx ∈)( , ( )( ) ( )( )( )nnnn xfxfxx
1)()()1( −+ ′−= rămâne în ( )rxB ,)0( , converge
către z şi ( ) rqzxnn 12 −≤− unde
M
Mq
αβ−
αβ−−=
212
211.
IV.6. Metoda aproximaŃiilor succesive (cazul funcŃiilor de mai multe variabile)
Ca şi în paragraful 2, metoda se ocupă de rezolvarea aproximativă a unor
ecuaŃii de forma xxf =)( , unde mm RRDf →⊂: .
DefiniŃie. FuncŃia mm RRDf →⊂: se numeşte contracŃie dacă există
[ )1,0∈q , astfel încât yxqyfxf −≤− )()( pentru orice Dyx ∈, .
Exemplu. Amintim că dacă mRD ⊂ este o mulŃime deschisă şi mRDf →: este derivabilă pe segmentul [ ] Dyx ⊂, , atunci
[ ]yxtfyfxf
yxt
−⋅′≤−∈
)(sup)()(,
Atunci, dacă funcŃia f este derivabilă pe mulŃimea deschisă şi convexă D şi
1)( <≤′ qxf pentru orice Dx∈ , funcŃia f este o contracŃie pe D.
Amintim că se spune că funcŃia f este derivabilă pe mulŃimea închisă A dacă există o mulŃime deschisă D pe care funcŃia f este derivabilă şi DA ⊂ .
66
Dacă funcŃia f este derivabilă, cu derivata continuă pe mulŃimea compactă şi convexă A, atunci
yxtfyfxfAt
−⋅′≤−∈
)(sup)()(
pentru orice Ayx ∈, , iar dacă 1)( <≤′ qtf pentru orice At∈ , atunci funcŃia f
este o contracŃie pe A.
Teorema 1 (principiul contracŃiei). Fie mRA ⊂ o mulŃime închisă şi AAf →: o contracŃie. Atunci există şi este unic Az∈ , astfel încât zzf =)( .
Pentru orice Ax ∈)0( şirul ( ) Nnnx ∈)( definit prin ( ))()1( nn xfx =+ converge
către z. Dacă yxqyfxf −≤− )()( pentru orice Ayx ∈, ( 1<q ), atunci
)0()1()1()()(
11xx
q
qxx
q
qzx
nnnn −
−≤−
−≤− − .
Metoda rezultată, în care z se aproximează cu termenii şirului )(nx , se numeşte metoda aproximaŃiilor succesive. Exemplul 1. Fie [ ] [ ] [ ] [ ]dcbadcbaf ,,,,: ×→× , ( )ψϕ= ,f , o funcŃie
derivabilă pentru care există [ )1,0∈q , astfel încât
qyxy
yxx
≤∂ϕ∂
+∂ϕ∂
),(),(
qyxy
yxx
≤∂ψ∂
+∂ψ∂
),(),(
pentru orice [ ] [ ]dcbayx ,,),( ×∈ . Atunci funcŃia f este o contracŃie pe
[ ] [ ]dcba ,, × ( qyxf ≤′∞
),( [ ] [ ]dcbayx ,,),( ×∈∀ ) şi deci exisŃă şi este unic
( ) [ ] [ ]dcba ,,, ×∈βα , astfel încât ( ) ( )βα=βα ,,f , iar pentru aproximare se poate folosi metoda aproximaŃiilor succesive. Exemplul 2. Se consideră sistemul
( )
( ) yyx
xyx
=+−
=++
3
1
6
12
1
6
1
33
33
.
Fie
×
→
×
10
9,0
10
9,0
10
9,0
10
9,0:f , ( )ψϕ= ,f ,
( )2
1
6
1),( 33 ++=ϕ yxyx , ( )
3
1
6
1),( 33 +−=ψ yxyx ,
67
−=′
22
22),( 22
22
yx
yx
yxf .
Atunci
81,02
),(22
≤+
=′∞
yxyxf .
Rezultă că funcŃia f este o contracŃie pe
×
10
9,0
10
9,0 :
{ } ( )∞∞
−=−−≤− ),(,81,0,max81,0),(),( vuyxvyuxvufyxf .
EcuaŃia ),(),( yxyxf = are atunci soluŃie unică în dreptunghiul considerat şi pentru aproximarea acestei soluŃii se poate folosi metoda
aproximaŃiilor succesive. Fie )0,0()0( =x şi ( ))()1( nn xfx =+ . Eroarea se aproximează prin
∞
−
∞−
−≤− )1()()(
81,01
81,0 nnn xxzx
adică prin
∞
−−≤− )1()()( 24,4 nnn xxzx
Se obŃine
)3512868,0;5323985,0()7( =x ,
)3512597,0;5323761,0()8( =x
şi atunci 3)8( 10−
∞<− zx .
Exemplul 3. Se consideră sistemul
yyx
xyx
=+
+
=+
+
201
202
2
2
FuncŃia
++
++=
201,
202),(
22 yxyxyxf are proprietăŃile:
[ ] [ ] [ ] [ ]2,13,22,13,2: ×→×f ,
=′
1020
120
1
10),(y
x
yxf
10
7
1020
1,
20
1
10max),( ≤
++=′
∞
yxyxf
68
Rezultă că
∞∞−≤− ),(),(
10
7),(),( vuyxvufyxf
şi deci f este o contracŃie pe [ ] [ ]2,13,2 × . Există atunci şi este unic ( )βα= ,z ,
astfel încât [ ] [ ]2,13,2 ×∈z , ),(),( βα=βαf . Pentru aproximarea soluŃiei z se poate folosi metoda aproximaŃiilor succesive. Formula de evaluare a erorii este atunci
∞
−
∞−≤− )1()()(
3
7 nnn xxzx .
V. APROXIMAREA SPECTRULUI UNEI MATRICI
REALE SIMETRICE
V.1. Spectrul unei matrici simetrice
Pe spaŃiul mR se consideră produsul scalar canonic ∑=
=m
iii yxyx
1
, ,
( )mxxx ,...,1= , ( )myyy ,...,1= şi se notează xxx ,2= (norma euclidiană).
Dacă mm RRT →: este un operator liniar, atunci 2
T este norma operatorială
generată de norma euclidiană: 2
122
sup TxTx ≤
= . Dacă ( ){ }mjiijtT,...,1, ∈
= , atunci
( ){ }mjijit ,...,1, ∈
generează operatorul adjunct *T , ce poate fi definit şi prin
proprietatea yTxyTx *,, = , pentru orice mRyx ∈, . Dacă matricea
( ){ }mjiijt ,...,1, ∈
este simetrică, atunci operatorul generat T este autoadjunct:
TyxyTx ,, = mRyx ∈∀ , .
MulŃimea ( ){ }0det =λ−∈λ ITC , adică familia rădăcinilor polinomului
caracteristic se numeşte spectrul lui T şi se notează )(TS . Dacă T este autoadjunct, atunci spectrul este format numai din numere reale. Fie A o matrice reală simetrică. Se ordonează spectrul lui A:
( )mA λλλ= ,...,,)( 21S , mλ≤≤λ≤λ ...21 .
Unul din rezultatele cu importanŃă mai mult calitativă, care stă la baza realizării unor metode de aproximare a spectrului, este:
69
Teorema 1 (E. Fischer). Dacă A este o matrice reală simetrică şi ( )mA λλλ= ,...,,)( 21S , mλ≤≤λ≤λ ...21 , atunci
2
20,
,supinf
x
xAx
xXxjXj
≠∈∈=λ
S
,
unde jS este familia subspaŃiilor de dimensiune j în mR .
Ca o consecinŃă a teoremei precedente are loc un prim fenomen de aproximare: Teorema 2. Fie A, B matrici reale simetrice ale căror spectre, scrise în ordine crescătoare, sunt mλλλ ,...,, 21 , respectiv mµµµ ,...,, 21 . Atunci
2BAii −≤µ−λ , { }mi ,...,1∈∀ . (1)
Dacă ( ){ }mjiijtT,...,1, ∈
= , se notează
∑=
=m
jiijFtT
1,
2 .
Aceasta este o normă pe mulŃimea metricilor mm× , numită norma Frobenius, şi avem
FTT ≤
2 (2)
Din (1) şi (2) rezultă că avem
Fii BA −≤µ−λ (3)
Pentru matricea simetrică A se notează
==
mma
a
diagAD
⋯
⋮⋱⋮
⋯
0
011
.
Să presupunem că elementele de pe diagonala matricii A , scrise în ordine crescătoare, sunt mααα ,...,, 21 şi că spectrul lui A este mλλλ ,...,, 21 . Atunci
Fii DA −≤α−λ , { }mi ,...,1∈∀ (4)
Se notează ||ADAF=− , deci ∑
≠
=ji
ijaA 2|| şi relaŃia (4) se scrie
||Aii ≤α−λ , { }mi ,...,1∈∀ (5)
70
V.2. Metoda rotaŃiilor
Fie ( ){ }mjiijaA,...,1, ∈
= o matrice reală simetrică. Fie
τ
σ
θθ
θ−θ
=
linia
linia
T
1
1cossin
1
1
sincos1
1
⋱
⋯⋯⋯
⋮⋮
⋮⋱⋮
⋮⋮
⋯⋯⋯
⋱
(1)
Matricea T are m linii şi m coloane şi în afara elementelor specificate are numai zerouri. Metoda rotaŃiilor este un procedeu iterativ de aproximare a spectrului
matricii A constând în construcŃia unui şir de matrici ( ) NnnA ∈)( , unde AA =)0( ,
nn
nn TATA )(*)1( =+ , iar nT este de forma (1). Fiecare matrice )(nA are acelaşi
spectru ca şi A , iar şirul se construieşte astfel încât 0lim )( =∞→
||n
nA
în (5), paragraful 1, va rezulta că spectrul lui A poate fi aproximat cu diagonala lui )(nA , scrisă în ordine crescătoare.
Fie ATTB *= , ( ){ }mjiijbB,...,1, ∈
= .
Dacă { }τσ∉ ,i , { }τσ∉ ,j , atunci ijjiij abb == .
Dacă { }τσ∉ ,j , atunci θ+θ== τσσσ sincos jjjj aabb ,
θ+θ−== τσττ cossin jjjj aabb .
( ) ( ) θθ−+θ−θ== σσττσττσστ cossinsincos 22 aaabb .
θ+θθ+θ= ττστσσσσ22 sincossin2cos aaab
θ+θθ−θ= ττστσσττ22 coscossin2sin aaab
Au loc următoarele proprietăŃi: *1 TT =−
( ) ( )BA SS =
trBtrA =
( )2222 2 στστ −+= abAB |||| .
71
Din egalitatea precedentă se observă că dacă 0=στb , atunci |||| AB ≤ şi
aceasta, împreună cu (5) paragraful 1 va permite construcŃia unui şir de matrici în care diagonalele pot aproxima spectrul lui A.
Dacă ττσσ ≠ aa şi ττσσ
στ
−=θ
aa
atg
22 , atunci 0=στb (
4
π<θ ).
Dacă ττσσ = aa şi 4
π=θ , atunci 0=στb .
Teoremă (metoda rotaŃiilor). Fie 3≥m şi A o matrice reală simetrică.
Se consideră şirul de matrici ( ) NnnA ∈)( , unde AA =)0( , n
nn
n TATA )(*)1( =+ , nT
fiind de tipul (1), în care, dacă ( ) { }mji
nij
n aA,...,1,
)()(
∈= , parametrii nσ , nτ ,
nn τ≠σ sunt astfel încât )()( max nij
ji
n
nnaa
≠τσ = , iar parametrul nθ este ales astfel
încât 0)1( =+τσ
n
nna . Fie )()(
1 ,..., nm
n αα elementele de pe diagonala matricii )(nA scrise
în ordine crescătoare şi mλλ ,...,1 spectrul lui A scris, de asemenea, în ordine
crescătoare.
Atunci jnj
nλ=α
∞→
)(lim , { }mj ,...,1∈∀ şi
|||| AqA nnj
nj ≤≤λ−α )()( ,
unde mm
q−
−=2
21 .
ExerciŃii. Folosind metoda rotaŃiilor, să se aproximeze cu o eroare mai
mică decât 410− spectrele matricilor următoare: 1.
=
3210
2321
1232
0123
A
R. ( ) )16228,7;41422,3;837723,0;585787,0(=AS 2.
=
1414104
14181610
10161814
4101414
A
R. ( ) )298254,51;656898,11;7017798,0;3431464,0(=AS
72
3.
=
2210
2221
1222
0122
A
R. ( ) )16228,6;41422,2;162277,0;41423,0( −−=AS
VI. INTERPOLARE
Aproximarea funcŃiilor prin polinoame este legată în cazul funcŃiilor analitice de chiar definiŃia analiticităŃii, iar în cazul general al funcŃiilor continue pe un interval compact, de existenŃa unui şir de polinoame uniform convergent către funcŃie. Interpolarea cu polinoame este un fenomen de aproximare, în general punctual, în care, cunoscând valorile unei funcŃii în anumite puncte, se aproximează acea funcŃie cu un polinom având proprietatea că în acele puncte ia aceleaşi valori ca şi funcŃia. Această coincidenŃă este cerută uneori şi pentru derivatele până la un anumit ordin.
VI.1. ExistenŃa şi unicitatea polinomului de interpolare
Se consideră următorul sistem de date:
(D)
*Nm∈ Rxi ∈ , { }mi ,...,1∈ , puncte distincte două câte două
*Nai ∈ , { }mi ,...,1∈
Rzij ∈ , { }mi ,...,1∈ , { }1,...,1,0 −∈ iaj
Fie ∑=
=m
iian
1
şi ( )∏=
−=ωm
i
iaixxx
1
)( .
DefiniŃie. Se numeşte polinom de interpolare asociat sistemului (D), un polinom [ ]xRP∈ cu proprietăŃile:
1−≤ ngradP ,
( ) ijij zxP =)( , { }mi ,...,1∈ , { }1,...,1,0 −∈ iaj .
Teorema 1.Există şi este unic un polinom de interpolare asociat sistemului (D).
73
Teorema 2 (formula lui Hermite). Polinomul de interpolare asociat sistemului (D) se poate scrie sub forma
( )( )∑ ∑
=
−
=
−−
ω=
n
i
ia
jij
jiijia
i
xrxxzxx
xxP
1
1
0
)()(
)(
unde
( ) ( )( )∑−−
=
−
ω
−=
1
0
)(
)(!
1
!
1)(
jia
k
kii
kia
iij xxx
x
xx
kjxr .
DefiniŃie. Dacă 1...1 === maa , polinomul de interpolare corespunzător
se numeşte polinom de interpolare Lagrange. Dacă în cazul descris în definiŃia precedentă notăm 0ii zz = , atunci
polinomul de interpolare Lagrange este un polinom P, de grad cel mult 1−m şi având proprietatea ( ) ii zxP = , { }mi ,...,1∈ . Se poate uşor constata că are loc
formula lui Lagrange:
∑ ∏=
≠
= −
−=
n
i
n
ij
j ji
ji xx
xxzxP
1 1
)( .
Exemple 1. Fie nxx ,...,1 numere reale distincte două câte două şi *Nk ∈ , 1−≤ nk ,
kii xz =0 , { }ni ,...,1∈ . Atunci polinomul de interpolare asociat acestui sistem de
date este kxxP =)( .
2. Fie 2
11 −=x , 02 =x ,
2
13 =x , 1=ia , { }3,2,1∈i ,
5
41 =z , 12 =z , 03 =z .
Atunci polinomul de interpolare asociat acestui sistem de date este
15
4
5
12)( 2 +−−= xxxP .
3. Fie 2
11 −=x , 02 =x ,
2
13 =x , 2=ia , { }3,2,1∈i ,
5
410 =z ,
25
1611 =z ,
120 =z , 121 =z , 030 =z , 25
1631 −=z . Atunci 1
25
24
25
16)( 24 +−= xxxP .
VI.2. Polinoame de interpolare asociate funcŃiilor
Fie D un domeniu în R, nxx ,...,1 puncte din D nu neapărat distincte două
câte două şi { }myy ,...,1 mulŃimea elementelor distincte două câte două din
nxx ,...,1 . Să presupunem că iy apare de oriai − printre nxx ,...,1 şi nam
ii =∑
=1
.
74
Fie RDf →: o funcŃie derivabilă de 1−ia ori în iy , pentru fiecare
{ }mi ,...,1∈ . DefiniŃie. Se numeşte polinom de interpolare asociat funcŃiei f şi sistemului ( )nxx ,...,1 un polinom P, de grad cel mult 1−n , astfel încât
( ) ( )iji
j yfyP )()( = , { }mi ,...,1∈ , { }1,...,1,0 −∈ iaj .
Se notează ( )xxxfPxP n ;,...,;)( 1= .
Se spune că nxx ,...,1 sunt noduri, iar dacă x este un asemenea nod şi dacă
apare de oria − printre nxx ,...,1 se spune că x are multiplicitatea a. Dacă 1=a ,
nodul x se numeşte simplu, şi se numeşte multiplu dacă 1>a . De exemplu, în );8,8,8,2,1,1;( xfP nodul 1 este dublu, nodul 2 este simplu, iar nodul 8 este triplu.
Exemple: 1. )();;( 11 xfxxfP = .
2. Fie 21 xx ≠ şi ( )112
121
)()()()( xx
xx
xfxfxfxP −
−
−+= . Deoarece
1≤gradP , )()( 11 xfxP = , )()( 22 xfxP = , din definiŃia şi unicitatea
polinomului de interpolare rezultă că );,;()( 21 xxxfPxP = . 3. Dacă f este derivabilă în punctul x, atunci
))(()()( 111 xxxfxfxP −′+= este polinomul de interpolare asociat funcŃiei f şi
nodului dublu 1x , adică );,;()( 11 xxxfPxP = . Se observă pentru acesta că
1≤gradP , )()( 11 xfxP = şi )()( 11 xfxP ′=′ . DefiniŃie. Se numeşte diferenŃă divizată asociată funcŃiei f şi nodurilor
nxx ,...,1 coeficientul lui 1−nx din ( )xxxfP n ;,...,; 1 .
Se notează [ ]nxxf ,...,1 .
ObservaŃie. Atât ( )xxxfP n ;,...,; 1 , cât şi [ ]nxxf ,...,1 nu depind de
ordinea nodurilor. Teorema 1 (formulă de recurenŃă). Dacă 2≥n şi nxx ≠1 , atunci
( ) ( ) ( )n
nn
nnn xx
xxxxxfP
xx
xxxxxfPxxxfP
−
−+
−
−= −
111
1
121 ;,...,;;,...,;;,...,; .
Corolar 1. Dacă 21 xx ≠ , atunci
( ) ( ) ( )21
21
12
1221 ;,;
xx
xxxf
xx
xxxfxxxfP
−
−+
−
−=
iar P se numeşte polinom de interpolare liniară.
75
Corolar 2. Dacă 2≥n şi nxx ≠1 , atunci
[ ] [ ] [ ]1
1121
,...,,...,,...,
xx
xxfxxfxxf
n
nnn −
−= − .
În particular
[ ] ( ) ( )12
1221 , xx
xfxfxxf
−
−= .
PropoziŃie 1. Dacă nxxx === ...21 , atunci
[ ] ( )1)1(11 )!1(
1,..., xf
nxxf n
orin
−
−−
=�����
.
Teorema 2 (formulă de recurenŃă). Dacă 2≥n , atunci
( ) ( ) [ ]( ) ( )111111 ...,...,;,...,;;,...,; −− −−+= nnnn xxxxxxfxxxfPxxxfP .
Mai general
( ) ( ) [ ]i
nniin xx
xxxfxxxxxfPxxxfP
−ω
+= +−
)(,...,;,...,,,...,;;,...,; 11111 .
Teorema 3 (formula lui Newton cu diferenŃe divizate).
( ) [ ]( ) ( )∑=
−−−=n
iiin xxxxxxfxxxfP
11111 ...,...,;,...,; .
VI.3. Evaluarea erorii
Fie ( ) ( )nxxxxx −−=ω ...)( 1 .
PropoziŃia 1. Dacă funcŃia f este cel puŃin de oriai − derivabilă în
fiecare nod de multiplicitate ia , atunci pentru orice Dx∈ avem
( ) [ ] )(,,...,;,...,;)( 11 xxxxfxxxfPxf nn ω+= .
PropoziŃia 2. Fie RDf →: o funcŃie de clasă nC şi nxx ,...,1 puncte
din D. Atunci, pentru orice Dx∈ , există D∈ξ , astfel încât
( ) ( ) ( )xfn
xxxfPxf nn ωξ+= )(
1 !
1;,...,;)( .
ObservaŃie. Punctul ξ din teorema precedentă aparŃine intervalului
{ } { }[ ]xxxxxx nn ,,...,max,,,...,min 11 .
Corolar (formulă de evaluare a erorii). Dacă f este de clasă nC pe
intervalul D, atunci
( ) )(sup)(!
1;,...,;)( )(
1 xfxn
xxxfPxf n
Dxn
∈ω≤− .
76
PropoziŃia 3. Dacă 2≥n şi dacă funcŃia f este de clasă 1−nC pe
intervalul D, atunci există D∈ξ , astfel încât
[ ] ( )ξ−
= − )1(1 )!1(
1,..., n
n fn
xxf .
Teorema 4 (continuitatea diferenŃelor divizate). Dacă 2≥n , iar funcŃia
f este de clasă 1−nC pe intervalul D, atunci diferenŃa divizată [ ]nxxf ,...,1 , ca
funcŃie de n variabile, este continuă pe nD . Teorema 5 (derivabilitatea diferenŃelor divizate). Dacă funcŃia f este de
clasă in+C , atunci
[ ] [ ],...,,,,...,!,,...,1
11 �����orii
nn xxxxxfixxxfx
+
=′∂
∂′.
Algoritmul lui Aitkien Fie nxx ,...,0 puncte distincte două câte două din D şi RDf →: . Fie
( )kk xfxP =)(0 , nk ,...,1= şi
( ) ( )dk
kddddkdk xx
xPxxxPxxxP
−
−−−=+
)()()(1, , { }ndk ,...,1+∈ .
Atunci ( )xxxfPxP nnn ;,...,;)( 1= .
Exemplul 1. Să aproximăn 4
sinπ prin interpolare prin
−−2
1;3,2,1,0,1,2;fP , unde
2sin)(
xxf
π= .
Pentru controlul rezultatelor intermediare din algoritmul lui Aitkien se
poate utiliza tabloul următor, în care 2
1=x şi se scriu
2
1kiP .
ix 0kP
1kP 2kP 3kP 4kP 55P xxk −
-2 0 -2,5 -1 -1 -2,5 -1,5 0 0 0 1,25 -0,5 1 1 0,8(3) 0 0,625 0,5 2 0 0 -1,25 0,625 0,625 1,5 3 -1 -0,5 -1,75 0,75 0,59375 0,671875 2,5
Atunci 671875,04
sin ≈π
.
77
Exemplul 2. Fie funcŃia 21
1)(
xxf
+= şi nodurile duble
2
121 −== xx ,
043 == xx , 2
165 == xx . Cu ajutorul formulei lui Newton cu diferenŃe divizate
să se calculeze polinomul de interpolare. Să se verifice evaluarea erorii în 4
1=x .
SoluŃie. Calculul diferenŃelor divizate este prezentat în următorul tablou:
2
1−
2
1− 0 0
2
1
2
1 ix
5
4
5
4 1 1
5
4
5
4 ( )ixf
25
16
25
10 0
25
10−
25
16− [ ]1, +ii xxf
25
12−
25
20−
25
20−
25
12− [ ]21 ,, ++ iii xxxf
25
16− 0
25
16 [ ]321 ,,, +++ iiii xxxxf
25
16
25
16 [ ]4321 ,,,, ++++ iiiii xxxxxf
0 [ ]654321 ,,,,, xxxxxxf
Atunci
( ) 2222
61 2
1
25
16
2
1
25
16
2
1
25
12
2
1
25
16
5
4;,...,; xxxxxxxxxfP
++
+−
+−
++= ,
deci
( ) 125
24
25
16;,...,; 24
61 +−= xxxxxfP .
Avem 9411764,04
1=
f , iar aproximarea se face cu 9425,0
4
1=
P . Formula
de evaluare a erorii dă majorarea cu
(6)
1 1,
2 2
1 1 9sup ( ) 0,00219726
6! 2 4096x
f x ω ∈ −
= =
şi evaluările propuse verifică relaŃia de evaluare a restului.
78
VI.4. Polinoame de interpolare cu noduri simple echidistante
Fie D un interval în R, 0>h şi RDf →: . Notăm
RDhDfh →−∆ ∩: ,
( ) )()()( xfhxfxfh −+=∆ .
Operatorul h∆ , cât şi numărul )()( xfhxf −+ se numesc diferenŃă
nedivizată ascendentă de ordinul întâi. Dacă { } Dnhxhxx ⊂++ ,...,, se defineşte
( ) ( ) ( ) )()()( 11 xfhxfxf nh
nh
nh
−− ∆−+∆=∆
adică 1−∆∆=∆ nhh
nh . Operatorul n
h∆ , cât şi numărul ( ) )(xfnh∆ se numesc
diferenŃă nedivizată ascendentă de ordinul n. Prin convenŃie, ff =∆0 .
PropoziŃia 1. Fie RDf →: , 0>h şi { } Dnhxhxx ⊂++ ,...,, . Atunci
( ) ),...,,(!)( nhxhxxfhnxf nnh ++=∆ .
Corolar 1. Dacă f este de clasă nC pe intervalul [ ]nhxx +, , atunci
există [ ]nhxx +∈ξ , , astfel încât
( ) ( )ξ=∆ )()( nnnh fhxf .
Corolar 2. Dacă f este de clasă nC pe intervalul [ ]nhxx +, , atunci
( ))(
)(lim )(
0xf
h
xf n
n
nh
h=
∆→
.
Cu ajutorul diferenŃelor nedivizate se obŃin formule cu o anumită simetrie, cu o anumită independenŃă faŃă de intervalul în care se face interpolarea. Fie Rx ∈0 , 0>h şi ihxxi += 0 , Zi∈ . Fie { } Dxxx n ⊂,...,, 10 şi
RDf →: . Pentru Dx∈ , fie t astfel încât thxx += 0 . Avem atunci
( ) ( )( )∑=
∆=+n
i
ih
itn xfCthxxxxfP
00010 ;,...,,; ,
unde !
)1)...(1(
i
itttC i
t
+−−= , 10 =tC .
În această prezentare polinomul de interpolare se numeşte polinomul lui Newton de interpolare ascendentă. Evaluarea erorii, pentru cazul în care funcŃia f
este de clasă 1+nC şi în raport cu schimbarea de variabilă folosită este:
( ) ( ) )(sup))...(1()!1(
;,...,,; )1(1
0100 xfntttn
hthxxxxfPthxf n
Dx
n
n+
∈
+
−−+
≤+−+ .
Formula de interpolare precedentă se dovedeşte a fi mai bună (în sensul unei minimizări a restului) dacă punctul în care se face aproximarea se află în intervalul [ ]hxx +00 , .
79
Se notează ( ) )()()( hxfxfxfh −−=∇ şi se numeşte diferenŃă
nedivizată descendentă. Ca mai sus , ( ) ( ) ( ) )()()( 11 hxfxfxf nh
nh
nh −∇−∇=∇ −−
Are loc:
( ) ( ) ( )( )∑=
−− ∇−=−n
i
ih
is
in xfCshxxxxfP
00010 1;,...,,;
numită formula lui Newton de interpolare descendentă. Se preferă în cazul în care punctul în care se face aproximarea aparŃine intervalului [ ]00 , xhx − .
În formula următoare se notează ( )( ) ki
kih fxf ∆=∆ , Zk ∈ . Are loc:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ))!2(
1...1
)!12(
)1(2...1
...!4
)2(1
!3
1
!2
)1(
,,...,2,2,,,;
2222
22222
112
2
24
2
13
12
00
0000000
n
ntntttf
n
ntntttf
tttf
ttf
ttftfxf
nhxnhxhxhxhxhxxfP
nn
nn
−−−−∆+
+−
−−−−−∆+
++−−
∆+
+−
∆+−
∆+∆+=
=−+−+−+
−
+−−
−
−−
numită formula lui Gauss ascendentă.
Exemplul 1. Sunt cunoscute valorile funcŃiei ∫ −
π=φ
x t dtex0
22)( în
punctele 10
1i
+ , { }10,...,1,0∈i . Folosind formula de interpolare Newton
ascendentă cu 4 noduri să se aproximeze )43,1(φ . Valorile funcŃiei cât şi ale
diferenŃelor nedivizate sunt prezentate în tabelul următor ( 1,0=h ).
x )(xφ φ∆ h φ∆2h φ∆3
h φ∆4h
1 0,8427 0,0375 -0,0074 0,001 0 1,1 0,8802 0,0301 -0,0064 0,001 -0,0001 1,2 0,9103 0,0237 -0,0054 0,0009 0 1,3 0,9340 0,0183 -0,0045 0,0009 0 1,4 0,9523 0,0138 -0,0036 0,0009 -0,0004 1,5 0,9661 0,0102 -0,0027 0,0005 0,0001 1,6 0,9763 0,0075 -0,0022 0,0006 -0,0002 1,7 0,9838 0,0053 -0,0016 0,0004 1,8 0,9891 0,0037 -0,0012 1,9 0,9928 0,0025 2 0,9953
80
Conform notaŃiilor precedente 43,1=x , se alege 4,10 =x . Atunci
3,00 =−
=h
xxt şi deci:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )0
440
33
022
01
03210 43,1;,,,;
xCxC
xCxCxxxxxP
htht
htht
φ∆+φ∆+
+φ∆+φ∆+φ=φ,
unde:
( ) 9523,00 =φ x ; ( )( ) 0138,00 =φ∆ xh ; ( )( ) 0036,002 −=φ∆ xh ;
( )( ) 0009,003 =φ∆ xh ; ( )( ) 0004,00
4 −=φ∆ xh .
3,01 == tCt ; 105,02 −=tC ; 0595,03 =tC ; 0401,04 −=tC
şi se obŃine ( ) 95688,043,0;,,,; 3210 ≈φ xxxxP . Se aproximează deci
( ) 95688,043,1 ≈φ . Se poate arăta că eroarea este mai mică decât 410− , deci primele 3 zecimale sunt exacte. Exemplul 2. Folosind metoda şi tabelul din exerciŃiul precedent, să se aproximeze cu formula lui Newton ascendentă cu patru noduri ( )53,1φ .
Se va lua 5,10 =x şi se obŃine ( ) 9694737,053,1 ≈φ eroarea teoretică
fiind mai mică decât 5102,1 −⋅ .
VI.5. Interpolare cu funcŃii spline cubice
Fie [ ] Rbaf →,: şi nodurile bxxxa n =<<<= +121 ... .
DefiniŃie. Se numeşte funcŃie spline cubică asociată funcŃiei f şi nodurilor
11 ,..., +nxx , o funŃie de clasă 2C , [ ] Rbas →,: , astfel încât ( ) ( )ii xfxs =
{ }1,...,1 +∈∀ ni şi restricŃia funcŃiei s la fiecare interval [ ]1, +ii xx este
polinomială de grad cel mult 3. Teorema 1. Există şi este unică o funcŃie spline cubică asociată funcŃiei f şi nodurilor 11 ,..., +nxx , astfel încât 0)()( =′′=′′ bsas .
Să notăm iii xxh −= +1 , ( )ii xsa ′′= , { }1,...,1 +∈ ni . Atunci
011 == +naa . Se arată că pentru [ ]1, +∈ ii xxx avem:
( ) ( )
( ) ( )i
ii
ii
i
ii
ii
i
ii
i
ii
h
xxa
hxf
h
xxa
hxf
h
xxa
h
xxaxs
−
−+
−
−+
+−
+−
=
+++
++
1
2
11
2
3
1
31
66
66)(
Se arată că necunoscutele rămase naa ,...,2 sunt soluŃiile sistemului
bAx = , unde ( )naax ,...,2= ,
81
+
+
+
=
−−
360000
000636
000063
11
3322
221
nnn hhh
hhhh
hhh
A
⋯
⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
( )11 ,..., −= nbbb , ( ) ( ) ( )21
11
1111+
++
+
+
+−= i
ii
iii
ii xf
hxf
hhxf
hb .
Matricea A este diagonal dominantă pe linii şi deci sistemul bAx = are soluŃie unică, iar aceasta se poate aproxima cu metoda lui Jacobi. Pe fiecare interval [ ]1, +ii xx evaluarea erorii se face cu formulele stabilite
la interpolare cu polinoame. Fie
( ) ( ) { }{ }1,...,1,2],[ +∈=∈= nixfxgg iibaCX
şi
R→φ X: , ( )∫ ′′=φb
adxxgg 2)()( .
Are loc următoarea caracterizare variaŃională: Teorema 2. Dacă X∈s este funcŃia spline cubică din teorema 1, atunci
( )gsg
φ=φ∈X
min)( . Reciproc, dacă X∈u şi ( )xug
φ=φ∈X
min)( , atunci u este
funcŃia spline cubică din teorema 1.
VII. FORMULE DE CUADRATURA
VII.1. ConvergenŃa punctuală
Problema aproximării integralei Riemann a unei funcŃii continue pe un interval compact [ ]ba, presupune, în partea calitativă a fenomenului, unele consideraŃii de analiză funcŃională. Se consideră mulŃimea ],[ baC a funcŃiilor reale continue pe [ ]ba, ,
organizat ca spaŃiu normat cu norma )(max],[
xffbax∈
= . Integrala Riemann
∫=b
adxxffI )()( este o funcŃională liniară şi continuă pe ],[ baC , iar aproximarea
ei se face punctual cu funcŃionale de tipul ( )∑=
α=n
iii xffJ
1
)( , unde
{ } [ ]baxx n ,,...,1 ⊂ sunt puncte distincte două câte două, iar { } Rn ⊂αα ,...,1 .
82
AplicaŃia J este funcŃională liniară şi continuă pe ],[ baC care, prin abuz, se va numi
în acest context "formulă de cuadratură", căci se va proceda la aproximarea
)()( fJdxxfb
a≈∫ .
Pentru stabilirea convergenŃei punctuale a unui şir de formule de cuadratură către integrală este util următorul rezultat:
Teorema 1. Fie { })()(1 ,..., n
nkn xx un sistem de puncte distincte două câte
două din intervalul [ ]ba, , { } Rn
nkn ⊂αα )()(
1 ,..., şi ( )∑=
α=nk
i
ni
nin xffJ
1
)()()( .
AfirmaŃiile următoare sunt echivalente:
i) ∫=∞→
b
ann
dxxffJ )()(lim pentru orice ],[ baf C∈ ;
ii) Există 0>M , astfel încât Mnk
i
ni ≤α∑
=1
)( , pentru orice Nn∈ şi
( ) ∫=∞→
b
a
kkn
ndtttJlim , pentru orice Nk ∈ .
Cu notaŃiile din teorema precedentă are loc:
Corolar. Dacă 0)( ≥α ni pentru orice { }nki ,...,1∈ şi orice Nn∈ , atunci
∫=∞→
b
ann
dxxffJ )()(lim pentru orice ],[ baf C∈ dacă şi numai dacă
( ) ∫=∞→
b
a
kkn
ndtttJlim pentru orice Nk ∈ .
VII.2. Formulele Newton-Côtes
Fie *Nn∈ , n
abh
−= , ihaxi += , { }ni ,...,0∈ . Prin integrarea
polinomului de interpolare ( )xxxfP n ;,...,; 0 se obŃine formula
( )∫=b
a nn dxxxxfPfJ ;,...,;)( 0 . Are loc
( ) ( )∑=
−=n
ii
nin xfHabfJ
0
)()( (1)
FuncŃionala nJ se numeşte "formula de cuadratură Newton-Côtes".
CoeficienŃii )(niH au proprietăŃile:
10
)( =∑=
n
i
niH (2)
)()( nin
ni HH −= (3)
Evaluarea erorii se obŃine folosind rezultatele de la interpolare.
83
PropoziŃie. Dacă 1],[
+∈ nbaf C , atunci
( ) ∫∑∫ −−+
≤−− +
∈
+
=
b
a
n
bax
nn
ii
ni
b
adtntttxf
n
hxfHabdxxf ))...(1()(sup
)!1()()( )(
],[
2
0
)( .
Pentru 1=n avem 2
1)1(1
)1(0 == HH , iar formula ce se obŃine
( ))()(2
)( bfafab
fT +−
=
se numeşte "formula de cuadratură a trapezului".
Dacă 2],[ baf C∈ , evaluarea erorii rezultă din propoziŃia precedentă:
( ) )(sup12
)()()(
2)(
],[
3
xfab
bfafab
dxxfbax
b
a′′−
≤+−
−∈
∫ .
Pentru 2=n avem 6
1)2(2
)2(0 == HH ,
6
4)2(1 =H , iar formula care se
obŃine:
+
++
−= )(
24)(
6)( bf
bafaf
abfS
poartă numele de "formula de cuadratura a lui Simpson".
Dacă 4],[ baf C∈ , formula de evaluare a erorii este:
)(sup2880
)()(
2)(
6)( )4(
],[
5
xfab
bfba
fafab
dxxfbax
b
a ∈
−≤
+
++
−−∫ .
VII.3. Formule sumate
Pentru 1>n , fie n
abh
−= , ihaxi += , { }ni ,...,1,0∈ . Prin sumarea
formulelor trapezului corespunzătoare intervalelor [ ]1, +ii xx se obŃine, pentru
],[ baf C∈ ,
( ) ( )( )∑−
=++
−=
1
012
)(n
iiin xfxf
n
abfT
numită formula sumată a trapezului.
Dacă 2],[ baf C∈ , are loc următoarea formulă de evaluare a erorii:
)(sup12
)()()(
],[2
3
xfn
abfTdxxf
baxn
b
a′′−
≤−∈
∫ .
84
Ca o consecinŃă a formulei precedente şi a corolarului de la teorema 1, paragraful 1, rezultă că:
∫=∞→
b
ann
dxxffT )()(lim , ],[ baf C∈∀ .
Dacă pentru 1>n , Nn∈ , se notează n
abh
−= , ihaxi += ,
( )ni 2,...,1,0∈ , prin sumarea formulelor lui Simpson corespunzătoare intervalelor
[ ]222 , +ii xx se obŃine
( ) ( ) ( ) ( )( )∑−
=++ ++
−=
1
022122 4
6
n
iiiim xfxfxf
n
abfS
numită formula sumată a lui Simpson.
Dacă [ ]baf ,4C∈ , are loc următoarea formulă de evaluare a erorii:
( )[ ]
)(sup2880
)()( )4(
,4
5
xfn
abfSdxxf
baxm
b
a ∈
−≤−∫ .
Ca o consecinŃă a formulei precedente şi a corolarului de la teorema 1 rezultă că:
∫=∞→
b
a
nn
dxxffS )()(lim , [ ]baf ,C∈∀ .
Exemple.
1. Aproximarea integralei ∫ −1
0
2dxe x cu formula sumată a trapezului se face cu
următoarele evaluări: 7313702,0)(2 =fT ; 742984,0)(4 =fT ;
7458656,0)(8 =fT ; 7462,0)(10 =fT . În cazul 10=n pentru evaluarea
erorii constatăm că ( ) 22 122)( xexxf −−=′′ , ( ) 2228)( xexxxf −−=′′′ . Din
studiul variaŃiei rezultă că 2)( ≤′′ xf . Din (1) rezultă că eroarea este cel mult
002,010012
2<
⋅.
2. Să se aproximeze cu formula sumată a lui Simpson pentru 4=n , integrala
∫1
0
2dxe x . Se obŃine 4627231,1)(4 =fS .
85
VII.4. Formulele de cuadratură ale lui Gauss
Fie nxx ,...,1 puncte distincte două câte două în intervalul [ ]ba, şi formula
de cuadratură
( )∑=
α=n
iii xffJ
1
)( , ],[ baf C∈ (1)
DefiniŃie. Formula J se numeşte exactă pe mulŃimea ],[ baA C⊂ dacă
∫=b
adxxffJ )()( pentru orice Af ∈ .
ObservaŃie. Formula trapezului este exactă pentru orice funcŃie polinomială de grad cel mult 1, iar formula lui Simpson este exactă pentru orice funcŃie polinomială de grad cel mult 2. Se notează cu kP spaŃiul polinoamelor de grad cel mult k.
PropoziŃia 1. Dacă funcŃionala (1) este exactă pe spaŃiul mP , atunci
12 −≤ nm .
ObservaŃie. Dacă funcŃionala (1) este exactă pe 12 −nP şi notăm
( )∏=
−=n
iixxxq
1
)( , atunci
0)()( =∫b
adxxpxq 1−∈∀ np P (2)
Un polinom de grad n se numeşte monic dacă coeficientul lui nx este 1. Teorema 1. Există şi este unic un polinom monic cu proprietatea (2). El este dat de
( ) )()()(
)!2(
!)(
nnnn bxax
n
nx −−=γ
( nγ se numeşte polinomul lui Legendre).
PropoziŃia 2. Polinomul nγ are n rădăcini reale distincte aflate în ( )ba, .
Teorema 2. Fie { })()(1 ,..., n
nn xx puncte distincte două câte două aflate în
intervalul ( )ba, şi { } Rnn
n ⊂αα )()(1 ,..., . Fie
( )∑=
α=σn
i
ni
nin xff
1
)()()( , ],[ baf C∈
FuncŃionala n
σ este exactă pe 12 −nP dacă şi numai dacă )()(1 ,..., n
nn xx sunt
rădăcinile polinomului Legendre nγ , iar ∫ ∏≠
= −
−=α
b
a
n
ij
jnj
ni
njn
i dxxx
xx
1)()(
)()( .
(funcŃionala nσ se numeşte formula de cuadratură a lui Gauss).
86
PropoziŃia 3. Pentru orice ],[ baf C∈ , ∫=σ∞→
b
ann
dxxff )()(lim .
Teorema 3 (evaluarea erorii). Dacă nbaf 2],[C∈ , atunci
( )( )
)(sup12
)(
)!2(
!)()( )2(
],[
12
3
4
xfn
ab
n
ndxxff n
bax
nb
an∈
+
+−
⋅≤− ∫σ .
Pentru calculul prin recurenŃă al polinoamelor Legendre are loc:
PropoziŃia 4. 1)(0 =γ x , )(2
1)(1 baxx +−=γ ,
)()()()( 11 xxxxx nnnnnn −+ γβ−γα−γ=γ , 1≥n
unde
∫∫
γ
γ=α
b
a n
b
a n
n
dxx
dxxx
)(
)(
2
2
, 0≥n ,
∫∫
−
−
γ
γγ=β
b
a n
b
a nn
n
dxx
dxxxx
)(
)()(
21
1, 1≥n .
De exemplu, pe intervalul [ ]1,1− avem 1)(0 =γ x , xx =γ )(1 ,
3
1)( 2
2 −=γ xx , 5
3)( 3
3 −=γ xx , 35
3
7
6)( 24
4 ++=γ xxx ,
xxxx63
15
9
10)( 35
5 +−=γ .
Teorema 4. Pe un interval de forma [ ]aa,− , funcŃia n2γ este pară, iar
12 +γ n este impară.
ObservaŃie. Dacă )()(1 ,..., n
nn xx sunt rădăcinile lui nγ corespunzătoare
intervalului [ ]1,1− , atunci rădăcinile corespunzătoare în cazul intervalului [ ]ba,
sunt )(
22n
ixabba −
++
. Dacă )()(1 ,..., n
nn αα sunt coeficienŃii din nσ pe intervalul
[ ]1,1− , atunci coeficienŃii corespunzători intervalului [ ]ba, sunt )(
2ni
abα
−.
De exemplu, pe intervalul [ ]1,1− avem
++
−=σ
5
3
9
5)0(
9
8
5
3
9
5)(3 ffff
iar formula sumată corespunzătoare acestora este 1
( ) 1 1 13
0
3 3( ) 5 8 5
18 2 2 5 2 2 2 5
nn i i i i i i
i
x x x x x xb a b a b af f f f
n n nσ
−+ + +
=
+ + +− − − = − + + + ∑
87
Pentru 4=n , pe intervalul [ ]1,1− , rădăcinile polinomului Legendre sunt
861136,01 −=x ; 339981,02 −=x , 23 xx −= ; 14 xx −= . CoeficienŃii din
formula lui Gauss sunt 347854,041 =α=α ; 652145,032 =α=α . Eroarea se
majorează cu )(sup1088,2 )8(
]1,1[
7 xfx −∈
−⋅ .
Pentru 5=n , pe intervalul [ ]1,1− , rădăcinile polinomului Legendre sunt
906179.01 −=x ; 538469,02 −=x ; 03 =x ; 24 xx −= ; 15 xx −= . CoeficienŃii
din formula lui Gauss sunt 236926,051 =α=α , 478628,042 =α=α ,
568888,03 =α . Eroarea se majorează cu )(sup1008,8 )10(
]1,1[
10 xfx −∈
−⋅ .
VIII. METODE NUMERICE PENTRU ECUATII DIFERENTIALE
Fie RRBAu →⊂× 2: o funcŃie continuă, [ ] Aba ⊂, şi problema Cauchy
( )( ) [ ]battxtutx
ax
,,)(,)(0
∈=′
α= (1)
Presupunem că problema precedentă are soluŃie unică, ceea ce se întâmplă,
de exemplu, dacă există 0>L , astfel încât vzLvtuztu −≤− ),(),( , pentru
orice [ ]bat ,∈ şi orice Bvz ∈, . Vom spune în continuare că u este de clasă nC ,
ceea ce va permite aproximarea soluŃiei x cu polinomul său Taylor de ordinul n. Notăm
),(),(),(
),(),(
11
0
yty
uyt
t
uytu
ytuytu
jj
j ∂
∂+
∂
∂=
=
−−
Atunci polinomul Taylor de grad n, asociat funcŃiei x în punctul 0s , este
( )( )∑
=
− −+=n
j
jjsxn st
j
sxsusxtT
10
0010)0,,( !
)(,)()( . (2)
Aproximarea soluŃiei x prin polinomul Taylor ),,( axnT este posibilă
deoarece în (2) sunt necesare doar informaŃiile din (1), dar metoda are mai mult importanŃă teoretică. O folosire mai bună a comportării soluŃiei x şi în alte puncte decât a este conŃinută într-o metodă derivată din cea a aproximării cu polinomul Taylor.
88
VIII.1. Metoda lui Taylor
Fie btttta mm =<<<<= +110 ... o diviziune δ a intervalului [ ]ba, .
Fie 00 α=x şi fie Rbay →],[: o funcŃie construită astfel:
∑=
− −+=n
j
jj ttj
xtuxty
10
0010 )(
!
),()( , [ ]10 , ttt∈ .
Fie ( )11 tyx = , ∑=
− −+=n
j
jj ttj
xtuxx
101
00101 )(
!
),(.
Presupunând că am construit [ ] Rtty k →,: 0 , reŃinem ( )kk tyx = şi
continuăm prin
∑=
− −+=n
j
jk
kkjk tt
j
xtuxty
1
1 )(!
),()( , [ ]1, +∈ kk ttt .
Luăm ( )11 ++ = kk tyx , adică ∑=
+−
+ −+=n
j
jkk
kkjkk tt
j
xtuxx
11
11 )(
!
),(.
Definim Rz →δ: , ( ) kk xtz = , iar aproximarea soluŃiei x la diviziunea
δ cu funcŃia z poartă numele de metoda lui Taylor. FuncŃia z este determinată deci de soluŃiile următoarei ecuaŃii:
( )
α=
−=−
− −+
=
−
+
+ ∑
00
11
1
1
1
1
!
),(
x
ttj
xtu
tt
xx jkk
n
j
kkj
kk
kk
(3)
EcuaŃiile precedente se numesc ecuaŃii cu diferenŃe. Pentru 1=n se obŃine metoda lui Euler. Prin urmare, restricŃia soluŃiei c la diviziunea δ se aproximează cu soluŃia z a următoarei ecuaŃii cu diferenŃe
∈=−
−
α=
+
+ },...,0{),,(1
1
00
mkxtutt
xx
x
kkkk
kk
VIII.2. Metoda Euler-Cauchy
Să presupunem că diviziunea δ este echidistantă, deci că htt kk =−+1 .
Metoda Euler-Cauchy constă din aproximarea soluŃiei x la diviziunea δ cu soluŃiile z ale următoarei ecuaŃii cu diferenŃe:
( )( )( )
++=−
α=
++
kkkkkkkk xthuxtuxtu
h
xx
x
,,),(2
11
1
00
.
89
VIII.3. Metoda Runge-Kutta
SoluŃia ecuaŃiei (1) se aproximează cu soluŃia ecuaŃiei cu diferenŃe:
( )
+++=−
α=
+ ),(),(),(2),(6
14321
1
00
kkkkkkkkkk xtvxtvxtvxtv
h
xx
x
unde
),(),(1 ztuztv = ,
++= ),(2
,2
),( 12 ztvh
zh
tuztv
++= ),(2
,2
),( 23 ztvh
zh
tuztv , ( )),(,),( 34 zthvzhtuztv ++= .
ObservaŃie. Pentru a aproxima soluŃia x în alte puncte decât cele ale diviziunii δ se apelează apoi la interpolare. Exemplu. Să rezolvăm cu metoda lui Euler pentru 05,0=h problema
[ ]1,0,)(
2)()(
1)0(
∈−=′
=
ttx
ttxtx
x
.
SoluŃie. Avem z
tztzu
2),( −= . EcuaŃiile cu diferenŃe (numite uneori
ecuaŃii apropiate) sunt
−+=
=
+k
kkkk x
txhxx
x
2
1
1
0
cu ktk 05,0= , { }20,...,1,0∈k . Se obŃine 10 =x , 05,11 =x , 097,12 =x ,
148,13 =x , etc.
BIBLIOGRAFIE
1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică, Editura UniversităŃii Bucureşti, 1992. 2. B. Demidovici, I. Maron, Elements de calcul numerique, Edition Mir, Moscou,
1973. 3. Gh. Marinescu, Gh. Grigore ş.a., Probleme de analiză numerică, Editura
Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.
Recommended