Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
1
Partea I - PRINCIPII GENERALE
1. Bazele analizei comportarii construciilor innd seama de interaciunea cu terenul de fundare
2. Legi constitutive
3. Metode generale de modelare i analiz a interaciunii statice
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
2
1. Bazele analizei comportarii construciilor innd seama de interaciunea cu terenul de fundare
Definirea i descrierea fenomenului de interaciune
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
3
Cazul A: EFECTUL nu modific CAUZA, ca urmare NU exista interactiune intre cauza si efect.
Cazul B: EFECTUL modific CAUZA, deci exista interactiune interactiune intre cauza si efect.
Cazul B.1- INTERACIUNEA POZITIV (denumita si interactiune rea):
EFECTUL intensific CAUZA, fenomen care poate conduce la aparitia colapsului.
In general, interactiunea pozitiva NU se manifesta in cazul constructiilor sub solicitari statice, dar poate sa se manifesteze sub efectul actiunilor seismice.
Cazul B.2- INTERACIUNEA NEGATIV (denumita si interactiune buna):
EFECTUL micoreaz CAUZA, fenomen care se atenueaza treptat pana la trecerea catre cazul A (disparitia fenomenului de interactiune).
Calculul constructiilor cu luarea in considerare a tuturor factorilor care conditioneaza comportarea acestora sub orice tip de actiuni inseamna calculul care tine cont de fenomenul de interactiune dintre terenul de fundare si structura (infrastructura si suprastructura).
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
4
Identificarea si cuantificare a fenomenului de interactiune
Model mecanic
Placa (metalica) prevazuta cu un orificiu prin care curge un fluid (apa).
Debitul unitar initial al fluidului: q = q0
Aria initiala a orificiului: A = A0
Viteza de curgere a fluidului, v, este constanta.
Se analizeaza modul in care curgerea fluidului (cauza) influenteaza aria orificiului (efectul).
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
5
Ipoteza I
Aria orificiului nu se modifica:
A = A0 q = v A0 q = q0 Cazul A
Fenomenul de interactiune intre cauza si efect nu exista.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
6
Ipoteza II
Aria orificiului se modifica: A A0; A = A(t, )
Coeficientul cuantifica fenomenul de interactiune dintre cauza si efect.
t
0
0
t
0
t
0
eqq
vnotez;tvqqln
dtvq
dq
dtvq
dqdtqvdAvdq
dtqdA
=
==
=
=
==
=
Deci:
t = t0 = 0 q = q0
t = ti q = q0 et Cazul B
Fenomenul de interactiune se manifesta (exista):
EFECTUL modific CAUZA.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
7
Cazul B.1- INTERACIUNEA POZITIV EFECTUL intensific CAUZA
Daca: >>>> 0 A(t) > A0
t A q
Cazul B.2- INTERACIUNEA NEGATIV EFECTUL micoreaz CAUZA
Daca:
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
8
STUDII DE CAZ
Referitoare la consecintele neluarii in calcul a fenomenului de interactiune teren-structura
1. Prabusirea unui imobil de locuinte din Shanghai, China
2. Degradarea structurala grava a complexului Armenesc, Bucuresti ca urmare a executiei excavatiei adanci pentru imobilul Millenium Business Center
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
9
1. Shanghai, China
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
10
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
11
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
12
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
13
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
14
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
15
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
16
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
17
First, the apartment building was constructed
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
18
Then the plan called for an underground garage to be dug out. The excavated soil was piled up on the other side of the building.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
19
Heavy rains resulted in water seeping into the ground.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
20
The building began to shift and the concrete pilings were snapped due to the uneven lateral pressures.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
21
The building began to tilt.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
22
And thus became the eighth wonder of the world!!!!
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
23
2. Complexul Armenesc - Millenium Business Center, Bucuresti
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
24
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
25
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
26
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
27
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
28
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
29
Exemplu de calcul: Grinda static nedeterminata
Ipoteza de calcul (1): Fenomen de tip A Nu exist INTERACIUNE
Ecuaia de proiecie:
)1(2
XLq2Y
qL2XY2
=
=+
Ecuaia de moment n reazemul 1:
)3(6LqM
)2(2LqLYM
2r
2r
=
+=
3LqY =
Y4X =
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
30
OBSERVATII
Ipoteza de calcul (1) este valabila doar daca:
s1 = s2 = s0
Calculul NU tine seama de urmatoarele elemente:
Reazemele sunt FUNDAII Fundaiile stau pe PMNT Pmntul este un material DEFORMABIL Comportatea pmntului sub incarcare este descris prin LEGI CONSTITUTIVE, de exemplu:
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
31
Relatia incarcare tasare care defineste deformabilitatea pmntului
Lege constitutiva liniara-fara cedare
Pentru: X = 4Y Rezult: sX = 4sY
Lege constitutiva neliniara-cu cedare
Pentru: X = 4Y Rezult: sX > 4sY
Deci s1 s2. Concluzie: Ipoteza de calcul (1) nu este valabila.
F
s
sy
sx
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
32
Ipoteza de calcul (2):
Fenomen de tip B Exist INTERACIUNE
s = f (F, k, t)
k caracteristica de rigiditate a pmntului t timp
Influenta factorului timp, t, poate fi neglijata in general (exceptie fac pamanturile cu comportare reologica) Interactiune ATEMPORALA
s = f (F, k)
Intensitatea fenomenului de interaciune depinde invers proporional de rigiditatea pmntului.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
33
Fenomenul de interaciune este de tip B.2 INTERACIUNE NEGATIV: EFECTUL micoreaz cauza
sx = X / k; sy = Y / k = (2Lq - X) / 2k
s = sx sy = f1(X, k)
X = qL; = f2(EI, k)
reprezinta caracteristica de rigiditate a sistemului
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
34
Pmnt
Fundatie Reactiuni Tasari
k
(EI) const. 34
=
Y4X =
0s
0k 3
2=
YX = maxss =
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
35
Metoda iterativa pentru calculul grinzii static nedeterminat
(Se folosete METODA EFORTURILOR)
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
36
n ipoteza de calcul (1): s1 = s2 = s0 sau s = 0 adica s =0
n reazemul 1 (central), reazem netasabil:
011 =+ qX (1) unde:
11 - deplasarea nodului 1 pe direcia forei q produs de o for unitar: 11
= L3/4EI q deplasarea nodului 1 pe direcia forei q produs de fora X: q = -qL4/3EI
nlocuind, relatia devine: 0
34
43
=
EIqLX
EIL
Rezult:
3qL4X = ; 3
qLY = , adica X = 4Y
n ipoteza de calcul (2), reazemul central se taseaza fata de cele marginale,:
s 0 sqX =+11
(1)
n care s rezult din legea constitutiv aleas pentru PMNT, comportare liniar sau neliniar obinut experimental sau teoretic.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
37
Schema logica Reprezentarea grafica a metodei iterative
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
38
Deplasri i deformaii specifice n structur sub starea impus de eforturi din terenul de fundare
si - tasare absolut n reazemul i
- nclinare general
fi sgeata
x -distorsiune unghiulara
- deformatie unghiulara relativa (curbura)
n - rotire local
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
39
Deplasri i deformaii specifice n structur sub starea impus de deplasri din terenul de fundare
I
n
f
l
u
e
n
t
a
c
o
n
s
t
r
u
c
t
i
i
l
o
r
i
n
v
e
c
i
n
a
t
e
I
n
f
l
u
e
n
t
a
c
o
m
p
o
r
t
a
r
i
i
P
U
C
M
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
40
2. Legi constitutive Legea constitutiva descrie relaia dintre orice tip de solicitare si deformaia sau/ si deplasarea corespunzatoare.
Legea constitutiva de material (LCM) descrie relaia efort deformaie la
nivelul unui volum elementar de pmnt.
Legea constitutiva de sistem (LCS) descrie relaia ncrcare deplasare/ deformaie la nivelul sistemului
structural teren de fundare
LCS depinde de LCM
q
LCM
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
41
Legile constitutive sunt:
Empirice (experimentale)
Semi-empirice
Teoretice:
TE material ideal elastic (Boussinesq - Flamant) TP - material ideal plastic (Sokolovski) TR material ideal reologic
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
42
Legi empirice bazate pe modele mecanice
Material ideal elastic Material ideal plastic
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
43
Material elasto-plastic fara cedare Material elasto plastic cu cedare
k1
P
N
N
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
44
Conditia de cedare
Starea limit de rezisten a unui material poate fi caracterizat RUPERE sau CURGERE.
Definirea CONDIIEI DE CEDARE se face pe baza unui CRITERIU de CEDARE care admite c atingerea strii limit de rezisten se datoreaz influenei unui singur factor definitoriu criteriului respectiv.
Criterii de cedare prin RUPERE Teoriile clasice de rezistenta
Criterii de cedare prin CURGERE Teoriile de plasticitate
I. II.
III. T. MOHR - pmnturi Tresca Nadai IV. U- energia potenial de
deformaie
V. UD -energia potenial specific de deviaie
Von Mises
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
45
Teoriile clasice de rezistenta
T. I () Teorie de smulgere
T. II ( ) Teorie de smulgere
T. IV (U) Teorie de smulgere
Teoriile de smulgere NU se pot aplica la pmnturi.
Pmnturile ajung la rupere prin ALUNECARE.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
46
T. III ( ) Teorie de alunecare
Un corp rezist ntr-un punct atta timp ct n acel punct max rmne inferior unei valori
caracteristice 2k
k
=, indiferent de tipul de solicitare.
Solicitare spaial,
321 ,,
Condiia de cedare: kmaxk
2ji
max
=
k13
k32
k21
Functia care defineste condiia de cedare reprezint 3 perechi de cte 2 plane paralele, orientate dup trisectoarea spaiului 321 ,,
OBS. Rezistena infinit prin intindere sferica (1=2=3) nu se confirma experimental.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
47
Teoria MOHR (din T. III )
Conditia de cedare: kmaxk
Valoarea caracteristica, k
depinde de tipul solicitrii (intindere sau compresiune):
( )kk f = ; )(k)(k + ; )(k)(k + > . La pmnturi efortul unitar normal de compresiune este POZITIV: (+)
Solicitare SPAIAL 321 ,, ( )321 >>
221
3
= ; 232
1
= ; max31
2 2=
=
kmax
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
48
Teoria MOHR-COULOMB
Criteriul de cedare este reprezentat de dreapta intrinseca: f = tg + c
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
49
Functia care defineste condiia de cedare (TM-C) reprezint un CON orientat dup trisectoarea spaiului 321 ,, .
OBS. Rezistena prin intindere sferica (1=2=3) este FINITA (limitata).
Rezistena prin compresiune sferica (1=2=3) este INFINITA (nelimitata).
2
1
3
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
50
Legi constitutive empirice la pmnturi
Determinarea experimentala prin incercari de compresiune triaxiala
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
51
Determinarea experimentala prin incercari de compresiune triaxiala se poate face prin diferite tipuri de Drumuri de efort
p efort sferic (hidrostatic) T(0) 003
3p ==
q efort deviatoric T() =q
T() = T(0) + T(max) tensorul de eforturi sub care se produce cedarea
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
52
Drum de efort A (compresiune - incarcare)
=
+
I. Faza hidrostatic:
Vp0
V VdV
==
II. Faza deviatoric:
r
r2aVq
+=
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
53
Definirea legii constitutive a = f(q) pe baza parametrilor geotehnici determinati experimental
E = f(E0, Ei); E[E0 IIII 0); E0 = Emax
raq = ; q& = q;
raq = &&& a& liniar E = Etg
( )ia,q && ii ,E ( )
( )( )
=
=
arr
raa
E
E
&&&
&&&
11
21
( )
=++
=+
rarr
ara
EE
&&&&
&&& 2
Se noteaza: Rezulta: ( )
( ) rraraarra
2raraE
2
2
+==
+=
&&&&&
&&&&
&&&&
=EE
=
,,E se calculeaz prin:
ar , && :eforturi impuse
a& 0hh
=, r&
0r
r=
:deformatii specifice calculate functie de h si r masurate
q&
a&
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
54
Influenta starii anterioare de eforturi asupra legilor constitutive MEMORIA pmnturilor (pmnturi normal sau supraconsolidate)
Determinarea presiunii de consolidare, pc, prin ncercarea de compresiune n edometru.
pc pg
- presiune de consolidare - presiune actual (geologica)
RSC (OCR) = pc / pg
RSC (OCR) = pc / pg = 1 PNC (NCS)
RSC (OCR) = pc / pg >>>> 1 PSC (OCS)
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
55
Simularea supraconsolidarii in laborator (prin compresiune triaxiala)
Consolidare izotrop sub efort sferic, p Cedare din efort deviatoric, q, prin diferite drumuri de efort
Proba B NORMAL CONSOLIDAT Proba A SUPRACONSOLIDAT
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
56
Domeniul comportrii liniare se mrete cu ct raportul de supraconsolidare este mai mare.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
57
Legi constitutive semi-empirice la pmnturi. Modelul hiperbolic
Relatia generala de tip hiperbolic:
= K0 ( / a+b)
unde: - reprezinta orice fel de efort unitar: , , q etc.
- reprezinta deformatia specifica corespunzatoare efortului: , , a etc.
K0 rigiditatea corespunzatoare tipului de efort: E, G, Etg etc.
a, b constante determinate experimental
Pentru un material ideal elastic, legea constitutiva pentru o solicitare monoaxiala este:
= E
unde: K0 = E a = 1; b = 0
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
58
Legea constitutiva a = f(q) de tip hiperbolic pentru pmnt
q = E0 a / A
unde: A = 1+ a / ref ;
ref = qu / E0 determinat experimental
E0 = f1 (pc) pc presiune de consolidare
qu = f2 (pc, ); - drum de efort
Pentru un pmnt dat, relatia q = E0 a / A reprezinta o familie de legi constitutive.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
59
3. Metode de modelare a terenului de fundare pentru studiul I.T.S.
Exist 3 categorii de metode de modelare:
1. Metode bazate pe model discret 2. Metode bazate pe model continuu 3. Metode bazate pe model hibrid
3.1. Metode bazate pe modelul discret modelul Winkler (CONDENSARE la contact)
Terenul de fundare de sub construcie, strict n gabaritul acesteia, se nlocuiete cu dispozitive de contact discrete (resoarte), caracterizate
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
60
Principii de baza: terenul devine un masiv rigid ki constant (i = 1...n)
k - lege liniar (modelul clasic Winkler) - lege neliniar
- lege neliniar cu cedare
Definirea caracteristicii de rigiditate
Coeficientul de pat Winkler, ks
ks = p / y [F / L3]
ks* = ks B [F / L2]
ks* reprezinta caracteristica de rigiditate a sistemului fundatie teren; analog E
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
61
Aplicabilitatea modelului Winkler
Fundatii directe
Ipotez: ks = constant
Teren omogen: ipoteza poate fi acceptata
Teren neomogen: ipoteza nu poate fi acceptata
ks
EI
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
62
Fundatie foarte rigida (EI ) pe un teren deformabil
q = const.
y = const.
Cazul a: ks = const p = const. Dar, experimental, presiunea reactiva NU este constanta.
Cazurile b sau c p = p(x)
p(x) = ks y
p(x) = ks(x) y
ks(x) const.
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
63
Fundatie foarte flexibila (EI 0) pe un teren deformabil
q = const.
p = const.
y = y(x)
p = ks y(x)
p = ks(x) y(x)
ks(x) const.
q
y(x)
x
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
64
Fundatie deformabila ( >> EI >> 0) pe un teren deformabil
q = const.
y = y(x)
p = p(x)
p(x) = ks y(x) ks = const
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
65
Fundatii indirecte (pe piloti) Solicitare transversala
y = y(z) p = p(z) ks = ks(z) (influenta g) p(z) = ks (z) y(z)
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
66
p pu(y,z) pu presiune ultima pu = p1 pt. z1 ........
pu = pn pt. zn
Lege constitutiva liniar-elasto- plastic (cu cedare)
p(y,z) = ks(y,z) y(z)
Lege constitutiva neliniara
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
67
Determinarea coeficientului de pat, ks
Pe teren, prin ncercarea cu PLACA
S - aria placii s tasarea placii Bp latura sau diametrul placii
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
68
Relatii empirice de obtinere a valorii ks = f(ks0) pentru fundatii directe
Terzaghi Ypmnturi necoezive: ( )
2
2p0ss
B4
BBkk
+=
Ypmnturi coezive: B
Bkk p0ss =
Relatii semi-empirice
Teoria Elasticitatii B1
Ek2
s
ss
=
=
BL
Vesi
Yfundatii continue: 2
s
s12 4ss
1
EEI
BE65,0Bk
=
Yradiere generale: 2s
s32
s
2s
s1
E
1E
1E91,0kh
=
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
69
Calcul invers (prin tasri msurate sau calculate)
ks = q/s
iss =
LBsQks
=
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
70
3.2 Metode bazate pe model continuu (ANALOGIE cu semispaiul)
Modelul BOUSSINESQ
Terenul de fundare este un mediu continuu, elastic, omogen si izotrop.
Se consider comportarea global fundaie teren pe ntreaga zon de influenta afundatiei.
Es, s
Se utilizeaza Relaiile din Teoria Elasticitii
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
71
( )s
2s
E1
r
Qrs
pi=
r = 0 s0 dydx
Qq = ; ( )
=
dxdy
E1dxq
ss
2s
0 ; s
2s
r E1
r
dydxqs
pi
=
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
72
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
73
( ) ( )
+
pi
=
x
x
y
y 22s
2s dd,q
E1y,xs
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
74
Fundatie foarte rigida (EI ) pe un teren deformabil
fAQq =
fmed A
Qqp ==
( )2
med
Rr1
p5,0y,xp
=
pmed
r
Q
s0 s s0=s(x,y)
R
p(x,y)
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
75
3.3 Metode bazate pe model hibrid Se nlocuiete semispaiul cu resoarte definite de legi de constitutive care modeleaza comportarea semispaiului.
Conditia de compatibilitate intre modelul discret si modelul mediului continuu se exprima prin egalitatea dintre tasari.
( ) ( )
+
=
x
x
y
ys
s ddpE
yxs22
2,1
,
pi
s(x,y) = p(x,y) / ks (x,y)
ks (x,y)
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
76
Grinda continu (L B) incrcat simetric - Rezolvare numeric
( ) ( ) Bxqxf =
[F/L]
(x) = ?
[L]
( ) ( ) ?Bxpxp r ==
[F/L]
ks(x)=ksi = pr(xi) /(xi)
[F/L3]
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
77
( ) lxfF ii =
[F]
( ) ?klxpP isiii ===
[F]
sisi kBlk =
[F/L]
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
78
Determinarea eforturilor sectionale, Mi si Ti
Calculul momentului incovoietor, Mi M=EI/; (raza de curbur) = f(r)
1i1ir + = (rotirea relativ)
l1ii
1i
= ; l
i1i1i
= ++
l2 1ii1i
r +
= +
rl l1 r
=
1RM ii ; ( )ii EIR =
21ii1i
iil
2RM
+=
+
i-1
i
ii-1
i ll
r
i+1i-1
r
l
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
79
Prin permutari, rezulta :
Nodul i-1
Nodul i
Nodul i+1
2i1i2i
1i1il2
RM
+=
2
1ii1iii
l2
RM
+=
+ 2
2i1ii1i1i
l2RM
+
=++
++
Calculul fortei taietoare, Ti
Ecuaia de moment n nodul i:
i1ii MMlT = + lMMT i1ii
=+
Analog, n nodul i-1:
lMMT 1ii1i
=
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
80
Conditia de echilibru n nodul i:
iiii FPTT =+1 (1)
Relatia (1): f(i-1, i+1, i, i+2, i+2)
Pentru n noduri necuatii cu n+2 necunoscute (0 si -1) care se determin din condiiile de capt (nodul 1), unde M0 i T0 se cunosc.
Nodul 1
1110 FPTT =+
lMM
T 010
= l
MMT 121
=
( )0MRl
2M c12
2101 ==
+
= 0
02101
0 Rl2
M
+=
( )0TlMM
TT c01
01 ==
==
-1
Ciclul II MASTER INTERACIUNEA TEREN-STRUCTUR (ITS)
81
Relaia (1) se scrie n form general: iiiiiiiiiii tedcba =++++ ++ 2112
n care:
i >>>> 1
i = 1
1ii Ra += 0ba 11 == ( )i1ii RRb +=
4si1ii1ii lkRR4Rc +++= +
41s21 lkRc +=
( )1iii RRd ++= 21 Rd = 1ii Re ++= 21 Re = 3
ii lFt = ( ) 2c31c1 lMlFTt +=