CURSUL 3CURSUL 3
SISTEME DE FORTE OARECARESISTEME DE FORTE OARECARE
UAUIM
ELEMENTE DE MECANICA STRUCTURILOR
SISTEME DE FORTE OARECARESISTEME DE FORTE OARECARE
Conf. dr. ing. Mihaela Georgescu
MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(1)
O for aplicat unui corp, care prin natura
legturilor sale are un punct fixat n spaiu,
imprim corpului o micare de rotaie n jurul
unei axe perpendiculare pe planul definit deunei axe perpendiculare pe planul definit de
punct i for.
Intensitatea efectului este proporional cu
intensitatea forei i cu distana - numit bra
de prghie - de la punct la suportul forei.
MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(2)
MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(3)
Celor trei elemente care caracterizeaz efectul de rotaie
(axa, sensul i intensitatea) li se asociaz o mrime
vectorial, denumit momentul forei fa de punct.
Momentul forei fa de punctul 0 aflat la distana d de
for, este vectorul o ( ) aplicat n 0, cu intensitatea:
M ( ) = F.d,FM
FF
Mo ( ) = F.d,
orientat de-a lungul axei de rotaie ntr-un sens care - prin
convenie - stabilete corespondena cu sensul de rotaie al
corpului (de regul sensul de naintare al burghiului).
Momentul se msoar n uniti de for nmulite cu uniti
de lungime (daNm, kgfm, tfm etc).
Efectul de rotaie, deci momentul unei fore, este nul cnd
punctul se afl pe suportul forei.
F
MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(4)
Momentul unei fore n raport cu un punct 0 poate fi
definit ca produs vectorial dintre vectorul de poziie
al unui punct oarecare, A, de pe suportul forei i
for.
r
for.
( ) = .ooooM F rF
Vectorii-moment ai forelor unui sistem plan
n raport cu un punct din planul forelor sunt
coliniari; ei se deosebesc doar prin mrime i
sens.
MOMENTUL UNEI FORTE FATA DE UN PUNCT(5)
sens.
Asociind mrimii un numr i sensului un
semn, definirea lor poate fi fcut scalar.
APLICATIE
Sa se determine mrimile momentelor forelor
MIo = 3 x 2 = + 6
MIIo = 2 x 1 = + 2
MIIIo = -4 x 3 = - 12
MIVo = - = - 1
MVo = 0
Teorema lui Varignon
Fie n A un sistem de fore concurente care
admit o rezultanta :
Suma momentelor forelor fa de punctul 0,
o = ( 1 + 2 + . n ) = .
Relaia constituie justificarea teoremei lui Varignon:
fa de un punct oarecare, suma momentelor forelor
este egal cu momentul rezultantei.
M r FF F Rr
Demonstrat aici pentru cazul particular al unui sistem
de fore concurente, teorema este valabil pentru
orice sistem de fore care admite o rezultant unic;
ea este aplicat, n mod particular, n cazul sistemelor
de fore paralele.
MOMENTUL UNEI FORTE IN RAPORT CU O AXA
Momentul unei fore n raport cu o ax msoar
tendina de rotaie n jurul axei.
Momentul unei fore n raport cu o ax este mrimea (intensitatea)
momentului proieciei forei pe un plan perpendicular pe ax, n raport cu
punctul de intersecie al axei cu planul.
Pentru a exprima sensul tendinei de rotaie, mrimii momentului i se
asociaz un semn; prin convenie, se consider pozitive momentele
corespunztoare unor tendine de rotire antiorar.
CUPLURI DE FORTE
Cuplul este un sistem de dou fore paralele, cu
intensitile egale i sensuri contrare. Distana d
dintre fore (mrimea perpendicularei comune) se
numete brat de prghie al cuplului.numete brat de prghie al cuplului.
Tendinele de translaie imprimate corpului de cele dou fore
ce alctuiesc un cuplu se anuleaz reciproc, deoarece suma
proieciilor forelor pe orice ax e nul. In aceste condiii, cuplul
are numai un efect de rotaie, msurat de suma momentelor
celor dou fore (momentul cuplului).
Cuplurile cu acelai moment sunt echivalente.
Efectul reunit al unui sistem de cupluri este msurat de suma
vectorial a momentelor lor. Cnd suma momentelor cuplurilor
este nul, sistemul de cupluri se afl n echilibru.este nul, sistemul de cupluri se afl n echilibru.
Toate cuplurile coplanare au aceeai direcie (normal la planul
de aciune al cuplului); efectele lor, deosebite doar prin
intensitatea i sensul efectului de rotaie, pot fi msurate scalar
prin mrimi algebrice.
Pentru reprezentarea convenional a cuplurilor coplanare, se
folosesc urmtoarele simboluri: (cuplu orar), (cuplu
antiorar).
APLICATIE (1)
In figura sunt reprezentate trei cupluri
coplanare echivalente:
2 = 1 x 2 = 2 x 1
APLICATIE (2)
S se nsumeze cele trei cupluri coplanare din figura.
Rezolvare: 3 x 1 + - 4 x 2 = - 322
Efectul reunit al celor trei cupluri este echivalent cu
efectul unui singur cuplu orar cu momentul egal cu 3.
APLICATIE (3)
S se nsumeze cele trei cupluri din figura.
Rezolvare
2 x 3 + 1 x 2 2 x 2 = 0
Efectul reunit al celor trei cupluri este nul; sistemul de cupluri se
afl n echilibru.
22
REDUCEREA SISTEMELOR DE FORTE INTR-UN
PUNCT
Operaia de nlocuire a unei fore dintr-un punct cu
sistemul echivalent , din alt punct se numete
reducere.
FF M
Un sistem de fore oarecare i se poate reduce for
cu for.
Drept urmare, n punctul de reducere se
concentreaz un sistem de fore concurente cu
rezultanta ( = i) i un sistem de cupluri cu suma( = i).
F
R
M M M
R F
Sistemul de fore oarecare s-a redus deci la o for
rezultant ( ) i un cuplu rezultant ( ).
Perechea , , numit torsor de reducere, msoar
- n punctul de reducere - efectul sistemului iniial de
fore.
R
R
M
M
ECHILIBRUL UNUI SISTEM DE FORTE OARECARE
Echilibrul unui sistem de fore oarecare este condiionat de relaiile vectoriale:
= 0 = 0
Exprimarea analitic a condiiilor de echilibru
Celor dou condiii vectoriale le corespund ase relaii scalare ce condiioneaz
anularea componentelor pe trei direcii ale rezultantei i ale vectorului-
moment al cuplului rezultant.
R M
moment al cuplului rezultant.
Cnd direciile sunt axele x, y, z ale unui sistem ortogonal de referin, ele se
exprim sub forma:
X = Xi = 0 Y = Yi = 0 Z = Zi = 0Mx = Mix = 0 My = Miy = 0 Mz = Miz = 0unde Xi, Yi, Zi i Mix, Miy, Miz sunt proieciile pe axe i momentele n raport cu
axele ale fiecrei fore Fi.
Dac sistemul de fore este plan sunt suficiente doar trei din cele ase condiii
X = Xi = 0, Y = Yi = 0 M = Mi = 0,cci celelalte trei sunt satisfcute prin ipotez (Zi = 0, Mix = 0, Miy = 0).
Cele trei condiii pot fi exprimate i sub alte dou forme:
a - dou relaii de momente n raport cu dou puncte din plan i
o ecuaie de proiecie pe o direcie diferit de perpendicular
pe dreapta definit de cele dou puncte;
b - trei ecuaii de momente n raport cu trei puncte necoliniare
din plan:
MA = 0; MB = 0; X = 0;
MA = 0; MB = 0; MC = 0
Cnd o parte din parametrii care definesc un sistem echilibrat
sunt necunoscui, condiiile devin ecuaii.
APLICATIE
Recommended