Curs Mecanica

Editat: Petroianu M. Sorin Cursuri Mecanic 2010

1

Capitolul 2. Geometria Maselor

Masa este o mrime fundamental caracteristic unui sistem material care msoar

cantitatea de material coninut de aceasta i se manifest n fenomenele de micare cele

mai importante fiind ineria i atracia gravitaional.

Vom considera numai acele sisteme materiale pentru care masa este constant,

pentru simplificare, diferitele sisteme materiale au fost clasificate sub forma unor varietii

ideale.

Punctul material este un punct geometric cruia i se asociaz o mas.

Sistem discret de puncte materiale: S = Mm|i = 1, n Curba material este o curb geometric ce se noteaz cu , creia i se asociaz o

mas distribuit n toate puncte tale.

Suprafa material , este o suprafa geometric, creia i se asociaz o mas

distribuit n toate punctele sale.

Rigidul tridimensional este un volum V, cruia i se asociaz o mas distribuit n toate

punctele sale.

Se numete mas specific sau densitate funcia x, y, z. Fie domeniul D: d = x, y, z d

d = d arculelementelord$ ariaelementard& volumulelemetar Masa total a domeniului D este dat de:

m( = ) x, y, z d( In funcie de tipul domeniului D, integrala poate fi simpla, dubla sau tripl.

Considernd o ntindere relativ mic att pe orizontal

ct i pe vertical, greutile corespunztoare punctelor

domeniului, sunt vectori paraleli i acceleraia este constant n

toate punctele domeniului. n aceast situaie centrul de mas

coincide cu centrul de greutate i reprezint centrul sistemului

de vectori paraleli, poziia lui fiind dat de formula:

r*+ = OC.....* = / r*dm(m( Coordonatele lui C se obin aplicnd formula de mai sus pe axa

reperului:

O

C

X

Y

Z


2

Solidrigid1223224X+ = / xdm(m(Y+ = / ydm(m(Z+ = / zdm(m(

sausistemdiscret1223224X+ =

9 xm:;


3

Dac domeniul material este omogen avem:

KD = ) dEd( = I( De unde deducem momentul de inerie geometric:

) dEd( = I( Obs: n funcie de tipul, formei, sistemului, integralele pot fi simple, duble sau triple.

Cum de altfel n aplicaiile tehnice ne raportm la sisteme de referin

tridimensionale, se vor defini mai departe urmtoarele momente ineriale:

1) Momente de inerie planare

KOPQ = ) zEdm( KOPR = ) yEdm( KQPR = ) xEdm( 2) Momente de inerie axiale

KOO = ) yE + zEdm( KQQ = ) xE + zEdm( KRR = ) xE + yEdm( 3) Momentul de inerie polar

KP = ) xE + yE + zEdm( 4) Momente de inerie centrifugale

KOQ = ) xydm( KOR = ) xzdm( KQR = ) yzdm( 5) Relaii ntre momentele de inerie KP = KOPQ + KOPR + KQPR KP = 12 KOO + KQQ + KRR 6) Variaia momentelor de inerie la translaia axelor (Relaiile Steiner-Huygens)

Fie domeniul D, o ax paralel cu c dreapt ce trece prin centrul de mas al

domeniului.


4

K = KU +mdE unde d este distana dintre cele dou axe paralele

7) Tensorul simetric:

K*V = W KOO KOQ KORKOQ KQQ KQRKOR KQR KRR W n aplicaiile tehnice ne intereseaz valorile extreme ale lui I, denumite valori principale ineriale, i direciile dup care se dezvolt, denumite direcii principale de inerie,

ele fiind de asemenea ortogonale. n raport cu axele principale de inerie momentele

centrifugale sunt egale cu O. Dac D admite o ax de simetrie atunci aceea ax este ax

principal de inerie i momentele centrifugale care au la indice aceea ax sunt 0. Dac D

admite un plan de simetrie atunci o ax perpendicular pe acest plan ax P este punct de

inerie n raport cu punctul n care le neap planul.

8) Momentul de inerie al suprafeelor omogene de rotaie n raport cu o ax de rotaie OY.

KQQ = 2) fXQYQZ ydy 9) Momentul de inerie a unui volum omogen de rotaie

KQQ = 2 ) f[QYQZ ydy


5

Capitolul 3. Cinematica

Cinematica studiaz micarea diferitelor sisteme materiale fr a lua n calcul masele

i forele care acioneaz asupra lor.

3.1. Cinematica punctului material

3.1.1. Traiectoria este locul geometric al poziiilor succesive ocupate de un punct material

n timp, mobil n spaiu. Ea este definit pentru orice t ]tV, t


6

Axele triedrului Frenet sunt reprezentate de tangenta n M la traiectorie de versor .* cu sensul n sensul de micare a punctului material, normala n M la traiectorie de versor .* ndreptat ctre centrul de curbur, binormala de versor .* fiind perpendicular pe planul format de ceilali doi vectori.

n coordonate naturale legea de micare este dat de ecuaia orar: v.* = dr*dt = dsdt dr*ds = sb.* hv.*h = sb a.* = dv.*dt = sc.* + sb d.*ds dsdt = sc.* + sbE d.*ds = sc.* + sbE .*R ha.*h = nvb E + ovRp[ d.*ds = .*R i dsdt = sb = vi dr*ds = .*

3.1.6. Coordonate cilindrice

Coordonatele cilindrice ale lui M mobil pe curba : razapolar = t = OM


7

R = xb E + yb E + zb EX E~* * k.*xb yb zbxc yc zc

3.1.8. Cinematica micrii relative a punctului material

n tehnic ne confruntm frecvent cu situaii n care micarea mobilului este

raportat la un sistem de referin la rndul su mobil n spaiu. Se pune problema studieri

micrii fa de un sistem de referin presupus fix.

Micarea absolut a punctului M este micarea fa de reperul fix. Micarea de

transport este micarea reperului mobil fa de cel fix. Micarea relativ este micarea

punctului material fa de reperul mobil.

Se pune problema determinrii parametrilor cinematici ai micrii absolute

(deplasare, vitez i acceleraie) atunci cnd se cunosc parametrii cinematici ai micrii de

transport i relativi. r< reperulmicriiabsoluterP reperulmicriidetransportr reperulmicriirelative Deoarece reperul r este variabil n spaiu se definete variabila total sau absolut: r*bt = dr*dt = xb * + yb *+ zbk.* + x*b + y*b + zk.*b i derivata relativ sau local r*t = xb * + yb * + zbk.* ** = ** = k.*k.* = 1** = *k.* = *k.* = 0 Formulele lui POISSON: *b = ..* **b = ..* *k.*b = ..* k.* *b* = *b*= k.*b k.* = 0 = *bk.* = k.*b * = k.*b * = *bk.* = *b* = *b* Astfel definim viteza unghiular ca fiind: ..* = * + * + k.* Revenind la formulele lui POISSON aflm c: *b = ..* * = * k.* *b = ..* * = * + k.* k.*b = ..* k.* = * * Cu formulele de mai sus construim relaia ntre derivata total i cea parial: r*bt = dr*dt = r*t + ..* r*


8

Viteza absolut a punctului material se poate obine prin derivarea vectorului de poziie: r*b< = r*b + r*b = r*b + r*t + ..* r* Facem urmtoarele notaii: r*b = v.*vitezareperuluimobilir*b< = v.*vitezaabsolut v.* = v.* + r*t + ..* r* Sau v.*` = v.* + ..* r*vitezadetransport v.* = r*t vitezarelativ v.* = v.*` + v.* Acceleraia absolut a punctului material se obine prin derivarea n raport cu timpul viteza

absolut:

v.*b = v.*b + ddt |dr*dt} + v..*b r*w + v..* r*bw tim c: a.* = v.*b acceleraiaabsolut a.* = v.*bacceleraiareperuluimobil r*bt = r*t + ..* r* ddt |dr*dt} = Er*tE + ..* r* ..*b = *

a.* = a.* + Er*tE +..* r*t + * r* + ..* r*t + ..* r* a.* = a.* + * r* + ..* ..* r* + Er*tE + 2..* r*t

Dac punem acceleraia pe componente: a.*` = a.* + * r* + ..* ..* r*acceleraiadetransport a.* = Er*tE acceleraiarelativ a.*U = 2..* r*t acceleraiaCoriolis a.* = a.*` + a.* + a.*U

3.2. Cinematica solidului rigid i a sistemelor solidului rigid

3.2.1. Gradele de libertate ale solidului rigid reprezint numrul minim de parametri scalari

independeni care determin n mod univoc poziia solidului rigid n spaiu.


9

Definind dou sisteme de referin unu considerat fix R(OXYZ) i altul considerat

mobil R1(oxyz) unde O=o centrele lor de referin

coincid pentru simplitatea calculelor.

Se numete axa nodurilor (ON), dreapta care

reprezint intersecia dintre planul XOY i planul mobil

xOy.

Cu ajutorul figurii alturate putem aprecia

unghiurile lui Euler:

- unghiul de precesie = XO - unghiul de rotaie proprie = Ox - unghiul de nutaie = ZOz n concluzie un solid rigid cu micare general n

spaiu are 6 grade de libertate i anume:

- 3 grade care msoar translaia:xVt, yVt, zVt - 3 grade care msoar rotaia: t, t, t A cunoate micarea unui solid rigid nseamn a cunoate poziia, viteza i acceleraia

unui punct ales arbitrat pe solid. Cele trei unghiuri ale lui Euler determin univoc poziia

reperului propriu fa de cele are reperului intermediar cu axele paralele cu cele ale

reperului fix. Aceast afirmaie este justificat i de relaia de schimbare de baz:

**k.* = M


10

* = ..*b = * + * + k.* * = ..*b =


11

3.2.5. Micri particulare ale solidului rigid

Clasificarea micrilor particulare ale solidului rigid se face n funcie de torsorul

cinematic.

Micrile particulare provin ca urmare a faptului c diferitelor solide rigide li se impun

anumite restricii de micare datorate legrii lor cu alte solide rigide.

3.2.5.a) Micarea de translaie a solidului rigid

Fie dat un solid rigid ce execut o micare de translaie, dac n orice moment o

dreapt oarecare rmne paralel cu ea nsi

Grade de libertate: 3 (xVt, yVt, zVt) Viteza unghiular: ..* = 0.* Acceleraia unghiular: * = 0.* Cmpul vitezelor liniare: v.* = v.*P Cmpul acceleraiilor liniare: a.* = a.*P Observaie: se poate constata uor c micarea de translaie este singurul caz de particular

de micare a unui solid rigid n care toate punctele rigidului au aceeai vitez i acceleraie

3.2.5.b) Micarea de rotaie n raport cu o ax fix

Un solid rigid execut o micare de rotaie n raport cu o ax fix dac, n orice

moment, dou puncte aparinnd rigidului i pstreaz poziia fix n spaiu. Cele dou

puncte determin o dreapt numit axa micrii de rotaie

Grade de libertate: 1 (t) Viteza unghiular: ..* = k.* = b k.* Acceleraia unghiular: * = k.* = c k.* Cmpul vitezelor liniare: v.* = ..* r* Cmpul acceleraiilor liniare: a.* = * r* + ..* ..* r* Observaie: toate punctele situate pe o dreapt paralel cu dreapta delta au aceeai

vitez liniar.

3.2.5.c) Micarea plan-paralel

Un solid rigid execut o micare plan paralel n orice moment trei puncte necoliniare

aparinnd circuitului rmn coninute ntr-un plan fix.

Grade de libertate: 3 (t, xVt, yVt) Viteza unghiular: ..* = k.* = b k.* Acceleraia unghiular: * = k.* = c k.* Cmpul vitezelor liniare: v.* = v.*P + ..* r* Cmpul acceleraiilor liniare: a.* = a.*P + * r* + ..* ..* r*


12

Pentru micarea plan-paralel AEI este o dreapt perpendicular pe planul fix al

micrii. Intersecia AEI cu planul fix este un punct numit centru instantaneu de rotaie

(CIR). Toate punctele de pe AEI au viteza 0.

La micarea plan paralel axoidele micrii (fix i mobil) sunt suprafee cilindrice.

Intersecia loc cu planul fix al micrii determin centroidele micrii.

Locul geometric descris de CIR n timpul micrii plan paralele n raport cu triedrul

mobil este o curb de numit centroid fix sau baz (C). Locul geometric descris de CIR n timpul micrii plan paralele n raport cu triedrul fix

este o curb de numit centroid mobil, rulant sau rostogolitoare (C). Teorema Poncelet: n micarea plan paralel a unui solid rigid centroida mobil se

rostogolete peste centroida fix fr frecare, cele dou rmn tangente n CIR n

permanen.

3.2.5.d) Micarea elicoidal

Un solid rigid execut micare elicoidal dac n orice moment i pstreaz fix o

dreapt ce trece prin el.

Grade de libertate: 2 t, zVt Viteza unghiular: ..* = k.* = b k.* Acceleraia unghiular: * = k.* = c k.* Cmpul vitezelor liniare: v.* = v.*P + ..* r* Cmpul acceleraiilor liniare: a.* = a.*P + * r* + ..* ..* r* Traiectoria descris este o elice cilindric, exist evident cazul particular.

Micarea de urub zP = c, c = p2 , unde p este pasul urubului.

3.2.5.e) Micarea de rotaie n raport cu un punct fix

Un solid rigid execut micare de rotaie n raport cu un punct fix dac n orice

moment un punct ce aparine solidului i pstreaz poziia fix n spaiu

Grade de libertate: 3 (t, t, t) Viteza unghiular: ..* = * + * + k.* Acceleraia unghiular: * = * + * + k.* Cmpul vitezelor liniare: v.* = ..* r* Cmpul acceleraiilor liniare: a.* = * r* + ..* ..* r* Toi vectori de poziie coliniari cu viteza unghiular au viteza egal cu zero.

Locul geometric al punctelor aparinnd solidului care au instantaneu viteza egal cu

zero este o dreapt numit ax instantanee de rotaie (AIR).

AIR pentru reperul mobil x = y = z


13

AIR pentru reperul fix

XO = YQ = ZR Locul geometric descris de AIR n timpul micrii fa de reperul fix este o suprafa

conic numit con herpolodic.

Locul geometric descris de AIR n timpul micrii fa de reperul mobil este o

suprafa conic numit con polodic (conul lui Poinsot).

n timpul micrii de rotaie fa de un punct fix conul polodic se restogolete fr

alunecare peste conul herpolodic fiind tangente in AIR.

3.2.6. Micarea relativ a unui solid rigid

Fie un rigid S n micare, un sistem de referin fix TV, reperul solidar cu corpul T: i n-1 triedre intermediare.

Dac se cunosc micrile triedrelor intermediare fa de cele precedente se pune

problema determinrii micrii absolute a solidului rigid n raport cu sistemul de referin fix.

Astfel totul se rezum doar la studiul micrii lui T: fa de cel fix TV. Fie un punct atunci viteza sa absolut este dat de: v.*,< = v.* v.*<

v.* =vv.*,< + ..*,< r*w:;< Acceleraia absolut a punctului M este dat de:

a.* =a.*,< + *,< r* + ..*,< v..*,< r*w:;

Documents

Curs Mecanica