MATEMรTICAS 2ยบ BACH CIENCIAS
รLGEBRA: Ejercicios de Exรกmenes
Profesor: Fernando Ureรฑa Portero I.E.S. โMCAMโ
CURSO 15-16
1.-Dada la matriz ๐จ = (๐ + ๐ ๐ ๐
โ๐ ๐ + ๐ ๐๐ ๐ ๐ โ ๐
) . ๐๐ ๐๐๐๐:
a) (3p) Estudiar el rango de A en funciรณn del parรกmetro m.
b) (3p) Calcular m para que A10 tenga inversa.
c) (4p) Para m=0 calcular A-1.
2.-Dado el sistema de ecuaciones: {
๐๐ + ๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ + ๐ = โ๐
๐ + ๐๐ = ๐. Se pide:
a) (7p) Analizar la existencia de soluciones en funciรณn del parรกmetro t. b) (3p) Resolver para t=2.
3.-Dadas las matrices ๐จ = (๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
) ๐ฆ ๐ฉ = (๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
). Se pide:
a) (3p) Calcular A15 y A20.
b) (2p) |A-9ยทBtยทB4| c) (5p) Resolver la ecuaciรณn matricial 6X=B-3AX, donde X es una matriz cuadrada de orden 3.
4.-Sea el sistema de ecuaciones: {
(1โโ)๐ฅ + (2 โ +1)๐ฆ + (2 โ +2)๐ง =โโ ๐ฅ+โ ๐ฆ = 2 โ +2
2๐ฅ + (โ +1)๐ฆ + (โ โ1)๐ง =โ2โ 2 โ +9
. Se pide:
a) (3p) Todas las soluciones cuando =1.
b) (3p) Justificaciรณn razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando =2. c) (4p) Los valores del parรกmetro para los que el sistema es compatible determinado.
5. Se pide:
a) (5p) Dada la matriz ๐ด = (๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐
), encontrar una matriz B tal que se cumpla que: AยทBยทA=A.
b) (5p) Dadas las matrices: ๐จ = (โ๐ ๐๐ ๐
) y ๐ฉ = (๐ ๐ ๐
โ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
). Calcular m para que
Ran(A)=Ran(B).
6. Sea el sistema de ecuaciones {
๐๐ โ ๐ = ๐
โ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ = โ๐๐
โ๐๐ + (๐๐ โ ๐)๐ + (๐ + ๐)๐ = โ๐ โ ๐
. Se pide:
a) (6p) Estudiar el sistema anterior en funciรณn del parรกmetro a.
b) (4p) Resolverlo para a=0 y para a=1.
7. Se pide:
a) Sabiendo que |๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
| = ๐. Calcular, indicando las propiedades aplicadas:
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๐. 1)(๐๐ฉ) |3๐ฅ 3๐ฆ 3๐ง1 1 10 1 2
| ; ๐. 2)(๐๐ฉ) |
๐ฅ ๐ฆ ๐ง3๐ฅ 3๐ฆ + 2 3๐ง + 4
๐ฅ + 2 ๐ฆ + 2 ๐ง + 2|; a.3) (2p) |
5 02 20 โ๐ฅ
0 02 2
โ๐ฆ โ๐ง1 0 10 20
|
b) (3p) Dada la matriz ๐จ = (๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
) . Hallar los valores de x para los que el determinante de la
matriz A sea nulo, en funciรณn de a, b y c, si es posible.
8.-Sea el sistema de ecuaciones AยทX=B, donde ๐จ = (โ ๐ โ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ โ
) , ๐ฉ = (๐
โ โ๐๐
) ๐ ๐ฟ = (๐๐๐
). Se pide:
a) (3p) Determina, si existen, los valores de ฮฑ para los que el sistema tiene soluciรณn รบnica.
b) (4p) Determina, si existen, los valores de ฮฑ para los que el sistema no tiene soluciรณn.
c) (3p) Determina, si existen, los valores de ฮฑ para los que el sistema tiene al menos dos soluciones.
Halla todas las soluciones en dichos casos.
9.-Encontrar los valores de t, para los que el determinante |AยทB|=0, siendo
๐จ = (๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ + ๐ ๐
) ๐ฆ ๐ฉ = (๐ + ๐ โ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
)
10.-Sean las siguientes matrices: ๐ด = (1 โ1 10 1 10 0 1
) , ๐ต = (โ11
โ1) , ๐ถ = (โ1 1 3).
a) (3p) Obtener A-1
b) (3p) Hallar la matriz X que es soluciรณn de la ecuaciรณn matricial: AยทX=BยทC c) (4p) Sea M una matriz de orden 3 cuyo determinante vale ยฝ. Se pide hallar: |2M3| y |(4M2)-1|
11.-Dado el sistema de ecuaciones: {
โ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐(๐ โ ๐)๐ โ ๐๐ = ๐
โ๐ โ ๐ + (โ๐ โ ๐)๐ = ๐. Se pide:
a) (4p) Calcular el valor del parรกmetro a para que el sistema tenga mรกs de una soluciรณn.
b) (2p) Resolver para a=-3.
c) (4p) Dadas las matrices ๐จ = (๐ ๐๐ ๐
) ๐ฆ ๐ฉ = (๐ ๐๐ ๐
). Determinar la relaciรณn entre x e y para que
ambas commuten ( AยทB=BยทA).
12.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {๐ฅ + 2๐ฆ โ 3๐ง = 82๐ฅ + 3๐ฆ + ๐ง = 5
a) (6p) Cuรกl serรก el valor de a para que al aรฑadir la ecuaciรณn ax+y-7z=1 el sistema de ecuaciones
resultante tenga las mismas soluciones que el original.
b) (4p) Calcula las soluciones tales que la suma de los valores de las incรณgnitas sea 4.
13.-Dado el sistema de ecuaciones lineales {
๐ฅ + ๐ฆ โ ๐ง = 43๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ง = ๐ โ 1
2๐ฅ + ๐๐ฆ = โ2. Se pide:
a) (6p) Discutir las soluciones del sistema segรบn el valor del parรกmetro a.
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b) (4p) Resolver en el caso (los casos) de indeterminaciรณn. ยฟExiste algรบn valor de a para que el sistema no tenga soluciรณn?
14.-Sean las siguientes matrices: ๐ด = (1 โ1 10 1 10 0 1
) , ๐ต = (โ11
โ1) , ๐ถ = (โ1 1 3).
a) (3p) Obtener A-1
b) (3p) Hallar la matriz X que es soluciรณn de la ecuaciรณn matricial: AยทX=BยทC
c) (4p) Sea M una matriz de orden 3 cuyo determinante vale ยฝ. Se pide hallar: |2M3| y |(4M2)-1|
15. a) (5 p.) Discutir segรบn los valores del parรกmetro a el siguiente sistema de ecuaciones lineales
{
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ = ๐โ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐ = โ๐
๐๐ โ ๐ + ๐ = ๐
b) (5 p.) Dadas las matrices ๐จ = (โ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
โ๐ ๐ ๐) y ๐ฉ = (
โ๐ ๐ ๐โ๐ ๐ ๐๐ โ๐ โ๐
) . Hallar la matriz X que verifica
AX+B=2A.
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CURSO 14-15
1.-Se pide a) (1p) Enuncia brevemente: quรฉ es el rango de una matriz y cuรกndo una matriz es regular. b) (5p) Discutir segรบn los valores del parรกmetro m el rango de la matriz ๐ด =
(1 3 โ1
๐ + 1 3 ๐ โ 1๐ โ 1 ๐ + 3 โ1
)
c) (4p) ยฟPara quรฉ valores de m, la matriz A es regular? Para m=1, calcula A-1.
2.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
(1 โ ๐)๐ฅ + 2๐ฆ + ๐ง = 4๐ฅ + ๐ฆ โ 2๐ง = โ4
๐ฅ + 4๐ฆ โ (1 + ๐)๐ง = โ2๐. Se pide:
a) (6p)Discutir segรบn los valores del parรกmetro a. b) (2p)Resolver dicho sistema para a=2. c) (2p)Enuncia brevemente el Teorema de Rouchรฉ-Frรถbenius.
3.-Se sabe que |๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
| = 3. Hallar indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:
a) (3p)|2A3|; |(4A2)-1|; |A+At|; b)(3p)|๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
2๐ 2๐ 2๐
|; c)(3p)|๐ ๐ 4๐ โ ๐๐ ๐ 4๐ โ ๐๐ ๐ 4๐ โ ๐
|
d) (1p)ยฟCuรกndo una matriz es simรฉtrica? ยฟY cuรกndo es una matriz singular?
4.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {
(3๐ + 5)๐ฅ + 7๐ฆ + 12๐ง = 0(2๐ + 3)๐ฅ + 3๐ฆ + 6๐ง = 0(3๐ + 4)๐ฅ + 2๐ฆ + 6๐ง = 0
. Se pide:
a) (4p)ยฟCuรกl serรก el valor de a para que la รบnica soluciรณn sea la nula? b) (2p)Resolver para a=-1
c) (4p)Determinar una matriz simรฉtrica X de orden 2 sabiendo que ๐ ยท (11
) = (35
) y que el |3X|=-9.
5.-Sean las matrices: ๐ด = (1 + ๐ 1
1 1 โ ๐) , ๐ต = (
1 โ11 0
). Se pide:
a) (4p)ยฟPara quรฉ valores de m se verifica la siguiente ecuaciรณn matricial: A2=2ยทA+I? b) (6p)Para m=1, calcula A-1 y la matriz que satisfaga la ecuaciรณn matricial: AยทX-B=AยทB.
6.-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
๐ฅ + 3๐ฆ + 2๐ง = โ12๐ฅ + 4๐ฆ + 5๐ง = ๐ โ 2
๐ฅ + ๐2๐ฆ + 3๐ง = 2๐. Se pide:
a) (6p)Discutir segรบn los valores del parรกmetro k. b) (4p)Resolver dicho sistema para k=-1 y k=0.
7.-a) (4p) Determinar a y b para que la matriz ๐จ = (๐ + ๐ ๐๐
๐ ๐ + ๐) tenga inversa. Calcular A-1 para a=3 y
b=1.
b) (6p) Sean las matrices ๐จ = (๐ โ๐
โ๐ โ๐) , ๐ฉ = (
๐ ๐โ๐ ๐
) ๐ ๐ซ = (๐ ๐๐ โ๐
) Determinar las matrices
cuadradas de dimensiรณn 2, M y N para que cumplan que {๐จ ยท ๐ด + ๐ฉ ยท ๐ต = ๐ซ
๐จ ยท ๐ด = ๐ต.
8.-a) (7p) Discutir, segรบn los valores del parรกmetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
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{
(๐ โ 1)๐ฅ + (๐ + 2)๐ฆ = 5
(1 โ ๐)๐ฅ + (โ1 โ ๐)๐ฆ + 2๐ง = โ4
๐ฆ + (๐2 + ๐)๐ง = 2 โ ๐
.
b) (3p) Resolver cuando el sistema sea compatible.
9.-Sea el sistema de ecuaciones lineales: {
๐ + (๐ + ๐)๐ + ๐๐ = โ๐๐๐ + ๐ + ๐ = ๐
(๐ โ ๐)๐ + ๐๐ + ๐ = โ๐ โ ๐. Se pide:
a) (7p.) Discutir las soluciones del sistema segรบn el parรกmetro m. b) (3 p.) Resolver para m=2. Para dicho valor, calcular (si es posible) una soluciรณn en la que z=2.
10.-Dadas las matrices: ๐ด = (1 ๐ ๐1 ๐ 1
๐ โ 1 ๐ 2) , ๐ = (
๐ฅ๐ฆ๐ง
) , ๐ต = (000
). Se pide:
a) (3p.) Hallar a para que la matriz A tenga inversa. b) (4 p.) Para a=-2, calcular A-1. c) (3p.) Para a=1, calcula las soluciones del sistema de ecuaciones AยทX=B.
11.-a) Sean las matrices ๐ด = (1 0 00 โ2 10 โ5 3
) ๐ฆ ๐ต = (0 0 11 1 11 0 0
). Hallar la matriz X que verifique que A-
1ยทXยทA=B-A.
b) Sabiendo que|๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
| = ๐. Calcula: b.1) |3๐ฅ 3๐ฆ 3๐ง1 1 10 1 2
|; b.2) |
๐ฅ ๐ฆ ๐ง3๐ฅ 3๐ฆ + 2 3๐ง + 4
๐ฅ + 2 ๐ฆ + 2 ๐ง + 2|
12.-Sea la matriz ๐จ = (๐ + ๐ โ๐ ๐ + ๐
๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐
). Se pide:
a) (5 p.) ยฟPara quรฉ valores del parรกmetro ๐ existe la matriz inversa de A? b) (5 p.) Hallar A-1 para ๐ = โ๐ .
13.-a) Dado el sistema de ecuaciones lineales {
๐๐ฅ โ ๐๐ฆ + 3๐ง = ๐โ2๐ฅ + 3๐ฆ โ 2๐ง = โ1
2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง = ๐. Discutir segรบn los
valores del parรกmetro a. Resolver para a=1.
b) Calcular los valores de a, b y c para que la matriz ๐จ = (๐ ๐๐ ๐
) verifique que (A-2I)2=0. Donde I es la
matriz unidad de orden 2 y 0 es la matriz nula de orden 2.
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CURSO 13-14
1.-Dadas las matrices ๐จ = (๐
โ๐๐
) y ๐ฉ = (๐๐๐
), donde Bt es la matriz traspuesta de B e I la matriz unidad de
orden 3.
a) (6p.)Estudiar segรบn el parรกmetro el rango de AยทBt+I.
b) (4p.) Calcular la matriz X que verifica: AยทBtยทX-X=2B.
2.-Dadas las matrices ๐ด = (โ2 0 01 1 04 2 โ2
) ๐ฆ ๐ต = (2 1 20 โ1 50 0 2
), obtener razonadamente el valor de los
determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) (4p.) |A+B| y |ยท(A+B)-1|. b) (3p.) |(A+B)-1ยทA| y |A-1ยท(A+B)|. c) (3p.) |2ยทAยทBยทA-1| y |A3ยทB-1|.
3.-Dado el sistema de ecuaciones: {๐๐ + (๐๐ + ๐)๐ + (๐ โ ๐)๐ = ๐
๐๐๐ + ๐๐ = ๐๐๐ + ๐๐ + (๐ โ ๐)๐ = ๐
a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema segรบn los valores del parรกmetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o en los casos) en que sea compatible indeterminado.
4.-Sea la matriz ๐ด = (5 โ๐ 31 โ1 01 1 ๐
) .
a) (3p.) La matriz A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones homogรฉneo.
Discutir dicho sistema segรบn los valores del parรกmetro m.
b) (3p.) Resolver para m=-1 y m=2.
c) (4p.) Determinar A-1 para m=0.
5.- a) (5p.) Calcular la matriz X que cumpla la siguiente ecuaciรณn matricial: XยทA-B=2X, sabiendo que
๐ด = (3 0 02 3 01 2 3
) ๐ฆ ๐ต = (0 1 02 0 โ20 โ1 3
).
b) (5p.) Sea el determinante |๐ด| = |1 1 1๐ ๐ ๐
๐2 ๐2 ๐2| = 2. Se pide Calcular el valor de los siguientes
determinantes, explicitando las propiedades utilizadas.
๐. 1)(๐๐ฉ. ) |๐ โ 1 ๐ โ 1 ๐ โ 1
๐2 โ 1 ๐2 โ 1 ๐2 โ 15 5 5
| ; ๐. 2) (๐๐ฉ. ) |(๐ + 1)2 (๐ + 1)2 (๐ + 1)2
๐ ๐ ๐๐2 ๐2 ๐2
|
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6.-Dado el sistema de ecuaciones {(๐ + ๐)๐ + (๐๐ โ ๐)๐ = ๐
(๐ + ๐)๐ โ ๐๐ = ๐
๐๐ + (๐ โ ๐)๐ โ ๐๐ = ๐
a) (7p.) Discutir la compatibilidad del sistema segรบn los valores del parรกmetro a. b) (3p.) Resolver en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.
7.- a) (3p.) Sea M una matriz cuadrada donde |M|=-1 y |-2M|=8. Calcula el orden la matriz
cuadrada M.
b) (4p.) Sea la matriz ๐ด = (1 โ12 1
). Determinar la matriz B para que se cumpla: A+B=AยทB.
c) (3p.) Sean las matrices: ๐ด = (1 0 12 1 00 0 2
) ๐ฆ ๐ต = (โ1 1 11 โ1 10 0 โ1
). Se pide: B-1 y |AยทB2013ยทAt|
8.- Dado el sistema de ecuaciones: {
2๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐๐ง = 1 โ ๐
๐ฅ + ๐ฆ + (๐ โ 1)๐ง = โ2๐(๐ โ 1)๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = ๐ โ 1
. Se pide:
a) (6p.) Discutir la compatibilidad segรบn los valores de ๐.
b) (4p.) Resolver para ๐ = +1 ๐ฆ ๐ = โ1
9.-Se sabe que las matrices A y B cumplen las siguientes condiciones: ๐ด + ๐ต =
(2 1 02 0 0
โ1 0 2) ๐ฆ ๐๐ข๐ ๐ด2 โ ๐ด๐ต + ๐ต๐ด โ ๐ต2 = (
โ2 0 00 2 02 โ1 0
). Se pide calcular:
a) A-B b) A c) B.
10.-Sean las matrices ๐ด = (โ1 1 02 0 01 0 1
) , ๐ต = (0 2 11 2 0
) ๐ฆ ๐ถ = (1 2
โ1 6). Se pide:
a) (3p.) |A-1|; b) (5 p.) la matriz X, sabiendo que A ยท X = Bt ยท C; c) (2p.) |A2013 ยทBt B|
11.-Sean las matrices: ๐ด = (โ2 1 โ3โ1 ๐ ๐ โ 2๐ 0 2
) , ๐ต = (110
) ๐ฆ ๐ = (๐ฅ๐ฆ๐ง
). Se pide:
a) (5p.) Rango de la matriz A segรบn los valores de m. b) (3p.) Discutir el sistema formado por AยทX=B segรบn los valores de m. c) (2p.) Resolver la ecuaciรณn AยทX=B para m=1.
12.-Sean las matrices ๐ด = (1 ๐ 01 1 20 โ1 โ1
) ๐ฆ ๐ต = (0 1 11 0 โ12 1 0
) . Se pide:
a) (3p.) Calcular ฮป para que la ecuaciรณn XยทA=B tenga soluciรณn (รบnica). b) (3p.) Calcular la matriz X para ฮป=4. c) (4p.) Calcular |A2ยทB| en funciรณn de ฮป.
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CURSO 12-13
1.-a) Sea la matriz ๐ด = (๐ 0 ๐
๐ + 1 ๐ 00 ๐ + 1 ๐ + 1
), calcular el Rango de A segรบn los valores del parรกmetro a.
b) Para a=1, calcular |2AtยทA-1|.
c) Sean A y B matrices cuadradas de orden n2, tales que B=A-1. Se sabe que |A|=3, razona cuรกnto vale |B|. ยฟCuรกl es el rango de B?
2.- a) Calcula todas las matrices cuadradas de orden 2 de la forma ๐ด = (๐ 1๐ โ2 โ ๐
) que satisfagan la
ecuaciรณn matricial A2+2A+3I=0, expresando c en funciรณn de a. b) Demostrar que las matrices del apartado anterior (a) son invertibles y calcular su inversa. 3.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 y columnas C1 y C2 y determinante 5, y la matriz B cuadrada de orden 2 y determinante 2. Si D es la matriz cuadrada de orden 2 y columnas 4C2 y C1-C2. Calcular el determinante de la matriz BยทD-1.
b) Sea la matriz ๐ต = (โ1/2 ๐ฅ 0
๐ฆ 1/2 00 0 1
). Calcular x e y para que se cumpla B-1=Bt.
4.-Sean las matrices ๐ด = (๐ฅ ๐ฆ๐ฆ ๐ง) ; ๐ต = (
2 6โ1 โ3
) ๐ฆ ๐ถ = (โ4 โ121 3
). Se pide:
a) Determinar la matriz, sabiendo que se cumple: |A|=7 y AยทB=C. b) Sean las matrices anteriores y que verifican las condiciones del apartado anterior. Decide cuรกl de
las igualdades siguientes se cumple. Justifica la respuesta. b.1) A=CยทB-1; b.2) B=A-1ยทC; b.3) A-1=BยทC-1
5.-Dadas las matrices: A= (๐ ๐ ๐2
1 โ1 ๐2๐ โ2 2
) ; ๐ต = (1268
) ; ๐ถ = (433
) ; ๐ = (๐ฅ๐ฆ๐ง
). Se pide:
a) (5p) Hallar el rango de A en funciรณn del parรกmetro k. b) (2,5p) Para k=2, hallar si existe soluciรณn en el sistema AยทX=B. c) (2,5p) Para k=1, hallar si existe la soluciรณn del sistema AยทX=C.
6.-Dadas las matrices ๐ด = (1 โ11 1
) y B una matriz de orden 2 no nula y que verifica que B2=-7B+. Se pide:
a) (4p) Calcular los parรกmetros a y b para que se cumpla que A2=aยทA+bยท.
b) (3p) Calcular los parรกmetros p y q para que se cumpla que B-1=pยทB+qยท. Justificar que existe B-1.
c) (3p) Calcular los parรกmetros x e y que verifique que B3=xยทB+yยท.
7.-Sean las matrices: ๐ด = (1 ๐ 00 ๐ 00 0 ๐
) ; ๐ต = (0 4 โ14 โ2 00 2 0
) ; ๐ถ = (๐ฅ๐ฆ๐ง
) . Se pide:
a) (2p) Determinar para quรฉ valores de a y b, la matriz A es regular. b) (3p) Determinar para quรฉ valores de a y b se cumple que A=A-1. c) (5p) Para a=2 y b=2, determinar las matrices C que verifican AยทC=CยทA.
8.-Dado el sistema de ecuaciones: {
(๐ โ 1)๐ฅ + 2๐ฆ + (๐ โ 1)๐ง = ๐ + 1
(๐ + 1)๐ฆ โ (๐ + 1)๐ง = 2๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = ๐
}. Se pide:
a) (7p) Estudiar la compatibilidad del sistema en funciรณn del parรกmetro a. b) (3p) Resolver para a=0
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9.-Sea el sistema de ecuaciones: {
๐ฅ + ๐๐ฆ + 2๐ง = ๐ + 1๐ฅ + 2๐ฆ + ๐๐ง = 3
(๐ + 1)๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = ๐ + 2}. Se pide:
a) (5p) Calcular el valor de k para que tenga mรกs de una soluciรณn. b) (2p) Calcular el valor de k para no tenga soluciรณn. c) (3p) Resolver para k=0.
10.-Sean las matrices ๐ด = (0 0 10 1 01 0 0
) y B=3ยท3 (donde 3 es la matriz identidad o unidad de orden 3).
Calcular:
a) (3p) An, cuando n es par. b) (7p) Resolver la ecuaciรณn matricial: 6ยทA20ยทX=B-3ยทAยทX. (tener en cuenta A20 en funciรณn de lo calculado
anteriormente)
11.-Sabiendo que |
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ โ ๐
| = 5. Calcular, indicando las propiedades utilizadas, el valor de:
a) (5p) |
๐ ๐ + ๐ 2๐๐ ๐ + ๐ 2๐โ โ + ๐ 2๐
|; b) (5p) |
๐ + ๐ + ๐ ๐ + ๐ + โ ๐ + ๐ + ๐๐ + ๐ ๐ + โ ๐ + ๐
๐ โ ๐|
12.-Dado el sistema de ecuaciones: {๐ฅ โ 2๐ฆ + 3๐ง = 5
๐ฅ โ 3๐ฆ + 2๐ง = โ4} . Se pide:
a) (4p) ยฟCuรกnto ha de valer el parรกmetro a para que al aรฑadirle la ecuaciรณn ax+y+z=9 sea un sistema de ecuaciones compatible y determinado? b) (3p) Resolver para a=0. c) (3p) ยฟCuรกnto ha de valer el parรกmetro a para que el sistema de 3 ecuaciones anterior no tenga soluciรณn?
13.-Dada la matriz ๐ด = (3 โ25 1
) y sea B la matriz que verifica que ๐ด ยท ๐ต = (โ2 17 3
).
a) (4p) Demostrar que A y B tiene inversas. b) (6p) Resolver la ecuaciรณn matricial A-1ยทX-B=BยทA.
14.-Sean las matrices: ๐ด = (๐ ๐๐ ๐
) ๐ ๐ฉ = (๐ โ๐๐ โ๐
).
a) Hallar una matriz X tal que AยทXยทA-1=B. b) Calcular A10. c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A+M)ยท(A-M)=A2-M2.
15.-Dado el sistema de ecuaciones: {
๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐ = ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐ = ๐๐.
a) (7 p.) Discutirlo segรบn los valores de k. b) (3 p.) Resolverlo cuando el sistema sea compatible.
16.-Dada la matriz ๐ด = (๐ โ๐ ๐๐ โ๐ ๐
๐๐ โ๐ ๐).
a) (5 p.) Determinar el rango de M segรบn valores del parรกmetro .
b) (5 p.) Determinar para quรฉ valores de , existe la matriz inversa de M. Calcular dicha inversa para
=0.
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CURSO 11-12
1.-a) (5p.) Sean A y B matrices cuadradas de orden 3, cuyos determinantes son |A|=ยฝ y |B|=-2. Hallar: a.1) |A3|; a.2) |A-1|; a.3) |-2A|; a.4) |AยทBt|; a.5) Rango de B b) Utilizar las propiedades los determinantes para calcular el valor de:
b.1)(2p. ) |A|=|๐ ๐
๐2 ๐๐2|; b.2) (3p.)|B|= |๐ + ๐ 1 2๐ โ ๐ 0 1
๐ + 2๐ 3 2|
2.-Dada la matriz A=(2๐ โ2 ๐2
โ1 ๐ โ12 1 ๐
). Se pide:
a) (5p.) Rango de A segรบn los valores del parรกmetro a.
b) (5p.) Para a=2, discutir el sistema Aยท(๐ฅ๐ฆ๐ง
) = (21๐
) en funciรณn de los valores del parรกmetro b y
resolverlo cuando sea posible.
3.-Dado el sistema de ecuaciones {
๐๐ฅ + ๐๐ง = 2๐ฅ + ๐๐ฆ โ ๐ง = 1
๐ฅ + 3๐ฆ + ๐ง = 2๐. Se pide:
a) (6p.)Discutir segรบn los valores del parรกmetro ๐. b) (4p.)Resolver el sistema de ecuaciones para ๐ = ๐.
4.-a) Dada la matriz A=(๐ + 1 0
1 โ1). Se pide:
a.1) (2,5p.)Determina los valores de ๐ para los que A2+3A no tiene inversa. a.2) (2,5p.)Para ๐ = ๐, hallar la matriz X que verifique que AยทX+A=2I.
b) (5p.)Dada la matriz A=(๐ 0 0๐ 1 00 0 1
). Calcular a y b para que A-1=At.
5. Sean las matrices ๐ = (๐ ๐ ๐๐ฆ ๐ ๐๐ ๐ ๐ฆ
) ๐ฒ ๐ = (โ๐๐๐
). Se pide:
a) (4p.) ยฟPara quรฉ valores de m la matriz A no tiene inversa?
b) (4p.) Para m=1, calcular la inversa de A.
c) (2p.) Resolver la ecuaciรณn matricial AยทX=B para m=1.
6.1-(6p.)Sea la matriz ๐ = (๐ ๐๐ ๐
) cuyo determinante vale 4. Se pide, indicando las propiedades que
utilizas:
a) |-3At|; b) |2๐ 2๐
โ3๐ โ3๐| ; c) |A-1At| ; d) Si B es una matriz cuadrada y B3=I, calcula |B-1|
6.2.-Dadas la matriz ๐ = (๐ ๐๐ ๐
)e I la matriz unidad de orden 2. Resolver el sistema de ecuaciones
matricial: {๐๐ + ๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐
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7.-Sea el sistema de ecuaciones {
๐๐ฅ + 2๐ฆ + 6๐ง = 02๐ฅ + ๐๐ฆ + 4๐ง = 2
2๐ฅ + ๐๐ฆ + 6๐ง = ๐ โ 2. Se pide:
a) (6p.)Discutir segรบn los valores del parรกmetro a.
b) (3p.)Resolver para a=2.
c) (1p.) Enuncia brevemente el Teorema de Rouchรฉ-Frรถbenius.
8.- a) (5p.)Dadas las matrices ๐ด = (1 1 02 ๐ก + 1 ๐ก โ 1
โ2๐ก โ 1 0 ๐ก + 3) ๐ฆ ๐ = (
๐ฅ๐ฆ๐ง
) , razonar para quรฉ valores de t el
sistema homogรฉneo AยทX=0, tiene mรกs de una soluciรณn.
b) (4p.)Dadas las matrices ๐ = (1 1 ๐1 0 ๐1 1 ๐
) y ๐ = (2 0 ๐0 โ1 ๐3 1 ๐
), calcular a, b y c, sabiendo que no
pueden valer 0 a la vez, para que las matrices M y N tengan, simultรกneamente, rango 2.
c) (1p.)Enuncia brevemente quรฉ es el rango de una matriz.
9.- a) (5p.)Dadas las matrices ๐ = (โ๐ ๐ ๐๐ค ๐ ๐
) y ๐ = (๐ ๐
โ๐ ๐๐ค ๐
), se pide:
a.1) Determinar para quรฉ valores de k la matriz BtยทAt tiene inversa.
a.2) Resolver la ecuaciรณn matricial (AยทB)tยทX=I para k=0.
b) (5p.)Dadas la matrices๐ = (๐ ๐๐ ๐
) y ๐ = (๐ โ๐๐ ๐
). Resolver el sistema de ecuaciones matricial:
{๐๐ + ๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐
10.- a) (5p.) Sea la matriz ๐ = (๐ฆ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ฆ ๐ ๐ฆ
), se pide:
a.1) Estudiar el rango de la matriz A segรบn los valores del parรกmetro m.
a.2) Para m=-1, calcular A-1.
b) (5p.) Discutir la compatibilidad del siguiente sistema segรบn los valores a y resolver cuando el sistema
sea compatible indeterminado: {
๐๐ฅ + 2๐ง = 0๐๐ฆ โ ๐ง = ๐
๐ง + 3๐ฆ + ๐ง = 5
11.-Indicando las propiedades de los determinantes utilizadas en cada caso, se pide:
a) (6p.)Si |๐ด| = |
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐โ ๐ ๐
| = โ3, calcular
a.1) |
3๐ 3๐ 15๐๐ ๐ 5๐โ ๐ 5๐
|=; a.2) |โ1
3๐ด|; a.3) |
๐ ๐ ๐๐ โ โ ๐ โ ๐ ๐ โ ๐
โ ๐ ๐|
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b) (2p.)Si ๐ต = |๐ ๐ ๐5 0 101 1 1
| = 1, calcular|5๐ โ๐ 5๐1 0 21 โ1 1
|
c) (2p.) Sabiendo que x, y, z y u son valores no nulos, justificar sin efectuar su desarrollo que
|
๐ฆ๐ง ๐ฅ๐ง ๐ฅ๐ฆ๐ข ๐ข ๐ข1
๐ฅ
1
๐ฆ
1
๐ง
| = 0
12.-Dadas las matrices ๐ด = (๐ผ 1 โ11 ๐ผ โ1
โ1 โ1 ๐ผ) ; ๐ต = (
011
).
a) Discutir el rango de A segรบn los valores de .
b) Para =2, resuelve el sistema de ecuaciones (o la ecuaciรณn matricial) AยทX=B.
13.- Sean las matrices ๐ด = (๐ผ 1
โ๐ผ 3) ๐ฆ ๐ต = (
1 3 1โ1 4 2
)
a) Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es ๐
๐๐ยทA.
b) Para =-3, determina la matriz X que verifica la ecuaciรณn AtยทX=B, siendo At la matriz traspuesta de A.
14.- a) Discutir, segรบn los valores de m, el sistema: {
๐ฆ + (๐ โ 1)๐ง = ๐(๐ โ 1)๐ฆ + ๐ง = ๐
(๐ โ 2)๐ฅ = ๐ + 2
b) Resolver para m=0 y m=1.
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CURSO 10-11
1.-Sean las matrices: ๐ต = (1 ๐ 00 1 ๐1 1 โ2
) ; ๐ถ = (1 โ3 5
โ2 4 โ6) ; ๐ท = (
1 2 30 1 0
).
a) Matriz inversa de otra. ยฟPor quรฉ no tiene inversa la matriz C? b) Matriz inversible o regular. ยฟEs invertible la matriz D? c) Hallar los valores de m para que exista B-1. d) Hallar B-1 para m=0. e) Calcular la matriz X para que cumpla que XยทB+C=D para m=0.
2.-Sabiendo que ๐ด = (๐ ๐๐ ๐
) y que |A|=4. Indicando en cada caso las propiedades utilizadas, se pide:
a) |โ3๐ด๐ก|; |๐ดโ1 ยท ๐ด๐ก|; |2๐ 2๐
โ3๐ โ3๐|.
b) Calcular A, si Aยท(๐ โ๐๐ ๐
)=I.
c) Si ๐ฉ = (๐ ๐๐ ๐
), ยฟquรฉ relaciรณn existe entre b, c y d para que se verifique B-1=2I-B.
d) Menor complementario de un elemento de un determinante 3.-El sistema AยทX=B tiene diferentes soluciones segรบn sea la matriz B, sabiendo que:
A= (1 0 10 2 0๐ 5 ๐
) ๐ฆ X = (๐ฅ๐ฆ๐ง
)
a) Rango de matriz b) Determinar si existen valor/es de a para los que el sistema sea compatible.
c) Si a=4 y B= (๐
โ๐๐
), determinar, si existen, el valor/es de b para los que el sistema es
incompatible.
d) Si a=4 y B= (๐๐
๐๐), determinar, si existen, el valor/es de c para los que el sistema es compatible
indeterminado. Resolver el sistema.
4.-a) Discutir segรบn los valores del parรกmetro a y resolver cuando sea posible: {
๐ฅ + ๐ง = 1๐ฆ + (๐ โ 1)๐ง = 0
๐ฅ + (๐ โ 1)๐ฆ + ๐๐ง = ๐
b) Sean ๐ด = (1 โ12 00 3
) ; ๐ต = (1 2 โ10 3 โ1
) . Calcular: |(B.A)t|-1 y B2.
c) ยฟQuรฉ es un adjunto en un determinante?
5.-Sea la matriz ๐ = (โ๐ ๐ ๐๐ ๐ โ ๐ ๐๐ ๐ ๐ + ๐
). Se pide:
a) Estudiar el rango de A segรบn los valores de a. b) Hallar el valor de a para que A sea una matriz regular. c) Hallar A-1 para a=1. d) Enunciar brevemente el Teorema de Rouchรฉ-Frรถbenius
6.-a) Sea ๐ฉ = (๐ ๐๐ ๐
), encontrar todas las matrices ๐ท = (๐ ๐๐ ๐
) tal que se verifique BยทP=PยทB.
b) Sea |๐| = |๐ ๐ ๐๐ฑ ๐ฒ ๐ณ๐ฉ ๐ช ๐ซ
| = ๐. Se pide el valor de: |C4ยทC-1|, |๐ ๐๐ฑ ๐๐ฉ๐ ๐๐ฒ ๐๐ช๐ ๐๐ณ ๐๐ซ
| y |๐ ๐ ๐
๐ฑ + ๐ฉ ๐ฒ + ๐ช ๐ณ + ๐ซ๐ฑ ๐ฒ ๐ณ
|.
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7.-Sea el sistema de ecuaciones: {
๐๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = ๐ + 22๐ฅ โ ๐๐ฆ + ๐ง = 2๐ฅ โ ๐ฆ + ๐๐ง = ๐
a) Discutir segรบn los valores de a. ยฟTiene siempre soluciรณn? b) Resolver para a=-1. c) ยฟQuรฉ es un sistema homogรฉneo? ยฟCuรกndo serรก incompatible?
8.-a) Dadas las matrices P= (๐ ๐ ๐
โ๐ ๐ ๐โ๐ โ๐ ๐
) y A= (โ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐
), hรกllese razonadamente la matriz B,
sabiendo que BยทP=A.
b) Sea el sistema de ecuaciones {๐ + (๐ โ ๐)๐ = ๐
๐ + ๐ = ๐๐ + (๐ โ ๐)๐ + ๐๐ = ๐
. Discutir y resolver segรบn a.
9.-Dadas las matrices ๐ต = (1 0 00 1 00 โ1 ๐
) ; ๐ถ = (1 โ3 5
โ2 4 โ6) ; ๐ท = (
1 2 30 1 1
).
c) ยฟPara quรฉ valores de m existe B-1? d) Para m=1, calcular B-1. e) Para m=1, hallar la matriz X tal que XยทB+C=D.
10.-Determina, segรบn los valores de m, el rango de la matriz ๐ด = (๐ โ 1 1 โ1
0 ๐ โ 2 1๐ 0 2
). ยฟCuรกndo tiene
inversa A? Para m=1, soluciona el sistema ๐ด ยท (๐ฅ๐ฆ๐ง
) = (000
).
11.- a) Discutir, segรบn los valores de a, el sistema: {
๐๐ฅ + 2๐ฆ + 2๐ง = ๐๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = 0
2๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง = ๐
b) Resolver para a=0.
12.-Sea la matriz ๐จ = (โ๐ ๐๐ ๐ โ ๐
). Se pide:
a) Determinar los valores de ฮป para que la matriz A2+3A no tenga inversa. b) Para ฮป=0 hallar una matriz X que verifique que AยทX+A=2I.
13.- Discutir segรบn los valores de a el siguiente sistema: {
๐๐ฅ + ๐๐ฆ = 13๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐ โ 2โ๐ฆ + ๐ง = ๐ โ 3
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CURSO 09-10
1.-Dada la matriz ๐ด = (๐ 0 00 0 ๐0 โ1 ๐ + 1
)
a) Estudia, segรบn los valores de m, el rango de A.
b) Para m=-1, calcula la matriz X que verifica XA+A=2I3.
2.-Sea el sistema {
2๐ฅ + ๐ฆ + 3๐ง = 25๐ฅ + 2๐ฆ + 4๐ง = โ1
3๐ฅ + ๐ฆ + ๐2๐ง = 3๐
a) Discutir las soluciones del sistema anterior en funciรณn de a.
b) Resolver para el valor de a que hace al anterior sistema compatible indeterminado.
3.-Se consideran las matrices ๐ด = (
๐ฅ ๐ฆ ๐ฅ๐ฆ 0 ๐ฆ1 ๐ง ๐ง
) ; ๐ต = (๐ 2 3) ; ๐ฆ ๐ถ = (4 0 2).
a) Halla los valores de x, y, z para los que la matriz A no tiene inversa.
b) Determina los valores de a para los que el sistema que se forma de BยทA=C tiene soluciรณn.
c) Resuelve el sistema anterior cuando sea posible.
4.-Realiza las cuestiones siguientes:
a) Sea ๐ด = (1 ๐0 1
). Halla An, siendo โ๐ โ ๐.
b) Busca una matriz B tal que BยทA=(0 0), siendo ๐ด = (1 10 10 0
).
c) Sean las matrices ๐ด = (1 02 ๐0 0
) ๐ฆ ๐ต = (๐ 0 โ11 1 2
). Estudia en funciรณn de los valores de k, si la
matriz BยทA tiene inversa.
5.-Sean A, B, C y X matrices cualesquiera que verifican AยทXยทB=C.
a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que |A|=3, |B|=-1 y |C|=6, calcula |X| y
|2X|.
b) Si ๐ = (๐ ๐๐ โ๐
), ๐ = (๐ โ๐๐ โ๐
) y C= (๐ ๐๐ ๐
), calcula la matriz X.
6.-Sea el sistema de ecuaciones {
๐ฑ + ๐ฒ = ๐ฆ + ๐๐ฑ + ๐ฆ๐ฒ + ๐ณ = ๐๐ฆ๐ฑ + ๐ฒ โ ๐ณ = ๐ฆ
a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible.
b) Resuelve el sistema para m=-1.
7.-Se consideras las matrices ๐ = (โ๐ ๐๐ โ๐
) y B=A-kI2, donde k es una constante.
a) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.
b) Calcula B-1 para k=-1.
c) Determina las constantes y para las que se cumple A2+A=I2.
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8.-Sean las matrices ๐ = (โ๐ โ๐ ๐โ๐ ๐ โ๐๐ โ๐ โ๐
) y ๐ = (๐ฑ๐ฒ๐ณ
).
a) Calcula, si existe, la inversa de la matriz A.
b) Resuelve ยกel sistema AยทX=3X.
9. Dadas las matrices: ๐ด = (5 2 02 5 00 0 1
) , ๐ต = (๐ ๐ 0๐ ๐ 00 0 1
)
a) Encontrar las condiciones que debe cumplir a, b, c para que se verifique AยทB=BยทA.
b) Para a=b=c=1, calcular B10.
c) Calcular A-1.
10. Dado el sistema {
๐ฅ + ๐๐ฆ โ ๐ง = 02๐ฅ + ๐ฆ + ๐๐ง = 0
๐ฅ + 5๐ฆ โ ๐๐ง = ๐ + 1
a) Clasificarlo segรบn los valores de k.
b) Resolverlo para k=-1
11. Se considera el sistema {
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐ โ ๐๐ = ๐
๐๐ + (๐ + ๐)๐ + ๐ = ๐}
a) Discutir segรบn los valores de m.
b) Resolver para m=0.
12. Dada la matriz ๐ด = (โ๐ ๐ ๐๐ โ๐ ๐๐ ๐ โ๐
). Obtener A-1.
13. Dadas las matrices ๐จ = (๐ โ๐๐ ๐
) , ๐ฉ = (๐ โ๐
โ๐ ๐). Obtener una matriz cuadrada X2 que verifique
AยทXยทB=A+B.
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CURSO 08-09
1.- a) Calcular razonadamente los valores del parรกmetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene mรกs de una soluciรณn:
mzzyx
myzyx
mxzyx
42
2
2
b) Resuelve el sistema anterior para el caso m=0 y para el caso m=1.
2.-Dadas las matrices
111
402
201
111
121
211
ByA
a) Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. b) Resuelve la ecuaciรณn matricial: AยทX+B=A+I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.
3.-Sabemos que el sistema de ecuaciones:
22
132
zyx
zyx. Tiene las mismas soluciones que el que
resulta al aรฑadir la ecuaciรณn ax+y+7z=7.
a) Determina el valor de a. b) Calcula la soluciรณn del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de las incรณgnitas sea igual a la unidad.
4.-Considera la matriz
2
22
111
mmm
mmmA
a) Halla los valores del parรกmetro m para los que el rango de A es menor que 3.
b) Estudia si el sistema
1
1
1
ยท
z
y
x
A tiene soluciรณn para cada uno de los valores de m obtenidos en
el apartado anterior. Si tienen soluciรณn hรกllalas.
5.-Dada la matriz
k
k
k
A
71
31
31
a) Estudia el rango de A en funciรณn de los valores del parรกmetro k. b) Para k=0, halla la matriz inversa de A.
6.-Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
1)1(
0
1
kkzykx
zky
yx
a) Determina el valor del parรกmetro k para que sea incompatible. b) Halla el valor del parรกmetro k para que la soluciรณn del sistema tenga z=2
7.-Dadas las matrices:
1
1
11
02
1
1
0
2
0
1
;
221
010
111
CyBA
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Calcula la matriz P que verifica AP-B=Ct.
8.-Considera el siguiente sistema de ecuaciones:
1
2
1
zayx
aazyx
axyx
a) Discรบtelo segรบn los valores del parรกmetro a. b) Resuรฉlvelo en el caso a=2.
9.-Considรฉrese el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial AยทX=B, donde
z
y
x
XyB
a
aaA ,
3
2
1
,
11
12
211
Siendo a un parรกmetro real. Se pide:
a) Clasifica el sistema en funciรณn del parรกmetro a . b) Para a=0, obtรฉn las soluciones mediante el cรกlculo X=A-1ยทB.
10.-Calcula una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica: XยทA2+BA=A2 siendo:
002
020
200
001
010
100
ByA
11.-Estudiar el rango de la matriz:
11
1
)1(1
mm
mm
mmmm
A segรบn los valores del parรกmetro m.
12.-Sean las matrices:
76
98
10
02ByA Hallar una matriz X, tal que XยทAยทX-1=B.