Aula 00
Raciocnio Quantitativo p/ Teste Preparatrio ANPAD
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
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AULA 00 (demonstrativa)
SUMRIO PGINA
1. Apresentao 01
2. Edital e cronograma do curso 04
3. Resoluo de questes 07
4. Questes apresentadas na aula 28
5. Gabarito 36
1. APRESENTAO
Seja bem-vindo a este curso de RACIOCNIO QUANTITATIVO
desenvolvido auxiliar na sua preparao para o prximo TESTE DA
ANPAD. Vamos seguir risca o contedo exigido no Teste. Neste
material voc ter:
- curso completo em vdeo, formado por cerca de 20 horas de
gravaes onde explico todos os tpicos exigidos no edital e resolvo
alguns exerccios para voc comear a se familiarizar com os temas;
- curso escrito completo (em PDF), formado por 17 aulas onde
tambm explico todo o contedo terico do edital, alm de apresentar
cerca de 600 questes resolvidas e comentadas sobre todos os
assuntos trabalhados;
- frum de dvidas, onde voc pode entrar em contato direto conosco.
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Vale dizer que este curso concebido para ser o seu nico
material de estudos, isto , voc no precisar adquirir livros ou outros
materiais para tratar da minha disciplina. A ideia que voc consiga
economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tpicos
exigidos no Teste da ANPAD e nada alm disso, e voc poder estudar
conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde
voc tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitar a perda
de tempo gerada pelo trnsito das grandes cidades. Isso importante
para todos os candidatos, mas especialmente relevante para
aqueles que trabalham e estudam.
J faz tempo que voc no estuda Raciocnio Quantitativo? No tem
problema, este curso tambm te atende perfeitamente. Isto porque voc
estar adquirindo um material bastante completo, onde voc poder
trabalhar cada assunto em vdeos e tambm em aulas escritas, e resolver
uma grande quantidade de exerccios, sempre podendo consultar as
minhas resolues e tirar dvidas atravs do frum. Assim, plenamente
possvel que, mesmo tendo dificuldade em Matemtica e estando h
algum tempo sem estudar esses temas, voc consiga um timo
desempenho no Teste da ANPAD. Obviamente, se voc se encontra nesta
situao, ser preciso investir um tempo maior e dedicar-se bastante ao
contedo do nosso curso.
O fato do curso ser formado por vdeos e PDFs tem mais uma
vantagem: isto permite que voc v alternando entre essas duas
formas de estudo, tornando um pouco mais agradvel essa dura
jornada de preparao. Quando voc estiver cansado de ler, mas ainda
quiser continuar estudando, simples: assista algumas aulas em vdeo!
Ou resolva uma bateria de questes!
Caso voc no me conhea, eu sou Engenheiro Aeronutico formado
pelo Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA). Sou professor h quase
10 anos, tendo lecionado tanto para cursos pr-vestibular como para
concursos pblicos que exigem Matemtica. Como engenheiro, trabalhei
por 5 anos no mercado da aviao, quando ento decidi migrar para o
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servio pblico, sendo atualmente Auditor-Fiscal da Receita Federal. Aqui
no Estratgia eu j tive o privilgio de ministrar mais de 250 cursos online
de Matemtica e outros assuntos correlatos, o que me permitiu ganhar
bastante familiaridade com este tipo de ensino, que no meu ponto de
vista possui muitas vantagens em relao ao estudo em um cursinho
presencial tradicional. Tambm contaremos com a colaborao do
professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentao dele abaixo:
Ol! Meu nome Hugo Lima e sou Engenheiro Mecnico-
Aeronutico pelo Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA). Trabalhei por
5 anos e meio na Fora Area Brasileira, como oficial engenheiro, sendo
que, no perodo final, tambm tive que conciliar o trabalho com o estudo
para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-
Fiscal em 2012, cargo que exero atualmente.
Sempre solicitamos que nossos alunos avaliem os nossos cursos.
Procuro sempre acompanhar as crticas, para estar sempre aperfeioando
os materiais. Felizmente venho conseguindo obter ndices de aprovao
bastante elevados acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%.
Farei o que for possvel para que voc tambm aprove o nosso trabalho!
Quer tirar alguma dvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo
meus contatos:
E-mail: [email protected]
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
Ah, e no deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde
transmito vdeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo:
www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no
aplicativo.
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2. CRONOGRAMA DO CURSO
Veja abaixo os tpicos de Raciocnio Quantitativo cobrados no
Teste:
1. CONJUNTOS, SUBCONJUNTOS E OPERAES BSICAS DE CONJUNTO
Conjuntos finitos e infinitos. Igualdade. Conjunto vazio. Subconjunto.
Subconjunto prprio. Conjunto universal. Conjuntos disjuntos. Operaes:
unio, interseo, diferena e complemento. Conjunto das partes.
Nmeros de elementos de um conjunto.
2. CONJUNTOS DE NMEROS E DESIGUALDADE
Nmeros: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Operaes
desigualdades. Valor absoluto. Intervalos.
3. EXPRESSES E EQUAES ALGBRICAS
Expresso algbrica. Fatorao. Produtos notveis. Equaes e
inequaes de 1 e 2 graus. Equaes com mais de uma varivel.
Sistema de equaes. Equao irracional.
4. SEQUNCIAS E SRIES
Sequncia numrica. Progresso aritmtica. Progresso geomtrica. Srie
geomtrica infinita.
5. TRIGONOMETRIA, LOGARITMO E EXPONENCIAL
Propriedades trigonomtricas, logartmica e exponencial. Identidades
trigonomtricas. Equaes e inequaes trigonomtricas, logartmicas e
exponenciais.
6. FUNES
Definio, representao grfica, domnio e imagem. Operaes de
funes. Funo Constante. Funo linear. Funo polinomial. Funo
Composta. Funes trigonomtricas, logartmicas e exponenciais.
7. ANLISE COMBINATRIA
Princpio de contagem. Arranjos. Permutaes. Combinaes. Anagramas.
Permutaes com repetio. Nmero de permutaes com repeties.
8. MATRIZES E DETERMINANTES
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Matrizes: definio, tipos e representao, igualdade, adio, subtrao e
produto de matrizes. Produto de escalar por matriz. Matriz transposta.
Matriz inversa. Determinantes: definio, clculo de determinantes de 2
e de 3 ordens. Propriedades.
9. GEOMETRIA
Polgonos, circunferncia e crculo: permetro e rea. Slidos geomtricos:
rea e volume.
10. GEOMETRIA ANALTICA
Distncia entre dois pontos. Reta: coeficiente angular, paralelismo,
perpendicularismo, interseo de retas, equaes geral e reduzida da
reta.
11. ESTATSTICA E PROBABILIDADES
Distribuio de Frequncia. Medidas de Posio: Mdia Aritmtica Simples
e Ponderada, Mdia Geomtrica, Mdia Harmnica, Quartis, Decis,
Percentis, Moda e Mediana. Medidas de Disperso, Assimetria e Curtose:
Amplitude Total, Intervalo SemiInterquartlico, Desvio Mdio e Varincia,
Desvio Padro, Coeficiente de Variao. Probabilidades Conceitos Bsicos:
Experimento Aleatrio, Espao Amostral, Evento. Clculo de
Probabilidades: Eventos Certos, Evento Impossvel, Eventos Mutuamente
Exclusivos, Evento Complementar. Probabilidade Condicional. Regra do
Produto. Regra do Produto para Eventos Independentes.
12. MATEMTICA FINANCEIRA
Razes. Propores. Regra de trs. Porcentagem. Juros simples e
compostos. Equivalncia de taxas, taxas nominais, efetivas e reais.
Equivalncia de capitais. Sries de pagamentos uniformes e variveis.
Depreciao. Sistemas de amortizao de emprstimos. Correo
monetria.
Nosso curso ser dividido em 17 aulas escritas, alm desta aula
demonstrativa, acompanhadas pelos vdeos sobre os mesmos assuntos.
Segue abaixo a relao de aulas e as datas limite de publicao. Vale
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dizer que ns sempre procuramos publicar as aulas com o mximo de
antecedncia possvel.
Data Aula
01/07 Aula 00 - demonstrativa (pdf + vdeo)
04/07 Aula 01 Tpicos de matemtica bsica para nivelamento da
turma. (pdf + vdeo)
08/07 Aula 02 Conjuntos de nmeros. (pdf + vdeo)
12/07 Aula 03 - Razes e propores. Porcentagem. (pdf + vdeo)
16/07 Aula 04 Conjuntos, subconjuntos e operaes bsicas de
conjunto (pdf + vdeo)
20/07 Aula 05 Sequncias e sries. (pdf + vdeo)
24/07 Aula 06 Anlise combinatria. (pdf + vdeo)
28/07 Aula 07 Probabilidades. (pdf + vdeo)
02/08 Aula 08 Matrizes e determinantes. (pdf + vdeo)
06/08 Aula 09 Expresses e equaes algbricas. (pdf + vdeo)
10/08 Aula 10 Funes. Logaritmo e exponencial. Desigualdades. (pdf
+ vdeo)
14/08 Aula 11 - Geometria e trigonometria. (pdf + vdeo)
18/08 Aula 12 - Estatstica. (pdf + vdeo)
22/08 Aula 13 Juros simples. (pdf + vdeo)
26/08 Aula 14 Juros compostos. (pdf + vdeo)
30/08 Aula 15 Sistemas de amortizao de emprstimos. Correo
monetria. (pdf + vdeo)
02/09 Aula 16 Sries de pagamentos. (pdf + vdeo)
03/09 Aula 17 Resumo terico (somente pdf)
Sem mais, vamos a uma demonstrao do curso.
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3. RESOLUO DE QUESTES
Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questes
dos Teste ANPAD anteriores. O objetivo que voc tenha uma ideia do
estilo de cobrana daquele Teste. natural que voc sinta alguma
dificuldade em resolver as questes neste momento, afinal ainda
no passamos pelos tpicos tericos correspondentes. Ao longo das aulas
voltaremos a essas questes nos momentos oportunos, isto , aps
estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar o nvel de
cobrana esperado para a sua prova e, claro, a minha forma de lecionar.
Vamos comear?
1. ANPAD 2016) A figura mostra, esquerda, a imagem promocional
da adega que Carlos ganhou de aniversrio. A adega possui dois
compartimentos, um superior e outro inferior. No compartimento
superior. Com capacidade mxima de 6 garrafas, so estocados apenas
vinhos brancos. No compartimento inferior, com capacidade mxima de 9
garrafas, so estocados apenas vinhos tintos.
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A figura mostra tambm, direita, uma representao da viso frontal da
adega. Nessa representao, esto destacados os locais onde as garrafas
so inseridas, sempre deitadas e com a rolha voltada para a porta. Carlos
possui apenas 3 garrafas de vinho branco e apenas 4 garrafas de vinho
tinto, todas diferentes, e ir guarda-las nos compartimentos adequados
de sua adega, que, inicialmente, esto vazios.
Obedecendo s restries de armazenagem de cada compartimento, de
quantos modos diferentes Carlos poder distribuir as suas 7 garrafas de
vinho por entre os 15 locais disponveis de sua adega?
RESOLUO:
Como as garrafas de vinho so diferentes, a ordem relevante, alterando
o resultado. Dessa forma, termos um caso de permutao.
Vinho branco: para guardar 3 garrafas em 6 possveis posies, temos 6
opes para a primeira garrafa, 5 para a segunda e 4 para a terceira, ou
seja, 6 x 5 x 4, que pode ser escrito como 5 x 4 x 3 x 2.
Vinho tinto: para guardar 4 garrafas em 9 possveis posies, temos 9
opes para a primeira garrafa, 8 para a segunda, 7 para a terceira e 6
para a quarta, ou seja, 9 x 8 x 7 x 6.
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Assim, ao todo, temos 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 9! modos diferentes
de distribuir as 7 garrafas de vinho por entre os 15 locais disponveis na
adega.
RESPOSTA: B
2. ANPAD 2016) Seja P um polgono regular de 10 lados. Seja T o
conjunto de todos os seus tringulos cujos vrtices esto sobre os lados
de P e tais que dois de seus vrtices so vrtices consecutivos de P.
Em um tringulo arbitrrio do conjunto T, o maior ngulo interno pode
medir, no mximo,
A) 162.
B) 144.
C) 72.
D) 48.
E) 36.
RESOLUO:
A Figura a seguir mostra um polgono regular de 10 lados, que se
chama decgono. Ele composto por 10 tringulos issceles. Cada um
desses tringulos tem um ngulo dado por 360 / 10 = 36. J os outros
dois ngulos de cada tringulo, que tm medidas iguais, so de (180 -
36)/2 = 72.
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O enunciado pede que formemos tringulos cujos vrtices esto
sobre o lado desse decgono. Vrias so as possibilidades disso ocorrer.
No entanto, ele nos pede o tringulo com o maior ngulo interno, e quer
saber o valor desse ngulo. O tringulo que satisfaz esses requisitos
mostrado na Figura. Ele tem como base o segmento em vermelho e os
outros dois lados coincidem com lados do decgono. Veja que o maior
ngulo interno desse tringulo, coincide com o ngulo entre dois lados
consecutivos do decgono, que por sua vez igual soma de dois
ngulos da base de tringulos issceles consecutivos que compem o
decgono. Portanto, esse ngulo interno de maior medida mede 72 +
72 = 144.
RESPOSTA: B
3. ANPAD 2016) Considere a seguinte equao algbrica 2
2
18 810
8 9
x x
x x
. Essa equao
A) no possui razes reais.
B) possui trs razes reais.
C) possui apenas duas razes reais e distintas.
D) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade igual a 1.
E) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade igual a 2.
RESOLUO:
No denominador da frao no podemos ter zero. Vejamos para que
valores de x a equao de segundo grau do denominador pode zerar.
-x +8x + 9 = 0
x - 8x 9 = 0
= b - 4ac
= 64 4(-9)
= 64 + 36 = 100
x = (8 100)/2
x1 = 9
x2 = -1
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Portanto, x no pode assumir os valores 9 e -1.
Resolvendo a equao como um todo, temos que se uma frao
igual a zero, s pode ser porque o seu numerador zero. Assim, temos:
x - 18x + 81 = 0
= b - 4ac
= 324 4(81)
= 324 - 324 = 0
x = (18)/2
x = 9
Portanto, a equao possui como razes apenas o valor x = 9, com
multiplicidade 2, visto que = 0. No entanto, havamos concludo
anteriormente que x no pode assumir o valor 9. Portanto, essa equao
no possui razes reais.
RESPOSTA: A
4. ANPAD 2016) Sejam A e B conjuntos tais que A possui um total de
15 elementos e B possui um total de 16 elementos. Sejam P(A) e P(B) os
conjuntos das partes dos conjuntos A e B, respectivamente. Sabe-se que
o conjunto P(A) P(B) possui um total de 1024 elementos.
O nmero total de elementos do conjunto A B igual a:
A) 41
B) 31
C) 21
D) 16
E) 10
RESOLUO:
O conjunto das partes de A nada mais do que o conjunto cujos
elementos so todos os subconjuntos de A. Podemos dizer que se A tem x
elementos, o conjunto das partes de A tem 2x elementos. O conjunto P(A)
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P(B) tem 1024 = 210 elementos. Isso nos diz que o conjunto A B tem
10 elementos.
Sabemos tambm que para dois conjuntos A e B vale a relao:
A B = A + B - A B
Substituindo o nmero de elementos de cada conjunto no lado
direto da igualdade acima, temos:
A B = 15 + 16 10 = 31 10 = 21 elementos
RESPOSTA: C
5. ANPAD 2016) A figura nos mostra um dado que foi colocado em
uma das casas de um tabuleiro.
No dado, a soma dos nmeros presentes em qualquer par de faces
paralelas sempre igual a 7. Esto indicados os nmeros presentes nas
faces do dado que so diretamente observveis segundo o ngulo de
viso oferecido pela figura.
O dado ser movido e cumprir todo o percurso do tabuleiro, avanando
da casa em que se encontra na figura at aquela marcada com um X. O
movimento do dado se d, casa a casa, por meio de rotaes de 90 em
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torno de arestas especficas ao sentido do movimento. Na figura, as
rotaes e seus sentidos so representados, em cada trecho, pelas setas
no tabuleiro. apresentada abaixo a vista lateral da movimentao do
dado de uma casa para a prxima.
Quando o dado alcanar a casa marcada com um X, qual ser o nmero
que estar presente em sua face superior, que paralela quela que est
diretamente em contato com o tabuleiro?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
RESOLUO:
Para resolver essa questo vamos nos basear sempre no nmero
que est na face superior do dado. Enquanto o dado avana pelo primeiro
lado do tabuleiro ele sofrer seis rotaes. Perceba que o nmero 2 e o
nmero 5 esto nas faces laterais do dado nesse primeiro momento. O
dado comea com o nmero 6 na face superior. medida que se
movimenta, os nmeros vo se alternar na face superior da seguinte
forma: 4, 1, 3, 6, 4, 1.
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Neste momento, chegamos ao primeiro canto do tabuleiro. Nos
prximos movimentos do dado, os nmeros 3 e 4 esto nas faces laterais
do dado e este est com a face 1 voltada para, de forma que os nmeros
presentes na face superior sero: 5, 6, 2, 1, 5, 6.
Neste momento, o dado est com a face 6 voltada para cima e
entrar no terceiro lado do tabuleiro, de forma que os nmeros presentes
na face superior sero: 4, 1, 3, 6, 4, 1
Neste momento, o dado est com a face 1 voltada para cima e
entrar no ltimo lado do tabuleiro, de forma que os nmeros presentes
na face superior sero: 5, 6, 2, 1. Portanto, o dado termina com a face 1
voltada para cima.
RESPOSTA: E
6. ANPAD 2016) Considere a funo f: R R, definida por f(x) = ax
+ 2x + 8, a 0. O grfico da funo f, definido pela equao y = f(x),
uma parbola no plano cartesiano, plano esse que representa o conjunto
R = {(x,y)|x R e y R}.
Para todo a R*, o vrtice de tal parbola pertence, necessariamente,
reta do plano cartesiano definida pela equao
A) y = 8.
B) y = 2x + 8.
C) y = -2x + 8.
D) y = x + 8.
E) y = -x + 8.
RESOLUO:
O vrtice da parbola dado por xv = -b/2a = -2/2a = -1/a.
O enunciado definiu y = f(x). Para sabermos em que valor de
ordenada y estar o vrtice, basta substituir na funo f(x) o valor de x
correspondente ao vrtice da parbola, ou seja, x = -1/a. Substituindo
em f(x) temos:
f(-1/a) = y = a (-1/a) + 2(-1/a) + 8
y = 1/a + -2/a + 8 = -1/a + 8
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Chegamos, portanto, a y = -1/a + 8. No entanto, sabemos que -1/a
o valor de x no vrtice. Portanto, temos:
y = x + 8
RESPOSTA: D
7. ANPAD 2015) Um emprstimo de R$ 900,00 ser pago em 6
prestaes mensais, sendo a primeira delas paga um ms aps o
emprstimo, com juros de 4% ao ms sobre o saldo devedor, pelo
Sistema de Amortizao Constante (SAC). O valor, em reais, da ltima
prestao ser:
a) 142,72.
b) 148,36.
c) 150,00.
d) 156,00.
e) 162,00.
RESOLUO:
O SAC, como o prprio nome j diz, um sistema de amortizao
no qual o valor da amortizao (A) embutido em cada prestao
constante, sendo dada por:
VPA
n
em que VP o valor presente e n o nmero de intervalos de tempo.
No nosso caso, VP = 900 e n = 6 meses. Logo, o valor da
amortizao A = 900 / 6 = 150 reais.
O valor da parcela P dado pela soma da amortizao A com os
juros J. O juros sempre pago sobre o saldo devedor SD. Veja a tabela
abaixo:
n SD A J P
1 900 150 36 186
2 150
00000000000
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3 150
4 150
5 150
6 150
Repare que preenchemos a coluna n e a coluna da Amortizao,
visto que ela constante. O valor do juros de 4% do Saldo Devedor, ou
seja 4% x 900 = 36. Assim, a parcela fica sendo A + J = 150 + 36 = 186.
A cada linha o Saldo Devedor diminudo do valor da Amortizao.
Portanto, em n=2 temos SD = 900 150 = 750.
n SD A J P
1 900 150 36 186
2 750 150
3 150
4 150
5 150
6 150
Daqui em diante temos duas formas de resolver o problema.
Poderamos preencher a tabela por inteiro, repetindo o processo descrito
acima. Ou, podemos ir direto para o que o exerccio pede! Ele quer o
valor da ltima prestao. O valor dela ser dado por A + J. A
amortizao A constante e seu valor 150. J o juros J 4% do Saldo
Devedor em n = 6.
O Saldo Devedor diminui pelo valor da amortizao a cada ms.
Assim, no ltimo ms o valor do Saldo Devedor deve ser igual ao valor da
amortizao, de forma que daquele momento em diante no tenhamos
mais Saldo Devedor. Assim, SD = 150 no sexto ms. Os juros ficam
sendo 4% x 150 = 6. A parcela fica sendo 150 + 6 = 156 reais.
n SD A J P
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1 900 150 36 186
2 750 150
3 150
4 150
5 150
6 150 150 6 156
RESPOSTA: D
8. ANPAD 2015) Um jogo consiste em sortear, sucessivamente, ao
acaso e sem repetio, os nmeros do conjunto X = {1, 2, 3, 4, ..., 14,
15}. Cada jogador recebe uma nica cartela com 6 nmeros diferentes
desse mesmo conjunto. Duas cartelas podem ter nmeros em comum.
Entretanto, no h duas cartelas com os mesmos 6 nmeros. Vence
aquele que tiver todos os seus 6 nmeros sorteados primeiro.
Qual a quantidade mxima de cartelas em que figuram os nmeros 1 e 2,
mas no figura o nmero 15?
a) 220.
b) 495.
c) 715.
d) 1.365.
e) 1.716.
RESOLUO:
Repare que no podemos ter o nmero 15 na nossa cartela. Logo,
como se a nossa cartela s pudesse ser formada a partir de 14 nmeros
(de 1 a 14). Alm disso, dos 6 nmeros que cada cartela contm, 2 j
esto definidos (1 e 2 devem estar na cartela). Logo, s nos restam 4
nmeros no preenchidos na cartela, os quais podem assumir os valores
{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Ou seja, entre esses 12 nmeros
vamos escolher 4 para obter cada cartela. De quantas formas podemos
escolher 4 nmeros num conjunto de 12? A ordem no relevante. Uma
cartela que contenha os nmeros 1,2,3,4,5,6 a mesma da que contm
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os nmeros 2,3,4,5,6,1. Portanto, temos uma combinao de 12 quatro a
quatro:
12,4
12,4
12,4
12,4
12 12!
4 4! (12 4)!
12!
4! 8!
12 11 10 9 8!
4! 8!
12 11 10 9495
4 3 2 1
C
C
C
C
RESPOSTA: B
9. ANPAD 2015) Se a soma de dois nmeros reais x e y igual a 8,
qual o menor valor possvel para S = x2 + y2?
a) 16.
b) 18.
c) 32.
d) 48.
e) 64.
RESOLUO:
Veja que para termos x2 + y2 sendo o menor valor possvel,
devemos ter tanto em x quanto em y os menores valores em mdulo
possveis. Se x = y = 4 teremos x2 + y2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32.
Quaisquer outros valores que tentarmos seguindo as orientaes do
enunciado resultam em um valor de S maior que 32.
RESPOSTA: C
10. ANPAD 2015) Joana tibita somente de trs em trs dias e Srgio
tibita apenas aos sbados. Sabendo que tera-feira e que Joana tibitou
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hoje, identifique quantas vezes, nos prximos 100 dias, os dois tero
tibitado no mesmo dia.
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
RESOLUO:
O que tibitar no nos interessa para resolver a questo. O que
importa que Joana tibita somente de trs em trs dias e Srgio tibita
apenas aos sbados, ou seja, de sete em sete dias. 3 e 7 so nmeros
primos e, portanto, o mnimo mltiplo comum entre eles dado pelo
produto 3 x 7 = 21. Ou seja, suponha que Joana e Srgio tenham tibitado
juntos algum dia. A partir da, temos certeza que eles tibitaram juntos
novamente a cada 21 dias.
Hoje tera-feira e Joana tibitou. Isso significa que trs dias atrs,
ou seja, sbado passado, Joana tambm tibitou, coincidindo com Srgio,
que s tibita aos sbados. Portanto, partindo de hoje, tera-feira,
primeiro dia, daqui 18 dias os dois tibitaro juntos novamente, ou seja,
no dcimo nono dia. A partir da s ir somando 21 dias. A prxima
tibitada dos dois juntos ser no dia 40. A seguinte, no dia 61. A seguinte,
no dia 82. A seguinte j extrapola o prazo de 100 dias. Portanto, nos
prximos 100 dias eles tibitaro juntos 4 vezes.
RESPOSTA: A
11. ANPAD 2015) Em uma penitenciria de segurana mxima, 96
presos pertencem faco criminosa "Comando Azul" (CA), 72 presos
pertencem faco "Segundo Comando" (SC) e 48 presos pertencem
faco "Parceiros dos Parceiros" (PP). Todos os presos da penitenciria
pertencem a uma e apenas uma dessas trs faces e, para evitar
conflitos, em cada cela s pode haver presos de uma delas. Se todas as
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celas abrigam o mesmo nmero de detentos, qual o menor nmero
possvel de celas nessa penitenciria?
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 18
e) 24.
RESOLUO:
Estamos buscando, na verdade, o mximo divisor comum entre 96,
72 e 48. Veja que o exerccio nos pediu para dividir esses presos em celas
iguais, com o mesmo nmero de pessoas, sem misturar os integrantes de
cada faco, de forma a obter o menor nmero possvel de celas.
O menor nmero possvel de celas est associado ao maior nmero
possvel de detentos por cela, ou seja, o mximo divisor comum entre 96,
72 e 48.
Fatorando 96, 72 e 48 temos:
Nmero Fator primo
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 x 3
Nmero Fator primo
72 2
36 2
18 2
9 3
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3 3
1 Logo, 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32
Nmero Fator primo
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1 Logo, 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3
O MDC ser formado pela multiplicao dos fatores comuns de
menor expoente. Veja que os trs nmeros apresentam entre seus
fatores pelo menos o 23 e o 3.
A multiplicao dos fatores comuns de menor expoente entre 96, 72
e 48 so 23 x 3 = 8 x 3 = 24. Portanto, podemos ter no mximo 24
detentos por cela.
Ao todo temos: 96 + 72 + 48 = 216 detentos. Assim, o menor
nmero possvel de celas nessa penitenciria 216 / 24 = 9.
RESPOSTA: C
12. ANPAD 2015) Seja a uma constante real. Para que a parbola de
equao y = x2 ax +3 intersecte a reta de y = 3x 1 em apenas um
ponto, necessrio que
a) a = -7.
b) a = 1.
c) a (-7,1).
d) a (-,-7) (1,).
e) a {-7,1}.
RESOLUO:
Para que as duas funes se intersectem, necessrio que elas se
igualem naquele ponto, logo:
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x2 ax +3 = 3x 1
x2 ax +3 3x + 1 = 0
x2 ax 3x + 4 = 0
x2 x(a + 3) + 4 = 0
Aplicaremos agora os conhecimentos de equao de segundo grau,
mais precisamente sobre a frmula de Bskara. Calculando o delta e
igualando a zero, fazemos com que a equao de segundo grau acima
tenha uma raiz dupla, de forma que as funes se interceptem em apenas
um ponto. Repare que nossa varivel a. Portanto, para facilitar o
entendimento, substitumos o a convencional da frmula de Bskara
pela letra d. Logo:
Delta = b2 4.d.c
Delta = (-(a + 3))2 4.1.4
Delta = a2 + 6a + 9 16 = 0
a2 + 6a 7 = 0
Temos, novamente, uma equao de segundo grau. Para resolv-la,
aplicamos Bskara novamente.
Delta = b2 4.d.c
Delta = 62 4.1.(-7)
Delta = 36 + 28
Delta = 64
a = (-b Delta)/2d
a = (-6 64)/2
a = (-6 8)/2
a1 = (-6 + 8)/2 = 1
a2 = (-6 - 8)/2 = -7
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Portanto, conclumos que a {-7,1}. Note que havia tambm a resposta
a (-7,1). A banca considerou que os parnteses no indicam que as
extremidades do conjunto pertencem a ele.
RESPOSTA: E
13. ANPAD 2015) Aps o pagamento do ms de julho, a dvida de
Eduardo no carto de crdito era P de reais. Em agosto, ele pagou apenas
os juros da dvida, que eram de 2% ao ms sobre o saldo devedor. Em
setembro, Eduardo pagou dez vezes mais do que havia pagado no ms
anterior, ficando com uma dvida de R$ 820,00. Determine o valor de P.
a) R$ 875,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.020,00.
d) R$ 1.025,00.
e) R$ 1.045,00.
RESOLUO:
Eduardo iniciou o ms de agosto com uma dvida de P reais no
carto de crdito. Em agosto, ele pagou apenas os juros da dvida, no
valor de 2% do saldo devedor P 0,02P. Ou seja, nada foi pago a ttulo
de amortizao. Portanto, Eduardo inicia o ms de setembro com uma
dvida tambm de P.
Em setembro, Eduardo pagou dez vezes mais do que havia pagado
no ms anterior, 10 x 0,02P = 0,2P, ficando com uma dvida de R$
820,00. Os juros novamente so de 2% ao ms. Logo, 0,02P novamente
sero pagos a ttulo de juros no ms de setembro. Apenas a diferena
0,2P 0,02P = 0,18P corresponde ao total amortizado da dvida em
setembro.
Portanto, o saldo devedor no incio do ms de setembro era P.
Durante o ms ele amortizou 0,18P e finalizou o ms com uma dvida de
820 reais. Logo:
P 0,18P = 820
0,82P = 820
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P = 1.000 reais
RESPOSTA: B
14. ANPAD 2015) Selma fez um emprstimo bancrio no valor de R$
2.695,42 que ser pago em 24 prestaes mensais de R$ 300,00 cada. A
primeira dessas prestaes ser paga um ms aps a contratao do
emprstimo.
A cada perodo de 1 ms, o saldo devedor corrigido sendo submetido a
uma taxa de juros de 10%. O valor de cada prestao dimensionado de
forma a cobrir os juros sobre o saldo devedor naquele ms e o excedente
amortiza o saldo devedor.
Em todas as etapas, os clculos so feitos de modo que valores com mais
de duas casas decimais sejam arredondados para exatamente duas, por
aproximao.
O valor amortizado exclusivamente pelo pagamento da 2 prestao foi
de
a) R$ 30,46.
b) R$ 32,70.
c) R$ 33,50.
d) R$ 35,10.
e) R$ 36,85.
RESOLUO:
A questo trata sobre o Sistema Francs de amortizao, em que
todas as parcelas tm o mesmo valor. Do enunciado temos que o Valor
Presente (VP) de R$ 2.695,42, n = 24 meses, a parcela P de 300
reais.
Ao final do primeiro ms, o juros (J) ser dado por:
J = 10% x 2.695,42 = 269,54 reais.
Assim, o valor da amortizao no primeiro ms de:
P = J + A
A = P J
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A = 300 269,54
A = 30,46 reais.
O saldo devedor pro segundo ms passa a ser de:
SD = 2.695,42 30,46 = 2664,96 reais.
Ao final do segundo ms, o juros (J) ser dado por:
J = 10% x 2664,96 = 266,50 reais.
Assim, o valor da amortizao no segundo ms de:
P = J + A
A = P J
A = 300 266,50
A = 33,50 reais.
RESPOSTA: C
15. ANPAD 2015) Representado num sistema cartesiano, o grfico de
uma funo polinomial de segundo grau f:RR corresponde a uma
parbola que passa pelo ponto (3,-7) e que intersecta o eixo das
ordenadas em (0,-4).
Se a abscissa do vrtice dessa parbola 4, ento o produto das razes
igual a:
a) 8.
b) 4.
c) -4.
d) -8.
e) -20.
RESOLUO:
Seja f(x) = ax2 + bx + c a funo polinomial, cujo grfico uma
parbola.
A abscissa do vrtice de uma parbola dada por:
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42
8
v
bx
a
b a
A parbola intersecta o eixo das ordenadas em (0,-4). Logo:
f(x) = ax2 + bx + c
-4 = c
A parbola passa pelo ponto (3,-7). Logo:
f(x) = ax2 + bx + c
-7 = a32 + b3 + c
-7 = 9a + 3b + c
-7 = 9a + 3(-8a) + c
-7 = 9a - 24a + c
-7 = -15a 4
15a = 3
a = 1/5
O produto das razes dado por c/a.
415
20
cproduto
a
produto
produto
RESPOSTA: E
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Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01.
Abrao,
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1. ANPAD 2016) A figura mostra, esquerda, a imagem promocional
da adega que Carlos ganhou de aniversrio. A adega possui dois
compartimentos, um superior e outro inferior. No compartimento
superior. Com capacidade mxima de 6 garrafas, so estocados apenas
vinhos brancos. No compartimento inferior, com capacidade mxima de 9
garrafas, so estocados apenas vinhos tintos.
A figura mostra tambm, direita, uma representao da viso frontal da
adega. Nessa representao, esto destacados os locais onde as garrafas
so inseridas, sempre deitadas e com a rolha voltada para a porta. Carlos
possui apenas 3 garrafas de vinho branco e apenas 4 garrafas de vinho
tinto, todas diferentes, e ir guarda-las nos compartimentos adequados
de sua adega, que, inicialmente, esto vazios.
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Obedecendo s restries de armazenagem de cada compartimento, de
quantos modos diferentes Carlos poder distribuir as suas 7 garrafas de
vinho por entre os 15 locais disponveis de sua adega?
2. ANPAD 2016) Seja P um polgono regular de 10 lados. Seja T o
conjunto de todos os seus tringulos cujos vrtices esto sobre os lados
de P e tais que dois de seus vrtices so vrtices consecutivos de P.
Em um tringulo arbitrrio do conjunto T, o maior ngulo interno pode
medir, no mximo,
A) 162.
B) 144.
C) 72.
D) 48.
E) 36.
3. ANPAD 2016) Considere a seguinte equao algbrica 2
2
18 810
8 9
x x
x x
. Essa equao
A) no possui razes reais.
B) possui trs razes reais.
C) possui apenas duas razes reais e distintas.
D) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade igual a 1.
E) possui apenas uma raiz real, cuja multiplicidade igual a 2.
4. ANPAD 2016) Sejam A e B conjuntos tais que A possui um total de
15 elementos e B possui um total de 16 elementos. Sejam P(A) e P(B) os
conjuntos das partes dos conjuntos A e B, respectivamente. Sabe-se que
o conjunto P(A) P(B) possui um total de 1024 elementos.
O nmero total de elementos do conjunto A B igual a:
A) 41
B) 31
C) 21
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D) 16
E) 10
5. ANPAD 2016) A figura nos mostra um dado que foi colocado em
uma das casas de um tabuleiro.
No dado, a soma dos nmeros presentes em qualquer par de faces
paralelas sempre igual a 7. Esto indicados os nmeros presentes nas
faces do dado que so diretamente observveis segundo o ngulo de
viso oferecido pela figura.
O dado ser movido e cumprir todo o percurso do tabuleiro, avanando
da casa em que se encontra na figura at aquela marcada com um X. O
movimento do dado se d, casa a casa, por meio de rotaes de 90 em
torno de arestas especficas ao sentido do movimento. Na figura, as
rotaes e seus sentidos so representados, em cada trecho, pelas setas
no tabuleiro. apresentada abaixo a vista lateral da movimentao do
dado de uma casa para a prxima.
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Quando o dado alcanar a casa marcada com um X, qual ser o nmero
que estar presente em sua face superior, que paralela quela que est
diretamente em contato com o tabuleiro?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
6. ANPAD 2016) Considere a funo f: R R, definida por f(x) = ax
+ 2x + 8, a 0. O grfico da funo f, definido pela equao y = f(x),
uma parbola no plano cartesiano, plano esse que representa o conjunto
R = {(x,y)|x R e y R}.
Para todo a R*, o vrtice de tal parbola pertence, necessariamente,
reta do plano cartesiano definida pela equao
A) y = 8.
B) y = 2x + 8.
C) y = -2x + 8.
D) y = x + 8.
E) y = -x + 8.
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7. ANPAD 2015) Um emprstimo de R$ 900,00 ser pago em 6
prestaes mensais, sendo a primeira delas paga um ms aps o
emprstimo, com juros de 4% ao ms sobre o saldo devedor, pelo
Sistema de Amortizao Constante (SAC). O valor, em reais, da ltima
prestao ser:
a) 142,72.
b) 148,36.
c) 150,00.
d) 156,00.
e) 162,00.
8. ANPAD 2015) Um jogo consiste em sortear, sucessivamente, ao
acaso e sem repetio, os nmeros do conjunto X = {1, 2, 3,4, ..., 14,
15}. Cada jogador recebe uma nica cartela com 6 nmeros diferentes
desse mesmo conjunto. Duas cartelas podem ter nmeros em comum.
Entretanto, no h duas cartelas com os mesmos 6 nmeros. Vence
aquele que tiver todos os seus 6 nmeros sorteados primeiro.
Qual a quantidade mxima de cartelas em que figuram os nmeros 1 e 2,
mas no figura o nmero 15?
a) 220.
b) 495.
c) 715.
d) 1.365.
e) 1.716.
9. ANPAD 2015) Se a soma de dois nmeros reais x e y igual a 8,
qual o menor valor possvel para S = x2 + y2?
a) 16.
b) 18.
c) 32.
d) 48.
e) 64.
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10. ANPAD 2015) Joana tibita somente de trs em trs dias e Srgio
tibita apenas aos sbados. Sabendo que tera-feira e que Joana tibitou
hoje, identifique quantas vezes, nos prximos 100 dias, os dois tero
tibitado no mesmo dia.
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
e) 8.
11. ANPAD 2015) Em uma penitenciria de segurana mxima, 96
presos pertencem faco criminosa "Comando Azul" (CA), 72 presos
pertencem faco "Segundo Comando" (SC) e 48 presos pertencem
faco "Parceiros dos Parceiros" (PP). Todos os presos da penitenciria
pertencem a uma e apenas uma dessas trs faces e, para evitar
conflitos, em cada cela s pode haver presos de uma delas. Se todas as
celas abrigam o mesmo nmero de detentos, qual o menor nmero
possvel de celas nessa penitenciria?
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 18
e) 24.
12. ANPAD 2015) Seja a uma constante real. Para que a parbola de
equao y = x2 ax +3 intersecte a reta de y = 3x 1 em apenas um
ponto, necessrio que
a) a = -7.
b) a = 1.
c) a (-7,1).
d) a (-,-7) (1,).
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e) a {-7,1}.
13. ANPAD 2015) Aps o pagamento do ms de julho, a dvida de
Eduardo no carto de crdito era P de reais. Em agosto, ele pagou apenas
os juros da dvida, que eram de 2% ao ms sobre o saldo devedor. Em
setembro, Eduardo pagou dez vezes mais do que havia pagado no ms
anterior, ficando com uma dvida de R$ 820,00. Determine o valor de P.
a) R$ 875,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.020,00.
d) R$ 1.025,00.
e) R$ 1.045,00.
14. ANPAD 2015) Selma fez um emprstimo bancrio no valor de R$
2.695,42 que ser pago em 24 prestaes mensais de R$ 300,00 cada. A
primeira dessas prestaes ser paga um ms aps a contratao do
emprstimo.
A cada perodo de 1 ms, o saldo devedor corrigido sendo submetido a
uma taxa de juros de 10%. O valor de cada prestao dimensionado de
forma a cobrir os juros sobre o saldo devedor naquele ms e o excedente
amortiza o saldo devedor.
Em todas as etapas, os clculos so feitos de modo que valores com mais
de duas casas decimais sejam arredondados para exatamente duas, por
aproximao.
O valor amortizado exclusivamente pelo pagamento da 2 prestao foi
de
a) R$ 30,46.
b) R$ 32,70.
c) R$ 33,50.
d) R$ 35,10.
e) R$ 36,85.
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15. ANPAD 2015) Representado num sistema cartesiano, o grfico de
uma funo polinomial de segundo grau f:RR corresponde a uma
parbola que passa pelo ponto (3,-7) e que intersecta o eixo das
ordenadas em (0,-4).
Se a abscissa do vrtice dessa parbola 4, ento o produto das razes
igual a:
a) 8.
b) 4.
c) -4.
d) -8.
e) -20.
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08 B 09 C 10 A 11 C 12 E 13 B 14 C
15 E
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