O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
1
CADERNO DIDÁTICO PEDAGÓGICO
O uso da bicicleta no ensino de física
O movimento da bicicleta aplicado no ensino
de física no 1º ano do ensino médio
2
PITANGA - PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE
NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE PITANGA
CADERNO DIDÁTICO PEDAGÓGICO
O uso da bicicleta no ensino de física
“O movimento da bicicleta aplicado no ensino
de física no 1º ano do ensino médio”
Professor PDE: Eflem Barnabé de Medeiros
Professor Orientador: Rodrigo Oliveira Bastos
Área de Atuação: Física
IES: UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE
PITANGA
2009 - 2010
3
Tema: O uso da bicicleta no ensino de física
Título: O movimento da bicicleta aplicado no ensino de física no 1º ano do
ensino médio
1. Introdução Segundo Caruso e Oguri (2000), a Física é a ciência do mundo natural que
trata dos componentes fundamentais do universo, as forças que eles exercem, e
os resultados destas forças. O termo vem do grego physis, que significa natureza.
Como alerta Menezes (2005), natureza, aqui, tem sentido de realidade material
sensível. Dessa forma, o estudo de física está relacionado às várias situações da
vida cotidiana.
A problemática da Física no ensino médio e na formação inicial e
continuada de professores vem sendo amplamente discutida pela comunidade de
pesquisadores desta disciplina. No entanto, a literatura existente sobre o tema é,
em geral, dirigida à simples apresentação de tópicos modernos ou ao
levantamento de justificativas que apoiem a asserção de que é preciso renovar os
conteúdos escolares de Física, porém, o que precisa mudar é a metodologia
utilizada por professores tanto no ensino médio como nos cursos de graduação
em licenciatura em Física.
A inclusão de Física no Ensino Médio possibilita aos estudantes a
oportunidade de entender melhor a natureza que os rodeia e o mundo tecnológico
em que vivem.
O foco deste trabalho está no movimento da bicicleta, por ser o meio de
transporte mais barato, portanto democrático, ela faz parte do cotidiano de nossos
alunos. Além de utilizado como meio de transporte também serve como lazer,
seja para um simples passeio ou para a prática de esportes radicais ou de
velocidade. A Física é a disciplina mais envolvida tanto no desenvolvimento da
invenção da bicicleta ao longo da história quanto na pesquisa de novas
tecnologias para o aperfeiçoamento da mesma.
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Pode-se dizer que a bicicleta é considerada um dos veículos mais antigos
da sociedade, pois se sabe de sua existência desde os primórdios da história.
1.1. Um breve histórico da bicicleta
O texto abaixo sobre o histórico da bicicleta foi sintetizado a partir do site :
http://www.escoladebicicleta.com.br/historiadabicicleta.html, acessado no
dia 02 de julho de 2010.
Segundo Thomas (2009), nos séculos XV e XVI foi desenvolvido diversos
veículos de duas e quatro rodas acionados por mecanismo composto de corrente,
alavanca e outros dispositivos.
Todavia a história da bicicleta tem início em 1790, quando o Conde Sivrac
da França, idealiza o Celerífer, veículo primitivo de duas rodas ligadas por uma
ponte de madeira em forma de cavalo e acionado por impulso alternado dos pés
sobre o chão. Este nome significa celer: rápido, e fero: transporte. Este veículo
era feito de madeira, sem pedais e com o movimento dos pés diretamente
tocando o solo, no mais autêntico estilo “Flinstones”. Só alcançava maior
velocidade ladeira abaixo. O Celerífer não tinha freios nem guidão móvel para
fazer curvas.
Partindo para a historicidade propriamente dita da bicicleta, pode-se dizer
que a partir de 1816 começaram a surgir os diferentes modelos.
O primeiro que se tem notícia foi do barão alemão Karl Friedrick que
adaptou uma direção ao Celerífero, junto com o primeiro guidão apareceu a
Draisiana que foi uma das precursoras da atual bicicleta. Esta era uma máquina
quase toda em madeira com duas rodas.
Em 1818, houve outro modelo criado por Drais que apresentou seu invento
no parque de Luxemburgo em Paris, e meses mais tarde faz o trajeto Beaum-
Dijon.
Em 1820 o escocês Kirkpatrick Macmillan adapta ao eixo traseiro duas
bielas, ligada por uma barra de ferro, isto provocou o avanço da roda traseira.
No ano de 1855 o francês Ernest Michaux inventa o pedal que foi instalado
num veículo de duas rodas traseiras e uma dianteira, os pedais eram ligados à
roda dianteira.
5
Em Paris, no ano de 1892, foram criados caminhos especiais nos parques
para os velocípedes para não se misturarem às charretes e carroças, surgindo
assim, as primeiras ciclovias. Neste mesmo ano Ernest Michaux consegue
fabricar 142 unidades em doze meses.
Em resumo, pode-se dizer que com o passar dos anos a bicicleta foi
tomando formas, cores e tamanhos diferentes, cada qual com sua importância e
sua criatividade, chegando ao Brasil em 1898.
1.2. Novos estudos e tecnologias
A partir desta data as modificações continuaram de maneira assídua e
permanecem até hoje sofrendo os mais variados aperfeiçoamentos em relação
aos materiais empregados e aos vários tipos de bicicletas produzidas.
Segundo Ferreira (1996), o ciclismo, em particular, tem se desenvolvido
notavelmente nas últimas décadas. No âmbito esportivo de alto rendimento
surgem preocupações diversas, questões como a posição tomada pelo atleta na
bicicleta, até acessórios como pedais, freios, assentos, pneus, entre outros, isso
tem intrigado pesquisadores forçando-os a buscar soluções para as perguntas
acerca das respostas fisiológicas e mecânicas para as alterações na carga de
trabalho ou na produção de energia, bem como dos efeitos da posição do corpo e
configuração do quadro sobre o desempenho.
De acordo com Oliveira (2005), a discussão sobre modelos biomecânicos
para a extremidade inferior durante o ciclismo geralmente enfocam o movimento
rítmico das pernas, operando em alguma escala “ótima” de movimento, projetada
para produzir o máximo de benefício partindo das propriedades mecânicas dos
músculos envolvidos, como exemplo, músculos esqueléticos nas extremidades
inferiores utilizados para dar potência à bicicleta.
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1.3. A bicicleta como solução para o caótico sistema de transportes, e como
meio de diminuir os problemas ambientais nas grandes cidades.
Figura 1: Foto em uma cidade que procura organizar o trânsito, incentivando a bicicleta como meio de
transporte. http://www.escoladebicicleta.com.br/topicos.html
O texto abaixo sobre a bicicleta como solução para o caótico sistema de
transportes, e como meio de diminuir os problemas ambientais nas grandes
cidades foi sintetizado a partir do site:
http://www.escoladebicicleta.com.br/historiadabicicleta.html, acessado no dia 02
de julho de 2010.
Apenas pensando nas dificuldades de deslocamento em grandes cidades,
devido ao aumento do número de automóveis com congestionamentos
constantes, bem como o grave problema ambiental causado pela emissão de
gases poluentes pelos veículos automotores.
Percebe-se que algo precisa ser feito com urgência para sanar esses
problemas, e a bicicleta pode muito bem vir a ser uma solução, para
congestionamentos, poluição ambiental e inclusive para tirar muitos cidadãos da
vida sedentária que se encontram.
Ao longo do tempo verificamos que para contornar e tentar solucionar
problemas de trânsito, devido a espaço nas grandes cidades, ou até mesmo pelo
fácil acesso devido ao custo, é incentivado o uso da bicicleta.
Em 1949, devido à sua evolução e ao fato de ocupar pouco espaço, a
bicicleta começa a ter grande importância na sociedade, principalmente na
oriental, sendo utilizada como meio de transporte individual, de cargas e até
mesmo como táxi.
7
Na década de 1960, devido à crise de petróleo surge um movimento pró-
bicicleta nos Estados Unidos, tendo-a como um meio contrário ao mundo
motorizado, ou seja, uma alternativa de transporte ecologicamente correto e ideal
para uma boa saúde.
Em alguns países como Holanda, França, Espanha e Alemanha surgiram
programas governamentais colocando bicicletas disponíveis para serem utilizadas
pela população, as bicicletas comunitárias, cada País com seu programa
específico, porém, todos incentivando o uso desse meio de transporte,
ecologicamente correto e benéfico para a saúde da população.
Um bom exemplo da utilização da bicicleta na América do Sul está em
Bogotá, na Colômbia, onde há uma boa rede de ciclovias, e cerca de 4% da
população têm a bicicleta como meio de transporte.
No Brasil pode-se citar a cidade de Joinville em Santa Catarina como um
bom exemplo da utilização da bicicleta pelos trabalhadores, porém, ela vem
perdendo espaço para as motocicletas, devido à facilidade de crédito e também
pela falta da ampliação das ciclovias.
2. A física aplicada na bicicleta
2.1. Deslocamento e velocidade angular
foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 2: Bicicleta Monark Ranger 1991, com um ponto marcado na roda para explicitar o movimento
circular.
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2.2. Movimento circular
Pode-se dizer que o ponto no pneu da bicicleta, que será chamado de A,
está em movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência, ou seja,
quando o referencial para o movimento for o seu próprio eixo (fig. 2). Quando a
velocidade permanece constante, o movimento é denominado circular uniforme.
Neste movimento, o vetor velocidade tem módulo constante, mas a direção deste
vetor varia continuamente.
O tempo que o ponto no pneu gasta para efetuar uma volta completa é
denominado período do movimento e é representado por , no SI a unidade de
medida é o segundo (s). O espaço percorrido pelo ponto, durante um período
(uma volta completa), é o comprimento da circunferência que vale ( é o raio
da trajetória, a distância do eixo O até o ponto A).
Considerando que o movimento seja uniforme, o valor da velocidade será
dado por logo,
Indicação de vídeo: Vídeo mostrando a bicicleta e suas partes, e
explicando o fato da direção do vetor velocidade variar continuamente.
http://www.youtube.com/watch?v=oj016_1a1X4
2.3 Frequência no movimento circular
A frequência é o número de voltas que o ponto no pneu dá na unidade de
tempo. Sua unidade no SI é rotações por segundo (RPS), também denominada
Hertz (Hz). É comum, também, ser medida em rotações por minuto (RPM).
2.3.1 Relação entre frequência (f ) e Período
A frequência e o período estão relacionados, basta perceber que essas
grandezas são inversamente proporcionais e, assim, podemos estabelecer a
seguinte proporção:
no tempo (um período) é efetuada uma volta;
9
na unidade de tempo, serão efetuadas f voltas (frequência),
Ou, esquematicamente: Tempo voltas
1
1 f
Então:
podendo ser
ou
Portanto, a frequência é igual ao inverso do período e o período é igual ao
inverso da frequência.
Sugestão de experimento/demonstração sobre frequência e período
2.4 Número de voltas, rotações ou frequência
Para a realização do experimento utiliza-se de uma bicicleta, marca com
fita crepe branca um ponto no pneu traseiro. Coloca-se a bicicleta sobre duas
carteiras apoiando o guidão e assento nas carteiras, ficando os pneus para cima,
livres, de forma que estejam livres para girar quando os pedais forem acionados.
O professor explica que a frequência f é o número de voltas ou rotações
que o ponto marcado no pneu(fita crepe) dá na unidade de tempo, ou seja, em um
segundo, ou em um minuto.
Em seguida o professor pede para um aluno acionar o pedal de forma
constante (sempre com a mesma velocidade).
Assim o professor pede para os demais alunos contarem o número de
voltas que o ponto no pneu deu em um minuto, verificando portanto a frequência
do ponto ou do próprio pneu em rotações por minuto RPM, marcando-se também
um ponto na coroa, pode-se verificar qual é a frequência da coroa que é a mesma
do pedal, pois o pedal é fixo na coroa. Após o professor pode pedir para que os
alunos transformem a frequência em rotações por segundo, caso os alunos
tenham dúvidas, explica-se que para isso basta dividir o resultado por 60 já que 1
minuto é 60 segundos, obtendo a frequência em RPS ou em hertz que é a
unidade utilizada no Sistema Internacional de Unidades.
10
2.5 Período
Aproveitando o experimento/demonstração o professor explica que o
tempo ∆t, que o ponto no pneu demora em dar uma volta completa é chamado de
período , assim, pode provocar os alunos para determinarem o período , com
os dados obtidos anteriormente.
Vídeo do experimento/demonstração realizada explicando que o período
é o tempo que um ponto no pneu leva para dar uma volta completa, e para
explicar que a frequência é o número de voltas dadas em 1 s ou em 1 min,
explicando os cálculos, chegando à equação.
http://www.youtube.com/watch?v=FEPJiFi_Y-M
2.6 Velocidade angular:
foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 3. Monark Ranger 1991, entre as setas, branca e preta, está o ângulo
Considerando uma partícula em movimento circular, passando pela
extremidade da seta branca, mostrada na fig. 3, que após um intervalo de tempo
∆ , passa pela extremidade da seta preta na referida figura. Neste intervalo de
11
tempo ∆ , o raio que acompanha a partícula em seu movimento descreve o
ângulo .
A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo
gasto para descrevê-lo é denominada velocidade angular da partícula.
Representando a velocidade angular por ω tem-se:
A velocidade definida pela relação que já é conhecida, costuma ser
denominada velocidade linear, para distinguí-la da velocidade angular que acaba
de ser definida. Observe que as definições de e ω são semelhantes: a
velocidade linear ( ) se refere à distância percorrida na unidade de tempo,
enquanto a velocidade angular (ω) se refere ao ângulo descrito na unidade de
tempo.
A velocidade angular fornece uma informação sobre a rapidez com que um
corpo está girando. De fato, quanto maior for a velocidade angular de um corpo,
maior será o ângulo que ele descreve por unidade de tempo, isto é, ele estará
girando mais rapidamente.
Como os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos, a
velocidade angular (ω) poderá ser medida em graus/s ou em rad/s.
Uma maneira de calcular a velocidade angular é considerar a partícula
efetuando uma volta completa. Neste caso, o ângulo descrito será e
o intervalo de tempo será um período, isto é, . Logo,
2.7 Relação entre velocidade linear ( ) e velocidade angular (ω)
No movimento circular uniforme a velocidade linear pode ser obtido pela
relação:
ou
12
Como
é a velocidade angular, conclui-se que:
Esta equação permite calcular a velocidade linear , quando é conhecida a
velocidade angular ω e o raio da trajetória. Deve se observar que ela só é
válida se os ângulos estiverem medidos em radianos.
Sugestão de experimento/demonstração sobre velocidade linear e
velocidade angular:
Pedir para os alunos formarem grupos de quatro alunos. Se houver
possibilidade cada grupo pode estar com uma bicicleta e realizar o experimento.
Mas devido às duas aulas de física semanais, na rede pública, sugiro a
demonstração utilizando uma bicicleta.
Levando para a sala de aula uma bicicleta, marca-se com fita crepe branca
um ponto no pneu traseiro da mesma, e também com fita crepe branca um ponto
em um dos raios da bicicleta próximo do eixo. Primeiramente é interessante o
professor questionar os alunos sobre o que ocorrerá, verificando o conhecimento
que os alunos já têm sobre o assunto, assim o professor pergunta aos alunos qual
dos dois pontos dará mais voltas em um mesmo intervalo de tempo quando
alguém pedalar.
De posse das respostas, passa-se para o experimento/demonstração.
Coloca-se a bicicleta com o assento e o guidão apoiado na mesa, neste
momento pede para que um aluno do grupo faça as anotações, um aluno faça a
cronometragem, um aluno conte o número de voltas completas que o ponto do
pneu efetua e o outro aluno conte o número de voltas completas que o ponto
próximo ao eixo efetua, cada grupo define durante quanto tempo fará a contagem
das voltas.
É interessante que cada grupo opte por tempos diferentes, a experiência
me faz sugerir que o professor desenhe uma tabela no quadro negro com os
dados a serem anotados pelos alunos, como o quadro a seguir:
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Ponto no pneu Ponto próximo ao eixo
Grupos N° de voltas Tempo N° voltas/Tempo N° de voltas Tempo N° voltas/Tempo
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
Grupo 5
Grupo 6
Grupo 7
Grupo 8
Definidos os tempos que cada grupo cronometrará, o professor movimenta
o pedal de forma constante até que todos os grupos tenham feito a
cronometragem. É importante que o professor preencha a tabela no quadro com
os dados de todos os grupos, e após se faça a discussão sobre os resultados
obtidos e ver a que conclusão se chega sobre qual o ponto que dá o maior
número de voltas, o ponto no pneu, ou o ponto próximo ao eixo.
O esperado é que após as discussões se chegue à conclusão que a
velocidade angular não depende do raio, pois é a mesma para ambos os pontos,
ou seja, que ambos os pontos dão o mesmo número de voltas na unidade de
tempo, portanto têm a mesma frequência.
Após o professor pode pedir para que os alunos calculem a velocidade
angular de cada um dos pontos, sendo necessário explica-se que o ângulo ∆ϴ em
uma volta completa é 360º ou , e como a velocidade angular é dada por
, onde é o tempo, para obter a velocidade angular basta multiplicar o
número de voltas pelo ângulo de uma volta e após dividir pelo tempo em
segundos que é a medida utilizada no Sistema Internacional de unidades,
obtendo-se assim a velocidade angular.
Também sugiro que seja pedido aos alunos para calcularem a
velocidade linear que o ponto no pneu e o ponto próximo ao eixo estão se
movimentando, sendo
, neste caso em uma volta a distância é ,
14
utilizando o valor de , e transformando a medida do raio R, em metros os
alunos podem calcular a velocidade linear de cada um dos pontos apenas
multiplicando o valor de obtido, pelo número de voltas, dividir pelo tempo,
após isto é interessante fazer a discussão sobre o que ocorre com o valor da
velocidade angular em cada ponto e com a velocidade linear.
Vídeo do experimento/demonstração sobre a velocidade angular e linear,
explicando um exemplo: http://www.youtube.com/watch?v=UXFKyOvURDU
2.8 Transmissão do movimento circular
Na bicicleta, que é o objeto de estudo deste trabalho, ocorre a transmissão do
movimento circular por acoplamento de engrenagens (coroa e catraca) ligadas por uma
corrente fig. 4, e também o acoplamento de polias (catraca e roda traseira) num mesmo
eixo, o que ocorre entre a catraca e a roda traseira da bicicleta.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/Coroa_e_catraca_bicicleta.jpg
Figura 4: Sistema de transmissão de movimento, propulsor.
Na fig. 4, observa-se que a coroa e a catraca estão ligadas por uma
corrente (acoplamento), observa-se também, que eles podem adquirir
movimentos circulares uniformes com velocidades angulares e frequências
diferentes.
Para as extremidades da seta preta (1) na catraca e amarelo (2) na coroa,
temos:
ficando;
1 1 = 2 2
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Como < , concluímos que a polia menor (a catraca) possui
frequência maior.
Exemplo 1: Na bicicleta com coroa e catraca iguais às da figura 4, sendo o
raio da coroa = 12 cm e o raio da catraca = 4 cm. Supondo-se que o
ciclista efetua com regularidade 2 = 60 rpm nos pedais (coroa), qual será a
frequência na catraca? Sendo o raio das rodas da bicicleta igual a 28 cm, qual a
velocidade linear adquirida? Qual a velocidade angular em um ponto do pneu?
Resolução:
1 1 = 2 2 1.4 = 60.12 1 = 180 rpm ou 1 = 3rps (Hertz).
A velocidade da bicicleta é igual à velocidade da catraca, assim como:
1 = 3 rps ou 3 Hertz
sendo,
Sugestão de experimento/demonstração sobre a transmissão do
movimento circular.
Relação entre a catraca e a coroa:
Dividindo os alunos em grupos de quatro alunos. Novamente com a
bicicleta na sala de aula, marca-se com fita crepe um ponto na coroa próximo à
corrente e também um ponto na catraca próximo à corrente. Primeiramente
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pergunta-se aos alunos qual o ponto que dará mais voltas no mesmo intervalo de
tempo, o ponto marcado na coroa ou o ponto marcado na catraca, ou se a ambos
darão o mesmo número de voltas. Após as respostas dos alunos, passa-se para a
demonstração.
Para facilitar o trabalho é bom passar a seguinte tabela para os alunos
anotarem os dados:
Ponto na coroa Ponto na catraca
Grupos 1 1 2 2
Grupo 1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
Grupo 5
Grupo 6
Grupo 7
Grupo 8
Após o professor pedala com velocidade constante a bicicleta durante um
minuto, um aluno verifica(conta) a frequência f1 da coroa e outro verifica a
frequência f2, outro aluno faz as anotações e mede os valores de 1 na coroa e de
2 na catraca.
Com os dados procede-se uma discussão, para concluir o que ocorre com
a frequência da coroa e da catraca.
Na sequência sugiro que o professor peça para os alunos determinarem o
período , do ponto na coroa e na catraca, bem como para calcularem a
velocidade angular e linear em cada ponto.
3. Conservação da energia mecânica no movimento de rotação
Para mostrar a conservação da energia mecânica no movimento de
rotação, será realizado um experimento. Os alunos serão divididos em seis
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grupos de cinco alunos, sendo que um aluno de cada grupo utilizará um dos
seguintes equipamentos para descerem de uma mesma rampa(ou descida), ao
mesmo tempo. Uma bicicleta aro 26, uma bicicleta aro 14, um patinete, um roller,
um skate e um patins. Os alunos descerão ao mesmo tempo e sem impulso inicial
a rampa (descida), cada grupo observará o que ocorre, um aluno de cada grupo
cronometrará o tempo do colega do seu grupo, dois alunos medirão a distância
percorrida pelo aluno de seu grupo, e um aluno fará as anotações.
O experimento poderá ser repetido, e também será feito a descida com
apenas dois equipamentos cada vez, para ser possível observar o que ocorre
com detalhes.
3.1 Definição da energia cinética rotacional e do momento de inércia.
Imaginemos um corpo rígido girando com velocidade angular ω em torno
de um eixo fixo, em um certo referencial inercial.
foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 5. Bicicleta Monark Ranger 1991, com um ponto branco representando uma partícula no movimento de rotação.
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Cada partícula deste corpo em rotação tem determinada energia cinética.
Uma partícula de massa , à distância do eixo de rotação, descreve uma
circunferência de raio , com velocidade angular ω em torno deste eixo e tem
velocidade linear . Portanto, sua energia cinética será
.
A energia cinética do corpo será a soma das energias cinéticas de suas
partículas.
Se o corpo for rígido, como estamos supondo, tem o mesmo valor para
todas as partículas, no caso da roda da bicicleta o raio é o mesmo em qualquer
ponto da roda, assim a energia cinética do corpo em rotação, , pode ser escrita
como
.
O termo é o produto da massa total das partículas pelo quadrado de
suas respectivas distâncias ao eixo de rotação. Se representarmos esta grandeza
por , então: , esta equação é utilizada para calcular a inércia rotacional
de um aro de massa e raio , em relação ao eixo do cilindro.
Denomina-se momento de inércia ou inércia rotacional do corpo, em
relação ao eixo de rotação considerado. Observe-se que o momento de inércia
de um corpo depende do eixo em torno do qual ele está girando e, também,
da forma do corpo e da maneira como sua massa está distribuída. O momento de
inércia tem as dimensões , sendo usualmente expresso em kg.m2 ou g.cm2.
Em termos do momento da inércia, pode-se expressar a energia cinética do
corpo rígido em rotação como:
.
Este resultado é análogo à expressão para a energia cinética de translação
de um corpo,
. Como a velocidade angular é análoga à velocidade
linear , o momento de inércia, ou inércia rotacional é análogo à massa, ou
inércia de translação, . A diferença é que a massa de um corpo não depende
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de sua localização, já o momento de inércia de um corpo depende do eixo em
torno do qual ele está girando.
Sendo as equações da inércia rotacional , em relação ao eixo que passa
pelo centro de massa:
a) Aro em torno do eixo do cilindro.
Foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 6. Aro cilíndrico, Como a roda da bicicleta.
b) Cilindro anular (ou anel) em torno do eixo do cilindro.
foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 7. Aro anular. Possui o raio R (raio maior) e o raio r (raio menor interno).
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c) Cilindro sólido em torno do eixo do cilindro.
foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 8. Cilindro sólido, independe do comprimento .
d) Esfera sólida em torno de qualquer diâmetro.
foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 9. Esfera sólida.
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e) Casca esférica delgada em torno de qualquer diâmetro.
Foto: Eflem Barnabé de Medeiros
Figura 10. Casca esférica.
A equação que talvez mais se aproxime do momento de inércia das rodas
da bicicleta é a primeira, o aro em torno do eixo , inércia rotacional ou
momento de inércia é igual à massa multiplicada pelo seu raio ao
quadrado.
As rodas de bicicletas, rollers, patins, patinete e skate são objetos mais
complexos que os apresentados, sendo difícil determinar teoricamente suas
inércias de rotação. Apesar disso, analisando as fórmulas de momentos de inércia
apresentadas, podemos ter uma ideia das diferenças entre as inércias rotacionais
desses diferentes objetos.
Por exemplo, a roda de uma bicicleta possui massa maior que a roda de
um skate. Além disso, sua massa se distribui mais distante do eixo de rotação da
roda. Esses dois fatores fazem com que a inércia rotacional de uma roda de
bicicleta seja bem maior que a de uma roda de skate.
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Exemplos:
1) Um corpo de massa m desliza, sem impulso inicial, sobre um plano
inclinado, sem atrito, conforme a figura.
h
Solo
Figura 11. Plano inclinado, com o corpo de massa m.
No topo do plano inclinado temos apenas a energia potencial , e no
momento que o corpo chega no solo temos a energia cinética
, como não
houve impulso inicial
, assim:
(Observe que independe da massa do corpo)
e
2) Consideremos um aro de cilindro, de massa e raio , rolando para baixo,
sem deslizar, em um plano inclinado. Determinar a velocidade do seu centro de
massa quando o cilindro chegar à base do plano.
A situação está ilustrada na Fig. 12. Podemos usar a conservação da
energia para a resolver este problema. O cilindro está inicialmente em repouso e,
ao rolar sobre o plano inclinado, ele perde uma quantidade Mgh de energia
potencial, sendo h a altura do plano. A energia cinética que ele adquire é dada
por
,
23
h
solo
Figura 12. Plano inclinado com um aro no topo.
Onde v é a velocidade linear do centro de massa e ω é a velocidade
angular em torno do centro de massa, no instante em que o cilindro chega ao
solo.
Temos, portanto, a relação
,
em que e
.
Então,
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2) Analisemos agora um problema um pouco mais geral para termos uma
noção mais exata da influência da inércia rotacional , na velocidade final,
basta verificar o que ocorre na sequência abaixo:
sendo
Como, para corpos simétricos com respeito ao eixo de rotação, o momento
de inércia, em geral, é proporcional a mr2, podemos escrever, , onde é
o coeficiente de proporcionalidade (por exemplo, para o aro , e para o
cilindro maciço,
).
Podemos cancelar as massas, e os raios, e ficamos com:
2v=+c
gh
1
2
25
Observe que quanto maior , menor será a velocidade, ou melhor, quanto
maior o momento de inércia, menor será a velocidade adquirida.
Observe também que o resultado não depende das massas, nem dos
raios. Podemos concluir então que quanto maior for a inércia rotacional, menor
será a velocidade final de um corpo que rola em um plano inclinado sem deslizar,
e quanto menor a inércia rotacional, maior será a velocidade final do corpo que
rola no plano inclinado sem deslizar.
Assim, o cilindro maciço sempre iria ganhar do aro em uma corrida em que
ambos rolam ladeira abaixo.
1) Observe a figura 12, no exemplo anterior. Se no topo do plano inclinado estiver
um ciclista sobre a sua bicicleta, massa total ciclista e bicicleta = , a massa das
duas rodas com pneus da bicicleta = , a gravidade = e a altura do plano
inclinado = .
Temos:
É interessante notar que quanto maior a massa das rodas, menor será a
velocidade da bicicleta.
26
Se pudermos aproximar as rodas dos diferentes objetos (rollers, patins,
patinete e skate) como aros, semelhantemente ao que fizemos com os pneus da
bicicleta, podemos aplicar a solução do exemplo acima. E assim, verificamos que
quanto menor a massa da roda, maior será a velocidade.
Dessa maneira, na corrida experimental proposta aos alunos, sempre
ganhará quem tiver com o objeto com rodas de menor massa.
4. Momento Angular
A velocidade angular e o momento angular são paralelos, como é o
caso da bicicleta, o momento angular é dado por , em que é o momento
angular, é a inércia rotacional, e a velocidade angular.
Com relação ao momento angular os alunos serão questionados sobre o
que faz com que seja mais fácil ficar em equilíbrio sobre uma bicicleta em
movimento, do que sobre uma bicicleta parada.
Após coletadas as respostas, serão feitos experimentos para verificar o que
faz com que seja mais fácil ficar em equilíbrio sobre a bicicleta em movimento do
que sobre a bicicleta parada.
Será que se subirmos em uma rampa, e subirmos na bicicleta
conseguiremos descer sobre a bicicleta (em equilíbrio), mas com os dois pneus
freados, deslizando?
Será que se subirmos em uma bicicleta e pedalarmos a mesma sobre uma
esteira em uma academia conseguiremos permanecer em equilíbrio? Neste caso
a bicicleta estará parada, mas as rodas-pneus estarão fazendo o movimento de
rotação.
Fazendo os dois experimentos espera-se deixar claro que o que faz com
que seja fácil permanecer em equilíbrio sobre a bicicleta é o movimento de
rotação das rodas-pneus.
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Podem-se utilizar outros experimentos sobre momento angular, utilizando
uma roda de bicicleta, girando-a e segurando em um prolongamento do eixo, aí
sentar-se em uma cadeira giratória e observar o que ocorre.
Sentar-se em uma cadeira giratória de pernas e braços abertos e pedir
para alguém girar, quando em movimento, fechar os braços e pernas, observar o
que ocorre, e novamente abrir braços e pernas, observando o que ocorre
novamente.
Convém observar, porém, que tanto no caso do equilíbrio sobre uma
bicicleta quanto nos casos da cadeira giratória, o que ocorre depende da
conservação do momento angular, pois o momento angular se conserva quando
não há torque sobre o sistema.
Vídeo do experimento/demonstração, de um aluno pedalando uma bicicleta
numa esteira, na Academia Corpus, comprovando que o que facilita o
equilíbrio é a rotação das rodas da bicicleta:
http://www.youtube.com/watch?v=b6V4wPk4i
5. Torque
Vamos estudar agora o caso particular de um corpo rígido, que apresente
apenas o movimento de rotação em torno de um eixo fixo, em um referencial
inercial. Quando se aplica um torque a uma das partículas do corpo rígido,
como todas as partículas de um corpo rígido mantêm uma relação espacial fixa
relativamente às demais partículas que constituem o corpo, pode-se admitir que o
torque atue no corpo rígido como um todo. Em geral, o vetor não estará dirigido
ao longo do eixo em torno do qual o corpo pode girar livremente.
Figura 13. Representação esquemática dos pés de vela de uma bicicleta, e da força
sendo aplicada pelo pé do ciclista.
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Aplicando-se uma força no pedal da bicicleta, em relação ao pé de vela
(raio ), pode-se dizer que o torque que atua no pedal e que fará movimentar a
bicicleta é dado pela equação (Força aplicada sob um ângulo de 90°),
ou pela equação .
Exercício resolvido:
As rodas de uma bicicleta giram livremente em torno de seus eixos.
Aplicando uma força de 100N no pedal, e sabendo-se que o pé de vela mede 25
cm. Determine o torque aplicado “à roda traseira” da bicicleta em cada caso:
a) O ciclista aplica a força em pé, ângulo ;
Conforme se observa na figura 13.
b) O ciclista aplica a força sob o ângulo , quando encontra-se
sentado no selin.
Figura 14. Representação esquemática dos pés de vela de uma bicicleta, e da força
sendo aplicada pelo pé do ciclista, quando o mesmo encontra-se sentado no selin.
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6. Potência, velocidade e torque
A expressão para a potência no movimento rotacional é análoga à
expressão utilizada para o movimento de translação.
Para o movimento de translação:
Como
e
Considerando o movimento de rotação em que :
Portanto para a bicicleta pode-se escrever:
Na translação, é a potência, é a força e é a velocidade linear.
Na rotação é a potência, é o torque e é a velocidade angular.
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7. Bibliografia
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