Semana 2 [1/24]
Derivadas
August 16, 2007
Derivadas
Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [2/24]
Máximos y mínimos locales
Mínimo localx̄ es un mínimo local de la función f si existe ε > 0 tal que
f (x̄) ≤ f (x) ∀x ∈ (x̄ − ε, x̄ + ε).
Análogamente:Máximo local → (f (x̄) ≥ f (x)).
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Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [3/24]
Regla de Fermat
TeoremaSi x̄ ∈ (a, b) es mínimo local o máximo local de una función derivablef : (a, b) → R, entonces f ′(x̄) = 0.
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Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [4/24]
Ejemplo
Queremos diseñar un cilindro de radio r y altura h cuyo volúmen V = πr2hsea máximo, para una superficie total dada S = 2πr2 + 2πrh.
h
r
Volumen del cilindro:
V (r ) = πr2(
S2πr
− r)
=Sr2
− πr3.
Resolvemos V ′(r ) = 0, es decir
S2− 3πr2 = 0
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Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [5/24]
Ejemplo
Solución positiva:r ∗ =
√
S/6π.
Volumen: V (r ∗) =√
S3/54π.
ObservaciónNo podemos asegurar que la solución entregue el volumen máximo.Podemos mirar el gráfico aproximado de V (r ):
r
V(r)
r*
V*
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Teorema del valor medio Semana 2 [6/24]
Teorema del valor medio
TVMSean f , g : [a, b] → R funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), cong(b) 6= g(a) y g ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b).Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)=
f ′(c)
g′(c).
En particular, si g(x) = x se tiene
f (b) − f (a)
b − a= f ′(c).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [7/24]
Regla de l’Hôpital
Útil para el cálculo de límites de la forma 0/0 o ∞/∞.
TeoremaSean f , g : (a, b) → R derivables en (a, b), tales que
limx→a+
f (x) = limx→a+
g(x) = L
con L = 0 o L = ∞, y g ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces
limx→a+
f (x)
g(x)= lim
x→a+
f ′(x)
g′(x)(1)
siempre que este último límite exista.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [8/24]
Regla de l’Hôpital
También se aplica para límites con x → a−, x → a, e incluso para límites conx → ∞:
Si limx→∞ f (x) = limx→∞ g(x) = 0 o ∞ y g ′(x) 6= 0 para x suficientementegrande,
limx→∞
f (x)
g(x)= lim
y→0+
f (1/y)
g(1/y)
= limy→0+
−f ′(1/y)/y2
−g′(1/y)/y2
= limy→0+
f ′(1/y)
g′(1/y)
= limx→∞
f ′(x)
g′(x),
siempre que este último límite exista.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [9/24]
Regla de l’Hôpital: Ejemplos
limx→0(1 − cos(x))/x2 = 1/2.Es más,
limx→0
cos(x) − 1 + x2/2x4 =
124
.
limx→0
exp(x) − 1 − xx2 =
12
.
limx→1
ln(x) − 1 + xarctan(x) − π/4
= 4.
limx→∞
ln(1 + exp(x)) sin(1/x) = 1.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [10/24]
Regla de l’Hôpital: Ejemplos
f : R→ R posee asíntota y = mx + n en ∞, si existen
m = limx→∞
f (x)/x n = limx→∞
f (x) − mx .
Si limx→∞ f ′(x) existe, entonces
m = limx→∞
f ′(x).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [11/24]
Derivadas y monotonía
TeoremaSea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Si f ′(x) ≥ 0 (resp. ≤ 0) para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente (resp.decreciente) en [a, b].
Si la desigualdad es estricta, la monotonía es igualmente estricta.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [12/24]
Derivadas y convexidad
f : [a, b] → R se dice convexa si las rectas secantes al gráfico de la funciónquedan por encima del gráfico, vale decir
f (z) ≤ f (x) +
[
f (y) − f (x)
y − x
]
(z − x) ∀ x < z < y . (2)
f(x)
f(y)
x z y
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [13/24]
Derivadas y convexidad
TeoremaSea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Entonces f es convexa en [a, b] ssi f ′ es creciente en (a, b).
Análogamente: f cóncava si
f (z) ≥ f (x) +
[
f (y) − f (x)
y − x
]
(z − x) ∀ x < z < y . (3)
f cóncava ssi f ′ es decreciente.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [14/24]
Derivadas de orden superior
Son útiles para construir aproximaciones polinomiales de la función, másprecisas que la aproximación afín dada por la derivada primera.
Se definen inductivamente como:
f [k ](x̄) := (f [k−1])′(x̄).
f : (a, b) → R es de clase Ck(a, b) si es k veces derivable en todo puntodel intervalo (a, b), y la función f [k ] : (a, b) → R es continua.
Clase C∞, si lo anterior es cierto ∀k ∈ N.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [15/24]
Desarrollos limitados
Desarrollo limitadof : (a, b) → R posee un desarrollo limitado de orden k en torno al puntox̄ ∈ (a, b) si existen constantes a0, . . . , ak ∈ R tales que
f (x) = a0 + a1(x − x̄) + a2(x − x̄)2 + · · · + ak(x − x̄)k + o((x − x̄)k).
con limu→0 o(uk)/uk = 0.
Esto equivale a
f (x̄ + h) = a0 + a1h + a2h2 + · · · + akhk + o(hk).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [16/24]
Desarrollos limitados
TeoremaSea f : (a, b) → R, k-veces derivable en x̄ ∈ (a, b), y sea
T kf (h) := f (x̄) + f ′(x̄)h +
f ′′(x̄)
2h2 + · · · +
f [k ](x̄)
k !hk
su desarrollo de Taylor de orden k en torno a x̄ .
Entoncesf (x) = T k
f (x − x̄) + o((x − x̄)k)
con limh→0 o(hk)/hk = 0.
AtenciónLa recíproca no es cierta.Que una función admita un desarrollo limitado de orden k en x̄ no implica laexistencia de f [k ](x̄).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [17/24]
Desarrollos limitados: Ejemplos
Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de exp:
exp(x) = 1 + x +x2
2+ · · · +
xk
k !+ o(xk).
Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de − ln(1 − x):
− ln(1 − x) = x +x2
2+
x3
3+ · · · +
xk
k+ o(xk).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [18/24]
Desarrollos limitados: Ejemplos
Los desarrollos limitados se pueden sumar y multiplicar. Consideremos
sin(x) = x − x3/6 + o(x4)
exp(−x) = 1 − x + x2/2 − x3/6 + o(x3).
Como o(xm) es también o(xk) si k ≤ m,
exp(−x) + sin(x) = 1 +x2
2−
x3
3+ o(x3) + o(x4) = 1 +
x2
2−
x3
3+ o(x3).
Además xm = o(xk) si m > k y también f (x)o(xk) = o(xm+k) siempre quelimx→0 |f (x)/xm| < ∞, entonces
sin(x) exp(−x) = x − x2 +x3
3−
x5
12+
x6
36+ o(x4) exp(−x) + o(x3) sin(x)
= x − x2 +x3
3+ o(x4).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [19/24]
Desarrollos limitados: Ejemplos
Los desarrollos limitados también se pueden componer.
Para obtener un desarrollo limitado de orden 2 de f (x) = ln[1 + exp(x)] entorno a x̄ = 0, usamos el desarrollo exp(x) = 1 + x + x2/2 + o(x2) y
f (x) = ln[2 + x + x2/2 + o(x2)].
Por otro lado, dado que
ln[2 + z] = ln 2 +z2−
z2
8+ o(z2)
reemplazando z = x + x2/2 + o(x2) se obtiene
f (x) = ln 2+[x + x2/2 + o(x2)]
2−
[x + x2/2 + o(x2)]2
8+o([x+x2/2+o(x2)]2).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [20/24]
Desarrollos limitados: Ejemplos
Finalmente, identificamos los coeficientes de las potencias de x de gradomenor o igual que 2, el resto son de orden o(x2).
ln[1 + exp(x)] = ln 2 +x2
+x2
8+ o(x2).
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [21/24]
Caracterización de puntos críticos
ProposiciónSea f : (a, b) → R, k veces derivable en x̄ ∈ (a, b), conf ′(x̄) = · · · = f [k−1](x̄) = 0 y f [k ](x̄) 6= 0, k ≥ 2. Entonces hay 3 casosposibles:
Si k es par y f [k ](x̄) > 0, x̄ es un mínimo local.
Si k es par y f [k ](x̄) < 0, x̄ es un máximo local.
Si k es impar, x̄ es un punto de inflexión.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [22/24]
Fórmula de Taylor
El siguiente resultado permite medir el error que se comete al usar undesarrollo de Taylor:
TeoremaSea f : (a, b) → R, (k + 1)-veces derivable en (a, b).Sea T k
f (·) el polinomio de Taylor de orden k en x̄ ∈ (a, b).
Entonces, para todo x > x̄ (resp. x < x̄) existe ξ ∈ (x̄ , x) (resp. ξ ∈ (x , x̄)) talque
f (x) = T kf (x − x̄) +
f [k+1](ξ)
(k + 1)!(x − x̄)k+1. (4)
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [23/24]
El método de Newton
Consideramosf (x) = 0.
f : [a, b] → R derivable tal que f (a)f (b) < 0.
Sabemos que existe una solución x∗.
Si reemplazamos f por su aproximación afín en torno a x0,
f (x0) + f ′(x0)(x − x0) = 0.
Y f ′(x0) 6= 0,x1 = x0 − f (x0)/f ′(x0)
es una nueva aproximación de x∗.
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Aplicaciones de la derivada Semana 2 [24/24]
El método de Newton
Esto nos conduce a un procedimiento iterativo:
xn+1 = xn − f (xn)/f ′(xn),
mientras f ′(xn) 6= 0.
Este es el Método de Newton .
TeoremaSea f : (a, b) → R una función de clase C2 y supongamos que x∗ ∈ (a, b) esuna solución de la ecuación f (x∗) = 0 tal que f ′(x∗) 6= 0.Entonces existen constantes ǫ > 0 y M > 0 tales que para todo punto departida x0 ∈ Iǫ := (x∗ − ǫ, x∗ + ǫ) el método de Newton está bien definido yconverge hacia x∗ con
|xn+1 − x∗| ≤ M |xn − x∗|2.
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