Derivate und BewertungDerivate und Bewertung
Dr. Daniel Sommer
Universität HohenheimUniversität HohenheimWintersemester 2008/2009
In diesem Modul wird diskutiert
• warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kann,
• warum ich Lust habe, diese Vorlesung nochmals zu halten,
Modul I
Einführung
© Dr. Daniel Sommer 2
nochmals zu halten,
• welche Inhalte Sie in dieser Vorlesung erwarten,
• was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erwarte,
• wie die Vorlesung organisiert ist.
Einführung
… warum diese Vorlesung für Sie … warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kannsinnvoll sein kann
Quelle: BIS
Eine moderne Ökonomie ohne Derivate ist undenkbar!
© Dr. Daniel Sommer 3
undenkbar!
Die meisten Derivate werden OTC gehandelt.
Zum OTC-Volumen kommt das Volumen börsengehan -
… warum diese Vorlesung für Sie … warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kannsinnvoll sein kann
© Dr. Daniel Sommer 4
börsengehan -delter Derivate hinzu.
Börsen sind besonders stark im Op-tionshandel.
Eine Fülle von
… warum diese Vorlesung für Sie … warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kannsinnvoll sein kann
Erfahrene Berater (m/w) Advisory Financial Services
Financial Risk Management (- Kredit-, Markt-Risikomanagement, Operational-, Liquiditäts-Risiko-management, Risikoberichtserstattung, Economic Capital Management, Limitsysteme , Risiko-Strategie, -Organisation, -Prozesse, Risikomessmethodik, Derivatebewertung, IT-Unterstützung
© Dr. Daniel Sommer 5
Eine Fülle von interessanten Jobs wartet auf Sie
Accounting Advisory Services (- IFRS-Conversions, Quality Close, - Budget, Forecasting & Financial Modelling, Accounting Support)
Consultant Investment Banking
Exotic Interest Rate Derivatives developer/analyst
Eine Fülle von
… warum diese Vorlesung für Sie … warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kannsinnvoll sein kann
Referent/in Risikomanagement
Leading Austria House is looking for credit Quants/
Risikomanager/in Strategische Risikosteuerung
© Dr. Daniel Sommer 6
Eine Fülle von interessanten Jobs wartet auf Sie
Leading Austria House is looking for credit Quants/Front Office
Mitarbeiter/in Derivatives Settlement
Risk Analyst
Senior Quantitative Analyst - Derivatives
• mein Wunsch, Sie an meiner Erfahrung teilhaben zu lassen:
• 1996 Promotion in Bonn im Bereich Zinsstrukturmodelle
• 1996 – 1998 Tätigkeit im Handelsbereich einer deutschen Großbank
• 1998 bis heute Mitglied der Financial Risk Management Group bei KPMG, seit 2003 als Partner zuständig für Risk Methodology
… warum ich Lust habe, diese Vorlesung … warum ich Lust habe, diese Vorlesung zu haltenzu halten
© Dr. Daniel Sommer 7
bei KPMG, seit 2003 als Partner zuständig für Risk Methodology
• die Dynamik auf dem Gebiet der Derivate – sowohl in der Praxis als auch in der Wissenschaft,
• der unmittelbare Awendungsbezug der Theorie,
• meine Erfahrungen aus Vorstellungsgesprächen und bei der Arbeit mit Berufsanfängern,
• meine ständige Suche nach neuen Talenten für unsere Firma.
In diesem Modul wird diskutiert
Modul II• was man unter Derivaten versteht,
• welche ökonomischen Prinzipien der Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,
• was man unter Zero-Coupon Bonds, Arbitrage und
… welche Inhalte Sie erwarten… welche Inhalte Sie erwarten
© Dr. Daniel Sommer 8
• was man unter Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Futures versteht und wie man sie bewertet,
• was eine Zinskurve ist, welche verschie-denen Darstellungen der Zinskurve es gibt und wie man sie ineinander überführt,
• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie man sie einsetzt.
Arbitrage und nicht-optionale Zinsderivate
In diesem Modul wird diskutiert
Modul III• was man unter Aktienoptionen versteht,
• was man aus statischen Portfoliostrategien über die Bewertung von Optionen lernen kann,
… welche Inhalte Sie erwarten… welche Inhalte Sie erwarten
© Dr. Daniel Sommer 9
• wie man die Konzepte der Duplikation und der No-Arbitrage auf dynamische Wertpa-piermärkte übertragen kann,
• wie man ein dynamisches Bewertungs-modell für Optionen konstruiert und darin Optionen bewertet,
• was man unter Zustandspreisen versteht und wie man damit Derivate bewertet.
Aktienoptionen
In diesem Modul wird diskutiert
Modul IV• wie man einen Überblick über die Welt der
exotischen Optionen gewinnen kann,
• ob und wie man einige exotische Optionen in den bisher diskutierten Modellen bewer-
… welche Inhalte Sie erwarten… welche Inhalte Sie erwarten
© Dr. Daniel Sommer 10
ten kann,
• welche besonderen Charakteristika be-stimmte exotische Optionen aufweisen und welche Konsequenzen dies für das Hedging hat,
• wie man Dividenden in das bisherige Bewertungsmodell einbauen kann.
Besondere Bewertungsal-gorithmen:
Exotische Optionen und Dividenden
In diesem Modul wird diskutiert
Modul V• was man unter Zinsparität versteht,
• was Zins-Währungsswaps sind, wie man sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-
… welche Inhalte Sie erwarten… welche Inhalte Sie erwarten
© Dr. Daniel Sommer 11
sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-Swaps spielen,
• was Währungsoptionen sind und wie man sie bewertet,
• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind.
Währungs-derivate
In diesem Modul wird diskutiert
Modul VI
• warum Sie in dieser Vorlesung zwar
… welche Inhalte Sie erwarten… welche Inhalte Sie erwarten
© Dr. Daniel Sommer 12
hoffentlich viel gelernt haben, aber dennoch der Satz gilt:
„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“
Ausblick
• Begeisterung für Derivate und Finanzmärkte,
• Freude am Knobeln
• die Bereitschaft, über die Vorlesungsstunden hinaus intensiv am Stoff
… was ich von Ihnen in dieser Vorlesung … was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erwarteerwarte
© Dr. Daniel Sommer 13
• die Bereitschaft, über die Vorlesungsstunden hinaus intensiv am Stoff zu arbeiten,
• den unbedingten Willen, sich durchzubeißen,
• Grundlagenkenntnisse in linearer Algebra und Analysis (im wesentlichen Abiturniveau).
• geplante Vorlesungstermine:
… wie die Vorlesung organisiert ist… wie die Vorlesung organisiert ist
Monat DatumOktober 17.10.; 31.10.November 21.11.; 28.11.Dezember 12.12.Januar 9.1.; 23.1.
© Dr. Daniel Sommer 14
• Nach jeder Vorlesung besteht bis 18:00 Uhr Gelegenheit für Fragen.
• Die Vorlesung wird begleitet von Felix Prothmann ([email protected])
• Die Folien zur Vorlesung werden nach jeder Vorlesung über den Lehrstuhl von Prof. Dr. Burghof per e-mail zur Verfügung gestellt.
Januar 9.1.; 23.1.Februar 6.2.
• was man unter Derivaten versteht,
• welche ökonomischen Prinzipien der Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,
• was man unter Zero-Coupon Bonds,
In diesem Modul wird diskutiert
Modul II
Arbitrage und nicht -optionale
© Dr. Daniel Sommer 15
• was man unter Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Futures versteht und wie man sie bewertet,
• was eine Zinskurve ist, welche verschiednen Darstellungen der Zinskurve es gibt und wie man sie ineinander überführt,
• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie man sie einsetzt.
nicht -optionale Zinsderivate
Definition
… was man unter einem Derivat versteht… was man unter einem Derivat versteht
© Dr. Daniel Sommer 16
Definition gemäß IAS 39
Quelle: IASCF
No-Arbitrage und
… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten
Herr Professor P trifft seinen Stu-denten S an der Bushaltestelle. Da der Bus nicht kommt, macht S einen Vorschlag: „Herr Professor, lassen Sie uns folgendes Spiel spielen: Sie stellen mir eine Frage. Wenn ich sie
© Dr. Daniel Sommer 17
und Duplizierung:
Ein Rätsel!
stellen mir eine Frage. Wenn ich sie nicht beantworten kann, zahle ich Ihnen 1€. Dann stelle ich Ihnen eine Frage. Wenn Sie diese nicht beant-worten können, zahlen Sie mir 1€.“ „Nein,“ sagt P, „das ist nicht fair. Ich bin Professor, Sie Student. Wenn ich einen Fehler mache, zahle ich Ihnen 1,20€.“ Als der Bus kommt, hat P kein Geld mehr, um eine Fahrkarte zu kaufen. Wieso?
No-Arbitrage und
… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten
Definition: Zero-Coupon Bond
),( 10 ttB
0t 1t 2t
Preis zum Zeitpunkt t0 eines Euro ausgezahlt zum Zeitpunkt t1
© Dr. Daniel Sommer 18
und Duplizierung:
Eine einfache Anwendung
),( ji ttB Preis zum Zeitpunkt ti eines Euro ausgezahlt zum Zeitpunkt tj
Ein Zero-Coupon Bond mit Laufzeit von ti bis tj ist ein Finanzinstrument, das bei seiner Fälligkeit zum Zeitpunkt tj genau eine Wäh-rungseinheit zahlt. Weitere Zahlungen wäh-rend der Laufzeit finden nicht statt.
No-Arbitrage und
… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten
Problemstellung
0t 1t 2t
Zum Zeitpunkt t0 seien die Preise aller Zero-Coupon Bonds bekannt.
),( 0 •ttB
© Dr. Daniel Sommer 19
und Duplizierung:
Eine einfache Anwendung
Ein Unternehmen U weiß zum Zeitpunkt t0,
daß es zum Zeitpunkt t1 eine Zahlung Z erwarten kann, die es bis zum Zeitpunkt t2
anlegen kann. Auf welchen Betrag wird Z bis t2 angewachsen sein, wenn sich U in t0 ver-pflichtet, Z zum Zeitpunkt t1 zu einem bereits in t0 festgelegten Zinssatz anzulegen?
No-Arbitrage und
… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten
Zwei Portfolien in t 0
0t 1t 2t
P1: Kauf eines Zero-Coupon Bonds zum Zeitpunkt t0 mit Fälligkeit t2 mit einem Nominalvlumen von ),(/),( ttBttBZ ×
© Dr. Daniel Sommer 20
und Duplizierung:
Eine einfache Anwendung
),;( 210 tttF
Nominalvlumen vonKreditaufnahme i.H.v. mit Laufzeit von t0 bis t1.
P2: Zum Zeitpunkt t0 Abschluß eines Vertrages, in t1 den dann fälligen Betrag in einen Zero-Coupon Bond mit Laufzeit von t1 bis t2 zu einem in t0 festgelegten Preis von zu investieren.
),(/),( 2010 ttBttBZ ×),( 10 ttBZ ×
No-Arbitrage und
… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten
Analyse in t 1
0t 1t 2t
Die Anfangsinvestition in P1 und P2 zum Zeitpunkt t0 ist gleich und beträgt Null.Zum Zeitpunkt t erfolgt in P1 die Rückzah-
© Dr. Daniel Sommer 21
und Duplizierung:
Eine einfache Anwendung ),;( 210 tttF
Zum Zeitpunkt t1erfolgt in P1 die Rückzah-lung des Kredites aus der eingehenden Zahlung Z. In P2 wird Z zu dem zuvor festgelegten Preis
in einen Zero-Coupon Bond mit Fälligkeit t2 angelegt.Es erfolgt keine zusätzliche Ein- oder Auszahlung aus dem Portfolio.Konsequenz: P1 und P2 müssen zum Zeit-punkt t2 den gleichen Wert haben.
No-Arbitrage und
… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten
Definition: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds
0t 1t 2t
Damit gilt:
),(
),(
),;( 20
10
210 ttB
ttBZ
tttF
Z ×=
© Dr. Daniel Sommer 22
und Duplizierung:
Eine einfache Anwendung
),(),;( 20210 ttBtttF
),(
),(),;(
10
20210 ttB
ttBtttF =⇔
),;( 210 tttF wird als Terminpreis zum Zeitpunkt t0 des Zero-Coupon Bonds mit Laufzeit t1 bis t2 bezeichnet.
Die Zahlung Z wird auf den Wert anwachsen.
)t,t;t(F
Z
210
No-Arbitrage und
… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten
Definition: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds
0t 1t 2t
Mit der gleichen Argumentation wie zuvor gilt allgemein:
© Dr. Daniel Sommer 23
und Duplizierung:
Eine einfache Anwendung
),;( nmi tttF
zuvor gilt allgemein:
nmi tt t wobei,),(
),(:),;( ≤≤=
mi
ninmi ttB
ttBtttF
wird als Terminpreis zum Zeitpunkt ti des Zero-Coupon Bonds mit Laufzeit tm bis tn bezeichnet.
Zusammenhang zwischen
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
Definition: Continuously Compounded Zinssätze
Der Continuously Compounded Zero-Coupon Bond Zinssatz ist definiert durch:
jitt
ttBtty
jiji ≤
−−= wobei,
),(ln:),(
© Dr. Daniel Sommer 24
zwischen (Termin-) Preisen und (Termin-) Zinsen
mn
mini
mn
nminmi
tt
ttBttB
tt
tttFtttf
−−
−=
−−=
),(ln),(ln
),;(ln:),;(
jitt
ttyij
ji ≤−
−= wobei,:),(
Der Continuously Compounded Zero-Coupon Bond Termin-Zinssatz ist definiert durch:
Zusammenhang zwischen
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
Infinitesimale Terminzinssätze
mini
mn
nmi
ttmi
ttBttB
tt
tttFttf
mn
−−=
−−=
→
),(ln),(lnlim
),;(lnlim:);(
Im Grenzwert ergibt sich für tn gegen tm:
© Dr. Daniel Sommer 25
zwischen (Termin-) Preisen und (Termin-) Zinsen
m
mi
mn
mini
tt
t
ttB
tt
ttBttB
mn
∂∂
−=
−−
−=→
),(ln
),(ln),(lnlim
∫−=
j
i
t
ti
ijji ds)s;t(f
tt)t,t(y
1und außerdem:
Zusammenhang zwischen
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
Definition: Unterjährige Annually Compounded Zinssätze
Der unterjährige Annually Compounded Zero-Coupon Bond Zinssatz bei Tageszählkonven-tion k ist definiert durch:
),(:1
ji ttB=
© Dr. Daniel Sommer 26
zwischen (Termin-) Preisen und (Termin-) Zinsen
),;(:);,(),;(1
1nmi
nmnmi
tttFktttttzf
=∆×+
),(:);,(),(1 ji
jiji
ttBkttttz
=∆×+
Analog ist der entsprechende Terminzins-satz definiert durch:
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
Quelle: ISDA
© Dr. Daniel Sommer 27
ISDA Market Conventions
Quelle: Trema
Quelle: Trema
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
Forward rate agreement (FRA) A contract between two parties to fix the forward r ate of interest on a notional loan, for an agreed period o f time starting on a specified future date.
Assume that firm A needs to borrow $1 million in th ree months time for a term of six months and wishes to protect
© Dr. Daniel Sommer 28
FRA: Definition und Beispiel
months time for a term of six months and wishes to protect itself against a rise in interest rates. It can buy an FRA from firm B at an agreed rate of, say, 10%. If, at the e nd of the three months, market interest rates have risen to 1 2%, B will pay A an amount based on the 2% difference app lied to the principal of $1 million for a period of six mon ths. Conversely, if interest rates drop to 9%, A will pa y to B an amount based on the 1% difference. Settlement is us ually made at the beginning of the forward period, rather than at the end, therefore the amount paid is discounted accordingly.
FRA Geschäfts-bestätigung:
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs verstehtPART 1
To Be Used on the Agreement Date
F.R.A. CONTRACT AGREEMENT DATE CONFIRMATION NOTICE TO:-
FROM:-
We are pleased to confirm the following Forward Rate Agreement ('F.R.A.') made between ourselves as per FRABBA Recommended Terms and Conditions dated 1985. (Direct/Broker )
CONTRACT CURRENCY & AMOUNT
FIXING DATE
SETTLEMENT DATE MATURITY DATE
CONTRACT PERIOD (DAYS)
CONTRACT RATE % per annum on an actual over 360/365
© Dr. Daniel Sommer 29
bestätigung: Teil 1 Geschäfts-abschluß
CONTRACT RATE % per annum on an actual over 360/365 days basis (as applicable)
SELLER'S NAME
BUYER'S NAME
NON-STANDARD TERMS & CONDITIONS (IF ANY)
Any payment to be made to us under the F.R.A. hereby confirmed should be credited to our Account Number at
PLEASE ADVISE BY TELEX, OR CABLE US IMMEDIATELY, SH OULD THE PARTICULARS OF THIS CONFIRMATION NOT BE IN ACCORDAN CE WITH YOUR UNDERSTANDING .
Either:- Or:-
SIGNED TESTED TELEX CONFO
FOR AND ON BEHALF OF
……………………………………………………………………
FRA
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
Quelle: Reuters
© Dr. Daniel Sommer 30
FRA Quotierungen
FRA Geschäfts -
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs verstehtP A R T I I
T o B e U sed o n th e S e t t le m e n t D a te
F .R .A . C O N T R A C T A G R E E M E N T D A T E
C O N F IR M A T IO N N O T IC E - S E T T L E M E N T
T O : -
F R O M :
W e re fe r to th e fo llo w in g F o rw a rd R a te A g ree m en t ( 'F .R .A .' ) m a d e b etw ee n o u rse lv e s a s p e r F R A B B A R ec o m m en d ed T erm s a n d C o n d it io n s d a ted 1 9 8 5 . (D irec t /B ro k e r … … … )
© Dr. Daniel Sommer 31
FRA Geschäfts -bestätigung: Teil 2 Settlement
C O N T R A C T C U R R E N C Y & A M O U N T F IX IN G D A T E S E T T L E M E N T D A T E M A T U R IT Y D A T E C O N T R A C T P E R IO D (D A Y S ) C O N T R A C T R A T E … … … … … ..% p e r a n n u m o n a n a c tu a l o v e r 3 6 0 /3 6 5 d a y s b a s is (a s a p p lica b le ) S E L L E R 'S N A M E ..
B U Y E R 'S N A M E … … … … … … … … … … … … … … ..
N O N -S T A N D A R D T E R M S & C O N D IT IO N S ( IF A N Y )
S E T T L E M E N T R A T E % p e r a n n u m S E T T L E M E N T S U M ($ /£ e tc .) S E T T L E M E N T IN S T R U C T IO N S :-
W E P A Y T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E T O Y O U R
A C C O U N T N O A T
W E R E C E IV E T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E A T O U R
A C C O U N T N O A T
FRA Berechnung
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
4. Settlement (for contract periods in excess of one year see Section E)
4.1 Wherever two parties enter into a F.R.A. the Buyer will agree to pay to the Seller on the Settlement Date (if the Contract Rate exceeds the BBA Interest Settlement Rate), and the Seller will agree to pay to the Buyer on the Settlement Date (if the BBA Interest Settlement Rate exceeds the Contract Rate) an amount calculated in accordance with the following formula:
(a) when L is higher than R
)()100(
)(
DLB
ADRL
×+×××−
Buyer of
Seller of money
© Dr. Daniel Sommer 32
FRA Berechnung der Zahlung am Settlement Date
or (b) when R is higher than L
)()100(
)(
DLB
ADLR
×+×××−
where L = BBA Interest Settlement Rate (expressed as a number and not a percentage, e.g. 10.11625 and not 10.11625%)
R = Contract Rate (expressed as a number and not a percentage) D = Days in Contract Period A = Contract Amount
B = 360 except where the Contract Currency is Pounds Sterling (or any other currency where the contract rate is calculated on 365 days according to market custom) when 'B' = 365.
Buyer of money
Bewertung eines
… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht
Aus Sicht des „protection sellers“ (Sicherungsgebers):
),()),;(( 0 nm ttB
ADRtttzf×
××−
Sichtweise: Absicherung gegen steigende Zinsen in der Zukunft
© Dr. Daniel Sommer 33
Bewertung eines FRA während der Laufzeit
),()),;(()100(
)),;((0
0
0m
nm
nm ttBDtttzfB
ADRtttzf×
×+×××−
Aus Sicht des „protection buyers“ (Sicherungsnehmers):
),()),;(()100(
)),;((0
0
0m
nm
nm ttBDtttzfB
ADtttzfR×
×+×××−
… was man Swaps versteht… was man Swaps versteht
An interest rate swap is a contract• between two or more parties • to pay each other interest streams
calculated on different bases, • on a notional principal, • for an agreed term.
Typically (in a “coupon” or “plain vanilla”
© Dr. Daniel Sommer 34
Swap: Definition und Beispiel
Typically (in a “coupon” or “plain vanilla” swap), one party pays a fixed rate of interest in exchange for a floating rate .
Receiver Swap : Betrachtung des Swaps aus Sicht desjenigen, der die fixed rate erhält.
Payer Swap : Betrachtung des Swaps aus Sicht desjenigen, der die fixed rate zahlt.
Swap Geschäfts -
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
© Dr. Daniel Sommer 35
Swap Geschäfts -bestätigung (Teil 1)
Swap Geschäfts -
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
© Dr. Daniel Sommer 36
Swap Geschäfts -bestätigung (Teil 2)
Swap Geschäfts -
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
© Dr. Daniel Sommer 37
Swap Geschäfts -bestätigung (Teil 3)
Swap Geschäfts -
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
© Dr. Daniel Sommer 38
Swap Geschäfts -bestätigung (Teil 4)
Swap
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
Quelle: ReutersQuelle: Reuters
© Dr. Daniel Sommer 39
Swap Quotierungen
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
Quelle: ISDA
Bond Basis
© Dr. Daniel Sommer 40
ISDA Market Conventions
Basis
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
Quelle: Trema
© Dr. Daniel Sommer 41
ISDA Market Conventions
Bewertung eines Swaps während
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
Zahlungstermine des Float-Legs
a 1t 2t
2s1s 3s 4s
Zahlungstermine des Fixed-Legs
Bewertungs-datum
bAbschluß-datum
0t
© Dr. Daniel Sommer 42
Swaps während der Laufzeit:
Fixed-Leg ∑ = − ×∆×=I
i iswiiIfix tbBktttaswPV1 1 ),();,(),(:
Der Wert des Fixed-Legs ist gegeben durch:
wobei den Swapsatz zum Ab-schlußdatum des Swaps mit Laufzeit bis tI bezeichnet.
),( Itasw
Bewertung eines Swaps während
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
Idee zur Bewertung des Float-Legs: Durch den Abschluß einer Serie von FRAs kann sichergestellt werden, daß alle Zahlungen des Float-Legs an den noch nicht gefixten Terminen den Termin-Zinssätzen zum Zeit-punkt b für diese Termine entsprechen.
Der Abschluß des FRAs ist kostenlos.
© Dr. Daniel Sommer 43
Swaps während der Laufzeit:
Float-Leg
)t,b(B)t,b(B
)t,b(B
)t,b(B)k;t,t()t,t(z)t,b(B
)t,b(B)k;t,t()t,t;b(zf
)t,b(B)k;t,t()t,t(z:PV
IJ
tbfür
Jfl
J
j jfljjjj
flfloat
−=−=
−+∆××=
×∆×+
×∆×=
=
= +++∑
11
1
0
110101
1 111
11010
Der Abschluß des FRAs ist kostenlos.
Damit ergibt sich für den Wert des Float-Legs:
Bestimmung des Swapsatzes zu
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
swappayfloatfixedswaprec PVPVPVPV −− −=−=
Zu jedem Zeitpunkt der Laufzeit eines Swaps gilt:
Zu Beginn der Laufzeit eines Swaps gilt:
swappayswaprec PVPV −− −== 0
© Dr. Daniel Sommer 44
Swapsatzes zu Beginn der Lauf-zeit
fixedfloat PVPV =
swappayswaprec PVPV −− −== 0
Damit ist der Swapsatz definiert durch:
∑= − ×∆×=−⇔I
i iswiiII taBktttaswtaB1 1 ),();,(),(),(1
∑= − ×∆
−=⇔I
i iswii
II
taBktt
taBtasw
1 1 ),();,(
),(1),(
Der Zusammen-hang zwischen
… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht
Umstellen der Bestimmungsgleichung für den Swapsatz ergibt:
Die rechte Seite der Gleichung hat die Struktur der Bewertungsgleichung für einen
∑= − ×∆×+=I
i iswiiII taBktttaswtaB1 1 ),();,(),(),(1
© Dr. Daniel Sommer 45
hang zwischen Swaps und Coupon Bonds
Struktur der Bewertungsgleichung für einen Coupon Bond, wobei der Coupon c gleich dem Swapsatz sw ist.
∑= − ×∆×+=I
i iswiiIBond taBkttctaBPV1 1 ),();,(),(
Damit kann der Swapsatz als Par-Coupon für einen Bond interpretiert werden, der die gleiche Kreditqualität wie ein Swap hat.
Vorüberlegun-gen:
Terminpreise für
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Eine Portfoliostrategie:
• Kaufe zum Zeitpunkt t0 einen Coupon Bond mit Coupon c und Laufzeit bis tI und Coupon-Zahlungsterminen ti, i=1... I
• Finanziere den Kauf durch einen Kredit in Höhe von PVBond
© Dr. Daniel Sommer 46
Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswap-sätze
Höhe von PVBond
• Verkaufe den Bond auf Termin zum Zeitpunkt tF < tI zum Preis von FPVBond
• Investiere alle zwischen t0 und tF anfal-lenden Couponzahlungen zu den in t0 für den jeweiligen Zahlungstermin gültigen Terminzinsen mit Fälligkeit tF
• Tilge den Kredit zum Zeitpunkt tF
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Analyse:
• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t0beträgt Null.
• In der Zeit zwischen t0 und tF werden keine zusätzlichen Beträge in das Port-folio investiert, noch werden Beträge aus
Vorüberlegun-gen:
Terminpreise für
© Dr. Daniel Sommer 47
folio investiert, noch werden Beträge aus dem Portfolio entnommen. D.h., die Portfoliostrategie ist selbstfinanzierend .
Konsequenz:
• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt tFmuß ebenfalls Null betragen. Anderenfalls ergäbe sich eine Arbitragemöglichkeit.
Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswap-sätze
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Damit läßt sich der Terminpreis des Cou-pon Bonds aus folgender Gleichung bestim-men:
),(
);,(
);,(),(
),();,;(0
0
0
1 10
00
F
IBond
J
i iiF
iIFBond
ttB
cttPV
kttttB
ttBcctttFPV
−
∆××+= ∑= −Vorüberlegun-gen:
Terminpreise für
© Dr. Daniel Sommer 48
),( 0 FttB
Dabei ist t1 < tJ < tF. Und tJ ist der letzte Cou-pon Zahlungstermin vor dem Zeitpunkt des Terminverkaufs des Bonds, tF. Nach Umformung folgt:
∑ += −∆××+
=
I
Ji iiF
i
F
IIFBond
kttttB
ttBc
ttB
ttBctttFPV
1 10
0
0
00
);,(),(
),(
),(
),();,;(
Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswap-sätze
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Analog zu den vorangegangenen Überle-gungen ergibt sich der Terminswapsatz als Par-Coupon Satz für den Termin Coupon Bond.
= IFIFBond
ttB
tttfswtttFPV 00
),(
)),;(;,;(1
Vorüberlegun-gen:
Terminpreise für
© Dr. Daniel Sommer 49
∑ += −∆××+
=
I
Ji iiF
iIF
F
I
kttttB
ttBtttfsw
ttB
ttB
1 10
00
0
0
);,(),(
),(),;(
),(
),(
∑ += −∆×
−=⇔
I
Ji iii
IFIF
kttttB
ttBttBtttfsw
1 10
000
);,(),(
),(),(),;(
Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswap-sätze
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Unterschiede FORWARDS FUTURES
TABLE 2.3 (p. 41)
FORWARDS FUTURES
TABLE 2.3 (p. 41)
Finanz-Terminkontrakte (engl.: Forwards) und Finanz-Futures sind insofern gleich, als sie den (Ver-)Kauf eines Finanzinstruments zu einem Termin in der Zukunft zu einem heute festgelegten Preis erlauben. Jedoch gibt es einige wichtige Unterschiede:
© Dr. Daniel Sommer 50
Unterschiede zwischen Terminkontrak-ten und Futures
Quelle: Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition, John C. Hull 2005
Private contract between 2 parties Exchange traded
Non-standard contract Standard contract
Usually 1 specified delivery date Range of delivery dates
Settled at end of contract Settled daily
Delivery or final cashsettlement usually occurs
Contract usually closed outprior to maturity
FORWARDS FUTURES
Some credit risk Virtually no credit risk
Private contract between 2 parties Exchange traded
Non-standard contract Standard contract
Usually 1 specified delivery date Range of delivery dates
Settled at end of contract Settled daily
Delivery or final cashsettlement usually occurs
Contract usually closed outprior to maturity
FORWARDS FUTURES
Some credit risk Virtually no credit risk
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
• Bei Abschluß eines Futures-Kontraktes stellt der Kontraktpartner dem Clearing-haus der Terminbörse eine Initial-Marginin Form von Cash oder Wertpapieren erstklassiger Bonität. Die Margin wird auf das Margin-Konto gebucht.
© Dr. Daniel Sommer 51
Daily Settlement und Margins
• Alle Preisveränderungen des Futures werden über das Margin-Konto abge-rechnet.
• Sinkt das Guthaben auf dem Margin-Konto unter einen bestimmten Betrag, erfolgt ein Margin-Call . Der Kontrakt-partner muß dann Variation-Marginstellen.
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Gleichheit von Termin - und
Behauptung:
Unter Vernachlässigung des Kontrahenten-ausfallrisikos sind bei deterministischer Zins-
© Dr. Daniel Sommer 52
Termin - und Futures-Preis bei determinist-ischen Zinsen
ausfallrisikos sind bei deterministischer Zins-entwicklung Termin- und Futures-Preise für denselben zugrunde liegenden Coupon Bond und für denselben Liefertermin in der Zukunft zum Zeitpunkt des Vertragsab-schlusses und während der gesamten Vertragslaufzeit gleich.
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Gleichheit von Termin - und
Begründung:
• Bei deterministischer Zinsentwicklung sind der Termin-Preis und der Futures-Preis für einen Coupon Bond konstant in t. Wäre dies nicht so, könnten zu unterschiedlichen, aber bereits heute sicher bekannten Zeit-
);,;( ctttFPV IFBond
);,;( ctttFuPV IFBond
© Dr. Daniel Sommer 53
Termin - und Futures-Preis bei deterministi-schen Zinsen
aber bereits heute sicher bekannten Zeit-punkten kostenlos gegenläufige Positionen in den Verträgen eingegangen und so si-chere Gewinne erzielt werden (Arbitrage-möglichkeit!).
• Am Ende der Laufzeit sind die Auszah-lungsprofile von Termin- und Futures-Verträgen identisch.
• Damit müssen beide Preise identisch sein, sonst Arbitragemöglichkeiten!.
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Abweichung von Termin - und
Achtung:Bei stochastischen Zinsen fallen Forward-und Futurespreise auseinander!
Begründung:
• Der Inhaber einer Long-Position im Futures muß bei steigenden Zinsen Ausgleichszahlungen leisten, d.h. er muß
© Dr. Daniel Sommer 54
Termin - und Futures-Preis bei stochastischen Zinsen
Ausgleichszahlungen leisten, d.h. er muß Kredit zu ungünstigen Konditionen aufnehmen. Bei fallenden Zinsen erhält er Ausgleichszahlungen, kann diese aber nur zu ungünstigen (weil niedrigeren) Zinsen anlegen.
• Damit muß der Futurespreis unter dem Forwardpreis liegen.
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Contract SpecificationsVersion 08 Jul 2005
Contract StandardNotional long-term debt instrument issued by the Federal Republic of Germany with a six percent coupon.Contract ValueEUR Fixed Income Futures: EUR 100,000
© Dr. Daniel Sommer 55
.Beispiel: Bund-Futures
EUR Fixed Income Futures: EUR 100,000SettlementA delivery obligation arising out of a short position in a Bund Futures contract may only be fulfilled by the delivery of certain debt securities issued by the Federal Republic of Germany with a remaining term on the Delivery Day of 8.5 to 10.5 years.Such debt securities have a minimum issue amount of EUR 5 billion.
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Price Quotation and Minimum Price ChangeThe Price Quotation is in percent of the par value. The Minimum Price Change is 0.01% or EUR 10.Delivery DayThe tenth calendar day of the respective quarterly month, if this day is an exchange trading day; otherwise, the following exchange
© Dr. Daniel Sommer 56
.Beispiel: Bund-Futures
trading day.Contract MonthThe three successive quarterly months of the March, June, September and December cycle.NotificationClearing members with open short positions on the Last Trading Day of the maturing delivery month must notify Eurex which debt instruments they will deliver. Such notification must be given by the end of the Post-Trading Full Period (20:00 CET).
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Last Trading DayTwo exchange trading days prior to the Delivery Day of the relevant delivery month. Trading in the maturing delivery month ceases at 12:30 CET.Daily Settlement PriceThe closing price determined within the closing auction;
© Dr. Daniel Sommer 57
.Beispiel: Bund-Futures
auction; if no price can be determined in the closing auction or if the price so determined does not reasonably reflect the prevailing market conditions, the daily settlement price will be the volume-weighted average price of the last five trades of the day, provided that these are not older than 15 minutes; or, if more than five trades have occurred during the final minute of trading, the volume-weighted average price of all trades that occurred during that period……
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Daily Settlement Price…… If such a price cannot be determined, or if the price so determined does not reasonably reflect the prevailing market conditions, Eurex will establish the official settlement price.
© Dr. Daniel Sommer 58
.Beispiel: Bund-Futures
Final Settlement PriceThe volume-weighted average price of the last ten trades of the day, provided that these are not older than 30 minutes; or, if more than ten trades have occurred during the final minute of trading, the volume-weighted average price of all trades that occurred during that period. The Final Settlement Price is determined at 12:30 CET on the Last Trading Day.
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Deliverable BondsExpiry month Dec 2005
Deliverable Bond ISIN
Coupon Rate (%)
Maturity Date
Conversion Factor
DE0001135259 4.25 04.07.2014 0.885160 DE0001135267 3.75 04.01.2015 0.846069 DE0001135283 3.25 04.07.2015 0.803899 Ergebnis für den Inhaber einer Verkaufsposi -
© Dr. Daniel Sommer 59
.Beispiel: Bund-Futures
Ergebnis für den Inhaber einer Verkaufsposi -tion im Bundfutures bei Final Settlement:
( ) 000.100 nStückzinse
factorConversion
__
_EUR
PV
FuPV
iBondiBond
Bond_iiBond ×
−−
×
Lieferoption:Der Inhaber der Verkaufsposition liefert die Anleihe aus der obigen Liste, die sein Ergebnis bei Lieferung maximiert. Diese Anleihe heißt Cheapest to Deliver (CTD).
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Zusammenhang zwischen theore-tischem Futures -
Problemstellung:Durch den Conversion-Factor wird keine exakte Barwert-Bewertung der einem Fu-tures zugrundeliegenden Anleihe auf Basis der jeweils akuellen Zinskurve erreicht. Au-ßerdem enthält der börsenquotierte Futu-res-Preis keine aufgelaufenen Stückzinsen.
© Dr. Daniel Sommer 60
.
tischem Futures -Preis und dem börsenquotierten Futures-Preis
res-Preis keine aufgelaufenen Stückzinsen. Damit entspricht der börsenquotierte Fu-tures-Preis nicht dem oben abgeleiteten theoretischen Futures Preis. Der Zusam-menhang ist gegeben durch:
CTD
CTDCTDexchCTD
FuPVFuPV
factorConversion
nStückzinse;
−=
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Begriffsdefinition• Open Interest:
das Gesamtvolumen der offenen Positionen, d.h., entweder Summe aller Kauf- oder Verkaufspositionen
• Volume:
© Dr. Daniel Sommer 61
.Volume und Open Interest
• Volume:Handelsumsatz in einer Handelsperiode
Fragen• Wie verändert sich das Open Interest bei
Abschluß eines neuen Kontraktes?
• Kann das Handelsvolumen in einer Periode größer sein als das Open Iterest in dieser Periode?
… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht
Beispiel Bund-Futures
© Dr. Daniel Sommer 62
.Volume und Open Interest
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Die „Zinskurve“ oder „Yield-Curve“ ist eine Funktion, die einem bestimmten Beobach-tungszeitpunkt s und einer Fälligkeit bzw. Endzeitpunkt t einen Zinssatz ir (s,t) zuord-net:
( ) ≤→ℜ→ℜ×ℜ ++
© Dr. Daniel Sommer 63
.Darstellungen( ) tststs ≤→ ; ,ir,
Interpretationen:• Swapkurve: ir (s,t)= sw(s,t) bezeichnet
den Swapsatz beobachtet zum Zeitpunkt s für einen Swap mit Endzeitpunkt in t.
• Zero-Yield-Curve: ir (s,t)= y(s,t) bezeichnet die cont. compounded Rendite eines Zero Coupon Bonds mit Fälligkeit t beobachtet zum Zeitpunkt s.
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Die Zero Coupon Bond Curve ist eine Funktion, die einem bestimmten Beobach-tungszeitpunkt s und einer Fälligkeit t den Preis eines Zero Coupon Bonds B(s,t)zuordnet:
+++
© Dr. Daniel Sommer 64
.Darstellungen ( ) tstsBts ≤→ℜ→ℜ×ℜ +++
; ,,
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Eine „Termin-Zinskurve“ oder Forward-Curve ist eine Funktion, die einem be-stimmten Beobachtungszeitpunkt s, einem Termin t und einer Fälligkeit u einen Termin-Zinssatz F(s;t,u) zuordnet:
( ) ≤≤→ℜ→ℜ×ℜ×ℜ +++
© Dr. Daniel Sommer 65
.Darstellungen( ) utsutsfuts ≤≤→ ; ,,,,
Interpretationen:• 1-Tages-Terminzinskurve: f(s;t,t+1Tag)
bezeichnet die cont. compounded Termin-Rendite einer Null-Coupon Anleihe, beobachtet zum Zeitpnkt s, erworben zum Termin t, fällig in t+1 Tag.
• Alternativ könnten auch Fälligkeiten von t+1Monat, t+1 Jahr etc. betrachtet werden.
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Zinskur -
Trade date 31-Dec-03 Source Mode: HIST Quote: MID Date Adfin DF
IRS Structure TR_USD_AM3LCCY code USD
Swap RIC mid AM3L Rate Structure (DF) RM:YC IM:CUBD ZCTYPE:DFSwap RIC end AdMode (DF) RET:A32
Real time update FRQ:500SDays to swap 2
Calendar USAInput to Adfin zero curve Adfin zero curve
PeriodInstrument
TypeInput quote
Used Instrument
Start DateMaturity
DateCoupon
RateMarket
Instrument Structure
Date Adfin DF
ON D 1.09% D 31-Dec-03 2-Jan-04 0% 1.09% USD 31-Dec-03 1.0000000TN D 1.03% D 2-Jan-04 5-Jan-04 0% 1.03% USD 02-Jan-04 0.9999397SW D 1.04% D 5-Jan-04 12-Jan-04 0% 1.04% USD 05-Jan-04 0.99985392W D 1.02% D 5-Jan-04 20-Jan-04 0% 1.02% USD 12-Jan-04 0.99965183W D #VALUE! 5-Jan-04 26-Jan-04 0% #VALUE! USD 20-Jan-04 0.99942911M D 1.06% D 5-Jan-04 5-Feb-04 0% 1.06% USD 05-Feb-04 0.9989421
LBOTH CLDR:USA ACC:MMA0 ARND:NO CCM:MMA0 CFADJ:YES CRND:NO DMC:MODIFIED EMC:SAMEDAY IC:S1 PDELAY:0 REFDATE:MATURITY RP:1 RT:BULLET XD:NO LPAID LTYPE:FIXED FRQ:Y LRECEIVED LTYPE:FLOAT SPREAD:0 FRQ:Q
Marktda-ten Input berechnete Preise von
Zero Coupon Bonds
© Dr. Daniel Sommer 66
Zinskur -ven: ein reales Beipsiel
1M D 1.06% D 5-Jan-04 5-Feb-04 0% 1.06% USD 05-Feb-04 0.99894212M D 1.08% D 5-Jan-04 5-Mar-04 0% 1.08% USD 05-Mar-04 0.99805743M D 1.11% D 5-Jan-04 5-Apr-04 0% 1.11% USD 05-Apr-04 0.99705634M D 1.13% D 5-Jan-04 5-May-04 0% 1.13% USD 05-May-04 0.99607085M D 1.14% D 5-Jan-04 7-Jun-04 0% 1.14% USD 07-Jun-04 0.99500166M D 1.16% D 5-Jan-04 6-Jul-04 0% 1.16% USD 06-Jul-04 0.99399277M D #VALUE! 5-Jan-04 5-Aug-04 0% #VALUE! USD 05-Oct-04 0.99035648M D #VALUE! 5-Jan-04 7-Sep-04 0% #VALUE! USD 05-Jan-05 0.98582249M D 1.26% D 5-Jan-04 5-Oct-04 0% 1.26% USD 05-Jan-06 0.957531310M D #VALUE! 5-Jan-04 5-Nov-04 0% #VALUE! USD 05-Jan-07 0.919520311M D #VALUE! 5-Jan-04 6-Dec-04 0% #VALUE! USD 07-Jan-08 0.87602501Y D 1.40% D 5-Jan-04 5-Jan-05 0% 1.40% USD 05-Jan-09 0.83055892Y S 2.15% S 5-Jan-04 2Y 0% 2.15% TR_USD_AM3L 05-Jan-10 0.78702753Y S 2.77% S 5-Jan-04 3Y 0% 2.77% TR_USD_AM3L 05-Jan-11 0.74358414Y S 3.26% S 5-Jan-04 4Y 0% 3.26% TR_USD_AM3L 05-Jan-12 0.70071565Y S 3.65% S 5-Jan-04 5Y 0% 3.65% TR_USD_AM3L 07-Jan-13 0.65901506Y S 3.92% S 5-Jan-04 6Y 0% 3.92% TR_USD_AM3L 06-Jan-14 0.61935387Y S 4.14% S 5-Jan-04 7Y 0% 4.14% TR_USD_AM3L 05-Jan-16 0.54709448Y S 4.34% S 5-Jan-04 8Y 0% 4.34% TR_USD_AM3L 07-Jan-19 0.45035199Y S 4.50% S 5-Jan-04 9Y 0% 4.50% TR_USD_AM3L 05-Jan-24 0.327363610Y S 4.64% S 5-Jan-04 10Y 0% 4.64% TR_USD_AM3L 05-Jan-29 0.243796912Y S 4.85% S 5-Jan-04 12Y 0% 4.85% TR_USD_AM3L 05-Jan-34 0.187161115Y S 5.08% S 5-Jan-04 15Y 0% 5.08% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000020Y S 5.29% S 5-Jan-04 20Y 0% 5.29% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000025Y S 5.36% S 5-Jan-04 25Y 0% 5.36% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000030Y S 5.36% S 5-Jan-04 30Y 0% 5.36% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.0000000
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
Zielsetzung : Leite aus den beobachtbaren nicht-optionalen Zinsinstrumenten am Markt eine Yield-, Zero-Coupon-Bond oder Forwad-Curve so ab, daß:
• alle beobachtbaren Zinsinstrumente, die in die Konstruktion der Kurve eingeflos-
© Dr. Daniel Sommer 67
.
Bootstrapping und Zinskurven-interpolation: Einführung
in die Konstruktion der Kurve eingeflos-sen sind auf Basis der Kurve korrekt be-wertet werden
• andere nicht-optionale Zinsinstrumente mit Zahlungen zu beliebigen Zeitpunkten auf Basis der Kurve bewertet werden können.
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
Ansätze : Eine eindeutige Vorgehensweise zur Konstruktion hat sich in der Praxis bis-her nicht herausgebildet. Wir betrachten drei Varianten und diskutieren ihre Vor- und Nachteile:
1. Bootstrapping von Zero Coupon Bond Preisen aus Geldmarkt, FRAs und Swap-
© Dr. Daniel Sommer 68
.
Bootstrapping und Zinskurven-interpolation: Einführung
Preisen aus Geldmarkt, FRAs und Swap-sätzen; danach lineare Interpolation der daraus berechneten continuously comp-ounded (cc) Zero Coupon Bond Zissätze
2. wie zuvor, jedoch lineare Interpolation von 1-Tages cc Zero Coupn Bond Terminzins-sätzen
3. Lineare Interpolation der Geldmarkt und Swapsätze und Bootstrapping von Zero Coupon Bondpreisen für alle Fälligkeiten aus dieser Kurve.
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Beobachtete Marktzinssätze in t 0 :Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12MFRAs: 2X14, 3X15, 6X18, 9X21, 12X24Swapsätze:3Y-30Y
Bootstrapping der Gelmarktsätze:
© Dr. Daniel Sommer 69
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 1
Bootstrapping der Gelmarktsätze:
),(),();,(),;(1
100
0nm
nmnm
ttBttBktttttzf
=×∆×+
),();,(),(1
10
00j
jj
ttBkttttz
=∆×+
Bootstrapping der FRAs:
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Bootstrapping der Swapsätze:nehme an, alle Zero Coupon Bond Preise bis B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:
),(),();,(1
),();,(),(110
1 0110
+++
= −+=
×∆+
×∆×− ∑n
n
i iswiinttB
ttswktt
ttBkttttsw
© Dr. Daniel Sommer 70
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 1
Interpolation:Gegeben seinen die Stützstellen B(t0,tn) und B(t0,tn+k), gesucht sei B(t0,tn+i) mit tn < tn+i < tn+k und k auf 1-Tages-Basis:
),();,(1 10101
+++ ×∆+ n
nswnn ttswktt
))(),(exp(),(
),(),(),(
000
000
ttttyttB
tt
tttty
tt
ttttytty
ininin
nkn
inknn
nkn
ninknin
−×−=−
−×+
−−
×=
+++
+
++
+
+++
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Anmerkung:Falls zwischen zwei beobachteten Swapsätzen mehrere Jahre liegen, kombiniere lineare Interpolation der Zero Coupon Bond Zinssätze und Bootstrapping des nächsten bekannten
© Dr. Daniel Sommer 71
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 1
und Bootstrapping des nächsten bekannten Swaps zur impliziten Bestimmung der Steigung der Kurve der Zero Coupon Bond Zinskurve. Verfahren analog zur Vorgehensweise bei der Interpolation von 1-Tages-Terminzinssätzen, wie auf Folien 75 und 76 dargestellt.
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Ausgangssituation:gegeben seien alle Zero Coupon Bond Preise B(t0,t.), soweit sie mittels Bootstrapping wie in Ansatz 1 aus den beobachteten Zinssätzen er-mittelt werden konnten.
© Dr. Daniel Sommer 72
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 2
Startpunkt der Interpolation:Startpunkt der Interpolation ist der cc Zero Coupon Bond Zins, der aus dem aus dem ON-Zinssatz ermittelten Zero Coupon Bond B(t0,t1)ermittelt wurde:
),(),(ln
),;( 1001
10100 tty
tt
ttBtttf =
−−=
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Idee für die weitere Interpolation:nutze den Zusammenhang zwischen cc Zero Coupon Bond Zinssätzen und Terminzinssät-zen in stetiger Zeit und übertrage diesen auf ein Diskretisierung von 1 Tag:
© Dr. Daniel Sommer 73
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 2∫−
=jt
tjj dsstf
tttty
0
);(1
),( 00
0
Formel in stetiger Zeit:
Übertragung auf 1-Tages-Diskretisierung:
∑ = −=n
i iin tttfn
tty1 100 ),;(
1),(
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Annahmen für die weitere Interpolation:Gegeben seien aus früheren Interpolations-schritten f(t0;tn-1,tn), sowie aus dem Bootstrap-ping die Zero Coupon Bonds B(t0,tn) und B(t0,tn+k), k gemessen in Tagen. Weiterhin be-stehe folgender linearer Zusammenhang:
© Dr. Daniel Sommer 74
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 2
0 n+kstehe folgender linearer Zusammenhang:
kik
iatttftttf nninin ≤≤×+= −+−+ 1 ; ),;(),;( 10)1(0
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Bestimmung von a:Gemäß Folie 73 gewährleistet folgende Bestim-mungsgleichung für a die Verträglichkeit der in-terpolierten Terminzinssätze und der aus den Marktdaten abgeleiteten Zero Coupon Bond Preise:
© Dr. Daniel Sommer 75
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 2
Preise:
),;(1
exp
),(),(
1 10
00
×+×
=
∑ = −
+
k
i nn
nkn
k
iatttf
k
ttBttB
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Beobachtete Marktzinssätze in t 0 :Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12MSwapsätze:2Y-30Y
inknnin tttt −×+
−×= +++
Interpolation der Geldmarktsätze :
© Dr. Daniel Sommer 76
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 3
nkn
inknn
nkn
ninknin tt
ttttz
tt
ttttzttz
−−
×+−−
×=+
++
+
+++ ),(),(),( 000
nkn
inknn
nkn
nknin tt
ttttsw
tt
ttttswttsw
−−
×+−
−×=
+
++
+++ ),(),(),( 000
Interpolation der Swapsätze :Betrachte den 12M Geldmarktsatz als ersten Swapsatz.
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Bootstrapping der Gelmarktsätze:
),();,(),(1
10
00j
jj
ttBkttttz
=∆×+
© Dr. Daniel Sommer 77
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 3
Bootstrapping der Swapsätze:nehme an: alle Zero Coupon Bond Preise bis B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:
),(),();,(1
),();,(),(110
101
1 0110
+++
= −+=
×∆+
×∆×− ∑n
nswnn
n
i iswiinttB
ttswktt
ttBkttttsw
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping und Zinskurven -
Beachte beim Bootstrapping der Swapsätze:• Im Gegensatz zu Ansatz 1, wo der Abstand
zwischen tn und tn+1 1 oder mehrere Jahre betragen hat, beträgt er hier exakt 1 Tag.
• Das Bootstrapping liefert ein anderes
© Dr. Daniel Sommer 78
.und Zinskurven -interpolation:
Ansatz 3
• Das Bootstrapping liefert ein anderes Ergebnis, je nach dem ob man die verkürzte Periode des Swaps an den Anfang oder an das Ende der Swaplaufzeit setzt.
• Die für die Interpolation verwendeten Swap-sätze müssen die gleiche Zahlungsfrequenz (Compounding Frequency) z.B. jährlich, halb-jährlich, vierteljährlich besitzen.
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Flache ZinskurveLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,7743% 90,4837% 88,2497% 86,0708%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315%
Interpolation Zero Zinsen
0,03
© Dr. Daniel Sommer 79
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze Interpol ZY
1dfwdrate
Swapsätze
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Flache ZinskurveLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,7743% 90,4837% 88,2497% 86,0708%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315%
Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen
0,03
© Dr. Daniel Sommer 80
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze 1dfwdrate
Swapsätze
ZY
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Flache ZinskurveLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,7743% 90,4837% 88,2497% 86,0708%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315%
Interpolation Swapsätze
0,04
© Dr. Daniel Sommer 81
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0,03
0,035
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze 1dfwdrate
Swapsätze
ZY
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3LZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,6000% 2,7000% 2,8000% 2,9000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,4964% 89,7628% 86,9358% 84,0297%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,6314% 2,7306% 2,8287% 2,9256%
Interpolation Zero Zinsen
0,04
© Dr. Daniel Sommer 82
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0,03
0,035
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze Interpol ZY
1dfwdrate
Swapsätze
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3LZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,6000% 2,7000% 2,8000% 2,9000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,4964% 89,7628% 86,9358% 84,0297%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,6314% 2,7306% 2,8287% 2,9256%
Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen
0,04
© Dr. Daniel Sommer 83
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0,03
0,035
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze 1dfwdrate
Swapsätze
ZY
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3LZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,6000% 2,7000% 2,8000% 2,9000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,4964% 89,7628% 86,9358% 84,0297%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,6314% 2,7306% 2,8287% 2,9256%
Interpolation Swapsätze
0,04
© Dr. Daniel Sommer 84
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0,03
0,035
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze 1dfwdrate
Swapsätze
ZY
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 JahrenLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5500% 2,6000% 2,6500% 2,6500% 2,6000% 2,5500%Zero Bonds 99,9932% 97,4822% 94,9329% 92,3578% 89,9425% 87,8095% 85,8130%Swaps 2,5001% 2,5828% 2,6334% 2,6836% 2,6840% 2,6356% 2,5873%
Interpolation Zero Zinsen
0,03
© Dr. Daniel Sommer 85
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze Interpol ZY
1dfwdrate
Swapsätze
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 JahrenLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5500% 2,6000% 2,6500% 2,6500% 2,6000% 2,5500%Zero Bonds 99,9932% 97,4822% 94,9329% 92,3578% 89,9425% 87,8095% 85,8130%Swaps 2,5001% 2,5828% 2,6334% 2,6836% 2,6840% 2,6356% 2,5873%
Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen
0,03
© Dr. Daniel Sommer 86
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze 1dfwdrate
Swapsätze
ZY
… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist
Boot-strap-ping und
Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 JahrenLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5500% 2,6000% 2,6500% 2,6500% 2,6000% 2,5500%Zero Bonds 99,9932% 97,4822% 94,9329% 92,3578% 89,9425% 87,8095% 85,8130%Swaps 2,5001% 2,5828% 2,6334% 2,6836% 2,6840% 2,6356% 2,5873%
Interpolation Swapsätze
0,03
© Dr. Daniel Sommer 87
.
ping und Zinskur-veninter-polation:
Beispiele
0,02
0,025
0 1 2 3 4 5 6
Jahre
Zin
ssät
ze 1dfwdrate
Swapsätze
ZY
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Definition
Ausgangspunkt Bewertungsgleichung Coupon Bond:
∑
∑
=−×−−×−
= −
×∆×+=
×∆×+=I
i
ttttyi
tttty
I
i iBondiiIBond
iiII ece
ttBkttcttBPV
1
))(),(())(),((
1 010
0000
),();,(),(
© Dr. Daniel Sommer 88
.
Definition Duration und Convexity
Taylorentwicklung nach y bis zur zweiten Ableitung ergibt:
2
21 02
002
0
1 0000
)(Convexity 2
1Duration
)(),()(),()(
2
1
),()(),()(
yy
yPV
ttBttcttBtt
yPV
ttBttcttBtt
PV
PV
Bond
I
i iiiII
Bond
I
i iiiII
Bond
Bond
∆××+∆×−=
∆×
×−×∆×+×−
×+
∆×
×−×∆×+×−
−≈∆
∑
∑
=
=
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Definition
Ausgangspunkt Bewertungsgleichung Coupon Bond:
∆×+×=
×∆×+=
∑
∑ = −
I i
I
i iBondiiIBond
c
ttBkttcttBPV1 010
11
),();,(),(
© Dr. Daniel Sommer 89
.
Definition modified Dura-tion
+
∆×+
+
×
−×+
= ∑ =
I
i ttMt
ittM
tti
i
I
I
m
zc
m
zm
ttz 1 ),(),(01
001
11
1
)(1
1
Taylorentwicklung nach z bis zur ersten Ableitung ergibt nach exzessiver Rech-nerei:
……
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
zttM
cttMtt
z
m
z
mttMc
m
z
mttM
PVm
tt
m
ttzPV
PV
I iiIzz
I
i ttMt
iittM
t
I
BondtBond
Bond
t
i
i
I
I
∆×
×∆×+×+
−×−=
∆×
+
×∆×+
+
×+−
×
−×+
−≈∆
∑
∑
≡
= ++
• ),(),(11)(1
1
),(
1
),(1)(
)(1
1
0001
1 1),(0
1),(001
0100
1
© Dr. Daniel Sommer 90
.
zz
m
z
z
m
z
ttMc
m
z
ttM
mPVm
z
z
m
z
ttMc
m
z
ttM
mPVm
zm
tt
m
ttz
I
i ttMii
ttMI
Bond
tt
I
i ttMii
ttMI
Bond
iI
iI
∆×=∆××
+=
∆×
+
×∆×+
+
××
×
+=
∆×
+
×∆×+
+
××
++
−×
−×+−=
∑
∑
=
=
=
Duration modified Duration 1
1
1
),(
1
),(1
1
1
1
),(
1
),(1
1
1)(
)(1
1
1 ),(0
),(0
1 ),(0
),(001
01
00
01
00
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Kommentare
Beachte:
Bei der Darstellung mit cc Zinssätzengilt die Approximationsformel für die Än-derung des Bondpreises bei Änderung der Zinssätze unter wesentlich schwächeren Annahmen als bei der Darstellung mit peri-odischer Zinseszinsrechung:
© Dr. Daniel Sommer 91
.
Kommentare (modified) Dura-tion und Convexity
odischer Zinseszinsrechung:
• Es mußte nicht unterstellt werden, daß die Ausgangszinskurve flach ist.
• Es mußte keine Annahme über die Länge der Teilperioden getroffen werden. Insbesondere bleibt die Formel auch bei ungerader erster Periode gültig.
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Kommentare
Aber:
Alle Darstellungen von Wertveränderun-gen von Anleihen bei Ändeurng der zu-grundeliegenden Zinsen mit Hilfe von Duration und Convexity unterstellen eine parallele Verschiebung der Zinskurve.
© Dr. Daniel Sommer 92
.
Kommentare (modified) Dura-tion und Convexity
parallele Verschiebung der Zinskurve.
Daher ist es in der Praxis üblich, die mög-lichen Wertveränderungen von Zinsrisiko-positionen bei Änderung der zugrundelie-genden Zinssätze für verschiedene Lauf-zeitbänder (Buckets) getrennt anzugeben.
Man spricht von PVBP (present value of a basis point) oder PV01 pro bucket .
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Hedging mit
Problemstellung:
Gegeben seien zwei Bonds, Bond1(c1,T1)und Bond2(c2,T2), mit unterschiedlichen Coupons und Fälligkeiten. Bond2 soll durch Bond1 gehedged werden. D.h. es soll gerade eine solche Position in Bond1
© Dr. Daniel Sommer 93
.
Hedging mit Duration und Convexity
soll gerade eine solche Position in Bond1 eingegangen werden, daß die Wertverän-derungen in dieser Position die Wertverän-derungen in der Position in Bond2 gerade ausgleichen.
Welche Position in Bond1 muß eingegan-gen werden?
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Hedging mit
Hedgeratio auf Durationbasis:
11
2221
222
!
11111
Duration
Duration
Duration
Duration
BondBond
BondBondBondBond
BondBondBond
BondBondBondBondBond
PV
NPVN
yNPV
yNPVNPV
×××
=⇔
∆×××−=
∆×××−=×∆
© Dr. Daniel Sommer 94
.
Hedging mit Duration und Convexity
Hedgeratio auf Duration- und Convexitybasis:
111
2222
1
222
22
!
112
1111
Convexity 21
Duration
Convexity 21
Duration
)( Convexity 2
1 Duration
)( Convexity 2
1 Duration
BondBondBond
BondBondBondBond
Bond
BondBondBondBond
BondBondBondBondBondBond
PVy
NPVy
N
NPVyy
NPVyyNPV
×
∆××+−
××
∆××+−=⇔
××
∆××+∆×−=
××
∆××+∆×−=×∆
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Hedging mit
Hedging von Bonds mit Swaps:
Berechne Duration und Convexity des Bonds und des Swaps und wende obige Gleichungen für die Hedgeratio an. Approximativ genügt es bei langlaufenden Swaps, das Fixed Leg des Swaps darge-
© Dr. Daniel Sommer 95
.
Hedging mit Duration und Convexity: Anwendungen
Swaps, das Fixed Leg des Swaps darge-stellt als Coupon Bond zu betrachten.
Hedging von Bonds mit Futures:
Berechne Duration und Convexity der Terminpreise des Bonds und des vermutlichen CTDs, letzterer multipliziert mit dem Conversion Faktor, und wende obige Gleichungen für die Hedgeratio an.
… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt
Hedging mit
Anmerkungen:Die oben dargestellten Hedges sind aus verschiedenen Gründen nicht perfekt, d.h. nicht völlig risikofrei:• Swap- und Bondzinsen entwickeln sich
nicht immer parallel. D.h. der Spread zwischen Swaps und Bonds kann
© Dr. Daniel Sommer 96
.
Hedging mit Duration und Convexity: Anwendungen
zwischen Swaps und Bonds kann schwanken.
• Der CTD im Futures kann sich während der Laufzeit ändern.
• Der Futurespreis entspricht in der Reali-tät (richtigerweise) nicht dem Forward-preis. Der Unterschied zwischen beiden ist zufallsabhängig.
• Die Hedgeratios gelten nur lokal. Bei jeder marginalen Zinsänderung müßte der Hedge dynamisch angepaßt werden.
In diesem Modul wird diskutiert
Modul III
• was man unter Aktienoptionen versteht,
• was man aus statischen Portfoliostrategien über die Bewertung von Optionen lernen kann,
• was man unter Zustandspreisen versteht
© Dr. Daniel Sommer 97
• was man unter Zustandspreisen versteht und wie man damit Derivate bewertet,
• wie man die Konzepte der Duplikation und der No-Arbitrage auf dynamische Wertpa-piermärkte übertragen kann,
• wie man ein dynamisches Bewertungs-modell für Optionen konstruiert und darin Optionen bewertet.
Aktienoptionen
… was man unter Aktienoptionen ver… was man unter Aktienoptionen ver--stehtsteht
Definition Call:
Europäischer Call:Ein Europäischer Call auf eine Aktie einer be-stimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie die-ser Gattung zu einem festen Termin in der Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der Option festgelegten Strikepreis zu erwerben .
© Dr. Daniel Sommer 98
.Europäischer vs. Amerikanischer Call
Option festgelegten Strikepreis zu erwerben .
Amerikanischer Call:Im Gegensatz zum Europäischen Call kann der Käufer beim Amerikanischen Call nicht nur zum Fälligkeitszeitpunkt , sondern jederzeitzwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeit-punkt des Calls entscheiden, ob er die Aktie zum festgelegten Preis erwerben möchte oder nicht.
… was man unter Aktienoptionen ver… was man unter Aktienoptionen ver--stehtsteht
Definition Put:
Europäischer Put:Ein Europäischer Put auf eine Aktie einer be-stimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie die-ser Gattung zu einem festen Termin in der Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der Option festgelegten Strikepreis zu verkaufen .
© Dr. Daniel Sommer 99
.Europäischer vs. Amerikanischer Put
Option festgelegten Strikepreis zu verkaufen .
Amerikanischer Put:Im Gegensatz zum Europäischen Put kann der Käufer beim Amerikanischen Put nicht nur zum Fälligkeitszeitpunkt , sondern jederzeitzwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeit-punkt des Puts entscheiden, ob er die Aktie zum festgelegten Preis verkaufen möchte oder nicht.
… was man unter Aktienoptionen ver… was man unter Aktienoptionen ver--stehtsteht
Payoffprofile zum
Payoff Payoff
ST STK
K
Payoff Payoff
ST STK
K
Long Call Short Call
© Dr. Daniel Sommer 100
.
Payoffprofile zum Ausübungszeit-punkt
ST STK
K
Payoff Payoff
ST STK
K
Short PutLong Put
K:= Strikepreis
ST:= Aktienkurs bei Ausübung
… was man unter Aktienoptionen ver… was man unter Aktienoptionen ver--stehtsteht
Long Call
PayoffPayoff
FS(t;T)Kout-of-the-money
in-the-money
© Dr. Daniel Sommer 101
.Moneyness at-the-money
Kout-of-the-money
Beachte:
Die korrekte Bestimmung der Moneyness bezieht sich auf die Lage des Terminprei-ses der Aktie relativ zum Strikepreis der Option.
… was man unter Aktienoptionen ver… was man unter Aktienoptionen ver--stehtsteht
tstsD
tD
tS
t
t
in zahlbar in Dividendeder Schätzung :),(~
Zeitpunktzumzahlbar Dividende :
Zeitpunktzum Aktienkurs :
=
==
ts
tsB
tsBDStsFS
tti itsi
i
in fällig in Aktieder sTerminprei
;),(
),(:);(
|∑ ≤×−
=
K sStrikeprei :=
© Dr. Daniel Sommer 102
.Notation TKS
E)C(S,K,T
K
Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 auf Caller Europäisch
:,
sStrikeprei :
==
TKS
tE)S,K,TPVC(t
TKS
A)P(S,K,T
TKS
E)P(S,K,T
TKS
A)C(S,K,T
Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1
auf Callsen Europäisch eines in Preis :,;
Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 aufPut cher Amerikanis
:,
Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 aufPut er Europäisch
:,
Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 auf Callcher Amerikanis
:,
=
=
=
=
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
Preisober - und
0),,;(),,;( ≥≥≥ ETKtPVCATKtPVCSt
Call
),(),(),,;( TtBKttBDSETKtPVC Dtt D×−×−≥
P1: 1 Aktie; P2: C(K,T,A); P3: C(K,T,E)
© Dr. Daniel Sommer 103
.
Preisober - und Untergrenzen für Calls
P1: 1 AktieP2: C(K,T,E) + ),(),( TtBKttBD DtD
×+×
KSATKtPVC t −≥),,;(
Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung
)/,,;()/,,;( 2121 AETKtPVCAETKtPVCKK ≤⇒≥
P1: C(K1,T,E/A); P2: C(K2,T,E/A)
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
Konsequenzen
22121 );,,;(),,;(;0 TtETKtPVCETKtPVCTTD ≤∀≥⇒≥=•
Call
)E,T,K;T(PVC
);KSmax(
));T,T(BKSmax()E,T,K;T(PVC
T
T
22
1212
0
0
2
2
=
−≥
×−≥denn:
© Dr. Daniel Sommer 104
.
Konsequenzen der Dividenden-losigkeit
TtKSATKtPVCD t <∀−>⇒=• ;),,;(0
Außerdem:
)0;max(
)0);,(max(
),,;(),,;(
KS
TtBKS
ETKtPVCATKtPVC
t
t
−>×−≥
≥
denn:
Also:TtETKtPVCATKtPVCD <∀=⇒=• );,,;(),,;(0
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
Preisober - und
0),,;(),,;( ≥≥≥ ETKtPVPATKtPVPK
Put
),(),(),,;( TtBKttBDSETKtPVP Dtt D×+×+−≥
P1: K; P2: P(K,T,A); P3: P(K,T,E)
P1: 1 Aktie + P(K,T,E)
© Dr. Daniel Sommer 105
.
Preisober - und Untergrenzen für Puts
P1: 1 Aktie + P(K,T,E)P2: ),(),( TtBKttBD DtD
×+×
tSKATKtPVP −≥),,;(
Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung
)/,,;()/,,;( 2121 AETKtPVPAETKtPVPKK ≥⇒≥
P1: P(K1,T,E/A); P2: P(K2,T,E/A)
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
Fehlende
221
21
);,,;(),,;(
nicht folgt ;0
TtETKtPVPETKtPVP
TTD
≤∀≥≥=•
Put
Außerdem:
SKATKtPVP t−≥ )0;max(),,;(
© Dr. Daniel Sommer 106
.
Fehlende Konsequenzen der Dividenden-losigkeit
TtSTtBK
SKATKtPVP
t
t
<−×>−≥
);0;),(max(
)0;max(),,;(
Damit kann es auch bei dividendenlosen Ak-tien zu vorzeitigen Ausübungen von Puts kommen.
Also:
TtETKtPVPATKtPVP <∀≥ );,,;(),,;(
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
tdt SttBDTtBK
ETKtPVCETKtPVP
d−×+×+
=),(),(
),,;(),,;(
Europäische Optionen
© Dr. Daniel Sommer 107
.Put-Call-Parität Kauf: P(K,T,E)Verkauf: C(K,T,E)Kauf: Aktie SKreditaufnahme: K X B(t,T)Kreditaufnahme: D X B(t,td)
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
tdt
t
SttBDKATKtPVC
ATKtPVP
STtBKATKtPVC
d−×++
≤≤−×+
),(),,;(
),,;(
),(),,;(Amerikanische Optionen
Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt Nachweis 1. Ungleichung:
© Dr. Daniel Sommer 108
.Put-Call-Parität
Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt und betrachte folgende Portfolien:P1: Verkauf: C(K,T,A),
Kreditaufnahme: K X B(t,T) P2: Kauf: Aktie S und P(K,T,A)
Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt und betrachte folgende Portfolien:P1: Verkauf: P(K,T,A) und Aktie SP2: Kauf: C(K,T,A); Anlage Dtd
in Bond B(t,td), Kassenhaltung i.H.v. K
Nachweis 2. Ungleichung:
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
Box-Spreads: Zusammenhang
Europäische Optionen
Payoff
STK2K1
K2-K1
Box
© Dr. Daniel Sommer 109
.
Zusammenhang zwischen Optio-nen und Geld-markt
Kauf: C(K 1,T,E); Verkauf: P(K 1,T,E)Kauf: P(K 2,T,E); Verkauf: C(K 2,T,E)
Der Preis dieser Optionsposition zum Zeitpunkt t beträgt:
),()( 12 TtBKK ×−Damit ist diese Position – je nach Laufzeit der Optionen äquivalent zu einer Anlage am Geld- oder Kapitalmarkt.
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
Butterfly -
Europäische Optionen
Payoff
STK1 K3K2
© Dr. Daniel Sommer 110
.
Butterfly -Spreads: Konvexität von Optionspreisen Kauf: C(K 1,T,E); Kauf: C(K 3,T,E)
Verkauf: 2xC(K 2,T,E)
Es gilt:
0),,;(2),,;(),,;(
)(2
1
231
312
>×−+
⇒+=
ETKtPVCETKtPVCETKtPVC
KKK
… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann
Butterfly -
Europäische Optionen
Das vorige Ergebnis läßt sich auf beliebige Konvexkombinationen von Strikepreisen übertragen. Es gilt:
0),,;(),,;()1(),,;(
))1(( );1,0(
231
312
>−−+⇒−+=∈
ETKtPVCETKtPVCETKtPVC
KKK
λλλλλ
© Dr. Daniel Sommer 111
.
Butterfly -Spreads: Konvexität von Optionspreisen
231
Payoff bei gegebenem Zustand der Welt in T
Position
0
0 0 0
0 0
Summe Payoff
0 > 0 0
1KST < 21 KSK T <≤ TSK <332 KSK T <≤
)( 1KCλ
)()1( 3KCλ−
)( 2KC−
)( 1KST −λ )( 1KST −λ )( 1KST −λ
))(1( 3KST −− λ
2KST − 2KST −
0
)1( 3
>−−+
T
T
S
KS λλ
… was man unter Zustandspreisen … was man unter Zustandspreisen verstehtversteht
Butterfly-Spreads:
Europäische Optionen
Payoff
STK2∆−= 21 KK ∆+= 23 KK
Flächen-inhalt 1€!
∆1
© Dr. Daniel Sommer 112
.
Spreads: Zusammenhang mit Zustands-preisen
Es gilt für den Wert dieses Portfolios:
22
22
2222
0
);(
);();();();(1lim
K
KtPVC
KtPVCKtPVCKtPVCKtPVC
∂∂
=
∆∆−−−
∆−∆+
∆→∆
Kauf: 1/( )² C(K 1,T,E); Kauf: 1/( )² C(K 3,T,E)Verkauf: 2/( )²xC(K 2,T,E)
… was man unter Zustandspreisen … was man unter Zustandspreisen verstehtversteht
Intuitive Bewertungsregel:Wert = Summe über Menge x Einzelpreis
Derivatebewer -
Anwendung auf Derivate, deren Auszahlung nur von S T abhängt:Angenommen, die Auszahlung eines Derivates zum Zeitpunkt T hängt ausschließlich von dem Kurs ab, den die zugrundeliegende Aktie zum Zeitpunkt T an-
© Dr. Daniel Sommer 113
.
Derivatebewer -tung mit Zu-standspreisen
nimmt, dann läßt sich der Wert dieses Derivates heu-te bestimmen, wenn alle Zustandspreise für das Ein-treten der jeweiligen Aktienkurse heute bekannt sind. Diese sind bekannt, wenn die Preise aller Europä-ischen Call Optionen mit allen positiven reellwertigen Strikes bekannt sind. Es gilt:
dKK
ETKtPVCKTDTtPVD
2
2
0
),,;();();(
∂∂= ∫
∞
… was man unter Zustandspreisen … was man unter Zustandspreisen verstehtversteht
Derivatebewer -
Speziell gilt für :
dKK
ETKtPVC
TtB
dKK
ETKtPVCTtB
∫
∫
∞
∞
∂∂×=
⇔∂
∂×=
0 2
2
2
2
0
),,;(
),(
11
),,;(1),(
44444 344444 21
1);( ≡KTD
© Dr. Daniel Sommer 114
.
Derivatebewer -tung als Erwar-tungswert
Q
KT
∂ 44444 344444 21
Damit ist der Integrand in der zweiten Gleichung eine Dichte, die wir mit QT bezeichnen wollen, und wir können die Bewertungsformel der vorangegan-genen Folie als Erwartungswert bezüglich dieser Dichte schreiben:
[ ]);(),();( STDTtBTtPVDTQΕ×=
… was man unter Zustandspreisen … was man unter Zustandspreisen verstehtversteht
Derivatebewer -
Beachte:Die Darstellung des Preises eines Derivates als Erwartungswert hat nichts damit zu tun, daß die Wirtschaftssubjekte tatsächlich das Eintreten eines bestimmten Aktienkurses mit der Wahrscheinlich-keit QT erwarten.
Es ist lediglich eine formale Schreibweise für die
© Dr. Daniel Sommer 115
.
Derivatebewer -tung als Erwar-tungswert
Es ist lediglich eine formale Schreibweise für die Regel Wert = Summe über Menge x Einzelpreis, wobei die Einzelpreise die aus den Optionspreisen abgeleiteten Zustandspreise sind.
Die tatsächlichen Erwartungen der Wirtschaftssub-jekte sind zusammen mit ihren Präferenzen und ih-rer je individuellen Vermögenslage in den unter-schiedlichen Zuständen der Welt in die Options-preise eingeflossen.
… was man unter Zustandspreisen … was man unter Zustandspreisen verstehtversteht
Derivatebewer -
Problemstellung:
Die Kenntnis aller Optionspreise impliziert die Kenntnis aller Zustandspreise.
Mit Hilfe der Zustandspreise lassen sich alle anderen Derivate, deren Auszahlung zum Zeitpunkt T nur von dem in T realisierten Aktienkurs abhängt, bewerten.
Angenommen, die Optionspreise sind unbekannt.
© Dr. Daniel Sommer 116
.
Derivatebewer -tung als Erwar-tungswert
Angenommen, die Optionspreise sind unbekannt. Wohl aber ist der Kurs der zugrundeliegenden Aktie zu jedem beliebigen Zeitpunkt während der Optionslaufzeit beobachtbar, und es können zu jedem beliebigen Zeitpunkt Aktien gekauft und verkauft sowie „Geld“ aufgenommen oder angelegt werden.
Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, wiederum die Zustandspreise und damit dann die Optionspreise selbst zu bestimmen?
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung 1:
Wie lassen sich in dem unten angegebenen dynamischen Marktmodell Zustandspreise für das Eintreten der Zustände ω1 bzw. ω2 aus den Preisen der Aktie und des Zero Coupon Bonds berechnen?
PVADt1(ω1;ω1)=1
© Dr. Daniel Sommer 117
.Zwei-Perioden-Modell
0t 1t
PVADt1(ω1;ω1)=1PVADt1(ω2;ω1)=0
St1(ω1)=90B(t1,t1)=1
8,02 =p
2,01 =p
PVADt1(ω1;ω2)=0PVADt1(ω2;ω2)=1
St1(ω2)=120B(t1,t1)=1
PVADt0(ω1)=?PVADt0(ω2)=?
St0=100B(t0,t1)=1/1,1
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 1:
Betrachte folgendes duplizierendes Portfolio für AD(ω1;.):
( )1)()()(
mit )();(:)(
11
111
11
11
11
1=+×
=
tSt
ttt
BtS
BS
θωθ
θθθ
© Dr. Daniel Sommer 118
.Zwei-Perioden-Modell
0)()()( 11
211
1=+×∧ tSt BtS θωθ
( )
1)()()(
0)()()(
mit )();(:)(
12
212
12
112
12
12
12
1
1
=+×∧
=+×
=
tSt
tSt
ttt
BtS
BtS
BS
θωθ
θωθ
θθθ
und folgendes duplizierendes Portfolio für AD(ω2;.):
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 1:
Aufgrund der Duplikationseigenschaft der beiden Portfolien für AD(ω1;.) bzw. AD(ω2;.) muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung gelten:
)();()()( 11011
11
00ωθθ tBtS PVADttBtSt =×+×
© Dr. Daniel Sommer 119
.Zwei-Perioden-Modell
)();()()( 21012
12
00
00
ωθθ tBtS PVADttBtSt =×+×
Oder in Zahlen:
−=
−= 3;30
1:)( ; 4;
30
1:)( 1
21
1 tt θθ
33
20)( ;
33
10)( 21 00
== ωω tt PVADPVAD
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 1:
Definition: Die Verträge AD(ω1;.) und AD(ω2;.) heißen Arrow-Debreu-Securities. Allgemein versteht man unter Arrow-Debreu-Securities Wertpapiere, die genau in einem Zustand der Welt eine Konsumeinheit auszahlen.
Beobachtung 1: Die Preise der Arrow-Debreu-
© Dr. Daniel Sommer 120
.Zwei-Perioden-Modell
Beobachtung 1: Die Preise der Arrow-Debreu-Securities PVADt0(ω1) und PVADt0(ω2) sind dementsprechend Zustandspreise.
Beobachtung 2: In einem arbitragefreien Zwei-Perioden-Modell muß daher gelten:
( ) 1);(
1)()(
);()()(
;0)(
1021
1021
00
00
0
=+⇔
=+
>•
ttBPVADPVAD
ttBPVADPVAD
PVAD
tt
tt
t
ωω
ωω
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 1:
Beobachtung 3: Aus Beobachtung 2 folgt, daß durch die Arrow-Debreu-Preise in folgendem Sinne ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben ist:
);(
1)(q;
);(
1)(q:Q
1022
1011 00
×=×==
ttBPVAD
ttBPVAD tt ωω
Beobachtung 4: Damit gilt in einem arbitrage-
© Dr. Daniel Sommer 121
.Zwei-Perioden-Modell
Beobachtung 4: Damit gilt in einem arbitrage-freien Zwei-Perioden-Modell folgende allgemei-ne Bewertungsgleichung für Derivate, die vom Aktienkurspfad abhängen:
[ ]);();();( 110101
•Ε×= ωtDttBttPVDtQ
Beobachtung 5: Die physischen Wahrschein-lichkeiten p spielen bei der Bewertung von Deri-vaten im Zwei-Perioden-Modell keine Rolle. Dies ist eine Konsequenz der Duplikation.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung 2:
Anwendung der in Problemstellung 1 ange-wandten Methode zur Bestimmung der AD-Preise führt zu folgendem Ergebnis. Worin be-steht der Fehler in diesem Marktmodell?
PVADt1(ω1;ω1)=1
© Dr. Daniel Sommer 122
.Zwei-Perioden-Modell
0t 1t
PVADt1(ω1;ω1)=1PVADt1(ω2;ω1)=0
St1(ω1)=90B(t1,t1)=1
8,02 =p
2,01 =p
PVADt1(ω1;ω2)=0PVADt1(ω2;ω2)=1
St1(ω2)=110B(t1,t1)=1
PVADt0(ω1)=0PVADt0(ω2)=10/11
St0=100B(t0,t1)=1/1,1
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 2:Beobachtung 1: Die Tatsache, daß AD(ω1;.) = 0 ist, zeigt, daß es möglich ist, aus Aktien und Zero-Coupon Bonds ein Portfolio zu konstru-ieren, das heute Wert Null hat, aber in der Zu-kunft in einem Zustand der Welt eine strikt po-sitive und im anderen Zustand der Welt eine nicht-negative Auszahlung impliziert. Dieses
© Dr. Daniel Sommer 123
.Zwei-Perioden-Modell
nicht-negative Auszahlung impliziert. Dieses Portfolio ist also wie eine Lotterie, bei der man nie verliert, manchmal gewinnt und für die Teil-nahme nichts bezahlen muß. Dies ist eine Arbitragemöglichkeit .Beobachtung 2: Grund für die Existenz dieser Arbitragemöglichkeit ist die Tatsache, daß der Zero-Coupon Bond die Aktie dominiert , d.h. die prozentuale Wertsteigerung des Bonds immer mindestens so groß ist wie die der Aktie.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 2:
Beobachtung: Das aus den AD-Preisen abgeleitete Wahrscheinlichkeitsmaß ist im Gegensatz zu dem physischen W-Maß in Zustand ω2 konzentriert. Es belegt Zustand ω1der Welt mit Wahrscheinlichkeit Null, den das physische W-Maß mit positiver Wahrschein-
© Dr. Daniel Sommer 124
.Zwei-Perioden-Modell
lichkeit belegt:
( ) 1q;0q:Q 21 ===Wäre der Aktienkurs in ω2 noch geringer gewe-sen, wäre q1sogar negativ geworden.
Beobachtung: Sind alle AD-Preise strikt posi-tiv, so ist das Zwei-Perioden-Modell arbitrage-frei.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung 3:
Wie lauten die AD-Preise in diesem Modell? Ist das Modell arbeitragefrei?
St1(ω1)=80B(t1,t1)=1
1,01 =p
© Dr. Daniel Sommer 125
.Zwei-Perioden-Modell
0t 1t
St1(ω2)=90B(t1,t1)=1
St1(ω3)=120B(t1,t1)=1
St0=100B(t0,t1)=1/1,1
B(t1,t1)=11
2,02 =p
7,02 =p
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 3:Wir stellen uns vor, es würde neben der Aktie und dem Bond noch AD(ω1) gehandelt. Wir ermitteln duplizierende Portfolien für AD(ω2) und AD(ω3) und parametrisieren das Preis-system im Preis von AD(ω1):
( ) mit )();();(:)( 12
)(12
12
12
1= tttt ADBS θθθθ ω
© Dr. Daniel Sommer 126
.Zwei-Perioden-Modell
( )
0)()()(
1)()()(
0)()()()(
mit )();();(:)(
12
312
12
212
12
)(12
112
1)(111
1
1
11
1
=+×∧
=+×∧
=++×
=
tSt
tSt
ttSt
tttt
BtS
BtS
ADBtS
ADBS
θωθ
θωθ
θθωθ
θθθθ
ω
ω
( )
1)()()(
0)()()(
0)()()()(
mit )();();(:)(
13
313
13
213
13
)(13
113
13
)(13
13
13
1
1
11
1
=+×∧
=+×∧
=++×
=
tSt
tSt
ttSt
tttt
BtS
BtS
ADBtS
ADBS
θωθ
θωθ
θθωθ
θθθθ
ω
ω
AD(ω2)
AD(ω3)
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 3:
Aufgrund der Duplikationseigenschaft der beiden Portfolien für AD(ω2;.) bzw. AD(ω3;.) muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung gelten:
0)()();()()( 112
)(1012
12
010>×+×+× ωθθθ ω tADBtS PVADtttBtSt
© Dr. Daniel Sommer 127
.Zwei-Perioden-Modell
0)()();()()( 113
)(1013
13
010>×+×+× ωθθθ ω tADBtS PVADtttBtSt
Oder in Zahlen:
−=
−−=3
1;3;
30
1:)( ;
3
4;4;
30
1:)( 1
31
2 tt θθ
22
5)(0 10
<< ωtPVAD
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 3:
Beobachtung 1: Die auf der vorangegangenen Folie abgeleiteten Ungleichungen zeigen, daß es in diesem Marktmodell möglich ist, strikt po-sitive AD-Preise für alle AD-Securities abzulei-ten. Daraus folgt, daß es sich bei dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten Maß Q
© Dr. Daniel Sommer 128
.Zwei-Perioden-Modell
um ein strikt positives W-Maß handelt. Damit ist das Marktmodell arbitragefrei.
Beobachtung 2: Es gibt kein Portfolio aus Aktie und Bond, mit dem die AD-Securities exakt dupliziert werden können. Der Markt aus Aktie und Bond heißt deshalb unvollständig . Ein Markt heißt vollständig , wenn alle AD-Securities durch Portfolien aus gehandelten Wertpapieren dupliziert werden können.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 3:Beobachtung 3: Wegen der Unvollständigkeit des Marktes in den gehandelten Wertpapieren, sind ihre Preise nicht eindeutig bestimmt. Den-noch sind die Preise nicht beliebig. Es ließen sich vielmehr nicht-triviale Wertgrenzen angeben, innerhalb derer die entsprechenden Preise liegen müssen.
© Dr. Daniel Sommer 129
.Zwei-Perioden-Modell
müssen.
Es gibt zahlreiche Vorschläge, wie man aus den möglichen Preissystemen für AD-Securities bzw. aus den daraus abgeleiteten W-Maßen eines zur Bewertung von Derivaten auswählen kann. Eine Idee besteht darin, das abgeleitete W-Maß so zu wählen, daß es sich in gewissem Sinne möglichst wenig vom physischen Maß unterscheidet.
Merke: Bei unvollständigen Märkten ist die Be-wertung von Derivaten im allgemeinen nicht unabhängig vom physischen W-Maß!
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung:Ist der Wertpapiermarkt vollständig? Ist er arbitra-gefrei? Wie lassen sich in diesem Modell AD-Se-curities definieren? Wie lassen sich deren Preise zu den Zeitpunkten t1 und t0 bestimmen?
St2(ω1)=80B(t2,t2)=1
St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1
© Dr. Daniel Sommer 130
.Mehr-Perioden-Modell
St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1
St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²
B(t1,t2)=1/1,1St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140B(t2,t2)=1
0t 1t 2t
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:ωωωω: repräsentiert eine vollständige Historie der Welt. In unserem Fall besteht eine solche Histo-rie typischerweise aus einer Abfolge von Preisen gehandelter Wertpapiere.
ΩΩΩΩ: repräsentiert die Menge aller denkbaren Histo-rien der Welt.
stochastischer Prozeß: eine Abbildung wie folgt:
© Dr. Daniel Sommer 131
.Mehr-Perioden-Modell
stochastischer Prozeß: eine Abbildung wie folgt:
( ) ( )),(;);,();,(),(, 21 ωωωωω tStStStSt n
n
K=→ℜ→Ω×ℜ +
z.B. der Aktienkursprozeß, bei dem jedem Zeit-punkt und jeder Historie der Welt genau ein Ak-tienkurs zugeordnet wird.
S(.,ω): ω): ω): ω): Pfad eines stochastischen Prozesses, d.h. z.B. der Verlauf des DAX über einen gewissen Zeitraum
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:F: Sigma-Algebra, eine Menge von Teilmengen, die Ereignisse heißen, mit folgenden Eigenschaf-ten:
repräsentiert das unterscheidbare Wissen. Z.B. ( ) FAAAAFA
FAFA
FΩ
nnIii
c
∈∩∩∩→∈∈→∈
∈
+∈ LL 121 3.
2.
1.
© Dr. Daniel Sommer 132
.Mehr-Perioden-Modell
repräsentiert das unterscheidbare Wissen. Z.B. kann man F=Ω, Φ so interpretieren, daß man nur unterscheiden kann, ob Aktienkurse grundsätzlich beobachtbar sind oder nicht.Zufallsvariable : : : : eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
( ) ( ) FXX ii
n
∈→
ℜ→Ω
=−
= n1i1
n1i und )( KKωωMan sagt, X ist F-meßbar, d.h. das, was man grund-sätzlich wissen kann, reicht aus, um die unter-schiedlichen Werte von X zu beobachten.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
Beispiel zur Zufallsvariablen : : : : Jemand sitzt in einem hermetisch abgeschlossenen dunklen Raum. X kann die Werte annehmen „Sonne scheint“; „Sonne scheint nicht“. X ist für diese Per-son keine Zufallsvariable.
: Filtration, Folge von Sigma-Algebren mit folgender Eigenschaft:( ) TttF ∈
© Dr. Daniel Sommer 133
.Mehr-Perioden-Modell
Das Konzept der Filtration bedeutet, daß das potentielle Wissen um die Historie der Welt mit der Zeit stets zu- und nie abnimmt. Anders ausge-drückt: die Historie der Welt enthüllt sich im Zeit-ablauf und kann beliebig gespeichert werden.
folgender Eigenschaft:
2121 tt FFtt ⊂→<
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:Adaptierter stochastischer Prozeß : : : : Ein stochastischer Prozeß Sheißt adaptiert an eine Filtration (Ft) wenn gilt
D.h., der stochastische Prozeß ist zu jedem Zeit-punkt meßbar, oder das potentielle Wissen reicht zu jedem Zeitpunkt aus, um die Werte des stochasti-
TtFtS t ∈∀∈•− ),(1
© Dr. Daniel Sommer 134
.Mehr-Perioden-Modell
jedem Zeitpunkt aus, um die Werte des stochasti-schen Prozesses zu beobachten.
Vorhersehbarer stochastischer Prozeß : : : : Ein stochastischer Prozeß θ heißt vorhersehbar be-züglich einer Filtration (Ft) wenn gilt
TtFt t ∈∀∈•+− ),1(1θD.h., das Wissen um die Historie der Welt bis zum heutigen Tag reicht bereits aus, um den Wert des stochastischen Prozesses in der Folgeperiode zu kennen.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Beispiel:
St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²
St2(ω1)=80B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1
St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100B(t2,t2)=1
S (ω )=140
Aktienkurspfad
© Dr. Daniel Sommer 135
.Mehr-Perioden-Modell )( ;,;,;; ;;
210 4321 ittt PFFF ωωωωωφφ =Ω=Ω=
S und B sind adaptierte stochastische Prozesse, wobei B sogar vorhersehbar ist, da B nicht von ω abhängt und damit Ft0-meßbar ist.
Ein Zustand der Welt ist ein Pfad durch den Baum. Da die Entwicklung der Bondpreise deterministisch ist, ist ein solcher auch durch einen Aktienkurspfad gegeben.
)( iP ωMit der Potenzmenge, d.h. der Menge aller Teilmengen von Ω.
B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
Wertpapierpreisprozeß : : : : Eine Wertpapierpreis-prozeß Π ist ein vektorwertiger, adaptierter sto-chastischer Prozeß. Die einzelnen Komponenten des Vektors geben den jeweilige Preis des Wert-papiers an, der zu Beginn der Periode, bevor die Portfolien umgeschichtet werden können, bekannt gegeben wird. Beispiel:
© Dr. Daniel Sommer 136
.Mehr-Perioden-Modell
gegeben wird. Beispiel:
( ) ( )98,0;100),();()( ==Π TtBtSt
Portfoliowertprozeß : : : : Der Portfoliowertprozeß Vist ein reellwertiger, adaptierter stochastischer Prozeß, der wie folgt definiert ist:
)()1(:)( tttV TΠ×+= θ
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
selbstfinanzierende Portfoliostrategie : : : : Eine Portfoliostrategie θ heißt selbstfinanzierend, wenn für jeden Zeitpunkt t > t0gilt:
D.h., durch die Umschichtung des Portfolios ist dem Portfolio weder „Geld“ hinzugefügt, noch
)()()()1( tttt TT Π×=Π×+ θθ
© Dr. Daniel Sommer 137
.Mehr-Perioden-Modell
dem Portfolio weder „Geld“ hinzugefügt, noch entnommen worden.
Wertprozeß einer selbstfinanzierenden Portfo-liostrategie : : : : Für eine selbstfinanzierende Portfo-liostrategie läßt sich der Portfoliowertprozeß wie folgt schreiben:
( )
444 3444 21Integral hesstochstisc
101
1 101
)()()()(
)()()()()()(
∑
∑
=
= −
∆Π×+Π×=
Π−Π×+Π×=I
i iT
iT
I
i iT
iT
iT
I
tttt
ttttttV
θθ
θθ
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
Duplikation mittels selbstfinanzierender Portfo-liostrategie : : : : Eine Derivat sei eine FtI -meßbare Zu-fallsvariable D(tI). Eine Portfoliostrategie θ heißt selbstfinanzierend und das Derivat D duplizierend, wenn gilt:
∑ =∆Π×+Π×=
I
i iT
iT
I tttttD101 )()()()()( θθ
© Dr. Daniel Sommer 138
.Mehr-Perioden-Modell
Arbitragemöglichkeit : : : : Eine Arbitragemöglichkeit ist eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie, für die gilt:
≥∆Π×=
∧≤ ∑ =
ω
θ
ein mindestensfür ngleichungstrikten Ueiner mit
0)()()( 0)( 10
I
i iT
iI tttVtV
∑ =i 1
oder
0)()()()( 0)( 100 ≥∆Π×+=∧< ∑ =
I
i iT
iI tttVtVtV θ
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee:
St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²
St2(ω1)=80B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1
St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100B(t2,t2)=1
S (ω )=140
© Dr. Daniel Sommer 139
.Mehr-Perioden-Modell Definition AD-Security: Wertpapier, das in ge-
nau einem der 4 Zustände der Welt, ω1 … ω4, eine Auszahlung von einer Konsumeinheit liefert.
B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1
Bewertung AD-Security: Konstruiere für jede AD-Security eine selbstfinanzierende, duplizieren-de Portfoliostrategie aus Aktie und Bond. Marktvollständigkeit: Wenn für jede AD-Security eine selbstfinanzierende, duplizierende PF-Stra-tegie existiert, ist das Marktmodell vollsändig.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee:
St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²
St2(ω1)=80B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1
St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100B(t2,t2)=1
S (ω )=140
© Dr. Daniel Sommer 140
.Mehr-Perioden-Modell
B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1
Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten Zustand der Welt, ω1, sind folgende Gleichungssys-teme zu lösen:
=
×
0
1
)(
)(
1105
180
2,1
2,1
2
2
ωθωθ
Bt
St
×+×=
×
0
)(1110)(901110120
111090 2,12,1 22
1
1ωθωθ
θθ B
tSt
Bt
St
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee:
St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²
St2(ω1)=80B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1
St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100B(t2,t2)=1
S (ω )=140
© Dr. Daniel Sommer 141
.Mehr-Perioden-Modell
B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1
Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten Zustand der Welt, ω1, ergibt sich damit der aus der selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategie abgelei-tete Wert der zugehörigen AD-Security zu:
( )
×= B
t
St
tPVAD1
1
0121100100)( 1 θ
θω
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Zusammenhang 1: Ergibt sich aus der selbstfinanzie-renden Duplizierungsstrategie für mindestens eine AD-Security ein Wert kleiner oder gleich Null, so ist das Marktmodell nicht arbitragefrei. Gleiche Aussage: Exi-
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:
© Dr. Daniel Sommer 142
.Mehr-Perioden-Modell
Marktmodell nicht arbitragefrei. Gleiche Aussage: Exi-stiert keine Arbitragemöglichkeit, so sind die aus den jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleiteten Werte der AD-Securities alle strikt positiv.
Beleg: Die selbstfinanzierenden Duplizierungsstrate-gien für diejenigen AD.Securities, die zu Werten kleiner oder gleich Null führen, sind bereits Arbitragemöglich-keiten.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Zusammenhang 2: Gibt es keine Arbitragemöglich-keiten, so ist für jede AD-Security der aus selbstfinan-zierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete Wert eindeutig. Gleiche Aussage: Gibt es mindestens eine AD-Security, für die es unterschiedliche aus selbstfi-
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:
© Dr. Daniel Sommer 143
.Mehr-Perioden-Modell
AD-Security, für die es unterschiedliche aus selbstfi-nanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete Werte gibt, so gibt es Arbitragemöglichkeiten.
Beleg: Gehe die selbstfinanzierende Duplizierungs-strategie, die die höhere Anfangsinvestition erfordert short und die mit der geringeren Anfangsinvestition long. Dies ist ein Arbitragemöglichkeit, da der Wert dieses Portfolios heute negativ ist, es aber ausschließ-lich zu nicht-negativen Auszahlungen in der Zukunft kommt.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:
Zusammenhang 3: Sind die aus den jeweiligen sebst-finanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleiteten Werte der AD-Securities alle strikt positiv, so existiert keine Ar-bitragemöglichkeit. Gleiche Aussage: Existiert eine Arbitra-gemöglichkeit, so ist für mindestens eine der AD-Securities der aus der jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungs-
© Dr. Daniel Sommer 144
.Mehr-Perioden-Modell
Beleg: Jede nicht-negative Zahlung in der Zukunft läßt sich eindeutig als Linearkombination von AD-Securities mit positiven Koeffizienten schreiben. Da die Werte aller AD-Securities strikt positiv sind, hat jede strikt positive Zahlung einen strikt positiven Wert, eine Zahlung von Null einen Wert von Null. Damit ist die Existenz von Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen.
der aus der jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungs-strategie abgeleiteten Werte kleiner oder gleich Null.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Mehr-Perioden-Modell :
Wir verallgemeinern die für die AD-Securities einge-führte Notation wie folgt:
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Wahrscheinlichkeitsmaßen:
A: Zum Zeitpunkt s bekanntes Ereignis
( ) ts FBFAtsBtAsPV ∈∈≤ ,, ;,;,1
© Dr. Daniel Sommer 145
.
Modell :
Bewertung und Erwartungs-wertbildung
A: Zum Zeitpunkt s bekanntes Ereignis
B: Zum Zeitpunkt t bekanntes Ereignis
PV1(s,A;t,B): Wert einer Zahlung von einer „Konsum-einheit“ zum Zeitpunkt t bei Eintritt von Ereignis B er-mittelt zum Zeitpunkt s im Ereignis A.
Speziell:
( ) )(,;,1 1120 0ωω tPVADttPV =Ω
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Beispiele:
St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²
St2(ω1)=80B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1
St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100B(t2,t2)=1
S (ω )=140
Mehr-Perioden-Modell :
© Dr. Daniel Sommer 146
.
B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1
Modell :
Bewertung und Erwartungs-wertbildung
( )( )( )
( )11
2,;,1
121
8,;,1
definiertnicht ,;,1
0,;,1
,;,
321
120
3230
321
4321
=
=Ω
==
==
ω
ω
ωωω
ωωωω
tBtPV
ttPV
ttPV
tAtPV
BA
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Martingal
St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²
St2(ω1)=80B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1
St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100B(t2,t2)=1
S (ω )=140
Mehr-Perioden-Modell :
© Dr. Daniel Sommer 147
.
B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1
Modell :
Bewertung und Erwartungs-wertbildung ( )∑ =
=Ω4
1 2020
1,;,1);(
1i ittPV
ttBω
Wie zuvor gilt auch im Mehrperiodenmodell:
[ ]);();();( 22020 •Ε×= ωtDttBttPVD Q
Läßt sich der Preis des Derivates auch zum Zeit-punkt t1 auf den Ereignissen A und B als Erwar-tungswert der Endauszahlung darstellen?
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
MartingalMehr-Perio-den-Modell :
Bewer -
( ) ( )
( ) ( ) )t;A,t(B,t;,tPVA,t;,tPV
);t(D
);t(D,t;,tPVA,t;,tPV
),t;A,t(PVD
i i
i ii
=
•
=•
=ΩΩ
≡
×ΩΩ
=
∑
∑
ω
ω
ωωω
212
1 2010
2
2
1 22010
21
1
damit
11
1
1für speziell
11
1
© Dr. Daniel Sommer 148
.Bewer -tung und Erwar-tungs-wertbil-dung
( ) ( )
( )( )
[ ]A|);t(DE)t;A,t(B
);t(D)A|(q)t;A,t(B
);t(D,t;,tPV
,t;,tPV)t;A,t(B),t;A,t(PVD
,t;,tPV)t;A,t(B
A,t;,tPV
Q
i ii
i i
i i
i
i i
•
=
=
=
•
=
×=
××=
×Ω
Ω×=
Ω=Ω
∑
∑∑
∑
ω
ωω
ωω
ωω
ω
221
2
1 221
2
1 22
1 20
202121
2
1 2021
10
1
1
damit
11
1
ACHTUNG: Im Folgenden nutzen wir, daß Zinsen determi nistisch sind.
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Martingal
Mehr-Perioden-Modell :
[ ] jiFXEXiji tt
Qt ≤= ; |
Martingal: Ein an die Filtration F adaptierter stochastischer Prozeß X heißt Martingal unter dem Maß Q, wenn gilt:
© Dr. Daniel Sommer 149
.
Modell :
Bewertung und Erwartungs-wertbildung
Beobachtung: Unter dem aus den Preisen der AD-Assets abgeleiteten Wahrscheinlichkeitsmaß Q sind die Prozesse der Terminpreise aller gehandelten Wertpapiere Martingale. Es gilt:
jj tktiiJj
JkjQ
Jj
Jij
tiiQi
FC;FAA)t;t(B
),t;C,t(PVDE
)t;t(B
),t;A,t(PVD
FAA)t;t(B
);t(DE
)t;t(B
),t;A,t(PVD
∈∈∀
=
∈∀
=
−
•
−
•−
••
1
1
r allgemeineoder
1
1
22
2
21
21
ωω
ωω
… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt
Interpretation
Mehr-Perioden-Modell :
Das aus den Preisen der AD-Securities abgeleite-te Wahrscheinlichkeitsmaß Q ist das Martingal-maß für die Terminpreisprozesse aller gehandel-ten Wertpapiere. In einem vollständigen und arbitragefreien Wertpapiermarktmodell ist dieses Maß eindeutig , weil die aus duplizierenden und selbstfinanzierenden Handelsstrategien abge-
© Dr. Daniel Sommer 150
.
Modell :
Bewertung und Erwartungs-wertbildung
selbstfinanzierenden Handelsstrategien abge-leiteten Preise aller AD-Securities eindeutig sind.
Unter dem Martigalmaß gilt: Die erwartete Ren-dite aller gehandelten Wertpapiere ist gleich und entspricht in jeder Periode dem „risikofreien“ Periodenzinssatz :
( )1
11 11
−
−− ∈∀
==
•−
•
−
−j
jjittii
Jij
jQ
Jj
JjttrFAA
),t;A,t(PVD
);t(PVDE
)t;t(B
)t;t(Be
ωω
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Konstruktions-verfahren:
PVADt1(ω1;ω1)=1St1(ω1)=St0u
B(t1,t1)=1
eu t− ∆µ
du
dep
t
−−=
∆µ
1
PVADt1(ω1;ω2)=0S (ω )= S d
PVADt0(ω1)= St0
B(t0,t1)=tre ∆−
du
dee
trtr
−−∆
∆−
© Dr. Daniel Sommer 151
.Beobachtung 1: Unter dem physischen Wahrschein-lichkeitsmaß P ergibt sich für die erwartete Rendite der Aktie:
verfahren:
2-Perioden-Modell
du
eup
t
−−=
∆µ
2
St1(ω2)= St0dB(t1,t1)=1
t
t
t
t
te
S
dSp
S
uSp ∆=×+× µ
0
0
0
021
Da µ beliebig ist, gilt unter dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten W-Maß Q:
tr
t
t
t
te
S
dSq
S
uSq ∆=×+×
0
0
0
021
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Wahl von u und d : Folgende Wahl von u und d er-laubt es, mit wachsender Genauigkeit eine vorge-gebene Varianz der Aktienkursrendite σσσσ2222 im Modell abzubilden:
Konstruktions-verfahren:
tt ed;eu ∆−∆ == σσ denn:
( )[ ]
−+−+ 222 1 dpupdpup
© Dr. Daniel Sommer 152
.verfahren:
2-Perioden-Modell
( )[ ]
( )
( )
+
∆−−=
∆−−∆+=
∆−−+=
∆−+−+
=
∆∆∆
→∆
∆∆
→∆
∆∆
→∆
→∆
22
0
22
0
2
0
211
22
21
0
2
12lim
12lim
lim
1lim
σ
σ
σ
µµµ
µµ
µµ
ttt
t
tt
t
tt
t
t
et
ee
t
ete
t
euddue
t
dpupdpup
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Konstruktions-verfahren:
Beobachtung 2: Bei der gegebenen Wahl von uund d ist das 2-Perioden-Modell arbitragefrei, solan-ge die Zinsen nicht negativ sind und die Aktienkurs-entwicklung mit Unsicherheit behaftet, d.h., σ σ σ σ posi-tiv ist.
Beobachtung 3: Da µ in der vorangegangenen
© Dr. Daniel Sommer 153
.verfahren:
2-Perioden-Modell
Beobachtung 3: Da µ in der vorangegangenen Rechnung beliebig war, gilt auch unter dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten Martin-galmaß, daß das Modell bei der vorgegebenen Wahl von u und d in der Lage ist, die vorgegebene Varianz der Akienkursrendite für ∆t 0 mit belie-biger Genauigkeit zu treffen. D.h., der Wechsel des W-Maßes ändert in diesem Modell die er-wartete Rendite , nicht aber die Schwankung der Rendite des Aktienkurses.
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Konstruktions-verfahren:
Ein Mehr-Perioden-Modell erhält man durch Aneinanderreihung von 2-Perioden-Modellen:
St0B(t ,t )=
St2(ω1)= St0uuB(t2,t2)=1St1(ω1,2)=St0u
B(t1,t2)= St2(ω2)= St0ud= St2(ω3)
B(t2,t2)=1tre ∆− 2
tre ∆−
© Dr. Daniel Sommer 154
.verfahren:
Mehr-Perioden-Modell
B(t0,t2)=
St1(ω3,4)= St0d
B(t1,t2)=
B(t2,t2)=1
St2(ω4)= St0ddB(t2,t2)=1
e
tre ∆−
Beachte: Das Konzept, daß ein Pfad durch den Baum einen Zustand der Welt repräsentiert, ist auch hier nach wie vor gültig, auch wenn der Aktienkurs zu einem Zeitpunkt nur von der Anzahl, nicht aber von der Reihenfolge der up- und down-moves abhängt.
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Bewertung
Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch rekursive Erwartungswertbildung über den Zah-lungsstrom der Option unter dem Martingalmaß und Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:
Ct2(ω1)= [St0uu-K]+
St2(ω1)= St0uuB(t2,t2)=1St1(ω1,2)=St0u
© Dr. Daniel Sommer 155
.
Bewertung Europäischer Optionen
St0B(t0,t2)=
St1(ω3,4)= St0d
B(t1,t2)=
t1 1,2
B(t1,t2)=
tre ∆− 2
tre ∆−
tre ∆−
Ct2(ω2,3)= [St0-K]+
St2(ω2,3)= St0
B(t2,t2)=1
Ct2(ω4)= [St0dd-K]+
St2(ω4)= St0ddB(t2,t2)=1
[ ][ ]
121
121
);(),(
);(),(
2143
2121
ttQ
t
ttQ
t
FCEttBC
FCEttBC
×=
×=
ωω
ωω
[ ]010
);()( 10 ttQ
t FCEttBC ×=Ω
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Bewertung
Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch rekursive Erwartungswertbildung über den Zah-lungsstrom der Option unter dem Martingalmaß und Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:
Ct2(ω1)= [K-St0uu]+
St2(ω1)= St0uuB(t2,t2)=1St1(ω1,2)=St0u
© Dr. Daniel Sommer 156
.
Bewertung Amerikanischer Optionen
St0B(t0,t2)=
St1(ω3,4)= St0d
B(t1,t2)=
t1 1,2
B(t1,t2)=
tre ∆− 2
tre ∆−
tre ∆−
Ct2(ω2,3)= [K-St0]+
St2(ω2,3)= St0
B(t2,t2)=1
Ct2(ω4)= [K-St0dd]+
St2(ω4)= St0ddB(t2,t2)=1
[ ][ ][ ][ ]
1121
1121
2143
2121
tttQ
t
tttQ
t
SK;FPE)t;t(Bmax),(P
SK;FPE)t;t(Bmax),(P
−×=
−×=
ωω
ωω
[ ][ ]0010
;);(max)( 10 tttQ
t SKFPEttBP −×=Ω
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Options -Delta
Vorgehensweise: Berechne die duplizierende, selbstfinanzierende Portfoliostrategie für die Option:
St0B(t0,t2)=
C (ω )
Ct1(ω1,2)St1(ω1,2)=St0u
B(t1,t2)=
tre ∆− 2
tre ∆−
© Dr. Daniel Sommer 157
.
Options -Delta und Options-Hedgingstrategie
B(t0,t2)= Ct1(ω3,4)
St1(ω3,4)= St0d
B(t1,t2)=
e
tre ∆−
1
1
11
11
1 )()(
)()(
4,32,1
4,32,1
t
t
tt
ttSt S
C
SS
CC
∆∆
=−−
=ωωωω
θ
Interpretation: Der Aktienanteil an der duplizieren-den, selbstfinanzierenden Portfoliostrategie ent-spricht der „Ableitung“ des Optionspreises nach dem Aktienkurs.
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Bewertungs -
Idee: Berechne den Erwartungswert der diskon-tierten Zahlungsströme unter dem Martingalmaß
6Su
42 uSd
33 uSd
24 uSd
5Sdu
S
KSu −6
KSdu −5
0
0
KuSd −42
K
© Dr. Daniel Sommer 158
Die Bewertungs -formel für Euro-päische Calls im Binomialbaum
[ ][ ]( )
( )
( ) jJj)t,T(J
aj
jJj)t,T(J
aj
jJj)t,T(J
aj
tJrjJj)t,T(J
aj
jJjjJj)t,T(J
aj
Ttt
)q(qj
JK)T,t(Bq)q(
j
JS
)q(qj
JK)T,t(Bed)q()qu(
j
JS
KSdu)q(qj
J)T,t(B
KSE)T,t(B)T,K;S(PVC
**
**
*
−∆
>
−∗∗∆
>
−∆
>∆−−∆
>
−−∆
>
+
−×
××−−×
×=
−×
××−×−×
×=
−×−×
×=
−×=
∑∑
∑∑
∑
11
11
1
0
0
0
000
mit
KSdu aJa =∗∗ −
6Sd
15 uSd
0
0
0
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Bewertungs-formel für Euro -
Idee: Betrachte im Binomialmodell die Situation ∆t 0, wobei die Varianz des Logarithmus des Aktienkurses über einem beliebigen Zeitintervall [0;t], d.h. σ²t, konstant gehalten wird.
[ ][ ]( )
( )( ) ( )( )),(,;B1),(),(,;B1
)1(),(1)(
),(),;(
),(0
),(
0
**0
00
tTJqaKTtBtTJqaS
qqj
JKTtBqq
j
JS
KSETtBTKSPVC
jJjtTJ
aj
jJjtTJ
ajt
Ttt
∆−××−∆−×=
−×
××−−×
×=
−×=
∗∗∗
−∆
>
−∗∗∆
>
+
∑∑
© Dr. Daniel Sommer 159
formel für Euro -päische Calls im Grenzwert für stetige Zeit
( )( ) ( )( )),(,;B1),(),(,;B1 00tTJqaKTtBtTJqaSt ∆−××−∆−×= ∗∗∗
( ):,;B npa
Wegen des Zentralen Grenzwertsatzes konvergieren binomialverteilte Zufallsva-riablen in Verteilung gegen normalverteil-te Zufallsvariabeln
−
×××−
+
××
T
TTtBK
S
TtBKT
TTtBK
S
S
tt
t σ
σ
σ
σ 2
00
2
0 21
),(ln
N),(21
),(ln
N
00
0
kumulierte Binomialverteilung an der Stelle a mit Erfolgswahr-scheinlichkeit p und n Versuchen
( ):N x kumulierte Standardnomalverteilung an der Stelle x
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Optionspreis -
Delta: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Calls positiv, bei Puts negativ.Gamma: Marginale Änderung des Deltas bei mar-ginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Calls und Puts positiv.
Vega: Marginale Änderung des Optionspreises bei
© Dr. Daniel Sommer 160
.
Optionspreis -sensitivitäten:
Die „Griechen“
Vega: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung der Volatilität (d.h. Varianz oder Standardabweichung) der Aktienkursrendite: bei Calls und Puts positiv.
Rho: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung des Zinssatzes: bei Calls positiv, bei Puts negativ.
Theta: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Reduzierung der Restlaufzeit: bei Calls negativ, bei Puts i.d.R. negativ, aber ggf. positiv bei ITM Puts.
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Griechen
Portfolio-Preis
0
5
10
15
20
25
30
35
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
1
Portfolio-Vega
0
5
10
15
20
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
0
© Dr. Daniel Sommer 161
Griechen für Standard Calls
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
05
101520253035
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Griechen
Portfolio-Preis
0
5
10
15
20
25
30
35
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
0
Portfolio-Vega
0
5
10
15
20
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
2
© Dr. Daniel Sommer 162
Griechen für Standard Puts
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-40
-30
-20
-10
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
AktienkursR
ho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Griechen
Portfolio-Preis
0
5
10
15
20
25
30
35
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
1,2
Portfolio-Vega
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
15
© Dr. Daniel Sommer 163
für Call Spreads (kurze Laufzeit)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-10
-5
0
5
10
15
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-4-3-2-101234
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Griechen
Portfolio-Preis
0
5
10
15
20
25
30
35
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
1,5
Portfolio-Vega
0
5
10
15
20
25
30
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
2
© Dr. Daniel Sommer 164
Griechen für long Strad-dles
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-8
-6
-4
-2
0
2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-30
-20
-10
0
10
20
30
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Griechen
Portfolio-Preis
0
2
4
6
8
10
12
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
1
Portfolio-Vega
0
2
4
6
8
10
12
14
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
2
© Dr. Daniel Sommer 165
Griechen für long Stran-gles
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
00,020,040,060,080,1
0,120,14
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-10
-5
0
5
10
15
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Griechen für long
Portfolio-Preis
-3
-2
-1
0
1
2
3
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
0,3
Portfolio-Vega
-20
-15
-10
-5
0
5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
5
© Dr. Daniel Sommer 166
für long Butterfly-spreads
Was ist falsch?
-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1
00,10,20,3
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-2
-1
0
1
2
3
4
5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-15
-10
-5
0
5
10
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Die Griechen für long
Portfolio-Preis
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
0,2
Portfolio-Vega
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
2
© Dr. Daniel Sommer 167
für long Butterfly-spreads
Richtig!-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
-0,02-0,015-0,01
-0,0050
0,0050,01
0,0150,02
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-6
-4
-2
0
2
4
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Welche
Portfolio-Preis
-2
0
2
4
6
8
10
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
1,5
Portfolio-Vega
-4
-3
-2
-1
0
1
2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
150
© Dr. Daniel Sommer 168
Welche Position hat der Händler? -1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-100
-50
0
50
100
150
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Portfolio-Preis
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta
0
Portfolio-Vega
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta
2
© Dr. Daniel Sommer 169
Was ist falsch?
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-6-5-4-3-2-1012
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho
-40
-30
-20
-10
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Wie man den Feh -
Portfolio-Preis: Delta-neutral
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
Portfolio-Delta: Delta-neutral
1
Portfolio-Vega
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Veg
a
Portfolio-Theta: Delta-neutral
0
© Dr. Daniel Sommer 170
den Feh -ler nut-zen kann
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Del
ta
Portfolio-Gamma
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Gam
ma
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
The
ta
Portfolio-Rho: Delta-neutral
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Rho
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Idee: Betrachte das Theta eines delta-neutralen Portofolios
Das delta-neutrale Portfolio ist wie folgt zusammen-gesetzt:
Kauf des ursprünglichen Options-Portfolios PF und Finanzierung auf Kredit für eine Laufzeit kleiner der Laufzeit der Optionen
© Dr. Daniel Sommer 171
ökonomische Interpretation
Laufzeit der Optionen
Kauf von Aktien in der Anzahl des negativen Deltas von PF und Finanzierung auf Kredit für eine Lauf-zeit kleiner der Laufzeit der Optionen
Zusammensetzung und Wert des delta-neutalen Portfolios:
0),(),(
),(),(
...
=××
∂∂
+×∂
∂−×−
=∆
TtBTtB
SS
PVPF
SS
PVPFTtB
TtB
PVPFPVPF
neutralPVPF
const
t
t
constconst
tt
t
443442143421321
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Das Thea des delta-neutralen Portfolios ergibt sich zu:
=××
∂∂
×+
×∂
∂∂
−××−∂
=∂∆∂
tt
t
const
t
tt
t
TtBS
S
PVPF
r
SS
PVPF
TtBPVPF
rPVPF
t
neutralPVPF
),(),( .43421
© Dr. Daniel Sommer 172
ökonomische Interpretation
×∂
∂−×−
∂∂
=×∂×+∂
−××−∂
∂
=
tt
tt
const
const
const
tt
SS
PVPFPVPFr
t
PVPF
TtBTtB
Srt
TtBTtB
PVPFr
t
PVPF),(
),(),(
),(.0
.
.443442144 344 21321
Arbitragefreiheit erfordert, daß gilt:
2
2
t
tt
tt
t
t
S
PFS
S
PVPFPVPFr
t
PVPF
t
neutralPVPF
∂∂
−∝
×∂
∂−×−
∂∂
=∂∆∂
… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert
Wie man den Feh -
Portfolio-Preis
30
40
Idee: Nutze Verstoß gegen die Put-Call-Parität
© Dr. Daniel Sommer 173
den Feh -ler auch nutzen kann
-40
-30
-20
-10
0
10
20
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Pre
is
In diesem Modul wird diskutiertModul IV
• wie man einen Überblick über die Welt der exotischen Optionen gewinnen kann,
• ob und wie man einige exotische Optionen in den bisher diskutierten Modellen bewer-ten kann,
Besondere Bewertungsal-gorithmen:
© Dr. Daniel Sommer 174
• welche besonderen Charakteristika be-stimmte exotische Optionen aufweisen und welche Konsequenzen dies für das Hedging hat,
• wie man Dividenden in das bisherige Bewertungsmodell einbauen kann.
Exotische Optionen und Dividenden
… wie man einen Überblick über exoti… wie man einen Überblick über exoti--sche Optionen gewinnen kannsche Optionen gewinnen kann
Versuch einer Klassifizierung
Digital-Optionen
Cash-Or-Nothing
Asset-Or-Nothing
pfadabhängi-ge Optionen
von expliziten Schranken abhängig
von Optimalitätskriterien abhängig
von Kursdurchschnitt abhängig (Asian Options)
von Kursextrema abhängig
© Dr. Daniel Sommer 175
Achtung: Jede Klassifizie-rung ist unvoll-ständig!
exotischeOptionen
(Lookback Options)
korrelations-abhängige Optionen
Forward-Start/ Cliquet/ Reverse Cliquet/ Napoleon
Spread zwischen zwei Assets
best/worst-of (Rainbow) Optionen
Outperformance Optionen
Quanto Optionen
pfad- und kor-relationsab-hängige Op-tionen
Outside-Barrier Optionen
Himalaya Optionen
… wie man einen Überblick über exoti… wie man einen Überblick über exoti--sche Optionen gewinnen kannsche Optionen gewinnen kann
pfadabhängige pfadab-
von expliziten Schranken abhängig
von Optimali-
Barrier up/down-and-in/out
Continuous/Discrete Monitoring
Partial/Window/Double Barriers
Parisian Option
Simple/Complex Chooser
Range accruals: Hamster etc.
© Dr. Daniel Sommer 176
pfadabhängige Optionen im Detail
pfadab-hängige Optionen
von Optimali-tätskriterien abhängig
von Kurs-durchschnitt abhängig
von Kursextrema abhängig
Forward-Start/(Reverse)Cliquet/Napoleon
Simple/Complex Chooser
Option-on-Option (Compund)
Geom. /Arithm. Avg. Rate
Geom. /Arithm. Avg. Strike
max/min Rate
max/min Strike
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Payoff eines Cash-or-Nothing Call:
Payoff eines Cash-or-Nothing Put:
© Dr. Daniel Sommer 177
Europäische Digitaloptionen Payoff eines Asset-or-Nothing Call:
Payoff eines Asset-or-Nothing Put:
… was man über Chrakteristika und … was man über Chrakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Cash-or-Nothing Call
Call-
Hedge-Portfolio für CON-Call in der Nähe des Strikepreises K2 ist nicht beherrschbar, Gamma geht gegen Unendlich, daher Hedging und Bewertung in der Praxis über Call-Spreads.
© Dr. Daniel Sommer 178
.
Kauf: C(K 1,T,E); Verkauf: C(K 2,T,E)
Payoff
STK2K1
K2-K1
Europäische Digitaloptionen
Call-Spread
CON-Call
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Payoff Up-and-In Barrier Call:6Su
42 uSd
33 uSd
24 uSd
15 uSd
5Sdu
SK
B
KSu −6
KSdu −5
0
0
0
KuSd −42 0
© Dr. Daniel Sommer 179
Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen
6Sd
uSd 0
0
Payoff Up-and-Out Barrier Call:6Su
6Sd
42 uSd
33 uSd
24 uSd
15 uSd
5Sdu
SK
BKuSd −42
0
0
0
0
0
0
0
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Bewertung von Barrier Optionen:
Die Bewertung von Out-Barrier-Optionen kann im Bino-mialbaum durch Rückwärtsinduktion erfolgen. Dabei wird der Wert der Option jeweils bei Berühren der Bar-riere auf Null gesetzt.
Zur Bewertung von In-Barrier-Optionen kann man die Tatsache nutzen, daß für sonst gleiche Optionstypen
In-Barrier -Option plus Out -Barrier -Option =
© Dr. Daniel Sommer 180
Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen
In-Barrier -Option plus Out -Barrier -Option = Standard-Option
ist.
Beachte aber folgende Probleme bei der Bewertung von Barrier-Optionen im Baum:
Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigen-schaften der Bewertung im Baum, falls die Barriere nicht auf Knoten des Baumes fällt.
Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigen-schaften, falls die Optionsdefinition eine kontinuierliche Beobachtung der Barriere verlangt.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Veranschaulichung der Fehlbewertung von Barrier Optionen und der schlechten Konvergenzeigen-schaften des Binomialmodells bei nicht auf den Baumknoten liegenden Barrieren:
© Dr. Daniel Sommer 181
Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Hedging von Barrier Optionen:
Aufgrund der Diskontinuität im Preis an der Barriere sind Barrier-Optionen schwieriger zu hedgen als Standard-Optionen (sehr hohes Gamma in der Nähe der Barriere).
Besonders problematisch bei Up-and-Out Calls und
© Dr. Daniel Sommer 182
Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen
Besonders problematisch bei Up-and-Out Calls und Down-and-Out Puts. Weniger bedeutsam bei Down-and-Out/In Call oder Up-and-Out/In Put. (Warum?)
Praktische Abhilfe:
Verschiebung der Barriere und Überhedging der Optionen (Wohin?)
Statisches Hedging
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Statisches Hedging von Barrier Optionen:Methode von Derman, Egerer, Kani (1995)
© Dr. Daniel Sommer 183
Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Partial-/Window-, Double-Barrier und Parisian Options:
Partial-/Window-Barriers:
Die Barriere-Bedingung gilt nur für einen Teil der Laufzeit
© Dr. Daniel Sommer 184
Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen
Die Barriere-Bedingung gilt nur für einen Teil der Laufzeit der Option, der entweder am Anfang oder Ende der Lauf-zeit (Partial) oder in irgendeinem Fenster zwischen Beginn und Ende der Laufzeit (Window) liegt.
Double-Barriers:
Es gibt eine obere und eine untere Schranke. Überqueren oder Berühren einer der beiden Schranken genügt, um die mit der Barriere verbundenen Konsequenzen (In/Out) auszulösen.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Parisians:
Es genügt nicht, die Barriere zu einem einzigen Zeitpunkt zu berühren oder zu überqueren. Um die damit verbun-denen Konsequenzen auszulösen, muß sich der Aktien-
Partial-/Window-, Double-Barrier und Parisian Options:
© Dr. Daniel Sommer 185
Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen
denen Konsequenzen auszulösen, muß sich der Aktien-kurs während eines vorher festgelegten Mindestzeitraums laufend jenseits der Barriere aufhalten.
Die „Uhr“ beginnt jedesmal von vorne zu laufen, wenn die Barriere überschritten wird, bis entweder der Fälligkeits-termin der Option erreicht ist oder sich der Kurs der Aktie für ein Zeitintervall von mindestens der vorgeschriebenen Länge dauerhaft jenseits der Barriere aufgehalten hat.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
6Su
6Sd
42 uSd
33 uSd
24 uSd
15 uSd
5Sdu
S
dB
uB
Hamster, Hase, Boost:
Hamster:
© Dr. Daniel Sommer 186
Europäische Pfadabhängige Optionen: Range Accrual Options
6SdHamster:
Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der Laufzeit, an dem der Aktienkurs innerhalb der Schranken lag eine Geldeinheit gezahlt.
Hase:
Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der Laufzeit, an dem der Aktienkurs außerhalb der Schranken lag eine Geldeinheit gezahlt.
Boost:
Nur wenn der Kurs während der gesamten Laufzeitinnerhalb der Schranken gelegen hat, erfolgt eine Zahlung in vorher festgelegter Höhe.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
6Su
42 uSd
33 uSd
24 uSd
15 uSd
5Sdu
S
dB
uB
Vegaposition beim Hamster0>Vega
0<Vega
© Dr. Daniel Sommer 187
Europäische Pfadabhängige Optionen: Range Accrual Options
6Sd0>Vega
6Su
6Sd
42 uSd
33 uSd
24 uSd
15 uSd
5Sdu
S
dB
uB
Vegaposition beim Hasen0<Vega
0>Vega
0<Vega
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
6Su
42 uSd
33 uSd
5Sdu
S
Payoff und Bewertung einer Chooser Option
Put
vo
rtei
lhaf
tC
all
vort
eilh
aft
0
© Dr. Daniel Sommer 188
Pfadabhängige Optionen: Chooser Optionen
6Sd
24 uSd
15 uSd
Put
vo
rtei
lhaf
t
Zeitpunkt der Entscheidung zwischen Call und Put
24 uSdK −
Die Bewertung der Chooser Option kann per Rückwärtsinduktion erfolgen:
Man bewertet zunächst sowohl Put wie Call.
Am Entscheidungszeitpunkt läßt man in jedem Knoten die billigere der beiden Optionen fallen und führt die Bewertung mit der jeweils verbleibenden Option zu Ende.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
Complex und Simple Chooser Option
Complex Chooser:
Strike und Laufzeit von Put und Call sind unterschiedlich.
Simple Chooser:
Strike und Laufzeit von Put und Call sind gleich.
© Dr. Daniel Sommer 189
Pfadabhängige Optionen: Chooser Optionen
Bewertung von Simple Chooser Optionen am und vor dem Auswahltermin
[ ][ ]
[ ]),),,(;0(),,;0(
),(;0max),,;(
),(),,;();,,;(max
),,;();,,;(max
EtTtBKPVPETKPVC
STtBKETKtPVC
TtBKSETKtPVCETKtPVC
ETKtPVPETKtPVCerPVsimChoos
t
t
×+→−×+=
×+−==
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
6Su
42 uSd
33 uSd
24 uSd
5Sdu
S
Payoff und Bewertung eines Call on Call
Aus
übun
g un
vort
eilh
aft
Aus
übun
g vo
rtei
lhaf
t
KSdu −50
0
© Dr. Daniel Sommer 190
Pfadabhängige Optionen: Compound Optionen
6Sd
15 uSdAus
übun
g un
vort
eilh
aft
Zeitpunkt der Entscheidung über Ausübung der 1. Option
Die Bewertung der Call on Call Option kann per Rückwärtsinduktion erfolgen:
Man bewertet zunächst den 2. Call.
Am Entscheidungszeitpunkt setzt man in jedem Knoten, in dem der Strike der ersten Option größer als der Wert der 2. Option ist, den Wert des Call-on-Call auf Null und führt die Bewertung zu Ende.
Weitere Compound Optionen sind: Call-on-Put, Put-on -Put, Put-on-Call
Zeitpunkt der Entscheidung über Ausübung der 2. Option
0
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
Geometrisches Mittel
( )
−== ∫∏ =
T
tt
cgnn
i tndg dtS
tTTtASttA
iln
1exp:),( :),( ,
11,
Arithmetisches Mittel
∫∑ −==
=
T
tt
can
i tnda dtS
tTTtAS
nttA
i
1:),(
1:),( ,
11,
© Dr. Daniel Sommer 191
Pfadabhängige Optionen: AsiatischeOptionen
[ ] [ ]
[ ] [ ]0;max: 0;max:
0;max: 0;max:
,,
,,
TTTT
TT
SAkePAsianStriASkeCAsianStri
AKPAsianKACAsian
−=−=
−=−=
••••
••••
Asians und Asian-Strikes
Für die Bewertung von Asiatischen Optionen unter Nutzung von geome-trischen Mitteln lassen sich im Black-Scholes-Modell geschlossene Formeln ableiten. Asiatische Optionen auf arithmetische Mittel kann man im Binomialbaum nur unter Einführung einer weiteren Dimension für den aufgelaufenen Mittelwert, durch Monte-Carlo-Simulation oder durch andere numerische Verfahren bewerten. Ein geschlossene Formelexistiert im Black-Scholes-Modell nicht .
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
Kursextrema
[ ] [ ] s,
s,
Smin:),( Smax:),(TtsTts
TtmTtM∈∈
==
[ ] 0;K)T,t(Mmax:CMLookback −=
Lookbacks und Lookback-Strikes
© Dr. Daniel Sommer 192
Pfadabhängige Optionen: Lookback Optionen
[ ][ ]
[ ][ ]0
0
0
0
;S)T,t(Mmax:StrikePmLookback
);T,t(mSmax:StrikeCmLookback
);T,t(MKmax:PMLookback
;K)T,t(Mmax:CMLookback
T
T
−=−=
−=−=
Für die Bewertung von Lookback Optionen existieren geschlossene Formeln im Black-Scholes-Modell. Darüber hinaus können sie mit Hilfe der Monte-Carlo Simulation bewertet werden.
Wichtig ist wie bei Barrier-Optionen die Häufigkeit der Kursbeobachtung zur Ermittlung des Extremums entlang eines Aktienkurspfades.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
Forward-Start-Option
Option wird zum Zeitpunkt t0 abgeschlossen, Laufzeit beginnt aber erst zu einem Zeitpunkt t1>t0. Strike wird erst zum Zeit-punkt t1 als Prozentsatz des dann gültigen Aktienkurses St1festgelegt.
Vorteil: Optionspreis ist unabhängig von der Aktienkursentwick-
© Dr. Daniel Sommer 193
Pfadabhängige Optionen: Forward-Starts und Cliquets
Vorteil: Optionspreis ist unabhängig von der Aktienkursentwick-lung und eventuellen Dividendenzahlungen zwsichen t0 und t1.
Nachteil: Die zum Zeitpunkt t1 gültige Volatilität muß heute prognostiziert werden.
Cliquet-Option
Serie von relativ kurz laufenden Forward-Start-Optionen, die jeweils ein bestimmtes Zeitintervall in der Zukunft abdecken.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
Zahlung in Periode i:
© Dr. Daniel Sommer 194
Pfadabhängige Optionen: Napoleon
Mit B=8% halbjährlich ergibt sich in Periode i=1 eine Zahlung von 7% und in Periode i=2eine Zahlung von 0%.
1t
2t
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische Pfadabhängige
Zahlung am Ende der Laufzeit:
© Dr. Daniel Sommer 195
Pfadabhängige Optionen: Reverse Cliquet
Mit X=50% ergibt sich am Ende der Laufzeit eine Zahlung von 11,59% .
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Spread-Call-Option
( )[ ]021 ;KSSmax TT −−α
Spread-Put-Option
( )[ ]021 ;SSKmax TT −− α
Rainbow-Call-Optionen
( )[ ]021 ;S;SmaxKmax TTα− ( )[ ]021 ;KS;Smaxmax TT −α
Rainbow-Put-Optionen
© Dr. Daniel Sommer 196
Europäische korrelationsab-hängige Optio-nen
( )[ ]0;S;SmaxKmax TTα− ( )[ ]0;KS;Smaxmax TT −α
( )[ ]021 ;S;SminKmax TTα− ( )[ ]021 ;KS;Sminmax TT −α
Outperformance-Optionen
− 0
2
2
1
1
00
;S
S
S
Smax
t
T
t
T [ ]
>
×−20
2
10
1101
t
T
t
T
S
S
S
ST ;KSmaxα
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische
Quanto-OptionenIdee: Spekulation auf Aktien, die in fremden Wäh-rungen gehandelt werden, ohne daß man das Wechselkursrisiko tragen möchte.
Problem: Wert einer Option auf den Kauf einer IBM-Aktie in New York hängt nicht nur vom Kurs der IBM-Aktie, sondern auch vom Wechselkurs ab.
© Dr. Daniel Sommer 197
Europäische korrelationsab-hängige Optio-nen
Lösungsansatz: Unterstelle, daß der Kurs der IBM-Aktie in New York nicht den US-Dollar-Wert der Aktie, sondern den EUR-Wert der Aktie darstellt und zahle in EUR
[ ]0;KSmax EUREURNYIBM −−−
Beachte: Der EUR-Wert einer in New York gehan-delten Standardoption auf IBM wäre:
[ ]0;KSmaxe USDNYIBM
USD
EUR −× −
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische korrelationsab -
Aktienkursmodell
( )
( )
( )( )∆+∆+∆+=
∆+∆+∆+∆
−+=
∆+∆
−=
=
∆+
tottrS
totttrS
ttrexpSS
t
ttt
1
2
1
2
11
2
1
1
1
21
211
21
1
121
11
0
00
σε
εσσεσ
σεσ
© Dr. Daniel Sommer 198
korrelationsab -hängige Optio-nen: ein Bewer-tungsmodell
( )( )( )
( ) ( ) ( )
−−
∆+∆−+∆
−++∆+=
∆
−++∆
−=
∆+∆+∆+=
∆+
q;
q;~
totttrS
ttrexpSS
tottrS
.d.i.i
i
t
ttt
t
11
1
111
12
1
1
221
22
2212
2
2212
22
22
11
0
00
0
ε
ρρεεσρερεσ
ρερεσσ
σε
Frage : Welchen Wert hat q, in einem arbitragefreien Modell, wenn q das aus den Preisen der AD-Assets abgeleitete WS-Maß sein soll?
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische korrelationsab -
Idee: Benutze Beobachtung, daß unter dem aus den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß die erwartete Rendite pro Zeiteinheit aller gehan-delten Wertpapiere gleich r ist.
Definiere Aktienrendite R als:
[ ] [ ] ( )2
1111
=⇔=∆
∆+∆+∆=
∆qr
t
totEtrlim
t
RElim
qq εσ
10
0 −= ∆+it
itt
S
S:R
© Dr. Daniel Sommer 199
korrelationsab -hängige Optio-nen: ein Bewer-tungsmodell
[ ]
[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( )
2
1
11
2
221
22
221
22
0
2
0
00
=⇔=
∆
∆+∆−+∆
−++∆
=∆
=⇔=∆
=∆
→∆
→∆
→∆→∆
qr
t
totEEtEEtrlim
t
RElim
qrt
limt
lim
qqqq
t
q
t
tt
ρρεεσρερεσ
Ergebnis: Asymptotisch ist q gleich 0,5.
Übung: Zeige dies durch direkte Betrachtung der Preise der AD-Assets.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische korrelationsab -
Beobachtung: Für q = 0,5 gilt
[ ] ( ) [ ]( )
[ ] ( ) [ ]( )22
22222
0
21
21211
0
σ
σ
=∆
−
=∆
=∆
−
=∆
→∆
→∆
t
RERE
t
RVarlim
t
RERE
t
RVarlim
qqq
t
qqq
t
© Dr. Daniel Sommer 200
korrelationsab -hängige Optio-nen: ein Bewer-tungsmodell
Übung: Nachrechnen.
und außerdem
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) [ ] ρρερεε
ρ
=+−=
×
−=
×=
→∆
→∆→∆
21
221
21
2121
0
21
21
0
21
0
1 qqq
qqq
t
q
tt
EEE
RVarRVar
RERERRElim
RVarRVar
R;RcovlimR;Rlim
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische korrelationsab -
Bewertungsgitter zum Zeitpunkt mx∆∆∆∆t mit mgeradzahlig:
0
2
n+2
εεεε2
© Dr. Daniel Sommer 201
korrelationsab -hängige Optio-nen: ein Bewer-tungsmodell
0 2 n-2-n εεεε1
0
-2
-n-2
[ ] ( )( ) ( )( )m
nm,
m
nm,
mn;nQ
×
+−××
−−×=+−
4
1
250502
Dabei ist 0,5x(m-j) die Anzahl der Fälle, in denen εi = -1 war.
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
Idee: Das Auszahlungsprofil entspricht dem von Barrier-Optionen. Jedoch hängt die Barrier-Bedingung nicht von der Kursentwicklung der Aktie ab, die die terminale Auszahlung bestimmt, sondern von der Kursentwicklung einer weiteren Aktie:
© Dr. Daniel Sommer 202
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Outside Barriers
[ ]
[ ][ ]
Monitoring stetigem und
Optionen-In bei 0ein mindestensfür
Optionen-Out bei 0 allefür
erfüllt Bedingung-Barrier die falls
02
1
T;t
T;t
S
,;KSmax
t
T
∈∈
−
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
Zugrunde liegende Portfoliostrategie: Kaufe Portfolio aus N Aktien. In jeder Periode verkaufe die Aktie, die seit Erwerb des Portfolios die beste Performance gezeigt hat. Die Performance des Gesamtportfolios (ohne Berücksichtigung von Zinseffekten) ist dann wie in folgendem Beispiel:
Akt
ienk
urse
Per
form
ance
© Dr. Daniel Sommer 203
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen
Akt
ienk
urse
Per
form
ance
Pay
off
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
Payoff-Varianten : Ursprüngliche Himalaya-Stra-tegie hat unter Vernachlässigung von Zinseffekten den Wert Null, da Payoff durch kostenfreie selbstfi-nanzierende Portfoliostrategie erzeugt werden kann.
Betrachte daher Varianten mit positivem Wert:
Nur die L besten Aktien
© Dr. Daniel Sommer 204
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen
besten Aktien
Mindestperi-odenperfor-mance von Null
Mindestgesamt-performance von Null
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
Keine Berücksichti-gung der Performance der Vorperioden
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
© Dr. Daniel Sommer 205
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
© Dr. Daniel Sommer 206
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
© Dr. Daniel Sommer 207
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
© Dr. Daniel Sommer 208
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
© Dr. Daniel Sommer 209
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen
Positive Korrelation bei OTM-Himalaya erhöht die Wahrscheinlichkeit eines positiven Payoffs, wohingegen das Risiko einer Verschlechterung wegen des Floors bei Null ohne Bedeutung ist. Umgekehrt erhöht eine negative Korrelation bei ITM-Himalayas die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem hohen positiven Payoff. Das Risiko, daß der zweite Payoff vollständig ausfällt, ist gering, da beide Aktien tief im Geld sind.
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann
Europäische pfad - und
Problemstellung: Geschlossene Formeln sind nur noch in Aunahmefällen verfügbar. Große An-zahl von Aktien macht Baum- und Gitterverfah-ren im Hinblick auf Komplexität und Rechenzeit prohibitiv teuer.
Lösungsansatz: Monte Carlo Simulation
( ) +− −= ∑∑1 2
K Ijj ελσσ
© Dr. Daniel Sommer 210
pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Bewertung
( )
=Λ×Λ
=Λ
−
−−
+−
−=
−
−
−
= =∑∑
1
1
;
00
0
00
00
0
0
0
2
1
1
1
1
111
1
1
1
2
1
1 10
20
L
MOM
L
L
MOM
L
L
MOM
M
L
MM
,J
J,T
I,J,J
I,,
kk
kk
kk
.d.i.i
t,I
t,
t,
k it,ii,jjKj
jt
jt
:
tt
tt
tt
;N~
ttrexpSS
k
k
k
kK
ρ
ρ
λλ
λλ
ε
εε
ελσσ
… wie man Dividenden in das Bewer… wie man Dividenden in das Bewer--tugsmodell einbauen kanntugsmodell einbauen kann
stetige versus
Problemstellung: Viele exotische Optionen haben Laufzeiten von mehreren Jahren z.T. mehr als 10 Jahren. Insbesondere bei langen Laufzeiten und bei Amerikanischen Optionen müssen Dividenden im Bewertungsmodell berücksichtig werden.
Diskrete Dividenden: Die klassische Situation, daß Aktien zu bestimmten Zeitpunkten ex Dividendenotieren und ein fester Betrag, unabhängig von der
© Dr. Daniel Sommer 211
stetige versus diskrete Dividenden
notieren und ein fester Betrag, unabhängig von der absoluten Höhe des Aktienkurses an die Aktionäre ausgezahlt wird. Der Kurs der Aktie sinkt im Augenblick der ex Dividende-Notierung um den Betrag der Dividende.
Stetige Dividenden: Im Aktienbereich nur in bezug auf nicht-dividendengeschützte Indizes sinnvoll. Soll die Tatsache approximieren, daß bei einem breit gestreuten Index (z.B. S&P 500) und quartalsmäßiger Zahlung praktisch immer eine der Aktien Dividenden zahlt.
… wie man Dividenden in das Bewer… wie man Dividenden in das Bewer--tugsmodell einbauen kanntugsmodell einbauen kann
stetige versus
Dividendenschutz: Keine Notwendigkeit der Berücksichtigung von Dividenden ergibt sich, wenn der Index „dividendengeschützt“ ist. Dies wird z.B. beim DAX 30 dadurch erreicht, daß die Dividenden wieder in die dividendenzahlenden Aktien reinvestiert werden und damit der Effekt der Dividendenzahlung für den
© Dr. Daniel Sommer 212
stetige versus diskrete Dividenden
und damit der Effekt der Dividendenzahlung für den Indexstand eliminiert wird.
Bei bestimmten Optionen finden sich Dividenden-schutzklauseln, die z.B. die Reduzierung des Strike-Preises bei Zahlung von Dividenden vorsehen. Hier ist die jeweilige Klausel zu prüfen und zu entscheiden, ob auf eine Modellierung der Dividende verzichtet werden kann.
… wie man Dividenden in das Bewer… wie man Dividenden in das Bewer--tugsmodell einbauen kanntugsmodell einbauen kann
Diskrete Dividenden: Zerlege die Aktie in ein Portfolio aus einem Zero-Coupon Bond in Höhe des Barwertes der Dividende und den verblei-benden stochastischen Teil der Aktie. Damit ist der Aktienkurs St zu einem beliebigen Zeitpunkt vor Zahlung der Dividende D gegeben durch:
)T,t(BDSS tt ×+= ∗
© Dr. Daniel Sommer 213
Modellierung von Dividenden
Dividendeder eitpunkt Zahlungszals mit TAlle bisher eingeführten Modelle können in unveränderter Form für die Modellierung des Kursprozesses von S* genutzt werden.
Achtung: Gegebenenfalls ist es erforderlich, die Volatilität für S* höher als die Volatilität von Sanzusetzen. Die Beziehung ist approximativ gegeben durch: ( )
∗
∗∗ ×+=
S
)T,t(BDSσσ
… wie man Dividenden in das Bewer… wie man Dividenden in das Bewer--tugsmodell einbauen kanntugsmodell einbauen kann
Stetige Dividenden: Wirken wie eine laufend aus-geschüttete Verzinsung. Da der erwartete Ertrag jedes gehandelten Wertpapiers unter dem aus den Preisen AD-Assets abgeleiteten Martingalmaß gleich dem „risikofreien“ Zinssatz sein muß, muß die Zahlung stetiger Dividenden bei der
© Dr. Daniel Sommer 214
Modellierung von Dividenden
die Zahlung stetiger Dividenden bei der Modellierung der Wachstumsrate der Aktien (Indizes) berücksichtigt werden
Sei d die stetige Dividendenrate, dann ersetze in allen Modellen die stetige risikolose Verzinsung rdurch den Ausdruck r-d.
Achtung: Die Diskontierung erfolgt nach wie vor mit der Rate r.
In diesem Modul wird diskutiertModul V• was man unter Zinsparität versteht,
• was Zins-Währungsswaps sind, wie man sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-Swaps spielen,
• was Währungsoptionen sind und wie man Währungs-derivate
© Dr. Daniel Sommer 215
• was Währungsoptionen sind und wie man sie bewertet,
• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind,
• welche Typen von Optionen auf ausländi-sche Aktien es gibt und wie man sie bewer-tet.
derivate
… was man unter Zinsparität versteht… was man unter Zinsparität versteht
Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10
heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD
Aus Sicht eines Japaners stellt diese Notierung eine Preisnotierung dar. Die Dimension bei einer Preisnotierung lautet:
en Währunginländischder Einheiten x
© Dr. Daniel Sommer 216
Wechselkursquo-tierung
ghen Währunausländiscder Einheit 1
en Währunginländischder Einheiten x
In der Finanzmathematik wird überwiegen die Preisnotierung verwendet. Den Wechselkurs in Preisnotierung bezeichnet man mit e.
ACHTUNG: Die Euroquotierung erfolgt als Men-gennotierung. Die Dimension dieser Notierung ist:
en Währunginländischder Einheit 1
ghen Währunausländiscder Einheiten y
… was man unter Zinsparität versteht… was man unter Zinsparität versteht
Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10
heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD
Cross-Rates : USD/CHF: 1,20/1,2010
Frage: Wie muß die Quotierung für CHF/JPY lauten, wenn man beim Tausch über den USD
© Dr. Daniel Sommer 217
Wechselkursquo-tierung
lauten, wenn man beim Tausch über den USD gehen muß?
Fall 1: Bank verkauft 1 CHF für x JPY heißt: Bank verkauft 1 USD für 118,10 JPY und kauft 1 USD für 1,20 CHF, ergo Bank verkauft: 1 CHF für 118,10 /1,20 JPY
Fall 2: Bank kauft 1 CHF für y JPY heißtBank verkauft 1 USD für 1,2010 CHF und kauft 1 USD für 118 JPY, ergo Bank kauft: 1 CHF für 118/1,2010 JPY.
… was man unter Zinsparität versteht… was man unter Zinsparität versteht
Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10
heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD
Fragen :
Frage 1: Unternehmen leiht sich 118,10 JPY durch Emission eines JPY-Bond mit Kurs BJPY(0,t) und
© Dr. Daniel Sommer 218
Ableitung Zinsparität
Emission eines JPY-Bond mit Kurs BJPY(0,t) und legt diesen Betrag in einem USD-Bond mit Kurs BUSD(0,t) an. Bei Anlage im USD-Bond kann das Unternehmen das den Betrag von 1 USD zum Zeitpunkt t zu einem im Zeitpunkt 0 festgelegten Wechselkurs wieder in JPY zurücktauschen. Wie hoch muß dieser Wechselkurs USD/JPY0,t,B sein, damit diese Transaktion einen Wert von Null hat?
Frage 2: Was ist, wenn das Unternehmen sich 1 USD leiht und eine Anlage in JPY tätigt?
… was man unter Zinsparität versteht… was man unter Zinsparität versteht
Überlegung zu Frage 1 :
Unternehmen kauft 1 USD für 118,10 JPY und legt diesen in USD-Bond an. Zum Zeitpunkt t verfügt das Unternehmen über 1/BUSD(0,t) USD, den es zum Kurs USD/JPY0,t,B in JPY zurücktauscht. Ergebnis: 1/BUSD(0,t)xUSD/JPY0,t,B JPY. Wert des zurückzuzahlenden Bonds in JPY ist
© Dr. Daniel Sommer 219
Ableitung Zinsparität
zurückzuzahlenden Bonds in JPY ist 118,10/BJPY(0,t). Transaktion hat Wert Null für: USD/JPY0,t,B=118,10xBUSD(0,t)/BJPY(0,t).
Überlegung zu Frage 2 :
Unternehmen erhält 118 JPY für 1 USD und verfügt zum Zeitpunkt t über 118/(BJPY(0,t)xUSD/JPY0,t,G). Wert des USD-Kredites beträgt 1/BUSD(0,t). Transaktion hat Wert Null für:USD/JPY0,t,G=118xBUSD(0,t)/BJPY(0,t)
… was man unter Zinsparität versteht… was man unter Zinsparität versteht
© Dr. Daniel Sommer 220
Quotierung FX-Forwards
… was man unter Zinsparität versteht… was man unter Zinsparität versteht
Konstruktion :
Ein FX-Swap ist der gleichzeitige Abschluß eines FX-Forwards und einer entgegengesetzten FX-Spot-Transaktion:
Kauf JPY Forward, Verkauf JPY Spot oderVerkauf JPY Forward und Kauf JPY Spot
© Dr. Daniel Sommer 221
FX-Swaps
Verkauf JPY Forward und Kauf JPY Spot
Verwendung :
• Überrollen von auslaufenden FX-Forwards auf den nächsten Termin
• Spekulation auf die Zinsdifferenz zwischen beiden Währungen ohne das Eingehen eines Wechsekursrisikos
… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind
Währungs - und
Währungsswap :
Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in Festzinszahlungen in einer anderen Währung.
Zins-Währungsswap:
© Dr. Daniel Sommer 222
Währungs - und Zins-Wähurngs-swaps
Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in variable Zinszahlungen in einer anderen Währung
Achtung:
Im Gegensatz zu „normalen“ Zinsswaps erfolgt bei (Zins-)Währungsswaps zu Beginn und zum Ende der Laufzeit ein Austausch der Nominalbeträge in den jeweiligen Währungen.
… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind
Währungs - und
Replikation eines Währungsswaps :
Abschluß eines Receiver-Zinsswaps in Währung A mit Nominalbetrag NA
Abschluß eines Payer-Zinsswaps in Währung B mit Nominaletrag NB
Problem:
© Dr. Daniel Sommer 223
Währungs - und Zins-Wähurngs-swaps
Problem:
Elimination der Floating-ZahlungenAbbildung des Austausches der Nominale
Lösung Basisswap:
Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in Währung A in variable Zinszahlungen in Währung B
… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind
Währungs - und
Replikation eines Zins-Währungsswaps :
Abschluß eines Receiver- oder Payer-Zinsswaps in Währung A mit Nominalbetrag NA
Problem:
© Dr. Daniel Sommer 224
Währungs - und Zins-Wähurngs-swaps
Problem:
Tausch der Floating-Zahlungen in Währung BAbbildung des Austausches der Nominale
Lösung Basisswap:
Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in Währung A in variable Zinszahlungen in Währung B.
Quotie -
… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind
© Dr. Daniel Sommer 225
Quotie -rung Basis-Swaps
… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind
Existenzberech -
Ausgangslage :
In einem Markt ohne Transaktionskosten ist die Aufnahme eines variabel verzinslichen Kredites in einer Währung und die variabel verzinsliche Anlage des Kapitals in einer anderen Währung eine Transaktion mit Wert Null. Sichert man nun zusätzlich mittels Zins- und FX-Termingeschäften alle Zahlungen ab und rollt alle Zahlungen auf das
© Dr. Daniel Sommer 226
Existenzberech -tigung von Basisswaps
alle Zahlungen ab und rollt alle Zahlungen auf das Ende der Laufzeit des Kredites und der Anlage, so muß der Wert der Endzahlung wieder exakt Null sein.
Konsequenz:
Der Basisswap-Spread müßte stets Null betragen. Mit anderen Worten: Basisswap-Spreads können nur innerhalb der durch die Geld-Brief-Spannen beim Wechselkurs und bei den Terminzinssätzen gegebenen Schranken existieren.
… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind
Bewertung von
Methode 1 :
Berechne den Barwert jedes Legs des Swaps auf Basis der aus den Swapsätzen und Terminzins-sätzen der jeweiligen Währung generierten Zero-Coupon-Bond Kurve. Konvertiere einen der Bar-werte mit Hilfe des aktuellen Spot-Wechselkurses in die andere Währung und bilde die Differenz. Fehler! Die in den FX-Forwards enthaltenen
© Dr. Daniel Sommer 227
Bewertung von (Zins-) Währungs-swaps
Fehler! Die in den FX-Forwards enthaltenen Transaktionskosten werden nicht korrekt abgebildet.
Methode 2:
Konvertiere jede Zahlung in einer der beiden Währungen mit Hilfe der laufzeitadäquaten FX-Forwards in die andere Währung und berechne den Barwert aller Zahlungen nur noch mit Hilfe der Zero-Coupon-Kurve der Währung, in die die Einzelzahlungen umgerechnet wurden. Korrekt!
Bewer-tungs -
… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind
© Dr. Daniel Sommer 228
tungs -unter-schie-de
… wie man Währungsoptionen bewertet… wie man Währungsoptionen bewertet
Anpassung des
Idee zur Bestimmung der arbitragefreien Modellierung des Wechselkurses :
tf
ttt
ft
ftt
tt
rtrexpttexpElim
)tt,t(Be
)tt,tt(BeElim
000
0
0
0
!21
0
00
00
0
2
11
11
=
∆××
∆+∆
−∆
=
−
∆+×
∆+∆+×∆
→∆
∆+
→∆
σεσµ
© Dr. Daniel Sommer 229
Anpassung des stochastischen Modells
ftt
t
rr00
0 2
−=→ ∆→∆
µ
Konsequenz:
Wechselkursoptionen können (unter Vernachläs-sigung der Transaktionskosten) behandelt werden wie Optionen auf Aktien, die eine kontinuierliche Dividende in Höhe des „ausländischen“ „risiko-freien“ Zinssatzes bezahlen. Alle Erkenntnisse aus Aktienoptionen übertragen sich entsprechend.
… wie man Währungsoptionen bewertet… wie man Währungsoptionen bewertet
Bisheriger Ansatz:
Bilde ein Bewertungsmodell, bestimme die Ein-gangsparmeter und berechne den Preis der Option.
Jetzt Umkehrung:
Gegeben einen Optionspreis und alle direkt beobachtbaren Eingangsparameter, bestimme den
© Dr. Daniel Sommer 230
Implizite Volatilitäten
beobachtbaren Eingangsparameter, bestimme den letzten freien Parameter, nämlich die Volatilität, so, daß der beobachtete Preis sich als Resultat aus dem Modell ergibt.
Die so berechnete Volatilität heißt Implizite Volatilität .
Die Höhe der Impliziten Volatilität hängt von der Moneyness bzw. dem Delta der Option ab. Diese Abhängigkeit bezeichnet man als Skew oder Smile-Effect .
… wie man Währungsoptionen bewertet… wie man Währungsoptionen bewertet
Impli -
ATM Implizite Volatilitäten USD/JPY:
© Dr. Daniel Sommer 231
Impli -zite Volati-litäten
… wie man Währungsoptionen bewertet… wie man Währungsoptionen bewertet
Impli -
Volaspreads
0,02
0,025
0,03
0,035
Differenz Implizite Volatilitäten USD/JPY +/- 0,25 Del ta:
© Dr. Daniel Sommer 232
Impli -zite Volati-litäten
0
0,005
0,01
0,015
0,02
03ju
n200
3
19ju
n200
3
09ju
l200
3
28ju
l200
3
13au
g200
3
29au
g200
3
15se
p200
3
02oc
t200
3
20oc
t200
3
05no
v200
3
21no
v200
3
09de
c200
3
25de
c200
3
12ja
n200
4
27ja
n200
4
12fe
b200
4
04m
ar20
04
22m
ar20
04
07ap
r200
4
23ap
r200
4
12m
ay20
04
31m
ay20
04
16ju
n200
4
02ju
l200
4
20ju
l200
4
05au
g200
4
23au
g200
4
08se
p200
4
24se
p200
4
12oc
t200
4
28oc
t200
4
15no
v200
4
01de
c200
4
Date
[%]
25P6M-25C6M
… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet
Aktienkurs und Strike in Fremdwährung
[ ]0;KSmaxe ffTT −×
Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inländischer Währung
[ ]0;KSemax dfTT −×
© Dr. Daniel Sommer 233
Optionstypen[ ]0;KSemax TT −×
Aktienkurs in inländischer Währung, Strike in Fremdwährung
[ ]0;KeSmax fT
dT ×−
Quantooptionen: fixierter Wechselkurs, Strike in inländischer Währung
[ ]0;KSemax dfT −×
… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet
Bewertung:
[ ]0;KSmaxe ffTT −×
Ein einfaches Duplizierungsargument:
Kaufe in t0 die Option mit Zahlungsprofil
[ ]0;KSmax ffT −
Halte diese Option bis zur Fälligkeit T.
© Dr. Daniel Sommer 234
Aktienkurs und Strike in Fremd-währung
Halte diese Option bis zur Fälligkeit T.Konvertiere die zum Zeitpunkt T in Fremdwäh-rung erhaltene Auszahlung zum in T gültigen Wechselkurs eT in inländische Währung.Diese Strategie erzeugt gewünschten Zah-lungsstrom zum Zeitpunkt T.
Der Preis dieser Strategie zum Zeitpunkt t0beträgt: )E,T,K;t(PVCe f
t 00×
kann mittels BS-Formel bestimmt werden.
)E,T,K;t(PVC f0
… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet
Bewertung:
Aktienkurs in
Problem:Wie sieht ein arbitragefreies Modell aus für
[ ]0;KSemax dfTT −×
? fSe ×
© Dr. Daniel Sommer 235
Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inlän-discher Währung
? ftt Se ×
Ansatz:
ist ein Wertpapier in inländischer Währung. Damit muß die erwartete Rendite dieses Wertpapiers in einem arbitragefreien Modell gleich dem risikolosen inländischen Zinssatz sein.
ftt Se ×
dtr
… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet
Bewer-tung:
Aktien-kurs in Fremd -
Aktien-/ Wechselkursmodell
( )
( ) ( )
∆
−++∆
−−=
∆+∆
−−=
∆+
∆+
ttrrexpee
ttrexpSS
eefd
ttt
SSeSff
tf
tt
221
2
12
12
1
2
1
00
00
ρερεσσ
εσσρσσ
© Dr. Daniel Sommer 236
Fremd -währung, Strike in inlän-discher Währung
( ) ( ) ( )
( ) ( )
∆Σ+∆
Σ−×=
∆+++∆
++−×=
∆
−+++∆
++−×=× ∆+∆+
ttrexpSe
ttrexpSe
ttrexpSeSe
dftt
SeSeSeSedf
tt
d
eSeSeSedf
ttf
tttt
32
32222
221
22
2
1
222
1
1221
00
00
0000
ε
εσρσσσσρσσσ
ρσεσρσεσρσσσ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Σ−
=Σ
+=2
32313211
10 10ρσεερσσεεεε eeS
.d.i.i
, ;cov;;cov;;N~;;N~
Damit ist diese Option mit der BS-Formel bewertbar.
… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet
Bewertung:
Aktienkurs in
Inländische und ausländische AD-Preise
Beobachtung 1:Das aus den inländischen AD-Preisen abgeleitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 ist
( )10;N
© Dr. Daniel Sommer 237
Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inlän-discher Währung
( )1;tN e ∆ρσ
Beobachtung 2:Das aus den ausländischen AD-Preisen abge-leitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 muß zur Gewährleistung von Arbitragefreiheit lauten:
oder äquivalent unter dem ausländischen aus den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß ist
( )101 ;N~te ∆− ρσε
… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet
Betrachte den Wert von unter Berücksichtigung der Dynamik der ausländi-schen Aktie unter dem aus den inländischen AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß:
[ ]0;KSemax dfT −×
Bewertung:
fTSe×
© Dr. Daniel Sommer 238
Bewertung:
Quanto-optionen
+
−−= TTrexpSeSe SSeSff
tf
T 12
2
10
εσσρσσ
Problem:Was ist der Wert dieses Payoffs unter den inländischen AD-Preisen zu einem beliebigen Zeitpunkt t0 < t < T?
… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet
[ ]0;KSemax dfT −×
Bewertung:
Lösung:Berechne den Erwartungswert des Payoffs unter dem aus den inländischen AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß:
( )
+
−−−−= FTTrexpSeEtTrexpS ffQdf d 21 εσσρσσ
© Dr. Daniel Sommer 239
Bewertung:
Quanto-optionen
( )
( )
+
−=
+
−−−=
+
−−−−=
=
ttrexpS
ttrexpSeTrrexp
FTTrexpSeEtTrexpS
SSdf
t
SSd
S
ftSe
df
tSSeSff
tQdf
t
ft
12
12
12
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
εσσ
εσσσρσ
εσσρσσ
44444 344444 21
Damit ist diese Option mit der BS-Formel bewertbar.
In diesem Modul wird diskutiert
Modul VI • was man unter Caps, Floors, Collars und Swaptions versteht,
• was man aus statischen Portfolien aus
© Dr. Daniel Sommer 240
diesen Instrumenten über ihre Bewertung lernen kann,
• wie man die Black-Formel für Caplets herleiten kann,
• was ein Cap-Smile ist.
Optionale Zinsderivate
In diesem Modul wird diskutiertModul VII
• warum Sie in dieser Vorlesung zwar hoffentlich viel gelernt haben, aber Ausblick
© Dr. Daniel Sommer 241
dennoch der Satz gilt:
„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“
Ausblick
… Ausblick… Ausblick
Vorlesung hat Grundlagen gelegt und wichtig Begriffe und Konzepte dargestellt. Sie sind damit KEINE DERIVATE-EXPERTEN!
Wichtige Erweiterungen betreffen:
• Einführung in den zeitstetigen stochastischen Kalkül
• Vertiefung Implizite Volatilitäten, Smiles und stochastische Volas
• Vertiefung/Einführung in andere Assetklassen
© Dr. Daniel Sommer 242
Was fehlt • optionale Zinsderivate und zugehörige Bewertungsmodelle, insbesondere LIBOR-Market
• Kreditderivate
• Modellkalibrierung
• Verbesserte numerische Methoden (Bestimmung der Griechen, American Monte-Carlo)
• Hedging in unvollständigen Märkten und mißspezifizierten Modellen
In diesem Modul würde diskutiert
VertiefungModul VI
• wie man dynamische stochastische Model-le für Zinsderivate konstruieren kann,
• wie das Hull/White/Vasicek-Modell für Zinsderivate aufgebaut ist und wie man es mittels Vorwärtsinduktion kalibriert,
… Ausblick… Ausblick
© Dr. Daniel Sommer 243
mittels Vorwärtsinduktion kalibriert,
• wie man in diesem Modell Bermuda-Swaptions bewertet,
• welche Herausforderungen sich bei anderen exotischen Zinsderivaten stellen
• u.v.a.m.
Optionale Zinsderivate
In diesem Modul würde diskutiert
Modul VIII
• was man unter CDS, TRS, CLN, FTD, CDO und CDO² versteht,
• was der Unterschied zwischen impliziten und historischen Ausfallwahrscheinlichkei-ten ist und wie man eine Credit-Curve konstruieren kann,
… Ausblick… Ausblick
© Dr. Daniel Sommer 244
konstruieren kann,
• wie man diese zur Bewertung von CDSs nutzen kann,
• welche Bedeutung die Ausfallkorrelation bei der Bewertung bestimmter Kreditderi-vate besitzt
• wie man Ausfallkorrelation handeln kann
• u.v.a.m.
Kreditderivate
In diesem Modul würde diskutiert
Modul N
… Ausblick… Ausblick
© Dr. Daniel Sommer 245
• ……………...Thema N
• Die Vorlesung hat mir Spaß gemacht. Sie hat auch mir geholfen, manche Dinge noch einmal klarer zu sehen.
• Ich hoffe, Sie hatten ebensoviel Freude daran und werden auch Spaß daran haben, den Stoff nachzuarbeiten.
• Ich wünsche Ihnen Viel Erfolg in der Klausur!
… Schlußwort… Schlußwort
© Dr. Daniel Sommer 246
Dr. Daniel SommerKPMG+49 (69) [email protected]
If you now feel Risk Management is your businesscontact
Dr. Thomas KaiserKPMG+49 (69) [email protected]
www.kpmg.de/careerswww.kpmg.de/careers
Dr. Daniel SommerKPMG+49 (69) [email protected]
If you now feel Risk Management is your businesscontact
Dr. Thomas KaiserKPMG+49 (69) [email protected]
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