Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
89
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELER
Oumlrnek3x + 5y2 ndash xy + 3 cebirsel ifadesinde
Değişken x y
Terimler 3x 5y2 ndashxy 3
Katsayılar 3 5 ndash1 3
Sabit terim 3tuumlr
OumlrnekA
B
D
C6x
5x Yanda verilen ABCD dikdoumlrtgeninde |AB| = 5x br ve
|BC| = 6x brdir Buna goumlre bu dikdoumlrtgenin alanı kaccedil
br2dir
Dikdoumlrtgenin alanı kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunun ccedilarpımı olduğundan
A(ABCD) = 5x 6x = 56xx = 30x2 br2 dir
Alıştırma1 Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri doldurunuz
Değişkenler Terimler Katsayılar Sabit Terim
2xndash5y+1
3ax+7y
3x4x
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri farklı biccedilimde yazınız a) ndash10 kkm b) 7x2yyx c) 12x3yx3 d) 6k2m2
Hatırlayalım
En az bir bilinmeyen ve işlem iccedileren ifadelere cebirsel ifadeshyler denir
Cebirsel ifadelerde bir veya birshyden fazla sayıyı temsil eden x y z a b gibi harfler veya gibi sembollere değişken (bilinmeyen) denir
Cebirsel ifadelerde bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin ccedilarpımına terim denir
Bir terimdeki değişkenlerin yashynındaki sayıya katsayı denir
Değişkeni olmayan terime sabit terim denir Sabit terim aynı zashymanda katsayıdır
Terimler birbirinden + veya ndash sembolleriyle ayrılır
x y
a x y
x
-10k2m 7x3y2 12x6y2 6kmkm
2x -5y 1
3ax 7y
3x4x
2 -5 1
3 7
12
1
0
0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
90
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Cebirsel İfadelerde Ccedilarpma İşlemi
Oumlrnek3(x+2) 5x(2x+1) 2x(xndash3) işlemlerinin sonuccedillarını bulalım
Ccedilarpma işleminin toplama işlemi uumlzerine dağılma oumlzelliğini kullanalım
3(x+2) = 3x + 32
= 3x + 6
2x(xndash3) = 2xx ndash 2x3
= 2x2 ndash 6x
5x(2x+1) = 5x2x + 5x1
= 52xx + 51x
= 10x2 + 5x
Oumlrnek(x+3)(x+4) (2xndash1)(x+3) (xndash2)(3xndash7) işlemlerinin sonuccedillarını bulalım
İlk ccedilarpandaki terimleri tek tek ikinci ccedilarpandaki terimlerin uumlzerine dağıtalım
(x+3)(x+4) = xx+x4+3x+34
= x2 + 4x + 3x + 12
= x2 + 7x + 12
(2xndash1)(x+3) = 2xx + 2x3 ndash 1x ndash 13
= 2x2 + 6x ndash x ndash 3
= 2x2 + 5x ndash 3
(xndash2)(3xndash7) = x3x+x(ndash7)ndash23xndash2(ndash7)
= 3x2 ndash 7x ndash 6x + 14
= 3x2 ndash 13x + 14
= 2x + 10
= -4x -28
= 18x + 6
= -10x - 15
= 6x - 15
= -7a + 14b
= x2 + 3x + 2
= a2 + a - 6
= k2 - 7k + 12
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
91
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız a) 2(x+5)
b) ndash4(x+7)
c) 6(3x+1)
d) ndash5(2x+3)
e) 3(2xndash5)
f) ndash7(andash2b)
g) (x+1)(x+2)
h) (andash2)(a+3)
ı) (k ndash 4) (k ndash 3)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
92
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyelim
a) 2(x + 2) b) x(x + 2) c) 3x(x + 1) d) 2x(x ndash 3)
a) 2(x+2)
Kenar uzunluklar 2 ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım x 1 1
1
1
x + 2
2Dikdoumlrtgensel boumllgenin alanını modellemede kullandığımız parccedilaların
alanlarının toplama şeklinde yazalım
Alan = 2x + 4 olur O halde 2(x+2) = 2x + 4tuumlr
b) x(x+2)
Kenar uzunlukları x ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemede kullandığımız
x 1 1
x
x + 2
parccedilaların alanlarının toplamı şeklin alanına eşittir
Alan = x2 + 2x olur O halde x(x+2) = x2 + 2x
c) 3x(x+1)
Kenar uzunlukları 3x ve (x+1) bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki parccedilaların
3x
x x x
x
1
alanları toplamı 3x2 + 3xtir O halde
Alan = 3x(x+1) = 3x2 + 3x olur
d) 2x(x ndash 3)
Kenar uzunlukları 2x ve (x ndash 3)olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki
x ndash 3
x ndash1 ndash1 ndash1
x ndashx ndashx ndashx
x ndashx ndashx ndashx
parccedilaların alanları toplamı 2x2 ndash 6xtir O halde
Alan = 2x (x ndash 3) = 2x2 ndash 6x olur
Alıştırma
x1
1 1 1 1
11
x
x
x
x
x
x
x
x
-1 -1İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
93
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) 2x (x+3)
b) 3(x+4)
c) 3x2x
d) 2x(xndash2)
Oumlrnek
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
94
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x+1) (x+2) b) (3x+1) (xndash2) c) (2xndash1) (xndash3)
a) (x+1) (x+2)
Kenar uzunlukları (x+1) ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modeldeki alanları
x 1 1
x
1
x + 2
x + 1
toplarsak (x+1) (x+2) = x2 + 3x + 2 olur
b) (3x+1) (xndash2)
Kenar uzunlukları (3x+1) ve (xndash2) olan dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x x 1
x
ndash1
ndash1
3x + 1
x ndash 2Modeldeki alanları toplarsak
3x2 + x + (ndash6x) + (ndash2) = 3x2 + x ndash 6x ndash 2
= 3x2 ndash 5x ndash 2 olur Buradan
(3x+1) (xndash2) = 3x2ndash5x ndash 2dir
c) (2x ndash1) (x ndash 3)
Kenar uzunlukları (2x ndash 1) ve (x ndash 2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x ndash1
x
ndash1
ndash1
ndash1
2x ndash 1
xndash3Modeldeki alanları toplarsak 2x2 + (ndash7x) + (+3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur Buradan
(2x ndash 1) (x ndash 3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur
x
x
1
111
1 1 1 1
x
x
x
11
x -1 -1
x
x x -1
-1
-1 -1
x
x
1
x 1 1
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
95
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıdaki cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x + 3) (x + 5)
b) (x + 1) (2x + 2)
c) (x + 2) (3x ndash 2)
d) (x ndash 1) (2x ndash 3)
Alıştırma
Ccedilevre = 2(2x + 5 + x + 4) = 2(3x + 9) = 6x + 18
Alan = (2x + 5)(x + 4) = 2x2 + 8x + 5x + 20 = 2x2 + 13x + 20
(x + 5)(3x - 4) = 3x2 - 4x + 15x - 20 = 3x2 + 11x - 20
x + 7 + (x + 2)(4x - 2)x + 7 + 4x2 - 2x - 2x + 8x - 4 = 4x2 + 7x + 3
3x - 11 + (x + 3) (2x - 3)3x - 11 + 2x2 - 3x + 6x - 9 = 2x2 + 6x - 20İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
90
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Cebirsel İfadelerde Ccedilarpma İşlemi
Oumlrnek3(x+2) 5x(2x+1) 2x(xndash3) işlemlerinin sonuccedillarını bulalım
Ccedilarpma işleminin toplama işlemi uumlzerine dağılma oumlzelliğini kullanalım
3(x+2) = 3x + 32
= 3x + 6
2x(xndash3) = 2xx ndash 2x3
= 2x2 ndash 6x
5x(2x+1) = 5x2x + 5x1
= 52xx + 51x
= 10x2 + 5x
Oumlrnek(x+3)(x+4) (2xndash1)(x+3) (xndash2)(3xndash7) işlemlerinin sonuccedillarını bulalım
İlk ccedilarpandaki terimleri tek tek ikinci ccedilarpandaki terimlerin uumlzerine dağıtalım
(x+3)(x+4) = xx+x4+3x+34
= x2 + 4x + 3x + 12
= x2 + 7x + 12
(2xndash1)(x+3) = 2xx + 2x3 ndash 1x ndash 13
= 2x2 + 6x ndash x ndash 3
= 2x2 + 5x ndash 3
(xndash2)(3xndash7) = x3x+x(ndash7)ndash23xndash2(ndash7)
= 3x2 ndash 7x ndash 6x + 14
= 3x2 ndash 13x + 14
= 2x + 10
= -4x -28
= 18x + 6
= -10x - 15
= 6x - 15
= -7a + 14b
= x2 + 3x + 2
= a2 + a - 6
= k2 - 7k + 12
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
91
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız a) 2(x+5)
b) ndash4(x+7)
c) 6(3x+1)
d) ndash5(2x+3)
e) 3(2xndash5)
f) ndash7(andash2b)
g) (x+1)(x+2)
h) (andash2)(a+3)
ı) (k ndash 4) (k ndash 3)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
92
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyelim
a) 2(x + 2) b) x(x + 2) c) 3x(x + 1) d) 2x(x ndash 3)
a) 2(x+2)
Kenar uzunluklar 2 ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım x 1 1
1
1
x + 2
2Dikdoumlrtgensel boumllgenin alanını modellemede kullandığımız parccedilaların
alanlarının toplama şeklinde yazalım
Alan = 2x + 4 olur O halde 2(x+2) = 2x + 4tuumlr
b) x(x+2)
Kenar uzunlukları x ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemede kullandığımız
x 1 1
x
x + 2
parccedilaların alanlarının toplamı şeklin alanına eşittir
Alan = x2 + 2x olur O halde x(x+2) = x2 + 2x
c) 3x(x+1)
Kenar uzunlukları 3x ve (x+1) bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki parccedilaların
3x
x x x
x
1
alanları toplamı 3x2 + 3xtir O halde
Alan = 3x(x+1) = 3x2 + 3x olur
d) 2x(x ndash 3)
Kenar uzunlukları 2x ve (x ndash 3)olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki
x ndash 3
x ndash1 ndash1 ndash1
x ndashx ndashx ndashx
x ndashx ndashx ndashx
parccedilaların alanları toplamı 2x2 ndash 6xtir O halde
Alan = 2x (x ndash 3) = 2x2 ndash 6x olur
Alıştırma
x1
1 1 1 1
11
x
x
x
x
x
x
x
x
-1 -1İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
93
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) 2x (x+3)
b) 3(x+4)
c) 3x2x
d) 2x(xndash2)
Oumlrnek
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
94
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x+1) (x+2) b) (3x+1) (xndash2) c) (2xndash1) (xndash3)
a) (x+1) (x+2)
Kenar uzunlukları (x+1) ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modeldeki alanları
x 1 1
x
1
x + 2
x + 1
toplarsak (x+1) (x+2) = x2 + 3x + 2 olur
b) (3x+1) (xndash2)
Kenar uzunlukları (3x+1) ve (xndash2) olan dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x x 1
x
ndash1
ndash1
3x + 1
x ndash 2Modeldeki alanları toplarsak
3x2 + x + (ndash6x) + (ndash2) = 3x2 + x ndash 6x ndash 2
= 3x2 ndash 5x ndash 2 olur Buradan
(3x+1) (xndash2) = 3x2ndash5x ndash 2dir
c) (2x ndash1) (x ndash 3)
Kenar uzunlukları (2x ndash 1) ve (x ndash 2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x ndash1
x
ndash1
ndash1
ndash1
2x ndash 1
xndash3Modeldeki alanları toplarsak 2x2 + (ndash7x) + (+3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur Buradan
(2x ndash 1) (x ndash 3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur
x
x
1
111
1 1 1 1
x
x
x
11
x -1 -1
x
x x -1
-1
-1 -1
x
x
1
x 1 1
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
95
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıdaki cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x + 3) (x + 5)
b) (x + 1) (2x + 2)
c) (x + 2) (3x ndash 2)
d) (x ndash 1) (2x ndash 3)
Alıştırma
Ccedilevre = 2(2x + 5 + x + 4) = 2(3x + 9) = 6x + 18
Alan = (2x + 5)(x + 4) = 2x2 + 8x + 5x + 20 = 2x2 + 13x + 20
(x + 5)(3x - 4) = 3x2 - 4x + 15x - 20 = 3x2 + 11x - 20
x + 7 + (x + 2)(4x - 2)x + 7 + 4x2 - 2x - 2x + 8x - 4 = 4x2 + 7x + 3
3x - 11 + (x + 3) (2x - 3)3x - 11 + 2x2 - 3x + 6x - 9 = 2x2 + 6x - 20İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
91
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız a) 2(x+5)
b) ndash4(x+7)
c) 6(3x+1)
d) ndash5(2x+3)
e) 3(2xndash5)
f) ndash7(andash2b)
g) (x+1)(x+2)
h) (andash2)(a+3)
ı) (k ndash 4) (k ndash 3)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
92
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyelim
a) 2(x + 2) b) x(x + 2) c) 3x(x + 1) d) 2x(x ndash 3)
a) 2(x+2)
Kenar uzunluklar 2 ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım x 1 1
1
1
x + 2
2Dikdoumlrtgensel boumllgenin alanını modellemede kullandığımız parccedilaların
alanlarının toplama şeklinde yazalım
Alan = 2x + 4 olur O halde 2(x+2) = 2x + 4tuumlr
b) x(x+2)
Kenar uzunlukları x ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemede kullandığımız
x 1 1
x
x + 2
parccedilaların alanlarının toplamı şeklin alanına eşittir
Alan = x2 + 2x olur O halde x(x+2) = x2 + 2x
c) 3x(x+1)
Kenar uzunlukları 3x ve (x+1) bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki parccedilaların
3x
x x x
x
1
alanları toplamı 3x2 + 3xtir O halde
Alan = 3x(x+1) = 3x2 + 3x olur
d) 2x(x ndash 3)
Kenar uzunlukları 2x ve (x ndash 3)olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki
x ndash 3
x ndash1 ndash1 ndash1
x ndashx ndashx ndashx
x ndashx ndashx ndashx
parccedilaların alanları toplamı 2x2 ndash 6xtir O halde
Alan = 2x (x ndash 3) = 2x2 ndash 6x olur
Alıştırma
x1
1 1 1 1
11
x
x
x
x
x
x
x
x
-1 -1İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
93
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) 2x (x+3)
b) 3(x+4)
c) 3x2x
d) 2x(xndash2)
Oumlrnek
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
94
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x+1) (x+2) b) (3x+1) (xndash2) c) (2xndash1) (xndash3)
a) (x+1) (x+2)
Kenar uzunlukları (x+1) ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modeldeki alanları
x 1 1
x
1
x + 2
x + 1
toplarsak (x+1) (x+2) = x2 + 3x + 2 olur
b) (3x+1) (xndash2)
Kenar uzunlukları (3x+1) ve (xndash2) olan dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x x 1
x
ndash1
ndash1
3x + 1
x ndash 2Modeldeki alanları toplarsak
3x2 + x + (ndash6x) + (ndash2) = 3x2 + x ndash 6x ndash 2
= 3x2 ndash 5x ndash 2 olur Buradan
(3x+1) (xndash2) = 3x2ndash5x ndash 2dir
c) (2x ndash1) (x ndash 3)
Kenar uzunlukları (2x ndash 1) ve (x ndash 2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x ndash1
x
ndash1
ndash1
ndash1
2x ndash 1
xndash3Modeldeki alanları toplarsak 2x2 + (ndash7x) + (+3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur Buradan
(2x ndash 1) (x ndash 3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur
x
x
1
111
1 1 1 1
x
x
x
11
x -1 -1
x
x x -1
-1
-1 -1
x
x
1
x 1 1
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
95
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıdaki cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x + 3) (x + 5)
b) (x + 1) (2x + 2)
c) (x + 2) (3x ndash 2)
d) (x ndash 1) (2x ndash 3)
Alıştırma
Ccedilevre = 2(2x + 5 + x + 4) = 2(3x + 9) = 6x + 18
Alan = (2x + 5)(x + 4) = 2x2 + 8x + 5x + 20 = 2x2 + 13x + 20
(x + 5)(3x - 4) = 3x2 - 4x + 15x - 20 = 3x2 + 11x - 20
x + 7 + (x + 2)(4x - 2)x + 7 + 4x2 - 2x - 2x + 8x - 4 = 4x2 + 7x + 3
3x - 11 + (x + 3) (2x - 3)3x - 11 + 2x2 - 3x + 6x - 9 = 2x2 + 6x - 20İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
92
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyelim
a) 2(x + 2) b) x(x + 2) c) 3x(x + 1) d) 2x(x ndash 3)
a) 2(x+2)
Kenar uzunluklar 2 ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım x 1 1
1
1
x + 2
2Dikdoumlrtgensel boumllgenin alanını modellemede kullandığımız parccedilaların
alanlarının toplama şeklinde yazalım
Alan = 2x + 4 olur O halde 2(x+2) = 2x + 4tuumlr
b) x(x+2)
Kenar uzunlukları x ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemede kullandığımız
x 1 1
x
x + 2
parccedilaların alanlarının toplamı şeklin alanına eşittir
Alan = x2 + 2x olur O halde x(x+2) = x2 + 2x
c) 3x(x+1)
Kenar uzunlukları 3x ve (x+1) bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki parccedilaların
3x
x x x
x
1
alanları toplamı 3x2 + 3xtir O halde
Alan = 3x(x+1) = 3x2 + 3x olur
d) 2x(x ndash 3)
Kenar uzunlukları 2x ve (x ndash 3)olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modellemedeki
x ndash 3
x ndash1 ndash1 ndash1
x ndashx ndashx ndashx
x ndashx ndashx ndashx
parccedilaların alanları toplamı 2x2 ndash 6xtir O halde
Alan = 2x (x ndash 3) = 2x2 ndash 6x olur
Alıştırma
x1
1 1 1 1
11
x
x
x
x
x
x
x
x
-1 -1İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
93
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) 2x (x+3)
b) 3(x+4)
c) 3x2x
d) 2x(xndash2)
Oumlrnek
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
94
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x+1) (x+2) b) (3x+1) (xndash2) c) (2xndash1) (xndash3)
a) (x+1) (x+2)
Kenar uzunlukları (x+1) ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modeldeki alanları
x 1 1
x
1
x + 2
x + 1
toplarsak (x+1) (x+2) = x2 + 3x + 2 olur
b) (3x+1) (xndash2)
Kenar uzunlukları (3x+1) ve (xndash2) olan dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x x 1
x
ndash1
ndash1
3x + 1
x ndash 2Modeldeki alanları toplarsak
3x2 + x + (ndash6x) + (ndash2) = 3x2 + x ndash 6x ndash 2
= 3x2 ndash 5x ndash 2 olur Buradan
(3x+1) (xndash2) = 3x2ndash5x ndash 2dir
c) (2x ndash1) (x ndash 3)
Kenar uzunlukları (2x ndash 1) ve (x ndash 2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x ndash1
x
ndash1
ndash1
ndash1
2x ndash 1
xndash3Modeldeki alanları toplarsak 2x2 + (ndash7x) + (+3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur Buradan
(2x ndash 1) (x ndash 3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur
x
x
1
111
1 1 1 1
x
x
x
11
x -1 -1
x
x x -1
-1
-1 -1
x
x
1
x 1 1
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
95
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıdaki cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x + 3) (x + 5)
b) (x + 1) (2x + 2)
c) (x + 2) (3x ndash 2)
d) (x ndash 1) (2x ndash 3)
Alıştırma
Ccedilevre = 2(2x + 5 + x + 4) = 2(3x + 9) = 6x + 18
Alan = (2x + 5)(x + 4) = 2x2 + 8x + 5x + 20 = 2x2 + 13x + 20
(x + 5)(3x - 4) = 3x2 - 4x + 15x - 20 = 3x2 + 11x - 20
x + 7 + (x + 2)(4x - 2)x + 7 + 4x2 - 2x - 2x + 8x - 4 = 4x2 + 7x + 3
3x - 11 + (x + 3) (2x - 3)3x - 11 + 2x2 - 3x + 6x - 9 = 2x2 + 6x - 20İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
93
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) 2x (x+3)
b) 3(x+4)
c) 3x2x
d) 2x(xndash2)
Oumlrnek
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
94
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x+1) (x+2) b) (3x+1) (xndash2) c) (2xndash1) (xndash3)
a) (x+1) (x+2)
Kenar uzunlukları (x+1) ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modeldeki alanları
x 1 1
x
1
x + 2
x + 1
toplarsak (x+1) (x+2) = x2 + 3x + 2 olur
b) (3x+1) (xndash2)
Kenar uzunlukları (3x+1) ve (xndash2) olan dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x x 1
x
ndash1
ndash1
3x + 1
x ndash 2Modeldeki alanları toplarsak
3x2 + x + (ndash6x) + (ndash2) = 3x2 + x ndash 6x ndash 2
= 3x2 ndash 5x ndash 2 olur Buradan
(3x+1) (xndash2) = 3x2ndash5x ndash 2dir
c) (2x ndash1) (x ndash 3)
Kenar uzunlukları (2x ndash 1) ve (x ndash 2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x ndash1
x
ndash1
ndash1
ndash1
2x ndash 1
xndash3Modeldeki alanları toplarsak 2x2 + (ndash7x) + (+3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur Buradan
(2x ndash 1) (x ndash 3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur
x
x
1
111
1 1 1 1
x
x
x
11
x -1 -1
x
x x -1
-1
-1 -1
x
x
1
x 1 1
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
95
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıdaki cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x + 3) (x + 5)
b) (x + 1) (2x + 2)
c) (x + 2) (3x ndash 2)
d) (x ndash 1) (2x ndash 3)
Alıştırma
Ccedilevre = 2(2x + 5 + x + 4) = 2(3x + 9) = 6x + 18
Alan = (2x + 5)(x + 4) = 2x2 + 8x + 5x + 20 = 2x2 + 13x + 20
(x + 5)(3x - 4) = 3x2 - 4x + 15x - 20 = 3x2 + 11x - 20
x + 7 + (x + 2)(4x - 2)x + 7 + 4x2 - 2x - 2x + 8x - 4 = 4x2 + 7x + 3
3x - 11 + (x + 3) (2x - 3)3x - 11 + 2x2 - 3x + 6x - 9 = 2x2 + 6x - 20İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
94
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıda verilen cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x+1) (x+2) b) (3x+1) (xndash2) c) (2xndash1) (xndash3)
a) (x+1) (x+2)
Kenar uzunlukları (x+1) ve (x+2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım Modeldeki alanları
x 1 1
x
1
x + 2
x + 1
toplarsak (x+1) (x+2) = x2 + 3x + 2 olur
b) (3x+1) (xndash2)
Kenar uzunlukları (3x+1) ve (xndash2) olan dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x x 1
x
ndash1
ndash1
3x + 1
x ndash 2Modeldeki alanları toplarsak
3x2 + x + (ndash6x) + (ndash2) = 3x2 + x ndash 6x ndash 2
= 3x2 ndash 5x ndash 2 olur Buradan
(3x+1) (xndash2) = 3x2ndash5x ndash 2dir
c) (2x ndash1) (x ndash 3)
Kenar uzunlukları (2x ndash 1) ve (x ndash 2) olan bir dikdoumlrtgensel boumllge oluşturalım
x x ndash1
x
ndash1
ndash1
ndash1
2x ndash 1
xndash3Modeldeki alanları toplarsak 2x2 + (ndash7x) + (+3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur Buradan
(2x ndash 1) (x ndash 3) = 2x2 ndash 7x + 3 olur
x
x
1
111
1 1 1 1
x
x
x
11
x -1 -1
x
x x -1
-1
-1 -1
x
x
1
x 1 1
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
95
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıdaki cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x + 3) (x + 5)
b) (x + 1) (2x + 2)
c) (x + 2) (3x ndash 2)
d) (x ndash 1) (2x ndash 3)
Alıştırma
Ccedilevre = 2(2x + 5 + x + 4) = 2(3x + 9) = 6x + 18
Alan = (2x + 5)(x + 4) = 2x2 + 8x + 5x + 20 = 2x2 + 13x + 20
(x + 5)(3x - 4) = 3x2 - 4x + 15x - 20 = 3x2 + 11x - 20
x + 7 + (x + 2)(4x - 2)x + 7 + 4x2 - 2x - 2x + 8x - 4 = 4x2 + 7x + 3
3x - 11 + (x + 3) (2x - 3)3x - 11 + 2x2 - 3x + 6x - 9 = 2x2 + 6x - 20İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
95
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma
x
x
x2
1
x x x ndashx
ndash1
ndash1ndash1
Yukarıdaki cebir karalarını kullanarak aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini modelleyiniz
a) (x + 3) (x + 5)
b) (x + 1) (2x + 2)
c) (x + 2) (3x ndash 2)
d) (x ndash 1) (2x ndash 3)
Alıştırma
Ccedilevre = 2(2x + 5 + x + 4) = 2(3x + 9) = 6x + 18
Alan = (2x + 5)(x + 4) = 2x2 + 8x + 5x + 20 = 2x2 + 13x + 20
(x + 5)(3x - 4) = 3x2 - 4x + 15x - 20 = 3x2 + 11x - 20
x + 7 + (x + 2)(4x - 2)x + 7 + 4x2 - 2x - 2x + 8x - 4 = 4x2 + 7x + 3
3x - 11 + (x + 3) (2x - 3)3x - 11 + 2x2 - 3x + 6x - 9 = 2x2 + 6x - 20İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
96
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Bir kutuda (x+3) adet paket her pakette (x+5) adet kalem bulunmaktadır Buna goumlre 3 kutuda toplam kaccedil adet kalem vardır
2 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) a(3a2 + 1) b) p(2p ndash 7) c) 5k(m+3)
d) ndash3x(2x+10) e) ndash8y(5yndash13) f) ndash4z(ndash3k ndash7)
3 Aşağıdaki ccedilarpma işlemlerini yapınız
a) (x+3) (x+7) b) (xndash8)(x+5) c) (xndash4)(xndash12)
d) (2x+10)(3x+2) e) (3x+2)(4xndash1) f) (2xndash1)(2xndash1)
4 2x + 4 3 ndash 2x x + 5 x ndash 3
x x
+
Yandaki işlem şemasında yerine yazılması gereken cebirsel ifadeyi bulunuz
3(x + 3)(x + 5) = 3(x2 + 5x + 3x + 15) = (x2 + 8x + 15) = 3x2 + 24x + 45
3a3 + 0
-6x2 - 30x
x2 + 7x + 3x + 21x2 + 10x + 21
x2 - 12x - 4x + 48x2 - 16x + 48
x2 + 5x - 8x - 40x2 - 3x - 40
6x2 + 4x + 30x + 206x2 + 34x + 20
12x2 - 3x + 8x - 212x2 + 5x - 2
4x2 - 2x - 2x + 14x2 - 4x + 1
(2x + 4)(3 - 2x) + (x + 5)(x - 3)6x - 4x2 + 12 - 8x + x2 - 3x + 5x - 15 = -3x2 - 3
2p2 - 7p
-40y2 + 104y
5km + 15k
12zk + 28k
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
97
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 131 5x + 9y ndash 20 ifadesinin terim sayısı kaccediltır
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
2 5x2 ndash 3y + 8 cebirsel ifadesindeki katsayılar toplamı kaccediltır
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12
3 2x(5x ndash 2) + x(x +4)
Yukarıdaki ifadenin en sade hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 10x2 + 4x B) 11x2 ndash 4x
C) 11x2 D) 10x2
4 4x(5 ndash 3x) ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 ndash 20 B) 12x2 ndash 20x
C) 20x ndash 12 D) 20x ndash 12x2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
98
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 138 (a ndash 2)2 ndash (a + 2)2 ifadesinin oumlzdeşi aşağıdakilerden hangisidir
A) a2 ndash 8 B) a2 ndash 8a ndash 4
C) 8a ndash 8 D) ndash8a
9 I 4aa = 5a
II ndashx5y = ndash5xy
III ndash6c2d = ndash12cd
IV 2e3fe = 9ef
Yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur
A) I ve II B) II ve III
C) III ve IV D) I ve IV
10
x ndash 5
Yukarıda bir kenar uzunluğu verilen karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) x2 ndash 25
B) x2 + 25
C) x2 ndash 10x + 25
D) x2 + 10x ndash 25
11
4x
3x + 5
Yukarıda verilen dikdoumlrtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir
A) 12x2 + 20x B) 20x2 ndash 12x
C) 12x2 ndash 20 D) 7x2 + 9xİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
99
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlZDEŞLİKLER
Oumlrnek(x+3)2 = x2 + 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikleri bilinmeyen yerine farklı sayıshy
lar yazarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim
(x+3)2 = x2 + 6x + 9
x = 2 iccedilin (2+3)2 = 22 + 62+9 x = 1 iccedilin (1+3)2 = 12 + 61+9
52 = 4 + 12 + 9 42 = 1 + 6 + 9
25 = 25 16 = 16
x = 0 iccedilin (0+3)2 = 02+60+9 x = ndash1 iccedilin (ndash1+3)2 = (ndash1)2 + 6(ndash1)+9
32 = 0+0+9 22 = 1 ndash 6 + 9
9 = 9 4 = 4
(x+3)2 = x2 + 6x+9 eşitliğinde x yerine hangi değeri yazarsak yazalım Eşitlik her zaman
sağlanır
Alıştırma
(x+2)2 = x2+4x+4 ifadesinin oumlzdeşlik olup olmadığını inceleyiniz
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bilinmeyenin her değeri iccedilin doğru
olan cebirsel ifadelere oumlzdeşlik deshy
nir
(x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + 2x + 4 = x2 + 4x + 4 oumlzdeşliktir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
100
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
(a+b)2 = a2+2ab+b2 oumlzdeşliğini modelleyerek bulalım
a b
a a2 ab a
b ab b2 ba b
Bir kenar uzunluğu a+b olan bir kareyi ccedilizip yandaki gibi parshy
ccedilalara ayıralım
Karenin alanını hem karenin alan formuumlluumlnden hem de iccedilinshy
deki parccedilaların alanları toplamından bulalım
Karenin alanı (a+b)2
Parccedilaların alanları toplamı = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir
O halde (a+b)2 = a2 + 2ab+b2 dir
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşini iki terimin toplamının karesi oumlzdeşliğini kulla-narak bulunuza) (a + 5)2 b) (4 + b)2
c) (2x + y)2 d) (3k + 4m)2
Oumlrnek(ashyb)2 = a2 ndash 2ab + b2 oumlzdeşliğini modelleyelim
a ndash b b
b b(a ndash b) b2 b
a ndash
b
(a ndash b)2
b(a
ndash b
)
a ndash
b
a ndash b b
a
a
İsabetli Bilgi
İki terimin toplamının karesi
(a+b)2 = a2+2ab + b2 veya
a2 + b2 + 2abdır
İki terimin toplamının karesi bishy
rinci terim ile ikinci terimin kareshy
lerinin toplamına birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
eklenerek bulunur
a2 + 25a + 52
a2 + 10a + 25
(2x)2 + 22xy + y2
4x2 + 4xy + y2
42 + 24b + b2
16 + 8b + b2
(3k)2 + 23k4m + (4m)2
9k2 + 24km + 16m2İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
101
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Bir kenar uzunluğu a br olan yandaki karede taralı karesel boumllgenin alanını a ve b cinshy
sinden bulalım
Kenar uzunluğu a br alan karenin alanından taralı alan dışındaki boumllgelerin alanlarını
ccedilıkaralım
O halde
(a shy b)2 = a2 ndash [b(a ndash b) + b(andashb) + b2]
= a2 ndash [ab ndash b2 + ab ndash b2 + b2]
= a 2 ndash [2ab ndash b2]
= a2 ndash 2ab + b2 bulunur
AlıştırmaAşağıdaki ifadelerin eşitlerini iki terimin farkının karesi oumlzdeşliğini kullanarak bulu-nuz a) (x ndash 4)2 b) (a ndash 2b)2
c) (2x ndash 3y)2 d) (3k ndash 5m)2
İsabetli Bilgi
İki terimin farkının karesi oumlzdeşshy
liği
(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2 veya
(a ndash b)2 = a2 + b2 ndash 2ab dir
İki terimin farkının karesi birinci
terim ile ikinci terimin kareleshy
ri toplamından birinci terim ile
ikinci terimin ccedilarpımının iki katı
ccedilıkarılarak bulunur
x2 - 2x4 + 42x2 - 8x + 16
(2x)2 - 22x3y + (3y)2
4x2 - 12xy + 9y2(3k)2 - 23k5m + (5m)2
9k2 - 30km + 25m2
a2 - 2a2b + (2b)2
a2 - 4ab + 4b2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
102
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
a2 ndash b2 = (andashb) (a+b) oumlzdeşliğini modelleyelim
ba
a
b
b
a ndash b
a ndash b
b
Bir kenarı a br olan karenin bir koumlşesinden kenar uzunluğu b br olan bir kareyi ccedilıkaralım
Kalan parccedilayı IIdeki gibi birbirine eş iki dik yamuğa ayıralım
Elde ettiğimiz yamukları IIIdeki gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a ndash b) ve (a + b) olan
bir dikdoumlrtgen oluşturalım
Dikdoumlrtgenin alanı (a ndash b) (a + b)dir
Bu dikdoumlrtgen alanı a2 olan bir kareden alanı b2 olan bir karenin ccedilıkarılmasıyla oluştushy
rulduğundan
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) eşitliği sağlanır
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadelerin oumlzdeşlerini iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bu-lalıma) x2 ndash 25 b) 36 ndash z2 c) (a ndash 3)(a+3) d) 81x2 ndash 64y2
AlıştırmaAşağıdaki işlemlerin sonuccedillarını iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak bulalıma) 20182 ndash 20162 b) 832 ndash 212 c) 1042 ndash 42
İsabetli Bilgi
İki kare farkı oumlzdeşliği
a2 ndash b2 = (a ndash b) (a + b) dir
İki terimin kareleri farkı bu teshy
rimlerin toplamı ile farkının ccedilarshy
pımına eşittir
x2 - 52
(x - 5)(x + 5)62 - z2
(6 - z) (6 + z)a2 - 32
a2 - 9
(2018-2016)(2018+2016)240368072
(83-21)(83+21)621046448
(104-4)(104+4)10010810800
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
103
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekToplamları 12 ccedilarpımları 35 olan iki sayının kareleri toplamını bulalım
Sayılar a ve b olsun O halde verilenleri yazalım
a+b=12 ab = 35dir Biz a2 + b2 toplamını bulmalıyız
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab oumlzdeşliğinden yararlanalım Verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazarsak
(12)2 = a2 + b2 + 235
144 = a2 + b2 + 70
74 = a2 + b2 bulunur O halde istenen iki sayının kareleri toplamı 74tuumlr
Oumlrnekİremin yaşı ile Berkayın yaşının kareleri toplamı 269 ccedilarpımları ise 130dur Buna goumlre yaşları farkının kaccedil olduğunu bulalım
(İremin yaşı buumlyuumlk alınacak)
İrem x Berkay y yaşında olsun Verilenleri yazalım
x2 + y2 = 269 xy = 130dur
(xndashy)2 = x2 + y2 ndash 2xy oumlzdeşliğinden yararlanalım O halde verilenleri oumlzdeşlikte yerine yazalım
(x ndash y)2 = 269 ndash 2130
(x ndash y)2 = 269 ndash 260
(x ndash y)2 = 9 rArr x ndash y = 3 bulunur
Alıştırma1 Toplamları 11 kareleri toplamı 73 olan iki sayının ccedilarpımı kaccediltır
2 Yanda verilen şekilde taralı alanı belirten cebirsel ifadeyi yazınız
3 Farkları 8 ccedilarpımları 84 olan iki sayının kareleri toplamı kaccediltır
a + b = 11a2 + b2 = 73
rarr
x - y = 8x y = 84
rarr
x2 - (2a)2 = x2 - 4a2
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab112 = 73 + 2ab 121 = 73 + 2ab rarr 48 = 2ab rarr 24 = ab
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy 64 = x2 + y2 - 284 64 = x2 + y2 - 168 rarr x2 + y2 = 232
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
104
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki eşitliklerin oumlzdeşlik olup olmadıklarını altlarına yazınız
a) 5x + 3 = 3 + 5x b) 3x + 4x ndash 2 = x + 5x ndash 2
c) 2(x + 1) = 2x + 1 d) 3(x shy 1) + 2x + 5 = 4x ndash 5+x
2 Aşağıdaki ccedilokgenlerin alanlarını belirten oumlzdeşliklerin en sade hallerini yazınız
x + 7
x ndash 3x + 1
2x ndash 3
(x + 2)
(x + 2)
3 Aşağıdaki ifadelerin oumlzdeşlerini yazınız
rArr (2x + 3)2 = rArr 4x2 ndash 9y2 =
rArr (4x ndash 5)2 = rArr 5x2 ndash 4y2 =
rArr (7x + 1)2 = rArr 49a2 ndash 81b2 =
rArr (x + 2y)2 = rArr 36a2 ndash 100b2=
rArr (2x ndash 5y)2 = rArr (2x ndash 3y)2 =
rArr (5x ndash 4)2 = rArr 9x2 ndash 16y2 =
rArr 4x2 ndash 25y2 =
4 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden oumlzdeş olanlarını eşleştiriniz
I (4x + 1) (x + 3) a (x ndash y) (x + y)
II (x ndash 5) (x + 2) b x2 ndash 3x ndash 10
III 2(x + 5) c 4x2 ndash 12x
IV 4x(x ndash 3) d 4x2 + 13x + 3
V x2 ndash y2 e 2x + 10
oumlzdeşlik
oumlzdeş değil
x2 + 4x + 4 2x2 - x - 3 x2 + 4x - 21
4x2 + 12x + 9 (2x - 3y)(2x + 3y)16x2 - 40x + 25 (ntilde5x - 2y)(ntilde5x + 2y)
(7a - 9b)(7a + 9b)(6a - 10b)(6a + 10b)4x2 - 12xy + 9y2
(3x - 4y)(3x + 4y)
49x2 + 14x+ 1x2 + 4xy + 4y2
4x2 - 20xy + 25y2
25x2 - 40xy + 16(2x - 5y)(2x + 5y)
oumlzdeşlik değil
oumlzdeşlik değil
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
105
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 141 x2 ndash 4x + 4 = (x ndash H)2
Yukarıdaki oumlzdeşlikte H yerine gelmesi gereken sayı kaccediltır
A) ndash4 B) ndash2 C) 2 D) 4
2
a
a
a
a
b
b
b
b
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (a + b)2 = a2 + b2
B) (a + b)2 = a2 + ab + b2
C) (a ndash b)2 = a2 ndash2ab + b2
D) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 x = ntilde7 ndash 1
olduğuna goumlre x2 + 2x + 1 ifadesinin değeri kaccediltır
A) 7 B) 35 C) 40 D) 49
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
106
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 147
x
x
1
11 11
Yukarıda modellenen oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x
B) (x + 1)(x + 4) = x2 + 4x + 4
C) x(x + 4) = x2 + 4x
D) (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4
8
6 cm
6 cm
30 cm
30 cm
Yukarıda verilen ve iccedil iccedile iki kare ile modellenmiş taralı boumllgenin alanını veren oumlzdeşlik aşağıdakilerden hangisidir
A) (30 + 6)2 = 3x + 62
B) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 62
C) 302 ndash 62 = (30 + 6)(30 ndash 6)
D) (30 ndash 6)2 = 302 ndash 2306 + 62
9 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşliktir
A) x(x + 2) = x2 + 2
B) xyxy = 2xy
C) (a + 2)b = ab + 2b
D) 4x(2y) = 6xyİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
107
Test ndash 02
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 1410 (x + 2)(x ndash 2) = x2 ndash A
Yukarıdaki eşitlik bir oumlzdeşlik olduğuna goumlre A değeri aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash2 C) 0 D) 4
11 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi bir oumlzdeşlik değildir
A) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
B) (x ndash y)2 = x2 ndash 2xy + y2
C) x2 ndash y2 = (x ndash y)(x + y)
D) x2 + y2 = (x + y)(x + y)
12 552 ndash 452 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisinin sonucuna eşittir
A) 9010 B) 10010
C) 91000 D) 100090
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
109
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
CEBİRSEL İFADELERİ CcedilARPANLARA AYIRMA
Oumlrnek3x + 6 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
3x+6 ifadesini modelleyelim ve bu modeli dikdoumlrtgensel boumllgeye doumlnuumlştuumlrelim
x
1 ve olmak uumlzere
Yandaki dikdoumlrtgenshy
sel boumllgenin alanı
3(x+2) = 3x+63x + 6
111
1x 1
II Yol
3x+6 cebirsel ifadesindeki 3 ve 6nin ebobu 3tuumlr Buradan
3x + 6 = 3x+32
= 3(x+2)dir
Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarına
ayırmış olduk
Alıştırma
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x ndash 4y b) 6x + 16 c) 12k + 20m
d) 24p ndash 56r e) 5a ndash 10b f) 14x + 21y
Oumlrnek
İsabetli Bilgi
Bir cebirsel ifadeyi ccedilarpanlarıshy
nın ccedilarpımı olarak yazma işleshy
mine ccedilarpanlara ayırma denir
Ccedilarpma işleminin toplama ve ccedilıshy
karma işlemleri uumlzerine dağılma
oumlzelliğinden yararlanarak ccedilarshy
panlarına ayırmaya ortak ccedilarshy
pan parantezine alma youmlntemi
denir
Bir cebirsel ifade ortak ccedilarpan
parantezine alınırken ortak
ccedilarpanlar parantezin dışına
kalan ifadeler parantezin iccediline
yazılır
4(x - y)
8(3p - 7r)
2(3x + 4)
5(a - 2b)
4(3k + 5m)
7(2x - 3y)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
110
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
5x2 + 3x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
5x2 + 3x
Yukarıda modellediğimiz 5x2 + 3x ifadesinin parccedilalarını kullanarak bir dikdoumlrtgen oluşturalımx x x x x 1 1 1
5x + 3
Dikdoumlrtgensel boumllgenin bir kenarı 5x+3 diğer kenarı xdir Bu kenar uzunluklarının ccedilarpımı parccedilaların alanları toplamına eşittir
O halde 5x2 + 3x = x (5x + 3) olur
II Yol
5x2 + 3x = 5xx+3x
= x (5x + 3)
5x2 + 3x cebirsel ifadesinde terimlerin ortak ccedilarpanı xdir Ortak ccedilarpan parantezine alma oumlzelliği ile ccedilarpanlarına ayırmış
olduk
Oumlrnek12x3 ndash 15x2 + 18x cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
Ortak ccedilarpan parantezine alma youmlntemini kullanalım Buradan
12x3 ndash 15x2 + 18x = 3x 4x2 ndash 3x 5x + 3x 6
= 3x(4x2 ndash 5x + 6) olur
AlıştırmaAşağıdaki ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) 4x2 + 6x b) 8x2 ndash 24x c) 9x3 + 12x
d) 6a3 + 10a2 + 4a e) 12p2 ndash 16p + 4 f) 15a2b ndash 18ab2
Oumlrneky2 + xy + ay + ax cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
y2 + xy + ay + ax = (y2 + xy) + (ay + ax)
2x(2x + 3)
2a(3a2 + 5a + 2)
8x(x - 3)
4(3p2 - 4p + 1)
3x(3x2 + 4)
3ab(5a - 6b)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
111
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
= y(y+x) + a(y+x)
= (y+x) (y+a)
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) ab + 6a + 4a + 24 b) x6 ndash4x5 + 2x2 ndash 8x
Oumlrnekx2 + 4x + 4 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
I Yol
x2 + 4x + 4
Yukarıda cebir karoları ile modellediğimiz x2 + 4x + 4 ifadesinin parccedilalarıyla dikdoumlrtgensel
boumllge oluşturalım
x + 2
x + 2
x
x
1
11
1
Oluşturduğumuz dikdoumlrtgensel boumllge bir kenar uzunlushy
ğu (x+2) olan bir karedir O halde oluşturduğumuz şeklin
alanı (x+2) (x+2) = (x+2)2 dir
Bu ifade parccedilaların alanları toplamına eşit olacağından
x2 + 4x + 4 = (x+2)2dir
II Yol
x2 + 4x + 4 =(x+2)2
darr darr ogravex2 = x ntilde4=2
2 x 2
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 + 6x + 9 b) x2 + 10x + 25 c) x2 + 14x + 49
Oumlrnekx2 ndash 12x + 36 cebirsel ifadesini ccedilarpanlarına ayıralım
x2 ndash 12x + 36 = (x ndash 6)2
darr darr ogravex2 = x ograve36=6
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifadede birinshy
ci terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terishy
min karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı
ortanca terime eşit ise bu cebirsel
ifade bir tam karedir ve birinci teshy
rimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin
karekoumlkuumlnuumln toplamının karesine
eşittir
a(b + 6) + 4(a + b)
(x + 3)2 (x + 5)2 (x + 7)2
x2(x - 4) + 2x(x - 4)(x - 4)(x5 + 2x = x(x4 + 2)(x - 4)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
112
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Kural
Uumlccedil terimli bir cebirsel ifade birinci
terimin karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml terimin
karekoumlkuumlnuumln ccedilarpımının iki katı orshy
tanca terime eşit ise bu cebirsel ifashy
de bir tam karedir ve birinci terimin
karekoumlkuuml ile uumlccediluumlncuuml teriminin kareshy
koumlkuumlnuumln farkının karesine eşittir
ndash2x6
AlıştırmaAşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınıza) x2 ndash 8x + 16 b) x2 ndash 18x + 81 c) x2 ndash 10x + 25
Oumlrnekx2 + kx + 64 cebirsel ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a sayısının alabileceği tam
sayı değerleri bulalım
x2 + kx + 64 = (x+8)2 x2 + kx + 64 = (xndash8)2
darr darr darr darr ogravex2 = x ograve64=8 ogravex2 = x ograve64=8
2 x 8 ndash2 x 8
x2 + 16x + 64 rArr k = 16 x2 + 16x + 64 rArr k = 16
O halde anın tam sayı değerleri 16 ve ndash16dır
Oumlrnek
Yanda verilen şekildeki taralı alanı veren cebirsel ifadeyi bulalım ve
ccedilarpanlarına ayıralım
Şekilde verilen taralı alanı buumlyuumlk karenin alanından kuumlccediluumlk karenin alanı ccedilıkarılarak bulushy
nur Yani taralı alan x2 ndash 22dir Bu ifadeyi iki kare farkı oumlzdeşliğinden yararlanarak
x2 ndash 22 = (x ndash 2) (x + 2) şeklinde ccedilarpanlarına ayırabiliriz
Alıştırma1 x2 + ax + 121 ifadesi bir tam kare ifade olduğuna goumlre a doğal sayısı kaccediltır
2 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2 ndash 52 b) x2 ndash 16 c) 16x2 ndash 81 d) 25x2 ndash 100y2
(x - 4)2
ax = 2x11ax = 22x rarr a = 22ogravex2 = x
(x - 5)(x + 5) (x - 4)(x + 4) (4x - 9)(4x + 9) 25(x2 - 4y2)25(x - 2y)(x + 2y)
ograve121 = 11
(x - 9)2 (x - 5)2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
113
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki cebirsel ifadeleri ccedilarpanlarına ayırınız a) x2y + xy2 b) ax + ay c) x2y + xy
d) ax2 ndash ay2 e) mx + nx + my + ny f) 5x2 + 25x + x + 5
g) 25x2 ndash 81y2 h) 2a2 ndash 3b2 ı) x2 ndash 6x + 9
i) x2 ndash 2ntilde6x + 6 j) x2 ndash 4ntilde7x + 28 k) ab + 3ay ndash 2xb ndash 6xy
l) x2 ndash 10x + 25 m) 4x2 ndash 100 n) 25 ndash 100x2
2 Aşağıdaki ifadeler tam kare olduğuna goumlre belirtilen değişkenlerin alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz
a) x2 + px + 196 b) a2 ndash 8a + r c) y2 + my + 225
p = r = m =
3
x
Yandaki şekilde bir kenarı x br olan bir kareden bir kenarı y br olan doumlrt tane kare ccedilıkarılıyor
Kalan şeklin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz ve ccedilarpanlarına ayırınız
xy(x + y)
a(x - y)(x + y)
(5x - 9y)(5x + 9y)
(x - ntilde6)2
(x - 5)2
142 -24a m = 3042
x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x - 2y)(x + 2y)
152
p = 28 r = 16
4(x - 5)(x + 5) 25(1 - 2x)(1 + 2x)
(ograve2a - ograve3b)(ograve2a + ograve3b)
(x - 2ntilde7)2
(x - 3)2
a(b + 3y) - 2x(b + 3y)(b + 3y)(a - 2x)
a(x + y)
(m + n) + y(m + n)
xy(x + 1)
5x(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(5x + 1)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
114
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
1 5x2y ndash 10x cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 5y(x2 ndash 2x) B) 5(xy ndash 2x)
C) 5x(xy ndash 2) D) 5x(xy ndash 10)
2 20x ndash 12x2 cebirsel ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir
A) 4x(5 ndash 3x) B) 4x(5x ndash 3)
C) 4x(3x ndash 5) D) 4x(3 ndash 5x)
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisinde soldaki cebirsel ifade doğru bir şekilde ccedilarpanlarına ayrılmıştır
A) x2 ndash 5 = (x ndash 5) (x + 5)
B) x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 4)
C) x2 ndash 5x = x(x ndash 5x)
D) ax + bx = x(a + b)
4
xx2
x
x2
x 1
x
1
x
1
x
1
Yukarıda cebir karolarıyla modellenmiş cebirsel ifadenin ccedilarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir
A) x + 2 B) x + 4
C) 2x + 4 D) 3x + 4
5 2x2 + 6x ifadesinin ccedilarpanlarına ayrılmış hacircli aşağıdakilerden hangisidir
A) 2(x2 + 3) B) 2x(x + 3)
C) x(2x + 3) D) x(2x2 + 3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
115
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 15
6 Aşağıdakilerden hangisi x3 ndash x2 + x ndash 1 ifadesinin ccedilarpanlarından biridir
A) x + 1 B) x2 + 1
C) 2x2 ndash 1 D) x
7 Aşağıdaki cebirsel ifadelerden hangisi x + 1 ile tam boumlluumlnemez
A) x2 ndash 1 B) x2 + 2x + 1
C) x2 ndash 2x + 1 D) x2 ndash x ndash 2
8 x2 + Kx ndash 9 ifadesinin ccedilarpanlarından biri x + 3 olduğuna goumlre K değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) ndash6 B) ndash3 C) 0 D) 3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
117
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
İsabetli Bilgi
Bir denklemde eşitliğin her iki
tarafını aynı sayı ile toplamak
ccedilıkarmak ccedilarpmak ya da boumllshy
mek denklemdeki eşitliği bozshy
maz
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
Oumlrnekx4 + 2
3 = 2312 denkleminin koumlkuumlnuuml bulalım
Eşitliğin her iki yanına 23 uumln tersi olan dndash 2
3 n sayısını ekleyelim
x4
+ 23
+ dndash 23 n = 23
12 + dndash 23 n
0
x4(3)
= 2312 ndash 2
3(4)
rArr 3x12 = 23ndash8
12
rArr 3x = 15 (Bir eşitlikte her iki tarafın paydası
rArr 3x3
= 153
rArr x = 5 aynı ise paylar eşitlenir)
OumlrnekMustafanın kalemlerinin sayısının 3 katının 7 eksiği 23 olduğuna goumlre Mustafanın kaccedil
kalemi vardır
Kalem sayısı x olsun O halde kalem sayısının 3 katının 7 eksiği 3x ndash 7 olur Buradan
3x ndash 7 = 20 (Eşitliğin her iki yanına +7 ekleyelim)
3x ndash 7 + 7 = 23 + 7
0
3x = 30
3x3
1
1 =
1
10303 rArr x = 10 tane kalemi vardır
Alıştırma
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x4
+ 5 = 13
b) 23
x = 18
x4
= 13
- 5 rarr x4
= -143
rarr 3x = -56 x = -563
5(x + 3)2
= 20 rarr 5(x + 3) = 40
rarr 5x + 15 = 40 5x = 25 x = 5
2x3
= 181
2x = 54 rarr x = 27(3)İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
118
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
2 Osmanın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 5 katının yarısı 20 olduğuna goumlre Osmanın kaccedil bilyesi vardır Dikkat
Paydayı sıfır yapan değerler ccediloumlzuumlm
olarak alınmaz
Dikkat
Rasyonel denklemler ccediloumlzuumlluumlrken
oumlnce paydaların eşitlenmesi ccediloumlzuumlshy
muuml kolaylaştırır
4x - x + 33x + 3
= 1 3x + 3 = 3x + 3 3x + 3 = 0 x = -1
denlemi sağlayan x değerleri R - -1
3(x - 3) = 2(x + 1)3x - 9 = 2x + 2x = 11
6x - 5(x - 1) = 15x6x - 5x + 5 = 15xx + 5 = 15x5 = 14x514
= x
4 + 6x = 4(x + 1)4 + 6x = 4x + 42x = 0x = 0
(3) (15) (4) (6) (3)
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
119
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) 5x2 + 15 = 4 b) x
9 + 2x3 = 56
c) 4x ndash 3x ndash 1 ndash 1
x ndash 1 = 35 d) 4
x + 4 + 3x + = 7
x +
2 Umut kumbarasından 5 TL alıyor ve kalan parayı 3 kardeşine eşit olarak paylaştırıyor Umutun her bir kardeşi 25 TL aldığına goumlre başlangıccedilta kumbarada kaccedil TL olduğunu bulunuz
3 Bir telin ucundan x7 si kesilince orta noktası 5 cm kayıyor
Buna goumlre telin kesilmeden oumlnceki uzunluğunun kaccedil cm olduğunu bulunuz
4 Hangi sayının 27 sinin 3 eksiği 5tir
5 Bir miktar ceviz 8 kişiye eşit olarak dağıtılacaktır Bu gruba iki kişi daha katılırsa her birinin alacağı ceviz sayısı 4 azalacağına goumlre başlangıccedilta toplam kaccedil ceviz olduğunu bulunuz
6 Aşağıdaki denklemlerin koumlklerini bulunuz
a) x5 + x
9 = ndash145 b) 4x + 3
12 = x ndash 54 c) x + 43 ndash x + 14 = x
6
25x + 2 = 4025x = 38
x = 3825
x 1 olamaz payda sıfır olan koumlk yok
2x + 12x = 1514x = 15 rarr x = 15
4x - 3 - 1 = 3(x - 1)4x - 4 = 3x - 3 rarr x = 1
(5) (2) (2)
(x-1)
(6) (3)(10)
4x + 4
= 4x + 11
x2
= 3x7
= 5 x = 35 cm
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
2x7
- 3 = 5 rarr 2x7
= 8 rarr 2x = 35 cm rarr x = 28
x8
- x10
= 4 rarr 5x - 4x = 160 x = 160
9x + 5x = -114x = -1
x = - 114
4x + 3 = 3(x - 5)4x + 3 = 3x - 15x = -18
4x + 16 - 3x - 3 = 2xx + 13 = 2xx = -13
(5)
(9) (5) (3) (2)(3)(4)
(4)(40)
4x + 44 = 4x + 1644 = 16
koumlk yok
x2
x2
3x2
3x2
6x2
x7
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
120
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
1 x ndash 32x + 4
= 12
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash2 B) Rndashndash2 C) Yok D) R
2 1520
3 ndash x1 += 107 + denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash2 B) ndash1 C) 1 D) 2
3 x2 ndash 9
(x ndash 3)(x + 3) = 1 denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) Yok B) R
C) Rndashndash33- D) ndash33-
4 1 ndash x
2 +
x + 13
= 1 denkleminin koumlkuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash1 B) 0 C) 1 D) 2İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
121
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 16
5 6
x + 1 =
5x ndash 1
denkleminin ccediloumlzuumlmuuml aşağıdakilerden hangisidir
A) R B) Rndash1ndash1- C) Yok D) 11
6 x + 1
4 ndash
2x + 35
= 1
40
denkleminin koumlkuuml kaccediltır
A) ndash 52
B) ndash 25
C) 92
D) 112
7 Bir babanın yaşı kızının yaşının 5 katıdır 3 yıl sonra baba ve kızın yaşları toplamı 48 olacağına goumlre babanın buguumln-kuuml yaşı kaccediltır
A) 7 B) 14 C) 35 D) 42
8 Suna cebindeki paranın oumlnce 25
sini daha sonra kalan paranın 13
ini harcıyor Geriye 18 TLsi kaldığına goumlre başlan-
gıccedilta Sunanın kaccedil TLsi vardır
A) 27 B) 36 C) 45 D) 54İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
123
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
KOORDİNAT SİSTEMİ
OumlrnekA(2 1) B(ndash3 2) C(ndash1 ndash3) ve D (4 ndash2) noktalarını koordinat sisteminde goumlsterelim
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
CD
x y
A ( 2 1 )
B ( ndash3 2 )
C ( ndash1 ndash3 )
D ( 4 ndash2 )
Alıştırma
Aşağıdaki noktaları verilen koordinat sisteminde işaretleyiniz
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash5
ndash6
ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
A(0 5) B(3 4) C(ndash2 6)
D(ndash4 ndash7) E(2 0) F(6 ndash7)
G(ndash1 0) H(0 ndash3) I(ndash5 5)
İsabetli Bilgi
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
İki sayı doğrusunun 0 noktashy
sında birbiriyle dik kesişmesiyle
koordinat sistemi oluşur Koorshy
dinat sistemindeki yatay eksene
x ekseni (apsis) dikey eksene y
ekseni (ordinat) eksenlerin keshy
siştikleri noktaya da orijin denir
İsabetli Bilgi
Koordinat sisteminde bir noktashy
ya karşılık gelen koordinatların
(a b) şeklinde goumlsterimine sıralı
ikili denir
Bir sıralı ikilide ilk sayı x ekseshy
nine ikinci sayı y eksenine karshy
şılık gelir (a b) sıralı ikilisindeki
a sayısı birinci bileşen b sayısı
ikinci bileşendir
CI A
B
EG
H
D FİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
124
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
y
x
CD
Fx
H
IG
K B
A
E
Yandaki koordinat duumlzleminde verilen şekilleshy
rin koumlşe noktalarının koordinatlarını bulalım
bull A noktasından x eksenine ccedilizilen dikme
3 noktasına y eksenine ccedilizilen dikme
2 noktasına karşılık gelmektedir Buna
goumlre A noktasının koordinatları (3 2)dir
bull A noktasının koordinat sistemindeki yerishy
ni bulmak iccedilin uyguladığımız adımları D F
H ve I iccedilin uygularsak D(ndash3 3) F(ndash4 ndash2)
H(1 ndash3) ve I(3 ndash1) olarak buluruz
bull B noktasından y eksenine dik ccedilizersek 0 noktasına geliriz B noktası x ekseni uumlzerinshy
dedir O halde B(4 0)dır
bull Aynı işlemi E ve K iccedilin uygularsak E(ndash3 0) ve K(2 0) olduğu goumlruumlluumlr
bull C noktasından x eksenine ccedilizilen dikme 0 noktasına karşılık gelir C noktası y ekseni
uumlzerindedir 0 halde C(0 3)tuumlr
bull Aynı işlemi G iccedilin de uygularsak G(0 ndash2) olduğu goumlruumlluumlr
Alıştırma Aşağıdaki noktaların koordinat sisteminde hangi boumllgede olduğunu bulunuz a) A(2 8) b) B(ndash3 ndash7) c) C(5 ndash1) d) D(ndash8 11)
Oumlrnek
2
3
4
5
1
4321
y(kat)
x(daire)
A
B
C
D
Yandaki şekilde bir apartmanın katları ve
her kattaki daireler koordinat sistemine
yerleştirilmiştir
Buna goumlre A B C ve D ailelerinin konumshy
larını sıralı ikililerle belirleyelim
A ailesi (1 5)
B ailesi (4 4)
C ailesi (2 3)
D ailesi (3 1)
İsabetli Bilgi
Koordinat sistemi 4 boumllgeden oluşshy
maktadır
x
koordinat
y
koordinat
I Boumllge ( + + )
II Boumllge ( ndash + )
III Boumllge ( ndash ndash )
IV Boumllge ( + ndash )
I BoumllgeII
y
x
IV III
Boumllgelerdeki noktaların koordishy
natlarının işaretleri yukarıdaki
gibidir
1 bileşeni sıfır olan noktalar y
ekseni uumlzerinde 2 bileşeni sıfır
olan noktalar ise x ekseni uumlzeshy
rindedir
I III IV II
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
125
Ccedilarpanlar ve KatlarDers ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrnek
4
5
6
7
3
2
1
ndash1ndash2ndash3ndash4 4321
y (Koridor)
x (Giriş)SağSol
Bir sinema salonundaki filme gitmek iccedilin internet sitesinden bilet almak
isteyen yandaki koordinat sistemindeki noktalara tıklayarak bilet alabilshy
mektedir Koyu renkli koltuklar satılmış accedilık renkli olanlar ise satın alınashy
bilecek koltukları goumlstermektedir
Buna goumlre
a) A(2 4) ve B(ndash2 6) noktalarının konumu ve burdaki koltukların durumu
b) Koridorun 2 sıra solunda ve girişten 5 sıra uumlstteki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumu
c) Koridorun 4 sıra sağında ve 3 sıra yukarısındaki koltuğun hangi noktada olduğu ve durumunu belirleyelim
Ccediloumlzuumlm
a) A(2 4) koltuğu koridorun 2 sıra sağında 4 sıra uumlsttedir ve satılmıştır
B(ndash2 6) koltuğu koridorun 2 sıra solunda 6 sıra uumlsttedir ve satılmamıştır
b) Koltuk (ndash2 5) noktasındadır ve satılmıştır
c) Koltuk (4 3) noktasındadır ve satılmamıştırİSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
126
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 Aşağıdaki dik koordinat sisteminde goumlsterilen noktaların koordinatlarını bulunuz
43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321x
E
A ( ) B ( )
C ( ) D ( )
E ( ) F ( )
G ( ) H ( )
K ( ) L ( )
2 4
3
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4
ndash4 4321
AB
C
x
Aşağıdaki soruları yanda verilen koordinat sistemindeki noktalara goumlre ce-vaplayınız
a) A noktasının birinci bileşeni eşittir
b) B noktasının ikinci bileşeni eşittir
c) C noktasının koordinatlarının toplamı eşittir
3 Yandaki koordinat sisteminde 43
2
1
ndash1ndash1
ndash2
ndash2
ndash3
ndash3
ndash4ndash5ndash6ndash7
ndash4ndash5ndash6ndash7 4 5
5
6
6
7
7
321
(ndash7 2) (ndash2 4) (5 ndash3) (4 2) (ndash3 ndash2) (7 6) ve (ndash5 7)
sıralı ikililerine karşılık gelen noktaları işaretleyiniz
4 A(ndashx xy) noktası koordinat sisteminde III boumllgededir
Yukarıdaki bilgiye goumlre aşağıdaki cuumlmlelerin sonuna doğru ise yanlış işareti koyunuz
bull (x y) noktası II boumllgededir ()
bull (x2 ndashy) noktası I boumllgededir ()
bull (x2
y xy2) noktası IV boumllgededir ()
2 -2-6 4-3 4-5 52 -2
3 -3-5 -22 61 -4-1 4
-3rsquoe
1rsquoe
-5rsquoe
(4 2)
(7 6)
(5 -3)(-3 -2)
(-7 2)
(-5 7)
(-2 4)
F
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
127
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 171
y
x
II boumllge I boumllge
III boumllge IV boumllge
Yukarıdaki şekilde x gt 0 ve y gt 0 şartını birlikte sağlayan (x y) noktalar kuumlmesi hangi boumllgededir
A) I B) II C) III D) IV
2 Koordinatları (65) olan bir A noktasının y eksenine uzaklığı kaccedil birimdir
A) 11 B) 8 C) 6 D) 5
3 R(a ndash 6 b + 2) noktası x ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur
A) b = ndash2 B) a = 6
C) a + b = ndash4 D) b = 3a
4 Aşağıdaki noktalarda hangisi III boumllgededir
A) (23) B) (4ndash2)
C) (ndash5ndash4) D) (ndash56)
5 A(43) ve B(8ndash5) noktalarının apsisler toplamının ordinatlar toplamına oranı kaccediltır
A) ndash6 B) ndash4 C) 4 D) 6İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Ccedilarpanlar ve Katlar
128
Test ndash 01
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 17
10
Yukarıda verilen Tuumlrkiye haritasında orijin Ankara olacak şekilde koordinat eksenleri ccediliziliyor Buna goumlre Hatayın bulunduğu noktayı belirten sıralı ikili aşağıdakilerden hangisi olabilir
A) (3 ndash5) B) (2 4)
C) (ndash2 ndash3) D) (ndash4 7)
11 Koordinat duumlzleminde A(3 8) noktası ile B(ndash6 8) noktası arasındaki uzaklık kaccedil birimdir A) ndash9 B) ndash3 C) 3 D) 9
12 K(ndash5 a + 3) noktası x ekseni uumlzerinde L(bndash1 2) noktası y ekseni uumlzerinde olduğuna goumlre M(ab a+b) noktası koordi-nat duumlzleminin kaccedilıncı boumllgesindedir
A) I B) II C) III D) IVİS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişkiDers ndash 18
129
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL İLİŞKİ
Oumlrneky = 2x + 1 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım
x 2x+1 y (x y)
ndash2 2(ndash2)+1 ndash3 (ndash2 ndash3)ndash1 2(ndash1)+1 ndash1 (ndash1 ndash1)0 20+1 1 (0 1)1 21+1 3 (1 3)2 22+1 5 (2 5)
Tabloda da goumlruumllduumlğuuml uumlzere x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x
bağımsız y ise bağımlı değişkendir
Oumlrnek2y + 3x = 6 denklemine ait bir tablo oluşturalım Tabloda xe farklı değerler vererek y
değişkeninin alacağı değeri bulalım
Oumlncelikle y değişkenini x cinsinden yazalım
2y + 3x = 6 rArr 2y = ndash3x + 6 rArr y = ndash3x + 6
2
xndash3x+6
2 y (x y)
ndash2ndash3(ndash2)+6
2 6 (ndash2 ndash6)
ndash1ndash3(ndash1)+6
292 (ndash1
92 )
0ndash30+6
2 3 (0 3)
1ndash31+6
232 (1
32 )
2ndash32+6
2 0 (2 0)
Tabloda goumlruumllduumlğuuml gibi x değişkenine bağlı olarak y değişmektedir Buna goumlre x bağımshy
sız değişken y ise bağımlı değişkendir
İsabetli Bilgi
Doğrusal ilişki ifade eden denkshy
lemlere doğrusal denklemler deshy
nir
Doğrusal denklemler
ax + by + c = 0 şeklinde goumlsteshy
rilir Bu ifadede x ve y değişken
a ve b (en az biri sıfırdan farklı)
katsayılar c de sabit terimdir
Doğrusal denklemlerin bir diğer
goumlsterimi de y = mx + ndir
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
130 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Ders ndash 18
Oumlrnek
x 3 4 B C
y A 10 19 25
Yukarıdaki tablo y = 3x ndash 2 denklemine ait olduğuna goumlre
A + B ndash C kaccediltır
İstenen değerleri doğru denkleminde yerine yazalım
x = 3 A = 3 3 ndash 2
y = A A = 9 ndash 2
A = 7
x = B 19 = 3B ndash 2
y = 19 21 = 3B
7 = B
x = C 25 = 3 C ndash 2
y = 25 27 = 3C
9 = C
Buradan A + B ndash C = 7 + 7 ndash 9
= 5tir
Oumlrnek2x + 5y = 5 denkleminde
a) y değişkenini x cinsinden
b) x değişkenini y cinsinden yazalım
a) y değişkeni x cinsinden yazmak demek y değişkenini yalshy
nız bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 5y = ndash2x + 5
rArr 5y5
= 2x + 55
rArr y = 2x + 5
5
b) x değişkenini y cinsinden yaz demek x değişkenini yalnız
bırakmak demektir
2x + 5y = 5 rArr 2x = ndash5y + 5
rArr 2x2 =
ndash5y + 52
rArr x = ndash5y + 5
2
Alıştırma1 x A 2
y 1 B
Yandaki tablo 2y + 3x = 14
denklemine aittir
Buna goumlre AB kaccediltır
2 3y ndash 4x = 12 denklemindea) xi y cinsinden
b) yyi x cinsinden yazınız
21 + 3A = 14 rarr 3A = 12 rarr A = 42B + 32 = 14 rarr 2B = 8 rarr B = 4
3y - 4x = 12 rarr 4x = 3y - 12 rarr x = 3y shy 12
4
3y - 4x = 12 rarr 3y = 4x + 12
rarr y = 4x + 12
3
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
131
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 x 1 2 3 A 5 C 6
y 4 7 10 13 B 19 D
Yukarıdaki tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişkinin denklemini yazarak tablodaki bilinmeyenleri bulunuz
2 2x + 3y = 18 doğrusal denklemi iccedilin aşağıdaki tabloda bulanan boşlukları doldurunuz
x 3 5 ndash32
y45 8
3 Aşağıdaki denklemlerdebull yyi x cinsinde yazınıza) x ndash 3y = 2 rArr b) 4x ndash 12y = 8 rArr c) x = y ndash 2 rArr
d) 2x ndash 5y + 13 = 0 rArr e) 6x + 7y = 21 rArr f) 3x ndash 5y ndash 30 = 0 rArr
bull xi y cinsinden yazınıza) 2x ndash 7y = 11 b) 3x ndash y + 9 = 0 c) x + y = 2
d) 3x2 +
y3 + 5 = 0 e)
x4 ndash
2y7 + 1 = 0 f) 6x ndash 5y ndash 30 = 0
3y = x2
y = x shy 2
3
5y = 2x + 13
y = 2x shy 13
5
2x = 7y + 11
x = 7y + 11
2
9x - 2y + 30 = 0
9x = -2y - 30
x = 2y shy 30
9
7x - 8y + 28 = 0
7x = 8y - 28
x = 8y shy 28
7
6x = 5y + 30
x = 5y + 30
6
3x = y - 9
x = y shy 7
3
x = 2 - y
7y = 21 - 6x
y = 21 shy 6x
7
5y = 3x - 30
y = 3x shy 30
5
12y = 4x - 8
y = 4x shy 8
12
y = x + 2
y = 3x + 1 13 = 3A + 1 rarr 3A = 12 rarr A = 4 D = 36 + 1 rarr D = 19 B = 35 + 1 rarr B = 16 19 = 3C + 1 rarr 3C = 18 rarr C = 6
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal İlişki
132 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 18
1 x y
ndash2 ndash5ndash1 ndash20 11 42 7
Yukarıda tabloda x ve y arasındaki doğrusal ilişki aşağıdakilerden hangisidir
A) y = 2x ndash 1 B) y = 3x + 1
C) y = x ndash 3 D) y = 2x + 1
2 a ile b arasında b = 3a + 8 bağıntısı vardır Buna goumlre b = 50 iken a kaccediltır
A) 158 B) 50 C) 42 D) 14
3 Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrusal denklem be-lirtmez
A) 3x + 5y = 8 B) y = ndash2x + 3
C) 2x2 + y = 19 D) 4x = 2y + 5
4 Aşağıdaki verilen sayıların hangileri arasında doğru-sal ilişki vardır
A) a = 3 3 3 3 3 7 B) a = 1 4 3 7 2 5
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
C) a = 1 1 2 3 5 8 D) a = 0 2 4 6 8 10
b = 0 1 2 3 4 5 b = 0 1 2 3 4 5
5 m 1 A 10 C 31n 0 2 B 8 10
Yukarıdaki tablo m = 3n + 1 doğru denklemi iccedilin oluş-turulduğuna goumlre A ndash B + C ifadesinin değeri kaccediltır
A) 35 B) 29 C) 26 D) 21
6 x y
1 3
2 7
3 11
4 15
Yukarıdaki tabloya goumlre x ile y arasındaki ilişki aşağı-dakilerden hangisinde doğru verilmiştir
A) y = x + 2 B) y = 2x + 1
C) y = 4x ndash 1 D) y = 3x
7 x 1 3 5 7
y 14 26
Yukarıda verilen tabloda x ile y arasında bir doğrusal
ilişki vardır
Buna goumlre + toplamı kaccediltır
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
133
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİOrijinden Geccedilmeyen Doğruların Grafiği
Oumlrneky = x + 3 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
I Yol
ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 1
1
2
3
4
5
6
y
x2 3 4
y = x + 3
xe farklı tam sayı değerleri vererek y deshy
ğişkeninin alacağı değerleri bulalım ve bu
noktaları koordinat sisteminde işaretleshy
yerek birleştirelim
x = ndash3 iccedilin y = ndash3 + 3 = 0 rArr (ndash3 0)
x = ndash2 iccedilin y = ndash2 + 3 = 1 rArr (ndash2 1)
x = ndash1 iccedilin y = ndash1 + 3 = 2 rArr (ndash1 2)
x = 0 iccedilin y = 0 + 3 = 3 rArr (0 3)
x = 1 iccedilin y = 1 + 3 = 4 rArr (1 4)
x = 2 iccedilin y = 2 + 3 = 5 rArr (2 5)
II Yol
ndash3
1
2
3
y
x
y = x + 2Doğrunun x ve y eksenini kestiği noktaları
bulalım
bull x = 0 iccedilin y = 0 + 3 (0 3) noktashy
sında y ekseshy
nini keser y = 3
bull y = 0 iccedilin 0 = x + 3 (ndash3 0) nokshy
tasında x ekshy
senini keser ndash3 = x
Bu noktaları koordinat duumlzleminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma Aşağıda denklemleri verilen doğruların grafiklerini ccediliziniz a) y = x + 2 b) y = x ndash 3
İsabetli Bilgi
Doğrusal denklemlerin grafiği birer
doğru grafiğidir Koordinat sisteshy
minde doğruyu oluşturan sıralı ikilishy
lere karşılık gelen noktalar denkleshy
min ccediloumlzuumlmuumlnuuml oluşturur
Başka bir deyişle bir nokta bir doğshy
ru uumlzerinde ise veya bir doğru bir
noktadan geccediliyorsa noktanın koshy
ordinatları doğru denklemini sağlar
-3
3
x
x
y y
0 -33 0
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
134
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Oumlrneky = ndashx + 4 denkleminin belirttiği doğru grafiğini ccedilizelim
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım 4
4
y
x
y = ndashx +4
x = 0 iccedilin y = 0 + 4 (0 4) noktasında y ekshy
senini keser y = 4
y = 0 iccedilin 0 = ndashx + 4 (4 0) noktasında x ekshy
senini keser x = 4
Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyelim ve bu noktalardan geccedilen doğruyu ccedilizeshy
lim
Alıştırma y = 3x ndash 6 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Alıştırma y = ndash2x ndash 4 denklemine ait doğruyu ccediliziniz
Kural
Orijinden geccedilmeyen bir doğrunun x
eksenini kestiği noktayı bulmak iccedilin
doğru denkleminde y yerine 0(sıfır)
yazılır Benzer şekilde y eksenini
kestiği noktayı bulabilmek iccedilin doğshy
ru denkleminde x yerine 0 (sıfır)
yazılır
İsabetli Bilgi
Orijinden geccedilmeyen doğruların
denklemi
ax + by + c = 0 veya y = mx + n
şeklindedir
-6
2
x
x
y y0 -62 0
-4
-2
y = -2x - 4
x
x
y y0 -4
-2 0İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
135
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Eksenlere Paralel Doğrularx = a Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi x = a biccediliminde olan doğrular x ekseni uumlzerinde a noktasından geccedilen ve
y eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğrular uumlzerindeki noktaların y koordinatları
değişirken x koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrnek
1
y
x2 3
x = 3
4
x = 3 doğrusunu ccedilizelim
x = 3 doğrusu x eksenini 3 noktasında kesen ve y
eksenine paralel olan doğrudur
Alıştırma Aşağıdaki koordinat sisteminde x = ndash4 x = ndash2 x = 1 ve x = 5 doğrularının grafiğini
ccediliziniz
y
x
y = b Biccedilimindeki Doğruların GrafiğiDenklemi y = b biccediliminde olan doğrular y ekseni uumlzerinde b noktasından geccedilen ve x
eksenine paralel olan doğrulardır Bu doğruların uumlzerindeki noktaların x koordinatları
değişirken y koordinatları hepsinde aynıdır
Oumlrneky
x
2y = 2
y = 2 doğrusunu ccedilizelim
İsabetli Bilgi
x ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin y koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin x ekseninin diğer adı
y = 0 doğrusudur
y ekseni uumlzerindeki noktaların
hepsinin x koordinatı 0(sıfır) olshy
duğu iccedilin y ekseninin diğer adı
x = 0 doğrusudur
x = -4 x = -2 x = 1 x = 5
51-2-4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
136
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Alıştırma Aşağıdaki koordinat duumlzleminde y = 3 y = 1 y = ndash2 ve
y = ndash4 doğrularını ccediliziniz
y
x
Alıştırma x = ndash3 doğrusu ile x = 5 doğrusu arasında mesafenin
kaccedil birim olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 4 doğrusu ile y = ndash2
doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulu-nuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = 5 ve y = 3 doğruları
ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanının kaccedil br2 olduğunu bulunuz
Alıştırma Koordinat sistemi uumlzerinde x = ndash3 x = 5 y = ndash4 ve
y = 3 doğrularının sınırladığı boumllgenin alanı kaccedil br2dir
y = -2
y = 1
-2
1
3 y = 3
-3 5
x = -3
5 - (-3) = 8
x = 5
x
y
-35
2 (4 -2)
x
y
3 birim
5 birim5
2
Alan = 35 = 15 br2
x 7 br
8 br
5
2
-3
-4
Alan = 78 = 56 br2
14
44
42
44
43
14444424443
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
137
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Orjinden Geccedilen Doğruların Grafiği
OumlrnekAşağıdaki doğruların grafiklerini koordinat sisteminde ccedilizelim
a) y = 2x b) y = ndashx2
a) xin katsayısı tam sayı olduğu iccedilin xe 1 ve ndash1 değerlerini verelim
x = 1 iccedilin y = 21 (1 2)
x = ndash1 iccedilin y = 2(ndash1) (ndash1 ndash2)
y = 2 y = ndash2
Doğru (1 2) (ndash1 ndash2) ve orijinden geccediler 0 halde doğru grafiği
y
x
ndash2
2
2
y = 2x
ndash2
ndash1
1
1ndash1
b) xin katsayısı kesirli olduğundan xe paydayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk değer olan 2 ve
ndash2 verelimy
x
2
2
y =
ndash2
ndash1
1
1ndash1
x2 x = 2 iccedilin y = ndash
22 (2 ndash1)
y = ndash1
x = ndash2 iccedilin y = ndash(ndash2)
2 (ndash2 1) y = 1
Alıştırma
y = x ve y = x2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
İsabetli Bilgi
a ne 0 olmak uumlzere denklemleri
y = ax biccediliminde olan doğrular
orijinden geccedilen doğrulardır
Orijinden geccedilen bir doğrunun
grafiği ccedilizilirken
xin katsayısı tam sayı ise xe
1 ve ndash1 verilerek y koordinatlashy
rı bulunduktan sonra noktalar
işaretlenir ve doğru ccedilizilir
xin katsayısı kesirli ise xe payshy
dayı sadeleştirecek en kuumlccediluumlk
değer verilerek y bulunduktan
sonra nokta işaretlenir ve doğshy
ru ccedilizilir
x
y
y = x
1
1-1
-1 x
yy =
x = 2 rarr y = 1x = -2 rarr y = -1 1
-1
-2
x2
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem GrafikleriDers ndash 19
138
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
OumlrnekAşağıdaki noktalardan hangilerinin 2y ndash 3x = 1 doğrusu uumlzerinde olduğunu bulalım
a) (2 1) b) (ndash1 1) c) (ndash2 ndash1) d) (8 5)
Ccediloumlzuumlm
Bir nokta bir doğru uumlzerinde ise noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar
a) (2 1) rArr x = 2 y = 1 b) (ndash1 1) rArr x = 1 y = 1
2y ndash 3y = 1 rArr 22ndash31 = 1 2y ndash 3y = 1 rArr 21 ndash 3 (ndash1) = 1
rArr 4 ndash 3 = 1 rArr 2 + 3 = 1
rArr 1 = 1 rArr 5 = 1
olduğundan nokta doğru uumlzerindedir olduğundan nokta doğru uumlzerinde değildir
c) (ndash2 ndash1) x = ndash2 y = ndash1 d) (8 5) x = 8 y = 5
2x ndash 3y = 1 rArr 2(ndash2) ndash3(ndash1) = 1 2x ndash 3y = 28 ndash 35 = 1 16 ndash 15 = 1
rArr ndash4 + 3 = 1 1 = 1 uumlzerinde
rArr ndash1 ne 1 uumlzerinde değil
Oumlrnek
3
2
y
x
Yanda verilen doğrunun denklemini bulalım
x3 +
y2 = 1 rArr
x3
(2)
+ y2
(3)
= 1 rArr 2x + 3y
6 = 66 rArr 2x + 3y = 6 doğru denklemidir
(6)
Alıştırma Yandaki doğrunun denklemini bulunuz
3
ndash4
y
x
Kural
b
d
a
y
x
Eksenleri kestiği noktalar verilen doğrunun denklemi
xx eksenini
kestiği nokta
+ yy eksenini
kestiği nokta
= 1 dir
d xb +
ya = 1
x-4
+ y3
= 1 rarr -3x + 4y = 12
(3) (4)(12)İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
139
Bil ndash Bul ndash Uygula
İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
1 y = x ndash 4 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
2 2x + 3y = 6 doğrusunun grafiğini ccediliziniz
3 y = 3 ve x = ndash2 doğrularının grafiklerini ccediliziniz
4 y = 2x ve y = ndash5x doğrularının grafiklerini ccediliziniz
5 2ax + 5y = 11 doğrusu A(3 1) noktasından 4x ndash by = 4 doğrusu da (2 4) noktasından geccediltiğine goumlre a + b toplamı kaccediltır
6 y = 3x ndash 6 doğrusunun eksenler ile sınırladığı boumllge-nin alanı kaccedil br2dir
2a3 + 51 = 11 rarr 6a + 5 = 11 rarr 6a = 6 rarr a = 142 - b4 = 4 rarr 8 - 4b = 4 rarr 4b = -4 rarr b = -1a + b = 4 + (-1)= 3
x
y
-4
-4
y = x - 4
x y0 -44 0
x
y
2
3
x y0 23 0
x = -2
y
3
-2
y = 3
y = 2xx = 1 y = 2x = -1 y = -2
2
-1
-2
1
x
y
y
y = -5xx = 1 y = -5x = -1 y = -2
5
-1
-5
1
y
2
6 br
2 br
-6
x y0 -62 0İS
ABET YAYIN
LARI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
140 İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
1 Denklemi y = 4x ndash 8 olan doğru aşağıdakilerden han-gisidir
ndash2
8
A)
C)
B)
D)
2 4x
y
x
y
x
y
x
y
ndash8ndash8
2
8
2
x
y
3
3
Yukarıda grafiği verilen doğrusal denklem aşağıdaki-lerden hangisidir
A) x = y + 3 B) x + y = 3
C) 3x + 3y = 1 D) x3
+ y
3 + 1 = 0
3 x = 5 ve y = ndash4 doğruları ile eksenler arasında kalan boumllgenin alanı kaccedil br2 dir
A) 20 B) 15 C) 12 D) 9
4 Denklemleri verilen doğrulardan hangisi (2 3) nokta-sından geccediler
A) 2x + 3y = 10 B) x + 3y = 9
C) 4x ndash y = 5 D) x ndash 2y = 6
5 I 2x = 3y
II 3x ndash 5 = 13
III x ndash 4y = 0
Yukarıda verilen doğru grafiklerinden hangileri orijin-den geccediler
A) Yalnız III B) I ve III
C) II ve III D) Yalnız I
6 Denklemi 5x + 4y ndash 40 = 0 olan doğrunun x eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) (50) B) (80) C) (90) D) (100)
7 Denklemi 3x ndash 4y = 12 olan doğrunun y eksenini kes-tiği nokta aşağıdakilerden hangisidir
A) ndash4 B) ndash3 C) ndash2 D) 4
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER
Doğrusal Denklem Grafikleri
141İsabet Ders Defteri ile Oumlğren - Ccediloumlz - Kazan
Test ndash 19
8 Aşağıdaki doğrulardan hangisi x = 5 doğrusuna para-leldir
A) 3x ndash 4y = 12 B) 5y + 4 = ndash11
C) x3
= y
4 D) 2x + 16 = ndash26
9 (a ndash 2) x + 3y = 5 doğrusu x eksenine paralel bir doğshy
rudur
Buna goumlre y = ax + 4 doğrusuna ait grafik aşağıdaki-lerden hangisidir
A) y
xndash2
4
B) y
xndash2
4
C) y
xndash4
2
D) y
xndash4
ndash2
10 Aşağıdakilerden hangisinde denkleme ait grafik yan-lış verilmiştir
2
2y = 3x
y = 5
x + 3 = 0
3
A)
C)
B)
D)
4
x
y
x
y
x
y
x
y
ndash5 ndash3
5
xndash5
= y4
11
ay + 2x = 14
x
y
2
5
Yukarıda verilenlere goumlre a kaccediltır
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
12 x6
ndash y5
= 1
doğrusu ile eksenler arasında kalan alan kaccedil br2 dir
A) 30 B) 25 C) 20 D) 15
13 Aşağıda verilen doğrulardan hangisi bir youmlnuumlyle di-ğerlerinden farklıdır
A) x = 5y
B) y = ndash3x
C) ndash4y + 6x = 0
D) x + 5y = 5
İSABET Y
AYINLA
RI
CcedilOumlZUumlMLER