DiferensialDiferensial dandan IntegralIntegral
Oleh: Sudaryatno Sudirham
Open Course
Pengantar
Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, yang merupakan
bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas
bagian kedua dari kalkulus yaitu diferensial dan integral.
Seperti halnya pada waktu membahas fungsi dan grafik,
pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan dengan
pendekatan dari sisi aplikasi.
Cakupan Bahasan
� Turunan Fungsi-Fungsi
Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian Dua
Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi
Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan
dy. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri
Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial
� Integral
Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu. Penerapan
Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Suatu Integral.
� Persamaan Diferensial
Pengertian. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat
Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan
Diferensial Linier Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian
Pengertian-Pengertian
Kita telah melihat bahwa
kemiringan garis lurus adalah
)(
)(
12
12
xx
yy
x
ym
−
−=
∆
∆=
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
ΔΔΔΔxΔΔΔΔy
0
1
2
-1
0 1 2 3 4 x
y
P1
Δy
Δx
x
y
P2
y = f(x)
∆x di perkecil menjadi ∆x*
pada kondisi ∆x mendekati nol
)()()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
y
xx′=
∆
−∆+=
∆
∆
→∆→∆
fungsi turunan dari )(xf
di titik P
ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian
P1
Δy*
Δx*
x
y y = f(x)
∗2P
(x1,y1)
(x2,y2)
x
y
f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),
f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)
)(xfy =
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian
maka dikatakan bahwa fungsi f(x)
“dapat didiferensiasi di titik tersebut”
x
y
x ∆∆
→∆ 0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada
kita baca “turunan fungsi y terhadap x”.
Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika
tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
x
yy
dx
d
dx
dy
x ∆∆
==→∆ 0
lim)(
Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian
Fungsi Mononom
Fungsi Mononom
Turunan Fungsi, Mononom
kxfy == )(0
00)()(
lim0
0 =∆
=∆
−∆+=′
→∆ xx
xfxxfy
x
Contoh-1.1
xxfy 2)(11 ==
222)(2
lim)(0
1 =∆
∆=
∆
−∆+=′
→∆ x
x
x
xxxxf
x
Contoh-1.2
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5x
y
xy 21 =
2)(1 =′ xf
Fungsi ramp
Fungsi tetapan
222 2)( xxfy ==
xxx
x
xxxxx
x
xxxxf
x
xx
4)222(lim
2)2(2lim
2)(2lim)(
0
222
0
22
02
=∆+×=∆
−∆+∆+=
∆
−∆+=′
→∆
→∆→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk
mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)
Turunan Fungsi, Mononom
Contoh-1.3
333 2)( xxfy ==
2222
0
33323
0
33
03
623232lim
2)33(2lim
2)(2lim)(
xxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxf
x
x
x
=∆+∆×+×=
∆
−∆+∆+∆+=
∆
−∆+=′
→∆
→∆
→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk
mononom pangkat 2 (kurva parabola)
Contoh-1.4
Turunan Fungsi, Mononom
nmxxfy == )(
)1()( −×=′ nxnmy
Secara umum, turunan mononom
adalah
kxfy =′=′ )(
Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus
dan turunannya berupa nilai konstan,
nmxy =
)(xfy ′=′Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan
fungsi x,
nmxy =
Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi
turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
)(xfy ′′=′′ turunan dari )(xfy ′=′
)(xfy ′′′=′′′ turunan dari )(xfy ′′=′′
*) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian
*)
dx
dyxfy =′=′ )(
2
2
)(dx
ydxfy =′′=′′
3
3
)(dx
ydxfy =′′′=′′′
disebut turunan pertama,
turunan kedua,
turunan ke-tiga, dst.
Turunan Fungsi, Mononom
344 2)( xxfy ==
12 ;12)2(6 ;6)3(2 4)12(
42)13(
4 =′′′==′′==′ −− yxxyxxy
Contoh-1.5:
Turunan Fungsi, Mononom
nmxxfy == )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan
akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
-100
0
100
200
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4xy =
34xy =′
212xy =′′
xy 24=′′′
24=′′′′y
212xy =′′3
4xy =′
Contoh-1.6:
34xy =′ 2
12xy =′′ xy 24=′′′ 24=′′′′y
4xy = dan turunan-turunannya Fungsi
Fungsi Polinom
Turunan Fungsi, Polinom
Contoh-1.7: 24)(11 +== xxfy
{ } { }4
242)(4lim)(1 =
∆
+−+∆+=′
→∆ x
xxxxf
xx
f1(x) = 4x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x
y
4)('1 =xf Turunan fungsi ini
sama dengan
turunan f(x)=4x
karena turunan dari
tetapan 2 adalah 0.
Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)
Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu
)2(4)(22 −== xxfy 84)(2 −= xxf
4)(2 =′ xf
)2(4)(2 −−−−==== xxf
4)(2 ====′′′′ xf
-15
-10
-5
0
5
10
-1 0 1 2 3 4x
y
Contoh-1.8:
Turunan Fungsi, Polinom
Turunan Fungsi, Polinom
Contoh-1.9: 524)(2
33 −+== xxxfy
{ } { }28224
5245)(2)(4lim
22
03
+=+×=∆
−+−−∆++∆+=′
→∆
xx
x
xxxxxxy
x
5245)(23
44 −++== xxxxfy
{ } { }
281522435
5245 5)(2)(4)(5lim
22
2323
04
++=+×+×=
∆−++−−∆++∆++∆+
=′→∆
xxxx
x
xxxxxxxxxy
x
Contoh-1.10:
Secara Umum:
Turunan suatu polinom, yang merupakan jumlah beberapa
mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom
dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu
memang memiliki turunan.
Nilai Puncak Suatu Fungsi
Turunan Fungsi, Nilai Puncak
Titik puncak kurva suatu fungsi adalah titik pada kurva di mana garis
singgung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-x).
Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol.
Contoh-1.11: Polinom Orde Dua 13152 2 ++= xxy
154 +=′ xy
Inilah absis titik puncak
0154 =+=′ pxy 175,3−=px
Jika fungsi turunan pertama ini = 0 maka
Ordinat titik puncak diperoleh dengan
memasukkan xp ke persamaan kurva
125,15 13)75,3(152(-3,75)
13152
2
2
−=+−×+=
++= ppp xxy
Jadi koordinat titik puncak adalah: 15.125)- ,15.3(P =
cbxaxy ++= 2
02 =+=′ baxy
a
bxp
2−=
Secara umum, xp dari fungsi kuadrat
dapat diberoleh dengan membuat
sehingga diperoleh
Ordinat titik puncak dapat diperoleh dengan memasukkan
xp ke persamaan.
a
acbc
a
bcbxaxy ppp
4
4
4
222 −
−=+−=++=
Turunan Fungsi, Nilai Puncak
Maksimum dan Minimum
Turunan Fungsi, Nilai Puncak
Bagaimanakah mengetahui bahwa suatu nilai puncak
merupakan nilai minimum atau maksimum?
Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak.
y
x
Q
P
y′y′
y′ (kemiringan garis
singgung) sekitar titik
maksimum terus menurun
y″ bernilai negatif di
sekitar titik maksimum
y′ (kemiringan garis
singgung) sekitar titik
minimum terus meningkat
y″ bernilai positif di
sekitar titik minimum
Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak
tersebut adalah titik maksimum.
Apabila di titik puncak y″ < 0, titik puncak
tersebut adalah titik minimum
Turunan Fungsi, Nilai Puncak
13152 2 ++= xxy
125,15−=py
4=′′yNilai puncak fungsi
dan ini merupakan nilai
minimum, karena y ″ > 0
Contoh-1.12:
175,3−=px
-30
-15
0
15
30
45
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
Contoh-1.13: 13152 2 ++−= xxy
4−=′′yNilai puncak fungsi
dan ini merupakan nilai
maksimum, karena y ″ < 0
75,3+=px 125,41+=py
-60
-45
-30
-15
0
15
30
45
-4 -2 0 2 4 6 8
Ini disebut minimum absulut: nilai x yang lain memberi y > ymin
Ini disebut maksimum absulut: nilai x yang lain memberi y < ymaks
Contoh-1.14:
Turunan Fungsi, Nilai Puncak
332 23 +−= xxy
0)1(666 2 =−=−=′ xxxxy
1dan 0 memberikan 21 == pp xx
3+=puncaky 2+=puncaky
6 1Untuk
6 0Untuk
612
+=′′⇒=
−=′′⇒=
−=′′
yx
yx
xy
maksimum
relatif
minimum
relatif
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
P[0,3] Q[1,2]
x
y
Turunan Fungsi, Garis Singgung
Garis Singgung
Kemiringan garis singgung di titik R yang terletak pada kurva
suatu fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R.
Persamaan garis singgung:
Kxys +=12
K+×= 2127
17247 −=−=K
1712 −= xys
332 23 +−= xxyContoh-1.15:
)1(666 2 −=−=′ xxxxy
2R =x
734382R =+×−×=y
Titik R dengan absis memiliki ordinat R(2,7)
12126 =××=mKemiringan garis singgung di titik R adalah
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5x
y
ys
R332 23 +−= xxy
Fungsi Yang Merupakan
Perkalian Dua Fungsi
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
dx
dy+==
)(
vwy =
)(
))(()(
vwvwwvvw
wwvvyy
∆∆+∆+∆+=
∆+∆+=∆+
x
wv
x
vw
x
wv
x
vwvwvwwvwv
x
yyy
x
y
∆∆∆
+∆∆
+∆∆
=
∆−∆∆+∆+∆+
=∆
−∆+=
∆∆
)()(
Jika
maka
Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Contoh-1.16:
Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
44422323
3018126362)32(
xxxxxxxdx
xxdy =+=×+×=
×=′
56xy = 430xy =′Turunan adalah
Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
dx
duvw
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
duv
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
uvdw
dx
dwuv
dx
wuvd
dx
uvwd
)()()(
)( )(
)())(()(
++=
++=+==
Jika uvwy =
56xy =
44442
222
3012126)4)((3x
)6)(2()1)(32()(
xxxxxx
xxxxxdx
uvwd
dx
dy
=++=×+
×+×==
Contoh-1.17:
Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi
vvvvy ××== 2361Contoh-1.18:
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dy
5
4555
22345
32
23231
6
2
)()()(
=
++++=
++
++=
++=
dx
dvv
dx
dv
dv
dv
dx
dv 566
6==
dx
dvnv
dx
dv nn
1−=
Contoh ini menunjukkan bahwa
Secara Umum:
Contoh-1.19:
Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi
2332 )1()1( −+= xxy
)12()1)(1(6
)1()1(6)1()1(6
2)1(3)1()3)(1(2)1(
)1()1(
)1()1(
3223
22233322
22232332
3223
2332
−++−=
+−+−+=
+−+−+=
+−+
−+=
xxxxx
xxxxxx
xxxxxx
dx
xdx
dx
xdx
dx
dy
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian
dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
Fungsi Rasional
Turunan Fungsi, Fungsi Rasional
Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
w
vy = 1−= vwy
−=
+−
=+−=
+==
=
−−
−−−
dx
dwv
dx
dvw
w
dx
dv
wdx
dv
w
v
dx
dvw
dx
dvvw
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
w
v
dx
d
dx
dy
2
2
12
111
1
1
)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
w
v
dx
d
−
=
atau
Jadi:
Turunan Fungsi, Fungsi Rasional
3
2 3
x
xy
−=
4
2
6
244
6
223
9)93(2
)3)(3()2(
x
x
x
xxx
x
xxxx
dx
dy
+−=
−−=
−−=
Contoh-1.20:
2
2 1
xxy +=
3
2 22
4
2102
xx
xxx
dx
dy−=
×−×+=
Contoh-1.21:
1dengan ;1
1 2
2
2
≠−
+= x
x
xy
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
2)1(2)1(
−
−=
−
−−−=
−
+−−=
x
x
x
xxxx
x
xxxx
dx
dy
(agar penyebut tidak nol)Contoh-1.22:
Fungsi Implisit
Fungsi Implisit
Turunan Fungsi, Fungsi Implisit
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit
namun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan
fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di
atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam
bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat
didiferensiasi terhadap x.
Turunan Fungsi, Fungsi Implisit
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan.
Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,
maka operasi yang sama harus dilakukan pula di
ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita
lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan
kita akan peroleh
822 =++ yxyxContoh-1.23:
yxdx
dyyx
dx
dyy
dx
dxy
dx
dyxx
−−=+
=+++
2)2(
022
yx
yx
dx
dy
2
2
+
+−=
0)2( ≠+ yx kita peroleh turunanJika
Turunan Fungsi, Fungsi Implisit
434 434 =−+ yxyx
0124)3(44
0)3()4(
44
3323
43
33
=−++
=−++
dx
dyyy
dx
dyyxx
dx
yd
dx
xdy
dx
dyxx
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan.
Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita
akan memperoleh
Contoh-1.24:
0)( 32 ≠− yxy
)(3
)(32
33
yxy
yx
dx
dy
−
+−=
kita dapat memperoleh turunanUntuk
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Turunan Fungsi, Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
(v adalah fungsi yang
bisa diturunkan)
q
pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0Bilangan tidak bulat
dx
dvpv
dx
dyqy pq 11 −− =
Jika y ≠ 0, kita dapatkandx
dv
qy
pv
dx
vd
dx
dy
q
pqp
1
1/ )(
−
−==
( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==
dx
dvv
q
p
dx
dvv
q
p
dx
dv
qv
pv
dx
vd
dx
dy
qp
qppp
qpp
pqp
1)/(
)/()1(
)/(
1/
)(
−
+−−−
−
=
===
sehingga
qpn vvy /== pq vy =
Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,
hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
Kaidah Rantai
Kaidah Rantai
Turunan Fungsi, Kaidah Rantai
Kaidah rantai
)(tfx = dapat diturunkan terhadap t,
)(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan Jika
( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t menjadimaka
dt
dx
dx
dy
dt
dy=
Apabila kita mempunyai persamaan
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan
demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter.
Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan
persamaan yang berbentuk
)(dan )( tfytfx ==
)(xFy =
Diferensial dx dan dy
Diferensial dx dan dy
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy
dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:
1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan
merupakan peubah bebas lain selain x;
2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx
yang dinyatakan dengan dxxFdy )('=
Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi
)(lim0
xfx
y
dx
dy
x′=
∆
∆=
→∆
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian
rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi y
terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan
y merupakan fungsi dari x: )(xFy =
P
dx
dy
θ
x
y
Pdx
dy
θ
x
y
Pdx
dy
θ
x
y
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy
Penjelasan secara grafis
Pdx
dy
θ
y
xIni adalah
peubah bebas
Ini adalah fungsi
(peubah tak bebas)dxxFdy )('= P
dx
dy
θ
y
x
Jika dx berubah, maka dy
berubah sedemikian rupa
sehingga dy/dx sama
dengan kemiringan garis
singgung pada kurva
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif
jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia
“mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.
θ= tandx
dydxdy )(tan θ=
; besar perubahan nilai y sepanjang
garis singgung di titik P pada kurva,
jika nilai x berubah sebesar dx
laju perubahan y
terhadap perubahan x.
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula
turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.
Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
konstan ;0 == cdx
dc
dx
dvc
dx
dcv=
dx
dw
dx
dv
dx
wvd+=
+ )(
cdvdcv =
konstan ;0 == cdc
dwdvwvd +=+ )(
dx
dvw
dx
dwv
dx
dvw+= wdvvdwvwd +=)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
dx
w
vd −
=
2w
vdwwdv
w
vd
−=
dx
dvnv
dx
dv nn
1−= dvnvdvnn 1−=
1−= nn
cnxdx
dcx dxcnxcxdnn 1
)(−=
DiferensialTurunan Fungsi
Turunan Fungsi, Diferensial dx dan dy
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian
dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan
tabel)
Contoh-1.25: 653 23 −+−= xxxy
563 2 +−=′ xxy
dxxxdy )563( 2 +−=sehingga
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan
formula dalam tabel di atas
dxxx
dxxdxdxxdxdxdxddy
)563(
563 )6()5()3()(
2
223
+−=
+−=−++−+=
Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri
x
xxxxx
x
xxx
dx
xd
dx
dy
∆
−∆+∆=
∆
−∆+==
sinsincoscossin
sin)sin(sin
xy sin= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.
Oleh karena itu
xdx
xdcos
sin=
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
x
xxxxx
x
xxx
dx
xd
dx
dy
∆
−∆−∆=
∆
−∆+==
cossinsincoscos
cos)cos(cos
xy cos= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.
Oleh karena itu
xdx
xdsin
cos−=
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 2
22
2
seccos
1
cos
)sin(sincos
cos
sintan==
−−=
=
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 2
22
2
cscsin
1
sin
)(coscossin
sin
coscot−=
−=
−−=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdtansec
cos
sin
cos
)sin(0
cos
1sec22
==−−
=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdcotcsc
sin
cos
sin
)(cos0
sin
1csc
22−=
−=
−=
=
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
Contoh-1.26:
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad
merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada
kapasitor ini adalah
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
dt
dvCi C
C =
( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt
d
dt
dvCi C
C =××==
watt800sin16400sin400cos32400cos16,0400sin200 tttttivp CCC ==×==
Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Daya pada kapasitor adalah
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
vC pCiC
vC
iCpC
t [detik]
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
Contoh-1.27:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus
iL = −0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
dt
diLv L
L =
( ) tttdt
d
dt
diLv L
L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==
W800sin20400cos400sin40)400cos2.0(400sin200 tttttivp LLL −=−=−×==
vL
iLpL
vL pLiL
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
Fungsi Trigonometri Inversi
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Inversi
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
xy 1sin−= yx sin= ydydx cos=
ydx
dy
cos
1=
21
1
xdx
dy
−=x
1
21 x−
y
ydx
dy
sin
1−=
21
1
xdx
dy
−
−=
x
1 21 x−y
xy 1cos−= yx cos= ydydx sin−=
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
xy 1tan−= yx tan= dyy
dx2cos
1=
ydx
dy 2cos=21
1
xdx
dy
+=x
1
21 x+y
xy 1cot−= yx cot= dyy
dx2sin
1−=
ydx
dy 2sin−=21
1
xdx
dy
+
−=
x
1
21 x+y
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
xy 1sec−=y
yxcos
1sec == dy
y
xdx
2cos
)sin(0 −−=
1
1
1
1
sin
cos
2
22
2
−=
−×==
xx
x
x
xy
y
dx
dy
1
x12 −xy
xy 1csc−=y
yxsin
1csc == dy
y
xdx
2sin
)(cos0 −=
1
1
1
1
cos
sin
2
22
2
−
−=
−×−=
−=
xx
x
x
xy
y
dx
dy1
x
12 −x
y
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdcos
)(sin)(sin==
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdsin
)(cos)(cos−==
Jika v = f(x), maka
dx
dvv
dx
dv
x
xx
v
v
dx
d
dx
vd 2
2
22
seccos
sincos
cos
sin)(tan=
+=
=
dx
dvv
v
v
dx
d
dx
vd 2cscsin
cos)(cot−=
=
dx
dvvv
dx
dv
v
v
vdx
d
dx
vdtansec
cos
sin0
cos
1)(sec
2=
+=
=
dx
dvvv
vdx
d
dx
vdcotcsc
sin
1)(csc−=
=
Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(sin
−=
−
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(cos
−−=
−
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(tan
+=
−
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(cot
+−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(sec
2
1
−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(csc
2
1
−−=
−
Jika w = f(x), maka
Fungsi Logaritmik
dan
Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi Logaritmik
Turunan Fungsi, Fungsi Logaritmik
)0( 1
ln)(1
>== ∫ xdtt
xxfx
xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi logaritmik
luas bidang yang dibatasi
oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang
antara t = 1 dan t = x
x t
1/x
1/t
x +Δx 1/(x+Δx)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
y
∫=x
dtt
x1
1
ln
∆=
∆−∆+
= ∫∆+ xx
xdt
txx
xxx
dx
xd 11)ln()ln(ln
Luas bidang ini lebih kecil dari luas
persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆x
makin kecil, luas bidang tersebut akan
makin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan
(∆x × 1/x).
xdx
xd 1ln=
ln(x+∆x)−lnx
Tentang integral akan
dipelajari lebih lanjut
Turunan Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi, Fungsi Eksponensial
xey = xexy == lnln
penurunan secara implisit di kedua sisi
11ln
==dx
dy
ydx
yd
xeydx
dy==atau
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.
.
)(xvv =dx
dve
dx
dv
dv
de
dx
de vvv
==Jika
xey1tan−
=2
tan1tan
1
tan1
1
x
e
dx
xde
dx
dy xx
+==
−−
−
Integral Tak Tentu
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk
mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
)(xfdx
dy=
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti
ini disebut persamaan diferensial.
036
652
22
2
2
2
=++
++=
yxdx
dyxy
dx
yd
xxdx
dy
Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
)(xFy =Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan
diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
)()(
xfdx
xdF=
)(xfdx
dy=Tinjau persamaan diferensial
[ ]0
)()()(+=+=
+
dx
xdF
dx
dK
dx
xdF
dx
KxFdKarena maka
KxFy += )(fungsi juga merupakan solusi
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
KxFdxxf +=∫ )()(
dxxfxdF )()( =
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri
ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral
tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
)()(
xfdx
xdF=
dapat dituliskan
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
45xdx
dy=
dxxdy 45=
dxxxd 45 5)( =
Kxxddxxy +=== ∫∫ 554 )(5
Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh-2.1:
oleh karena itu
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Carilah solusi persamaan
yxdx
dy 2=
Contoh-2.2:
dxyxdy 2=kelompokkan peubah sehingga
ruas kiri dan kanan
mengandung peubah berbedadxxdyy 22/1 =−
( ) dyyyd 2/12/12 −= dxxxd 23
3
1=
( )
= 32/1
3
12 xdyd
Jika kedua ruas diintegrasi
23
12/1
3
12 KxKy +=+
KxKKxy +=−+= 312
32/1
3
1
3
12
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk
memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah
ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
Kydy +=∫
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
∫∫ = dyaady
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
1 jika ,1
1
−≠++
=+
∫ nKn
ydyy
nn
3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah
pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Penggunaan Integral Tak Tentu
Integral Tak Tentu, Penggunaan
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan
bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal
melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki
oleh K.
kurva 210xy =adalah kurva bernilai tunggal
50
100
-5 -3 -1 1 3 5x
y = 10x2
y
50
100
-5 -3 -1 1 3 5
K1
K2
K3
yi = 10x2 +Ki
y
x
Kxdxx
+=∫ 23
103
10kurva
adalah kurva bernilai banyak
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan
menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
30 =sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah
posisi benda pada t = 4.
Contoh-2.3:
tatv 3==
kecepatan percepatan waktu
dt
dsv =Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
dt
dva =Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
vdtds =
∫ +=+== KtKt
atdts 22
5,12
3
274 =ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K+= 03 3=KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 += ts
Integral Tak Tentu, Penggunaan
Luas Sebagai Suatu Integral
Luas Sebagai Suatu Integral
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral
)(xfy =Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva
sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh-2.4:
p x x+∆x q
y
x
y = f(x) =2
0
2
∆ApxApx
xApx ∆=∆ 2 )(2 xfx
Apx ==∆
∆atau
2)(lim0
===∆
∆
→∆xf
dx
dA
x
A pxpx
x
KxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
Kp += 20 pK 2−=atau
pxApx 22 −= )(222 pqpqApq −=−=
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp ≤≤
p x x+∆x q
y
x
y = f(x)
0
∆Apx
f(x)f(x+∆x )
Apx
∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x
xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0
x0 adalah suatu nilai x yang
terletak antara x dan x+∆x
Jika ∆x → 0: )(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
x==
∆
∆
→∆KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()(
] qppq xFpFqFA )()()( =−=
Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral
Integral Tentu
Integral Tentu, Pengertian
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.
Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang
sebagai suatu limit.
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Bidang dibagi dalam
segmen-segmen
Luas bidang dihitung
sebagai jumlah luas segmen
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+∆x)×∆xk
Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11
0
1
)()()(
Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekati
suatu nilai limit yang sama
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+∆x)×∆xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
Nilai limit itu merupakan integral tentu
Integral Tentu, Pengertian
∫=q
ppq dxxfA )(
] )()()()( pFqFxFdxxfAqp
q
ppq −=== ∫
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas bidang menjadi
Integral Tentu, Pengertian
Luas Bidang
)(xfy =Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh dan sumbu-x dari p
sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas
sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Definisi
Integral Tentu, Luas Bidang
xxy 123 −=Luas antara dan sumbu-x
dari x = −3 sampai x = +3.
Contoh-2.5:
xxy 123 −=
-20
-10
0
10
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
75,33)5425,20(0
64
)12(
0
3
240
3
3
=−−−=
−=−=
−−∫ x
xdxxxAa
75,33)0(5425,20
64
)12(
3
0
243
0
3
−=−−=
−=−= ∫ x
xdxxxAb
5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi
mengenai Apx, formulasi
( )))()( pFqFdxxfAq
p−== ∫
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki
bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x
p
q
y
x
A4
A1
A2
A3
y = f(x)
( )))()( pFqFdxxfAq
ppq −== ∫
4321 AAAAApq +−+−=
Integral Tentu, Luas Bidang
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
)(11 xfy = )(22 xfy =berada di atas
p q
y
x0
y1
y2
x x+∆x
∆Apx
{ } xxfxfAA pxsegmen ∆−=∆= )()( 21
Rentang qxp ≤≤
dibagi dalam n segmen
{ }∑∑∆−=
=
∆−=xqx
px
n
segmen xxfxfA )()( 21
1
jumlah semua segmen:
{ }∫∑ −==∞→ q
p
n
segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21
1
Dengan membuat n menuju tak
hingga sehingga ∆x menuju nol
kita sampai pada suatu limit
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
{ } ] 30)12(186)2(4(32
3
2=−−==−−= +
−
+
−∫ xdxApq
41 =y 22 −=yJika dan
berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
Contoh-2.6:
21 xy = 42 =yJika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh-2.7:
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada
perpotongan antara y1 dan y2.
2 ,24 212
21 ==−==⇒=→= qxpxxyy
3
32
3
16
3
16
3
88
3
88
34)4(
2
2-
32
2
2
=−
−=
−−−−
−
−=−= ∫−
xxdxxApq
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y2
y1y2
di atas
y1
y
x
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
221 +−= xy xy −=2Jika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh-2.8:
Batas integrasi adalah nilai x pada
perpotongan kedua kurva
22
811 ;1
2
811
02atau 2
2
2
2
1
2221
=−
+−−==−=
−
++−==
=++−−=+−→=
qxpx
xxxxyy
5,4 22
1
3
142
3
8
223
)2(
2
1
232
1
2
=
−+
−−−
++−=
++−=++−=
−−∫ x
xxdxxxApq
-4
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y1 di atas y2
y1
y2
y
x
Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan
konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh
piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan
energi diberi simbol w, maka
yang memberikan
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas
bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan
satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8
jam adalah
dt
dwp = ∫= pdtw
[kWh]hour Watt kilo 8,0
[Wh]r Watt.hou800100 1008
0
8
0
8
0
=
==== ∫∫ tdtpdtw
Penerapan Integral
Integral Tentu, Penerapan
Contoh-2.9:
dt
dqi = ∫= idtq
coulomb 625,02
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0===== ∫∫ ttdtidtq
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu
sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan
yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai
t = 5 detik ?
sehingga
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Contoh-2.10:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
Integral Tentu, Penerapan
Volume Sebagai Suatu Integral
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral
Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral
untuk menghitung volume.
Balok
∆x
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan
A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan
maka volume irisan ∆V adalah
xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(
Volume balok V adalah ∑ ∆=q
p
xxAV )(
luas rata-rata irisan antara
A(x) dan A(x+∆x). Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil
A(x) sebagai pengganti maka kita
memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: ∑ ∆≈q
p
xxAV )(
Jika ∆x menuju nol dan A(x)
kontinyu antara p dan q maka : ∫∑ =∆=→∆
q
p
q
pox
dxxAxxAV )()(lim
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral
y
x
∆x
O Q
P
A(x) adalah luas lingkaran dengan
jari-jari r(x); sedangkan r(x)
memiliki persamaan garis OP.
[ ] ∫∫∫ π=π==hhh
dxxmdxxrdxxAV0
22
0
2
0)()(
m : kemiringan garis OP
h : jarak O-Q.
3
3
PQ/OQ)(
3
23232
kerucuth
rhhm
V π=π
=π
=
Jika garis OP memotong sumbu-y maka
diperoleh kerucut terpotong
Rotasi Bidang Sembarang
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral
y
x
∆x
0 a b
f(x)
( ) ( )22)()()( xfxrxA π=π=
( )∫ π=b
adxxfV
2)(
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi
bagian. Pada gambar di samping ini
terdapat tiga rentang x dimana
fungsi linier kontinyu. Kita dapat
menghitung volume total sebagai
jumlah volume dari tiga bagian.
y
x
∆x
0 a b
f2(x)
f1(x)
f3(x)
Pengertian-Pengertian
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial
diklasifikasikan sebagai:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
xex
y
dx
yd
dx
yd=
++
+
12
5
2
22
3
3
Contoh:
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan
digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh
f(x) dan turunannya.
0=+− −− xx keke
xkey −= 0=+ ydt
dyadalah solusi dari persamaan
xkey −=xke
dt
dy −−=karena turunan adalah
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan
kita peroleh
Contoh:
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian
Persamaan Diferensial Orde Satu
Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan
Peubah Yang Dapat Dipisahkan
Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kita
tuliskan dalam bentuk
0)()( =+ dxxgdyyf
Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
∫∫ =+ Kdxxgdyyf ))()(
yxedx
dy −=
0=− dxedye xy
y
x
e
e
dx
dy=Persamaan ini dapat kita tuliskan
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
Kee xy =− Kee xy +=sehingga atau
Contoh-3.1:
Kdxedye xy =− ∫∫Integrasi kedua ruas:
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Contoh-3.2:xydx
dy 1=
0=−x
dxydy
Kx
dxydy =− ∫∫
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
Kxy
=− ln2
2
Kxy ′+= 2ln
atau
x
dxydy = atau
Integrasi kedua ruas
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Persamaan Diferensial Homogen
Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
=
x
yF
dx
dy
Jadikan sebagai peubah bebas baru
x
yv =
vxy =
dx
dvxv
dx
dy+=)(vF
dx
dvxv =+
0)(
=−
+vFv
dv
x
dx
pemisahan peubah:
yang akan memberikan
dan
vvFdx
dvx −= )(
x
dx
vvF
dv=
−)(
atau:
Contoh-3.3: 02)( 22 =++ xydydxyx
02)1(2
22 =++ xydydx
x
yxUsahakan menjadi homogen
dyx
ydx
x
y2)1(
2
2
−=+
)/()/(2
)/(1 2
xyFxy
xy
dx
dy=
+−=
Peubah baru v = y/x
vxy =
dx
dvxv
dx
dy+= v
v
dx
dvxv
2
1 2+−=+
v
v
v
vv
dx
dvx
2
31
2
1 22 +−=
+−−=
x
dx
v
vdv−=
+ 231
20
31
2
2=
++
v
vdv
x
dxpeubah terpisah atau
)(2
1 2
vFv
v
dx
dy=
+−=
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Kita harus mencari solusi
persamaan ini untuk
mendapatkan v sebagai
fungsi x.
031
2
2=
++
v
vdv
x
dx
dx
xd
x
)(ln1=
)6(31
1
)31(
)31(
)31ln()31ln(
2
2
2
22
vvdv
vd
vd
vd
dv
vd
+=
+
+
+=
+Kita coba hitung
KKvx ′==++ ln3
1)31ln(
3
1ln 2
0)31ln(
3
1 2
=+
+ dvdv
vd
x
dx
KKvx ′==++ ln)31ln(ln3 2
Kvx ′=+ )31( 23
( ) Kxyx ′=+ 23 )/(31 ( ) Kyxx ′=+ 22 3
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan
kita tahu bahwa
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk
persamaan menjadi
Integrasi ke-dua ruas:
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial Linier
Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau
nol. Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita
tuliskan dalam bentuk
QPydx
dy=+
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan.
Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai
)(tfbydt
dya =+
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu
bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk utama
yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus.
Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit
yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan.
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
0=+ bydt
dya
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang
diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, maka
y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab
( )
0
)(
11
22
11
2121
++=+++=
+++
=+
bfdt
dfabf
dt
dfabf
dt
dfa
ffbdt
ffdaby
dt
dya
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Solusi Homogen
Persamaan homogen 0=+ bydt
dya
Jika ya adalah solusinya maka
0=+ dta
b
y
dy
a
a
integrasi kedua ruas memberikan
Kta
bya =+ln
sehingga
Kta
bya +−=ln
taba
Kta
b
a eKey )/(−+−==
Inilah solusi homogen
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
)(tfbydt
dya p
p=+
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
tKtKytAtftAtf
KeyAetf
KyAtf
ytf
scp
tp
t
p
p
ω+ω=→ω=ω=
==→==
==→==
=→=
αα
sincos cos)(atau , sin)( Jika
aleksponensi al,eksponensi)( Jika
konstan konstan,)( Jika
00)( Jika
Jika solusi khusus adalah yp , maka
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalahtab
aptotal eKyy )/(−+=
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
01000 =+ vdt
dv
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-3.4:
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0.
Solusi khusus bernilai nol.
01000 =+ dtv
dv
Ktv +−= 1000ln
ta
Kt eKev 10001000 −+− ==
Penerapan kondisi awal: aK=12
Solusi total: V 12 1000tev −=
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-3.5: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
1210 3 =+− vdt
dv
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen: 010 3 =+−a
a vdt
dv0103 =+ dt
v
dv
a
a
taa eKv 1000−=
Solusi khusus: 12=pv karena f(t) = 12
Solusi total (dugaan):t
atotal eKv 100012 −+=
Penerapan kondisi awal: aK+= 120 12−=aK
Solusi total: V 1212 1000ttotal ev −−=
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-3.6: Pada kondisi awal v = 0 V suatu analisis transien
menghasilkan persamaan tvdt
dv10cos1005 =+
Carilah solusi total
Solusi homogen: 05 =+ aa v
dt
dv05 =+ dt
v
dv
a
a
Ktva =+ 5lnt
aa eKv 5−=
Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos +=
ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 =+++−
ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 =+ 100510 =+ cs AA
010sin510sin10 =+− tAtA sc0510 =+− sc AA
8=sA 4=cA
Solusi total (dugaan):t
aeKttv 510sin810cos4 −++=
Penerapan kondisi awal: aK+= 40 4−=aK
Solusi total : tettv 5410sin810cos4 −−+=
Persamaan Diferensial
Linier Orde Dua
Untuk
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua silakan
langsung melihat
Analisis Transien
Courseware
Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham