www.pintarmatematika.web.id - 1
DIMENSI TIGA
Macam-macam Bangun Ruang : 1. Kubus :
Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.
Panjang diagonal bidang (AH) = a2
Panjang diagonal ruang (BH) = a3 Volume Kubus = a3 Luas Kubus = 6 a2
2. Balok:
Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t.
Volume Balok = p x l x t Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )
3. Limas
Volume Limas = 3
1 luas alas x tinggi
Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak 4. Kerucut
Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s. hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s2 = r2 + t2
Volume Kerucut = 3
1 π r 2 t
Luas Kerucut = π r 2 + π r s
www.pintarmatematika.web.id - 2
5 5. Bola
Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter = 2
1r )
Volume Bola = 3
4 π r 3
Luas Bola = 4 π r 2 Pengertian titik, garis dan bidang
1. Titik
Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda noktah. • • A B
2. Garis • • •
P Q R Perbedaan ruas garis dan garis: Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q Garis mempunyai panjang tak hingga, garis tidak mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang. Ruas garis PQ ≠ ruas garis QR garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama
3.Bidang D C A B Daerah dan Bidang: Daerah : mempunyai luas tertentu Bidang : mempunyai luas tak terbatas , untuk menggambarkan bidang hanya sebagian saja sebagai perwakilan Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD Jarak, Proyeksi dan Sudut Jarak 1. Jarak antara dua titik • • A B Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB 2. Jarak antara titik dan garis A • • g B Jarak antara titk A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g)
www.pintarmatematika.web.id - 3
3. Jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidang α ) 4. Jarak antara dua garis sejajar
garis g sejajar garis h jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) 5. Jarak antara dua garis bersilangan
garis g bersilangan dengan garis h jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) � sama dengan point 3 di atas
6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
garis g sejajar dengan bidang α jarak antara garis g dengan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α dan garis g)
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
Bidang α sejajar dengan bidang β Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang) Proyeksi :
1. Proyeksi titik pada garis
Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g (AB tegak lurus garis g)
www.pintarmatematika.web.id - 4
2. Proyeksi titik pada bidang
Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α ) 3. Proyeksi garis pada bidang a. Garis g menembus bidang α
garis BA menembus bidang α di titik A titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidangα proyeksi garis BA pada bidang α adalah = ruas garis AB’ b. garis g sejajar dengan bidang α
Titik A dan B terletak pada garis g titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang α Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang α
Sudut 1. Sudut antar dua garis yang bersilangan
garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’ ∠ (g,h) = ∠ (g ' ,h ' ) = ∠ (g, h' ) = ∠ ( g ' ,h)
2. Sudut antara garis dan bidang
∠ (BA, bidang α ) = ∠ (BA,AB’) 3. Sudut antara dua bidang
(α , β ) adalah garis potong antara bidang α dan bidang β . AB dan BC tegak lurus (α , β ) Sudut antara bidang α dan β : ∠ (AB,BC) = ∠ ABC
www.pintarmatematika.web.id - 5
Contoh Soal :
UN2010 - 2012
1. UN2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm
dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ….
A. 5
35 cm C.
5
185 cm
E. 5 5 cm
B. 5
95 cm D.
5
1810 cm
Jawab:
H G
E F
T
6 P
D C
A 6 B
Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP
EP2
= EB2
- BP2
= ET2
- TP2
mencari ET:
Lihat ∆ ETG � ∠ G = siku-siku
ET=22 GTEG +
EG =diagonal bidang =6 2
GT = 2
1CG =
2
1. 6 = 3
ET=22
3)26( +
= 972+ = 81 = 9
Titik P terletak diantara titik BT
Misal TP = x maka BP = BT – x
BT= 22 CTBC + ; CT = CG.
2
1=
2
1. 6 = 3
= 22 36 + = 936+ = 45 = 3 5
EP2
= EB2
- BP2
= ET2
- TP2
(6 2 )2
- (3 5 - x )2
= 81 - x2
72 - (45 - 6 5 x + x2
) = 81 - x2
72 – 45 + 6 5 x - x2
= 81 - x2
72 – 45 – 81 + 6 5 x = x2
- x2
-54 = - 6 5 x
6
54 = 5 x
5 x = 9
x = 5
9 = TP
EP2
= ET2
- TP2
= 92
- (5
9)
2
= 81 - 5
81 =
5
81405− =
5
324
EP= 5
324=
5
18 =
5
18
5
5 =
5
185 cm
Jawabannya adalah C
UN2010
2. Diketahu kubus ABCD.EFGH. Nilai cosinus sudut antara
CF dan bidang ACH adalah ….
A. 6
13 C.
2
13 E. 3
B. 3
13 D.
3
23
Jawab:
www.pintarmatematika.web.id - 6
H G
E F
P
O
D C
Q
A B
Yang dicari adalah )(),( COFC∠
F
α
O C
Cos α =
miringbidang
datarbidang =
FC
CO
Titik P adalah titik tengah AH maka AP = 2
1AH ; misal
panjang rusuk =a
Maka AP = 2
1.a 2
CP = 22 APAC −
= 22 )2
2
1()2( aa −
= 22
2
12 aa − =
2
2
3a =
2
2.
2
3 2a = 62
1a
PO adalah titik berat segitiga = 3
1CP
CO = CP – PO = CP - 3
1CP =
3
2CP =
3
26
2
1a = 6
3
1a
Cos α = FC
CO =
2
63
1
a
a =
2
63
1
a
a
2
2
= 3
1.2
112 =
6
1.2 3 =
3
1. 3
Jawabannya adalah B
UN2010
3. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari
lingkaran luar 8 cm adalah ….
A. 192 cm2 C. 162 cm
2 E. 144 cm
2
B. 172 cm2 D. 148 cm
2
Jawab:
Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran
r adalah:
L = n . 2
1 . r
2. sin
0360
n
Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari
lingkaran luar 8 cm adalah:
L = 12. 2
1. 8
2. Sin
0
12
360
= 384 . sin 300 = 384 .
2
1 = 192
Jawabannya adalah A
UN2010
4. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 cm, dan AC = 3 cm.
Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….
D F
E
A C
B
www.pintarmatematika.web.id - 7
A. 55 2 cm3 C. 75 3 cm
3
E. 120 3 cm3
B. 60 2 cm3 D. 90 3 cm
3
Jawab:
D F
E
20
A 3 C
6 3 7
B
Volume = L alas x tinggi
Mencari L alas :
L alas = 2
1x jarak bidang datar x t
Lihat ∆ ABC:
B
6 t 3 7
A 3-x x C
t2
= 62
- (3-x)2
= (3 7 )2
- x2
36 - (9 - 6x + x2
) = 63 - x2
36 - 9 + 6x - x2
= 63 - x2
36 – 9 – 63 = - 6x
- 36 = - 6x
x = 6
t2
= (3 7 )2
- x2
= 63 – 36 = 27
t = 27 = 3 3
L alas = 2
1x jarak bidang datar x t =
2
1. 3 . 3 3
= 2
93
Volume = L alas x tinggi
= 2
93 . 20 = 90 3 cm
3
Jawabannya adalah D
UN2011
5. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat
segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut
adalah....
A. �128 � 64√3 cm D. �128 � 16√2 cm
B. �128 � 64√2 cm E. �128 � 16√3 cm
C. �128 � 16√2 cm
Jawab:
x
8cm 450
8cm
450
8 cm
ditanya = panjang sisi segi-8 = x = ...?
diketahui jari-jari = 8 cm
sudut antar sisi = � ��
� = 45
0
pakai rumus aturan cosinus:
b a
α
c
www.pintarmatematika.web.id - 8
2a = 2b +
2c - 2bc cos α �
b = 8 cm ; c = 8 cm ; α = 450 ;
x = a
x2 = 8
2 + 8
2 – 2 . 8 . 8 cos 45
0
X2 = 64 + 64 – 128
��√2
= 128 - 64√2
x= �128 − 64√2 cm
Jawabannya adalah B
UN2011
6. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB=
4 cm , BC = 6 cm, AC = 2√7 cm,
dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah ......
A. 96 √3 cm3 B. 96 √2 cm
3 C. 96 cm
3
D. 48 √3 cm3 E. 48 √2 cm
3
Jawab:
Trigonometri dan Dimensi Tiga
F
8
D E
C
2√7 6
α
A 4 B
Volume Prisma = Luas alas x tinggi
Luas alas = luas segitiga = 2
1 AB.BC. sin α
cari α dengan aturan cosinus.
2a = 2b +
2c - 2bc cos α AC
2 = AB
2 + BC
2 – 2 AB. BC cos α
cos α = �����������
���.��
= ��� ��(�√�)�
�.�. = � �� ���
�� = 48
24=
2
1
α = 600
Volume Prisma = Luas alas x tinggi
= 2
1 AB.BC. sin α x tinggi
= 2
1.4.6. sin 600 x 8
= 12 . 2
1 √3 . 8
= 48 √3 cm3 Jawabannya adalah D UN2011
7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah
titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah.....
A. 4√6 cm C. 4√3 cm E. 4 cm
B. 4√5 cm D. 4√2 cm
Jawab:
Dimensi Tiga
H G
E M F
8 D O C
A 8 B
EH = 8 cm
EM = �� EH =
�� . 8 = 4 cm
AM = √ !� + "�
= √8� + 4�
= √64 + 16 = √80 = 4√5 cm
jarak titik M ke AG = OM = √!"� − !$�
AG = 8 √3 cm (diagonal ruang)
AO = �� AG = 4 √3 cm
= %(4√5)� − (4√3)� = √80 − 48 = √32 = 4√2 cm
Jawabannya adalah D
www.pintarmatematika.web.id - 9
UN2011
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah....
A. �� √6 B.
�� √3 C.
�� √2
D. �� √3 E.
�� √2
Jawab: Dimensi Tiga H G
E F
α
10 D C
O
A 10 B
G O
α
�
α
O C C G CG = 10 cm
AC = 10 √2cm
OC = �� AC = 5 √2 cm
OG = √$&� + &'� = %(5√2)� + 10� = √50 + 100 = √150 = 5√6 cm
cos α = ()()*+,+-()().)-)/0 =
�121 =
��3√ =
�√ =
�√
√ √ =
� √6 =
��√6
Jawabannya adalah A
UN2012
9. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik
tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah ....
A. 8√5 cm C. 6√3 cm E. 6 cm
B. 6√5 cm D. 6√2 cm
Jawab:
H G
E F P
O
D C
A 12 cm B
P
H O B
ditanya OP =...?
BH = 12√3 ; GP = CP = ½ . 12 = 6
HP2 = GH
2 + GP
2
= 122 + 6
2= 144 + 36 = 180
HP = √180 = 6 √5 = BP
∆ BHP adalah sama kaki
HO = BO = ½ . 12√3 = 6 √3
OP = �(56)� − (5$)�
= %(6√5)� − (6√3)�
=√180 − 108 = √72
= 6√2 cm
Jawabannya D
www.pintarmatematika.web.id - 10
UN2012
10. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan
rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangen sudut
antara garis PT dan alas QRST adalah ....
A. �� √3 D. 2 √2
B. √2 E. 2 √3
C. √3
Jawab:
P
3√2 cm
T S
O
Q 3 cm R
Alas limas
T S
O
O
T α O Q R
Tan α = 78 =
292: � OP = √6;� − $;�
panjang diagonal RT = panjang diagonal QS
= 3 x √2 = 3√2
PT = 3√2 ; OT = ½ diagonal RT = ½ . 3√2 = �� √2
OP = %(3√2)� − (�� √2)�
= %18 − ���
= %������ = %3�
� = �� √6
Tan α = 78 =
292: =
<�√ <�√�
= √ √� = %
� = √3
Jawabannya C