DINÁMICA ROTACIONAL
PROFESOR: FLORENCIO PINELA
Junio de 20101FLORENCIO PINELA - ESPOL
TORQUE Y BRAZO DE PALANCA
r F
rFsen
La distancia perpendicular r┴ medida desde el eje de
rotación a la línea de acción de la fuerza es llamada
brazo de palanca y es igual a r sin θ. El torque, o fuerza
de torsión, que produce movimiento rotacional, se define
como el producto de la fuerza y el brazo de palanca.
Junio de 20102FLORENCIO PINELA - ESPOL
( )Fsen r
( )F rsen
Solo la fuerza perpendicular a la “palanca” produce un torque.
Junio de 20103FLORENCIO PINELA - ESPOL
The three forces shown all
have the same magnitude:
Fa = Fb = Fc.
Which force produces the
greatest torque about the
point O (marked by the red
dot)?
1. the force Fa
2. the force Fb
3. the force Fc
4. not enough information
given to decide
Q10.1
Junio de 20104FLORENCIO PINELA - ESPOL
In which of the
situation(s) shown
here does the force
produce a torque
about O that is
directed into the
plane of the
drawing?
1. situation (i)
2. situation (ii)
3. situation (iii)
4. situation (iv)
5. more than one of the above
Q10.2
Junio de 20105FLORENCIO PINELA - ESPOL
A plumber pushes
straight down on the
end of a long wrench
as shown.
What is the
magnitude of the
torque he applies
about point O?
1. (0.80 m)(900 N)sin 19°
2. (0.80 m)(900 N)cos 19°
3. (0.80 m)(900 N)tan 19°
4. none of the above
Q10.3
Junio de 20106FLORENCIO PINELA - ESPOL
EL TORQUE: COMO CANTIDAD
VECTORIAL
Junio de 20107FLORENCIO PINELA - ESPOL
EQUILIBRIO
0 FFneta
0
neto
Se dice que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio
mecánico si se cumplen las dos condiciones:
EQUILIBRIO TRASLACIONAL
EQUILIBRIO ROTACIONAL
Junio de 20108FLORENCIO PINELA - ESPOL
A massless rod of length L is
suspended from the ceiling by a
string attached to the center of the
rod. A sphere of mass M is
suspended from the left-hand end
of the rod. Where should a
second sphere of mass 2M be
suspended so that the rod
remains horizontal?
1. at x = 2L/3
2. at x = 3L/4
3. at x = 4L/5
4. at x = 3L/5
5. none of the above
Q11.2
Junio de 20109FLORENCIO PINELA - ESPOL
1. T = w sin
2. T = w cos
3. T = w/(sin )
4. T = w/(cos )
5. none of the above
Q11.3
A metal advertising sign (weight
w) is suspended from the end of a
massless rod of length L. The rod
is supported at one end by a hinge
at point P and at the other end by
a cable at an angle from the
horizontal.
What is the tension in the cable?
Junio de 201010FLORENCIO PINELA - ESPOL
1. L = w, T = 0
2. L = w(1 + a/b), T = w(a/b)
3. L = w(1 – a/b), T = w(a/b)
4. L = w(a/b), T = w(1 + a/b)
5. L = w(a/b), T = w(1 – a/b)
Q11.4
When an airplane is flying at
a constant altitude, three
vertical forces act on it —
the weight w, an upward lift
force L exerted by the wing,
and a downward force T
exerted by the tail.
In equilibrium, what are the
magnitudes L and T?
Junio de 201011FLORENCIO PINELA - ESPOL
Torque Example and ACTA person raises one leg to an angle of 30 degrees. An ankle
weight (89 N) attached a distance of 0.84 m from her hip. What is the torque due to this weight?
1) Draw Diagram
2) = F r sin F r
F r cos(30)
If she raises her leg higher, the torque due to the weight will
A) Increase
B) Same
C) Decrease
30F=89 N
= 65 N m
Junio de 201012FLORENCIO PINELA - ESPOL
Equilibrium Acts
A rod is lying on a table and has two equal but opposite forces acting on it. What is the net force on the rod?
A) Up B) Down C) Zero
Will the rod move? A) Yes B) No F
F
y
x
Junio de 201013FLORENCIO PINELA - ESPOL
Equilibrium
Conditions for Equilibrium
F = 0 Translational EQ (Center of Mass)
= 0 Rotational EQ
Can choose any axis of rotation…. Choose Wisely!
A meter stick is suspended at the center. If a 1 kg weight is placed at x=0. Where do you need to place a 2 kg weight to balance it?
A) x = 25 B) x=50 C) x=75 D) x=100
E) 1 kg can’t balance a 2 kg weight.
9.8 N 19.6 N
50 cm d = 0
9.8 (0.5) – (19.6)d = 0
d = 25
Junio de 201014FLORENCIO PINELA - ESPOL
Static Equilibrium and Center of Mass
Gravitational Force Weight = mg
Acts as force at center of mass
Torque about pivot due to gravity = mgd
Object not in static equilibrium
Center of mass
pivotd
W=mg
i
iicm
m
mrr
Junio de 201015FLORENCIO PINELA - ESPOL
Center of mass
pivotd
W=mg
Torque about pivot 0
Center of mass
pivot
Torque about pivot = 0
A method to find center of mass of an irregular object
Not in equilibrium Equilibrium
Static Equilibrium
Junio de 201016FLORENCIO PINELA - ESPOL
Pre-VUELO The picture below shows two people lifting a heavy log. Which of the two people is supporting the greatest weight?
1. The person on the left is supporting the greatest weight
2. The person on the right is supporting the greatest weight
3. They are supporting the same weight
Junio de 201017FLORENCIO PINELA - ESPOL
A 75 kg painter stands at the center of a 50 kg 3 meter plank. The supports are 1 meter in from each edge. Calculate the force on support A.
Equilibrium Example
A B
1 meter1 meter
FA FB
Mgmg
1) Draw FBD
2) F = 0
3) Choose pivot
4) = 0
FA + FB – mg – Mg = 0
-FA (1) sin(90)+ FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) + Mg(0.5) sin(90) = 0
FA = 0.5 mg + 0.5 Mg = 612.5 Newtons
1 meter
0.5meter
Junio de 201018FLORENCIO PINELA - ESPOL
If the painter moves to the right, the force exerted by support A
A) Increases B) Unchanged C) Decreases
Equilibrium Example
A B
1 meter1 meter
Junio de 201019FLORENCIO PINELA - ESPOL
How far to the right of support B can the painter stand before the plank tips?
Equilibrium Example
A B
1 meter1 meter
Just before board tips, force from A becomes zero
FB
Mgmg
1) Draw FBD
2) F = 0
3) Choose pivot
4) = 0
FB – mg – Mg = 0
FB (0) sin(90) + mg (0.5)sin(90) – Mg(x) sin(90) = 0
0.5 m = x M
0.5meter x
Junio de 201020FLORENCIO PINELA - ESPOL
Equilibrium Example
1) Draw FBD2) Choose Axis of rotation3) = 0 Rotational EQ
F1 (1.2) – mg (4.6) = 0F1 = 4.6 (50 *9.8) / 1.2F1 = 1880 N
4) F = 0 Translational EQ F1 – F2 – mg = 0F2 = F1 – mg = 1390 N
mg
F1
F2
A 50 kg diver stands at the end of a 4.6 m diving board. Neglecting the weight of the board, what is the force on the pivot 1.2 meters from the end?
Junio de 201021FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una escalera de 15 kg descansa contra una pared lisa. Un
hombre con una masa de 78 kg está parado en la escalera
como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza de fricción debe
actuar sobre la base de la escalera para que no resbale.
Junio de 201022FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una escalera de 15 kg
descansa contra una pared
lisa. Un hombre con una
masa de 78 Kg. sube por la
escalera, inclinada 50
grados, como se muestra en
la figura. ¿Cuál es la altura
máxima que puede subir el
hombre en la escalera sin
que esta resbale?, el
coeficiente de rozamiento
estático entre la escalera y el
piso es de 0,3
Junio de 201023FLORENCIO PINELA - ESPOL
Estabilidad y centro de gravedad
(a) Cuando un objeto se encuentra en equilibrio estable,
cualquier desplazamiento desde su posición de equilibrio
resulta en una fuerza o torque que lo retorna a su
posición de equilibrio estable
Junio de 201024FLORENCIO PINELA - ESPOL
CUANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD ESTÁ ARRIBA DEL ÁREA
DE SOPORTE DE UN OBJETO Y DENTRO DE ELLA, EL OBJETO
ESTÁ EN EQUILIBRIO ESTABLE.
Junio de 201025FLORENCIO PINELA - ESPOL
MOMENTO DE INERCIA (I)
Al actuar una fuerza neta sobre un cuerpo, la inercia es la propiedad de la materia que determina la aceleración que experimentará.
Al actuar un torque neto sobre un cuerpo, la propiedad de la materia que determina la aceleración angular que experimentará, se denomina Momento de Inercia
netaFa
m
neto
I
DINÁMICA ROTACIONAL
Junio de 201026FLORENCIO PINELA - ESPOL
CANTIDADES LINEALES Y
ANGULARES Y SUS RELACIONES
s r
v r
tan
( )tv ra r r
t t t
22
rad
va r
r
sr
t t
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 27
EL TORQUE, LA VELOCIDAD ANGULAR (ω)
Y LA ACELERACIÓN ANGULAR ()
neto Fr I
t
t
Si la velocidad angular es
constante, el torque neto y
valen cero!
Si la velocidad angular varía,
existe un torque neto y es
diferente de cero!
0neto Fr
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 28
Analogías entre cantidades lineales
(traslación) y angulares (rotación)
Denominación representación Denominación Representación
distancia s ángulo Velocidad lineal v Velocidad
angular
Aceleración
lineala Aceleración
angular
Fuerza F Torque Masa m Momento de
inerciaI
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 29
Linear and Angular: Relation
Linear Angular
Displacement x
Velocity v
Acceleration a
Inertia m I
KE ½ m v2 ½ I 2
2Da Newton. F=ma = I
Momentum p = mv L = I
Junio de 201030FLORENCIO PINELA - ESPOL
Tension…..
m2m1T1 T2
T1 < T2 since T2 – T1 = m2 a. It takes force to accelerate block 2.
m3F
m3
m1m2
T1
T2
T1 < T2 since RT2 – RT1 = I2 . It takes force (torque) to accelerate the pulley.
Compare the tension T1 and T2 as the blocks are accelerated to the right.
A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2
Compare the tension T1 and T2 as block 3 falls
A) T1 < T2 B) T1 = T2 C) T1 > T2
Junio de 201031FLORENCIO PINELA - ESPOL
MOMENTO DE INERCIA DE UNA PARTÍCULA
DE MASA m
rv
m
Frv
ta r
Si sobre la partícula actúa una fuerza
tangencial, ella experimentará una aceleración
tangencial, además de la aceleración centrípeta.t
va
t
ta rt
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 32
r
vm
F
t tF ma
( )tF m r
2( )tF r mr
2( )mr
netaF ma
neto I
2mrI Momento de inercia de una partícula
Segunda Ley de Newton para
la traslación
Segunda Ley de Newton para
la rotación
ta r
Multipliquemos ambos lados de la
ecuación por r
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 33
The Hammer!
You want to balance a hammer on the tip of your finger, which way is easier
A) Head up
B) Head down
C) Same
= I
m g R sin() = mR2 mg
R
Torque increases with R
Inertia increases as R2
g sin() / R =
Angular acceleration decreases with
R!, so large R is easier to balance.
Junio de 201034FLORENCIO PINELA - ESPOL
neto I
AL APLICAR LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA
ROTACION, RECUERDE QUE EL MOMENTO DE INERCIA SE
CALCULA CON RESPECTO AL MISMO PUNTO QUE SE
DETERMINO EL TORQUE NETO.
En cuál de los dos casos el sistema rotará con mayor aceleración angular?
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 35
2 2
1 1 2 2
2 2 230(0,5) 30(0,5) 15 .
I m x m x
I kg m
2 2
1 1 2 2
2 2 240(0,5) 10(0,5) 12,5 .
I m x m x
I kg m
2 2
1 1 2 2
2 2 230(1,5) 30(1,5) 135 .
I m x m x
I kg m
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 36
Para el sistema de masas mostrado, determine el momento de
inercia en torno a:
a) El eje x
b) El eje y
c) Un eje que pasa por el origen y es perpendicular a la página.
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 37
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 22(2,5) 3(2,5) 4(2,5) 1(2,5) 62,5
y
y
I m x m x m x m x
I kgm
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 22(2,5 1,5 ) 3(2,5 1,5 ) 4(2,5 1,5 ) 1(2,5 1,5 ) 85
z
z
I m z m z m z m z
I kgm
2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2 22(1,5 ) 3(1,5 ) 4(1,5 ) 1(1,5 ) 22,5
x
x
I m y m y m y m y
I kgm
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 38
Moments of inertia of some uniform-density objects with
common shapes
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 39
Rotation ACTTwo wheels can rotate freely about fixed axles through their centers. The wheels have the samemass, but one has twice the radius of the other. If the same force F is applied to each wheel, compare their angular accelerationsRecall: = F d sin , and I = MR2 for the wheel
(A) 1 > 2 (B) 1 = 2 (C) 1 < 2
F
F
1 2
2
neto Fr
I MR
Junio de 201040FLORENCIO PINELA - ESPOL
Teorema de los ejes paralelosEl momento de inercia respecto a un eje paralelo a otro que
pasa por el centro de masa del cuerpo es I = ICM + Md2, donde
M es la masa total del cuerpo y d es la distancia entre los ejes.
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 41
2
.
2
2
2
2
1
12 2
1 1
12 4
1
3
extremo C M
extremo
extremo
extremo
I I Md
LI ML M
I ML
I ML
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 42
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 43
1. m2g = T2 = T1
2. m2g > T2 = T1
3. m2g > T2 > T1
4. m2g = T2 > T1
5. none of the above
Q10.4
A glider of mass m1 slides without friction on a horizontal air track.
It is connected to an object of mass m2 by a massless string. The
string turns the pulley without slipping or stretching.
If the glider and object are released, the glider accelerates to the
right and the object accelerates downward. During this motion,
what is the relationship among T1 (the tension in the horizontal
part of the string), T2 (the tension in the vertical part of the string),
and the weight m2g of the object?
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 44
A string is wrapped several times around
the rim of a small hoop. (The weight of the
string is negligibly small compared to the
weight of the hoop.)
1. T = w
2. T > w
3. T < w
4. not enough information given to decide
Q10.5
If the free end of the string is held in place and the hoop
is released from rest, the string unwinds and the hoop
descends.
As the hoop descends, how does the tension in the
string (magnitude T) compare to the weight of the hoop
(w)?
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 45
A solid bowling ball rolls
down a ramp.
Which of the following
forces exerts a torque
on the bowling ball
about its center?
1. the weight of the ball
2. the normal force exerted by the ramp
3. the friction force exerted by the ramp
4. more than one of the above
5. answer depends on whether or not the ball is rolling
without slipping
Q10.6
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 46
Polea con inercia
APLICACIONES DE LA DINÁMICA ROTACIONAL
Un bloque de masa m cuelga de
una cuerda que pasa por una
polea, de masa M y radio R,
cuyo eje no presenta fricción. Si
el bloque se suelta desde el
reposo. ¿Qué magnitud tendrá
la aceleración lineal del bloque,
en función de M, m, R?
(desprecie la masa de la
cuerda)
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 47
Traslación del bloque
netaF ma
mg T ma
Rotación de la polea
neto eje ejeI
TR I
Relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular: la aceleración del bloque es igual a la aceleración tangencial de la polea
a R
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 48
mg T ma
TR I21
2I MR
21
2
aTR MR
R
1
2T Ma
1( )
2mg a m M
2
2
2
2
mg mRa g
m M mR I
Tomemos las ecuaciones de traslación, rotación y su relación:
a R Momento de inercia de la polea (cilindro)
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 49
Falling weight & pulley
A mass m is hung by a string that is wrapped around a pulley of radius Rattached to a heavy flywheel. The moment of inertia of the pulley + flywheel is I. The string does not slip on the pulley.Starting at rest, how long does it take for the mass to fall a distance L.
I
m
R
T
mg
a
LWhat method should we use to solve this problem
A) Conservation of Energy (including rotational)
B) I and then use kinematics
Junio de 201050FLORENCIO PINELA - ESPOL
Falling weight & pulley: Experimental procedure...
Using 1-D kinematics we can solve for the time required for the weight to fall a distance L:
I
m
R
T
mg
a
L
L at1
2
2 tL
a
2
amR
mRg
2
2 Iwhere
2
0 0
1
2y y v t at
Using this result we can calculate the moment of
inertia of the pulley
Junio de 201051FLORENCIO PINELA - ESPOL
A string is wrapped several times
around the rim (weight w) of a small
hoop. (The weight of the string is
negligibly small compared to the
weight of the hoop.)
If the free end of the string is held in place
and the hoop is released from rest, the
string unwinds and the hoop descends. As
the hoop descends, what is the acceleration
of the center of mass of the hoop?
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 52
T
mg
o
a
F = ma => mg – T = ma
o = I => TR = I R
a = R
TR = I (a/R)
mg – I a/R2 = ma
a(m + I/R2) = mg
2/
mga
m I R
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 53
Dos masas penden de una polea. La polea tiene una masa de 0,2 Kg.
y un radio de 0,15 m y un momento de fuerza constante (torque) de
0,35 N.m debido a la fricción entre ella y el eje sobre el que gira.
¿Cuál es el valor de la aceleración de las masas? Si m1= 0,4 Kg. y m2
= 0,8 Kg.
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 54
F ma
2 2 2m g T m a
1 1 1T m g m a
eje ejeI
2 1 friccionT R T R I
2
2 1
1
2friccion
aT R T R MR
R
2 1
1
2
fT T Ma
R
2 1 1 2( ) ( / 2)f
g m m a m m MR
2 2 2m g T m a
1 1 1T m g m a
2 1 friccionT R T R I
2 1
2 1
( ) /
( / 2)
fg m m Ra
m m M
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 55
LOS BLOQUES MOSTRADOS EN LA FIGURA NO
PRESENTAN ROZAMIENTO CON EL PLANO. DETERMINE
LAS TENSIONES EN LA CUERDA Y EL MOMENTO DE
INERCIA DE LA POLEA, SUPONGA QUE LA POLEA TIENE UN
RADIO EFECTIVO DE 20 cm..
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 56
1 1 1
2 2 2
2 1
30
60
o
o
T m gsen m a
m gsen T m a
T R T R I
2 1 2
aT T I
R
1 1( 30 )oT m gsen a
2 2 ( 60 )oT m gsen a
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 57
Una esfera uniforme de 2 Kg. y 0,15 m de diámetro rueda desde la parte
superior (H= 1m) de un plano inclinado 30 grados como se indica en la
figura.
a) ¿Qué aceleración tiene el centro de masa de la esfera?
b) La velocidad del centro de masa al llegar a la parte inferior del plano.
c) La velocidad angular en la parte inferior del plano.
Rolling
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 58
. . .puntodecont p cI
2
.( ) ( )C MMgsen r I Mr
2 22( ) ( )
5Mgsen r Mr Mr
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 59
2( ) ( )cmMgsen r I Mr a r
2( ) ( )cm
aMgsen r I Mr
r
2
2
cm
Msen ra g
I Mr
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 60
Rolling
An object with mass M, radius R, and moment of inertia I rolls without slipping down a plane inclined at an angle with respect to horizontal. What is its acceleration?
Consider CM motion and rotation about the CM separately when solving this problem
R
I
M
Junio de 201061FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rolling... Static friction f causes rolling. It is an unknown, so
we must solve for it. First consider the free body diagram of the object
and use FNET = Macm :In the x direction:
Mg sin - f = Macm
Now consider rotation about the CMand use = I realizing that = Rf and a = R
R
M
f
Ia
RfR
2
Ia
fR
Mg
Junio de 201062FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rolling...
We have two equations: Mg sin - f = Ma
We can combine these to eliminate f:
2
af I
R
2
2
MR sin g
MR Ia
A R
I
M
2
2 2
MR sin 5g sin
2 7MR MR
5
a g
For a sphere:
Junio de 201063FLORENCIO PINELA - ESPOL
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 64
ROLLING EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA COMBINACION DE
LOS MOVIMIENTOS DE ROTACION Y TRASLACION
Ejemplo: si una bicicleta de mueve
con velocidad de 5 m/s. la velocidad
del centro de masa de una de las
ruedas será también de 5 m/s
EL MOVIMIENTO DE RODADURA COMO LA
COMBINACION DE LOS MOVIMIENTOS DE
ROTACION Y TRASLACION
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 65
RollingA wheel is spinning clockwise such that the speed
of the outer rim is 2 m/s.
What is the velocity of the top of the wheel relative to the ground?
What is the velocity of the bottom of the wheel relative to the ground?
x
y
You now carry the spinning wheel to the right at 2 m/s.
What is the velocity of the top of the wheel relative to the ground?
A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s
What is the velocity of the bottom of the wheel relative to the ground?
A) -4 m/s B) -2 m/s C) 0 m/s D) +2m/s E) +4 m/s
2 m/s
2 m/s
Junio de 201066FLORENCIO PINELA - ESPOL
Si un objeto rueda sin resbalar, la longitud del arco
entre dos puntos de contacto en la circunferencia es
igual a la distancia lineal recorrida. Esta distancia es
s = rθ. La rapidez del centro de masa es vCM = rω.
Ejemplo: si una bicicleta de mueve
con velocidad de 5 m/s. y las ruedas
tienen un radio de 0,5 m. La
velocidad angular de las ruedas será
de 10 rad/s
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 67
Rotational Kinetic Energy
Consider a mass M on the end of a string being spun around in a circle with radius r and angular frequency
Mass has speed v = r
Mass has kinetic energy
K = ½ M v2
= ½ M 2 r2
K = ½ (M r2) 2 = ½ I 2
Rotational Kinetic Energy is energy due to circular motion of object.
M
Junio de 201068FLORENCIO PINELA - ESPOL
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 69
TRABAJO ROTACIONAL Y ENERGÍA CINÉTICA
W Fs
( )W F r
W
El trabajo realizado por una fuerza tangencial para
hacer rotar un cuerpo se conoce como trabajo
rotacional
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 70
Teorema trabajo-energía y energía cinética
( ) ( )netoW I I
2 2 2( )o
2 2
2
onetoW I
Utilizando la ecuación del trabajo rotacional:
2 21 1
2 2neto oW I I
El trabajo neto es igual al cambio en la
energía cinética rotacional
2 21 1
2 2neto oW I I
neto oW K K K
21
2K I
ENERGÍA CINÉTICA
ROTACIONAL
21
2K mv
ENERGÍA CINÉTICA
TRASLACIONAL
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 71
Contest!
Junio de 201072FLORENCIO PINELA - ESPOL
Inertia Rods
Two batons have equal mass and length.
Which will be “easier” to spin
A) Mass on ends
B) Same
C) Mass in center
Junio de 201073FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rolling Race (Hoop vs Cylinder)
A hoop and a cylinder of equal mass roll down a ramp with height h. Which has greatest KE at bottom?
A) Hoop B) Same C) Cylinder
Junio de 201074FLORENCIO PINELA - ESPOL
Preflight Rolling Race (Hoop vs Cylinder)
A hoop and a cylinder of equal mass roll down a ramp with height h. Which has greatest speed at the bottom of the ramp?
A) Hoop B) Same C) Cylinder
I = MR2 I = ½ MR2
Junio de 201075FLORENCIO PINELA - ESPOL
Merry Go Round
BA
Four kids (mass m) are riding on a (light) merry-go-round rotating
with angular velocity =3 rad/s. In case A the kids are near the
center (r=1.5 m), in case B they are near the edge (r=3 m). Compare
the kinetic energy of the kids on the two rides.
A) KA > KB B) KA = KB C) KA < KB
Junio de 201076FLORENCIO PINELA - ESPOL
ENERGÍA CINÉTICA DE UN OBJETO QUE RUEDA SOBRE UNA
SUPERFICIE HORIZONTAL SIN RESBALAR.
21
2iK I
Ii es el momento de inercia respecto al eje instantáneo de rotación
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 77
21
2iK I
2
i CMI I MR
2 2 21 1
2 2CMK I MR
2 2 21 1
2 2CMK I MR
2 21 1
2 2CM CM
total Rotacion Traslacion
K I Mv
K K K
CMv R
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 78
Energy Conservation!
Friction causes object to roll, but if it rolls w/o slipping friction does NO work!
W = F d cos d is zero for point in contact
No dissipated work, energy is conserved
Need to include both translation and rotation kinetic energy.
K = ½ m v2 + ½ I 2
Junio de 201079FLORENCIO PINELA - ESPOL
Translational + Rotational KE Consider a cylinder with radius R and mass M,
rolling w/o slipping down a ramp. Determine the ratio of the translational to rotational KE.
H
I 1
2
2MR V
Ruse and
Translational: KT = ½ M v2
Rotational: KR = ½ I 2
KR = ½ (½ M R2) (V/R)2
= ¼ M v2
= ½ KT
Junio de 201080FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rolling Act Two uniform cylinders are machined out of solid
aluminum. One has twice the radius of the other.
If both are placed at the top of the same ramp and released, which is moving faster at the bottom?
(a) bigger one (b) smaller one (c) same
4
3V gH Independientedela masa
Ki + Ui = Kf + Uf
MgH MV 1
2
1
2
2 2I
MgH MRV
RMV
1
2
1
2
1
2
2
2
22
Junio de 201081FLORENCIO PINELA - ESPOL
When an object rolls down an inclined
plane, potential energy is converted to
translational and rotational kinetic energy.
This makes the rolling slower than
frictionless sliding.
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 82
UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN
PLANO INCLINADO COMO SE INDICA EN LA
FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION
DE LA ENERGIA DETERMINE LA VELOCIDAD DEL
CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA
PARTE INFERIOR DEL PLANO.
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 83
inicialE mgh
2 21 1
2 2final cmE mv I
22 2
2
1 1( )
2 2
cmcm
vmgh mv mR
R
cmv gh
UN ANILLO DE RADIO R Y MASA M RUEDA POR UN PLANO INCLINADO COMO SE
INDICA EN LA FIGURA. UTILIZANDO LA LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA
DETERMINE LA VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA DEL ANILLO AL LLEGAR A LA
PARTE INFERIOR DEL PLANO.
Comparelo con 2cmv gh
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 84
Translational + Rotational KE Consider a cylinder with radius R and mass M, rolling w/o
slipping down a ramp. Determine the ratio of the translational to rotational KE.
H
Energy conservation: Ki + Ui = Kf + Uf
MgH MV 1
2
1
2
2 2I
I 1
2
2MR V
Rbut and
MgH MRV
RMV
1
2
1
2
1
2
2
2
22
MgH MV MV MV 1
4
1
2
3
4
2 2 2
0+ MgH = ½ I 2 + ½ M v2 + 0
V gH4
3
Junio de 201085FLORENCIO PINELA - ESPOL
Massless Pulley Example Consider the two masses connected by a
pulley as shown. Use conservation of energy to calculate the speed of the blocks after m2 has dropped a distance h. Assume the pulley is massless.
finalfinalinitialinitial KUKU
2
2
2
122
1
2
100 vmvmghm
21
22
mm
ghmv
2
2
2
122 vmvmghm
UKWNC
Junio de 201086FLORENCIO PINELA - ESPOL
Massive Pulley Act Consider the two masses connected by a
pulley as shown. If the pulley is massive, after m2 drops a distance h, the blocks will be moving
A) faster than
B) the same speed as
C) slower than
if it was a massless pulley
finalfinalinitialinitial KUKU
22
2
2
122
1
2
1
2
10 Ivmvmghm
2
22
2
2
122
1
2
1
2
1
2
1
R
vMRvmvmghm
22
2
2
124
1
2
1
2
1Mvvmvmghm
2/
2
21
2
Mmm
ghmv
Slower because some energy goes into spinning pulley!
Junio de 201087FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una esfera de acero baja rodando por una pendiente y entra en un rizo de
radio R. A) ¿Qué rapidez mínima debe tener en el cenit del rizo para
mantenerse en su pista. B) A qué altura vertical h en la pendiente, en
términos del radio del rizo, debe soltarse la esfera para que tenga esa
rapidez en el cenit del rizo. (desprecie las pérdidas por fricción)
A) v=gR
B) h=2,7 R
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 88
Torque: ACTIDAD
When a force is applied to the string, the spool will
1) Roll right 2) Roll Left 3) Depends on angle
F
Junio de 201089FLORENCIO PINELA - ESPOL
Spool on a rough surface..: Equilibrio
Consider all of the forces acting: tension Tand friction f.
Using FNET = 0 in the x direction:
a
b
T
f
y
x
0fcosT cosTf
aT bf 0 aT bf
Using NET = 0 about the CM axis:
b
acos
Solving:
Junio de 201090FLORENCIO PINELA - ESPOL
Physics 101: Lecture 15, Pg 91
Spool on a rough surface...There is another (slick) way to see this:
Consider the torque about the point of contact between the spool and the ground. We know the net torque about this (or any other) point is zero.
Since both Mg and f act through this point, they do not contribute to the net toque.
Therefore the torque due to T mustalso be zero.
Therefore T must actalong a line that passesthrough this point!
a
b
T
f
y
xMg
Physics 101: Lecture 15, Pg 92
Spool on a rough surface...
So we can use geometry to get the same result.
a
b
T
b
acos
Giant yo-yo
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 93
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 94
Potencia rotacional
W
WP
t
P
t
P
La potencia se define como la relación entre el trabajo
realizado y el tiempo empleado en hacerlo.
P Fv
Rotación
Traslación
Physics 101: Lecture 16, Pg 95
Linear and Angular
Linear Angular
Displacement x
Velocity v
Acceleration a
Inertia m I
KE ½ m v2 ½ I 2
N2L F=ma = I
Momentum p = mv L = I
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 96
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
La fuerza es la razón de que los cuerpos cambien su momento lineal.
vF m
t
m vF
t
pF
t
•El torque es la razón de que
los cuerpos cambien su
cantidad de movimiento
angular.
r
m
F v p mv
( )p m r
2rp mr
L I
La cantidad de movimiento angular de un cuerpo tiene la
misma dirección que la velocidad angular
La cantidad de movimiento angular
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 97
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 98
vF m
t
m vF
t
pF
t
pF
t
EL TORQUE Y LA VARIACION DEL
MOMENTO ANGULAR
( )rpFr
t
L
t
Define Angular Momentum
Momentum Angular Momentum
p = mV L = I
conserved if Fext = 0 conserved if ext =0
Vector Vector!
units: kg-m/s units: kg-m2/s
Junio de 201099FLORENCIO PINELA - ESPOL
El torque y la variación del
momento angular
F ma
vF m
t
pF
t
( )
I
It
I
t
L
t
La fuerza y la variación
del momento lineal
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 100
Physics 101: Lecture 16, Pg 101
Right Hand Rule
Wrap fingers of right hand around direction of rotation, thumb gives direction of angular momentum.
What is direction of angular momentum for wheel
A) Up B) Down C) Left D) Right
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 102
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
En ausencia de un momento de fuerza externo (torque) la cantidad de movimiento angular total (L) de un sistema se conserva.
0
0
0
0
0
neto
o
o
o
L
t
L L L
I I
I I
o oI I
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 103
Junio de 2010FLORENCIO PINELA - ESPOL 104
Act: Two Disks A disk of mass M and radius R rotates around the
z axis with angular velocity i. A second identical disk, initially not rotating, is dropped on top of the first. There is friction between the disks, and eventually they rotate together with angular velocity f.
A) f = i B) f = ½ i C) f = ¼ i
i
z
f
z
Junio de 2010105FLORENCIO PINELA - ESPOL
Act: Two Disks
First realize that there are no external torques acting on the two-disk system. Angular momentum will be conserved!
ii MRL 2
112
10I
0
z2
1
f
z
ff MRL 2
2211 II
fi MRMR 22
2
1
fi 2
1
Junio de 2010106FLORENCIO PINELA - ESPOL
Pre-vueloYou are sitting on a freely rotating bar-stool with your arms stretched out and a heavy glass mug in each hand. Your friend gives you a twist and you start rotating around a vertical axis though the center of the stool. You can assume that the bearing the stool turns on is frictionless, and that there is no net external torque present once you have started spinning.
You now pull your arms and hands (and mugs) close to your body.
Junio de 2010107FLORENCIO PINELA - ESPOL
Bonus Question!
There are No External forces acting on the “student+stool” system.
A) True B) False C) What!?
Junio de 2010108FLORENCIO PINELA - ESPOL
Pre-vuelo What happens to the angular momentum as you pull in your arms?
1. it increases2. it decreases3. it stays the same L1 L
2
Junio de 2010109FLORENCIO PINELA - ESPOL
Pre-vueloWhat happens to your kinetic energy as you pull in your arms?
1. it increases2. it decreases3. it stays the same
1 2
I2I1
L L
K 1
2
2I 1
2
2 2
II
1
2
2
IL (using L = I )
You do work as you pull in your arms!
Si L es constante, al disminuir I aumenta K
Junio de 2010110FLORENCIO PINELA - ESPOL
What about Energy Conservation?
A) Energy isn’t conserved here
B) Energy comes from weights
C) Gravitational energy is being converted to rotational kinetic energy
D) Energy comes from “watallarin”.
Junio de 2010111FLORENCIO PINELA - ESPOL
Turning the bike wheelA student sits on a barstool holding a bike wheel. The wheel is initially spinning CCW in the horizontal plane (as viewed from above) L= 25 kg m2/s She now turns the bike wheel over. What happens?
A. She starts to spin CCW.B. She starts to spin CW.C. Nothing
Junio de 2010112FLORENCIO PINELA - ESPOL
Turning the bike wheel (more)
She is holding the bike wheel and spinning counter clockwise. What happens if she turns it the other ½ rotation (so it is basically upside down from how it started).
A) Spins Faster B) Stays same C) Stops
Junio de 2010113FLORENCIO PINELA - ESPOL
Turning the bike wheel... Since there is no net external torque acting on the student-
stool system, angular momentum is conserved. Remenber, L has a direction as well as a magnitude!
Initially: LINI = LW,I = + 25 kg m2/sFinally: LFIN = LW,F + LS
= -25 kg m2/s + Ls
Ls = 50 kg m2/s
LW,F
LS
LW,I
LW,I = LW,F + LS
Junio de 2010114FLORENCIO PINELA - ESPOL
Act 2 Rotations
A puck slides in a circular path on a horizontal frictionless table. It is held at a constant radius by a string threaded through a frictionless hole at the center of the table. If you pull on the string such that the radius decreases by a factor of 2, by what factor does the angular velocity of the puck increase?
(a) 2 (b) 4 (c) 8
Junio de 2010115FLORENCIO PINELA - ESPOL
Act 2 Solution Since the string is pulled through a hole at the center of
rotation, there is no torque: Angular momentum is conserved.
L1 = I11 = mR21
1m
R 2m
R/2
L2 = I22 = m 2=2
2
R
mR21 = m R224
1
4
11 = 2 2 = 41
Junio de 2010116FLORENCIO PINELA - ESPOL
Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que
pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con
velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la
masa de la polea es despreciable.
•¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
•¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?
Junio de 2010117FLORENCIO PINELA - ESPOL
Un bloque de masa m=20 kg, unido mediante una cuerda a una polea sin masa
desliza a lo largo de una mesa horizontal con coeficiente de rozamiento
dinámico =0.1. La polea está conectada mediante otra cuerda al centro de un
carrete cilíndrico de masa M=5 kg, y radio R=0.1 m que rueda sin deslizar a lo
largo de un plano inclinado 30º (véase la figura).
a) Relacionar la aceleración del bloque y del centro de masas del cilindro.
b) Calcular la aceleración del centro de masas del cilindro y las tensiones
de las cuerdas.
c) Calcular la velocidad del centro de masas del cilindro cuando ha
descendido 3 m a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo
Junio de 2010118FLORENCIO PINELA - ESPOL
Un bloque y un cilindro de 2 y 8 Kg respectivamente, están unidos por un hilo
inextensible y sin peso que pasa por una polea en forma de disco de 0.5 Kg
de masa y 20 cm de radio, situada en la unión de dos planos inclinados de
30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el
bloque y el plano es de 0,2 y que el cilindro rueda sin deslizar. Calcular:
• La(s) tensión(es) de la cuerda y la aceleración del sistema
• La velocidad de los cuerpos cuando se han desplazado 2 m a lo largo de los
planos, sabiendo que parten del reposo. Calcular por dos procedimientos este
apartado comprobando que se obtienen los mismos resultados
Junio de 2010119FLORENCIO PINELA - ESPOL
Un bloque de 6 kg y una esfera de 10 kg están unidos por un hilo inextensible y
sin peso que pasa a través de una polea en forma de disco de 2 kg de masa.
La esfera rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º.
Hallar
· La(s) tensión(es) de la cuerda.
· La aceleración del sistema
• La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m
partiendo del reposo (emplear dos procedimientos para el cálculo de este
apartado). Dato, el momento de inercia de la esfera es 2/5 mr2.
Junio de 2010120FLORENCIO PINELA - ESPOL
En la figura se muestra un cilindro de 4.5 kg de masa que rueda sin deslizar, a
lo largo de un plano inclinado 42º con la horizontal. El centro del cilindro está
unido mediante una cuerda al borde de una polea en forma de disco de 2.2 kg
de masa y 85 mm de radio. Sabiendo que en el eje de la polea existe un
rozamiento cuyo momento es de 1.3 Nm. Calcular:
• La aceleración del cilindro y la tensión de la cuerda.
• La velocidad del bloque una vez que haya descendido 3 m a lo largo del plano
inclinado, partiendo del reposo (emplear los dos procedimientos de cálculo para
este apartado, comprobando que salen los mismos resultados).
Junio de 2010121FLORENCIO PINELA - ESPOL
Dos discos iguales de masa m y radio R, están dispuestos como se indica en
la figura. Calcular
• La aceleración del c.m. del disco inferior
• La velocidad del c.m. del disco inferior cuando ha descendido x metros
partiendo del reposo (efectuando el balance energético)
Junio de 2010122FLORENCIO PINELA - ESPOL
Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a
un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco
hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200
g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura.
¿Qué principio físico aplicas?. Razona la respuesta
Calcular:
La velocidad angular del disco después del disparo
El sentido en que gira.
Junio de 2010123FLORENCIO PINELA - ESPOL
Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se
indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg
de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad
angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del
sistema. Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m
del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta
que salen por los extremos. Calcular:
a) la velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se
encuentran en los extremos de la varilla. Qué principio físico aplicas?. Por
qué?.
b) Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.
Datos: momento de inercia de una esfera y de la varilla
Junio de 2010124FLORENCIO PINELA - ESPOL
Vamos a aplicar el principio de conservación de la
cantidad de movimiento angular
I1
I2
1 2 1 1 2 2L L I I
22 2 2
1
1 22 4,19
12 5 16
lI ml Mr M kg m
22 2 2
2
1 22 13,19
12 5 4
lI ml Mr M kg m
12 1
2
4,194 3,99 /
13,19
Irad s
I
Junio de 2010125FLORENCIO PINELA - ESPOL
21
2 IK L
(using L = I )
Como L es constante, podemos calcularlo de la condición inicial: L= I11
1
2
330,8
105
K J
K J
Junio de 2010126FLORENCIO PINELA - ESPOL