7/24/2019 Diseo a flexion de una vigatipo Aashto
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Universidad de Guanajuato
Ingeniera Civil
Guanajuato, Gto a 29 de octubre, 2014
Diseo a momento flexionante de
vigas Aashto reforzadas.Concreto I
Javier Olaf Ruiz Ornelas.
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Problemtica
Calcular el refuerzo de acero de una viga de seccin tipo aashto con un porcentaje de
acero determinado y obtener el momento resistente a flexin de dicha viga.
Consideraciones
Las varillas de refuerzo debern estar espaciadas lo ms uniformemente posible
alrededor del permetro de la seccin, teniendo al menos una varilla de refuerzo en cada
uno de los cambios de direccin de la seccin transversal como se muestra en la figura
siguiente:
Las varillas propuestas para refuerzo, no debern estar separadas ms de 20 cm entre
stas, teniendo una distribucin final similar a la mostrada en la siguiente figura:
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Se podr concentrar acero de refuerzo adicional en los patines superior e inferior para
tener la cuanta de acero de refuerzo que se solicita. La separacin libre mnima permitida
ser de 5 cm.
Procedimiento
Las hiptesis que se utilizaran en el diseo sern las siguientes:
1. Las deformaciones a flexin son proporcionales al eje neutro.
2. Las secciones planas antes de la deformacin permanecen planas despus de la
deformacin.
3. La falla del elemento a flexin se alcanza a una deformacin unitaria ltima cu
igual a .003
4. No hay deslizamiento relativo entre el concreto y el acero de refuerzo
5. El acero de refuerzo tiene un comportamiento elstico-plstico perfecto.
6. El acero a compresin tiene la misma curva esfuerzo deformacin que a tensin.7. El concreto no resiste esfuerzos a tensin.
8. El bloque real de esfuerzo de compresin en el concreto se substituye por un
bloque rectangular equivalente.
Previamente debemos conocer fc (resistencia del concreto a compresin), y fy ( esfuerzo
de fluencia del acero).
Introduciendo como porcentaje de acero o cuanta de acero definido como:
Donde:
As=rea de acero de refuerzo
Ac=rea de la seccin de concreto
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3Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Eje Neutro.
Definimos el eje neutro como el eje de una seccin donde no se presentan esfuerzos de
tensin ni de compresin y por lo tanto no hay deformaciones, este eje es el que separa
las fuerzas de compresin y las de tensin. El eje neutro de la seccin aashto se muestra
en la figura siguiente:
Para calcular el rea de concreto que estar a compresin necesitamos conocer que
fuerza provocaran las varillas, se analiza la figura siguiente:
La distancia d ser el brazo de palanca que ocasionara la varilla de acero. Para conocer
la fuerza que ocasionara ste refuerzo necesitamos conocer la deformacin que ocurre en
ella.
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Con la hiptesis no.3 podemos construir el siguiente bloque de deformaciones.
Donde:
cu=0.003 (Hiptesis no. 3)
Por tringulos semejantes podemos realizar: + Y despejando s
+
Podemos observar que si d>c la deformacin ser positiva, ser el refuerzo que estar atensin y si d
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5Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Si el fs encontrado es mayor del esfuerzo de fluencia del acero utilizado (fy), este se
mantiene como fydebido a que necesitamos tener el acero en cuestin fluyendo.
Teniendo esto podemos calcular la fuerza que ocasiona el acero:
Y por ltimo calculamos el momento que ocasionar:
Este anlisis se hace para cada varilla utilizada para reforzar la viga, resultando una tabla
similar a:
Esfuerzos y deformaciones en el acero de refuerzo
Varilla d as es fs Fuerza Momento
(cm) (cm) (kg/cm) (kg) (kg-cm)
1 42.5 2.8502 0.00073317 1466.33624 4179.39492 177624.284
2 42.5 2.8502 0.00073317 1466.33624 4179.39492 177624.284
3 31.5 2.8502 -0.00023306 -466.127256 -1328.56969 -41849.9452
4 31.5 2.8502 -0.00023306 -466.127256 -1328.56969 -41849.9452
5 53.5 2.8502 0.0016994 3398.79974 9687.35952 518273.734
Segn el American Concrete Institute (ACI) la capa de acero ms cercana a la cara de
tensin de concreto tiene que tener por lo menos una deformacin de 0.004para asegurar
que el refuerzo no exceda la cuanta mxima.
Adems las Normas Tcnicas Complementarias especifican que la cuanta mnima estar
dada por la frmula:
Nota: Al calcular el refuerzo que se utilizara se debe verificar que los dos parmetros
anteriores se cumplan.
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6Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Ahora se analiza la siguiente figura:
Para que exista equilibrio en la estructura las fuerzas de compresin deben ser iguales a
las fuerzas de tensin, esto es:
+ El rea sombreada es la que est a compresin, el bloque de esfuerzos de la seccin
achurada se asemeja al de una parbola y siguiendo la hiptesis no. 8 este se cambia por
un bloque equivalente de esfuerzos rectangular, multiplicando el eje neutro c por un
parmetro de relacin de esfuerzos definido como:
0.65 1.051400 .85 .80
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7Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Si est fuera de estos valores se utiliza el valor ms cercano entre estos dos lmites.
El rea sin achurar es el rea a tensin del concreto, siguiendo la hiptesis no. 7 esta sedesprecia.
Se necesita calcular el rea de concreto que estar a compresin y dado que la seccin a
analizar no tiene una geometra constante, como es por ejemplo una seccin rectangular,
y por lo tanto se tienen que hacer ciertas consideraciones especiales. Si se observa la
seccin siguiente es fcil analizar que la figura consiste en cinco reas compuestas y en
base a esto consideramos 5 casos:
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8Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
1er caso:
a es menor o igual que h1
En este caso el rea de concreto a compresin es un rectngulo, y el rea se calcula con
la frmula:
Y su centroide se calcula con:
2
El centroide calculado en este caso y en los dems ser el brazo de palanca que ejerza el
concreto en el lecho superior de la viga
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
2do caso:
a es menor o igual que h1 + h2
En este caso se tienen dos reas analizar, un rectngulo y un trapecio, el primer
mencionado se calcula con la frmula:
Y su centroide se calcula con:
2 Para calcular el rea primero se necesita conocer la base menor del trapecio, debido a
que aes variable la base menor estar en funcin de la ecuacin de la recta, si tomamos
un eje y ponemos las coordenadas de los puntos como se observa en la figura siguiente:
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Con estos puntos podemos calcular la ecuacin de la recta:
02 2 2 2 2Despejamos x:
2 +2 La base menor ser dos veces lo anterior encontrado:
+En este caso y=a-H1, por lo tanto
+
Y se calcula el rea del trapecio:
+ + 2
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
El centroide ser:
2 + +
3 [ + + ] +
El rea total ser la suma las reas:
+ Y el centroide de las figuras ser:
+ 3er caso:
a es menor o igual a H1+H2+H3
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Tenemos 3 reas a considerar, un rectngulo, un trapecio y un rectngulo nuevamente.
El rea de un rectngulo es:
Y su centroide
2 El rea del trapecio se calcula con:
+ 2 Su centroide:
2+3+ +
Y el rea del segundo rectngulo es:
( +) Con centroide:
+ +
2
El rea total ser:
=
Y su centroide:
= =
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3Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
4to caso:
a es menor o igual que H1+H2+H3+H4
En este caso tendremos 4 reas, 2 rectngulos y 2 trapecios
El rea del primer rectngulo es:
Y su centroide
2 El rea del trapecio se calcula con:
+ 2 Su centroide:
2+3+ +
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
El rea del segundo rectngulo se calcula con:
Con centroide:
2+ +Para la ltima rea se tiene que hacer algo parecido al caso 2, tomamos el origen y las
coordenadas como se muestra en la siguiente figura:
Se calcula la ecuacin de la recta con los puntos mostrados:
02 2 2 2 2
Despejamos x:
2 +2
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5Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
La base mayor del trapecio ser dos veces lo encontrado:
+Para este caso y=a-(H1+H2+H3), por lo tanto:
a H+H+H +Y el rea ser:
a H+ H+H
+ + 2 a H+ H+ H
Con centroide:
2 + (a H+ H+ H) +
3 + (a H+ H+ H) + (a H+ H+ H)
Y se aplica de nuevo:
=
= =
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6Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
5to caso
a es menor o igual que (H1+H2+H3+H4)
Se tienen 5 reas
Para la primera rea
2
Para la segunda rea:
+
2
2+3+ +Para la tercera rea:
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7Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
2+ +Para la cuarta rea:
+2
+++2+3+ Para la quinta rea:
+++ ++++2
Y finalmente:
=
= = La fuerza de compresin del concreto C se calcula con:
.85
Siendo A el rea calculada utilizando algn caso anteriormente propuestos (1-5).
Estas fuerzas estn en funcin del eje neutro calculado y se recomienda el uso de hojas
del clculo para encontrarlo.
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8Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Por ltimo se hace la suma del momento causado por todas las varillas y el rea de
concreto a compresin y este ser el momento resistente de la seccin:
+ Donde:
Ms=Momento causado por el acero
Mc=Momento causado por el concreto
Es importante mencionar que el momento causado por el concreto ser negativo, por sera compresin.
Este momento se multiplica por un factor de reduccin por cuestiones de seguridad
Fr=0.9, por cuestiones imprevistas que no se haya contemplado en el clculo del
momento que debe resistir:
0.9 Se realizan el procedimiento anteriormente expuesto, para determinar el momento
resistente a flexion de una viga Aashto con una resistencia de compresin simple (fc)de
300 Kg/cm, un esfuerzo de fluencia del acero (fy) de 4200 Kg/cm2y una cuanta de 5%,
para la siguiente figura:
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
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Concreto I
Ingeniera Civil
Javier Olaf Ruiz Ornelas
Viga tipo II
= 5%
Dimensiones viga asshto
B1 30 cm
B2 15 cm
B3 45 cm
H1 15 cm
H2 8 cm
H3 38 cm
H4 15 cm
H5 15 cmHT 91 cm
Acero de refuerzo
Materiales # x (cm) y (cm)
f'c = 300 kg/cm 1 6 4 3
fy = 4200 kg/cm 2 6 -4 3
Es = 2000000 kg/cm 3 6 4 14
4 6 -4 14
f*c = 240 kg/cm 5 6 4 -8
f"c = 204 kg/cm 6 6 -4 -8
7 8 4 24
Seccion 8 8 -4 24x (cm) y(cm) 9 6 0 32
7.5 0 10 8 11 32
7.5 22.5 11 8 -11 32
15 30.5 12 8 0 42
15 45.5 13 8 11 42
-15 45.5 14 8 -11 42
-15 30.5 15 8 4 -18
-7.5 22.5 16 8 -4 -18
-7.5 0 17 8 11 -25
-7.5 -15.5 18 8 -11 -25
-22.5 -30.5 19 8 0 -32
-22.5 -45.5 20 8 18 -32
22.5 -45.5 21 8 -18 -32
22.5 -30.5 22 8 0 -42
7.5 -15.5 23 8 9 -42
7.5 0 24 8 -9 -42
25 8 18 -42
26 8 -18 -42
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Concreto I
Ingeniera Civil
Javier Olaf Ruiz Ornelas
Aconcreto 2325 cm
Aacero 116.28 cm
5.00%
-60
-40
-20
0
20
40
60
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
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Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Diseo a momento flexionante de vigas Aashto reforzadas.
Concreto I
Ingeniera Civil
Javier Olaf Ruiz Ornelas
Eje Neutro c
=34.1532971 cm
= 0.85
a = 29.0303025 cm
Centroide= 12.5867602
Esfuerzos y deformaciones en el acero de refuerzo
Varilla d as es fs Fuerza Momento
(cm) (cm) (kg/cm) (kg) (kg-cm)
1 42.5 2.85022957 0.00073317 1466.33624 4179.394917 177624.284
2 42.5 2.85022957 0.00073317 1466.33624 4179.394917 177624.2843 31.5 2.85022957 -0.00023306 -466.127256 -1328.569688 -41849.94516
4 31.5 2.85022957 -0.00023306 -466.127256 -1328.569688 -41849.94516
5 53.5 2.85022957 0.0016994 3398.79974 9687.359522 518273.7344
6 53.5 2.85022957 0.0016994 3398.79974 9687.359522 518273.7344
7 21.5 5.06707479 -0.00111146 -2222.91225 -11263.66264 -242168.7469
8 21.5 5.06707479 -0.00111146 -2222.91225 -11263.66264 -242168.7469
9 13.5 2.85022957 -0.00181417 -3628.34025 -10341.60268 -139611.6361
10 13.5 5.06707479 -0.00181417 -3628.34025 -18385.07143 -248198.4643
11 13.5 5.06707479 -0.00181417 -3628.34025 -18385.07143 -248198.4643
12 3.5 5.06707479 -0.00269256 -4200 -21281.71412 -74485.99943
13 3.5 5.06707479 -0.00269256 -4200 -21281.71412 -74485.99943
14 3.5 5.06707479 -0.00269256 -4200 -21281.71412 -74485.99943
15 63.5 5.06707479 0.00257779 4200 21281.71412 1351388.847
16 63.5 5.06707479 0.00257779 4200 21281.71412 1351388.847
17 70.5 5.06707479 0.00319267 4200 21281.71412 1500360.846
18 70.5 5.06707479 0.00319267 4200 21281.71412 1500360.846
19 77.5 5.06707479 0.00380754 4200 21281.71412 1649332.844
20 77.5 5.06707479 0.00380754 4200 21281.71412 1649332.844
21 77.5 5.06707479 0.00380754 4200 21281.71412 1649332.844
22 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986
23 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986
24 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986
25 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.98626 87.5 5.06707479 0.00468593 4200 21281.71412 1862149.986
facero 146972.726 Macero 19926539.94
fconcreto -146972.726 Mconcreto -1849910.453
f -1.8807E-07 M 18076629.48
Mr 162.6896654 ton-m
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