8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
1/16
VISOKA ŠKOLA ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA
Seminarski rad iz Verovatnoće i statistike
DISKRETNA SLUČANA !RO"ENLIVA
#eo$rad% &an'ar ()*+, $od,
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
2/16
SADRŽAJ
*, UVOD,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,*
(, SLUČANA !RO"ENLIVA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(
-, DISKRETNA SLUČANA !RO"ENLIVA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(
+, !RI"ERI NEKIH RAS!ODELA DISKRETNIH SLUČANIH !RO"ENLIVIH,,,,.
+,* #INO"NA RAS!ODELA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.
+,( HI!ER/EO"ETRISKA RAS!ODELA H(N, N1,n),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0
+,-, !UASONOVA RAS!ODELA% !1λ
2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3
., 4UNK5IA RAS!ODELA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,**
0, LITERATURA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,*-
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
3/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
1. UVOD
Teorija verovatnoće je matematička disciplina koja se babi izučavanjem slučajnih
pojava, tj. takvih fenomena čiji ishodi nisu uvek strogo definisani. Osnovni model u teoriji
verovatnoće je eksperiment (opit) pomoću koga se u prirodi i drutvu vri proučavanje veze
izme!u uzroka i posledice. "a ishod eksperimenta obično utiče vie uslova. #ko se eksperient
ponavlja mnogo puta pod istim kompleksom uslova, pojavljuje se odre!ena zakonomernost u
skupu ishoda. Teorija verovatnoće se bavi tim zakonitostima uvo!enjem odre!ene
kvantitativne mere u obliku realnog nenegativnog broja $ verovatnoće, kojim se procenjuje
mogućnost, odnosno nemogućnost nastupanja ishoda.
%očetak razvoja teorije verovatnoće se vezuje za &' vek i za imena francuskih
matematičara %askala i ermata. Oni su proučavali problem vezan za jednu kockarsku igru, i
ova njihova studija iz *+-. godine obično se smatra početkom teorijskog razvoja
verovatnoće. Ona je dugo bila usko povezana sa problemima hazardnih igara i praktičnih
probčema na bazi empirijsko $ intuitivnih motivacija. Tek posle *//. godine, kada je ". #.
0olmogorov objavio rad u kojem je izlo1io osnovne postavke aksiomatske zasnovanosti
teorije verovatnoće, teorija verovatnoće razvija se kao moderna matematička discilina koja se
ne oslanja samo na empirijske i intuitivne motive, već na jednu formalno $ logičku teoriju
povezanu sa drugim matematičkim pojmovima. 2anas je teko naći neku naučnu disciplinu ili
čovekovu delatnost koja se mo1e konkretno izučavati bez primene teorije verovatnoće i
matematičke statistike, koja je zasnovana na teoriji verovatnoće.
Slika 1.1. Fermat (1601-1665)
i Paskal (16! " 166)
1
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
4/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
2. SLUČAJNA PROMENLJIVA
Definicija3 4lučajna promenljiva je funkcija koja svaki elementarni doga!ajstatističkog eksperimenta preslikava u jedan realan broj, kome se pridru1uje verovatnoća
jednaka zbiru verovatnoća pojavljivanja svih elementarnih doga!aja koji se u njega
preslikavaju.
%rimer3 #ko bacamo novčić dva puta imamo da je Ω 6 5%%, %6, 6%, 667. #ko jeslučajna promenljiva # broj registrovanih pisama tada je
# (%%) 8 9, # (6%) 8 *, & (%6) 8*, # (66) 8 :
4lučajna promenljiva # 8 5:,*,97, a njene konkretne realizacije su $1 8 :, $ 8 *, $! 8 9.
4kup svih realnih brojeva na koji se preslikava skup svih elementarnih doga!aja (4)
obele1avamo velikim slovima #% &% ' ;, i vrlo često se sam taj skup svih slika slučajne
promenljive naziva tako!e slučajna promenljiva. 0onkretne realizacije slučajne promenljiveobele1avaćemo malim slovima $% % ,;, tako da kad napiemo # * $, to znači da je slučajna
promenljiva # uzela vrednost $.
4lučajna promenljiva mo1e biti diskretna (prekidna) i neprekidna (kontinualna).
%odela se vri u zavisnosti da li slučajna promenljiva uzima vrednosti u konačnom,
prebrojivom ili neprebrojivom skupu vrednosti.
3. DISKRETNA SLUČAJNA PROMENLJIVA2iskretna slučajna promenljiva # nad skupom elementarnih doga!aja + (prostorom
verovatnoće) je funkcija koja svakom slučajnom doga!aju , iz + dodeljuje jedan od brojeva
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
5/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
čine raspodelu verovatnoa slučajne promenljive & ili !a"on raspodele diskretneslučajne promenljive &.
#a"on raspodela verovatnoća slučajne promenljive je pravilo po kome svakojvrednosti slučajne promenljive # pridru1ujemo odgovarajuću verovatnoću p. =akonom
raspodele, ukupna verovatnoća, koja je jednaka *, raspodeljena je na pojedine vrednosti
slučajne promenljive.
> prethodnom primeru bacanja novčića, raspodela verovatnoća bi bila
: * 9
* * *
- 9 -
÷ ÷
.
?aspodela verovatnoće slučajne promenljive # grafički se mo1e predstaviti poli$onomraspodela verovatnoe ili dija$ramom raspodela verovatnoe.
!o7i$on ras8ode7a verovatnoće se dobija spajanjem tačaka ( $i %pi) i 8 *, 9,..., n ukoordinatnom sistemu na čijoj apscisi se nanose vrednosti $i slučajne promenljive # , a na
ordinati odgovarajuće verovatnoće pi, kao na slici 9.*.
Slika !.1. Poli/on raspoele verovatnoa
2ijagram raspodela verovatnoće dobija se spajanjem tačaka ( $i,:) i (:, pi ) i8*, 9,..., n u
koordinatnom sistemu na čijoj se apscisi nanose vrednosti $i slučajne premenljive # , a na
ordinati odgovarajuće verovatnoće pi kao na slici 9.9.
3
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
6/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
Slika !.. Dija/ram raspoele verovatnoe
%oligon raspodele verovatnoća za primer bacanja novčića izgleda kao na slici 9./.
Slika !.!. Poli/on raspoele verovatnoa
2ok je dijagram raspodele dat na slici 9.-.
4
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
7/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
Slika !.2. Dija/ram raspoele
2iskretna slučajna promenljiva potpuno je zadata ako je poznat3
o skup svih vrednosti¡
# 8 5 $1 % $,..7 koje mo1e da uzme slučajna promenljiva # @
o skup odgovarajućih verovatnoća pk * P ( # * $k ) ( k * 1% %3).
4. PRIMERI NEKIH RASPODELA DISKRETNIH SLUČAJNIHPROMENLJIVIH
4.1 BINOMNA RASPODELA
%retpostavimo da nAputa pokuavamo da realizujemo doga!aj , i da je verovatnoća
uspene realizacije ovog doga!aja u svakom pokuaju ista i iznosi p. "aravno, tada je iverovatnoća nerealizacije doga!aja , u svakom pokuaju ista i iznosi *A p.
"ad ovim eksperimentom definiimo slučajnu promenljivu # kao Bbroj uspenih
realizacija doga!aja , u n pokuaja pri ovakvim uslovimaC. "a!imo raspodelu verovatnoća
ove slučajne promenljive.
'rednosti koje ova slučajna promenljiva & mo1e uzeti su 3
# 8 i, i 8 :, *, 9,..., n, gde je sa # 8 i označeno da se doga!aj , realizovao tačno i
puta u n pokuaja, odnosno P(# * i)% nalazimo sledećim rasu!ivanjem3
5
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
8/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
Dedna od mogućih elemenatrnih realizacija ovog eksperimenta, kod koje se doga!aj ,
realizovao tačno i puta u n pokuaja, jeste da se doga!aj , realizovao u prvi% i po"u&aja, anije reali!ovao u preostali% n'i pokuaja. 'erovatnoća ove elementarne realizacije je3
. ...
i
p p p1 2 3
.
*
(* ).(* )...(* )
n
p p p
−
− − −1 4 4 4 2 4 4 4 3
8 pi. (*A p)nA* .
%ostoji
n
i
÷
različitih elementarnih realizacija kod kojih se doga!aj , realizovao tačno
i puta u n pokuaja i svaka od njih ima istu verovatnoću jednaku pi. (* A p)n-i .
'erovatnoća da se doga!aj , realizovao tačno i puta u n pokuaja jednaka je zbiru
verovatnoća svih ovih elementarnih realizacija, odnosno
P ( # 8 i) 8
ni
÷
pi . (* A p)nAi , i8:,*,9,..., n.
Ovakva raspodela slučajne promenljive se naziva inomna raspodela. 0ao to smo videli,zavisi od dva paramentra3 jedan je broj pokuaja realizacije doga!aja (n), a drugi je
verovatnoća uspene realizacije doga!aja u svakom pojedinačnom pokuaju ( p).
0ada slučajna promenljiva # podle1e zakonu Einomne raspodele sa parametrima n i p, to
zapisujemo3 # : 4(n% p) ⇒ P(# * i) 8
n
i
÷
pi . (* A p)nAi , i8:,*,9,..., n.
%arametri slučajne promenljive # 4(n% p) 3
6
Fatematičkoočekivanje (#) * n . p
'arijansaσ
9(#) 8 n . p . (* A p)
4tandardna
devijacijaσ
(#) 8
( )*n p p× × −
0oeficijent
simetrijeα
/(#) 8( )
* 9
*
p
n p p
− ×
× × −
0oeficijent
spljotenostiα
- 8 / A
+
nG
( )
*
*n p p× × −
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
9/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
!rimer 4trelac ga!a u metu *: puta. 'erovatnoća da pogodi metu je u svakom pokuaju istai iznosi p8:.H. "aći verovatnoću da je pogodio tačno I puta.
?eenje3
4lučajna promenljiva # definisana kao Bbroj pogodaka u *: pokuaja pod ovim uslovimaJ,
podle1e zakonu Einomne raspodele sa parametrima n8*: i p8:.H.
# 4(*:,:.H), pa je P ( # 8 I) 8
*:
I
÷
. :.HI . :./9
4.2 HIPERGEOMETRIJSKA RASPODELA H(N, N1,n)
=amislimo sledeći statistički eksperiment3
%roizvoljan skup sadr1i 7 elemenata, od kojih 7 1 elemenata ( 7 1K 7 ) ima osobinu ,. z
takvog skupa na slučajan način biramo n elemenata bez ponavljanja (nK 7 ).
"ad ovim eksperimentom definiemo slučajnu promenljivu # kao Bbroj izabranihelemenata koji imaju osobinu , pri ovakvim uslovimaJ. "a!imo raspodelu verovatnoća ove
slučajne promenljive.
'rednosti koje ova slučajna promenljiva # mo1e uzeti su # 8 i, gde i mo1e uzeti bilo
koju celobrojnu vrednost iz zatvorenog intervala
Lma
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
10/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
0ako od 7 1 elemenata mo1emo izabrati i elemenata bez ponavljanja na
7
i
÷
različitih načina,
a od 7-7 1 elemenata mo1emo izabrati n-i elemenata bez ponavljanja na
* 7 7
n i
− ÷−
različitih
načina, to je po pravilu proizvoda na doga!aj interesa odra!en sa
7
i
÷
.
* 7 7
n i
− ÷−
elementarnih doga!aja.
Tako da, po klasičnoj definiciji verovatnoće, verovatnoća da u n ovako izabranih
elemenata ima tačno i sa osobinom ,, iznosi
P(# * i) 8
* 7 7 7
i n i 7
n
− × ÷ ÷
− ÷
gde i mo1e uzeti bilo koju celobrojnu vrednost iz zatvorenog inervala
Lma
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
11/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
Eroj dečaka u *: slučajno izabranih učenika iz ovog odeljenja podle1e raspodeli
8 (/:,*I,*:), pa je verovatnoća da je me!u tih *: učenika tačno H dečaka jednaka
*I *9
H /
/:*:
× ÷ ÷
÷
.
4.3. PUASONOVA RASPODELA, P(λ
)
4lučajna promenljiva # ima %uasonovu raspodelu verovatnoća, %(
λ
), ukoliko je njenaraspodela verovatnoća odre!ena sledećim zakonom raspodele3
P(# * i)* e-λ
O
Oi
λ ×
,λ
8 const P :, i 8 :,*,9,....
%uasonova raspodela verovatnoća je granični slučaj Einomne raspodele u slučaju kada
je, za fiksirano i% n→ ∞
i p→
0% ali tako da je n . p*constP: .
limn→∞
4(n%p) 8
limn→∞
n
i ÷
pi . (* A p)n-i 8
limn→∞
( *) ( *)
O
n n n i
i
× − ×××× − iin
λ × *n i
nλ
−
− ÷
8
8
limn→∞
** 9 *
* * * * ( )O O
*
n
i i
i
nie P
i n n n i
n
λ
λ
λ λ λ
λ
−
− ÷ − × × − × − ××× − × = × = ÷ ÷ ÷
− ÷
jer je
limn→∞
*
n
n
λ − ÷
8
e λ −
.
z ovoga zaključujemo da se Einomna raspodela mo1e za veliko n i malo p, u slučaju
kada je n . p8onst , dosta dobro aproksimirati %uasonovom, koja je laka za izračunavanje.
6reka koja se pri tome čini se već za pK:.* i nP: mo1e zanemariti. 0ako je p blisko nuli,
%uasonova raspodela opisuje doga!aje čija je verovatnoća pojavljivanja veoma mala, odnosno
tzv. retke doga!aje.
%uasonova raspodela ne slu1i samo za aproksimaciju Einomne raspodele, već i za
odre!ivanje verovatnoće broja javljanja nekog doga!aja u prostoru i vremenu. Ovi doga!aji
9
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
12/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
nisu doga!aji definisani kao podskup nekog statističkog eksperimenta, već doga!aji koji
zadovoljavaju sledeće uslove3
o broj javljanja doga!aja je nezavisan od jedne do druge jedinice vremena ili
tačke prostora@o verovatnoća istovremenog javljanja dva ili vie doga!aja u sasvim malom
vremenskom ili prostornom intervalu je zanemarljivo mala@
o verovatnoća javljanja doga!aja je proporcionalna du1ini odre!enog vremenskog ili
prostornog intervala.
To su, na primer, doga!aji, broj telefonskih poziva u nekom vremenskom intervalu,
broj čestica emitovanih od neke radioaktivne supstance, broj tamparskih greaka po stranici
neke knjige i sl.
"aime, neka je slučajna promenljiva # 1 Bbroj pojavljivanja nekog doga!aja u intervalu
L:,t MJ. %odelimo interval L:,t M na n intervala jednakih du1ina
t
n. #ko zamislimo da je n veliko,
onda je3
• broj javljanja doga!aja nezavistan od jednog do drugog intervala@• verovatnoća istovremenog javljanja dva ili vie doga!aja u jednom intervalu je
zanemarljiva@
• verovatnoća da se u nekom intervalu ostvari jedan doga!aj, obele1imo je sa p,
ista je za svaki interval i va1i da kada n
→ ∞tada p
→
0. Tako!e, taverovatnoća je direktno proporcionalna du1ini intervala, odnosno obrnuto
proporcionalna broju intervala n, to jest mo1emo pisati p 8n
λ
,λ
8 constP:,
gde parametarλ
na neki način karakterie intenzitet protoka doga!aja.
"eka je ,i, i 8 *,9,...,n, doga!aj da se u iAtom intervalu pojavi posmatrani doga!aj.
Tada su, na osnovu gore navedenog, doga!aji ,i, i 8 *,9,...,n, nezavisni sa jednakim
verovatnoćama
P ( ,i) 8 p 8n
λ
λ
8 constP: i 8 *,9,...,n.
4lučajna promenljiva # t Bbroj pojavljivanja nekog doga!aja u intervalu L:, t )J, sada je
identična slučajnoj promenljivoj Bbroj realizacija doga!aja ,i , i 8 *,9,...,n J, a ona, kao to
znamo, pod ovim uslovima podle1e zakonu Einomne, 4(n%p), raspodele. 2akle, # t 4(n% p).
10
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
13/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
#ko povećamo preciznost registrovanja doga!aja, to jest dozvolimo da n→ ∞
% tada
p 8n
λ
→0, ali p . n 8
λ
8 constP:, pa tada va1i
# t
limn→∞
4(n%p) 8
( ) P λ
.
uasonova raspodela zavisi samo od jednog parametraλ
, koji u slučaju
aproksimacije Einomne raspodele %uasonovom iznosiλ
6 n , 8, a u slučaju predstavljanja protoka nekog doga!aja u nekom prostornom ili vremenskom intervalu, predstavlja oče"ivani *roj ponavljanja ne"o$ do$a+aja u tom posmatranom prostornom ili vremenskom interavalu.
0ada slučajna promenjiva & podle1e zakonu %uasonove raspodele sa parametromλ
,
to zapisujemo # : ( ) P λ
.
%arametri slučajne promenljive #
( ) P λ
3
!rimer3 > telefonskoj centrali utoku jednog sata bilo je +: poziva. zračunati verovatnoću da u toku dva minuta nije bilo
nijednog poziva.
?eenje3
11
Fatematičkoočekivanje (#) * λ
'arijansaσ
9(#) 8λ
4tandardna
devijacijaσ
(#) 8λ
0oeficijent
simetrije
α
/(#) 8
*
λ
0oeficijent
spljotenostiα
-(#)* !9
*
λ
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
14/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
Obele1imo sa & slučajnu promenljivu broj poziva u toku dva minuta. Očekivani broj
poziva u toku dva minuta jeλ
8
+:
/:8 9, pa je verovatnoća da u toku dva minuta nije bilo
nijednog poziva jednaka3
P(# * 0) 8 eA9 .
:9
:O8 eA9 .
5. FUNKIJA RASPODELA
#ko slučajna promenljiva # mo1e da uzme konačan broj vrednosti $1, $, ..., $n sa
verovatnoćama p1% p,..., pn, gde je*
n
i
i
p=
∑8 *, ili beskonačan broj vrednosti $1, $, ..., $n,..., sa
verovatnoćama p1% p,..., pn,..., gde je*
n
i
i
p=
∑8 *, onda verovatnoća da ta slučajna promenljiva
bude manja od neke realne vrednosti $% predstavlja vrednost fun"cije raspodele verovatnoate slučajne promenljive u tački $ i obele1ava se sa (-).
2akle, funkcija raspodele verovatnoća (-) slučajne promenljive # je realna funkcija( ) $ F $→
, definisana sa3
( ) F $
8 P(# : $)% $− ∞ < < ∞
.
Na8omena. > nekim ud1benicima funkcija raspodele verovatnoća definie se kao( ) F $
8 P(# ≤ $)
12
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
15/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
z definicije funkcije raspodele
( ) F $
, zaključujemo da va1i sledeće3
( ) F $
8i
i
$ $
p<∑
, odnosno
F($) 8
*
* * 9
* 9 9 /
* 9 * *
:
*
n n n
n
$ $
p $ $ $
p p $ $ $
p p p $ $ $
$ $
− −
≤ ÷< ≤ ÷ ÷+ < ≤ ÷ ÷ ÷+ + + < ≤ ÷ ÷
8/17/2019 Diskretna slucajna promenljiva
16/16
„Diskretna slučajna promenljiva“
/) unkcija raspodele diskretne slučajne promenljive je neopadajuća funkcija, tj.
va1i3
( , )a ;∀ ∈R a K ;
( ) ( ) F a F ;⇒ ≤.
rimer 3 "aći funkciju raspodele verovatnoća slučajne promenljive Bbroj pojavljivanja BpismaJ u bacanju dva novčićaJ i predstaviti je grafički.
Re&enje3
F(x) 8
: :
*: *
-
/* 9
-
* 9
$
$
$
$
≤ ÷ ÷< ≤ ÷ ÷
< ≤ ÷
÷ ÷