PGMEC PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
CISALHAMENTO SIMPLES EM MATERIAL
HIPERELÁSTICO SUBMETIDO A GRANDES
DEFORMAÇÕES
ALEXANDRE LUIZ PEREIRA
JUNHO DE 2013
ALEXANDRE LUIZ PEREIRA
CISALHAMENTO SIMPLES EM MATERIAL HIPERELÁSTICO SUBMETIDO A GRANDES
DEFORMAÇÕES
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya
de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da
UFF como parte dos requisitos para a obtenção
do Grau de Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica
Orientador: Prof. Luiz Carlos da Silva Nunes (PGMEC/UFF)
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE NITERÓI, 25 DE JUNHO DE 2013
CISALHAMENTO SIMPLES EM MATERIAL HIPERELÁSTICO SUBMETIDO A GRANDES
DEFORMAÇÕES
Esta Dissertação é parte dos pré-requisitos para a obtenção do grau de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos
Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Prof. Luiz Carlos da Silva Nunes (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense PGMEC/UFF (Orientador)
Prof.ª Ângela Cristina Cardoso de Souza (D.Sc.) Universidade Federal Fluminense
PGMEC/UFF
Prof. Silvio Romero de Barros (D.Sc.) Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
CEFET/RJ
Agradecimentos
A Deus, por minha família e pela oportunidade de estudar na UFF;
Ao meu orientador, Professor Dr. Luiz Carlos da Silva Nunes, pelos ensinamentos técnicos
transmitidos;
A toda equipe do LMTA;
À memória dos meus avós, por cada ensinamento;
Ao meu filho, por sua existência e admiração;
A minha companheira, pela compreensão;
A todos os professores do PGMEC/UFF;
A todos aqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para mais esta etapa de minha
carreira acadêmica.
RESUMO O objetivo principal deste trabalho é estudar o comportamento mecânico do
Polidimethilsiloxano (PDMS) submetido a grandes deformações, considerando a condição de
deformação por cisalhamento simples. A análise teórica foi desenvolvida utilizando o
conceito de energia de deformação, uma vez que o PDMS pode ser considerado como um
material hiperelástico. Os dados experimentais da tensão cisalhante em função da deformação
angular foram obtidos a partir de um ensaio de cisalhamento simples baseado em juntas
colada simples. Neste processo, os valores de deformação angular foram obtidos através dos
campos de deslocamentos, que por sua vez, foram determinados usando o Método de
Correlação de Imagem Digital (DIC). Tal método envolve um procedimento óptico-numérico
que é capaz de determinar campos de deslocamentos sem a necessidade de contato físico.
Finalmente, modelos de densidade energia de deformação clássicos, tais como Mooney-Rivlin
e Ogden, foram ajustados aos dados experimentais com o objetivo de caracterizar o material
estudado. A relação tensão-deformação obtida experimentalmente apresentou um
comportamento não linear, e os modelos que melhor descreveram tal comportamento foram
os modelos de Ogden, Nunes e Yeoh.
Palavras-Chave: Cisalhamento simples, material hiperelástico, energia de deformação,
correlação de imagens digitais.
ABSTRACT The main objective of this work is to study the mechanical behavior of polydimethylsiloxane
(PDMS) under large deformations, considering the condition of the simple shear deformation.
The theoretical analysis was performed using the concept of deformation energy for
hyperelastic material. The experimental data from shear stress as a function of angular
deformation were obtained by a single lap joint test. For this purpose, values of angular
deformation were obtained by displacement fields that were estimated using the Digital Image
Correlation (DIC) method. This noncontact method is based on optical-numerical procedure
used to estimate displacement field. Finally, classical models of strain energy, such as
Mooney-Rivlin and Ogden, were fitted to experimental data in order to characterize the
material. The experimental shear stress-strain relation presented a nonlinear behavior.
Moreover, the best models used to describe that mechanical behavior were Ogden, Nunes and
Yeoh models.
Keywords: Simple shear, hyperelastic material, strain-energy, digital image correlation.
Lista de Símbolos
x, X - coordenadas atual e de referência
dX - elemento material na configuração indeformada
dx - elemento material na configuração deformada
F - gradiente do tensor deformação
γ - deformação angular ou quantidade de cisalhamento
λ - estiramento
B - tensor deformação de Cauchy-Green à esquerda
I - matriz identidade
I 1, I2, I3 - principais invariantes de B
J – Jacobiano de transformação
W - função densidade energia de deformação
p - multiplicador Lagrangiano devido à pressão hidrostática
S - segundo tensor tensão de Piola-kirchhoff
σ - tensor de Cauchy
C, C1, C2 - parâmetros do material
µ - módulo de cisalhamento
Lista de Figuras
Figura 1 – Comportamento tensão-deformação para três tipos de polímeros: frágeis (curva A),
plásticos (curva B) e elastoméricos (curva C)..........................................................................18
Figura 2 – Cisalhamento ao longo das setas. Um bloco de silicone (15x10x1,5 cm3) e um
bloco de tecido muscular (15x10x3 cm3).................................................................................20
Figura 3 – Configuração para cisalhamento simples no estado deformado..............................23
Figura 4 – Geometria da junta colada - adesivo (PDMS) e aderente (ASTM A-36)................33
Figura 5 - Aparato para fabricação das amostras......................................................................33
Figura 6 – Imagem do PDMS no aparato mecânico.................................................................33
Figura 7 – Arranjo experimental para deformação por cisalhamento simples..........................34
Figura 8 – Campo de deslocamento obtido na região central da superfície do PDMS com
carregamento aplicado de 290 N: (a) deslocamento u(x,y) e (b) deslocamento v(x,y)............36
Figura 9 – Gráfico tensão de cisalhamento versus deformação angular – dados experimentais
e modelos de função energia de deformação............................................................................37
Figura 10 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Mooney-Rivlin – (a) 1ª
ordem e (b) 2ª ordem.................................................................................................................38
Figura 11 – Comparação entre os dados experimentais e modelo “Neo-
Hookeano”................................................................................................................................38
Figura 12 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Yeoh – (a) 1ª ordem e (b)
2ª ordem....................................................................................................................................38
Figura 13 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Nunes............................39
Figura 14 – Gráfico tensão de cisalhamento versus estiramento – dados experimentais e
modelo de Ogden (1ª a 6ª ordem).............................................................................................40
Figura 15 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden – (a) 1ª ordem e
(b) 2ª ordem...............................................................................................................................41
Figura 16 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden – (4ª ordem).......41
Figura 17 – Componente tensão de cisalhamento dividida pela deformação angular versus
deformação angular...................................................................................................................43
Figura 18 – Erro residual: comparação entre os modelos de Mooney-Rivlin de 1ª ordem e o de
Nunes........................................................................................................................................44
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Componente de cisalhamento do Tensor de Cauchy associada a cada modelo de
função energia...........................................................................................................................31
Tabela 2 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais....................................39
Tabela 3 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais – Ogden.....................41
Tabela 4 – Comparação do R2 no modelo de Ogden de 1ª a 6ª ordem.....................................42
SUMÁRIO
Capítulo 1: INTRODUÇÃO
1.1 - Considerações Gerais........................................................................................................13
Capítulo 2: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 - Conceitos Fundamentais sobre Polímeros........................................................................16
2.2 - Características do Polidimethilsiloxano (PDMS).............................................................19
2.3 – Cisalhamento simples......................................................................................................20
Capítulo 3. DEFORMAÇÃO FINITA - CISALHAMENTO SIMPLE S
3.1 - Modelo constitutivo para elastômeros..............................................................................22
3.2 – Modelos de função energia de deformação para materiais hiperelásticos.......................26
3.2.1 – O modelo de Mooney-Rivlin (1ª ordem)......................................................................26
3.2.2 – O modelo de Mooney-Rivlin (2ª ordem)......................................................................27
3.2.3 – O modelo “Neo-Hookeano”..........................................................................................28
3.2.4 – O modelo de Yeoh........................................................................................................28
3.2.5 – O modelo de Nunes.......................................................................................................29
3.2.6 – O modelo de Ogden......................................................................................................30
3.3 - Componente da tensão de cisalhamento para os modelos de função energia de
deformação................................................................................................................................30
Capítulo 4: MATERIAIS E MÉTODOS
4.1 – Materiais e métodos.........................................................................................................32
4.2 – Procedimento Experimental - Método de correlação de imagens digitais (CID) na
caracterização de materiais poliméricos...................................................................................34
Capítulo 5: RESULTADOS E DISCUSSÃO........................................................................36
Capítulo 6: CONCLUSÃO.....................................................................................................45
SUJESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS..................................................................46
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................47
APÊNDICE
Resumo publicado e aceito no VII CONEM 2012 (Congresso Nacional de Engenharia
Mecânica) realizado entre 31/julho/2012 e 03/agosto/2012.....................................................51
13
Capítulo 1
Introdução
1.1 Considerações Gerais
Os polímeros estão sendo muito requisitados em diversos segmentos industriais por
serem elementos estruturais altamente deformáveis [1]. Alguns destes segmentos na
engenharia são: indústria onshore e offshore em juntas de tubulações e de dilatação flexível,
revestimento em cilindros, rotores e equipamentos em geral, suporte para máquinas e
construções, serviços de saúde em equipamentos médicos, pneus e vedações para veículos
automotivos, setor aeronáutico, entre outros. Pode-se citar como exemplo que, apenas, quanto
aos tubos de materiais poliméricos, a tonelagem consumida nos EUA aumentou 400 vezes
entre 1948 e 1968 [2].
É necessário, desde o projeto básico ao executivo e dimensionamento, o conhecimento
das propriedades mecânicas dos elementos estruturais, para que se tenha uma previsão da
resposta do material frente a possíveis solicitações. Para alguns componentes estruturais
poliméricos são usados modelos da hiperelasticidade [3].
Os materiais poliméricos compreendem os plásticos (termoplásticos e termoestáveis) e
os elastômeros (borrachas) [2]. Dentre os elastômeros existem os materiais hiperelásticos
14
que são capazes de recuperar-se rapidamente de uma grande deformação possuindo uma
relação não-linear entre tensão e deformação [3].
Devido à grande utilização de materiais hiperelásticos em projetos de engenharia,
torna-se necessário ampliar o conhecimento do comportamento mecânico desses materiais.
Entre os polímeros se destacam os elastômeros que possuem características mecânicas muito
importantes [1]. Neste contexto, para este trabalho, utilizamos uma borracha de silicone: o
Polidimethilsiloxano (PDMS). Este polímero pode ser classificado como um material
hiperelástico, o qual se caracteriza por grandes deformações [4]. O PDMS tem como destaque
um baixo custo e outras características como facilidade de fabricação, flexibilidade e
transparência ótica [1], têm uma diversidade de aplicações: nanogeradores de energia,
sensores mecânicos, componentes eletrônicos e equipamentos medicinais.
Para determinar as propriedades mecânicas dos polímeros alguns tipos de testes têm
sido propostos. Dentre esses testes podem-se destacar: cisalhamento simples e cisalhamento
puro [5]. Em trabalho recente, Nunes [5] propôs analisar propriedades mecânicas no PDMS
submetido a grandes deformações por cisalhamento simples, usando o Método de Correlação
de Imagens (CID), que é um método óptico-numérico capaz de determinar campos de
deslocamentos [6].
Para descrever o comportamento mecânico do material hiperelástico, pode ser usada a
função densidade energia de deformação. Na literatura são propostos vários modelos de
função densidade energia de deformação, usando a teoria da elasticidade finita [3,7]. A
maioria das formulações de função densidade energia de deformação é baseada nos modelos
de Mooney-Rivlin e Ogden [7, 8], os quais serão referência para este trabalho.
Diante deste contexto, este trabalho tem como objetivo principal estudar o
comportamento mecânico do elastômero PDMS submetido a grandes deformações e
determinar a distorção angular por meio do método CID [5]. Além disso, os dados
experimentais serão ajustados usando modelos clássicos de energia de deformação para
materiais hiperelásticos. Nesta ordem, um aparato experimental baseado em juntas coladas é
usado na aplicação do carregamento para cisalhamento simples [5]. Os parâmetros do material
são determinados ajustando os modelos de função densidade energia de deformação com os
dados experimentais através do método de Levenberg-Marquardt, método interativo de
mínimos quadrados para resolução de funções não-lineares.
A dissertação é composta por seis capítulos, onde os três primeiros capítulos
apresentam uma introdução e uma revisão bibliográfica a respeito do tema, enquanto que os
15
seguintes referem-se à realização da parte experimental, dos resultados e discussão, das
conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
No capítulo 1 (INTRODUÇÃO), a finalidade é a apresentação da dissertação,
evidenciando a importância do tema, dos objetivos da pesquisa e de seu conteúdo.
Nos capítulos 2 e 3 (REVISÃO BIBLIOGRÁFICA) é apresentada uma revisão dos
conceitos fundamentais sobre polímeros, de algumas características do PDMS, da descrição
analítica de cisalhamento simples para o elastômero em coordenadas cartesianas, modelos de
função densidade energia de deformação para materiais hiperelástico e aplicações de
cisalhamento simples.
No capítulo 4 (MATERIAIS E MÉTODOS) são apresentados os procedimentos para o
experimento e a obtenção dos dados numéricos-experimentais.
O capítulo 5 (RESULTADOS E DISCUSSÃO) traz a apresentação dos principais
resultados encontrados na comparação dos dados experimentais com os modelos de função
densidade energia de deformação.
O capítulo 6 (CONCLUSÃO E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS) é
apresentado às conclusões, considerações finais do trabalho e descreve algumas sugestões
para trabalhos futuros a partir dos resultados obtidos.
16
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1 Conceitos fundamentais sobre polímeros
Polímero é um material orgânico, que são cadeias de átomos de carbono onde vários
átomos ou radicais estão lateralmente ligados, inorgânico, natural ou sintético. Esta descrição
se origina no vocábulo grego polumeres, palavra constituída por polu que pode ser traduzido
como muitas e meres que significa partes [9].
Os polímeros são constituídos de moléculas organizadas em grandes cadeias
entrelaçadas entre si. Devido ao seu tamanho avantajado, a molécula de um polímero é
chamada de macromolécula. Estas unidades são chamadas de monômeros, do grego uma
parte. A reação que promove a união dos monômeros para formar um polímero é chamada de
polimerização. O monômetro vai, sucessivamente, se unindo a outros, dando o dímero,
trímero, tetrâmero, até chegar ao polímero. Aparentemente, este processo poderia seguir, sem
parar, até produzir uma molécula de tamanho “infinito”, porém, fatores práticos limitam a
continuação desta reação [1,9].
A alta massa molar dos polímeros e a diversidade de estruturas que podem ser
formadas pelo encadeamento dos monômeros conferem a estes materiais propriedades
17
químicas e físicas especiais, como por exemplo: alta viscosidade, elasticidade, resistência à
corrosão e umidade [9].
A principal conquista industrial da química orgânica no século XX foi à fabricação em
grande escala de polímeros sintéticos, como os plásticos, as borrachas e fibras sintéticas [1,9].
Desde o fim da Segunda Guerra Mundial, o campo dos materiais foi revolucionado pelo
aparecimento dos polímeros sintéticos [1]. A maioria dos polímeros sintéticos é de
desenvolvimento bastante recente, quase todos surgiram nos últimos cinquenta anos [2].
Os três grandes grupos de polímeros sintéticos (plásticos, borrachas e fibras), se
diferenciam pelas suas propriedades mecânicas, ou seja, como o material responde quando é
submetido a uma força ou tensão, dentre outras características típicas de cada grupo [9].
Em algumas aplicações em engenharia de construção, peças metálicas e de madeira
foram substituídas por polímeros, que possuem propriedades satisfatórias nesta substituição e
um custo mais baixo, comparado com os materiais tradicionais [1,9].
As propriedades mecânicas dos polímeros são especificadas através dos mesmos
parâmetros usados para os metais, isto é, o módulo de elasticidade, o limite de resistência à
tração e as resistências ao impacto e à fadiga [1].
O módulo de elasticidade e a ductilidade são determinados para os polímeros da
mesma maneira que para os metais, porém, os polímeros são em muitos aspectos,
mecanicamente diferentes dos metais. Por exemplo, o módulo de elasticidade para materiais
poliméricos altamente elásticos pode ser tão reduzido quanto 7 MPa ou tão elevado quanto 4
GPa, polímeros rígidos. Nos metais, os valores do módulo de elasticidade são muito mais
elevados e variam entre 48-410 GPa. Enquanto os metais raramente se alongam de maneira
plástica além dos 100%, alguns polímeros muito elásticos podem experimentar alongamentos
de até 1000%. As características mecânicas dos polímeros são muito mais sensíveis a
mudanças de temperatura na vizinhança da temperatura ambiente [1,9].
Na figura 1 são encontrados três tipos de comportamento tensão-deformação
tipicamente diferentes para materiais poliméricos. A curva A mostra um comportamento
típico de tensão-deformação para um polímero frágil, onde este sofre fratura enquanto se
deforma elasticamente. A curva B, material plástico, mostra um comportamento semelhante
ao comportamento de muitos materiais metálicos, a deformação inicial é elástica e em seguida
ocorre um escoamento com uma região de deformação plástica. Na curva C, a deformação é
totalmente elástica, típica de borrachas, onde grandes deformações são produzidas sob
pequenos níveis de tensão [1].
18
Figura 1 – Comportamento tensão-deformação para três tipos de polímeros: frágeis
(curva A), plásticos (curva B) e elastoméricos (curva C). (CALLISTER, 2002)
Os polímeros são estruturalmente muito mais complexos que metais ou materiais
cerâmicos. Embora sendo mais baratos e de fabricação mais fácil, eles tem menores
resistência mecânica e não são bons condutores de calor e eletricidade [1,9].
Podem-se dividir os materiais poliméricos em três classes:
1 – Materiais plásticos termoplásticos;
2 – Materiais plásticos termoestáveis (termofixos ou termorígidos);
3 – Elastômeros (borrachas).
Os termoplásticos são constituídos de moléculas que contém centenas e até milhões de
átomos de carbono. Neste tipo de polímero, aumentando a temperatura causa um
amolecimento que vai até a fusão do material, isto se deve a diminuição gradual das forças de
atração intermoleculares [2].
Os termoestáveis são polímeros onde o endurecimento (cura) tem como conseqüência
reações químicas irreversíveis. São materiais insolúveis e infusíveis, não podendo ser
amolecidos pelo calor, pois com o aquecimento as ligações moleculares ramificadas se
quebram, provocando a degradação do material [2].
19
Os elastômeros são materiais elásticos à temperatura ambiente, são obtidos através da
cura do látex. Como propriedade mecânica possui extraordinária elasticidade e flexibilidade,
fazendo com que atinjam a ruptura com uma deformação elástica muito elevada, de 300% a
700%, sem ocorrer deformação permanente [2].
Alguns materiais poliméricos de engenharia são mais caros do que o aço-carbono
comum, duas vezes para os termoplásticos e quatro vezes para os termoestáveis, porém são
mais baratos do que os aços inoxidáveis, 1/5 a 1/10 do valor [2].
Os materiais poliméricos são empregados em serviços com temperatura ambiente a
moderada, com baixo esforço mecânico, e/ou com necessidade de resistência à corrosão [2].
Pode-se citar como exemplo de aplicação que a norma ASME (seção X) para caldeiras
e vasos de pressão admite vaso de pressão construído de dois tipos de material termoestável,
epóxi e poliéster, com reforço de fibra de vidro. Outra norma bastante empregada em
indústria químicas, petroquímicas e refinarias é a norma ASME B31.3, que admite tubulações
de plástico termoestável [2].
2.2 Características do Polidimethilsiloxane (PDMS)
Os silicones (polissiloxenos) são elastômeros de baixo peso molecular e apresentam-se
como um material líquido viscoso [2]. O polímero conhecido como Polidimethilsiloxane
(PDMS) pertence a este grupo de silicone, possuindo características de ser opticamente
transparente, de ser não tóxico e não inflamável.
O PDMS possui alongamento de 100 a 800% e sua faixa útil de temperatura é de -115
a 315ºC. Os elastômeros à base de silicone têm grande flexibilidade a baixas temperaturas (de
até -90ºC), e ainda são estáveis a temperaturas tão elevadas quanto 250ºC. Como aplicações
podem ser usados como isolamento térmico para temperaturas altas e baixas, vedações,
calafetagens, tubos e para fins medicinais. O PDMS, como elastômero, apresenta ligações
cruzadas. São resistentes às intempéries e óleos lubrificantes. Como característica adicional o
PDMS pode curar a temperatura ambiente [1].
20
2.3 Cisalhamento simples
Alguns estudos com aplicações em diversas áreas estão sendo realizados a partir dos
conceitos de cisalhamento simples e função densidade de energia de deformação, como
exemplo em aplicações biológicas de tecidos musculares e elemento finito [10,11]. Existem
trabalhos onde o cisalhamento simples é estudado com combinação e outros esforços, por
exemplo, o cisalhamento simples combinado com a compressão [12]. Cabe também destacar
que o cisalhamento simples não é tão simples, como mostra em alguns estudos [13,14,15].
M. Destrade et al. estudaram os efeitos do cisalhamento simples em tecidos
musculares, mostrando a importância e aplicabilidade do conceito de cisalhamento simples e
de função de densidade energia de deformação na biomecânica [10].
Polímeros sólidos e tecidos musculares biológicos podem ser modelados pela teoria da
elasticidade finita, em ambos podem ocorrer grandes deformações, não linearidade,
incompressibilidade e tensões residuais [10]. Uma diferença entre estes dois tipos de sólidos é
que os elastômeros são essencialmente isotrópicos, enquanto que os tecidos musculares são
anisotrópicos, por causa da presença de fibras de colágeno. M. Destrade et al. consideraram o
efeito de introduzir fibras paralelas numa matriz isotrópica e observaram diferenças entre o
comportamento mecânico do elastômero e do tecido muscular. Ainda em seu trabalho, eles
consideraram uma grande deformação num bloco sólido e observaram o seguinte: quando o
bloco é feito de elastômero, a superfície permanece plana, enquanto se o bloco é feito de
tecido muscular aparecem “rugas” na superfície entre a direção do corte e a direção da fibra
(figura 2). O polímero não apresentou instabilidade na superfície, porém o bloco de tecido
muscular apresentou instabilidade [10].
Figura 2 – Cisalhamento ao longo das setas. Um bloco de silicone (15x10x1,5 cm3) e um
bloco de tecido muscular (15x10x3 cm3). (M.Destrade, 2008)
21
Ainda em seus estudos [10], eles usaram para descrever o comportamento do
elastômero um modelo chamado “Neo-Hookeano” e acharam que a superfície do material não
sofre instabilidade, a menos que, seja submetido a uma quantidade de cisalhamento. O valor
encontrado para a quantidade crítica de cisalhamento foi o 3,09 e para o ângulo crítico de
cisalhamento de 72º [10].
Em outro estudo, M. Destrade et al [13] mostrou que cisalhamento simples não é tão
simples. Eles estudaram a tensão de cisalhamento de Cauchy em materiais isotrópicos,
elástico, não-lineares, compressíveis e incompressíveis. Em seu trabalho [13] foi mostrado
que a deformação não é de cisalhamento simples quando o material for do tipo não-linear, em
contraste com a situação da elasticidade linear. Em vez disso, a deformação é constituída por
estiramentos triaxiais sobrepostos a uma deformação de cisalhamento simples clássica. Em
outras palavras, as faces de um bloco cúbico não podem ser inclinadas por um ângulo maior
do que 45º. Neste caso, a função de energia de deformação não depende do segundo
invariante de deformação [13]. Cabe destacar que, cisalhamento simples não deve ser
confundido com cisalhamento puro [16].
Existem trabalhos onde o cisalhamento simples é combinado com outros esforços.
Métodos disponíveis na literatura são encontrados para resolver problemas de cisalhamento
simples ou compressão. Abdur Rahman Bhuiyan e Ehsan Ahmed [12] estudaram a resposta
de uma borracha submetida à ação combinada de cisalhamento simples e compressão. Este
estudo descreve um modelo analítico de função energia de deformação que com os resultados
experimentais ficaram de acordo com uma análise obtida por elemento finito.
L. Ângela Mihai e Alain Goriely [17] estudaram o efeito Poyting na deformação por
cisalhamento em experimentos com gel de biopolímeros. Eles observaram o inverso do efeito
Poynting, do usual positivo. Demonstraram que em materiais homogéneos isotrópicos sujeitos
a cisalhamento puro, a deformação resultante consiste de um estiramento triaxial combinado
com um cisalhamento simples. Então, para um cubo deformado sob cisalhamento puro, o
efeito Poynting positivo ocorre se as faces do cubo se afastar, enquanto o efeito Poynting
negativo é obtido se as faces do cubo tender a se juntar. Da mesma forma, ocorre para
deformação de cisalhamento simples [17].
22
Capítulo 3
Deformação finita: cisalhamento simples
3.1 - Modelo constitutivo para elastômeros
A cinemática descreve o movimento de um corpo ou uma estrutura, sem fazer
considerações das causas desta mudança de posição ou configuração. A posição do corpo é
uma função contínua que faz correspondência única entre o ponto material e sua coordenada
no espaço em relação a um referencial. O movimento ou mudança de configuração é uma
função que associa a posição inicial e a atual de um ponto material [3,18].
Existem dois tipos de descrição para se expressar o movimento: A Lagrangiana, ou
material, o qual utiliza como variáveis independentes as coordenadas materiais, que
caracteriza a mudança de configuração de um corpo em relação às coordenadas materiais e ao
tempo e a Euleriana, ou espacial, o qual utiliza como variáveis independentes as coordenadas
espaciais, que caracteriza a alteração de forma em relação às coordenadas espaciais e ao
tempo [18]. Neste trabalho, foi usada a formulação Euleriana, que descreve a curva real do
gráfico tensão-deformação.
Um elemento material representado por dX na configuração de referência (inicial ou
indeformada) pode ser transformado em um elemento material representado por dx na
configuração corrente (atual ou deformada), usando para isto o gradiente do tensor
deformação F. A relação entre estes elementos é dada por dx = FdX [3].
23
Figura 3 - Configuração para cisalhamento simples no estado deformado
Considere um bloco retangular sujeito a um cisalhamento simples, como ilustrado na
figura 3. As componentes da posição atual em relação ao referencial podem ser dadas por:
x1 = X1 + γ X2
x2 = X2 (1)
x3 = X3
onde γ é a deformação angular, ou seja, tg θ . = γ /1. Usando a equação (1), o tensor
gradiente de deformação F [19], pode ser expresso como:
F = x∇ =
100
010
01 γ (2)
Apesar da simplicidade, este tensor de deformação é pouco utilizado, devido à matriz
não ser simétrica e não ser invariante com movimentos do corpo rígido [18,20]. Da equação
(2), utilizaremos o tensor deformação de Cauchy-Green a esquerda B, B=FFT, tensor de
deformação simétrico e invariante em relação ao movimento do corpo rígido [3,18].
B = FFT =
γ 2 +1 γ 0
γ 1 0
0 0 1
(3)
24
As deformações principais são obtidas pela equação característica det (B - λ I ) = 0,
onde I é a matriz identidade. Esta equação pode ser resolvida para valores de λ que
satisfaçam a igualdade. Os valores λ são os autovalores do tensor B, também chamados
estiramentos, alongamento ou extensão. Resolvendo a equação característica, encontramos:
3λ - (3+ 2γ ) 2λ +(3+ 2γ ) λ -1 = 0 (4)
A solução da equação cúbica (4) em λ , são os autovalores iλ , onde i = 1, 2 e 3.
Dois estiramentos, 1λ e 2λ , são tomados no plano de interesse e o terceiro estiramento
3λ é determinado pela condição 321 λλλ = 1. Esta relação é para volumes que não mudam
durante a deformação, característica de materiais incompressíveis [3].
Considerando 3λ = 1, reduz para γλλ =− −1 , com 12−λ ≡
1λ = λ ≥ 1 e 1λ > 2λ , sem
perda de generalidade. Consequentemente, os autovalores para cálculo das tensões internas,
podem ser dados por:
1λ = 4
12
122 γγγ +++ e 2λ =
41
21
22 γγγ +−+ (5)
Os invariantes principais que são os escalares do tensor deformação de Cauchy-Green
a esquerda podem ser determinados como:
I1 = trB = 2γ + 3
I2 = 2
1[tr2(B)-tr(B)2] = 2γ + 3 (6)
I3 = J = detB = 1
Para deformação por cisalhamento simples, são obtidos I1 = I2 = 2γ + 3 e I3 = 1. Além
disso, para materiais incompressíveis o Jacobiano da transformação, J = 1 [3,21].
Uma função de densidade de energia de deformação W é uma função que depende
somente dos componentes de deformação. Ela representa o acúmulo de energia mecânica no
corpo quando este sofre deformação [4]. Para materiais hiperelásticos, isotrópicos e
25
incompressíveis, a função W pode ser expressa como um conjunto de invariantes do tensor
deformação de Cauchy-Green a esquerda B, dado por:
W = W[I1(B),I2(B)] - 2
1p(I3 - 1) (7)
onde o escalar p pode ser interpretado como um multiplicador Lagrangiano, que pode ser
identificado como uma pressão hidrostática [3,21].
O segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff S, medida de tensão sem interpretação
física, porém de grande importância para o cálculo da energia e suas derivadas [18], é dado
por:
S = 2BBBBBBBB
∂∂ )(W
(8)
O tensor de Cauchy σ pode ser expresso em termos do segundo tensor tensão de
Piola-Kirchhoff, S, onde esta relação é dada por:
σ = J -1FSFT (9)
Por meio de operações matemáticas e usando o tensor deformação de Cauchy-Green a
esquerda B, o tensor de Cauchy σ pode ser reescrito como [3]:
σ = 2J-1
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂ −1
23
133
22 BBBBBBBBIIII
I
WI
I
W
I
WI
I
WI (10)
O estado de deformação simples não leva a um estado de tensão de cisalhamento
simples. Existem as outras componentes da tensão, que podem ser achadas resolvendo o
tensor de Cauchy σ escrito da seguinte forma [3]:
σ = 1111----BBBB2222 ---- BBBB2222 IIII21 I
W
I
Wp
∂∂
∂∂+− (11)
26
σ =
+−−
∂∂
+
∂∂+
−100
01
01
100
01
01
100
010
0012
21
γγγ
γγγ
I
W
I
Wp 2222 ---- 2222
2222
(12)
Substituindo as equações (3) e (6) em (10), a componente da tensão de cisalhamento
pode ser dada por [22]:
12σ = 2 γ
∂∂+
∂∂
21 I
W
I
W (13)
Em seguida serão descritos alguns modelos de função densidade de energia de
deformação W para materiais hiperelásticos [7], que podem ser funções lineares e não-
lineares. Tais modelos serão comparados com os dados experimentais obtidos no ensaio de
cisalhamento simples para o polímero PDMS.
3.2 – Modelos de função de energia de deformação para materiais hiperelásticos
A forma de W é a chave para toda a elasticidade [3,7,23,24,25,26]. Por exemplo,
pode-se supor que W seja uma função do gradiente de deformação F, porém este tensor não é
invariante com movimentos de corpo rígido [3,7,24]. Assim, a melhor forma de se expressar
W é como uma função de um dos tensores de deformação de Cauchy-Green ou do tensor de
Green [3].
As borrachas são normalmente modeladas como materiais elásticos, isotrópicos e
incompressíveis. Como são materiais elásticos, considera-se que haja uma função energia de
deformação W que representa o acúmulo armazenado de energia mecânica no corpo [3,7]. Os
invariantes de um tensor são grandezas que não variam com rotações do sistema coordenado
[3]. Expressando W através dos três invariantes do tensor deformação, estaremos descrevendo
um material isotrópico e a expressão de W fica:
W = ƒ(I1, I2, I3) (14)
27
Sendo o material incompressível, podemos escrever, detB = 1. Daí, detB = det(F2) = 1,
então para o terceiro invariante: I3 (B) = 1. Como conseqüência, a função densidade energia
de deformação depende de apenas dois invariantes:
W = ƒ(I1, I2) (15)
3.2.1 – O modelo de Mooney-Rivlin (1ª ordem)
O modelo de Mooney-Rivlin [3,7] é uma série polinomial, baseado nos invariantes I1 e
I2:
W = ( ) ( )∑∞
==
−−0,0
21 33ji
jiij IIC (16)
onde Cij são parâmetros do material e C00 = 0. A série é geralmente truncada para termos de
primeira, segunda ou terceira ordem. Como exemplo, para terceira ordem é necessário
determinar nove parâmetros de material. Esta forma de função energia de deformação é
amplamente usada para problemas de grandes deformações [7,27]. O modelo para primeira
ordem é descrito como:
W(I1,I2) = C10(I1-3)+C01(I2-3) (17)
onde C10 e C01 são parâmetros do material, I1 e I2 são os invariantes de deformação. A
subtração de três é para a energia ser nula na posição inderformada [3,28]. O módulo de
cisalhamento é µ = 2(C10+C01) [7].
3.2.2 – O modelo de Mooney-Rivlin (2ª ordem)
O modelo de Mooney-Rivlin para segunda ordem é descrito como:
28
W(I1,I2) = C10(I1-3)+C01(I2-3)+C20(I1-3)2+C11(I1-3)(I2-3)+C02(I2-3)2 (18)
onde C10, C01, C20, C11 e C02 são parâmetros do material, I1 e I2 são os invariantes de
deformação. Esta forma apresenta mais três parâmetros do material, onde permite um melhor
ajuste para o polinômio [29]. Mais termos podem ser adicionados a equação (16), mas
normalmente não produzem apreciáveis melhorias [29]. O módulo de cisalhamento é
∑=ij
ijC2µ [29].
3.2.3 – O modelo “Neo-Hookeano”
Este modelo foi proposto por Treloar [7], sua forma é um caso especial da função
densidade energia de deformação de Mooney-Rivlin, com C01 = 0. O modelo considera
materiais “Neo-Hookeano” e depende do primeiro invariante I1 de deformação [30,31]. Este
modelo é usado para deformações abaixo de 50% [9]. O módulo de cisalhamento é µ =2C10
[7].
W = C10(I1-3) (19)
onde C10 é o parâmetro do material.
Este modelo proporciona um comportamento linear para o caso de cisalhamento
simples [7,32].
3.2.4 – O modelo de Yeoh
O modelo constitutivo proposto por Yeoh [3,33], para materiais hiperelásticos e
incompressíveis, assume a independência do segundo invariante I2. Este modelo teve como
base o modelo de Mooney-Rivlin. Sua forma fica:
W= ( )∑=
−N
n
nn IC
11 3 (20)
29
onde Cn, n=1,2,3 são os parâmetros do material e I1 é o primeiro invariante de deformação. O
modelo para primeira ordem é descrito como:
W(I1) = C1(I1-3) (21)
onde o módulo de cisalhamento é µ =2C1 [7]. Este modelo é igual ao modelo “Neo-
Hookeano” para n = 1. O modelo de Yeoh para n = 2 e n = 3, ficaram respectivamente:
W(I1) = C1(I1-3)+ C2(I1-3)2 (22)
W(I1) = C1(I1-3)+ C2(I1-3)2 + C3(I1-3)3 (23)
onde os módulos de cisalhamento são µ =2C1 + 4C2(I1-3) para n=2 e µ =2C1 + 4C2(I1-3) +
6C3(I1-3)2 para n=3.
3.2.5 – O modelo de Nunes
Em um trabalho recente, Nunes [5,34] propôs um modelo que descreve o
comportamento não-linear do polímero hiperelástico PDMS, submetido a deformação por
cisalhamento simples. O modelo é:
W= ( ) ( )
−+− 4
3
21 332
1ICIC (24)
onde C1 e C2 são os parâmetros do material e I = I1 = I2 são os invariantes de deformação
[5,34]. O módulo de cisalhamento é µ = ( ) 4
1
21 34
32 −−+ ICC
30
3.2.6 – O modelo de Ogden
Ogden [3,7], em 1972, propôs derivar a função densidade energia de deformação em
termos das três extensões principais iλ , i = 1,2,3. A função energia de deformação foi
expandida através de uma série de potências reais e descrita como função dos estiramentos
principais:
W ( 1λ , 2λ , 3λ ) = ( )∑=
−++N
n n
n nnn
1321 3ααα λλλ
αµ
(25)
O módulo de cisalhamento é ∑=
=N
nnn
12
1 αµµ , com a seguinte condição de estabilidade,
nnαµ > 0, n=1,N. Para primeira ordem o módulo é 1
1
2
αµµ = . Este modelo é usado para
problemas de grandes deformações [7]. Os modelos para primeira e segunda ordem são
descritos abaixo, com 3λ = 1 e 12−λ ≡
1λ .
W ( 1λ , 2λ , 3λ ) = ( )3111321
1
1 −++ ααα λλλαµ
(26)
W ( 1λ , 2λ , 3λ ) = ( )3111321
1
1 −++ ααα λλλαµ
+ ( )3222321
2
2 −++ ααα λλλαµ
(27)
3.3 - Componente da tensão de cisalhamento para os modelos de função energia de
deformaçao
Substituindo as equações (17), (18), (19), (22), (23), (24), (26) e (27) na equação (13),
teremos a componente cisalhamento do tensor de Cauchy ( )12σ , associada com os modelos de
Mooney-Rivlin (1ª e 2ª ordem), “Neo-Hookeano”, Yeoh, Nunes e Ogden (1ª e 2ª ordem) na
tabela 1 a seguir, com I1=I2=2γ +3, 3λ = 1 e 1
2−λ ≡
1λ .
31
Tabela 1 – Componente de cisalhamento do Tensor de Cauchy associada a cada modelo
de função energia
Modelos de Função
Energia de Deformação (W)
Componente de Cisalhamento
do Tensor de Cauchy ( )12σ
Mooney-
Rivlin
(1ªordem)
C10(I1-3)+C01(I2-3) ( ) µγγ =+ 01102 CC
Mooney-
Rivlin
(2ªordem)
C10(I1-3)+C01(I2-3)+
+C20(I1-3)2+
+C11(I1-3)(I2-3)+C02(I2-3)2
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] γ
−+−++−+−++
332
33
202120
21110110
ICIC
IICCC
“Neo-
Hookeano” C10(I1-3) γ102C
Yeoh
(2ªordem) C1(I1-3)+ C2(I1-3)2 ( )[ ]γ322 121 −+ ICC
Yeoh
(3ªordem) C1(I1-3)+C2(I1-3)2+C3(I1-3)3 ( ) ( )[ ]γ2
13121 33322 −+−+ ICICC
Nunes ( ) ( )
−+− 4
3
21 332
1ICIC γγ 21 4
32 CC +
Ogden
(1ªordem) ( )3111
3211
1 −++ ααα λλλαµ
( )11
1121
111
αα λλλ
λµ −−+
Ogden
(2ªordem) ( )3111
3211
1 −++ ααα λλλαµ
+ ( )3222321
2
2 −++ ααα λλλαµ
( )11
1121
111
αα λλλ
λµ −−+
+
+ ( )22
1121
12 1
αα λλλ
λµ −−+
32
Capítulo 4
Materiais e Métodos
4.1 – Materiais e métodos
Para a realização deste trabalho, foi utilizado o polímero Polidimethilsiloxano
(PDMS), a fim de avaliar seu comportamento mecânico na condição de cisalhamento simples
para grandes deformações.
Foi usada uma junta colada para transferir o carregamento aplicado do substrato para o
adesivo [34,35]. Esta junta foi feita com o substrato de aço ASTM A-36 e adesivo a base do
PDMS, sendo a configuração adequada para proporcionar uma deformação por cisalhamento
simples. É importante destacar que a rigidez do substrato (ASTM A-36) era muito maior do
que o adesivo (PDMS), a fim de garantir que o substrato não deformasse e somente o adesivo
(PDMS) deforme por cisalhamento simples [34,35].
As dimensões da junta colada são ilustradas na figura 4. Os seguintes dados foram
considerados: a força aplicada (F) de 290 N; o comprimento do sistema de retenção contra o
movimento transversal de 25 mm; segmento do comprimento do substrato (D) de 50 mm;
comprimento do adesivo (L) de 42 mm; largura do substrato e do adesivo (w) iguais a 25,4
mm; espessura do substrato e do adesivo (t e ta) iguais a 1,6 mm.
33
Figura 4 – Geometria da junta - adesivo (PDMS) e aderente (ASTM A-36) (Nunes, 2010)
A região colada do substrato recebeu um tratamento superficial. Este procedimento
consistiu em desgastar as superfícies do substrato na região sobreposta com uma lixa fina e
limpar com acetona antes da aplicação do adesivo. Para garantir a espessura do adesivo, a
amostra foi fabricada num molde, conforme a figura 5. O tempo de cura foi de 48 h na
temperatura ambiente. A figura 6 mostra o adesivo PDMS no aparato mecânico antes de
sofrer o esforço, os pontos pretos que aparecem no adesivo foram aplicados com spray de
tinta, para obter um padrão aleatório para o método de correlação de imagens digital (CID).
Figura 5 – Aparato para fabricação das amostras (Nunes, 2010)
Figura 6 – Imagem do PDMS no aparato mecânico
34
4.2 – Procedimento Experimental - Método de correlação de imagens digitais (CID) na
caracterização de materiais poliméricos
O método de correlação de imagens digital (CID) pode ser usado para determinar o
campo de deslocamento do PDMS. CID é uma técnica óptico-numérica capaz de determinar
campos de deslocamentos através de um sistema que captura as imagens da superfície da
amostra antes e depois de sofrer o esforço, ou seja, na posição não deformada e na posição
deformada. Este procedimento tem o mérito de medir o campo de deslocamento sem ter
contato com a amostra, é um aparato ótico simples, não precisa de preparação especial das
amostras e não precisa de iluminação especial [6,29].
O teste de cisalhamento simples foi feito num aparato mecânico desenvolvido para
aplicar um carregamento quase estático na junta colada com o adesivo PDMS. O sistema de
aquisição é composto por uma câmera de captura de imagens (CCD) posicionada
perpendicularmente a amostra e um computador para capturar e processar as imagens. O
aparato mecânico e o sistema de aquisição são apresentados na figura 7.
Figura 7 – Arranjo experimental para deformação por cisalhamento simples (Nunes,
2010)
O arranjo experimental empregado tem uma configuração relativamente simples,
consistiu no polímero PDMS (amostra) em uma junta colada, a célula de carga e a CCD
câmera.
35
A CCD câmera usada foi uma Sony XCD-SX910 com resolução de 1376x1024 pixels.
Um pixel da câmera, para este experimento, correspondia a uma área aproximadamente de
4,65µ m x 4,65µ m da amostra [34].
36
Capítulo 5
Resultados e Discussão
As figuras 8 (a) e 8 (b), mostram os resultados dos campos de deslocamentos, u(x,y) e
v(x,y), obtidos quando a carga de 290 N foi aplicada. Estes mapas são obtidos na superfície da
região central do adesivo, isto é, na região analisada da figura 6. Este exemplo foi escolhido
para mostrar que o deslocamento v(x,y) pode ser desconsiderado quando comparado com o
deslocamento u(x,y). O campo de deslocamento u(x,y) varia na direção y.
(a) (b)
Figura 8 – Campo de deslocamento obtido na região central da superfície do PDMS com
carregamento aplicado de 290 N: (a) deslocamento u(x,y) e (b) deslocamento v(x,y)
37
O teste de cisalhamento simples foi realizado, considerando a região colada da junta
(L) igual a 42 mm. Com isso, a componente do tensor de Cauchy σ , também conhecido
como tensão verdadeira, foi definida como força por unidade de área deformada.
Foi aplicado o carregamento e o deslocamento foi determinado usando o método CID.
A figura 9 ilustra o ajuste dos modelos de função energia de deformação, que dependem da
deformação angular, com os dados experimentais. Foi considerada 1ª e 2ª ordem no modelo
de Mooney-Rivlin e 2ª e 3ª ordem no modelo de Yeoh.
Figura 9 – Gráfico tensão de cisalhamento versus deformação angular – dados
experimentais e modelos de função energia de deformação
Para uma melhor visualização, os dados experimentais são comparados com cada
modelo da função energia de deformação apresentados acima. As figuras 10, 11, 12 e 13,
representam o ajuste dos modelos de função energia de Mooney-Rivlin de 1ª e 2ª ordem,
“Neo-Hookeano”, Yeoh de 2ª e 3ª ordem e Nunes aos dados experimentais.
38
(a) (b)
Figura 10 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Mooney-Rivlin
(a) 1ª ordem e (b) 2ª ordem
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Deformação angular, γ
Ten
são
de c
isal
ham
ent
o, σ 12
(MP
a)
Dados experimentais
Modelo Neo-Hookeano
Figura 11 – Comparação entre os dados experimentais e modelo “Neo-Hookeano”
(a) (b)
Figura 12 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Yeoh – (a) 2ª ordem
e (b) 3ª ordem
39
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Deformação angular, γ
Ten
são
de c
isal
ham
ent
o, σ 12
(MP
a)
Dados experimentais
Modelo de Nunes
Figura 13 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Nunes
É possível observar um comportamento não linear na deformação do polímero PDMS
no ensaio de cisalhamento simples. Para os modelos de função energia de deformação que
dependem da deformação angular, o modelo que obteve a melhor concordância com os dados
experimentais foi o de Nunes. Os modelos clássicos de Mooney-Rivlin, “Neo-Hookeano” e
Yeoh apresentaram discrepâncias. Em todos os casos, os parâmetros do material presente nas
equações foram estimados usando o método de Levenberg-Marquardt, que é um método para
resolver problemas não-lineares de mínimos quadrados.
Foi usado o R2, R-square, uma medida estatística que mostra o melhor ajuste das
curvas para a variação dos dados, o valor mais próximo de 1 (100%) indica um melhor ajuste
da curva. Estes parâmetros do material e o R2 são mostrados na tabela 2.
Tabela 2 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais
Modelos Parâmetros do material (MPA) R2
Mooney-Rivlin (1ª ordem) µ = 2,112× 105 0,9435
Mooney-Rivlin (2ª ordem) C10 = -1,18× 107
C01 = 1,19× 107
C20 = 2,76× 107
C11 = -1,28× 107
C02 = -1,48× 107
0,9818
“Neo-Hookeano” C1 = 2,112×105 0,9435
Yeoh (2ª ordem) C1 = 1,33× 105
C2 = -1,45× 104
0,9831
40
Tabela 2 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais (Continuação)
Modelos Parâmetros do material (MPa) R2
Yeoh (3ª ordem) C1 = 1,48× 105
C2 = -4,35× 104
C3 = 1,39× 104
0,9922
Nunes C1 = 1,178× 105
C2 = 1,216× 105
0,9994
Os valores do parâmetro do material e do R2 nos modelos de Mooney-Rivlin (1ª
ordem) e “Neo-Hookeano” foram os mesmos, enquanto que os valores das constantes nos
modelos de Mooney-Rivlin (2ª ordem), Yeoh (2ª e 3ª ordem) e Nunes apresentaram variações.
O R2 do modelo de Nunes foi o que mais se aproximou de 1, seguidos dos modelos de Yeoh
(3ª ordem), Yeoh (2ª ordem), Mooney-Rivlin (2ª ordem), Mooney-Rivlin (1ª ordem) e “Neo-
Hookeano”.
A figura 14 ilustra o ajuste do modelo de Ogden, que depende do estiramento, aos
dados experimentais. Foi considerada neste modelo a 1ª até a 6ª ordem.
Figura 14 – Gráfico tensão de cisalhamento versus estiramento – dados experimentais e
modelo de Ogden (1ª a 6ª ordem)
41
Para uma melhor visualização, as figuras 15 e 16 representam os dados experimentais
comparados com o modelo de Ogden na 1ª, 2ª e 4ª ordem.
(a) (b)
Figura 15 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden – (a) 1ª
ordem e (b) 2ª ordem
Figura 16 – Comparação entre os dados experimentais e modelo de Ogden (4ª ordem)
Tal como visualizado nas figuras 14 e 16, o modelo de Ogden de 4ª ordem foi o que
obteve melhor concordância com os dados experimentais. Nas tabelas 3 e 4, são representados
os parâmetros do material e o R2 para 1ª a 6ª ordem, respectivamente.
Tabela 3 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais – Ogden
Modelo Parâmetros do material (MPa)
Ogden (1ª ordem) =1α 0,0507, 1µ =9,84, µ = 0,249
Ogden (2ª ordem) =1α 0,123x106, =2α 0,121x106
1µ = 2,226x106, 2µ = 1,869x106, µ = 0,249x1012
42
Tabela 3 – Parâmetros do material ajustados aos dados experimentais – Ogden
(continuação)
Modelo Parâmetros do material (MPa)
Ogden
(3ª ordem)
=1α 0,117x108, =2α 0,118x108, =3α 0,112x108
1µ = 1,414x108, 2µ = 1,463x108, 3µ = 1,437x108
µ = 0,249x1016
Ogden
(4ª ordem)
=1α 0,358x107, =2α 0,945x107, =3α 0,355x107, =4α 0,368x107
1µ = 2,226x107, 2µ = -2,297x106, 3µ = 2,461x107, 4µ = 2,841x107
µ = 0,125x1015
Ogden
(5ª ordem)
=1α 0,393x107, =2α 0,389x107, =3α 0,389x107, =4α 1,047x104,
=5α 0,389x107
1µ = 0,981x107, 2µ = 1,616x107, 3µ = 1,578x107, 4µ = -1,683x105,
5µ = 1,731x107
µ = 0,814x1015
Ogden
(6ª ordem)
=1α 0,098x107, =2α 0,093x108, =3α 0,085x107, =4α 0,093x107,
=5α 0,093x107, =6α 0,093x107
1µ = 1,040x108, 2µ = 0,874x108, 3µ = 1,116x108, 4µ = 0,781x108,
5µ = 0,707x108, 6µ = 0,867x108
µ = 0,249x108
Tabela 4 – Comparação do R2 no modelo de Ogden de 1ª a 6ª ordem
Modelo R2
Ogden (1ª ordem) 0,9798
Ogden (2ª ordem) 0,9798
Ogden (3ª ordem) 0,9798
Ogden (4ª ordem) 0,9876
Ogden (5ª ordem) 0,9865
Ogden (6ª ordem) 0,9798
43
O modelo de Ogden na 4ª ordem foi o que obteve melhor ajuste com os dados
experimentais, teve o R2 mais próximo de 1. O modelo de Ogden na 1ª, 2ª, 3ª e 6ª ordem
tiveram os R2 iguais.
A fim de melhorar os resultados da discordância entre os dados experimentais e os
modelos clássicos de energia de deformação, a tensão de cisalhamento foi dividida pela
deformação angular. Este resultado foi feito para os dados experimentais, o modelo proposto
por Nunes e o modelo de Mooney-Rivlin de 1ª ordem e é mostrado na figura 17.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Deformação angular, γ
σ 12/ γ
(M
Pa
)
Dados Experimental
Modelo de NunesModelo de Mooney-Rivlin, 1ª ordem
Figura 17 – Componente tensão de cisalhamento dividida pela deformação angular
versus deformação angular.
Pode ser visto que o modelo de Nunes é mais apropriado que o modelo clássico de
Mooney-Rivlin de 1ª ordem. Os ensaios experimentais foram realizados sob condições de
carregamento quase estático. O PDMS é um material hiperelástico e os efeitos da taxa de
deformação são comumente observados. Além disso, o PDMS é um material macio, o qual é
muito sensível a cargas baixas. É importante salientar que o método CID baseia-se em duas
imagens, uma com carga zero e a outra com os estados de carregamento. Também para
melhorar a compreensão dos resultados pode ser obtido um gráfico traçando o erro residual do
valor da componente tensão de cisalhamento. Este erro residual de um modelo ajustado pode
ser definido como uma diferença entre os dados experimentais e os modelos de função
energia de deformação ajustados. Os erros residuais para os modelos de Nunes e o de
44
Mooney-Rivlin de 1ª ordem são ilustrados na figura 18. É possível visualizar, que o erro
residual no modelo de Nunes é menor do que o do modelo Mooney-Rivlin de 1ª ordem.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Deformação angular, γ
Re
sid
ua
l,| σ
12E
xp -
σ12
Mod
el| (
MP
a)
Modelo de Nunes
Modelo de Mooney-Rivlin, 1ª ordem
Figura 18 – Erro residual: comparação entre o Modelo de Mooney-Rivlin de 1ª ordem e
o de Nunes.
45
Capítulo 6
Conclusão
Um simples teste de cisalhamento foi realizado no polímero PDMS e o campo de
deslocamento foi determinado pelo método de correlação de imagens (CID). Com base nos
resultados encontrados, os valores da distorção angular e a componente tensão de
cisalhamento foram obtidos.
O trabalho visa mostrar que nas teorias clássicas em geral para alguns modelos de
função energia de deformação são consideradas funções lineares na curva tensão de
cisalhamento versus deformação angular ou estiramento, para materiais isotrópicos e
hiperelásticos. Os modelos de energia de deformação, apresentados neste trabalho, foram
ajustados aos dados experimentais obtidos no teste de cisalhamento simples para o polímero
PDMS, onde a curva encontrada foi não-linear. A fim de encontrar um melhor modelo de
função energia de deformação para os dados experimentais, os modelos clássicos de função
energia de deformação de Mooney-Rivlin, “Neo-Hookean”, Yeoh, Ogden e o modelo de
Nunes foram investigados. Como foi observado, os modelos de Nunes, Yeoh e o modelo de
Ogden foram os que mais se aproximaram aos dados experimentais, os quais são modelos de
funções energia de deformações não-lineares.
46
Sugestões para Trabalhos Futuros
A partir dos resultados obtidos neste trabalho, podem ser sugeridos como trabalhos
futuros:
1) Efetuar o mesmo estudo de cisalhamento simples para outros tipos de
polímeros;
2) Estudar o comportamento mecânico do polímero PDMS num ensaio de
relaxação;
3) Realizar o mesmo estudo de deformação por cisalhamento simples no polímero
PDMS e comparar com um modelo de energia de deformação baseado num
programa de elementos finitos;
4) Efetuar o mesmo estudo de cisalhamento simples para o polímero PDMS ou
outros tipos de polímeros com condições de temperaturas diferentes;
5) Analisar as componentes de tensões normais tendo em vista que o
cisalhamento simples não é tão simples.
47
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51
Apêndice
Resumo publicado e aceito no VII CONEM 2012 (Congresso Nacional de Engenharia Mecânica) realizado entre 31/julho/2012 e 03/agosto/2012
INVESTIGATION OF SIMPLE AND PURE SHEAR FROM HYPERELASTIC MATERIAL BASED ON DIGITAL IMAGE
CORRELATION METHOD
A.L. Pereira, [email protected]
D.C. Moreira, [email protected]
L.C.S Nunes, [email protected]
1Laboratory of Opto-Mechanics (LOM/LMTA), Department of Mechanical Engineering
(TEM/PGMEC), Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, Bloco E,
Niteroi-RJ, CEP: 24210-240, Brazil.
Abstract. This paper describes and analyzes the mechanical behavior of a hyperelastic
material in two different conditions, i.e., simple and pure shear deformations. The
experimental procedure is carried out using the Digital Image Correlations (DIC) method,
which is an available optical-numerical approach to estimate full-field displacements. The
simple shear deformations are obtained by single lap joints testing, while the pure shear is
carried out by means of planar tension testing. Moreover, classical constitutive models are
employed to describe the mechanical behavior of the hyperelastic material. The main goal is
to analyze the difference between simple and pure shear behaviors.
Keywords: Simple shear, pure shear, hyperelasticity, Digital Image Correlation
52
1. INTRODUCTION
Several experimental tests have been developed to investigate mechanical behavior
and properties of polymeric materials (Ward and Sweeney, 2004; Brown, 2002). Guélon et al.
(2009) proposed a new characterization method for rubber, which consists of performing only
one heterogeneous mechanical test. The first experiment for providing pure shear deformation
on a thin sheet of rubber was proposed by Treloar (1945). Moreover, experiments on the pure
shear of large elastic deformations of incompressible isotropic material was developed by
Rivlin and Saunders (1951). Nunes (2010 and 2011) have studied the mechanical behavior of
Polydimethylsiloxane under small and large simple shear deformations.
For some authors, there is no essential difference between simple and pure shear
deformations. The simple shear configuration is assumed to be superposition of pure shear
deformation associated with simple rigid body rotation. However, for large deformation this
concept is not well defined. Many studies have been produced over the last decade to explain
these two deformation states (Tikoff and Fossen, 1993; Destrade et al; Segal, 2002; Holzapfel,
2008; Ogden, 1997).
Hyperelastic behavior is commonly observed in some polymers, mainly the long chain
polymers, like as elastomers (or rubbers) that are characterized by flexibility and stability.
Polydimethylsiloxane (PDMS) is a silicone rubber, which has a wide range of applications in
mechanical sensors (Kim et al., 2008; Lin et al., 2009), electronic components (Tiercelin et
al., 2006; Lee et al., 2009) and medical devices (Lawrence et al., 2009).
The main goal of the present work is to compare the mechanical behavior of
Polydimethylsiloxane under large simple and pure shear deformations. In order to do that, two
experimental approaches are performed: single lap joints under tensile for simple shear and
thin sheet under tensile for pure shear. The displacement fields are estimated by means of DIC
method. Using this information, principal stretches are evaluated to investigate both cases.
2. DIGITAL IMAGE CORRELATION
The Digital Image Correlation (DIC) method is a powerful optical-numerical method
developed to estimate full-field surface displacement, being well documented in the literature
(Dally and Riley; 2005; Sutton et al., 2009). This method has been considerably improved
over the last years. The well-known principle of the DIC method is to match maximum
53
correlation between small zones (or subsets) of the specimen in the undeformed and deformed
states. The specimen surface is coated by a random pattern in order to provide a grayscale
distribution with sufficient contrast. To determine the displacement of each point, a square
reference subset, f, of (2M+1) x (2M+1) pixels from undeformed image is chosen and it is
used to find the corresponding on the target subset of (2N+1) x (2N+1) pixels from deformed
image, g. M and N are positive integers, being M < N. For this purpose, the minimization of
the correlation coefficient is taken into account. From a given image-matching procedure, the
in-plane displacement fields designated by u(x,y) and v(x,y) associated with x- and y-
coordinates can be computed. Figure 2 illustrates the scheme of the DIC method.
Figure 1. Scheme of the Digital Image Correlation method.
3. DEFORMATION STATE
In this section, two states of deformation are presented, i.e., simple and pure shear.
The idea is to describe the behavior associated with those two different states. In order to do
that, a material element defined by dX in the reference configuration can be transformed into
a material element dx in the current configuration, using the deformation gradient tensor F
and taking into account the relation given by dX = Fdx.
Two stretches, defined by λ1 and λ2, are taken at the plane of interest and the third
stretch λ3 is determined by the condition 1321 =λλλ . This relationship is assumed when the
volume does not change during the deformation, which is a characteristic of incompressible
materials.
54
3.1 Simple shear
Firstly, Let us consider the case of simple shear deformation, as illustrated in Fig. 2.
This case is characterized by an angular distortion of a rectangular block, in which the
horizontal line elements remain fixed in length and direction. In this way, the rectangular
Cartesian coordinate of any point of deformed element in the current configuration can be
written as a function of reference configuration,
x1 = X1 + γX2 ; x2 = X2 ; x3 = X3 (1)
where γ is the amount of shear. Using Eq. (1), the deformation gradient tensor for simple
shear, F, can be expressed as
F =1 γ 0
0 1 0
0 0 1
(2)
From Eq. (2), the right Cauchy-Green deformation tensor for simple shear, C, can be
written as
C = FT F =1 γ 0
γ γ 2 +1 0
0 0 1
(3)
Considering 13 =λ , the characteristic equation ( ) 0det 2 =− IC λ reduces to λ − λ−1 = γ ,
since we may take λ2−1 ≡ λ1 = λ ≥ 1 without loss of generality. Consequently, the principal
stretches can be given by
λ1 = 1+ γ2
2
+ γ 1+ γ4
2
and λ2 = 1+ γ2
2
− γ 1+ γ4
2
(4)
Figure 2. Simple shear deformation
55
3.2 Pure shear (planar)
One way to obtain the pure shear deformation state is to consider a thin sheet under
uniaxial extension. A state of pure shear exists in the rectangular sheet at an angle of 45o to
the stretching direction, assuming that the volume remains constant. The pure shear
deformation occurs only in the central part of the sheet. Figure 3 illustrates a small region at
central part of rectangular sheet of material along a parallel pair of clamped edges. A pure
shear deformation may be achieved using the configuration of plane deformation, in which
x1 = λ1X1; x2 = X2 ; x3 = 1
λ1
X3 (5)
The associated principal stretches are defined as a function of initial and final length
(L0 and L) in the stretched direction. These expressions are given as
λ1 = L
L0
, λ2 = 1 and λ3 = λ1−1 (6)
Figure 3. Pure shear deformation
4. EXPERIMENTAL SETUP
Two different experimental tests were performed to investigate the mechanical
behavior of Polydimethylsiloxane under shear deformation. In this way, full-field
displacements were measured by means of the digital image correlation method, which basic
principle was previously presented in section 2.
A single lap joint was made with adherends of steel A36 and adhesive of
Polydimethylsiloxane, being a suitable configuration to provide a simple shear deformation. It
is important to remark that the adherends stiffness is much greater than the adhesive, in order
to guarantee that the adherends do not deform and the adhesive only deform in shear. Figure 4
56
shows the experimental arrangement of single lap joint. The associated dimensions are as
follows: the length of restraint against transversal motion of 25 mm; segment of length, D =
50 mm; joint length, L, equal to 51 mm; joint width, w = 25.4 mm; adherend and adhesive
thicknesses, t = 1.6 mm and ta = 1.6 mm, respectively.
Figure 4. Experimental arrangement for simple shear deformation
To provide pure shear deformation, a planar shear test was carried out. This test is
based on a rectangular sheet of Polydimethylsiloxane under tensile in its plane normal to the
clamped edges. Figure 5 illustrates the rectangular specimen under tensile and the DIC
system. In the experiment, a sheet of Polydimethylsiloxane with dimensions of 170x70x5
mm3 was employed. It is important to emphasize that the width of specimen was at least 10
times wider than the length in the stretching direction. As a result, the specimen must remain
perfectly constrained in the lateral direction and all specimen thinning occurs in the thickness
direction.
57
Figure 5. Experimental arrangement for pure shear deformation
5. RESULTS AND DISCUSSION
Figure 6 illustrates full-field displacements associated with horizontal and vertical
direction, i.e., u(x,y) and v(x,y), respectively, for simple shear deformation. These results
were obtained under a shear stress equal to 0.21MPa. It is important to remark that full-field
displacements were taken on surface area at central region of adhesive. The results were
obtained by means of DIC method, considering the experimental arrangement for simple
shear deformation. Note that u-displacement varies linearly along the vertical direction, while
the v-displacement remains practically in the same value. The upper adherend was fixed and,
as a consequence, the superior displacement of u(x,y) tends to zero.
Figure 6. Full-field displacement for simple shear deformation: ττττ = 0.21 MPa
58
The full-field displacements of a small rectangle on the surface at central region of the
PDMS sheet were also estimated through the DIC method. In this case, results were obtained
using the experimental arrangement for pure shear deformation (see Figure 5). The u- and v-
displacements of the selected region for an applied stress of 0.27 MPa are illustrated in Fig. 7.
In pure shear results, u-displacement field does not present significant variation and v-
displacement field varies linearly with the vertical direction.
Figure 7. Full-field displacement for pure shear deformation: σσσσ = 0.27 MPa
In order to determine the principal stretches, full-field displacements for simple and
pure shear deformations were used. Moreover, Eqs. (4) and (6) were also considered. Firstly,
to estimate the principal stretches for simple shear case, the angular distortion was calculated
taking u- and v-displacement fields. In this way, the amount of shear was determined and, by
means of Eq. (4), the principal stretches were achieved. For evaluating the principal stretches
for pure shear case, the initial and final size of the small area at central region of PDMS sheet
were taken into account. The size variations were determined by DIC program. Using these
results and Eq. (6), the principal stretches were achieved.
It is important to emphasize that the results present in Figs (6) and (7) are for only one
applied load. Figure 8 shows the comparison of principal stretches for simple and pure cases,
considering several loads. The idea is to analyze the variance in both stretches for the two
cases. Clearly, it can be noted that the orthogonal stretch λ2 does not vary significantly with
an extension of the principal stretch λ1 in plane normal to the edges for pure shear
deformation. However, in simple shear case, the stretch λ2 decreases monotonically with
increasing principal stretch λ1 under shear load condition.
59
Figure 8. Principal stretches comparison: simple shear and pure shear
6. CONCLUSION
The aim here was to compare simple and pure shear configurations under large
deformation. In this way, the mechanical behavior of Polydimethylsiloxane under shear
deformation was investigated by means of two different experimental approaches: a single lap
joint under tensile and a thin sheet under normal tensile, providing simple and pure shear
deformation, respectively. Full-field displacements were estimated through the Digital Image
Correlation method and the principal stretches were estimated in both cases. The results of
simple shear case show that the stretch λ2 decreases with increasing principal stretch λ1,
while, for pure shear, the stretch λ2 remains constant with increasing principal stretch λ1.
Therefore, it is clear that there are some differences between the two shear cases, which are
clearly seen in this work. Finally, it should be mentioned that these are preliminary results and
further investigations will follow this work.
7. ACKNOWLEDGEMENTS
The authors would like to express their gratitude to the Ministry of Science and
Technology. The present paper received financial support from Brazilian agencies CNPq and
FAPERJ.
60
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9. RESPONSIBILITY NOTICE
The authors are the only responsible for the printed material included in this paper.