UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E
ENGENHARIA DE PETRÓLEO (PPGCEP) FÍSICA APLICADA À EXPLORAÇÃO E À PRODUÇÃO DE PETRÓLEO E GÁS
NATURAL (FAP)
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
SIMULAÇÃO DE FLUXO NO MEIO POROSO UTILIZANDO O FLUENT
Adriano Almeida Ferreira
Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena
Natal/RN, Junho 2009
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
ADRIANO ALMEIDA FERREIRA
SIMULAÇÃO DE FLUXO NO MEIO POROSO UTILIZANDO O FLUENT
Dissertação apresentada ao Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo - PPGCEP da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciência e Engenharia de Petróleo.
Liacir dos Santos Lucena - Orientador
Natal/RN, Junho 2009
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
SIMULAÇÃO DE FLUXO NO MEIO POROSO UTILIZANDO O FLUENT
Por
ADRIANO ALMEIDA FERREIRA
Dissertação aprovada para a obtenção do título de Mestre no Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo – PPGCEP, pela banca examinadora formada por:
Presidente: ________________________________________________
Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena – Orientador, UFRN
Membro: ________________________________________________
Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva, UFRN
Membro: ________________________________________________
Prof. Dr. Francisco Edcarlos Alves Leite , UFERSA
_________________________________________
Coordenador - PPGCEP Prof. Dr. Wilson da Mata, UFRN
Natal, 29 de mês Junho de 2009
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 iii
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
FERREIRA, Adriano Almeida – Simulação de Fluxo no Meio Poroso Utilizando o Fluent. Dissertação de Mestrado, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Àrea de Concentração: Física Aplicada à Exploração e à Produção De Petróleo E Gás Natural (Fap), Natal, Brasil. Orientador: Prof. Liacir dos Santos Lucena
RESUMO
A complexidade do fenômeno do fluxo de um fluido em meios porosos causa uma dificuldade em sua descrição explícita. Diferente nos casos em que o fluxo se dar através de uma tubulação, onde é possível medir o comprimento e diâmetro da tubulação, bem como determinar sua capacidade de escoamento em função da pressão, a qual é uma tarefa complicada em meios porosos. Todavia, tentamos aborda de maneira clara as equações utilizadas para conjeturar o comportamento do fluxo de fluido no meio poroso. Fizemos uso do Gambit para criar uma geometria fractal e com o Fluent demos as condições de contornos desejadas para analisar os dados. A malha criada foi triangular, ela faz interações com os discos, de raios diferentes, colocados como obstáculos na geometria. Este trabalho apresenta os resultados de uma simulação com fluxo de fluidos viscosos (óleo-líquido). O óleo flui em um meios porosos construído em 2D. A avaliação do comportamento do escoamento do fluido no interior do meio poroso foi realizada com gráficos, imagens e resultados numéricos utilizados para diferentes análises de dados. O estudo desenvolvido foi visando o comportamento da permeabilidade (k) em relação a diferentes dimensões Fractais. Levando em conta a conservação da porosidade e o aumento da Fractalidade com a distribuição dos discos. Os resultados mostraram que k diminui quando aumentamos os números dos discos, apesar de que a porosidade é a mesma para todas as gerações da primeira simulação, ou seja, a permeabilidade diminui quando aumentamos a fractalidade. Pois, existem fortes turbulências no fluxo cada vez que aumentamos a quantidade dos discos e isso dificulta a passagem do mesmo para a saída. Estes resultados permitiram por em evidência o quão a permeabilidade (k) é afetada em um meio poroso com obstáculos distribuídos de maneira diversificada. Verificamos também que k decresce quando aumentamos a variação da pressão (∆P) no interior da geometria. Portanto, diante dos resultados e da ausência de subsídios bibliográficos sobre outras teorias, o trabalho aqui realizado pode ser considerado possivelmente uma forma inédita de se explicar e refletir como a permeabilidade é modificada quando aumentamos a dimensão fractal em um meio poroso.
PALAVRAS-CHAVES: Fluido, Fractal, Meio Poroso, Simulação e Permeabilidade.
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 iv
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
ABSTRACT
The complexity of the Phenomenon of fluid flow in porous way causes a difficulty in its explicit description. Different in the cases where the flow is given through a pipe, where it is possible to measure the length and diameter of the pipe and to determine their ability to flow as a function of pressure, which is a complicated task in porous way. However, we try to approach clearly the equations used to conjecture the behavior of fluid flow in porous way. We made use of the Gambit to create a fractal geometry with the fluent we give the contour´s conditions we would want to analyze the data. The triangular mesh was created; it makes interactions with the discs of different rays, as barriers putted in the geometry. This work presents the results of a simulation with a flow of viscous fluids (oil-liquid). The oil flows in a porous way constructed in 2D. The behavior evaluation of the fluid flow inside the porous way was realized with graphics, images and numerical results used for different datas analysis. The study was aimed in relation at the behavior of permeability (k) for different fractal dimensions. Taking into account the preservation of porosity and increasing the fractal distribution of the discs. The results showed that k decreases when we increase the numbers of discs, although the porosity is the same for all generations of the first simulation, in other words, the permeability decreases when we increase the fractality. Well, there are strong turbulence in the flow each time we increase the number of discs and this hinders the passage of the same to the exit. These results permitted to put in evidence how the permeability (k) is affected in a porous way with obstacles distributed in a diversified form. We also note that k decreases when we increase the pressure variation (∆P) within geometry. So, in front of the results and the absence of bibliographic subsidies about other theories, the work realized here can possibly by considered the unpublished form to explain and reflect on how the permeability is changed when increasing the fractal dimension in a porous way.
Key words: Fluid, Fractal, Porous way, Simulation and Permeability
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 v
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, o
som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta.”
( Benoit Mandelbrot, em seu livro “ The Fractal Geometry of Nature” – 1983)
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 vi
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
DEDICATÓRIA
Dedico essa dissertação em memória ao meu irmão, Fernando Wagner de Almeida, por toda sua determinação, coragem, compreensão e respeito pela vida.
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 vii
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
AGRADECIMENTOS
Ao meu Deus por está sempre presente na minha vida.
Aos meus pais, que são meu alicerce na construção de cada obra que faço durante
minha trajetória.
Ao meu orientado, o Professor Dr. Liacir dos Santos Lucena, por fazer parte e
compreender situações que a vida nos impõe como parte dela e pela competente orientação
na elaboração desta dissertação e por todo profissionalismo, ensinamentos e confiança,
depositada em mim, no decorrer do curso.
Aos meus sobrinhos que estão cada dia mais presente na minha vida. Sempre me
descontraindo mediante a realidade.
Ao meu avô João Gomes de Almeida que vibrava muito pelo meu sucesso nos
estudos.
A minha Tia Maria Veronilda de Almeida. A meu primo Tony Tayrone de
Almeida Raulino por esta sempre me ajudando.
A Samyr Silva B. Jácome por todas as horas de preocupações e de ajudas em
relação a esse trabalho.
A todos os meus amigos por acreditarem no meu potencial. Principalmente a
Eduardo Júnior e Albery Lucio da Silva.
A Professora Auta Stella de Medeiros Germano pelo apoio e por ser um tipo de
anjo de luz na minha vida. A Ana Patrícia Alves Ferreira por ser uma amiga verdadeira.
Aos Professores Idalmir de Souza, Milton, Vamberto Dias, Francisco de Assis P.
Piolho, Valdomiro Morais, Auta Stella, José Ronaldo, Josélio Rafael, Carlos Ruiz e
Thomas Dumelow por tudo que fizeram durante a minha graduação.
Por fim, a todos que contribuíram para essa realização e a família PPGCEP.
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 viii
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
ÍNDICE
RESUMO.............................................................................................................................iv
ABSTRACT..........................................................................................................................v
DEDICATÓRIA..................................................................................................................vii
AGRADECIMENTOS.......................................................................................................viii
ÍNDICE DE FIGURAS........................................................................................................xi
ÍNDÍCE DE TABELAS.....................................................................................................xiv
Capítulo I
1. Introdução Geral..............................................................................................................02
1.1. Justificativa e relevância...............................................................................................03
1.2. Problema da Pesquisa...................................................................................................05
1.3. Objetivo........................................................................................................................07
1.3.1 Objetivos Gerais.........................................................................................................08
1.3.2 Objetivos Específicos.................................................................................................08
1.4. Roteiro de Dissertação..................................................................................................08
Capítulo II
2. Aspectos Teóricos...........................................................................................................11
2.1 Caracterizando o Fluido................................................................................................11
2.1.1. Tipos de Fluidos........................................................................................................12
2.1.2. Porosidade.................................................................................................................14
2.1.3. Lei de Darcy..............................................................................................................15
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 ix
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
2.1.4. Equação de Navier-Stokes.........................................................................................17
2.1.5. Fractais......................................................................................................................33
2.1.6. Fractais Aleatórios.....................................................................................................41
Capítulo III
3.1. Fluent............................................................................................................................44
3.2. Delineamento/Modelagem da Simulação.....................................................................46
3.3. Gambit..........................................................................................................................52
Capítulo IV
4.1. Seleção de Valores Representativos para a Simulação................................................59
4.2. Avaliando a Dimensão Fractal.....................................................................................68
4.3. Analise da Permeabilidade de Fluxo............................................................................69
Capítulo V
5.1. Conclusão.....................................................................................................................78
5.2. Perspectivas..................................................................................................................79
Referências..........................................................................................................................80
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 x
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
ÍNDICE DE FIGURAS
Capítulo I
1. Introdução Geral
Capítulo II
2. Aspectos Teóricos
Figura (2.1) – Forças tangenciais aplicadas ás faces de um corpo sólido..........................11 Figura (2.2) - Experimento da Lei de Darcy para fluxo de água.......................................16 Figura (2.3) - Exemplo de um Fractal auto similar infinito.................................................34 Figura (2.4) - Exemplo de um galho de árvore Fractal.......................................................35 Figura (2.5) - Movimento de uma partícula no espaço........................................................35 Figura (2.6) - Olhando para uma parte no certo intervalo de tempo do movimento de uma partícula no espaço..............................................................................................................36 Figura (2.7) - Exemplo de como começa a gerar um Fractal Peano Curve.........................36 Figura (2.8) - Seqüência de como começa a gerar um Fractal Peano Curve.......................37 Figura (2.9) - Mostra um quadrado de dimensão Fractal dois, gerado por uma linha de dimensão um........................................................................................................................37 Figura (2.10) - Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto começando por uma linha.........................................................................................37 Figura (2.11) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um quadrado e um triângulo......................................................................38 Figura (2.12) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um cubo......................................................................................................38 Figura (2.13) – Exemplificando o calcular da dimensão Fractal.........................................39 Figura (2.14) – Exemplificando o cálculo da dimensão Fractal Koch Snowflake..............39
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xi
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
Figura (2.15) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas...................................................................................................................................40 Figura (2.16) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas colocando o fractal em caixas de diferentes tamanhos.............................................41
Figura (2.17) – Exemplo Fractais aleatórios.......................................................................42
Capítulo III
3. Metodologia Experimental
Figura (3.1) - Primeira janela quando abrimos o FLUET para encontramos a geometria feita no GAMBIT ..............................................................................................................45 Figura (3.2) – Primeira janela quando abrimos o FLUET como a função Grid de leitura dos dados advindos do GAMBIT........................................................................................46 Figura (3.3) - Primeira janela quando abrimos o FLUET com as funções de contornos...46 Figura (3.4) - Primeira janela quando abrimos o GAMBIT nela contém todas as funções que se necessita para fazer as geometrias e enviar para a memória do computador em uso........................................................................................................................................53 Figura (3.4.a) - Cria um ponto no espaço............................................................................53 Figura (3.4.b) - Cria os vértices da geometria.....................................................................54 Figura (3.4.c) - Cria as faces................................................................................................54 Figura (3.4.d) - Cria as interações da malha com os vértices..............................................55 Figura (3.5) - Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos........56 Figura (3.6) - Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos........56 Figura (3.4.f) - Cria as condições de contorno....................................................................57
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xii
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
Capítulo IV
4. Resultados e Discussões
Figura (4.1) - Referente a primeira geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................61 Figura (4.2) - Referente a segunda geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrada esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................62 Figura (4.3) - Referente a terceira geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................63 Figura (4.4) - Referente a quarta geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................64 Figura (4.5) - Referente a quinta geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................65 Figura (4.6) - Referente a sexta geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................66 Figura (4.7) - Referente a sétima geração da simulação. Ela representa os valores da velocidade do fluxo que entrar da esquerda (aonde fica a escala) para direita. (Imagens retirada do Software FLUENT)...........................................................................................67 Figura (4.8) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 10 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................72 Figura (4.9) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 11 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................72
Figura (4.10) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de
12 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do
Software FLUENT).............................................................................................................73
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xiii
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
Figura (4.11) - Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 13 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................73 Figura (4.12) – Referente a sétima geração da simulação onde a variação da pressão é de 14 atm. Cada seta representa os vetores da velocidade do fluxo. (Imagens retirada do Software FLUENT).............................................................................................................74 Figura (4.13) - Número de Reynolds da sétima geração verifica-se que o fluxo do fluido é turbulento ou instável (Imagens retirada do Software FLUENT).......................................76
Capítulo V
5. Conclusão
ÍNDICE DE TABELAS
Capítulo I
1. Introdução Geral
Capítulo II
2. Aspectos Teóricos
Tabela (2.1) – Definição da equação matemática dos fluidos Newtonianos e Não- Newtonianos........13
Capítulo III
3. Metodologia Experimental
Tabela (3.1): Tabela das Áreas e dos Raios dos discos.......................................................49
Tabela (3.2): Tabela ilustrativa das distribuições dos discos até a sexta geração...............52
Capítulo IV
4. Resultados e Discussões
Capítulo V
5. Conclusão
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xiv
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
ÍNDICE DE GRÁFICOS
Capítulo I
1. Introdução Geral
Capítulo II
2. Aspectos Teóricos
Capítulo III
3. Metodologia Experimental
Capítulo IV
4. Resultados e Discussões
Gráfico (4.1) - Gráfico do número de caixas não vazias (N) por largura das caixas (L).
Para L = 10 mm N vale aproximadamente 167. Para L = 5mm N vale aproximadamente
502. Para L = 1 mm N é aproximadamente 3064................................................................69
Gráfico (4.2) - Referente a permeabilidade do fluxo em um meio poroso fractal com
relação a geração quarta, quinta, sexta e sétima da simulação............................................71
Gráfico (4.3) - Gráfico de como a permeabilidade é alterada em função do aumento da
variação da pressão. Mostra do declínio da permeabilidade do fluxo quando aumentamos a
variação da pressão para 11, 12, 13 e 14 atm......................................................................75
Capítulo V
5. Conclusão
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xv
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
NOMENCLATURA
τ - Tensão de Cisalhamento
F - Força aplicada na direção do escoamento
S - Área de superfície exposta ao cisalhamento
γ - Taxa de Cisalhamento
v∆ - Diferença de velocidade entre duas camadas de fluido adjacente
y∆ - Distância duas camadas de fluido adjacente
µ - Viscosidade dinâmica
aµ -Viscosidade aparente
NR - Numero de Reynolds
ρ - Densidade do fluido
η - Coeficiente de viscosidade
ν = u - Velocidade média de escoamento
d - diâmetro do tubo
φ - Porosidade
tV - Volume total
pV - Volume poroso
eφ - Porosidade efetiva
iV - Volume de poros interconectados
tV - Volume total.
Q - Volume total do fluido por unidade de tempo
µ – Viscosidade
L - Comprimento do meio poroso
A – Área
P – Pressão
K - Constante de proporcionalidade absoluta
aK - Constante de proporcionalidade efetiva
ϕ - o potencial de fluxo do fluído
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xvi
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN
s - a trajetória de fluxo
q - a vazão volumétrica através do meio poroso
γ - Peso específico do fluído
z e zo - Alturas em relação a um nível de referência arbitrário
p e po - São pressões atuantes nos níveis z e zo, respectivamente
ρ - Massa especifica do fluído;
β - Coeficiente de resistência inercial ou de fluxo não newtoniano
qs - Fluxo de calor
k, - condutividade térmica do meio
T - Temperatura
cp - Capacidade calorífica do fluído
T0 - Temperatura de referência;
M – Massa molecular
Z - Fator de compressibilidade
R - Temperatura universal
D - Dimensão fractal
N - Número de forma idêntica.
h – Tamanho do lado de cada caixa
Adriano Almeida Ferreira, Fevereiro / 2009 xvii
___________________________________
Capítulo I
Introdução Geral
___________________________________
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 2
CAPÍTULO I. INTRODUÇÃO GERAL
1. Introdução
À medida que a humanidade cresce, em números de habitantes, surge à
necessidade de aumentar as fontes energéticas que estão sempre impulsionando o
desenvolvimento da sociedade. Pois é notória a importância das transformações de
energia no nosso cotidiano. Um, entre vários exemplos que poderia ser citado, é o
combustível utilizado pelos meios de transportes para facilitar o deslocamento das
pessoas e de matéria prima.
Logo, o funcionamento desses meios de transportes só é possível com a
utilização de alguma fonte de energia. Com isso, surge o desafio de produzir,
transformar ou extrair da natureza fontes que supram as necessidades energéticas da
sociedade.
A primeira vista pode parecer uma tarefa complicada vencer um desafio tão
grandioso. Grandioso por que há uma diversidade muito grande de mecanismos, em
nosso meio, que necessitam da utilização de energia para poderem funciona.
Proporcionando, com isso, um alto índice de consumo de energia. Mas com união de
idéias e força de vontade se consergue êxito em qualquer desafio.
Pensando assim, o presente trabalho converge para uma parte do problema, no
mar de sugestões que podem ser levantadas, que seria o aumento na produção de
Petróleo. Pois é sabido que o petróleo é uma das principais fontes convencionais de
energia da sociedade moderna. Além do mais, quando refinado ele se transforma
também em querosene, óleo diesel, óleo lubrificante, solvente, tintas, asfalto, plástico,
borracha sintética, fibras, produtos de limpeza, gelatinas, remédios, explosivos e
fertilizantes.
Com isso, expandir as reservas de Petróleo é essencial para uma sociedade
moderna. É o que diferentes nações estão preocupadas em fazer e até brigam com todo
ímpeto de violência por isso. Pois já observaram que é necessária uma estabilidade no
setor energético para favorecer o seu País em busca de um desenvolvimento, que ocorra
de maneira sólida.
Destarte, a busca pela produção do “ouro negro” está cada vez mais valiosa. E é
visando tal valor que esse trabalho se fundamenta, ou seja, todo alicerce contínuo
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 3
teórico do mesmo está direcionado para tentar refletir sobre o aumento na produção do
Petróleo.
Para isso, recorreremos aos conhecimentos teóricos da Hidrodinâmica que é uma
das áreas que a Física tem de mais provocante e encantadora. Com o domínio da
hidrodinâmica vem a possibilidade de explicar, talvez de modo geral, o vôo de uma ave,
a trajetória de uma bola de futebol, as ondas atrás de um barco, a ação de um
instrumento de sopro e entender como ocorre o fluxo do fluido no meio poroso. Este
último é o nosso principal interesse.
Apesa que a Hidrodinâmica estuda a matéria em bulk, sem se preocupar sobre
sua natureza microscópica. Olha apenas para um nível macroscópico de descrição é
fato do cotidiano, mas revela uma reflexão de verdade bem profunda.
Outra área de conhecimento bastante aplicada é a Mecânica Estatística. Pois, a
turbulência do fluido parece requerer uma relevância nas aplicabilidades estatísticas
para sua descrição e compreensão. Sabendo que a união da eletrodinâmica,
termodinâmica e hidrodinâmica têm um forte elo com a Mecânica, a qual hoje é usada
em qualquer sistema de muitas unidades que interagem entre si e com o sistema.
Então, devemos usar os conhecimentos teóricos e o Solfware Fluent para
alcançar uma simulação cheia de boas reflexões. Já que eles caracterizam uma leitura
autosuficiente da dinâmica de um fluido em um meio posoro, guiados por propriedades
como a densidade, viscosidade, pressão, tensão superficial, entre outras.
1.1 Justificativa e Relevância
Mediante o que foi dito, as razões que justificam abordar o tema é tentar
contribuir para um aumento do Petróleo nas referidas indústrias. Tendo em vista que um
reservatório, quando entra em processo de explotação, corresponde somente a trinta por
cento do Petróleo existente no subsolo. Com isso, precisamos de novas técnicas ou
estratégias para tentar elevar a porcentagem de extração do referido óleo.
E essa necessidade de aumento surge divido ao alto índice de utilização do
Petróleo em nosso país e no mundo. Como afirma Edivan Pinto, Marluce Melo e Maria
Luisa Mendonça: “Recentes estudos sobre os impactos causados pelos combustíveis
fósseis contribuíram para colocar o tema dos biocombustíveis na ordem do dia.
Atualmente, a matriz energética é composta por petróleo (35%), carvão (23%) e gás
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 4
natural (21%). Apenas dez dos países mais ricos consomem cerca de 80% da energia
produzida no mundo. Entre estes, os Estados Unidos são responsáveis por 25% da
poluição atmosférica. Analistas estimam que, dentro de 25 anos, a demanda mundial por
petróleo, gás natural e carvão tenham um aumento de 80%”. Lembrando que a presente
dissertação visa somente a preocupação com o aumento na produção do Petróleo.
Logo, simular como o mesmo se propaga no subsolo é um bom começo para
uma compreensão, que tenha como objetivo alcança metas para alavancar o crescimento
da produção das indústrias petrolíferas. Pois uma simulação significa a técnica de
estudar o comportamento e reações de determinados sistemas através de modelos. “Ato
ou efeito de Simular. Experiência ou ensaio realizado com o auxílio de modelos
(AURÉLIO, 2002).”
O software usado nos oferece uma simulação de processos que nos permite fazer
uma análise de sistemas sem a necessidade de interferi no mesmo. Todas as mudanças e
conseqüências, por mais profundas que sejam, ocorrerão apenas com o modelo
computacional e não com o sistema real. Levando em conta que o trabalho feito,
também nos proporcionando a possibilidade de estudos continuados e diversificados,
coisa que o sistema real não permite.
A simulação do fluxo de fluido através de meios porosos é importante, pois
existem muitas situações diárias que vão desde recuperação de petróleo até estudos
teóricos e experimentais praticados há muito tempo. Além do mais, devido ao meio
poroso exibi muitas propriedades interessantes, como heterogeneidade e diferentes
poros, que são difícies de serem interpretadas numericamente.
Com isso, visamos também ampliar o desenvolvimento econômico que é um
processo complexo de mudanças e transformações sociais. Como diz Góes Pacheco -
“Através do qual a sociedade torna-se capaz de produzir maior quantidade de bens e
serviços, destinados a satisfazer as sempre crescentes e diversificadas necessidades
humanas. De modo mais simples, pode-se dizer que o desenvolvimento econômico é o
processo de crescimento da economia de uma nação, que implica mudanças qualitativas
associadas, como melhores condições de vida para a população”.
Portanto, o presente trabalho é justificável pois fizemos um grande esforço
adicional de pesquisa, para aperfeiçoar a caracterização e simulação dos reservatórios,
de forma a promover uma recuperação suplementar, garantindo uma produção mais
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 5
eficiente e construímos uma nova geração de simuladores fazendo uso da plataforma de
trabalho, software FLUENT, incorporando conceitos modernos, tais como, leis de
fractalidade para melhor caracterizar a influência das escalas nas rochas [25]. Fazendo
todas as preparações da geometria do meio poroso - incorporando os novos conceitos -
geração da malha da rede utilizando o GAMBIT. E por fim resolvemos o problema
utilizando o FLUENT, que analisa os resultados e os refina se necessário.
1.2 Problema da Pesquisa
O primeiro passo para se obter certa quantidade de Petróleo é inteirar-se do
paradeiro do mesmo no subsolo. Existem maneiras que facilitam e comprovam uma
grande possibilidade de localização dele.
Como, por exemplo, os métodos Geofísicos que utilizam dados de rochas
localizadas na sub-superfície e também o método sísmico que se baseia na emissão de
ondas sísmicas artificiais em sub-superfície, ou no mar, geradas por explosivos, ar
comprimido ou pela queda de pesos ou vibradores e depois de percorrerem
determinadas distâncias no interior da crosta terrestre e serem refletidas ou refratadas
nas descontinuidades existentes, as ondas retornam à superfície sendo captadas por
sensores(Geofones ou Hidrofones), entre outros. Depois da localização e caracterização
do reservatório pensa-se em extrair o óleo até a superfície.
O segundo passo tem que responder da melhor maneira possível a seguinte
pergunta: qual a elevação mais adequada para determinado reservatório? A pergunta se
faz com predominância em relação aos reservatórios, pois são raros os que produzem
por surgencia. Com isso, temos que conhecer os metodos de elevação artificiais para
uma escolha que melhor se enquadre com o reservatório, pois existem vários fatores que
devem ser levados em conta na seleção do método de elevação. Fatores como a
existência de água no reservatório, ou um grande excesso de Gás, entre outros fatores.
Os métodos de elevação mais comuns na indústria do petróleo são: Gás-lift
Contínuo (GLC); Bombeio Centrífugo Submerso (BCS); Bombeio Mecânico com
Hastes (BM) e Bombeio por Cavidades Progressivas (BCP). Vamos escrever de
maneira sucinta cada um dos métodos.
O GLC baseia-se na injeção contínua de gás a alta pressão na coluna de
produção [35]. A intenção é aumenta a pressão na coluna de produção. Pois quando isso
acontecer aumenta um pouco a vazão.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 6
No Bombeio Centrífugo Submerso (BCS) coloca-se um motor na superfície. O
motor funciona como transformador de energia elétrica em energia mecânica para uma
bomba centífuga que está conectado por um cabo ao motor. A bomba está localizada na
subsuperfície e transmite a energia mecânica para o fluido sob forma de pressão.
Já no Bombeio Mecânico com Hastes (BM) a energia vem do movimento
rotativo de um motor elétrico ou de uma combustão interna que é transformado em
movimento alternativo por uma unidade de bombeio localizada próxima à cabeça do
poço. Uma coluna de hastes transmite o movimento alternativo para o fundo do poço,
acionando uma bomba que eleva os fluidos produzidos pelo reservatório para a
superfície.
E no Bombeio por Cavidades Progressivas (BCP) a transferência de energia ao
fluido é feita através de uma bomba de cavidades progressivas. É uma bomba de
deslocamento positivo que trabalha imersa em poço de petróleo, constituída de rotor e
estator.
Mas, os conhecimentos citados, nos quatros últimos parágrafos, não são
suficientes para garantir uma produção satisfatória do combustível líquido natural
constituído quase só de hidrocarbonetos. Pois, sabe-se que o período de vida de um
reservatório representa a extração de trinta por cento da totalidade líquida do mesmo, ou
seja, apenas trinta por cento dele chega até a nossa superfície. Como diz Thomas [35]:
“estimativas feitas em diversos locais têm conduzido a um fator de recuperação médio
de cerca de 30%, considerando-se apenas processos convencionais de recuperação, ou
seja, de todo o óleo já descoberto, cerca de 30% pode ser recuperado por processos
convencionais de recuperação”. Logo, apresentar uma maneira que cresça essa
porcentagem seria muito louvável para todas as indústrias petrolíficas pois grande parte
das reservas estão em declínio de produção.
É pensando assim que surge uma pergunta pertinente: como retirar parte dos
setenta por cento do Petróleo que permanece no subsolo? Esse trabalho mostra, através
do software FLUENT que simula o fluxo do fluido no meio poroso, uma visualização
gráfica e visual de como possivelmente se comporta o fluxo em um reservatório.
Estudando como se propaga o fluxo do fluido nas rochas, levando em conta
suas Leis, e simulando como se propaga tais fluxos no subsolo, acreditamos está
contribuindo para um acréscimo na produção do petróleo. Pois entendendo como o
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 7
fluxo se propaga no meio poroso e tentando visualizar os vetores da velocidade e as
pressões em todo o sistema, como consta nas figuras 4.11; 4.12; 4.13; 4.14 e 4.15, fica
uma segurança maior para adotar estratégias de extração, ou escolher um local
apropriado para a perfuração de um poço. E consequentemente uma possibilidade de
melhoria na produção.
Destarde, como se propaga o fluxo de óleo no subsolo? Como na natureza
muitos fenômenos acontecem de maneira aleatória. Como por exemplo, um rebanho de
pássaros, quando são assustados por alguma coisa, voam de maneira aleatória e com
uma sincronia perfeita. Outro exemplo seria uma palmeira, onde as copas crescem de
forma fractal. Com isso, acatamos a ideia de que o fluxo do fluido também se comporta
de maneira aleatória e fractal. Mediante disso fizemos uma simulação no FLUENT com
base nesse pensamento para obtenção de dados que venham proporcionar reflexões
proveitosas a respeito do fluxo de Petróleo no subsolo.
1.3 Objetivo
As simulações feitas neste trabalho vão ter um nível de aprofundamento
realizado em duas dimensões. Devido aos poucos trabalhos, em nosso país, utilizando o
software FLUENT fica válido o estudo como um incentivo inicial. Não como algo
acabado, mas como um incentivo a utilização das simulações para as indústrias de
Petróleo.
Contudo, o que é um Software? Entende-se como software “uma seqüência de
instruções a serem seguidas e/ou executadas, na manipulação, redirecionamento ou
modificação de um dado/informação ou acontecimento. Software também é o nome
dado ao comportamento exibido por essa seqüência de instruções quando executada em
um computador ou máquina semelhante”.
Estudar como se processa o fluxo do Petróleo no subsolo partindo de
observações feitas na natureza e levando em conta os conhecimentos teóricos. Tentando
aproveitar a junção das teorias com os fenômenos observados na simulação e depois
associá-los a prática das indústrias petrolíferas.
Simular no software FLUENT o comportamento do fluxo de óleo em meios
porosos Fractais. Tentando tirar o máximo de clareza para uma visão menos abstrata no
que diz respeito ao fluxo do fluido em meios porosos. Tendo em vista que o fluxo do
petróleo acontece no subsolo e não temos como ver os caminhos percorridos por ele.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 8
Caracterizar o perfil do poço com as ferramentas que o FLUENT dispõe, como
por exemplo, o GRAMBIT. Este por sua vez nos permite: fazer uma simulação de como
ocorre o fluxo no subsolo, além de sólida capacidade de modelagem, limitar as zonas
nas cessões, gravar os dados para uma nova exploração e qualificação nos exames, entre
outras permissões. Com isso, acreditamos está contribuindo com o desenvolvimento de
uma nova visão e conhecimento para as indústrias petrolíferas.
1.3.1 Objetivos Gerais
O objetivo geral é criar um simulador alternativo pertencente a uma nova
geração de simuladores que implante conceitos modernos (Exemplo leis de escala e
fractalidade) em sua análise utilizando o software FLUENT para simular o fenômeno de
escoamento em meios porosos. Além disso, a simulação fica amarzenada no sofltware e
pode ser testada várias vezes mudando os valores das viscosidades, pressão e
porosidades para diferentes composições.
1.3.2 Objetivos Específicos
O objetivo específico é analisar o efeito global no movimento de óleo e
gás em reservatório de petróleo no que diz respeito à extração e recuperação de
petróleo. Faremos isso, observando como se comporta a permeabilidade (k) com o
aumento na quantidade de discos no meio poroso, porém conservando a mesma
porosidade para todas as gerações.
1.4 Roteiro de Dissertação
A estrutura do trabalho está distribuída em partes, mas que todas elas estão
interligadas e fundidas de maneira que as partes obtiveram uma complementação uma
da outra formando um todo.
A primeira contém a introdução geral, onde foi abordado o problema da
pesquisa e os motivos pelos quais concordamos para o desenvolvimento deste trabalho.
Além de conter os objetivos que se pretende alcançar e as justificativas relevantes para
o tema proposto. Nesta parte você, além de ter uma visão de como vai ser o trabalho,
tem também a possibilidade de concordar com a fundamentação e construção do esboço
do mesmo.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Introdução
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 9
Na segunda, encontram-se as fundamentações teóricas. Com elas analisaremos
os testes feitos na simulação com mais segurança de estarmos condizente com o natural
dos poços. Apesar de que a simulação é feita em duas dimensões e o fluxo no real se dar
em três dimensões. Os fundamentos teóricos são regidos no que existe de mais moderno
na literatura. Podemos citar: a Lei de Darcy que fundamenta fluxo de fluido em meios
porosos e a equações de Navier Stok que conceitua as mudanças no momento e
aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto das mudanças na
pressão e forças viscosas dissipativas atuando dentro do fluido
A terceira se encarrega de explicar o funcionamento do software FLUENT,
como foi feita a simulação, porque o Fluent é importante nesses testes e quais as
vantagens da utilização do mesmo. Também contida nesta parte está o GAMBIT que
cria os modelos geométricos e depois permite que o FLUENT rode os comandos
desejados para obter os dados da simulação.
E na quarta, então os resultados das reproduções ou representações do
funcionamento do processo da simulação. Como também as conclusões que
fundamentam os conhecimentos teóricos contidos na própria dissertação. Contém os
gráficos, figuras e dados da simulção.
A última parte apresenta as conclusões e as recomendações que julgamos
necessárias. É a parte mais preciosa do trabalho, pois fica concentrada toda importância
dos resultados da pesquisa e propostas para a continuação da mesma.
___________________________________
Capítulo II
Aspectos teóricos
___________________________________
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 11
CAPÍTULO II. ASPECTOS TEÓRICOS
Neste capítulo, são apresentados os principais aspectos teóricos que
fundamentaram a compreensão do método proposto.
2.1 Caracterizando o Fluido
O conceito de fluido, de maneira grosseira, é algo que flui. Esse algo é
caracterizado como um gás, um líquido ou um plasma. Devido não possuir uma forma
fixa, o fluido não tem resistência à deformação, permitindo com isso que ele flua.
Então, todo o sistema que não tenha forma fixa, quando submetido a uma força, na
escala de tempo de interesse é considerado como fluido.
Observe que se aplicarmos duas forças tangenciais de sentido contrário as faces
de um corpo sólido, figura 2.1, o mesmo sofre uma deformação até certo ponto e chega
a um novo ponto de equilíbrio. Quando retirarmos as forças o sólido volta à sua forma
original. Com o fluido é diferente, as forças provocam uma deformação contínua, ou
seja, um fluido não reassume a sua forma original quando extraímos as forças externas.
Figura (2.1) - Forças tangenciais aplicadas ás faces de um corpo sólido (Machado,2002)
Logo, um fluido não produz uma força elástica que seja de sentido contrário ao
cisalhamento. Força de cisalhamento é uma força aplicada paralelamente à superfície,
criando deformação internamente em direção angular. Em decorrente a isso ele escoa
devido a qualquer tensão tangencial.
Tensão de Cisalhamento e Taxa de cisalhamento são dois termos de valores
conceituais que nos ajudaram para compreender o fenômeno do cisalhamento e a
definição de viscosidade.
A Tensão de Cisalhamento é a ração de uma força sobre a área cisalhante,
necessária para manter o escoamento do fluido [25]. O atrito entre as interações do
fluido com meio é quem requere a tensão, que pode ser expressa por:
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 12
S
F=τ
(2.1)
Onde F é a força aplicada na direção do escoamento e S é a área de superfície exposta
ao cisalhamento.
A Taxa de Cisalhamento é a razão da variação da velocidade das partículas
como a variação da distância entre elas, que pode ser expressa por:
y
v
∆
∆=γ
(2.2)
Onde v∆ é a diferença de velocidade entre duas camadas de fluido adjacente e y∆ é a
distância entre elas.
2.1.1. Tipos de Fluidos
Os Fluidos são classificados em dois tipos Newtonianos e não-Newtonianos.
Newtonianos quando a viscosidade é única e absoluta. Isso acontece quando a razão
entre a tensão de cisalhamento e a taxa de cisalhamento é constante. Podemos citar
como exemplos de fluidos Newtoniano, os gases e todos os sistemas homogêneos e
monofáticos. O fluido Newtoniano é definido matematicamente pela equação:
γ
τµ =
(2.3)
onde µ, denominada de viscosidade dinâmica, τ é a tensão de cisalhamento e γ
é taxa de cisalhamento.
Para viscosidade cinemática )(ν temos a viscosidade dinâmica do fluido
dividida pela massa específica )(ρ .
Já os não-Newtonianos a viscosidade não é constante, ou seja, a viscosidade va-
ria com a magnitude da taxa de cisalhamento. Um exemplo deste tipo de fluido é o
Petróleo. O fluido Não-Newtoniano é regido matematicamente pela equação:
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 13
γ
τµ =a
(2.4)
Onde, aµ é denominada de viscosidade aparente, τ é a tensão de cisalhamento e
γ é taxa de cisalhamento.
Newtoniano Não-Newtoniano
γ
τµ =
γ
τµ =a
Tabela 2.1: Definição da equação matemática dos fluidos Newtonianos e Não- Newtonianos.
O fluxo do escoamento de fluidos se comporta de duas maneiras: permanente e
transiente ou transitória. No primeiro o escoamento é estável e a velocidade permanece
constante, em um ponto, para um certo intervalo de tempo. No segundo a velocidade em
um ponto varia ao intervalo de tempo considerado.
Porém os engenheiros referem-se a dois tipos de fluidos: o laminar e o
turbulento. Eles foram caracterizados por Reynolds que mostrou que fluidos com baixa
rapidez fazem o escoamento laminar, também chamado de escoamento viscoso e em
altas velocidades o escoamento se transforma Turbulento.
Numero de Reynolds:
É definido por:
η
νρdN R =
(2.5)
onde ρ é a densidade do fluido, η é o coeficiente de viscosidade, ν o modulo da
velocidade média de escoamento pra frente e d o diâmetro do tubo. Verifica-se
experimentalmente que o escoamento de um fluido qualquer será:
Laminar se NR < 2.000;
Turbulento se NR > 3.000 e
Instável, isto é, fica alternando de um regime para outro, se 2.000 < NR< 3.000.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 14
2.1.2. Porosidade
A palavra poro está inserida em nosso meio social desde muito certo. Um
exemplo disso é quando falamos que estamos suando através dos poros. Mas, o que é
poro? Cada um dos pequenos orifícios em certas matérias sólidas, ou seja, espaços
vazios em um meio. Então pensando um pouco mais concluímos que nosso corpo é
poroso. Logo depois, surgi à palavra porosidade em nosso vocabulário. Levando para os
meios rochosos, pois eles são caracterizados porosos. Por ter descontinuidades em seu
interior, essas descontinuidades recebem o nome de vazios ou poros. A porosidade de
uma rocha é a razão entre o volume dos espaços vazios e o volume total da formação
rochosa.
Matematicamente:
t
p
V
V=φ
(2.6)
onde tV é o volume total e pV é o volume poroso.
A porosidade absoluta é a razão entre o volume de todos os poros e o volume
total da rocha.
A razão entre o volume dos poros interconectados e o volume total da rocha dá-
se o nome de porosidade efetiva [35]. A porosidade efetiva é o parâmetro realmente
importante para a indústria do petróleo, pois representa o volume máximo de fluido que
pode ser extraído da rocha, visto que nos poros isolados o fluido está confinado e não
pode ser extraído. A porosidade efetiva ( eφ ) representa o espaço ocupado pelo fluido,
que este pode ser deslocado através do meio poroso que se encontra. Visto que é uma
relação entre os espaços vazios interconectados de uma rocha com o seu volume total.
A fórmula que caracteriza a porosidade efetiva é dada por:
t
i
eV
V=φ
(2.7)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 15
Onde: eφ é a porosidade efetiva; iV é o volume de poros interconectados e tV é o volume
total.
2.1.3. Lei de Darcy
A teoria de escoamento monofásico laminar lento de fluídos através de um
meio poroso homogêneo é baseada num experimento clássico originalmente
desenvolvido por DARCY (1856), chamada lei de Darcy. Observando a purificação da
água que se dava pelo processo de filtração com areia, ele concluiu que existia uma
relação direta entre a vazão da água que atravessava os grãos de areia, a diferença de
carga relativa a vazão e a área que representava as dimensões do meio poroso. E
formulou a relação matemática que servi de base para todo o estudo feito sobre o fluxo
em meios porosos [01]:
L
hhkAQ
)12( −−=
(2.8)
O sinal negativo indica que a velocidade é na direção oposta a de maior pressão.
A variação de altura também pode ser expressa em termos de variação de pressão de
entrada e saída. A constante de proporcionalidade K é a condutividade hidráulica que
mede a permeabilidade do meio poroso.
Em reservatórios de petróleo, fluidos em fases diferentes escoam separadamente
através dos poros das rochas, em regimes de escoamento lentos, tal como ocorre neste
tipo de fenômeno. Então, nos anos de 1930, Muskat generalizou a lei de Darcy para
escoamentos bifásicos, introduzindo o conceito de permeabilidade relativa, que é uma
grandeza adimensional variando entre 0 e 1 e que multiplica a permeabilidade absoluta.
)( 21 PPA
LQK
−=
µ
(2.9)
onde Q é volume total de fluido que atravessa o filtro por unidade de tempo, µ é a
viscosidade e L e o comprimento do meio poroso, A é a seção transversal por onde
passa o fluxo e P é a pressão.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 16
A permeabilidade é uma constate de proporcionalidade do meio poroso, e esta
pode ser: absoluta (K), quando existe apenas um fluido no interior da rocha; efetiva
( aK ), que ocorre quando no interior da rocha existem mais de um fluido sendo desse
modo definida como a facilidade com que cada um dos fluidos se move no interior da
rocha. O conceito de permeabilidade relativa pode assumi a formula:
K
KK a
ra =
(2.10)
A permeabilidade absoluta depende principalmente (ou, em situações ideais,
unicamente) da saturação do fluido. Em geral, é uma função não-linear da saturação,
pois cada fluído dificulta o movimento do outro.
Figura (2.2) - Experimento da Lei de Darcy para fluxo de água (Adalberto,2006). Como a velocidade média u pode ser definida por
_
u = Q/A_
(2.11)
a lei de Darcy se transforma em
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 17
_ u =
k
µ
p2 p1− ρgh+
h
−
(2.12)
Esta equação pode ser generalizada na forma diferencial, fazendo-se h tender a
zero (SHEIDEGGER, 1974),
∇u = ( p - ρ g)k
µ−
(2.13)
onde g é o vetor na direção da gravidade e com a magnitude da aceleração da gravidade.
2.1.4. Equação de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes descrevem o fluxo do fluido no meio
poroso. Fluxo que se dá através de substâncias fluidas como os líquidos e os gases.
Estas equações segundo a literatura estabelecem que o produto das mudanças na pressão
e forças dissipativas que atuam dentro do fluido causa mudanças no momento e na
aceleração das partículas do fluido.
As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais que descrevem o
movimento do fluido como já foi dito. “Estas equações, diferentes das equações
algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por
exemplo: velocidade e pressão), em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas
de variação ou fluxo destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões
correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples
de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de
variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna”.
Para situações como, é o caso dessa dissertação, as soluções das equações de
Navier-Stokes frequentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores.
Este é um campo da ciência conhecido como CFD, sigla do inglês Computational Fluid
Dynamics ou Dinâmica dos Fluidos Computacional.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 18
Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer
várias suposições à cerca dos fluidos. A primeira é será que o fluido escorre dentro de
um meio contínuo? Será que o próprio fluxo é um meio contínuo? Isto é, será que ele
não contém vazio, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não
consiste de partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as
variáveis de interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são
diferenciáveis (isto é, não tem transição de fase).
De uma maneira geral h deixa de ser simplesmente uma altura geométrica e
passa a ser o potencial hidráulico, ou seja, a energia total do volume do fluido. Segundo
o teorema de Bernoulli a energia total permanece constante ao longo do fluxo de fluido,
para um fluxo constante e irrotacional de um fluido ideal. Portanto,
(2.14)
A energia h é a energia total que o fluido possui e que corresponde a soma das
energias ocasionadas pela pressão (piezométrica), pela velocidade (cinética) e pela
posição (altimétrica).
Substituindo h na equação teremos:
,
,
No interior das rochas podemos admitir a energia cinética como sendo
desprezível, portanto nossa equação fica:
=>
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 19
A constante K pode ser escrita em função das propriedades de densidade e
viscosidade do fluido, , a equação da vazão torna-se:
, .
A lei de Darcy leva em conta um escoamento laminar em um meio poroso
homogêneo. Darcy considera ainda o meio como sendo isotrópico. Porém para
considerar o meio como sendo homogêneo deve-se estabelecer uma escala de
homogeneidade compatível com as dimensões do meio.
Generalizando a equação de Darcy para a forma diferencial:
(2.15)
Inicialmente a Lei de Darcy, como descrita acima, foi aplicada para escoamentos
unidimensionais, no entanto ela pode ser aplicada a escoamentos em mais de uma
dimensão. Em escoamentos tridimensionais a Lei de Darcy fica:
(2.16)
Onde K passa a ser o tensor de condutividade hidráulica e grad[H] é o gradiente
de carga hidráulica que indica como ela varia em cada uma das três dimensões.
, e .
Se levarmos em conta a anisotropia do meio poroso teremos as equações:
,
,
.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 20
Ou simplesmente, , i=1,2 e 3.
Levam em conta os efeitos térmicos, comportamento de fase e muitos outros
processos. Estas equações são muito complexas e levariam várias horas para resolver
um modelo da ordem de 10 5 , imagine da ordem de 10 11 , torna-se impraticável. A
grande dificuldade de resolver estas equações é porque a maioria dos reservatórios tem
uma geometria, do espaço poroso, altamente complicado, o fluxo na escala equivalente
aos poros é governado pela equação de Navier-Stokes.
As propriedades macroscópicas de um único fluido podem ser estimadas
utilizando a lei de Darcy. Caso haja a presença de dois fluidos a lei de Darcy se aplica
para cada um. Porém, é levada em conta a saturação que corresponde à fração do espaço
poroso ocupado por cada um dos fluidos e a permeabilidade relativa que representa a
redução do fluxo devido à presença do outro fluido.
O fluido também é governado por duas leis de conservação: a conservação da
massa, admitindo que o fluido seja incompressível; e a taxa de mudança de volume do
fluido deve ser equilibrada com a variação do espaço ocupado pelo mesmo, estas duas
leis de conservação combinadas com a lei de Darcy formam a base de muitas
simulações numéricas do fluxo de fluidos em reservatórios.
Parece até que o problema de predizer o fluxo do reservatório pode ser
solucionado através das equações acima sem muita dificuldade. Pois complicações
podem surgir como o efeito térmico quando a água fria é injetada no poço que está a
uma temperatura em torno de 80ºC, outra complicação é o comportamento de fase como
a vaporização ou a compressibilidade do fluido.
A interação entre corpos (avião, navio, carros, edifícios, vasos sangüíneos,
difusores radiais, ...) e fluidos (ar, água, óleo, sangue, gases, ...) é descrita pela
Mecânica dos Fluidos, especificamente por um conjunto de equações diferenciais
parciais, denominadas equações de Navier-Stokes. Essas equações surgem da aplicação
da segunda Lei de Newton, F = ma , onde m é a massa e a é o vetor aceleração, a
um elemento de fluido de massa infinitesimal, dm, que escoa com certa velocidade V
no qual age a força de gravidade F e as forças g de superfície F (força de pressão e
atrito), surgindo s a equação (2.14).
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 21
dt
VddmFF sg =+
(2.17)
O desenvolvimento da segunda lei de Newton, equação (2.14) resulta nas
equações de Navier-Stokes, que na forma compacta escreve-se,
(2.18)
onde v é o vetor velocidade, apresentado neste documento em coordenadas
kwjviu)))
++=∇
(2.19)
cartesianas, g é o módulo da aceleração da gravidade, p é a pressão, µ é a
viscosidade dinâmica associada as forças de atrito e ρ é a densidade do fluido. Assim,
resolver as equações de Navier-Stokes resume-se em determinar as seguintes funções
soluções: u(t, x, y, z), v(t, x, y, z), w(t, x, y, z), p(t, x, y, z) e (t, x, y, z), onde u, v e w
são as componentes do vetor velocidade nas direções x, y e z, respectivamente [27].
A descrição matemática detalhada para a mecânica de fluido, no interior do
espaço poroso, é baseada no pressuposto de que nós temos o fluxo estacionário em
condições isotérmicas e o fluido é contínuo. Então a continuidade e a equação de
Navier-Stokes se reduzem a:
0. =∇ u
(2.20)
uPuu 2∇+−∇=∇ µρ
(2.21)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 22
onde ρ é a densidade do fluido e u e p são a velocidade local e a pressão do campo
respectivamente. Neste trabalho foi usada a condição de fronteira antiderrapante na
escolha da interface sólida do fluido. Os efeitos finais do campo do fluxo estabelecidos
no interior da estrutura do poro são minimizados ao se atribuir na entrada e na saída
para as duas faces opostas. Na entrada é especificada uma velocidade de fluxo constante
na direção normal de contorno com valor de 0,00 m/s. Enquanto, que a taxa de variação
da presão é admitida em valores desejados. (gradiente da condição de contorno).
Quanto aos fenômenos de transporte de fluídos envolvidos no processo pode ser
considerado, dependendo do simulador, o seguinte: a) Fluxo viscoso de um fluído
através de um meio poroso, onde se utiliza a lei de Darcy (eq. 1) para fluxo em regime
laminar. A lei de Darcy é recomendada para valores de Re (Reynolds) abaixo de 1, e
excepcionalmente, até 10, segundo algumas literaturas aqui estudadas.
s
kv s
s∂
∂−=
ϕ
µ
(2.22)
onde:
A
qvs =
Sendo que:
vs = velocidade aparente do fluído;
aK = permeabilidade efetiva do meio ao fluído considerado;
µ = a viscosidade do fluído;
ϕ = o potencial de fluxo do fluído;
s = a trajetória de fluxo;
q = a vazão volumétrica através do meio poroso;
A = a área da seção transversal onde ocorre o fluxo.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 23
O potencial de fluxo de um fluído, também chamado de potencial de fluxo,
potencial de um fluído ou simplesmente de potencial é definido pela equação (2.23).
)( 0
0
zzdp
p
p
−+= ∫ γϕ
(2.23)
Sendo que:
ϕ = o potencial de fluxo do fluído;
γ = o peso específico do fluído;
z e zo = alturas em relação a um nível de referência arbitrário;
p e po = são pressões atuantes nos níveis z e zo, respectivamente.
Para escoamento em meios porosos em que os efeitos gravitacionais são
desprezíveis, como é caso de reservatório de petróleo, a lei de Darcy pode ser escrita
para meios isotrópicos como uma relação linear entre a velocidade aparente de fluxo e o
gradiente de pressão, dada por
s
pkv s
s∂
∂−=
µ
ou
pk
V ∇−=µ
onde V é o vetor de velocidade aparente com os componentes u e v nas direções x e y
para o caso bidimensional e ∇ é o operador matemático gradiente. .
Para meios anisotrópicos, ficamos com:
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
z
pk
y
pk
x
pkv iiii 321
1
µ
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 24
onde i=1, 2, e 3 representam as direções (coordenadas) x, y e z. kij, representa o tensor
permeabilidade de segunda ordem, considerado simétrico.
Quando não for garantida a linearidade entre a velocidade aparente de fluxo e o
gradiente de pressão, originam-se os escoamentos “não-darcinianos” ocasionados por
altas velocidades, efeitos moleculares e iônicos ou comportamento não-newtoniano do
fluído. Neste caso se obtém curvas cujos coeficientes são determinados
experimentalmente. Tal procedimento foi realizado por Forchheimer em 1901, que
sugeriu a inclusão de um termo de segunda ordem na equação de Darcy para
escoamento de altas velocidades. A lei de Forchheimer em regime turbulento (eq. 2.24)
– engloba efeitos de turbulência e de inércia;
2ss
s
vvkds
dpβρ
µ−=−
(2.24)
Sendo que:
v = velocidade de fluxo de um fluído;
ka = permeabilidade efetiva do meio ao fluído considerado;
µ = a viscosidade do fluído;
ρ = a massa especifica do fluído;
β = coeficiente de resistência inercial ou de fluxo não newtoniano;
s = a trajetória de fluxo
b) Transferência de calor. Nesse caso podem ser utilizadas as leis de
Transferência de calor no meio poroso pelo processo de: Condução, onde o fluxo de
calor é conduzido pela lei de Fourier (eq. 2.25);
s
Tkqs
∂
∂−= ,
(2.25)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 25
Sendo que:
qs = fluxo de calor;
k, = condutividade térmica do meio;
T = a temperatura;
s = a trajetória de fluxo de calor
e Convecção, onde a lei de transporte de calor é formulada juntamente com o
conceito de capacidade calorífica do fluído (eq. 2.26).
)( 0TTvcq sps −=
(2.26)
Sendo que:
qs = fluxo de calor;
cp = capacidade calorífica do fluído;
T0 = uma temperatura de referência;
v = velocidade de fluxo de um fluído;
s = a trajetória de fluxo de calor
O uso de equações de estado apropriadas para representar o comportamento dos
fluídos e da rocha é de fundamental importância na obtenção das equações diferenciais
que rege o fenômeno de escoamento de fluídos em reservatório: a) Fluídos. Para fluidos
normalmente se emprega uma lei que relacione a massa especifica (ρ) com a pressão
(p). Isso se faz através da equação da compressibilidade, segundo a definição da
compressibilidade isotérmica de um fluído compressível (eq. 2.27) ou para líquido de
compressibilidade constante (eq. 2.28) ou de compressibilidade constante e baixa (eq.
2.29).
pp
V
Vc
∂
∂=
∂
∂−=
ρ
ρ
11
(2.27)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 26
)(0
0ppce
−= ρρ
(2.28)
[ ])(1 00 ppc −+= ρρ
(2.29)
Para os gases aplica-se a chamada lei dos gases real (eq. 2.30) ou ideal (eq.2.31).
Que normalmente se emprega uma lei que relacione a pressão (p) com a massa
molecular (M), o fator de compressibilidade (Z), a temperatura universal (R) e a
temperatura (T).
ZRT
pM=ρ
(2.30)
RT
pM=ρ
(2.31)
b) para a representação da rocha se faz uso da equação da compressibilidade
efetiva da formação cf (eq. 2.32). Sendo φ é a porosidade.
pc f
∂
∂=
φ
φ
1
(2.32)
Outras equações podem ser usadas dependendo do que se deseje do simulador e
do processo de recuperação do petróleo adotado (injeção de água, de vapor, de
polímero, etc.).
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 27
Combinando as equações correspondentes às leis básicas, aos do fenômeno e as
de estado, obtém-se geralmente um sistema de equações diferencias parciais não
lineares acopladas, no caso de escoamento multifásico, que rege o comportamento do
sistema de difícil solução analítica sendo normalmente resolvida utilizando métodos
numéricos computacionais como a técnica das diferenças finitas, originando a
denominação de simuladores numéricos de reservatórios.
Para se obter a equação da continuidade procede-se com a análise da
conservação da massa utilizando um elemento de meio poroso (um paralelepípedo com
dimensões ∆x, ∆y e ∆z) através do qual ocorre o fluxo de um fluído que o satura
completamente. A massa total acumulada dentro do meio poroso durante um intervalo
de tempo ∆t é a diferença entre a massa que entrou e massa que saiu para cada direção
de fluxo de fluído considerada ∆x, ∆y e ∆z. Ou seja:
[ ] [ ][ ]zzzzz
yyyyyxxxxx
qqt
qqtqqtacumuladatotalMassa
∆+
∆+∆+
−∆
+−∆+−∆=
)()(
)()()()(__
ρρ
ρρρρ
(2.33)
De outra forma a variação de massa dentro do elemento do meio poroso pode ser
obtida por meio do balanço de materiais. Ou seja a massa total acumulada é a diferença
entre a massa que existente no meio poroso no final e no início do intervalo considerado
∆t. Ou seja:
[ ]tttzyxacumuladatotalMassa )()(__ φρφρ −∆∆∆= ∆+
(2.34)
Fazendo-se a igualdade entre as equações (2.33) e (2.34) e dividindo a expressão
obtida por (∆x.∆y.∆z.∆t). Sabendo-se que o quociente entre a vazão q e a área através
da qual ocorre o fluxo é por definição, a velocidade aparente do fluído. Dessa forma a
equação resultante é:
[ ] [ ] [ ]
t
vvz
vvy
vvx
ttt
zzzzzyyyyyxxxxx
∆
−
=−∆
+−∆
+−∆
∆+
∆+∆+∆+
)()(
)()(1
)()(1
)()(1
φρφρ
ρρρρρρ
(2.35)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 28
Fazendo ∆x, ∆y, ∆z e ∆t tenderem a zero e aplicando a definição de limite de
uma equação para a eq.(2.35), resulta na equação da continuidade, eq.(2.36):
tv
zv
yv
xzyx
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ )()()()(
φρρρρ
(2.36)
A equação (2.36) representa então, o balanço de massa de fluído através do meio
poroso que diz: “a diferença entre a massa que entra e a massa que sai nas três direções
de fluxo é igual à variação de massa dentro do meio poroso”. Em geral para um volume
de controle elementar de controle, temos:
=
±
−
volume
nomassa
deiação
deTaxa
reaçõesa
devidomassa
deganho
ouPerda
volume
dosai
quemassa
deFluxo
volume
noentra
quemassa
deFluxo
_
_var
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
A segunda etapa é a associação da lei que rege o fenômeno de transporte de
fluído no meio poroso, a lei de Darcy dada pela eq.(2.22). Esta lei relaciona a
velocidade aparente de um fluído com a perda de carga, o gradiente de pressão, ou
genericamente com os gradientes de potencial. Sendo s a trajetória do fluxo, k a
permeabilidade do meio poroso na direção do fluxo, γ o peso específico do fluído, µ a
viscosidade do fluído e ϕ o potencial do fluxo, na direção x do fluxo temos então:
x
kv x
x∂
∂−=
ϕ
µ
(2.37)
e analogamente para as demais direções y e z de fluxos. Substituindo essas
equações na equação da continuidade, eq.(2.36), obtêm-se:
tz
k
zy
k
yx
k
x
zyx
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ )(φρϕ
µ
γρ
ϕ
µ
γρ
ϕ
µ
γρ
(2.38)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 29
A forma desta equação da continuidade é bastante geral. Para produzir as
diferentes situações em que um reservatório de petróleo pode se encontrar é necessário
fazer algumas simplificações como, por exemplo, no caso em que os efeitos
gravitacionais são desprezíveis sobre o fluxo (fluxo horizontal), o potencial ϕ pode ser
substituído pelo quociente entre a pressão e o peso específico (p/γ), resultando na
equação diferencial para a equação da continuidade, eq.(2.39):
tz
pk
zy
pk
yx
pk
x
zyx
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ )(φρ
µρ
µρ
µρ
(2.39)
Finalmente são introduzidas na equação da continuidade as equações de estado,
ou seja, as equações que representam as compressibilidades dos fluídos e da rocha. Para
cada analise escolhe-se a equação de estado adequada. Para fluxo de líquidos usa-se as
equações da compressibilidade dos fluídos, eq. (2.40):
pc
∂
∂=
ρ
ρ
1
(2.40)
que desdobrada em função de x, resulta em
xcx
p
∂
∂=
∂
∂ ρρ
1
(2.41)
e analogamente em função de y e z. Substituindo na equação da continuidade, eq.(2.39)
resulta na eq. (2.42)
tzc
k
zyc
k
yxc
k
x
zyx
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ )(111 φρρ
µ
ρ
µ
ρ
µ
(2.42)
o lado direito da eq. (2.42) nos dá:
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 30
ttt ∂
∂+
∂
∂=
∂
∂ φρ
ρφφρ )(
(2.43)
da equação da compressibilidade dos fluídos, eq.(2.40), obtém-se:
tct
p
∂
∂=
∂
∂ ρ
ρ
1
(2.44)
e da definição da compressibilidade efetiva da formação, eq.(2.33), obtém-se:
t
pc
tf
∂
∂=
∂
∂φ
φ
(2.45)
combinando a eq.(2.44) e a eq.(2.45), resulta em:
tcc
tf
∂
∂=
∂
∂ ρ
ρφ
φ 1
(2.46)
substituindo a eq.(2.46) na eq.(2.43), resulta em:
tcc
ctf
∂
∂+=
∂
∂ ρφφρ )()(
(2.47)
a soma da compressibilidade do fluído com a compressibilidade da formação é
denominada de compressibilidade total e é representada por ct. Logo a eq.(2.47) fica:
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 31
tc
c
t
t
∂
∂=
∂
∂ ρφφρ )(
(2.48)
substituindo a eq.(2.48) na eq.(2.42), ficamos com:
tc
c
zc
k
zyc
k
yxc
k
x
tzyx
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ ρφρ
µ
ρ
µ
ρ
µ
111
(2.49)
Considerando a compressibilidade e a viscosidade do fluído constante, a
eq.(2.49) fica como:
tc
zk
zyk
yxk
xtzyx
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ ρφµ
ρρρ
(2.50)
para meios homogêneos e isotrópicos, ou seja, kx = ky = kz = k, ficamos com a equação
da forma:
tk
c
zyx
t
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ρφµρρρ2
2
2
2
2
2
(2.51)
escrevendo a equação (2.51) em termos de medidas de pressão, ou seja, para a primeira
parcela do primeiro membro desta, temos que:
22
2
2
2
2
2
2
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
x
pc
x
pc
x
p
xc
x
pc
x
pc
xxxxρρ
ρρρ
ρρ
(2.52)
e similarmente para as demais direções (y e z).
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 32
No entanto, para valores pequenos para a compressibilidade dos líquidos “c” e
baixos gradientes de pressão (o que é comum acontecer) a última parcela do segundo
membro da eq. (2.52) tende a si anular.
O segundo membro da eq.(2.51) também se escreve como:
t
pc
k
c
tk
c tt
∂
∂=
∂
∂ρ
φµρφµ
(2.53)
fazendo uso da definição de constante de difusividade hidráulica η, eq.(2.54):
cc
k
φµη =
(2.54)
substituindo as eq.(2.52), eq.(2.53) e eq.(2.54) na eq.(2.51), ficamos com a equação
diferencial parcial do escoamento em meios porosos, equação da difusividade
hidráulica. Onde somente um fluído satura o meio poroso:
tz
p
y
p
x
p
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ρ
η
12
2
2
2
2
2
(2.55)
Para meios saturados completamente por água e óleo, e considerando que apenas
o óleo flua, a equação (2.55) continua sendo válida, desde que se façam as seguintes
correções:
twwoot cScScc ++=
(2.56)
e okk =
(2.57)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 33
2.1.5. Fractais
Quando observamos a natureza e tudo que a constitui ficamos
impressionados com tanta diversidade. Indo mais além, agora pense que um objeto pode
assumir formas diferentes. Para isso basta levar em conta as escalas na observação.
Exemplo: um caju, fruta típica do nordeste, quando está em um ponto bem alto do
cajueiro pode ser tratado como um ponto. Depois que amadurecer o caju despenca e
choca-se contra o solo, ficando mais próximo podemos observar seu formato. Sob uma
lente, veremos os diversos poros do mesmo e sob um microscópio podemos observar as
células que o constituem. Assim, um mesmo objeto pode ser diferentemente descrito e
compreendido, quando observado em escalas espaciais distintas.
A influência das escalas oferece um subsídio para melhor entendermos e
analisarmos um problema. Esse ponto de vista levou a motivação para a criação do
chamado método de multiescala, ele permite a integralização do conhecimento,
adquirido ao longo das diversas escalas espaciais, que sejam relevantes para o estudo de
um determinado problema.
A abordagem multiescala tem dois bons instigadores importantes: “a
sistematização de relações entre as escalas (permitida pelo estabelecimento da ciência
dos fractais), bem como o progressivo aumento de poder computacional à disposição
dos pesquisadores.”
Benoit Mandelbrot para descrever um objecto geométrico que nunca perde a sua
estrutura qualquer que seja a distância de visão. Deriva do adjetivo fractus, do verbo
frangere, que significa quebrar. Mandelbrot classificou desta forma os seus objetos de
estudo como Fractal.
Um Fractal tem uma dimensão não inteira. As dimensões fracionárias tornaram-
se uma forma de quantificar qualidades que, de outro modo, permaneceriam sem
dimensão precisa: o grau de irregularidade ou tortuosidade de um objeto. Uma linha de
costa sinuosa, por exemplo, impossibilita a sua medição em termos de comprimento,
mas possui um grau determinado de irregularidade.
A palavra fractal acima de tudo significa auto-semelhante. A auto-semelhança é
a simetria através das escalas, ou seja, um objeto possui auto-semelhança se apresenta
sempre o mesmo aspecto a qualquer escala em que seja observado. Se repararmos, todas
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 34
as formas geométricas ortodoxas perdem a sua estrutura quando são ampliadas ou
diminuídas. Um círculo numa escala muito maior não é nada mais do que uma reta.
Basta ter em mente que à apenas 500 anos se pensava que a Terra era plana. Isto
acontece porque à escala humana não vemos mais do que uma linha reta no horizonte.
No entanto a maior parte dos objetos com que lidamos no nosso dia-a-dia não é
reta, nem esferas, nem cones. Olhando, por exemplo, para um tronco de uma árvore
verificamos que é extremamente rugoso e irregular. Se observarmos um pequeno
pedaço desse tronco ao microscópio observa novas rugosidades e irregularidades que
antes não tínhamos observado. No entanto esta imagem assemelha-se bastante à
anterior. È esta irregularidade regular que caracteriza um fractal.
Outra característica do Fractal é a complexidade infinita, ou seja, prende-se com
o fato de o processo gerador dos fractais é recursivo, tendo um número infinito de
interações.
As imagens de fractais geradas por computador são os resultados de interações,
operadas num sistema não linear, de forma recursiva e que possibilitam a quem os
observam, imagens de grande beleza e a compreensão desses mesmos sistemas.
Portanto, os objetos fractais se caracterizam pela auto-similaridade infinita, ou
seja, não importa as dimensões escalares espaciais em que estejam sendo observadas
suas aparências são semelhantes. Ver figura 2.3
Figura (2.3) – Exemplo de um Fractal auto similar infinito (Benoit, chapter.1988)
O fato de que qualquer pequena parte de um objeto será muito semelhante com o
objeto inteiro foi observado por Benoit Mandelbrol. Ele chamou tais formas de Fractais.
Logo, Fractais são figuras com uma infinita quantidade de detalhes e quando ampliadas,
não se tornam mais simples, mas continuam tão complexas como eram, sem ampliação.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 35
Na natureza, você pode encontrá-los em toda parte. Qualquer ramo de árvore,
quando ampliado, parece com toda a árvore. A teoria dos Fractais foi desenvolvida para
estudar a natureza e agora é utilizada em uma variedade de outras aplicações.
Figura (2.4) – Exemplo de um galho de árvore Fractal (Benoit, chapter.1988)
Para tornar mais realista os Fractais usamos um tipo diferente de auto-
similaridade chamada de Browniana. Em 1828, Robert Brown estava estudando o
movimento das partículas microscópicas quando descobriu o que ele depois chamou de
movimento Browniano. Brown observou se parcelamos a trajetória de uma partícula
em determinados intervalos de tempo, vemos uma trajetória fragmentada com linhas
aleatórias localizadas no espaço.
Figura (2.5) – Movimento de uma partícula no espaço (Benoit, chapter.1988)
Agora, tome uma dessas linhas em intervalos de tempo menor para os locais das
parcelas. O que perceberemos são linhas compostas por fragmentos menores. Se
olharmos uma dessas linhas verá que ela é composta de pequenas outras linhas também.
No entanto, esta auto-semelhança é diferente da auta-similaridade. Apesar de cada linha
ser formada de pequenas linhas.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 36
Figura (2.6) – Olhando para uma parte no certo intervalo de tempo do movimento de uma partícula no espaço (Benoit, chapter.1988)
O conceito de dimensão surgiu da necessidade de explicar formas geométricas
na natureza que não correspondia ao usual, ou seja, todos sabem que a dimensão de um
ponto é zero, de uma linha 1, de um quadrado 2 e de um cubo que é 3. Mas a dimensão
de um Fractal não necessariamente é um número inteiro.
Considere um Fractal chamado de Peano Curve. Ele é gerado com uma linha e
depois coloque um retângulo como mostra a figura 2.7. Em seguida para cada linha é
feito o mesmo formato da figura 2.8. Ao repetir continuamente até o infinito obtemos
um quadrado no final como consta a figura 2.9. Com isso, encontramos um problema. O
Fractal é constituído por linhas, de modo que a dimensão topológica é um. No entanto, é
impreciso uma vez que a forma tem dimensão dois, pois é um quadrado. Com isso,
temos que usar o conhecimento de dimensão Fractal para sabermos o valor da dimensão
desse problema.
Figura (2.7) – Exemplo de como começa a gerar um Fractal Peano Curve (Benoit, chapter.1988)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 37
Figura (2.8) – Seqüência de como começa a gerar um Fractal Peano Curve (Benoit, chapter.1988)
Figura (2.9) – Mostra um quadrado de dimensão Fractal dois, gerado por uma linha de dimensão um (Benoit, chapter.1988)
Uma maneira de calcular a dimensão fractal está na vantagem de usar a auto
similaridade. Por exemplo, suponha que tenha um segmento de linha e claro que a
dimensão é um. Se você olhar ampliando em duas vezes, verá dois idênticos segmentos
de linha. Vamos usar uma variável D para dimensão e N para o número de forma
idêntica.
Figura (2.10) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto começando por uma linha (Benoit, chapter.1988)
Agora vamos pegar um quadrado e um triângulo. Quando ampliamos
percebemos quatro formas idênticas em ambos.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 38
Figura (2.11) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um quadrado e um triângulo (Benoit, chapter.1988)
Por fim, tome um cubo. Mais uma vez, enalteça duas vezes. Agora, teremos
oitos cubos idênticos.
Figura (2.12) – Exemplificando uma maneira de calcular a dimensão Fractal de qualquer objeto pegando um cubo (Benoit, chapter.1988)
Com estes três exemplos percebemos que existe um padrão claro, ou seja,
sempre que ampliamos e elevamos a potência da dimensão obtemos a seguinte forma
numérica:
eD = N
(2.58)
Resolvendo esta equação para D. Encontramos facilmente:
D = log N / log e
(2.59)
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 39
Usando esta fórmula, podemos agora calcular dimensão fractal para alguns
fractais. Pelo Peano Curva, você vê que na fase inicial da forma, existem 9 segmentos
idênticos linha (N = 9). Cada um deles é 1 / 3 do tamanho do segmento inicial da linha,
para a ampliação é de 3 (e = 3).
Figura (2.13) – Exemplificando o calcular da dimensão Fractal (Benoit, chapter.1988)
Usando a fórmula (2.59), nós achamos que D = log 9 / log 3 = 2. Uma vez que a
forma final é um quadrado, isto é exatamente aquilo que esperava.
Agora, dê uma olhada em outro fractal, chamado de Koch Snowflake. Nele,
você pode ver quatro idênticos snowflakes (N = 4). Cada um deles é 1 / 3 de todo o
floco de neve, então E = 3.
Figura (2.14) – Exemplificando o cálculo da dimensão Fractal Koch Snowflake (Benoit, chapter.1988)
Calcular a dimensão fractal, temos: D = log 4 / log 3 = 1,26. A dimensão é uma
fração. Algo diferente da geometria euclidiana.
Para calcular a dimensão fractal de um objeto basta usar um método simples
(Método das Caixas). Considere colocar o fractal numa folha de papel milimetrado,
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 40
onde o lado de cada caixa é tamanho h. Em vez de encontrar o tamanho exato do fractal
contamos o número de caixas que não estão vazias. Deixe que este número seja N.
Fazendo as caixas menores dá-lhe mais detalhes, que é o mesmo que aumentar a
ampliação. De fato, a ampliação, é igual a 1 / h. No método já citado que encontramos a
fórmula (2.59) para a dimensão fractal é D = log N / log e. Com este método, podemos
alterar a fórmula para:
D = log N / log (1/h)
(2.60)
Com isso, fica fácil calcular a dimensão fractal. Por exemplo:
Figura (2.15) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas
(Benoit, chapter.1988).
Usando o método das caixas, nós colocamos o fractal numa folha de papel
milimetrado. Para este fractal, usamos caixas com tamanhos 1 / 3 e 1 / 9.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 41
Figura (2.16) – Exemplificando como calcular da dimensão Fractal usando o método das caixas
colocando o fractal em caixas de diferentes tamanhos (Benoit, chapter.1988)
No primeiro caso, 5 caixas não estão vazias. No segundo caso, existem 25 casas
se fizer no terceiro ficaríamos com 125. Usando esses números, verificamos que no
primeiro caso, D = log 5 / log [1 / (1 / 3)] = 1,46. Se você fizer isso para o segundo caso,
você verá que a resposta é a mesma, o que significa que a nossa dimensão é exata.
2.1.6. Fractais Aleatórios
Existe também Fractais que não são semelhantes. È o caso dos Fractais
Estatísticos. Esses têm formas pouca evidente de auto-similaridade. O estatístico possui
medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. Como é o
caso de nossa simulação em que as medidas dos raios dos discos são de diferentes
escalas, e esse obedece a uma lei de potência. Ver tabela 3.1. Com isso, as definições de
fractais geralmente implicam alguma forma de auto-similaridade estatística (mesmo a
dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais
aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade estatística, mas não
são exatamente nem quase auto-similares como mostra a figura logo a baixo.
Dissertação de Mestrado PPGCEP / UFRN Aspectos teóricos
Adriano Almeida Ferreira, Junho /2009 42
Figura (2.17) – Exemplo Fractais aleatórios.
A idéia de Fractal já foi abordada anteriormente, mas o que é a estatística?
Segundo Rao (1999), a estatística é uma ciência que estuda e pesquisa sobre: o
levantamento de dados com a máxima quantidade de informação possível para um dado
custo; o processamento de dados para a quantificação da quantidade de incerteza
existente na resposta para um determinado problema; a tomada de decisões sob
condições de incerteza, sob o menor risco possível. Finalmente, a estatística tem sido
utilizada na pesquisa científica, para a otimização de recursos econômicos, para o
aumento da qualidade e produtividade, na otimização em análise de decisões, em
questões judiciais, previsões e em muitas outras áreas.
___________________________________
Capítulo III
Metodologia Experimental
___________________________________
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 44
CAPÍTULO III - METODOLOGIA EXPERIMENTAL
3.1 FLUENT
O FLUENT é um Software de computador muito utilizado por fornecedores do
comércio computacional à distância. Ele é mais usado pelas indústrias, devido suas
aplicações, pois o mesmo emprega técnicas de modelagens com coordenadas aplicadas
propriamente aos projetos das indústrias.
O FLUENT é um programa de computador avançado que modela o fluxo do
fluido no interior das geometrias estocásticas escolhidas nas simulações. Exibe uma
visão clara dos complexos resultados de tais geometrias. É um programa comercial
especialmente desenvolvido para resolver problemas de fluxo de fluidos baseado na
técnica numérica CFD. A análise de simulações de CFD pelo programa FLUENT
mostrou-se eficaz para uma variedade enorme de projetos de pesquisa, simplificando o
trabalho, pois dispensa a necessidade de se realizar teste com modelos em laboratório ou
no campo. Fornece também os gráficos e pinturas das propriedades das variáveis como
densidade, velocidade e pressão do fluido no meio inserido com uma facilidade relativa.
Ele também permite que repita ou concerte seus testes. Um fato importante é que
é escrito em linguagem de computador C, e isso nos fornece manuseá-lo de maneira
flexiva, ressaltando que todos os dados são armazenados em memória dinâmica e
verdadeira. Toda eficiência na estrutura e todo o controle acontece através do Software.
Anotar que o GAMBIT é um processador para modelar a geração da situação desejada,
ou seja, a geometria do meio e a geração da malha do reticulado.
O FLUENT é um pacote de software de CFD para simular os problemas de
fluxo de fluidos. Usa o método do volume finito para resolver as equações que
governam o movimento do fluido. Fazendo isso com potencialidade, que incluem
suportes em duas dimensões 2D e em três dimensões 3D, em malhas quadrada e
triangular e incluindo todos os registros das variáveis de diferentes composições
químicas.
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 45
O pacote FLUENT resolve numericamente a equação de Navier – Stokes para
condições de contorno previamente estabelecidas, de acordo com a problemática a ser
resolvida.
Uma vez entendido todo o processo físico, matemático e de engenharia
envolvidos nas pesquisas das indústrias petrolíferas, uma das etapas importante da
pesquisa é compreender passo a passo a utilização do software e ajustá-lo para resolver
o problema de uma visualização e uma reflexão melhor do fluxo do fluido no subsolo.
Figura (3.1) – Primeira janela quando abrimos o FLUET para encontramos a geometria feita no
GAMBIT (Programa FLUENT)
É a primeira tela que aparece quando abrimos o Software FLUENT. Nela
encontram-se todas as ferramentas para o desenvolvimento das utilidades do Soft.
A primeira coisa a se fazer é entrar em File para executar o comando Read. Feito
isto, o FLUENT faz um reconhecimento do Programa produzido no Gambit. Depois,
pode-se validar a leitura do programa com a função Grid, uma espécie de verificação
dos comandos que foram reconhecidos. Continuando, deve-se informar a leitura ao
FLUENT . Ver figura
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 46
Figura (3.2) – Primeira janela quando abrimos o FLUET como a função Grid de leitura dos
dados advindos do GAMBIT (Programa FLUENT)
Mediante o que foi dito, agora é só ir moldando as condições de acordo com os
objetivos a serem desenvolvidos. Por exemplo, em define pode-se escolher o modelo
das soluções, o material que quiser utilizar como água, ar, óleo, entre outros, as
condições de contornos e outras. (Ver figura 3.3).
Figura (3.3) – Primeira janela quando abrimos o FLUET com as funções de contornos
(Programa FLUENT)
3.2 DELINEAMENTO/ MODELAGEM DA SIMULAÇÃO
O desenvolvimento desta atividade teve como ponto de partida a idealização de
um modelo. Tal modelo foi idealizado obedecendo a uma lei de potência.
Fiz-se à malha com o formato de um retângulo com dois mil metros na direção
Y e três mil metros na direção do verto X. Com isso, se obtém uma área de seis milhões
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 47
metros quadrado. Depois calculou-se uma porcentagem de vinte por cento de sessenta
mil que deu doze mil. Esse foi dividido por dois dando igual a seis mil, que seria a soma
das áreas dos discos A e B. Então para sabermos o raio dos discos dividiu-se a área
(6.000 m2) pelo valor de pi e o valor encontrado da divisão fez-se a raiz quadrada. Para
gerar uma nova distribuição, pegou-se um dos discos e dividiu-se por quatro, o
resultado será o valor da nova Área dos próximos discos. E para saber o valor dos raios
desses novos discos é só dividir o valor da área pelo o valor de pi e fazer a raiz quadrada
do resultado da divisão. Veja de maneira ilustrativa, como foi idealizada a primeira
simulação, logo abaixo.
A = π R2 (3.1)
6.000.000 = 3,14 R2
R2 = 14,3
000.000.6
R2 = 1910,8
R = 437,13 m
dividindo a área de um dos discos por quatro é igual a ,
observe que o novo valor da área de um disco é 1.500.000 m2, pois foi dividido
6.000.000 m2 em quatro vezes.
A = π R2
1.500.000 = 3,14R2
R2 = 14,3
000.500.1
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 48
R = 218,54 m que é o valor dos novos raios.
Depois pega-se a metade do discos que dividimos em quatro, que no caso são
dois discos . Dividi-se um desses outros discos por quatro
e o outro por quatro também , observe que o novo
valor d a área é 375.000 m2 pois dividimos 1.500.000 m2 em quatro. Logo,
A = π R2
375.000 = 3,14R2
R2 = 14,3
000.375
R = 109,282 m que é o valor dos novos raios.
Repetindo os passos que acabaram de serem feitos, compreende-se que a
próxima geração vai fica: dividindo dividindo
dividindo dividindo
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 49
Assim, obtêm-se os valores dos raios que se deseja. Na experiência, fica-se
com os valores motrados na tabela abaixo (3.1)
Esfera Área Raio
Área = 6.000.000
m2
R = 437,13 m
Área = 1.500.000
m2
R = 218,54 m
Área = 375.000 m2
R = 109,282 m
Área = 93.750 m2
R = 54,6412 m
Área = 234.375m2
R = 27,321 m
Área = 5.859,375
m2
R = 13,66 m
Área =
1.464,843m2
R = 6,83m
Área = 366,21m2 R = 3,415
Tabela (3.1): Tabela das Áreas e dos Raios dos discos.
Atribuindo cada passo o nome de gerações, fica-se com as seguintes descrições:
na primeira geração tem dois discos de raios 437,13m; na segunda geração um disco de
raio 437,13m e quatro de raios 218,54m; na terceira um disco de raio 437,13m, dois de
raios 218,54m e oito de raios 109,282m; na quarta um disco de raio 437,13m, dois de
raios 218,54m, quatro de raios 109,282m e dezesseis de 54,6412 m; na quinta um disco
de raio 437,13m, dois de raios 218,54m, quatro de raios 109,282m, oito de 54,6412 m e
trinta e dois com raio de 27,321m; na sexta geração um disco de raio 437,13m, dois de
raios 218,54m, quatro de raios 109,282m, oito de 54,6412 m, dezesseis de 27,321m e
sessenta e quatro com raio de 13,66m; na sétima geração um disco de raio 437,13m,
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 50
dois de raios 218,54m, quatro de raios 109,282m, oito de 54,6412 m, dezesseis de
27,321m, trinta e dois com raio de 13,66m e cento e vinte e oito com raio de 6,83 m e
na na oitava geração um disco de raio 437,13m, dois de raios 218,54m, quatro de raios
109,282m, oito de 54,6412 m, dezesseis de 27,321m, trinta e dois com raio de 13,66m ,
sessenta e quatro com raio de 6,83 m e duzentos e cinquenta e seis de raio 3,415. Veja
logo a baixo de maneira ilustrativa a distribuição dos discos até a sexta geração.
Primeira Geração
Segunda Geração
Terceira Geração
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 51
Quarta Geração
Quinta Geração
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 52
Sexta Geração
Tabela (3.2): Tabela ilustrativa das distribuições dos discos até a sexta geração.
3.3 GAMBIT
O GAMBIT é um processador para modelar a geração da situação desejada, ou
seja, a geometria do meio e a geração da malha do reticulado. A primeira tela que
aparece quando abrimos o Gambit é a seguinte:
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 53
Figura (3.4) – Primeira janela quando abrimos o GAMBIT nela contém todas as funções que se
necessita para fazer as geometrias e enviar para a memória do computador em uso (Programa Gambit)
Com ela, modela-se a simulação que foi idealizada em um meio poroso fractal.
Veja passo a passo a construção da geometria a seguir.
Primeiro criou-se os pontos em um espaço 2D com o primeiro comando. (Ver
figura 3.4a), com ele fornece-se as coordenadas para localizar pontos no espaço. Depois
produziu-se os vértices com o segundo comando (ver figura 3.4b), onde o mesmo pode
ser real ou virtual. Por fim, com o terceiro comando, criam-se as faces (Ver figura 3.4c).
Pode-se também colocar o nome que desejar para os pontos, os vértices e as faces.
Figura (3.4.a) – Cria um ponto no espaço (Programa Gambit)
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 54
Figura (3.4.b) – Cria os vértices da geometria (Programa Gambit)
Figura (3.4.c) – Cria as faces (Programa Gambit)
Agora, fornece-se aos vértices as quantidades de pontos, do próprio vértice, para
interagir com a malha desejada. Faz-se isso com os seguintes comandos:
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 55
Figura (3.4.d) – Cria as interações da malha com os vértices (Programa Gambit)
Na parte esquerda da figura (3.4.d) os comandos deixam a simulação, como
mostram as ilustrações 3.1e 3.2 logo abaixo.
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 56
Figura (3.5) – Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos.
Figura (3.6) – Figura ilustrando como vai ficando a geometria depois dos comandos.
Com os próximos dois comandos, pode-se definir as condições de contorno.
Exemplo, se desejar colocar um dos vértices como entrada ou saída de fluxo. Na
simulação, criou-se um retângulo com um dos vértices a entrada, o lado paralelo a é o
vértice da saída e os perpendiculares ao da entrada são paredes. Em seguida, colocou-se
discos distribuídos de maneira aleatória e com tamanhos diferentes na parte interna do
retângulo como paredes.
Dissertação de Mestrado PPGCEP/UFRN Metodologia
Adriano Almeida Ferreira, Junho/2009 57
Figura (3.4.f) – Cria as condições de contorno (Programa Gambit)
Os dados foram emitidos através do FLUENT. O Software já fornece os
resultados do fluxo de massa por intervalo de tempo na entrada e na saída da geometria.
Para isso basta utilizar com o comando Report.