MRIO LEITE PEREIRA FILHO
APLICAO DO MTODO DE IMAGENS COMPLEXAS AOCLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO EM SOLOS COM
ESTRATIFICAO HORIZONTAL
Dissertao apresentada Escola Politcnica daUSP para obteno do ttulo de Mestre emEngenharia Eltrica.
So Paulo
1999
MRIO LEITE PEREIRA FILHO
APLICAO DO MTODO DE IMAGENS COMPLEXAS AOCLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO EM SOLOS COM
ESTRATIFICAO HORIZONTAL
Dissertao apresentada Escola Politcnica daUSP para obteno do ttulo de Mestre emEngenharia Eltrica.
rea de Concentrao:Sistemas de Potncia
Orientador:Prof. Dr. Jos Roberto Cardoso
So Paulo
1999
1. INTRODUO.............................................................................................................1
2. ESTADO DA ARTE NO CLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO.............4
3. FORMULAO GERAL DO MTODO DAS IMAGENS COMPLEXAS PARA
SOLOS MULTICAMADAS......................................................................................12
3.1 Formulao das equaes ntegro-diferenciais .....................................................13
3.2 Discretizao do Domnio ....................................................................................14
3.3 Resistncias mtuas de eletrodos lineares ............................................................16
3.3.1 Eletrodos Verticais - Hastes..........................................................................16
3.3.2 Eletrodos Inclinados ou horizontais - Cabos.................................................19
3.4 Introduo de Eletrodos Passivos .........................................................................21
4. DETERMINAO DAS FUNES DE GREEN ....................................................23
4.1 Fonte pontual em meio homogneo......................................................................23
4.2 Fonte pontual em meio estratificado horizontalmente, fonte e objeto na mesma
camada .................................................................................................................25
4.2.1 Coeficientes de Reflexo e Transmisso ......................................................27
4.2.2 Soluo para a funo kernel ........................................................................28
4.3 Fonte pontual em meio estratificado horizontalmente, fonte e objeto em camadas
diferentes..............................................................................................................29
4.4 Soluo por integrao direta ...............................................................................31
5. IMAGENS COMPLEXAS..........................................................................................36
5.1 Imagens Complexas tal como apresentadas por Chow et all [29]........................36
5.2 Generalizao da Tcnica de Imagens Complexas...............................................39
5.3 Separao de variveis..........................................................................................40
5.3.1 Fonte e objeto na mesma camada. ...............................................................41
5.3.2 Fonte e o objeto em camadas diferentes. .....................................................43
5.4 Determinao dos Plos e Resduos das Imagens ................................................45
5.4.1 Mtodo de Prony como apresentado por Chow et all ...................................46
5.4.2 Mtodo de Prony com soluo por autovalores ............................................48
6. ASPECTOS COMPUTACIONAIS ............................................................................50
6.1 Entrada de Dados da Malha e do Solo..................................................................50
6.2 Discretizao do domnio .....................................................................................51
6.3 Determinao das imagens complexas .................................................................51
6.4 Montagem da matriz de resistncias mtuas ........................................................52
6.5 Clculo dos potenciais e explorao dos resultados .............................................53
7. RESULTADOS OBTIDOS.........................................................................................54
7.1 Exemplo de Chow et all [29]................................................................................54
7.1.1 Modelo utilizado ...........................................................................................55
7.1.2 Clculo do potencial na superfcie ................................................................57
7.2 Solo de 2 camadas Exemplo de Li e Dawalibi ..................................................60
7.3 Exemplo de Vujevic e Kurtovic ...........................................................................62
7.4 IEEE-80 / 1986 .....................................................................................................64
7.4.1 Caso C-4 : 2 camadas com espaamento uniforme.......................................64
7.4.2 Caso C-6 : Solo uniforme com espaamento varivel ..................................67
7.5 Anlise de Sensibilidade da Discretizao ...........................................................69
8. CONCLUSO.............................................................................................................74
9. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................75
Lista de Smbolos
h : espessura da camada do solo (m)
H : profundidade do final da camada (m)
I, i : Corrente (A)
: Resistividade do solo (.m)
P : Posio de um ponto com coordenadas (x, y, z)
r, r : distncia (raio) entre pontos
: Funo potencial (V)
: Condutividade do solo (.m)-1
J : Vetor densidade de corrente (A / m2)
S, s : Fronteira
f : funo que descreve a condio de contorno na fronteira
Vp : Potencial em um ponto (V)
g : funo que descreve as fontes
G : Funo de Green
, u : variveis auxiliares
: Densidade de corrente linear ( A / m)
L : Comprimento de um eletrodo (m)
Rij : Resistncia mtua entre elemento i e elemento j ()
zm : profundidade mdia de um eletrodo.
rh : raio de uma haste
G~ : Transformada de Fourier da funo de Green
a , b : Resduos e plos respectivamente de imagens complexas
F : Funo kernel para obteno da funo de Green
k0, kz, k : coeficientes de propagao de onda
J0 : Funo de Bessel de ordem 0
rxy ; distncia entre pontos projetada no plano xy
kij : Coeficiente de reflexo da camada i para camada j
tij : Coeficiente de transmisso da camada i para camada j
Kij : Coeficiente de reflexo generalizado da camada i para camada j
Tij : Coeficiente de transmisso generalizado da camada i para camada j
Ak : amplitude do campo na fronteira k
Para Paulo Chaves
in memoria
AGRADECIMENTOS
A meu orientador Jos Roberto Cardoso pelo contnuo incentivo e pela confiana.
A ngelo Pssaro e Nancy Abe pelos clculos com o Ground-3D.
A Jlio Carlos Teixeira pela ajuda na reviso do texto.
A todos os amigos que me concederam apoio e incentivo para a realizao deste
trabalho.
RESUMO
O projeto de malhas de aterramento requer o clculo da resistncia de aterramento e dos
potenciais na superfcie do solo. Quando o mtodo das imagens utilizado para este
clculo o modelo tpico do solo uma estratificao horizontal em 2 camadas.
A extenso do mtodo das imagens para solos com mltiplas camadas horizontais
apresenta problemas numricos importantes, de forma que a tcnica de imagens
complexas foi utilizada para permitir este clculo, porm restringindo a posio dos
eletrodos primeira camada.
Este trabalho objetiva a aplicao do mtodo de imagens complexas a eletrodos situados
em qualquer camada de solos com estratificao horizontal, deduzindo as funes
kernel para posies arbitrrias da fonte e do objeto e determinando os resduos e plos
das imagens utilizando a decomposio em autovalores e autovetores.
Foi desenvolvido um programa que calcula a resistncia de aterramento e os potenciais
na superfcie do solo para solos com at 4 camadas. Foram realizadas comparaes com
outros trabalhos publicados e os resultados obtidos permitem validar o uso do programa
para esta aplicao.
ABSTRACT
Ground grid design requests the evaluation of both ground grid resistance and surface
voltages. When this evaluation is done using image based methods, the soil model is
typically a two-layer horizontally stratified model.
Analyzing ground grids buried in horizontally stratified multilayer soil model presents
major numerical procedures challenges. Complex image approach allowed some
improvement but restricting electrodes position to first layer only.
This work aims modeling ground grid electrodes buried in multilayer horizontally
stratified soil model for any position of the buried electrodes, using complex image
approach to deduct general kernel functions. The image amplitude and location are
determined through an improved Prony method, using singular value technique.
A software package was developed for numerical analysis of ground grid electrodes
buried in multilayer horizontally stratified soil model with 4 layer or less. Some ground
grids with published results was analyzed and the results validate the developed
software package.
11. INTRODUO
O projeto de malhas de aterramento em baixa freqncia deve considerar dois aspectos
bsicos, um de desempenho, associado ao valor da resistncia de aterramento, e outro de
segurana de pessoal, associado distribuio de potencial na superfcie do solo.
Devido s dimenses e complexidade destas malhas este projeto auxiliado por
ferramentas computacionais.
As ferramentas disponveis no mercado mundial podem ser divididas em dois grandes
grupos, um deles utilizando o mtodo dos elementos finitos, com grande flexibilidade
para modelar os eletrodos e o solo e mais encontrado em grupos de pesquisas de
universidades (Cardoso, J. R. et all, [1] - [3]), e outro utilizando o mtodo das imagens,
com maior disseminao entre os projetistas de malhas de aterramento, porm com
maiores limitaes de modelamento.
Os pacotes computacionais mais conhecidos que utilizam o mtodo das imagens so o
SGA do Electric Power Research Institute, o CYMGRD da CYME International e o
CEDEGS da Safe Engineering Services & Technologies. No Brasil a produo de
pacotes computacionais desta natureza para uso por projetistas ainda rara. O autor
desta monografia desenvolveu o cdigo de clculo do programa Tecat IV [4], que
calcula estratificao de solos em at quatro camadas e malhas de aterramento em solos
de duas camadas.
Dentre os pacotes citados que utilizam o mtodo das imagens somente o CEDEGS
executa clculos em solos estratificados em mais de duas camadas. Considerando que
2uma estratificao em duas camadas impe limitaes severas no modelo dos solos em
anlise, justificvel e interessante expandir o domnio de aplicao de tcnicas
baseadas no Mtodo das Imagens para solos com mais de duas camadas.
Em 1992 Chow e Srivastava [29] apresentaram um trabalho sobre imagens complexas
indicando que seria possvel superar algumas dificuldades ligadas ao modelamento de
malhas em solos estratificados em mais de duas camadas. Caso esta abordagem possa
ser utilizada em malhas genricas, um ganho qualitativo importante pode ser obtido na
utilizao do Mtodo das Imagens neste tipo de problema.
O objetivo deste trabalho investigar a aplicao do Mtodo das Imagens ao clculo de
malhas de aterramento utilizando a tcnica de imagens complexas, viabilizando a
criao de uma ferramenta computacional que permita o clculo de uma malha de
aterramento em solos estratificados horizontalmente em mais de duas camadas.
O Captulo 2 apresenta uma reviso bibliogrfica e o estado da arte para o clculo de
malhas de aterramento utilizando o mtodo das imagens. No foram considerados
mtodos baseados em frmulas aproximadas e, devido grande quantidade de
publicaes sobre o tema, so citados apenas os trabalhos pioneiros em cada vertente,
ordenados pela data de publicao. As referncias bibliogrficas no Captulo 9 esto
classificadas pela ordem de citao.
O Captulo 3 apresenta a formulao geral do problema com nfase nos aspectos mais
fundamentais tal como equaes ntegro-diferenciais, hipteses do modelo utilizado e
discretizao do domnio.
3O Captulo 4, sobre a determinao das funes de Green, o captulo mais
especificamente ligado tcnica das imagens complexas e tambm onde o autor
apresenta sua maior contribuio ao estado da arte da tcnica, deduzindo funes de
Green para posies arbitrrias da fonte e do objeto em solos estratificados
horizontalmente.
O Captulo 5 mostra as tcnicas numricas para clculo dos coeficientes das imagens
complexas. Neste captulo o autor introduz uma forma de uso da decomposio em
autovalores que aumenta a eficcia e exatido do mtodo e expande a aplicao das
imagens complexas a posies arbitrrias da fonte e do objeto.
O Captulo 6 aborda os aspectos de implementao computacional descrevendo a
arquitetura bsica do programa e os principais algoritmos utilizados.
O Captulo 7 apresenta os resultados obtidos como uma comparao de resultados de
clculo de malhas disponveis na literatura com os clculos efetuados pelo programa
aqui apresentado. H tambm anlise de resultados e finalmente a concluso no captulo
8.
42. ESTADO DA ARTE NO CLCULO DE MALHAS DE ATERRAMENTO
Dwight [5] em 1936 apresentou um mtodo de clculo de malhas de aterramento de
grande porte utilizando o mtodo do potencial mdio. Esta abordagem utilizava tcnicas
de clculo empregadas na determinao da capacitncia de antenas. A distribuio de
corrente em cada haste ou cabo era considerada constante.
Em 1953 Gross et all [6] apresentaram o clculo de uma malha de grande porte, no qual
pela primeira vez os eletrodos eram segmentados e a densidade de corrente em cada
segmento era calculada. Embora sua formulao fosse limitada a solos uniformes e,
conforme os autores, originada do mtodo das sub-reas de Maxwell, ela j contm
todos os elementos bsicos utilizados hoje no clculo de malhas de aterramento pelo
Mtodo das Imagens. Em 1963 Thapar e Gross [7] apresentaram uma extenso deste
mtodo para um solo de duas camadas com estratificao exponencial.
Em 1964 Tagg [8] analisou mais detalhadamente a resistncia de aterramento de
eletrodos individuais em solos de duas camadas e em 1965 Sunde [9] apresentou as
funes de potencial geradas por uma fonte pontual em solo de N camadas
estratificadas horizontalmente, evidenciando que a dificuldade importante dos solos
multicamadas a integrao numrica da funo kernel.
Em 1972 Giao e Sarma [10] apresentaram um artigo analisando um eletrodo de
aterramento de corrente contnua situado na primeira camada de um solo estratificado
em duas camadas horizontais. A anlise incluiu a resistncia de aterramento e a
5distribuio de potenciais na superfcie do solo de um eletrodo formado por cabos
retilneos e em anis. Toda a abordagem de segmentao de eletrodos e a montagem do
sistema matricial para determinao das densidades de corrente j est presente.
apresentada pela primeira vez uma forma geral para funes de potencial de eletrodos
no pontuais em solos de duas camadas horizontais.
Entre 1975 e 1979 Dawalibi e Mukhedkar [11] - [17] apresentaram uma srie de artigos
delineando uma nova forma de abordagem dos problemas de malhas de aterramento
onde, embora utilizando as mesmas funes elementares de potencial j vistas em Giao
e Sarma, a soluo das densidades de corrente no estabelecida por meio de um
sistema matricial mas sim de uma funo ponderao dos eletrodos segmentados,
evitando o problema de necessidade de memria associado ao mtodo matricial
clssico. Esta abordagem originou o programa Malt, precursor do atual CEDEGS da
Safe Engineering, permitindo o clculo de hastes profundas atravessando a interface
entre a primeira e a segunda camada. No foram explicitadas funes de potencial de
fontes na segunda camada.
Em 1979 Heppe [18] apresentou um artigo onde foram explicitados as funes de
potencial de cabos situados na primeira e segunda camada de solos estratificados em
duas camadas horizontais, com soluo das densidades de corrente pelo mtodo
matricial. O programa Tecat IV [4] utiliza esta formulao proposta por Heppe para o
clculo de malhas.
Em 1980 Kouteynikoff [19] apresentou um novo mtodo de segmentao de eletrodos
cilndricos horizontais denominado microsegmentao, permitindo uma representao
6mais exata de cabos horizontais na anlise de malhas de aterramento. Sua aplicao
ficou restrita a solos uniformes no ocorrendo desenvolvimentos futuros deste mtodo.
Em 1985 Nagar at all [20] e Loeloeian et all [21] apresentaram uma reviso
bibliogrfica de mtodos de clculo de malhas de aterramento, comparando as
metodologias de Dawalib e Mukhedkar, Heppe e Kouteynikoff. Nesta reviso so
explicitadas funes de clculo de potencial de cabos e fontes situadas em qualquer
camada de um solo estratificado em duas camadas horizontais. Verificou-se que os
resultados dos trs mtodos apresentaram boa concordncia nos casos estudados.
Ainda em 1985 Garret e Pruitt [22] realizaram uma anlise de sensibilidade da
abordagem de potencial constante e densidade de corrente varivel em eletrodos
segmentados, apontando como um fator crtico as dimenses da segmentao utilizada,
particularmente nos valores do potencial prximos ao eletrodo. A segmentao tambm
impacta fortemente as dimenses do sistema linear associado, com a correspondente
demanda de memria de mquina.
Em 1986 foi publicada a segunda edio do ANSI / IEEE Std 80 [23]. Este guia foi
utilizado desde sua primeira edio em 1976 com uma obra de referncia para os
projetistas da rea, utilizando frmulas aproximadas para o clculo de resistncias e
potenciais em solos uniforme. A segunda edio expandiu o domnio de aplicao das
frmulas mantendo a restrio de solo uniforme e inclui o Apndice C que, embora no
faa parte do corpo do Guia, apresenta resultados de clculos em solos uniformes e de
duas camadas utilizando o programa SGA desenvolvido pelo EPRI.
7Em 1986 Joy e Wilson [24] usaram um programa que utiliza o mesmo algoritmo do
SGA do EPRI, realizando uma anlise sistemtica da exatido dos resultados em solos
estratificados em duas camadas horizontais similar ao de Garret e Pruitt [22], na qual
apresentam algumas concluses sobre a exatido e domnio de validade do mtodo.
Em 1988 Kovarski et all [25] calcularam o perfil de potenciais gerados por um eletrodo
toroidal situado na primeira camada de solos multicamadas. As funes potenciais
utilizadas so derivadas do trabalho de Sunde [9]. Os autores expandiram a funo
kernel da integral em uma somatria de exponenciais, transformando a integrao
numrica em uma operao analtica. A dificuldade apresentada residiu na determinao
dos coeficientes das exponenciais, tarefa que foi realizada com uma abordagem
emprica de ajuste de curvas.
Ainda em 1988 Lagace et all [26] estudaram um problema similar ao de Kovarski et all
[25], s que utilizando imagens refletidas nas vrias interfaces da estratificao do solo.
A contribuio de cada imagem foi calculada utilizando coeficientes de transmisso e
reflexo semelhantes aos empregados em linhas de transmisso.
Em 1991 Takahashi e Kawase [27] calcularam a resistncia de aterramento e o potencial
gerado na superfcie do solo por uma haste profunda atravessando vrias interfaces de
um solo multicamada. As funes de potencial foram deduzidas com uma abordagem
semelhante de Sunde mas com todos os potenciais calculados somente na superfcie
do solo. A integral da funo kernel foi efetuada numericamente.
8Ainda em 1991 Dawalibi e Barbeito [28] apresentam pela primeira vez o clculo de
resistncias e de potenciais na superfcie do solo de uma malha de aterramento em solo
multicamadas sem restrio da localizao dos eletrodos. A metodologia declarada
pelos autores foi inspirada em trabalhos de geofsica e teoria de gerao de imagens de
ptica. As frmulas empregadas nas funes potenciais e na gerao de imagens no
foram explicitadas.
Em 1992 Chow et all [29] aplicam a tcnica denominada imagens complexas aos casos
estudados por Kovarski et all [25] e Legace et all [26]. Embora apresente semelhana
com as expanses exponenciais utilizadas por Kovarski esta abordagem provm da rea
de microondas, onde os coeficientes e expoentes da srie exponencial so associados
aos resduos e plos da funo de transferncia do sistema linear, sendo determinados
pelo Mtodo de Prony e no por um simples ajuste de curvas. Os exemplos analisados
continuam restringindo os eletrodos primeira camada de um solo multicamadas.
Em 1994 Dawalibi at all [30] publicam uma extensa anlise paramtrica de malhas de
aterramento em solos estratificados em N camadas horizontais, demonstrando a
robustez dos algoritmos desenvolvidos em [28] e levantando questes de segurana
relacionadas a situaes de alto contraste de resistividades prximo superfcie do solo.
Embora este trabalho no apresente inovaes tcnicas importantes representou a
consolidao do que hoje o pacote CEDEGS da Safe.
Em 1995 Chow et all [31] demonstram que a partir de medidas do potencial na
superfcie do solo possvel calcular a resistncia de aterramento e a distribuio de
potenciais na superfcie do solo, sem necessidade de efetuar explicitamente uma
9estratificao do solo convencional, utilizando o mtodo das imagens complexas. Os
eletrodos devem estar situados na primeira camada de um modelo de estratificao
horizontal em N camadas.
Ainda em 1995 Elsherbiny et all [32] apresentam um mtodo simplificado de clculo de
aterramento de eletrodos formados apenas por hastes de aterramento em solos de duas
camadas, onde cada haste segmentada em apenas dois segmentos. Esta segmentao
simplificada reduz substancialmente a dimenso do sistema linear associado mas s
pode ser empregada para o clculo de resistncias.
Em 1997 Li et all [33] apresentam um clculo de malhas de aterramento utilizando o
mtodo proposto por Chow [29] em solos de duas camadas. Apresentam funes
potencial para fontes na segunda camada e declaram ter desenvolvido esta formulao
tambm para solos de trs camadas. A principal diferena em relao a Chow [28] que
utilizam um algoritmo mais sofisticado para a determinao dos resduos e plos da
expanso exponencial, permitindo estimar o nmero N de termos da expanso.
Em 1998 Vujevic e Kurtovic [34] apresentam um mtodo de clculo de malhas baseado
no mtodo das imagens para solos multicamadas sem restries da posio dos
eletrodos. O princpio bsico a expanso da funo kernel em somatria de
exponenciais mas, ao invs de imagens complexas utilizou-se uma expanso com at 15
imagens reais. As imagens so calculadas com um algoritmo que realiza amostragem da
funo kernel em pontos determinados experimentalmente.
A reviso dos trabalhos publicados permite apontar como principais concluses:
10
a)
O mtodo matricial com segmentao linear dos eletrodos utilizado em todas as
abordagens para eletrodos de grande porte, pois permite calcular a distribuio de
corrente no uniforme entre os eletrodos. A segmentao utilizada tem impacto
importante nos erros e no tamanho do sistema linear associado.
b)
A tarefa principal na montagem do sistema matricial a obteno das resistncias
mtuas e prprias dos segmentos de eletrodos. necessrio realizar a integral de
funes de Green por mtodos analticos ou numricos.
c)
O mtodo das imagens permite representar o problema original por um conjunto de
imagens que reproduz o potencial da fonte sobre uma fronteira especificada,
tipicamente a superfcie dos eletrodos.
d)
Para solos de duas camadas a integral expandida em uma somatria infinita de
imagens refletidas nas interfaces. A exatido da somatria depende do nmero de
termos utilizados que por sua vez funo do coeficiente de reflexo k entre as
camadas e da espessura da primeira camada.
e)
Para solos multicamadas a expanso em somatria mais difcil devido formao
de mltiplas seqncias de imagens infinitas. Sintomaticamente os artigos que
utilizam esta tcnica no explicitam os algoritmos de gerao de imagens utilizados.
f)
O mtodo das imagens complexas ou imagens equivalentes substitui a somatria de
imagens infinitas por um conjunto finito de imagens, quer para um solo de duas
11
camadas quer para solos multicamadas, simplificando substancialmente o clculo
das resistncias mtuas.
g)
O mtodo das imagens complexas para solos multicamadas s aplicado a eletrodos
situados na primeira camada sem uma justificativa explcita para esta limitao. O
domnio do qual extrada a amostragem para a obteno das imagens no
discutido explicitamente, dificultando a verificao de resultados.
12
3. FORMULAO GERAL DO MTODO DAS IMAGENS COMPLEXASPARA SOLOS MULTICAMADAS
A formulao geral do problema ser feita com auxlio do Mtodo dos Momentos e de
funes de Green tal como descrito em Sadiku [35].
O problema ser apresentado em termos de uma equao diferencial e transformado em
uma equao integral.
O domnio ser discretizado e as condies de contorno sero utilizadas para montar um
sistema matricial cujos coeficientes da matriz sero calculados pelo Mtodo das
Imagens. A soluo deste sistema ser a densidade de corrente em cada regio discreta
do domnio.
Uma vez conhecidas as densidades de corrente, o potencial em um certo ponto pode ser
calculado por integrao.
13
3.1 Formulao das equaes ntegro-diferenciais
A Figura 1 mostra uma malha de aterramento constituda por eletrodos cilndricos
imersa em um solo estratificado com N camadas horizontais.
Figura 1 - Malha de aterramento imersa no solo
A equao geral que descreve este arranjo :
0).( = em todos os pontos exceto no interior dos eletrodos. (1)
f= sobre a superfcie dos eletrodos.
IsdJ = . sobre a superfcie dos eletrodos
h1
superfcie
1
2
m
N-1
N
X P
h2
hm
hN-1
Ix
yz
14
Utilizando a funo de Green o potencial gerado pela malha em um ponto P ser:
=R
p 'dv)'r,r(G).'r(gV (2)
g(r') representa a distribuio de corrente das fontes e G(r,r') corresponde resposta do
sistema estimulado por uma funo impulso.
3.2 Discretizao do Domnio
O potencial deve ser determinado na superfcie dos eletrodos e no solo, no havendo
interesse, neste caso, pelo potencial no interior dos eletrodos.
Hipteses assumidas para a discretizao:
a)
A densidade de corrente em cada segmento constante;
b)
A somatria da corrente de cada segmento igual corrente injetada I;
c)
O potencial sobre a superfcie dos segmentos constante em todo o eletrodo;
d)
A distribuio de corrente em eletrodos cilndricos simulada por um filete de
corrente ao longo do eixo do cilindro.
Considerando as hipteses, a distribuio de corrente das fontes ser nula em todas as
regies exceto no eixo de cada segmento de comprimento Li, onde ter o valor i. O
potencial gerado por cada segmento em um ponto P(r) dado por:
15
==ii Li
i
Lii drrrGL
idrrrGr ')',(')',()( (3)
A equao (2) ser aproximada por:
=
=
N
i Li
ip
i
drrrGLi
V1
')',( (4)
O potencial na superfcie de cada segmento j pode ser obtido pela integrao de (4)
sobre a superfcie do segmento. Utilizando a condio de contorno de potencial
constante obtm-se:
==
==
N
1iiij
N
1i L Liji
oj i.Rdt'dr)'r,r(GL.Li
Vj i
(5)
Rij a conhecida resistncia mtua entre os segmentos i e j.
Uma vez calculados os valores de Rij o sistema de equaes lineares em (5) pode ser
resolvido obtendo-se a distribuio de correntes ii, a qual utilizada na equao (4) para
determinao do potencial em qualquer ponto.
16
3.3 Resistncias mtuas de eletrodos lineares
Os elementos tpicos de malhas de aterramento so cabos e hastes. Neste item sero
desenvolvidas as frmulas bsicas de resistncias mtuas entre estes eletrodos.
3.3.1 Eletrodos Verticais - Hastes
A Figura 2 mostra um segmento de haste de comprimento L, situada nas coordenadas
x0, y0 e com profundidade mdia zm injetando uma corrente I em solo uniforme. Se
consideramos um elemento dI da haste o potencial em um ponto P (x,y,z) ser:
Figura 2 - Haste em solo uniforme
superfcie
P
x
y
z
zm
zm-L/2
zm+L/2
dI
r
17
r
dIdV p1
.
4.
pi
= (6)
Se considerarmos o segmento discretizado, tal que a densidade de corrente seja
constante ( dzLIdI .= ), o potencial gerado pela haste ser:
pi
pi
dzzyyxxL
IdzrL
IVL
L m
L
Lp
+++==
2/
2/22
02
0
2/
2/ ))(()()(1
.
..4.1
.
..4. (7)
fazendo 202
02 )()( yyxxa += e )( += mzzu ento
2
1
2
1
u
u
u
u22p a
uharcsen.L..4I.du
ua
1.
L..4I.V
pi
=
+pi
=
+
pi
=
a
)2L
z(zharcsen
a
)2L
z(zharcsen.
L..4I.V
mm
p (8)
Esta a frmula bsica de clculo do potencial de uma haste em um ponto.
Integrando o valor deste potencial sobre a superfcie de uma haste Lh situada em xh, yh ,
a uma profundidade mdia zmh e com raio rh teremos, denominando L0 o comprimento
da haste fonte e zm0 a profundidade mdia:
18
pi
da
Lzz
ha
Lzz
hLI
LV
h
h
L
L
hmhmh
hmhmh
hh
++
+
=
2/
2/ 00
)2
(arcsen
)2
(arcsen.
..4.1
(9)
Fazendo )2
Lz(zu hmhmh += no primeiro integrando teremos:
22)(arcsen.arcsen aua
uhudua
uha
uf +=
=
(10)
usando a definio de f(u/a) em (10) ento a resistncia mtua entre as hastes ser:
+
+
=
a
Lz
Lz
fLL
Rm
hmh
hoh
22.
...4
00
0pi
(11)
+
+a
2L
z2
Lz
f
00m
hmh
+
++
+a
2L
z2
Lz
f
00m
hmh
+
+a
2L
z2
Lz
f
00m
hmh
Para calcular a resistncia prpria de uma haste basta fazer a igual ao raio da haste na
frmula (11).
19
3.3.2 Eletrodos Inclinados ou horizontais - Cabos
Os cabos sero modelados por segmentos lineares em qualquer ngulo com a superfcie
exceto verticais, quando se aplica a frmula anterior para hastes.
A Figura 3 mostra a disposio de um segmento genrico:
Figura 3 - Cabo inclinado em solo uniforme
Para obtermos o potencial gerado pelo cabo faremos uma integrao similar utilizada
para hastes porm empregando uma equao generalizada da reta.
Sendo Pm(xm, ym, zm) o ponto mdio do cabo e x = x2-x1, y = y2-y1 e z = z2-z1 ento,
sendo u uma varivel paramtrica (|u|
20
Usando as coordenadas em (12) para a integrao teremos:
( ) ( ) ( ) +++++=5,0
5,0222 ).().().(
1.
.4. du
zuzzyuyyxuxx
IVmmm
ppi
(13)
O termo sob a raiz de (13) pode ser posto na forma:
( ) ( ) ( ) ( )22222 ).().().(..2.mmmmmm zzzzxxzzzyyyxxxuLut ++++++=
( )cubuL
t ++= ..1 2
2 , com:
( ))zz.(z)yy.(y)xx.(x.L2b mmm2 ++=
( ) ( ) ( )[ ]2m2m2m2 zzzzxxL1c ++=O potencial ser:
++=
5,0
5,02
.
1.
..4. du
cubuLIV p
pi
5,0
5,02
.4.2
arcsen...4
.
+=
bcbuh
LIV p
pi
ou ainda
+= 22
.41
arcsen.4
1arcsen.
..4.
bcbh
bcbh
LIVp
pi
(14)
A resistncia mtua entre cabos e entre cabos e hastes ser calculada por integrao
numrica da frmula (14).
21
3.4 Introduo de Eletrodos Passivos
As malhas de aterramento em situaes prticas sempre incluem elementos passivos tais
como cercas metlicas e eletrodutos no solo. Nestes casos a formulao dada em (5)
deve ser alterada para um caso mais genrico tal como descrito em Haffner et all [36].
A equao (5) em forma matricial pode ser colocada como:
=
0
0
0
0
1
2
1
121
,11,12,11,1
2122221
1111211
.......
...
...
...............
...
...
VV
VV
ii
ii
RRRRRRRR
RRRRRRRR
N
N
NNNNNN
NNNNNN
NN
NN
(15)
Mais a condio de contorno adicional para as correntes :
=
=
N
kk Ii
1(16)
Se agruparmos as frmulas (15) e (16) teremos:
=
IVi
i
ii
RRRRRRRR
RRRRRRRR
N
N
NNNNNN
NNNNNN
NN
NN
00...
00
...
.
011...111...1...
..................
1...1...
0
1
2
1
121
,11,12,11,1
2122221
1111211
(17)
22
A matriz [R] simtrica, pois Rij = Rji.
Observar que a tenso V0 agora uma das incgnitas do sistema, pois conhecemos de
fato a corrente de curto-circuito na subestao e no o potencial mdio nos eletrodos.
Para introduzirmos eletrodos passivos basta observar que a somatria das correntes dos
segmentos do eletrodo nula. Usando o ndice a para eletrodo ativo e p para passivo
teremos:
=
0
0...
00...
0
...
...
.
001...10...0000...01...110......
........................
10......01..............................
01......
1
1
11
111111
11
111111
a
p
a
pNp
p
aNa
a
pNpNppNppaNpNapaNp
NpppNapapa
apNaNpapNaaNNaaNa
NpapapNaaa
IVVi
ii
i
RRRR
RRRRRRRR
RRRR
(18)
Obteremos como soluo da equao (18) a corrente em cada segmento dos eletrodos
ativos e passivos e os potenciais nos dois eletrodos, permitindo, por exemplo, o clculo
da diferena de potencial entre a cerca e a malha.
Veremos no prximo captulo a deduo das funes G(r, r') da equao (4) e a soluo
da integral pelo mtodo das imagens complexas.
23
4. DETERMINAO DAS FUNES DE GREEN
A funo de Green G(r,r') representa a resposta do sistema a uma fonte impulsiva. Para
um campo de correntes estacionrias a funo potencial gerada por uma carga pontual.
O potencial de uma fonte pontual de corrente I, situada na origem em um solo
homogneo sem fronteiras, pode ser calculado integrando-se a densidade de corrente
sobre uma superfcie esfrica a uma distncia r da fonte e aproveitando a simetria
esfrica :
22
4ou 4..
r
IJrJdIS pi
pi === sJ (19)
a funo de Green ser :
r
IJdrrGr
pi
4
'.)( == (20)
Para um solo estratificado em N camadas horizontais no possvel uma integrao
analtica simples como a de (19) e (20) e ser necessrio o uso de abordagens mais
genricas como a utilizada por Chew [37].
4.1 Fonte pontual em meio homogneo
Supondo uma fonte de corrente pontual situada na origem o potencial gerado em um
ponto r ser, usando a identidade de Sommerfeld:
24
pi
pi
dkekJkk
iIeIrV zikz
rik z==0
0 )(44)(0 (21)
onde k e zk so os coeficientes de propagao na direo radial e de z
respectivamente e 2220 zkkk += .
Os estudos de propagao de onda feitos por Chew so voltados para a rea de
microondas, onde o principal componente dos campos est ligado variao com o
tempo. As frmulas devero ser adaptadas para o caso de campo de correntes de
freqncia nula ou muita baixa, como o caso do presente estudo.
Para o caso de freqncia nula o nmero de onda k0 igual a zero. Assumindo que a
fonte est em uma posio x', y', z' teremos que o potencial em um ponto x, y, z:
kikkkkk zzz .0222
===+ , substituindo em (21):
pi
dkeJkik
iIzV zzkii ')...(0
0 )(.4
),( =
Utilizando a varivel de integrao k= teremos:
'
00 )(4),(
zzxyxy erJ
IzrV
= pi , com ( ) ( )22 '' yyxxrxy += (22)
25
A funo ')',( zzezzF = a funo kernel desta integral, e depende apenas dos
parmetros do solo e da posio da fonte e do objeto.
Efetuando esta integral obteremos novamente:
( ) ( ) ( ) rI
zzyyxx
IrV
pi
pi
4
'''
14
)(222
=
++= (23)
Se a fonte estiver em um semiespao, tal como o de um solo uniforme, basta somarmos
a imagem substituindo (z-z')2 por (z+z')2 em (23).
4.2 Fonte pontual em meio estratificado horizontalmente, fonte e objeto namesma camada
A Figura 4 mostra uma fonte pontual A imersa em uma camada m de um solo
estratificado em N camadas horizontais e um ponto objeto P, situado na mesma camada
m, com o eixo z com origem na superfcie e orientado para cima:
Figura 4- Fonte pontual na camada m de um solo estratificado
h1
superfcie
1
2
m
N-1
N
P A
h2
hm
hN-1
x
yz
-H1
-H2
-Hm
-Hn-1
26
Observar que o ar constitui a primeira camada nesta formulao, com ar=, e o nmero
de camadas total M = N+1.
A soluo do potencial ter a forma:
pi
dzzFrJIzzrV )',()(4
)',,(0
0= (24)
A soluo dever atender s condies de contorno:
-
Corrente na direo z na superfcie nula: 00
=
=zz
V
-
O potencial contnuo em cada interface.
-
O componente normal da densidade corrente contnuo em cada interface:
ii hzihziz
Vz
V
=+=
=
1
11
Chew [37] resolve este problema utilizando abordagem de propagao de ondas entre as
camadas, lanando mo de coeficientes generalizados de reflexo e transmisso.
A soluo geral para a equao (24) em cada camada ser dada pela soma do efeito da
fonte em meio uniforme mais o efeito de ondas viajantes:
pi
dzzFrJIzzrV mimi )',()(4)',,( 00= , com (25)
27
zm
zm
zz
mi eDeBezzF ++= ')',(
O coeficiente Bm est associado reflexo do campo na fronteira Hm-1 e o coeficiente
Dm fronteira Hm. Para explicitarmos a soluo utilizaremos coeficientes de reflexo e
transmisso generalizados.
4.2.1 Coeficientes de Reflexo e Transmisso
Sendo i-1, i, i+1 as resistividades de 3 camadas adjacentes Chew define os
coeficientes:
a)
Coeficiente de reflexo visto da camada i
ascendente : ii
iiiii kk
+
==
1
11, , descendente:
ii
iiiii kk
+
==
+
+++
1
11, (26)
b)
Coeficiente de transmisso visto da camada i para a camada j
ti,j=1+ki,j
c)
Coeficiente de reflexo generalizado visto da camada i
Estes coeficientes so calculados de forma recursiva:
28
1
1
2)1(
2)1(
1,
1
seno , 2i se , 1
+
+
===
i
i
hii
hii
iii
eKkeKk
KK
(27)
1
1
2)1(
2)1(
1,
1
seno , i se , 0
+
+
+++
+++
++
+
+
===
i
i
hii
hii
iii
eKkeKk
MKK
4.2.2 Soluo para a funo kernel
Devemos utilizar as condies de fronteira para determinar Bm e Dm. Olhando na
Figura 4 podemos observar que a onda descendente entre o ponto P e a fronteira Hm-1
totalmente devida reflexo da onda ascendente na fronteira Hm-1:
]..[. 111 .'.1,. += + mmm HmzHmmHm eDeKeB (28)
Analogamente a onda ascendente entre P e a fronteira Hm totalmente devida reflexo
da onda descendente na fronteira Hm:
]..[. .'.1,. mmm HmzHmmHm eBeKeD ++ += (29)
Resolvendo para Fm obtemos:
[ ][ ] z' z se , .)',( 1,)12(1,)2'(' >++= ++++ mmmHmzzmmHmzzm MKeeKeezzF (30)
29
[ ][ ] z' z se , .)',( 1,)2(1,)12'('
30
).(.21,1,
,11
1..1
.
+
++
+=
ii HHiiii
iiii
eKkt
AA (34)
Definindo ).(.21,1,
,1,1
1..1
+
++
+=
ii HHiiii
iiii
eKkt
S ento:
iiii SAA ,11. ++= (35)
A frmula (35) coloca o valor do campo na camada i em funo do valor do campo na
camada imediatamente abaixo i+1. Usando esta frmula recursivamente desde a camada
m at a n teremos:
mmmmmnnnnn ASSSSA ...... 1,2,11,2,1 +++= ou
=
=
1
1,.m
njmmmn SAA (36)
Mas o valor de Am dado pelo primeiro termo entre colchetes da frmula (30), da:
[ ][ ] =
++
++> ++=
1-m
njj1,j
)12(1,
)2'(1,
' S.....)',(m
Hnznn
zHmzmm
znm MeKeeKezzF
(37)
Utilizando o mesmo raciocnio para o ponto P situado em uma camada n abaixo da
camada m da fonte teremos:
[ ][ ] =
++
++< ++=
1-n
j1jj,
)12'(1,
')2(1, S.....)',(
m
mHmz
mmzHnz
nnz
nm MeKeeKezzF
(38)
31
Novamente podemos observar a simetria entre as frmulas (37) e (38).
4.4 Soluo por integrao direta
Fazendo a substituio das funes kernel na funo potencial (25) pode-se observar
que no possvel efetuar integrao analtica direta exceto para o caso de 2 camadas,
quando as frmulas da funo kernel degeneram.
Para o caso de 2 camadas teremos, para o caso da fonte e objeto na primeira camada:
Km,m-1 = 1, pois a resistividade do ar considerada infinita.
Km,m+1 = k12 = k = 12
12
+
: fator de reflexo
Hm = h1 = h : espessura da primeira camada
Hm-1 = 0
1..2.11
hm ekM
=
A frmula (32) ser simplificada para:
( ) ( ) ( )h
zzhzzhzzzz
ekekeeke
zzF..2
'.2'.2''
11.1
..)',(
+++
+++= (39)
rearranjando:
32
( ) ( ) ( )h
zzzzzzzzhhzzzz
ekeeeeekekee
zzF..2
'.'''..2..2''
11.1
).(.).1).(()',(
+++
+++++=
extraindo o termo da fonte e da primeira imagem refletida na superfcie do solo:
( ) ( ) ( )h
zzzzzzzzhzzzz
ekeeeeek
eezzF..2
'.'''..2''
11.1
).(.)',(
+++
+++++= (40)
O termo fracionrio de (40) pode ser posto na forma:
( ) ( ) ).(.1
.)',( '.'''..2
..2
11zzzzzzzz
h
h
eeeeek
ekzztf ++
+++
=
mas 1. ..2 = hekx , da podemos expandir
[ ]...).().().(1..).(1. 3..22..2..2..2
..2
..2
++=+
hhhhh
h
ekekekekek
ek
=
=
+ 1
...2..2
..2.).(1
.
j
hnnh
hek
ekek
(41)
Substituindo (40) e (41) em (25) teremos a funo potencial:
( ) ++= + ''0
01
1 .[)(4)',,(zzzz
xyxy eerJI
zzrV pi
33
( ) ( ) deeeeek zzzzzzzzj
hnn )]).(.( '.'''1
...2 ++
=
++++
Mas 22
.
00
1.).(
baebJ a
+=
, portanto:
+++
++
=
22221
1 )'(1
)'(1
.[4
)',,(zzrzzr
IzzrV
xyxy
xypi
(42)
=
++++
+++1 2222 )2'(
1)2|'(|
1.(
jxyxy
n
nhzzrnhzzrk
)])2|'(|
1)2'(
12222
nhzzrnhzzr xyxy ++
+++
A frmula (42) citada em todas as abordagens de imagens em solos de duas camadas.
34
A Figura 5 mostra a representao fsica da frmula (42) com o posicionamento das
imagens:
Figura 5- Reflexes de uma fonte em solos de duas camadas
Para solos com mais de duas camadas cada uma das imagens da Figura 5 provoca novas
reflexes nas outras interfaces entre camadas tornando o mtodo invivel. A integral
I.k
I
I.k
I.k
I
I.kn
I.kn
I.kn
I.kn
I.k
P xzz'
-2.H
-H
-2.n.H
H
2.H
2.n.H
z
x' xH 1
2
35
deve ento ser obtida atravs de tcnicas numricas tal como a de imagens complexas
que ser apresentada no prximo captulo.
36
5. IMAGENS COMPLEXAS
A tcnica de imagens complexas foi empregada pela primeira vez em sistemas de
aterramento por Chow et all [29] para obter a funo de Green a partir da integral da
funo kernel.
5.1 Imagens Complexas tal como apresentadas por Chow et all [29]
A inovao apresentada por Chow em [29] foi a de utilizar a transformada de Fourier da
funo de Green em (5) na forma:
+
+=
+exp
)'()'(1)(1
)(2.~ S
eRR
eediG h
zzzz
(43)
com:
))2'(())2'(())2'(())2'((exp
1111 hzzhzzhzzhzz eeeeS ++++ +++=
A frmula (43) vlida para a fonte localizada na primeira camada e expandida numa
somatria de exponenciais, podendo tomar duas formas:
a)
Profundidades da fonte e do ponto de clculo constantes:
A expanso ser
=
=
+
N
i
bih
ieaSeR
R
1exp
1)(1)(
(44)
37
Substituindo (44) em (43) e aplicando a transformada inversa obtemos a funo de
Green:
++=
=
N
i i
i
r
a
rr
IG100 '
114pi (45)
com:
2220 )'()'()'( zzyyxxr ++= , 2220 )'()'()'(' zzyyxxr +++=
222 )'()'( ii byyxxr ++=
A Figura 6 mostra a disposio esquemtica das imagens:
Figura 6 - Imagens complexas de fonte pontual
superfcie
ro Ponto P
x
yz
Fonte I
imagem realr'o
r1
r2
Imagem complexa 1
Imagem complexa 2
38
Como G real os ai's e bi's devem ser reais ou em pares conjugados. A parte real dos
bi's deve ser negativa para atender condio do potencial nulo quando z tende a
infinito.
b) Profundidades z e z' variveis
Neste caso a funo Sexp no expandida:
=
=
+
N
i
bih
ieaeR
R
11)(1)(
(46)
Substituindo (46) em (643 e executando a transformao inversa teremos
+++++= =
N
i iiiii
rrrra
rr
IG1 432100
1111'
114pi
, com: (47)
[ ]21221 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr +++=
[ ]21222 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr ++++=
[ ]21223 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr ++++=
[ ]21224 )2'()'()'( ii bhzzyyxxr +++=
39
Esta frmula corresponde exatamente frmula do potencial de uma fonte pontual em
solo de duas camadas apresentada em [9], exceto pela presena das imagens complexas
e por apresentar uma quantidade finita de imagens, no sendo necessrio efetuar
somatrias infinitas.
Os ai's e bi's so calculados por mtodos de extrao de plos e resduos, como o
mtodo de Prony em [29] ou mtodos baseados em autovalores em [33].
5.2 Generalizao da Tcnica de Imagens Complexas
Para que possamos superar a limitao de eletrodos na primeira camada de Chow [29] e
a de solos de duas camadas de Liu [33] devemos analisar mais detidamente os
fundamentos da tcnica de imagens complexas.
O princpio bsico da tcnica aplicar uma separao de variveis sobre a funo kernel
F(z,z') e em seguida expandi-la em uma somatria de exponenciais:
)',().()',( zzfesolouzzF =
u(solo) funo somente dos parmetros do solo e f(z,z') somente da profundidade da
fonte e do objeto. Fazendo a expanso em u(solo):
=
=
N
j
bj
zzf jeaezzF1
.)',(...)',,( (48)
A integral ser ento:
40
== =
deaerJzzItgdzzFrJN
j
bj
zzfxyxy
j...)..()',()',,()..(
1
.)',(.00
=
= dearJzzItgN
j
bzzfjxy
j..)..()',(
1
))',(.(0
=
+=
N
j jxyj
bzzfrazzItg
1 22 ))',((1
.)',( (49)
A integral da funo kernel ser ento substituda por uma somatria finita, onde os
coeficientes bj e aj representam os plos e os resduos da resposta do solo a uma fonte
pontual de corrente. A soluo do potencial ser dada por:
)))',((
1.
)'(1
)'(1
.(4
)',,(1 222222
= +
+++
++
=
N
j jxyj
xyxy
ixyi
bzzfra
zzrzzr
IzzrV
pi
(50)
Ser necessrio a determinao da funo f(z,z') e dos coeficientes das imagens
complexas para que possamos explicitar a funo potencial. O primeiro passo a ser dado
a separao de variveis.
5.3 Separao de variveis
Efetuaremos a separao de variveis nas frmulas (32) e (37) do captulo 4 para z e z'
como variveis independentes.
41
5.3.1 Fonte e objeto na mesma camada.
A frmula (32) pode ser posta na forma:
( )[ ++++= ++ mmhzzzzzzzzmm KKeeeeezzF m ..)',( 2'')'(' ( ) ( )+++
++ 11 222'
....
mmm Hm
Hmm
Hzz eKeKKee
( ) ] mmHzz MKee m ... 2' +++ (51)
Observar que quando o solo uniforme o termo entre colchetes de (51) nulo,
revelando que este o termo que deve ser expandido na somatria. Veremos alguns
casos particulares.
a)
Fonte situada na primeira camada em solo com 3 ou mais camadas
Neste caso teremos m =2, K-m=1, Hm-1=0, Hm = h1 , obtendo:
( ) ( )( )''''22,1
22,1)'('
11 1
1
1)',( zzzzzzzzh
hzzzz eeee
eKeK
eezzF ++
+ +++
++=
(52)
Esta a formulao de Chow [29].
b)
Fonte situada na ltima camada em solo com 3 ou mais camadas
Neste caso teremos m =N+1, K+m=0, Hm-1= HN, obtendo:
( ) ( )NN HmHzzzzzzmm eKeeeezzF 22')'(' ..)',( ++ ++= (53)Neste caso podemos tambm realizar a expanso da forma proposta por Chow dado que
h apenas 01 termo para u(solo).
42
c)
Para os casos em que a fonte e o objeto ocupam camadas intermedirias entre a
primeira e a ltima camada de um solo de mais de duas camadas, no possvel
efetuar a separao de variveis na forma proposta por Chow [29] com apenas um
conjunto de imagens, sendo este o motivo da restrio dos eletrodos na primeira
camada ou solos com duas camadas. Para levantar esta restrio deve-se considerar
cada linha do termo entre colchetes da frmula (51) como uma expanso
independente, obtendo assim 3 conjuntos de imagens para representar o potencial
dentro desta camada:
( ) mmhzzzzmm KKeeezzF m + += ..)',( 2''1 (54)
( ) ( ) mHmHmmHzzmm MeKeKKeezzF mmm .....)',( 11 222'2 ++ += (55)
( )mm
Hzzmm MKeezzF m ...)',( 2'3 ++= (56)
43
Aps a expanso a funo potencial ser ento:
+++
++
=2222 )'(
1)'(
1.[
4)',,(
zzrzzr
IzzrV
xyxy
mxym
pi
(57)
+++
+++
=
1
1 2122
121
)).2'(
1).2'(
1.(
N
j jmxyjmxyj
bhzzrbhzzra
+++++
=
2
1 22122
)).2'(
1.(
N
j jmxyj
bHzzra
])).2'(
1.(
3
1 2323
= +++
N
j jmxyj
bHzzra
5.3.2 Fonte e o objeto em camadas diferentes.
Faremos a expanso somente para a fonte abaixo do objeto, m > n; para a outra
condio podemos usar a simetria da funo kernel:
Definindo = +
+=
1-m
nj j1,j
j1,j, t
S' nmT e
=
+=
1-m
njj1,j, tnm teremos:
44
++= ++> nmHzzzz
nmneezzF
,
).2'()'( ).()',( 1
+ ).'
11.([,
)'(
mnm
zz
MTe
( ) ++
++ )
.'
1.(
,
.2' 1
mnm
n
Hzz
MTKe n
( ) ++ +++ mHzz Ke m ..2'
( )mnmmnmn
HHzz MTKKe mn ..']....2.2' 1 ++ + (58)
Para o caso geral sero necessrios 4 conjuntos de imagens para representar o potencial
gerado em camada diferente daquela da fonte:
+
++++
+=
21
222, ).2'(1
)'(1
..
4)',,(
nxyxy
nm
m
xymnHzzrzzr
IzzrV
pi
(59)
+
++
=
1
1 2121 )'(
1.(
N
j jxyj
bzzra
+++++
+ =
2
1 22122
)).2'(
1.(
N
j jnxyj
bHzzra
++++
+ =
3
1 2323
)).2'(
1.(
N
j jmxyj
bHzzra
+++
+ =
mnm
N
j jmnxyj MT
bHHzzra .'.)
).2.2'(1
.(,
1 24124
4
45
Pode-se observar na frmulas (51) e (58) que quando K+m / K+n for nulo ou K-n / K-m
for unitrio sero necessrios apenas 02 conjuntos de imagens, que correspondem a
fonte ou objeto na primeira ou ltima camada. Caso a condio seja simultnea ento
ser necessrio apenas um conjunto de imagens.
A Tabela 1 mostra o nmero de conjuntos de imagens necessrios em funo da posio
relativa da fonte e objeto:
fonte / objeto 1 2 --- N-1 N
1 1 2 2 2 1
2 2 3 4 4 2
--- 2 4 3 4 2
N-1 2 4 4 3 2
N 1 2 2 2 1
Tabela 1 - Nmero de conjuntos de imagens
5.4 Determinao dos Plos e Resduos das Imagens
O item 5.4.1 apresenta o Mtodo de Prony clssico usado por Chow et all [29] para a
determinao dos plos e resduos das imagens. Devido a limitaes importantes deste
46
mtodo, ser apresentada no item 5.4.2 uma adaptao do Mtodo de Prony com o uso
de autovalores e autovetores para superar estas limitaes.
5.4.1 Mtodo de Prony como apresentado por Chow et all
Se a funo f(x) pode ser expandida em uma somatria de exponenciais do tipo:
xN
xx NeAeAeAxf .1.1.0 110 ......)( +++ (60)
ento, se f(x) for amostrada em pontos igualmente espaados xj = j.x cada uma das
exponenciais:
( ) 1 ..., ,1 ,0 ,. == Niee jijj ii
satisfaz uma equao linear de diferenas de ordem N com coeficientes constantes:
y(j+N) +CN-1.y(j+N-1) + CN-2.y(j+N-2)+...+ C0.y(j)=0
A equao caracterstica deste sistema um polinmio de grau N :
0..... 02
21
1 =++++
CCC NNN
NN (61)
47
Como cada termo individual satisfaz a equao de diferenas homognea, ento
qualquer combinao linear dos termos tambm satisfar a equao, em particular a
funo expandida original:
f(j+N) +CN-1.f(j+N-1) + CN-2.f(j+N-2)+...+ C0.y(j)=0
Sero ento necessrias 2N amostras para determinao unvoca das 2N incgnitas da
equao (60).
Sendo f1, f2 ... f2N os pontos amostrados da funo f deveremos executar os seguintes
passos:
a)
Encontrar os coeficientes do polinmio caracterstico resolvendo o sistema linear:
=
++ =
1
0.
N
jkNkjj ffC , k =1, 2,...N
Os coeficientes Cj so todos reais pois os fs so reais.
b)
Obter as N razes do polinmio:
0..... 02
21
1 =++++
CCC NNN
NN
As razes j podem ser reais ou complexas em pares conjugados.
c)
Determinar os plos do sistema:
( )x
Ln jj
=
(62)
48
d)
Com os valores obtidos em (62) montar outro sistema linear de ordem N a partir da
frmula (60) e dos primeiros N valores amostrados:
=
=
N
jj
x
j feA j1
.
.
Os valores Aj so os resduos associados aos plos j e podem ser reais ou em pares
conjugados.
Uma das limitaes deste mtodo que o nmero de ordem N no conhecido a priori,
de forma que a estimativa feita pode provocar erros significativos sem que haja uma
forma de quantific-los.
Outra limitao importante que como o nmero de amostras o dobro da ordem do
sistema, se for necessrio aumentar a taxa de amostragem para acompanhar variaes
rpidas da funo a ordem do sistema crescer proporcionalmente, aumentando
desnecessariamente os requisitos de memria e de tempo de processamento.
Para contornar estas dificuldades foi utilizada uma adaptao do mtodo de Prony
proposto por Blaricum e Mittra [39], resolvendo o sistema linear inicial do passo a)
usando o mtodo da decomposio em autovalores e autovetores.
5.4.2 Mtodo de Prony com soluo por autovalores
A diferena neste caso que o sistema linear inicial amostrado com um nmero maior
que o dobro da ordem esperada do sistema resultando em um sistema com mais
equaes do que incgnitas.
49
O valor da taxa de amostragem fixada em funo da maior espessura de camada
existente no modelo, e o ponto final da amostragem em funo do menor valor de
espessura de camada existente, sem dependncia da ordem do sistema, observando-se
sempre que o nmero de amostras deve ser maior do que o de incgnitas.
Estima-se um valor inicial N0 para a ordem do sistema e decompe-se a matriz
retangular, obtendo-se os autovalores e os autovetores. O algoritmo de decomposio
utilizado foi o de Press et all [38].
Se algum autovalor for nulo ou, em casos prticos, for menor que o limite especificado
(10-6 a 10-8), a ordem do sistema reduzida pela quantidade de autovalores nulos e o
sistema recalculado. Se no existirem autovalores nulos ento a ordem do sistema
aumentada de 1 e os autovalores so determinados novamente. Este processo repetido
at que se encontre pelo menos um autovalor nulo.
Uma vez definida a ordem do sistema pode-se continuar no passo b) de 5.2.1 para
determinar os plos e resduos.
50
6. ASPECTOS COMPUTACIONAIS
A implementao da metodologia apresentada envolve alguns aspectos gerais de
arquitetura de software e tambm problemas especficos de cdigo. Sero feitas
consideraes sobre os aspectos principais da implementao.
O programa foi escrito com um compilador Borland Delphi 2.0, com linguagem Pascal
orientada a objetos e ambiente visual para utilizao em PCs com Windows 95 ou
superior e Windows NT 4.0 ou superior .
Todas as matrizes e vetores so armazenadas em variveis dinmicas para otimizar o
uso da memria.
O programa em sua verso final tem cerca de 1,5 Mb e necessita de 12 Mb de memria
livre em sua capacidade mxima para evitar o uso do arquivo de troca do Windows.
6.1 Entrada de Dados da Malha e do Solo
Entrada das informaes relativas aos eletrodos, com posio inicial e final, raio e
tipo , se ativo ou passivo.
As camadas foram limitadas a 4, quantidade suficiente para permitir comparao
com outros resultados da literatura. No h limitaes tcnicas para a quantidade de
camadas.
51
6.2 Discretizao do domnio
A discretizao foi feita dividindo-se os eletrodos de tal maneira a preservar a
hiptese de densidade de corrente constante, implicando em segmentar mais os
trechos na periferia da malha e nos pontos de cruzamento no caso de cabos e sempre
segmentando as hastes com o primeiro segmento da ordem da profundidade de
cravao. Um sintoma tpico de segmentao inadequada a existncia de potenciais
na superfcie maiores do que o potencial mdio sobre os eletrodos.
Para preservar a hiptese de filamento de corrente o menor segmento foi mantido da
ordem de 50 vezes o raio do condutor.
Devido forma de soluo genrica das equaes de potencial em (11) e (14) foram
introduzidas singularidades ao longo do eixo dos segmentos. Estas singularidades so
resolvidas numericamente pelo deslocamento radial do ponto de clculo por um valor
igual ao raio do segmento.
6.3 Determinao das imagens complexas
As funes de Green so amostradas e as imagens so calculadas.
O intervalo da amostragem foi fixado em 1/20 da menor espessura existente. O ponto
final da amostragem foi estabelecido em 20 vezes o valor da maior espessura de
camada. Esta condio implica no clculo de pelo menos 400 pontos, mas garante
52
que todos os componentes de freqncia relevantes sero considerados no clculo
das imagens. O programa pode calcular at 50.000 pontos.
O nmero de imagens inicial foi estimado como o nmero de camadas mais 2. O
valor mnimo dos autovalores foi fixado em 10-6.
Foram implementadas apenas as funes com fonte abaixo do objeto. O clculo
inverso utiliza a simetria das funes de Green.
Foi necessrio implementar bibliotecas de rotinas complexas para o clculo das
imagens pois os plos e resduos podem ser complexos.
6.4 Montagem da matriz de resistncias mtuas
As frmula (9) e (14) so implementadas para calcular as resistncias mtuas da
matriz e o sistema linear de ordem M resolvido.
A ordem M igual ao produto do nmero de eletrodos pela segmentao mdia
utilizada. Por exemplo, se tivermos 50 eletrodos com uma segmentao mdia de 10
teremos M = 500. Esta matriz simtrica e cheia, portanto os requisitos de memria
necessria para o armazenamento dos dados pode ser uma limitao importante para
malhas muito grandes. O programa pode manipular at matrizes de ordem 1000 x
1000, ocupando cerca de 8 Mb de memria RAM.
53
Devido introduo dos eletrodos passivos a fatorao de Cholesky no pode ser
utilizada porque a matriz deixou de ser positiva definida. Foi utilizado o algoritmo de
decomposio LU de Press et all [38] para a soluo do sistema linear.
6.5 Clculo dos potenciais e explorao dos resultados
As frmulas (8) e (14) so implementadas para o clculo do potencial gerado pela
malha.
A sada mais habitual a de traar perfis de potenciais ao longo de algumas linhas,
por exemplo a diagonal da malha, e plotar os valores do potencial de toque,
superfcie e de passo.
O uso dos eletrodos passivos permite a determinao de potenciais de transferncia
para cercas ou eletrodutos e tambm os potenciais de toque na vizinhana destes
eletrodos.
54
7. RESULTADOS OBTIDOS
Para verificao da metodologia apresentada sero feitas comparaes de resultados
com trabalhos publicados.
7.1 Exemplo de Chow et all [29]
O eletrodo toroidal descrito em [29] e [30] ser simulado para verificao dos
resultados.
Este eletrodo um toride de 300 m de raio, seo transversal com raio de 30 cm,
profundidade de 2,75 m, injetando uma corrente de 2.000 A no solo. A hiptese de fonte
linear de corrente utilizada.
O solo foi estratificado em 4 camadas. A Tabela 2 mostra os valores de resistividades e
espessuras:
Camada 1 2 3 4
Resistividade (.m) 200 230 110 20
Espessura (m) 3 15 5
Tabela 2 - Dados do Solo
No caso de um toride a simetria impe que a densidade de corrente seja uniforme, no
sendo necessria a resoluo de um sistema matricial.
55
A Figura 7 mostra a posio do toride.
Figura 7- Toride na primeira camada
7.1.1 Modelo utilizado
A funo de Green derivada a partir da frmula (51) para N =4 :
( ) ( )( )'zz'zz'zz'zzh23,2
h23,2)'zz('zz
11 eeeeeK1
eKee)'z,z(F
1
1++
+ +++
++= (63)
A expanso exponencial de (30) foi feita com o mtodo de Prony usado por Chow [29],
utilizando 8 amostras igualmente espaadas entre =0 e =1 para determinao de 4
imagens.
h1
SUPERFCIE
1
2
3
4
Rh2
h3
Z
56
A Tabela 3 mostra os valores dos ai's e bi's para este caso:
i 1 2 3 4
ai 0,069768 0,0049189 -0,26234 + j0,15429 -0,26234 - j0,15429bi (m) 0 -6,01680 -31,191 + j3,8654 -31,191 - j3,8654
Tabela 3 - Plos e Resduos
Observar que quando h uma imagem complexa existe seu conjugado correspondente.
A Figura 8 mostra o grfico dos valores analticos de (30), os valores reconstrudos com
a expanso de Chow [29], Tabela II e com os valores da Tabela 3.
AnalticoChowTab. 3
0,0001 0,001 0,01 0,1
F
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
-0,35
-0,4
-0,45
-0,5
Figura 8- Valores reconstrudos
Analtico
Chow
Tab. 3
(1/m)
57
7.1.2 Clculo do potencial na superfcie
O potencial na superfcie (z=0) foi calculado para R entre 280 m e 315 m para
comparao com a Fig. 4 de [28].
O clculo foi realizado a partir da integrao do potencial da fonte pontual da frmula
(10) sobre o anel situado no centro da seo transversal do toride.
A Figura 9 mostra o potencial calculado com os dados da Tabela II de Chow [28], os
valores retirados das curvas dadas em Legace [25] (marcados com cruz) e os calculados
com os plos e resduos da Tabela 2.
LegaceChowTab. 3
R (m)315310305300295290285280
Vsu
p (V
)
23022021020019018017016015014013012011010090
Figura 9- Potenciais na superfcie do solo sobre o eletrodo.
Tab. 3
Chow
58
A Figura 10 mostra uma comparao com os resultados obtidos para valores de R entre
0 e 600 m:
LegaceChowTab. 3
R (m)6005004003002001000
Vsu
p (V
)
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
Figura 10 - Potenciais na superfcie do solo sobre o eletrodo
Os grficos mostrados nas Figuras 9 e 10 mostram boa reproduo dos potenciais
quando comparados com [29] e [28], evidenciando que as imagens complexas podem
ser efetivamente utilizadas nesta aplicao.
O clculo de potenciais para eletrodos complexos apresentar a mesma seqncia que o
caso do toride, exceto que ser necessrio segmentar o eletrodo e resolver o sistema
matricial.
59
7.1.3 Imagens para o solo de Kovarski
A estrutura do solo citado em Kovarski at all [25] evidencia a limitao do mtodo de
Prony clssico utilizado por Chow et all [29].
A Tabela 4 mostra as 04 imagens usados por Chow e as 7 calculadas pelo AMAICom 4.
Chow AMAICom
N Resduos Plos Resduos Plos
1 +1,1293 -3680,23 -0,33116 -1573395
2 -0,4564 -1995,46 +1,33509 -1069959
3 +0,6049 -1000,0 -2,95778 -558694,6
4 -0,7778 0,0 +1,72283 -131326,3
5 --- --- +1,03496 -35420,8
6 --- --- +0,47384 -1106,67
7 --- --- -0,777778 0,0
Tabela 4 Imagens para o Solo de Kovarski
A Figura 11 mostra a funo kernel analtica, a aproximao de Chow e a do
AMAICom. Observar que para valores pequenos de (1/m) entre 10-5 e 10-6 ,
equivalentes a distncias de 105 e 106 m do eletrodo, a expanso de Chow apresenta
erros de mais de 100%. Notar que a distncia ao ponto com erro mximo cerca de 10
vezes a profundidade da ltima camada.
60
Figura 11 Valores reconstrudos do kernel de Kovarski
Notar que para o clculo das 7 imagens foram usadas 24000 amostras da funo kernel
contra apenas 08 amostras para as 4 imagens de Chow.
7.2 Solo de 2 camadas Exemplo de Li e Dawalibi
Este eletrodo estudado nos trabalhos de Li et all [33] e Dawalibi [17]; constitudo
por uma malha quadrada com lado de 20 metros com 04 meshs e 9 hastes a uma
profundidade de 0,5 m. Cada haste tem 10 m de comprimento e 2 cm de dimetro. Cada
cabo tem dimetro de 1 cm.
A Figura 12 mostra a vista superior da malha. A linha na diagonal do primeiro mesh o
caminho onde foi calculado o potencial de toque.
1E-8 1E-7 1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
Analtico
AMAICom
Chow
(m-1)
F()
61
A resistividade da primeira camada foi fixada em 100 .m e a espessura em 5 m. A
resistividade da segunda camada foi fixada variando-se o fator de reflexo de 0,9 a
+ 0,9.
FIGURA 12 VISTA SUPERIOR DA MALHA
A Tabela 5 mostra os valores da resistncia de aterramento e o valor do potencial de
toque mximo em percentagem em relao elevao de potencial da malha.
A discretizao utilizada foi a padro com 3 subdivises para os cabos e 7 para as
hastes.
Linha de clculo dopotencial
62
Resistncia () Vtoque (%)
k Li Dawalibi AMAICom Li Dawalibi AMAICom
0,9 7,70 7,78 8,02 6,51 6,60 7,04
0,5 3,46 3,50 3,50 12,9 13,4 14,2
0,0 1,79 1,81 1,78 20,8 21,0 21,7
-0,5 0,80 ---- 0,787 27,0 ---- 29,7
-0,9 0,15 0,16 0,153 34,1 35,0 37,1
Tabela 5 Comparao com solos de 2 camadas
Os resultados da resistncia de aterramento e do potencial de toque mostram variaes
menores que 3 % entre os trs conjuntos de resultados.
Para uma verificao adicional destes resultados o Ground-3D foi utilizado com os
valores extremos de k = 0,9 e k = -0,9, obtendo-se respectivamente resistncias de
7,38 e 0,12 e potenciais de toque de 6,3 % e 37 %.
7.3 Exemplo de Vujevic e Kurtovic
Este eletrodo [34] composto por hastes e cabos com 11 mm de dimetro a uma
profundidade de 0,5 m e cabos com 5 mm de dimetro simulando uma cerca metlica.
O solo apresenta uma estrutura de 03 camadas, com resistividades de 10, 100 e 500 .m
respectivamente e espessuras de 2 e 10 m.
63
A Figura 13 mostra uma vista superior da malha. A linha na segunda metade da malha
o caminho de clculo do potencial na superfcie.
Eletrodo passivo
Eletrodo ativo
Linha de clculoDo potencial
Figura 13 - Exemplo de Vujevic e Kurtovic
A Tabela 6 mostra valores da elevao de potencial dos eletrodos ativos e passivos e o
valor do potencial em alguns pontos na superfcie do solo, com referncia 0 no centro da
malha. A corrente injetada no eletrodo interno foi de 1000 A .
64
Grandeza Vujevic e Kurtovic AMAIComElevao de potencial do
eletrodo ativo (V)1968 1972
Elevao de potencial doeletrodo passivo (V)
1765 1766
Potencial x=0 1835 1838
Potencial x=5 1820 1822
Potencial x=6 1770 1772
Potencial x=10 1551 1552
Potencial x=20 1206 1206
Tabela 6 Comparao com 03 camadas
Os resultados mostram excelente concordncia entre os dois mtodos.
7.4 IEEE-80 / 1986
Sero estudados dois casos do Anexo C do IEEE-80 / 1986, o caso C4, com solo de
duas camadas e espaamento uniforme e o C6, com solo uniforme e espaamento
varivel.
7.4.1 Caso C-4 : 2 camadas com espaamento uniforme
Malha quadrada com lado de 60,96 m, 04 meshs, 09 hastes. Cabos com 10 mm de
dimetro e hastes com 0,5 de dimetro e 9,144 m de comprimento. A profundidade da
65
malha de 0,5 m; a resistividade da primeira e segunda camada de 300 .m e 100
.m respectivamente e a espessura da primeira camada de 4,572 m.
A Figura 14 mostra uma vista superior da malha:
Figura 14 Eletrodo Figura C4 IEEE-80 /1986
A Tabela 7 mostra os valores da resistncia de aterramento e do potencial de toque do
IEEE-80, de Haffner [36] e os obtidos com o AMAICom:
Linha de clculo dopotencial
66
Resistncia () Potencial de toque (%)
IEEE-80 / 1986 1,353 49,66
Haffner et all [36] 1,169 45,06
AMAICom 1,141 44,04
Tabela 7 Eletrodo C4 do IEEE-80 / 1986
A diferena percentual do potencial de toque mximo foi de 4,6 % em relao ao
IEEE-80 e de 1 % em relao a Haffner.
A diferena percentual da resistncia de aterramento foi de 16 % em relao ao IEEE-80
e de 2,4 % em relao a Haffner.
A Figura 15 mostra o potencial na superfcie sobre o caminho mostrado na Figura 13.
Potencial da MalhaP1
x (m)302520151050
Pote
nci
al na
Supe
rfci
e (V
)
1.100
1.000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Figura 15 Potencial na superfcie do solo
67
7.4.2 Caso C-6 : Solo uniforme com espaamento varivel
Malha quadrada com lado de 91,44 m, 08 meshs, 25 hastes. Cabos com 10 mm de
dimetro e hastes com 0,5 e 9,144 m de comprimento. A profundidade da malha de
0,5 m; a resistividade do solo de 300 .m . O espaamento dos meshs varivel. A
Figura 16 mostra uma vista superior da malha:
Figura 16 Eletrodo Figura C4 IEEE-80 /1986
A Tabela 8 mostra os valores da resistncia de aterramento e do potencial de toque do
IEEE-80 e os valores obtidos com o AMAICom:
Linha de clculo dopotencial
68
Resistncia () Potencial de toque (%)
IEEE-80 / 1986 C6 1,416 17,08
AMAICom 1,468 15,86
Tabela 8 Eletrodo C6 do IEEE-80 / 1986
O potencial de toque mximo ocorreu no mesh central e no no mesh do canto.
A diferena percentual de 3,6 % entre os valores de resistncia e de 1,2 % para o
potencial de toque.
A figura 17 mostra a curva de potencial na superfcie do solo:
Figura 17 Potencial na superfcie do solo
Podemos observar que a segmentao utilizada produziu um valor de potencial na
superfcie do solo maior do que o potencial sobre os eletrodos, indicando que a
segmentao est inadequada. No caso do IEEE-80, a Fig. C7 mostra potenciais acima
Potencial da MalhaP1
x (m)454035302520151050
Pote
nci
al na
Supe
rfci
e (V
)
1.5601.5401.5201.5001.4801.4601.4401.4201.4001.3801.3601.3401.3201.3001.2801.2601.240
69
do valor dos eletrodos j na passagem sobre o terceiro cabo (x = 12,44 m), indicando
que foi utilizada uma segmentao ainda mais grosseira.
7.5 Anlise de Sensibilidade da Discretizao
Ser utilizado o exemplo da Figura C6 do IEEE-80 /1986, malha em solo uniforme com
espaamento varivel para uma anlise de sensibilidade aos parmetros da
discretizao.
Sero analisadas as variaes do valor da resistncia de aterramento, do valor mximo
do potencial na superfcie e do valor do potencial de toque mximo.
A discretizao dos cabos ser feita em 1, 9, 17 e 33 subdivises, correspondentes a
nenhuma subdiviso, 1, 2 e 4 subdivises por mesh respectivamente.
A discretizao das hastes ser feita em 1, 3, 5 e 11 subdivises.
A Figura 18 mostra a variao da resistncia de aterramento.
Figura 18 - Variao do valor da resistncia de aterramento
1 3 5 111
17
1,455
1,46
1,465
1,47
1,475
R (o
hms)
Sub. hastes
Sub. cabos
1
9
17 33
70
A variao entre o menor valor e o maior foi de 0,7%, indicando que o valor da
resistncia depende pouco da discretizao.
A Figura 19 mostra a variao do valor do potencial de toque mximo.
Figura 19 Potencial de toque mximo
A variao entre o menor e o maior valor foi de 5,8 %, com os valores menores
acontecendo com um nmero maior de subdivises.
Para que o valor fique dentro de 1% do valor assinttico a subdiviso dos cabos deve ser
de 17 ou 2 subdivises por mesh e a subdiviso de hastes deve ser 3, minimizando o
nmero total de segmentos discretos.
Observar que neste caso a concluso de Garret em [22] de que a subdiviso das hastes
tem um impacto maior sobre os potenciais na superfcie no aplicvel, mostrando que
malhas de forma complexa devem ser analisadas caso a caso.
13511
117
220
225
230
235
240
Pot.
Toqu
e (V
)
Sub. hastes
Sub. cabos
1
9
17
33
71
A Figura 20 mostra a variao do valor do potencial mximo na superfcie.
Figura 20 Potencial mximo na superfcie
A variao entre o maior e o menor valor foi de 4,9 % com valores menores
acontecendo com um nmero maior de subdivises. Os valores maiores que 100% so
incorretos, pois a superfcie no pode estar a um potencial maior do que o da prpria
malha.
Para que a diferena fique dentro de 1 % do valor assinttico devemos ter a mesma
condio necessria para o potencial de toque, subdiviso dos cabos de 2 por mesh e 03
subdivises para as hastes.
Esta correlao tem significado fsico, pois como h pequena variabilidade no valor da
resistncia de aterramento e uma discretizao mais grosseira aumenta os valores
mximos e mnimos do potencial na superfcie, se a discretizao reproduz
13511
117
949698
100102104
Pot.
Sup.
(V)
Sub. hastes
Sub. cabos
1
9
17
33
72
adequadamente o valor mximo do potencial na superfcie ela tambm reproduzir
adequadamente o valor mnimo, associado ao potencial de toque.
Uma conseqncia imediata desta correlao que o potencial na superfcie pode ser
usado como um indicador da qualidade da discretizao.
interessante verificar o efeito da discretizao no valor do potencial sobre a superfcie
dos eletrodos, pois uma das hipteses fundamentais que o potencial sobre a superfcie
dos eletrodos constante.
A Figura 21 mostra o potencial sobre a superfcie do cabo central da malha em
percentagem do valor mdio para nenhuma subdiviso de cabos e hastes e para 2
subdivises por mesh para os cabos e 3 subdivises para as hastes, segmentao que
produziu valores dentro de 1% dos valores assntotas.
Figura 21 Potencial sobre a superfcie do cabo central
0
20
40
60
80
100
120
0 9,144 18,288 27,432 36,576 45,72x (m)
V C
abo
(%)
Sem subdiviso
Com subdivisoSem subdiviso
Com subdiviso
73
Pode-se observar que a subdiviso mais fina proporcionou uma melhor aderncia
hiptese, com o potencial da superfcie do cabo se aproximando mais do valor mdio.
A forma dos potenciais na Figura 21 indica que a ocorrncia de potenciais na superfcie
do solo com valores superiores ao valor mdio do potencial da malha decorre
justamente da falta de aderncia hiptese bsica de potencial constante em todo o
eletrodo.
74
8. CONCLUSO
Os resultados apresentados permitem concluir que a tcnica de imagens complexas pode
ser utilizada com sucesso para o clculo de malhas de terra em solos com mltiplas
camadas horizontais.
A anlise terica realizada permitiu uma explicitao indita das funes kernel para
posies arbitrrias da fonte e do objeto, possibilitando que outros trabalhos futuros
possam ser realizados com base nas funes kernel.
O programa AMAICom desenvolvido superou as limitaes existentes em trabalhos
anteriores de imagens complexas, permitindo o clculo de malhas com eletrodos
situados em qualquer camada e a determinao das imagens complexas por um mtodo
mais robusto e estvel.
Ainda existem pontos importantes a serem aprofundados tais como:
-
reduo do nmero de amostras da funo kernel;
-
propagao do erro proveniente do uso das imagens complexas para o clculo dos
potenciais e, consequentemente, para o clculo das resistncias mtuas e
-
efeitos da discretizao dos eletrodos em malhas com topologia irregular.
75
9. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
[ 1] Cardoso, J. R. O Mtodo dos Elementos Finitos Aplicado na Determinao da
Resistncia de Aterramento. Anais do Seminrio sobre Clculo de Campo Eltrico com
Mtodos Numricos, Santo Andr, 1985.
[ 2] Cardoso, J. R. ; Ribeiro, F. S. ; Gambirasio, G. O Mtodo dos Elementos Finitos no
Modelamento de Sistemas de Aterramento em Solos de Mltiplas Camadas. Anais do
IX SNPTEE, Belo Horizonte, 1987.
[ 3] Cardoso, J. R. ; Oliveira, J. B. Ground-3D: Um Sistema CAD / CAE para Anlise
de Sistemas de Aterramento. Anais do XI SNPTEE, Rio de Janeiro, 1991.
[ 4] Leite, C. M. ; Pereira Fo , M. L. Tcnicas de Aterramentos Eltricos. So Paulo,
Officina de Mydia, 1995.
[ 5] Dwight, H. B. Calculation of Resistances to Ground. AIEE Transaction, Vol 55,
Dec 1936, pg 1318-1328.
[ 6] Gross, E. T. B.; Chitnis, B. V.; Stratton, L. J. Grounding Grids for High-Voltage
Stations. AIEE Trans. Vol 72, pt. III (Power Apparatus and Systems), Aug 1953, pg
799-810.
[ 7] Thapar, B. ; Gross, E. T. B. Grounding Grids for High Voltage Stations IV -
Resistance of Grounding Grids in Nonuniform Soil. AIEE Transactions, Oct 1963, pg
782-788.
[ 8] Tagg, G. F. Earth Resistances. London, George Newnes, 1964.
76
[ 9] Sunde, E. D. Earth Conduction Effects in Transmission Systems. New York, Dover,
1968.
[ 10] Giao, T. N. ; Sarma, M. P. Effect of a Two-Layer Earth on the Electric Field near
HVDC Ground Electrodes. IEEE Trans. on PAS, 1972, N 6, Nov/Dec, pg 2356 - 2365.
[ 11] Dawalibi, F. ; Mukhedkar, D. Optimum Design of Substation Grounding in a Two
Layer Earth Structure Part I - Analytical Study. IEEE Trans on PAS, Vol 94, N 2,
mar/apr 1975, pg 252-261.
[ 12] Dawalibi, F. ; Mukhedkar, D. Optimum Design of Substation Grounding in a Two
Layer Earth Structure Part II - Comparison between Theorethical and Experimental
Results. IEEE Trans on PAS, Vol 94, N 2, mar/apr 1975, pg 262-266.
[ 13] Dawalibi, F. ; Mukhedkar, D. Optimum Design of Substation Grounding in a Two
Layer Earth Structure Part III - Study of Grounding Grids Perfomance and New
Electrodes Configuration. IEEE Trans on PAS, Vol 94, N 2, mar/apr 1975, pg 267-272.
[ 14] Dawalibi, F. ; Mukhedkar, D. Multi Step Analysis of Interconnected Grounding
Electrodes. IEEE Trans on PAS, Vol 95, N 1, Jan/Feb 1976, pg 113-119.
[ 15] Dawalibi, F. ; Mukhedkar, D. Resistance Calculation of Interconnected
Grounding Electrodes. IEEE Trans on PAS, Vol 96, N 1, Jan/Feb 1977, pg 59-65.
[ 16] Dawalibi, F. ; Mukhedkar, D. Transferred Earth Potentials in Power Systems.
IEEE Trans on PAS, Vol 97, N 1, Jan/Feb 1978, pg 90-101.
[ 17] Dawalibi, F. ; Mukhedkar, D. Influence of Grounds Rods on Grounding Grids.
IEEE Trans on PAS, Vol 98, N 6, Nov/Dec 1979, pg 2089-2098.
77
[ 18] Heppe, R. J. Computation of Potential at Surface above na Energized Grid or other
Electrode, allowing for Non-Uniform Current Distribution. IEEE Trans on PAS, Vol 98,
N 6, Nov/Dec 1979, pg 1978-1989.
[ 19] Kouteynikoff, P. Numerical Computations of the Grounding Resistance of
Substations and Towers. . IEEE Trans on PAS, Vol 99, N 3, May/Jun 1980, pg 957-
965.
[ 20] Nagar, R. P. ; Velazquez, R. ; Loeloeian, M. ; Mukhedkar, D. ; Gervais, Y. Review
of Analytical Methods for Calculating the Perfomance of Large Grounding Grid
Electrodes Part I : Theorethical Considerations. IEEE Trans on PAS, Vol 104, N 11,
Nov 1985, pg 3124-3133.
[ 21] Loeloeian, M. ; Velazquez, R. ; Mukhedkar, D. Review of Analytical Methods for
Calculating the Perfomance of Large Grounding Grid Electrodes Part II : Numerical
Results. IEEE Trans on PAS, Vol 104, N 11, Nov 1985, pg 3133-3139.
[ 22] Garret, D. L. ; Pruitt, J. G. Problems Encountered with the Average Potential
Method of Analyzing Substation Grounding Systems. IEEE Trans on PAS, Vol 104, N
12, Dec 1985, pg 3586-3596.
[ 23] ANSI / IEEE Std 80-1986, IEEE Guide for Safety in AC Substation Grounding.
New York, IEEE Press, 1986.
[ 24] Joy, E. B. ; Wilson, R. E. Accuracy Study of the Ground Grid Analysis Algorithm.
IEEE Trans on PWRD, Vol 1, N 3, Jul 1986, pg 97-103.
78
[ 25] Kovarsky, D. ; Pinto, L. J. ; Caroli, C. E. ; Santos, N. Soil Surface Potentials
Induced by Itaipu HVDC Ground Return Current. IEEE Trans on PWRD, Vol 3, N 3,
Jul 1988, pg 1204-1210.
[ 26] Lagace, P. J. ; Houle, J. L. ; Gervais, Y. ; Munkhedkar, D. Evaluation of the
Voltage Distribution around Toroidal HVDC Ground Electrodes in N-Layer Soils. IEEE
Trans on PWRD, Vol 3, N 4, Oct 1988, pg 1573-1579.
[ 27] Takahashi, T. ; Kawase, T. Calculation of Earth resistance for a Deep-Driven Rod
in a Multi-Layer Earth Structure. IEEE Trans on PWRD, Vol 6, N 2, Apr 1991, pg
608-614.
[ 28] Dawalibi, F. ; Barbeito, N. Measurements and Computations of the Performance
of Grounding Systems Buried in Multilayer Soils. IEEE Trans on PWRD, Vol 6, N 4,
Oct 1991, pg 1483-1490.
[ 29] Chow, Y. L. ; Srivastava, K. D. Complex Images of a Ground Electrode en
Layered Soils. J. of Applied Physics, Vol 71, N 15, Jan 1992, pg 569-574
[ 30] Dawalibi, F. ; Ma, J. ; Southey, R. D. Behaviour of Grounding Systems in
Multilayer Soils : A Parametric Analysis. IEEE Trans on PWRD, Vol 9, N 1, Jan 1994,
pg 334-342.
[ 31] Chow, Y. L. ; Yang, J. J. ; Srivastava, K. D. Grounding Resistance of Buried
Electrodes in Multi-Layer Earth Predicted by Simple Voltage Measurements along
Earth Surface - A Theoretical Discussion. IEEE Trans on PWRD, Vol 10, N 2, Apr
1995, pg 707-713.
79
[ 32] Elsherbiny, M. M. ; Chow, Y. L. ; Salama, M. M. A Fast and Accurate Analysis of
Grounding Resistance of a Driven Rodbed in a Two-Layer Soil. Paper presented at the
IEEE/PES Summer Meeting, July 23-27, 1995, Portland - USA.
[ 33] Li, Z. ; Yuan, J. ; Zhang, L. Lu, J. The Simulated Calculation of Power Station
Grounding Systems with Grid and Driven Rods Based on an Equivalent Image Method.
Paper presented at the 11 COMPUMAG, November, 03-06, 1997, Rio de Janeiro -
Brasil.
[ 34] Vujevic, S.; Kurtovic, M. Numerical Analysis of Earthing Grids Buried in
Horizontally Stratified Multilayer Earth. Int. Journal for Numerical Methods in
Engineering, Vol 41, 1998, pg 1297 - 1319.
[ 35] Sadiku, M, Numerical Techniques in Electromagnetics. Boca Raton, CRC Press,
1992.
[ 36] Haffner, S. L.; Tell, M. ; Dias, G. A. D. Mtodo Computacional para Projeto de
Grandes Sistemas de Aterramento Empregando Matrizes Esparsas. Artigo apresentado
no XIV Congresso bero Latino-Americano de Mtodos Computacionais em
Engenharia , 1 a 3 de dezembro de 1993, So Paulo - Brasil.
[ 37] Chew, W. C. Waves and Fields in Unhomogeneous Media. New York, IEEE
Pres