LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ
Octubre 2004, Para casanchi.com
LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN COORDENADAS RECTÁNGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS: Del teorema de la divergencia, se tiene:
∫∫ =SV
Sdfdfdivrrr
.).( τ
y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:
3333
2222
1111
)..()..()..().( dqSdfq
dqSdfq
dqSdfq
dfdivrrrrrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=τ
Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas: En estas coordenadas es: dxdydSdzdxdSdzdydS qqq ===
321,.,.
Y también es el elemento diferencial de volumen dzdydxd ..=τ Por tanto:
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
321
.....
1.....
1.....
1)(
)..()..()...().(
xf
xf
xf
dxdzdyxf
dzdydxdxdzdy
xf
dzdydxdxdzdy
xf
dzdydxfdiv
dzdxdyfz
dydxdzfy
dxdzdyfx
dfdiv
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=⇒
⇒∂∂
+∂∂
+∂∂
=
r
rτ
3
3
2
2
1
1)(xf
xf
xffdiv
∂∂
+∂∂
+∂∂
=r
Expresión en coordenadas esféricas: En estas coordenadas es:
θρρφρθρφθθρ dddSddsendSddsendS qqq ..,...,... ===321
2
Y también es φθρθρτ dddsend ....2= Por tanto:
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φφ
θρρφθρθρ
θθ
φρθρφθρθρ
ρρ
φθθρφθρθρ
φφ
θθ
ρρ
τ φθρ
dddfdddsen
dddsenfdddsen
dddsenfdddsen
fdiv
ddSfddSfddSfdfdiv
.)...(
....1
.)....(....
1
.)....(...
1)(
)..()..()..().(
32
22
21
2
321
∂∂
+
+∂
∂+
+∂
∂=⇒
⇒∂∂
+∂∂
+∂∂
=
r
r
O sea:
φθρθθ
θρρρ
ρ ∂∂
+∂
∂+
∂∂
=)(
.1.).(
..1).(1)( 32
21
2
fsen
senfsen
ffdivr
Expresión en coordenadas cilíndricas: En estas coordenadas es:
φρρρφρ dddSdhddSdhddS qqq ..... ===321
Y también es dhddd ... φρρτ = Por tanto:
dhhddf
dhdd
ddhdfdhdd
ddhdfdhdd
fdiv
dhdSfh
ddSfddSfdfdiv h
.)...(
.....1
.)..(...
1
.)..(...
1)(
)..()..()..().(
3
2
1
321
∂∂
+
+∂
∂+
+∂
∂=⇒
⇒∂∂
+∂∂
+∂∂
=
φρρφρρ
φφρ
φρρ
ρρφρ
φρρ
φφ
ρρ
τ φρ
r
r
Finalmente:
hffffdiv∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
)()(1)(.
1)( 321
φρρρ
ρ
r
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En resumen:
En cartesianas: 3
3
2
2
1
1.xf
xf
xff
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇rr
En esféricas: φθρθ
θθρρ
ρρ ∂
∂+
∂∂
+∂
∂=∇
)(.
1.).(..
1).(1. 322
12
fsen
senfsen
ffrr
En cilíndricas: hffff∂
∂+
∂∂
+∂
∂=∇
)()(1)(.
1. 321
φρρρ
ρ
rr