LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ

Octubre 2004, Para casanchi.com

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN COORDENADAS RECTÁNGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS: Del teorema de la divergencia, se tiene:

∫∫ =SV

Sdfdfdivrrr

.).( τ

y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:

3333

2222

1111

)..()..()..().( dqSdfq

dqSdfq

dqSdfq

dfdivrrrrrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=τ

Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas: En estas coordenadas es: dxdydSdzdxdSdzdydS qqq ===

321,.,.

Y también es el elemento diferencial de volumen dzdydxd ..=τ Por tanto:

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

321

.....

1.....

1.....

1)(

)..()..()...().(

xf

xf

xf

dxdzdyxf

dzdydxdxdzdy

xf

dzdydxdxdzdy

xf

dzdydxfdiv

dzdxdyfz

dydxdzfy

dxdzdyfx

dfdiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=⇒

⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

=

r

rτ

3

3

2

2

1

1)(xf

xf

xffdiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

=r

Expresión en coordenadas esféricas: En estas coordenadas es:

θρρφρθρφθθρ dddSddsendSddsendS qqq ..,...,... ===321

2

Y también es φθρθρτ dddsend ....2= Por tanto:

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φφ

θρρφθρθρ

θθ

φρθρφθρθρ

ρρ

φθθρφθρθρ

φφ

θθ

ρρ

τ φθρ

dddfdddsen

dddsenfdddsen

dddsenfdddsen

fdiv

ddSfddSfddSfdfdiv

.)...(

....1

.)....(....

1

.)....(...

1)(

)..()..()..().(

32

22

21

2

321

∂∂

+

+∂

∂+

+∂

∂=⇒

⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

=

r

r

O sea:

φθρθθ

θρρρ

ρ ∂∂

+∂

∂+

∂∂

=)(

.1.).(

..1).(1)( 32

21

2

fsen

senfsen

ffdivr

Expresión en coordenadas cilíndricas: En estas coordenadas es:

φρρρφρ dddSdhddSdhddS qqq ..... ===321

Y también es dhddd ... φρρτ = Por tanto:

dhhddf

dhdd

ddhdfdhdd

ddhdfdhdd

fdiv

dhdSfh

ddSfddSfdfdiv h

.)...(

.....1

.)..(...

1

.)..(...

1)(

)..()..()..().(

3

2

1

321

∂∂

+

+∂

∂+

+∂

∂=⇒

⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

=

φρρφρρ

φφρ

φρρ

ρρφρ

φρρ

φφ

ρρ

τ φρ

r

r

Finalmente:

hffffdiv∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

)()(1)(.

1)( 321

φρρρ

ρ

r

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En resumen:

En cartesianas: 3

3

2

2

1

1.xf

xf

xff

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rr

En esféricas: φθρθ

θθρρ

ρρ ∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∇

)(.

1.).(..

1).(1. 322

12

fsen

senfsen

ffrr

En cilíndricas: hffff∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∇

)()(1)(.

1. 321

φρρρ

ρ

rr