“AÑO DE LA UNIÓN NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA “
UNIVERSIDAD NACIONALTECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA
CURSO:
MATEMATICA I
TEMA:
LIMITES
INTEGRANTES:
CASTRO LAZO PATRICIA INÉS
LÓPEZ CORTES YUDIT MABEL
HUAMANCHA ESPILLCO, IRIS INÉS
HUAMANI CÓRDOVA, NATHALY NANCY
SURICHAQUI GUTIÉRREZ KARIM PAMELA
VÁSQUEZ ROBLES MIRIAM:
PROFESOR TASAYCO
CICLO:
II
EJERCICIOS DE MATEMÁTICA I
I. aplicando la definición de limite, demostrar los siguientes limites, hallado el valor de δ, (δ>0), para los valores de ε dados.
1) limx→3
(5x−3 )=12, є = 0.03
RESOLUCION: a=3, L=12, δ=?
|f ( x )−L| < Є siempre que 0 < |x−a| < δ
|5 x−3−12| < 0.03 siempre que 0 < |x−3| < δ
|5 x−15| < 0.03 siempre que 0 < |x−3| < δ
|5||x−3| < 0.03 siempre que 0 < |x−3| < δ
|x−3| < 0.035
Siempre que 0 < |x−3| < δ
|x−3| < 0.006 siempre que 0 < |x−3| < δ
∴ δ = 0.006
2) limx→−2
(3 x+5 )=−1, є = 0.012
RESOLUCION: a=-2, L=-1, δ=?
|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ
|3 x+5+1| < 0.012 siempre que 0 < |x+2| < δ
|3 x+6| < 0.012 siempre que 0 < |x+2| < δ
|3||x+2| < 0.012 siempre que 0 < |x+2| < δ
|x+2| < 0.0123
Siempre que 0 < |x+2| < δ
|x+2| < 0.004 siempre que 0 < |x+2| < δ
∴ δ = 0.004
3) limx→2
( x2−4x−2 )=4, є = 0.004
RESOLUCION: a=2, L=4, δ=?
|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ
|( x−2 )(x+2)x−2 | = 4 < 0.004 siempre que 0 < |x−2| < δ
|x+2−4| < 0.004 siempre que 0 < |x−2| < δ
|x−2| < 0.004 siempre que 0 < |x−2| < δ
∴ δ = 0.004
4) limx→3
(7 x2−20 x+2 )=5, є = 0.001
RESOLUCION: a=3, L=5, δ=?
|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ
|7 x2−20 x+2| < 0.001 siempre que 0 < |x−3| < δ
|7 x2−20 x−3| < 0.001 siempre que 0 < |x−3| < δ
|( x−3 )(7 x+1)| < 0.001 siempre que 0 < |x−3| < δ
|x−3| < 0.001
(7 x+1) Siempre que 0 < |x−3| < δ
I (2; 4)a. X=2
|x−3|< 0.001
|7 (2 )+1¿| Siempre que 0<|x−3| < δ
|x−3|< 0.00115
Siempre que 0<|x−3| < δ
|x−3|< 0.00006 siempre que 0<|x−3| < δ
∴ δ = 0.00006
b. X=4
|x−3| < 0.001
|7 (4 )+1| siempre que 0<|x−3| < δ
|x−3| < 0.00122
siempre que 0<|x−3| < δ
|x−3|< 0.00003 siempre que 0<|x−3| < δ
∴ δ = 0.00003
∴ δ = 0.00003
5) limx→1
( 3 x2−2x−1x−1 )=4, є = 0.015
RESOLUCION: a=1, L=4, δ=?
|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ
|(3 x+1 )( x−1)x−1 | = 4 < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ
|3 x+1−4| < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ
|3 x−3| < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ
|3 (x−1)| < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ
|x−1| < 0.0153
siempre que 0 < |x−1| < δ
∴ δ = 0.005
6) limx→ 1
2
( 4 x2−12x−1 )=2, є = 0.07
RESOLUCION:
a=12
, L=2, δ=?
|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ
|(2x−1 )(2x+1)2 x−1 | = 2 < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ
|2 x+1−2| < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ
|2 x−1| < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ
|2(x−12 )| < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ
|x−12| < 0.072
siempre que 0 < |x−12| < δ
∴ δ = 0.035
7) limx→1
(√ x−1x−1 )= ½, є = 0.013
RESOLUCION: a=1, L=½, δ=?
|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ
|√ x−1x−1−½| < 0.013 siempre que 0 < |x−1| < δ
|2√x−2−x+12 x−2 | < 0.013 siempre que 0 < |x−1| < δ
|2√x−x−12x−2 | < 0.013 siempre que 0 < |x−1|< δ
|2√ x−x−1||2||x−1|
< 0.013 siempre que 0 < |x−1| < δ
|−(x+1−2√x )||x−1|
< 0.026 siempre que 0 < |x−1| < δ
|(√ x+1) ²||x−1|
< 0.026 siempre que 0 < |x−1| < δ
|(√ x+1) ²||x−1|²|x−1|
< 0.026|x−1|² siempre que 0 < |x−1| < δ
|x−1| < 0.026|x−1|²
|√ x+1|² siempre que 0 < |x−1| < δ
I (0; 2)
X=0
|x−1|< 0.026|0−1|²
|√0+1|² siempre que 0<|x−1| < δ
|x−1|< 0.0261
siempre que 0<|x−1| < δ
|x−1|< 0.026 siempre que 0<|x−1| < δ
∴ δ = 0.026
X=2
|x−1| < 0.026|2−1|²
|√2+1|² siempre que 0<|x−1| < δ
|x−1| < 0.026
|2.414|² siempre que 0<|x−1| < δ
|x−1| < 0.0265.828
siempre que 0<|x−1| < δ
|x−1|< 0.00446 siempre que 0<|x−1| < δ
∴ δ = 0.00446
∴ δ = 0.00446
8) limx→−3 ( 3x−13 x2−25 )=-5, є = 0.001
RESOLUCION: a=-3, L=-5, δ=?
|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ
| 3 x−13 x2−25+5| < 0.001 siempre que 0 < |x+3| < δ
|3 x−1+15 x2−1253 x2−25 | < 0.001 siempre que 0 < |x+3| < δ
|(5 x−14 )(3 x+9)|<0.001 siempre que 0 < |x+3| < δ
3|x+3| < 0.0015x−14 siempre que 0 < |x+3| < δ
|x+3| < 0.001
3∣5 X−14 ∣ siempre que 0 < |x+3| < δ
I (2; 4)X=2
|x+3|< 0.001
3|5 (2 )−14| siempre que 0<|x+3| < δ
|x+3|< 0.00112
siempre que 0<|x+3| < δ
|x+3|< 0.00008 siempre que 0<|x+3| < δ
∴ δ = 0.00008
X=4
|x+3|< 0.001
3|5 (4 )−14| siempre que 0<|x+3| < δ
|x+3|< 0.00118
siempre que 0<|x+3| < δ
|x+3|< 0.00005 siempre que 0<|x+3| < δ
∴ δ = 0.00005
∴ δ = 0.00005
9) limx→2
( x2
7 x−13 )=4, ε = 0.01
RESOLUCION: a=2, L=4, δ=?
|f ( x )−L| < ε siempre que 0 < |x−a| < δ
| x2
7 x−13+4| < 0.01 siempre que 0 < |x−2| < δ
|x2−28 x+527 x−13 | < 0.01 siempre que 0 < |x−2| < δ
|( x−26 )( x−2)7 x−13 | < 0.01 siempre que 0 < |x−2| < δ
|x+3| < 0.01∣7 x−13 ∣∣ x−26 ∣
siempre que 0 < |x−2| < δ
I (1; 3)X=1
|x+3|< 0.01∣7 (1 )−13 ∣
∣1−26 ∣ siempre que 0<|x−2| < δ
|x+3|< 0.01∗625
siempre que 0<|x−2| < δ
|x+3|< 0.002 siempre que 0<|x−2| < δ
∴ δ = 0.002
X=3
|x+3|< 0.01∣7 (3 )−13 ∣
∣3−26 ∣ siempre que 0<|x−2| < δ
|x+3|< 0.01∗823
siempre que 0<|x−2| < δ
|x+3|< 0.003 siempre que 0<|x−2| < δ
∴ δ = 0.003
∴ δ = 0.002
10)limx→ 4
x ³−14 x10 x−4 = -8, ε= 0.1
RESOLUCION:a= 4 L: -8, δ,=?
|f ( x )−L| < ε siempre que 0 < |x−a| < δ
|x ³−14 x10x−4+8|<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ
|x3−14 x+80 x−32810 x−41 |<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ
|( x−4 )(x2+4 x+82)10 x−4 |<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ
|x−4||x2+4 x+82|| 110 x−4|<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ
|x−4|<0.1(10 x−4 )x2+4 x+82
siempre que 0 < |x−4| < δ
I (3;5)X= 3
|x−4|<0.1(10(3)−4)(3)2+4 (3)+82
siempre que 0 < |x−4| < δ
|x−4|<0.02524 siempre que 0 < |x−4| < δ
∴ δ = 0.02524
X=5
|x−4|<0.1(10(5)−4)52+4(5)+82
siempre que 0 < |x−4| < δ
|x−4|<0.03622 siempre que 0 < |x−4| < δ
∴ δ = 0.03622
∴ δ = 0.02524
II. Aplicando la definición de límite, demostrar los siguientes límites
1) limx→2
(3x ²−x−2 )= 8
limx→2
(3x ²−x−2 )= 8 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, si 0<|x-2|<δ ⇒|(3 x ²−x−2)−8|<ε
|3 x ²−x−2−8| < ε
|3 x ²−x−10| < ε
|3 x+5||x−2| < ε ……..(1)
|3 x+5| < M
tomamos δ ₁ =1
|x−2| < 1
-1 < x-2 < 11 < x < 33 < 3x < 98 < 3x+5 < 14|3x+5| < 14…………(2)
Reemplazando (2) en (1):
|x−2||3x+5| < 14|x−2|
|x−2| < ε14
;
δ₂ = ε14
Luego se elige δ = min. {1; ε14 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min. {1; ε14 }Se tiene: si 0<|x-2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→2
(3 x ²−x−2 )= 8
2) limx→−2
(x2+3x+2 )=0
limx→−2
(x2+3x+2 )=0⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+2|<δ ⇒|¿|<ε
|x2+3 x+2|<ε
|x+1||x+2|<ε………….(1)
tomamosδ 1=12
|X+2|<12
−12
<x+2<12
-32
<x+1<-1
|x+1|<1……..…..(2)
Reemplazamos (2) en (1):
|X+2 | |x+1 | <1 |x+2|< ε
Luego se eligeδ=min {12 , ε}Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min{12 , ε}. Se tiene: si 0<|x+2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→−2
(x2+3 x+2 )=0
3) limx→3
4x−2= 4
limx→3
4x−2= 4⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-3|<δ ⇒|( 4
x−2 )−4|<ε
|4x−2
- 4|<ε
|4+4 x+8x−2 |<ε
|−4 (x−3)x−2
|<ε
|-4||x-3||1x−2
|<ε……….(1)
Acotando la función |1x−2
| y para esto calculamos δ₁= ½|3-2|= ½
|x-3|<½ ⇒ -½<x-3<½
52
<x<72
12
<x-2<32
2<1x−2
<23
|1x−2
|<2…………(2)
Reemplazando (2) en (1):
|-4||x-3||2|<ε
|x-3|<ε8
⇒ δ₂=ε8
Luego se elige δmin= {½, ε8
}
Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min{½ , ε8 }. Se tiene: si 0<|x-3|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→3
4x−2
= 4
4) limx→½
3+2 x5−x = 8/9
limx→½
3+2 x5−x
= 8/9 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-½|<δ ⇒|3+2x5−x
−8 /9|<ε
¿ 3+2x5−x
−89∨¿ < ε
¿9 (3+2x )−8(5−x)
9 (5−x )∨¿<ε
|27+18 x−40+8 x
9(5−x)∨¿<ε
|26 x−139 (5−x )
|<ε
|26(x−½)9(5−x)
|<ε
|269
||15−x ||x-½|<ε……………..(1)
Acotando la función |15−x | y para esto calculamos δ₁= ½|½-5|=9/4
0<|x-½|<9/4 ⇒ -9/4<x-½<9/4
-7/4<x<11/4
-27/4<x-5<-9/4
-4/27>1x−5>-4/9
|1x−5 |<
49
………………(2)
Reemplazando (2) en (1):
|269
||15−x ||x-½|<|
269
||49
||x-½|<ε
|10418
||x-½|<ε
|x-½|<ε (104 )18
δ₂= ε (52)9
Luego se elige δmin{94,ε529
}
Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {94,ε529
} Se tiene: si 0<|x-½|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→½
3+2 x5−x = 8/9
5) limx→5
(√6−x )= 1
limx→5
(√6−x )= 1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-5|<δ ⇒|√6−x -1|<ε
|√6−x−1| < ε
|(√6−x−1 )(√6−x+1)(√6−x+1) | < ε
| 6−x−1√6−x+1| < ε
| x−5√6−x+1| < ε
| 1
√6−x+1| |x−5| < ε …………..(1)
Acotando la función | 1
√6−x+1| y para esto calculamos δ₁= ½|5−6|= ½
√6−x ≥ 0
√6−x +1 ≥ 1
1
√6−x+1 ≤ 1………..(2)
Reemplazando (2) en (1):
| 1
√6−x+1| |x−5| < ε
|1| |x−5| < ε
δ =ε₂
Luego se elige δmin {12, ε}
Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {192, ε} Se tiene: si 0<|x-5|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→5
(√6−x )= 1
6) limx→7
x+19 x−60
=83
limx→7
x+19 x−60
=83⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-7|<δ ⇒|
x+19 x−60
−83
|<ε
| X+13 (3x−20 )
−85|<ε
|X+1−24 x+1603 (3 x−20 ) |<ε
|−23 X+1613 (3 x−20 ) |<ε
| 23( x−7)3 (3x−20 )|<ε233 | 1
(3 x−20 )||x−7|<ε……………………………..(1)
Acotando la función | 1(3 x−20 )| y para esto calculamos δ 1=
12|7−203 |=16
|X−7|< 16
−16
<x−7< 16
12
<3x-20<32
2<| 13 x−20|< 23……………………………………….(2)
Reemplazando (2) en (1) :
233 | 13 x−20||x−7|< 469 |x−7|<E
|x−7|< 9 E46
Luego se elige δmin {16 , 9 E46 }
Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {16,9 E46
} Se tiene: si 0<|x-7|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→7
x+19x−60
=83
7) limx→−4
2x−45 x+23
=−4
limx→−4
2x−45 x+23
=−4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+4|<δ ⇒|2 x−45x+23
+4 |<ε
∣ 2 x−45 x+23
+4 ∣< ε
|2x−4+20 x+925 x+23 | <ε
|22x+885 x+23 | <ε
22∣ 15x+23 ∣∣x+4∣< ε…..(1)
Acotando la función (1
5x+23¿ y para esto calculamos δ₁=
12∣−4+ 23
5∣= 310
0 < |x+4| < δ=310
-310
< x+4 < 310
- 4310
< x < - 3710
- 432
< 5x < −372
32
< 5x+23< 92
29
<∣ 15x+23
∣< 23
∣ 15x+23
∣< 23
………………(2)
Reemplazando (2) en (1)
22∣ 15x+23 ∣∣x+4∣<22( 23 ) ∣ x+4 ∣<ε
∣x+4∣<3 ε44
δ₂=3 ε44
Luego se elige S=min{ 310 ; 3δ44 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {
310;3δ44
} Se tiene: si 0<|x+4|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→−4
2x−45 x+23
=−4
8) limx→1
x−1√ x ²+3−2= 2
limx→1
x−1√ x ²+3−2
= 2 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-1|<δ ⇒|x−1
√x ²+3−2−2 |<ε
|x−1
√x ²+3−2 -2|<ε
|x+3−2√x ²+3
√x ²+3−2|<ε
|¿¿|<ε
|( x+3 )2−(2√ x ²+3)²
( x+3 ) (√x2+3−2 )+(2√ x2+3 ) (√ x ²+3−2)|<ε
|x ²+9+6 x−4 x ²−12
(√ x2+3−2)¿¿|<ε
|3 x ²+6 x+3
(√ x2+3−2 )(x+3−2√x ²+3)|<ε
|3(x−1) ²
(√ x2+3−2 )(x+3−2√x ²+3)|<ε
|3
x+3−2√x ²+3 ||(x-1)²||1
√x ²+3−2 |<ε
Por propiedad:
|√ x ²+3|≥0
|√ x ²+3−2|≥-2
|1
√x ²+3−2 |≥ -½
Concluimos:
|3
x+3−2√x ²+3 ||(x-1)²| |1
√x ²+3−2 |<|3
x+3−2√x ²+3 ||(x-1)²||½|<ε
|(x-1)²|<ε 2¿¿
δ= ε 2¿¿
9) limx→2 (√3x
2−113 ) =
13
limx→2 (√3x
2−113 ) =
13
⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ ¿ √3 x2−113
−1 /3|<ε
| 3√3x2−113−13| < ε
|( 3√(3 x2−11)−1)( 3√3 x2−112+ 3√3 x2−11+1)3|( 3√3 x2−112+ 3√3 x2−11+1)| | < ε
| 3 x ²−11−1
3(3√3 x2−112+ 3√3x2−11+1)| < ε
¿ < ε
¿ )² ≥ 0
¿ )²+34
≥ 34
1
|( 3√ (3x2+11 )+ 14)²+ 3
4| ≤ 43
|x−2||x+2|
|( 3√ (3 x2+11 )+ 14 )
2
+ 34| ≤
43|x−2||x+2| < ε
|x−2| < 3 ε
4|x+2|
∴ δ = 3 ε
4|x+2|
10)limx→1
x+1√ x
=2
limx→1 ( x+1√x ) = 2⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ ¿
x+1√ x
−2|<ε
|X+1√X
−2|<ε
|X+1−2√X√X |<ε
|(X+1)2
1 || 1√X |<ε ……………………..(1)
Acotando la función | 1√X| y para esto calculamos δ 1=12|1−0|=1
2
|X−1|< 12
−12
<x−1< 12
√2√3
< 1√X
<√2
| 1√X|<√2……………………………………………………(2)
Reemplazando (2) en (1) :
|(X+1)2
1 || 1√X |<|(X+1)2
1 |√2<ε|X−1|< √ε
4√2
Luego se elige δ=min {12 , √E4√2 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {
12, √E4√2
} Se tiene: si 0<|x-2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→1
x+1√ x
=2
11)limx→0
x−√22 x+√3
=−√2√3
limx→0
x−√22 x+√3
=−√2√3
⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿ x−√22x+√3
+ √2√3
|<ε
∣ x−√22x+√3
+ √2√3
∣< ε
¿ <ε ¿ <ε ∣¿¿∣< ε…..δ1
Acotando la función (1
3∣2x+√3 ∣¿ y para esto calculamos δ₁
12
∣−√32
∣=−√34∣x∣<-
−√34
−√34
<2x<√34
−√32
<2x<√32
√32
<2x+√3<3√32
3√32
<1
2x+√3 <2
√3
|1
2x+√3|<2
√3
Reemplazando (2) en (1):
√3+2√2 ∣ x ∣
√3 ∣ 1
2x+√3∣<√3+2√2
√3 ( 2√3 ) ∣ x ∣<ε
∣x∣< 3 ε2(√3+2√2)
Luego se elige δ=min¿
Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {√34,3 ε2¿¿
} Se tiene:si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→0
x−√22x+√3
=−√2√3
12)limx→0
8 x64 x−1= 0
limx→0
8 x64 x−1= 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿
8x64 x−1
−0|<ε
|8x
64 x−1 |<ε
|8 x
8(8 x−18) |<ε
|x
(8 x−18) |<ε
|1
8 x−18
||x|<ε
Acotando la función 1
8 x−18
| y para esto calculamos δ= ½|0-164
|¿1128
|x|<1128
−1128
< x <1128
−8128
< 8x <8128
−316
< 8x+18
<−116
-16/3>1
8 x−18
>-16
|1
8 x−18
|<16
Reemplazando (2) en (1):
|1
8 x−18
||x|<16|x|<ε
|x|<ε/16
Luego se elige δ= min {1128
,ε16
}
Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {1128
,ε16
} Se tiene: si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→0
8 x64 x−1
= 0
13) limx→−7 ( 3 xx+8 ) = -21
limx→−7 ( 3 xx+8 ) = -21 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+7|<δ ⇒ ¿( 3 xx+8 )+21|<ε
| 3xx+8+21| < ε
|3 x+21 x+168x+8 | < ε
24|x+7|| 1x+8| < ε… (1)
Acotado la función | 1x+8| < ε podemos calcular δ₁ =
12|−7+8| =
12
|x+7| < δ₁ = 12
−12
< X+7 < 12
−152
< x < −132
12
< X+8 < 32
2 > 1x+8 >
23
23
< 1x+8 < 2
| 1x+8| < 2… (2)
Reemplazando (2) en (1):
24|x+7|| 1x+8| < 24|x+7|
|x+7| < ε48
= δ₂
Luego se elige δ = min {12 ; ε48 }
Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12;ε48
} Se tiene: si 0<|x+7|<δ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→−7 ( 3 xx+8 ) = -21
14)limx→0
x2+2 x+2x2−2 x+1
=2
limx→0
x2+2 x+2x2−2 x+1
=2⇔ ∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿ x2+2 x+2x2−2x+1
−2|<ε
| x2+2 X+2x2−2 X+1
−2|<ε
|X (X−6)(X−1)2 |<ε
|X|| X−6(X−1)2|<ε
|x||x-6||1
(x−1) ²|<ε……………….(1)
Acotando la función ¿1
(x−1) ²∨se puedecaldular δ 1=
12=12|1|
|X|< 12
−12
<x< 12
−32
<X−1← 12
94<(X−1)2< 1
4
49> 1
(X−1 )2>4
| X−6(X−1 )2|< 4|X−6|
9 ……………………………….(2)
Reemplazando (2) en (1) :
|X|| X−6(X−1)2|< 4|X−6|
9|X|<ε
|X|< 9E4|X−6|
Luego se elige δ=min {12 , 9 E4|X−6|}
Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12,9E
4|X−6|} Se tiene: si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε
∴ limx→0
x2+2 x+2x2−2x+1
=2
15) limx→−1
∣ x ∣x2+1
=12
limx→−1
∣ x ∣x2+1
=12⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+1|<δ ⇒ ¿
∣ x ∣x2+1
−12 |<ε
∣ ∣ x ∣x2+1
−12 ∣< ε
∣2∣ x ∣−x2−12(x2+1)
∣<ε
∣−¿¿∣<ε
2∣ x2+1 ∣2
∣ 1
x2+1∣<ε
Acotando la función ∣ 1
x2+1∣ podemos calcular
x2≥0
x2+1≥1
∣1
(x¿¿2+1)∣ ¿≤∣ x2+1 ∣2
<ε
∣ x2+1∣<√2 ε=δ
16)limx→1
¿2−x∨ ¿3 x−1
¿= ½
limx→1
¿2−x∨ ¿3 x−1
¿= ½⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-1|<δ ⇒ ¿|2−x|3x−1
−½ |<ε
|¿2−x∨ ¿3 x−1
−12¿|<ε
|4−2 x−3 x+1
6 x−2|<ε
|−5x+56x−2
|<ε
|−5(x−1)2(3 x−1)
|<ε
|−52
||1
3x−1 ||x-1|<ε…………….(1)
Acotando la función |1
3x−1 | podemos calcular δ= ½|1 – 1/3|= 1/3
|x-1|<1/3
-1/3<x-1<1/3
2/3<X<5/3
2<3x<5
1<3x-1<4
1<1
3x−4<1/4
|1
3x−4 |<1…………………(2)
Reemplazando (2) en (1):
|52
||1
3x−1 ||x-1|<|52
||1||x-1|<ε
|x-1|<ε2/5
δ= ε2/5
Luego se elige δmin ={1/3 , ε2/5}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1/3, ε2/5} se tiene: si 0<|x-5 |<ε
∴ limx→1
¿2−x∨ ¿3 x−1
¿= ½
17) limx→−64 (√ x−13√ x+3 ) =1
limx→−64 (√ x−13√ x+3 )=1⇔ ∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+64|<δ ⇒ ¿(√ x−13√ x+3 )−1 |<ε
|√ x−13√ x+3−1| < ε
|√ x−1−3√ x−33√x+3 | < ε
|√ x−3√x−43√x+3 | < ε
¿+4³) = (3√ x +4) (3√ x ² -43√ x+16)
| √x3√ x+3
−3√ x+43√x+3| < ε
| √x3√ x+3
−( 3√x+4 )( 3√x2−4 3√x+16)( 3√x+3 )( 3√ x2−4 3√x+16)| < ε
| √x3√ x+3
− x+64
( 3√x−2 )2+12| < ε
| x+64
( 3√ x−2 )2+12− √ x
3√x+3| < ε
| x+64( 3√ x−2 )2+12| – | √x
3√ x+3| < ε
| x+64( 3√ x−2 )2+12| < ε + | √x
3√ x+3| ( 3√ x−2)² ≥ 0
( 3√x−2 )2+12 ≥ 12
1
|( 3√x−2 )2+12| ≤ 112
|x+64|
|( 3√x−2 )2+12| ≤ |x+64|12
< ε + | √x3√ x+3|
|x+64| < 12ε+12| √x3√ x+3|
|x+64| < δ
δ = 12ε+12| √x3√ x+3|
18)limx→5 √ 4+xx2−9
=34
limx→5 √ 4+xx2−9
=34⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-5|<δ ⇒ ¿√ 4+ xx2−9
−34
|<ε
| √4+x√ x2−9
−34|<ε
|4 √4+x−3√ x2−94 √x2−9 |<ε
¿
¿
|x-5||9x-29|¿<ε
Acotando la función ¿ podemos calcularδ 1=12|5−3|=1
|X−5|<1
−1<X−5<1
4 √7 <4 √x2−9) < 4√27
4 √7 ¿ <4√274 ¿
14 √27¿¿¿
<1
4 √x2−9¿¿
¿<1
4 √7¿¿
Reemplazando (2) en (1):
|(9 X+29 )|4 √27¿¿
<|(9 X+29)|4 √x2−9¿¿
¿ ¿ < ε
|X−5|<E 4√7¿¿
Luego se elige δ=min¿
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1 ,E 4√7¿¿} se tiene: si 0<|x-5 |<ε
∴ limx→5 √ 4+ xx2−9
=34
19) limx→
12
⟦x ⟧x+1 =0
limx→
12
⟦x ⟧x+1 =0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-
12
|<δ ⇒ ¿⟦x ⟧x+1
−0|<ε
⟦x ⟧| 1x+1|<ε
Acotando la función | 1x+1|y para esto calculamos δ₁= ½ |12−1|= ¼
|x−12|<δ1
|x−12|<14
−14
<x−12
<14
14
<x<34
54
<x+1<74
47
<1x+1<
45
| 1x+1|<45……….(2)
reemplazado (2 ) en (1 ) :
⟦x ⟧| 1x+1|<ε
⟦x ⟧|45|<ε
δ ₂= 5 ε4
Luego se elige δ ₂= {¼ ,5 ε4
}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {¼ ,5 ε4
} se tiene: si 0<|x-1/2 |<ε
∴ limx→
12
⟦x ⟧x+1 =0
20) limx→π
3 x6x−5π =3
limx→π
3 x6x−5π =3⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-π |<δ ⇒ ¿
3 x6 x−5π
−3 |<ε
|3 x
6 x−5π−3|<ε
|3x−18x+15 π6 x−5 π |<ε
|−15(x−π )6 x−5 π
|<ε
|-15||1
6 x−5π||x-π |<ε
Acotando la función | 16 x−5 π| y para esto calculamos δ=|π−
5π6
|=π /12
−π /12< x-π<π /12
−11π12
< x <13π12
−11π2
< 6x <13π2
−21π2
< 6x-5 <3π2
−221π
<1
6 x−5π <3π2
|1
6 x−5π |<2/3π
Reemplazando (2) en (1):
|15||1
6 x−5π ||x-π |<|15||2π3
||x-π|<ε
10π |x-π |<ε
δ= ε/10π
Luego se elige δmin= {π12,ε10π
}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {π12,ε10 π
} se tiene: si 0<|x-π |<ε
∴ limx→π
3 x6 x−5π =3
21) limx→√2 ( 3 x ²+1x4+1 ) =75limx→5 √ 4+xx2−9
=34⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-√2|<δ ⇒ ¿
3x ²+1x4+1
- 75
|<ε
|3 x ²+1x4+1−75| < ε
|15 x ²+5−7 x4−75(x4+1) | < ε
|−(7 x 4−15 x2+2)5 (x4+1) | < ε
|(x2−2 )(7 x2−1)5(x 4−1) | < ε
15
|x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)x4+1 | < ε
15|x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)|| 1
x4+1| < ε
Acotando la función 1
x4+1 y para esto calculamos
X⁴ ≥ 0
X⁴+1 ≥ 1
1X ⁴+1
≤ 1=δ₁
Reemplazando (2) en (1):
|x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)|5|x4+1|
≤ |x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)|
5 < ε
|x−√2| < 5 ε
|( x+√2 )(7 x2−1)|
δ ₂= 5 ε
|( x+√2 )(7 x2−1)|
Luego se elige δmin= {1,5 ε
|( x+√2 )(7 x2−1)| }
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1 ,5 ε
|(x+√2 )(7 x2−1)|} se tiene: si 0<|x-√2 |<ε
∴ limx→√2 ( 3 x ²+1x4+1 ) =75
22)limx→0
√4 x2+1=1
limx→0
√4 x2+1=1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿√4 x2+1−1 |<ε
|√4 x2+11−1|<ε
|(√4 x2+1−1)(√4 x2+1+1)(√4 x2+1+1) |<ε
| 4 x2
(√4 x2+1+1)|<ε 4| 1
(√4 x2+1+1)||x2|<¿ε…………….._ (1)
Acotando la función | 1
(√4 x2+1+1)|y para esto calculamos
√4 x2+1 ≥0
√4 x2+1 +1≥1
| 1
√4 x2+1+1|≤1=δ ………….(2)₁
reemplazano (2 ) en (1 ) :
4| 1
(√4 x2+1+1)||x2|≤4|x2| <ε →|x2|< ε4
|X|< √1 ε2
,δ ₂=√1 ε2
Luego se elige δmin= {1, √1 ε2
}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1 , √1 ε2
} se tiene: si 0<|x-0 |<ε
∴ limx→0
√4 x2+1=1
23)limx→0
2 x63 x−1 = 0
limx→0
2 x63 x−1 = 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿
2 x63x−1
−0|<ε
2 x63x−1<ε
|2||x|| 163 x−1|<ε……………. (1)
Acotando la función | 163 x−1| y para esto calculamos δ₁= ½ |0− 1
63|=1126
|x|<1126
−1126
<x<1126
−12
<63x<12
−32
<63x-1<−12
-2<1
63x−1< - 2/3
| 163 x−1|<2……………… (2)
Reemplazando (2) en (1):
|2||x||2|<ε
|x|<ε/4
δ₂= ε/4
Luego se elige δmin={1126
, ε/4}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1126
, ε /4} se tiene: si 0<|x-0 |<ε
∴ limx→0
2 x63x−1
= 0
24) limx→
52
⟦ x⟧+2x ² =
1625
limx→
52
⟦ x⟧+2x ² =
1625⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-
52
|<δ ⇒ ¿⟦x ⟧+2x2
−1625
|<ε
|2+2x ² + 1625|<ε
|16(x−52 )(x+ 52 )(5 x) ² |<ε
| 125 x ²||16||x−52||x+52|<ε
Acotando la función | 125 x ²| y para eso calculamos δ₁= ½|52−15|=2320
|x−52|< 2320
−2320
<x−52
<2320
2720
<x<7320
( 2720 ) ²<x²<( 7320 ) ²
( 2720 ) ²25<x²25<( 7320 ) ²25
1
( 7320 ) ² 25<1x ²25
<
1
( 2720 ) ²25
| 1x ²25|<
1
( 7320 ) ² 25Reemplazando (2) en (1):
| 1
( 7320 )² 25||16||x−52||x+52|<ε
|x−52|<( 7320 ) ² 25x+ 52
ε
δ₂=( 7320 ) ² 25x+ 52
ε
Luego se elige δmin= {2320,( 7320 ) ² 25x+ 52
}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {2320,( 7320 ) ² 25x+ 52
} se tiene: si 0<|x- 52
|<ε
∴ limx→
52
⟦x ⟧+2x ² =
1625
25) limx→−1 ( 4 x ²+13 x+2 ) = -5
limx→−1 ( 4 x ²+13 x+2 )=−5⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+1|<δ ⇒ ¿ 4 x
2+13 x+2
+5|<ε
|4 x ²+13 x+2+5| < ε
|4 x ²+1+15 x+103 x+2 | < ε
|4 x ²+15 x+113 x+2 | < ε
|(4 x+11 )(x+1)3 x+2 | < ε
|x+1||4 x+113x+2 | < ε
Acotando la función:|4 x+113 x+2 | y para esto calculamos δ₁ = 12|−1−23| =
56
|3 x+2| ≥ 0
1|3 x+2| ≤ 0
|x+1||4 x+11||3 x+2| ≤ 0
|x+1| ≤ 0
δ ₂ =0
El cual se eligeδ = min. {56 ;0}Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {
56;0} se tiene: si 0<|x+1 |<ε
∴ limx→−1 ( 4 x ²+13 x+2 ) = -5
26)limx→3
sgn(x2−1)x+4
=15
limx→3
sgn(x2−1)x+4
=15⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-3|<δ ⇒ ¿
sgn (x2−1 )x+4
−15
|<ε
| 1X+4
−15|<ε
,| X−37(X+4)|<ε17|X−3|| 1
(X+4 )|<ε ………………………………..(1)
Acotando la función | 1(X+4)|y para esto calculamos δ 1=
12=12|1|
|X−3|< 12
−12
<x−3<12
215
<1
(X+4)< 213
| 1(X+4)|< 213………………………(2)
Reemplazando (2) en (1):
17|X−3|| 1
(X+4 )|<|X−3|17213
<ε
El cual se elige δ=min {12 , 91 ε2 }Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {
12,91 ε2
} se tiene: si 0<|x-3 |<ε
∴ limx→3
sgn( x2−1)x+4
=15
27)limx→ 4
x ³−15x−4x−3 =0
limx→ 4
x ³−15x−4x−3
=0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-4|<δ ⇒ ¿x ³−15 x−4x−3
−0|<ε
|x ³−15 x−4x−3 |<ε
|x−4||x ²+4 x+1|| 1x−3|<ε
Acotando la función | 1x−3| y para esto calculamos δ₁=½|4−3|=½
|x−4|<½
-½<x-4<½
7/2<x<9/2
1/2<x-3<3/2
23
<1x−3<2
| 1x−3|< 2…………..(2)
Reemplazando (2) en (1):
|x−4||x ²+4 x+1||2|<ε
|x−4|<ε
(x2+4 x+1 )2
δ₂= ε
(x2+4 x+1 )2
Luego se elige δmin= {½, ε
(x2+4 x+1 )2}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {½, ε
(x2+4 x+1 )2} se tiene: si 0<|x-4 |<ε
∴ limx→4
x ³−15 x−4x−3 =0
28) limx→√2
⟦x ⟧+ x3+x−x ² = 1
limx→√2
⟦x ⟧+ x3+x−x ²
= 1 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-√2|<δ ⇒ ¿⟦x ⟧+x3+x−x2
−1|<ε
|1+x
3+x−x ² - 1|<ε
|1+ x−3−x+x ²x ²−x−3
|<ε
|x ²−2
x ²−x−2−1|<ε
|(x−√2 )(x+√2)( x−2 ) ( x+1 )−1
|<ε
|1
( x−2 )(x+1) ||x-√2||x+√2|<ε……..(1)
Acotando la función |1
( x−2 )(x+1) | y para esto calculamos δ=½|√2-2|= √2−22
|x-√2|<√2−22
−√2−22
< x-√2<√2−22
√2+22
<x<3√2−22
√2−22
<x-2<3√2−62
…….(a)
√2+42
<x-2<3√22
……….(b)
(a) *(b)
2√2−64
<(x-2)(x+1)<18(1−√2)
4
2√2−104
<( x-2)(x+1) - 1<18 (1−√2 )−4
4
2√2−104
> 1
(x−2)(x+1)–1>18 (1−√2 )−4
4
|1
(x−2)(x+1)–1|<18 (1−√2 )−4
4…….(2)
Reemplazando (2) en (1):
|18 (1−√2 )−4
4||x-√2||x+√2|<ε……..(1)
|x-√2||x+√2|<4 ε
18 (1−√2 )−4
δ= 4 ε
[18 (1−√2 )−4](x+√2)
δmin={ √2−22
,4 ε
[18 (1−√2 )−4] (x+√2)}
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {√2−22
,4 ε
[18 (1−√2 )−4] (x+√2)} se tiene: si 0<|x-
√2 |<ε
∴ limx→√2
⟦x ⟧+x3+ x−x ²
= 1
29) limx→−2 ( 2+x+x ²2x+5 ) = 4
limx→−2 ( 2+x+x ²2x+5 ) = 4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+2|<δ ⇒ ¿
2+ x+x ²2 x+5
−4|<ε
|x ²+x+22 x+5−4| < ε
|x ²−7 x−182x+5 | < ε
|x−9||x+2||2x+5| < ε
|x−9||x+2|| 12 x+5|<ε
Acotando la función | 12x+5| y para esto calculamos δ₁= ½|-2+5/2|=1/4
|x+2|<1/4
-1/4<x+2<1/4
-9/2<x<-7/2
-9<2x<-7
-4<2x+5<-2
−12
<1
2x+5<-14
| 12x+5|<12
Reemplazando (2) en (1):
|x−9||x+2||12|<ε
,|x+2|< 2 εx−9
δ₂= 2 εx−9
luego se elige δmin= {14
, 2 εx−9
}Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {
14
, 2 εx−9
} se tiene: si 0<|x+2 |<ε
∴ limx→−2 (2+x+x ²2x+5 ) = 4
30) limx→−3
√−4 x−3x+2
=−3
limx→−3
√−4 x−3x+2
=−3⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+3|<δ ⇒ ¿ √−4 x−3x+2
+3|<ε
|√−4 X−3X+2
+3|<ε
|(√−4 X−3+3 X+6)(√−4 X−3−3 X+6)X+2(√−4 X−3−3 X+6) |<ε
| (9 X+13 )(X+3)(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|<ε
|9 x+13||x+3|| 1(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|<ε
Acotando la función | 1(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|y para esto calculamos δ 1=
12
|X+3|< 12
−12
<x+3<12
−72
< x<−52
−32
< x+2<−12
−23
> 1x+2
>−21
−2< 1x+2
← 23
1|x+2|
< 23
|9 X+13||x+2||(√−4 X−3−3 X+6)|
<2|9 X+13|
3|(√−4 X−3−3 X+6)|……………………………………..(2)
Reemplazando (2) en (1) :
| (9 X+13 )(X+3)(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|< 2|X+3||9 X+13|
3|(√−4 X−3−3 X+6)|<ε
|X+3|< 3|(√−4 X−3−3 X+6)|ε2|9 X+13|
Luego se elige δ=min {12 , 3|(√−4 X−3−3 X+6)|ε2|9 X+13| }
Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {12,3|(√−4 X−3−3 X+6)|ε
2|9 X+13|} se tiene: si 0<|x+3 |
<ε
∴ limx→−3
√−4 x−3x+2
=−3
Recommended