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EJERCICIOS
Sistemas dinámicos de Primer Orden
1. Función Escalón
Dada la función siguiente:
𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠). 𝐺(𝑠) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.1
Evaluamos las funciones:
𝑌(𝑠) = (1
𝑆) (
1
𝜏𝑆 + 1)…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.2
Descomponemos en fracciones parciales:
𝑌(𝑠) =1
(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=
𝐴
𝑆+
𝐵
𝜏𝑆 + 1𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.3
Entonces igualando ecuaciones:
1
(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=
𝐴(𝜏𝑆 + 1) + 𝐵𝑆
(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.4
Por identidad se obtiene:
1 = 𝐴(𝜏𝑆 + 1) + 𝐵𝑆 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.5
1 = 𝑆(𝐴𝜏 + 𝐵) + 𝐴… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.6
Dónde:
𝐴 = 1
𝐴𝜏 + 𝐵 = 0 → 𝐵 = −𝜏
Entonces obtenemos:
𝑌(𝑠) =1
(𝑆)(𝜏𝑆 + 1)=
1
𝑆−
𝜏
𝜏𝑆 + 1… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.7
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Aplicando Laplace inversa a la ecuación 1.7 se obtiene:
𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {1
𝑆} − ℒ−1 {
𝜏
𝜏𝑆 + 1}… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.8
Aplicando un artificio a la ecuación 1.7:
𝑦(𝑡) = ℒ−1 {1
𝑆} − 𝜏. ℒ−1 {
1𝜏
𝑆 +1𝜏
}… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.9
𝑦(𝑡) = 1 − 𝑒−(𝑡𝜏) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.10
Dónde: 𝜏 = 0.1
t t/τ y(t)
0 0 0
0.01 0.1 0.09516258
0.02 0.2 0.18126925
0.03 0.3 0.25918178
0.04 0.4 0.32967995
0.05 0.5 0.39346934
0.06 0.6 0.45118836
0.07 0.7 0.5034147
0.08 0.8 0.55067104
0.09 0.9 0.59343034
0.1 1 0.63212056
0.11 1.1 0.66712892
0.12 1.2 0.69880579
0.13 1.3 0.72746821
0.14 1.4 0.75340304
0.15 1.5 0.77686984
0.16 1.6 0.79810348
0.17 1.7 0.81731648
0.18 1.8 0.83470111
0.19 1.9 0.85043138
0.2 2 0.86466472
0.21 2.1 0.87754357
0.22 2.2 0.88919684
0.23 2.3 0.89974116
0.24 2.4 0.90928205
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0.25 2.5 0.917915
0.26 2.6 0.92572642
0.27 2.7 0.93279449
0.28 2.8 0.93918994
0.29 2.9 0.94497678
0.3 3 0.95021293
0.31 3.1 0.9549508
0.32 3.2 0.9592378
0.33 3.3 0.96311683
0.34 3.4 0.96662673
0.35 3.5 0.96980262
0.36 3.6 0.97267628
0.37 3.7 0.97527647
0.38 3.8 0.97762923
0.39 3.9 0.97975809
0.4 4 0.98168436
0.41 4.1 0.98342732
0.42 4.2 0.98500442
0.43 4.3 0.98643144
0.44 4.4 0.98772266
0.45 4.5 0.988891
0.46 4.6 0.98994816
0.47 4.7 0.99090472
0.48 4.8 0.99177025
0.49 4.9 0.99255342
0.5 5 0.99326205
0.51 5.1 0.99390325
0.52 5.2 0.99448344
0.53 5.3 0.99500841
0.54 5.4 0.99548342
0.55 5.5 0.99591323
0.56 5.6 0.99630214
0.57 5.7 0.99665403
0.58 5.8 0.99697245
0.59 5.9 0.99726056
0.6 6 0.99752125
0.61 6.1 0.99775713
0.62 6.2 0.99797057
0.63 6.3 0.9981637
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Podemos observar en la gráfica:
Donde en t= 0,53 segundos llegamos al set point deseado.
2. Función Rampa Unitaria
Dada la función siguiente:
𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠). 𝐺(𝑠) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.1
Evaluamos las funciones:
𝑌(𝑠) = (1
𝑆2) (
1
𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.2
Descomponemos en fracciones parciales:
𝑌(𝑠) =1
(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=
𝐴
𝜏𝑆 + 1+
𝐵
𝑆+
𝐶
𝑆2…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.3
Entonces igualando ecuaciones:
0, 1
0.53, 0
0.53, 0.995008406
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Título del gráfico
Series1
S.P
t
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1
(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=
𝑆2(𝐴 + 𝐵𝜏) + 𝑆(𝐵 + 𝐶𝜏) + 𝐶
(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.4
Por identidad se obtiene:
1 = 𝑆2(𝐴 + 𝐵𝜏) + 𝑆(𝐵 + 𝐶𝜏) + 𝐶 …𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.5
Dónde:
𝐴 = 𝜏2
𝐴 + 𝐵𝜏 = 0 → 𝐵 = −𝜏
𝐶 = 1
Entonces obtenemos:
𝑌(𝑠) =1
(𝑆2)(𝜏𝑆 + 1)=
𝜏2
𝜏𝑆 + 1−
𝜏
𝑆+
1
𝑆2… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.6
Aplicando Laplace inversa a la ecuación 2.6 se obtiene:
𝑦(𝑡) = ℒ−1{𝑌(𝑠)} = ℒ−1 {𝜏2
𝜏𝑆 + 1} − ℒ−1 {
𝜏
𝑆} + ℒ−1 {
1
𝑆2}… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.7
Donde se obtiene:
𝑦(𝑡) = 𝑡 − 𝜏 + 𝜏. 𝑒−(𝑡𝜏) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2.8
Evaluamos 𝝉 > 𝟏, obtenemos:
τ
1 2 3 5 7 9
t y(t) y(t) y(t) y(t) y(t) y(t)
0 0 0 0 0 0 0
0.1 0.00483742 0.00245885 0.0016483 0.00099337 0.0007109 0.0005535
0.2 0.01873075 0.00967484 0.00652096 0.0039472 0.00283013 0.00220585
0.3 0.04081822 0.02141595 0.01451225 0.00882267 0.00633771 0.0049449
0.4 0.07032005 0.03746151 0.02551996 0.01558173 0.01121396 0.00875865
0.5 0.10653066 0.05760157 0.03944517 0.02418709 0.01743946 0.01363522
0.6 0.14881164 0.08163644 0.05619226 0.03460218 0.02499507 0.01956287
0.7 0.1965853 0.10937618 0.0756687 0.04679118 0.03386193 0.02652997
0.8 0.24932896 0.14064009 0.09778502 0.06071894 0.04402143 0.03452506
0.9 0.30656966 0.1752563 0.12245466 0.07635106 0.05545525 0.04353676
1 0.36787944 0.21306132 0.14959393 0.09365377 0.0681453 0.05355385
1.1 0.43287108 0.25389962 0.17912186 0.11259399 0.08207377 0.06456522
1.2 0.50119421 0.29762327 0.21096014 0.13313931 0.09722309 0.07655987
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1.3 0.57253179 0.34409155 0.24503302 0.15525793 0.11357595 0.08952695
1.4 0.64659696 0.39317061 0.28126726 0.17891871 0.13111527 0.10345571
1.5 0.72313016 0.44473311 0.31959198 0.2040911 0.14982423 0.11833552
1.6 0.80189652 0.49865793 0.35993866 0.23074519 0.16968623 0.13415588
1.7 0.88268352 0.55482986 0.40224101 0.25885161 0.19068492 0.15090639
1.8 0.96529889 0.61313932 0.44643491 0.28838163 0.21280418 0.16857678
1.9 1.04956862 0.67348205 0.49245835 0.31930705 0.23602812 0.18715687
2 1.13533528 0.73575888 0.54025136 0.35160023 0.26034105 0.20663663
2.1 1.22245643 0.7998755 0.58975591 0.3852341 0.28572754 0.2270061
2.2 1.31080316 0.86574217 0.6409159 0.42018211 0.31217237 0.24825545
2.3 1.40025884 0.93327354 0.69367706 0.45641823 0.33966051 0.27037498
2.4 1.49071795 1.00238842 0.74798689 0.49391696 0.36817717 0.29335505
2.5 1.582085 1.07300959 0.80379463 0.5326533 0.39770776 0.31718616
2.6 1.67427358 1.14506359 0.86105115 0.57260274 0.4282379 0.3418589
2.7 1.76720551 1.21848052 0.91970898 0.61374126 0.45975342 0.36736399
2.8 1.86081006 1.29319393 0.97972216 0.65604532 0.49224032 0.39369221
2.9 1.95502322 1.36914058 1.04104627 0.69949183 0.52568485 0.42083448
3 2.04978707 1.44626032 1.10363832 0.74405818 0.5600734 0.4487818
Cuando 𝝉 = 𝟏
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Cuando 𝝉 = 𝟐
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(t)
t
tao=1
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Cuando 𝝉 = 𝟑
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(t)
t
tao=2
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Cuando 𝝉 = 𝟓
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(t)
t
tao=3
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Cuando 𝝉 = 𝟕
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(t)
t
tao=5
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Cuando 𝝉 = 𝟗
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(t)
t
tao=7
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Evaluación de τ:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(t)
t
tao=9
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Sistemas Dinámicos de Segundo Orden
3. Función Escalón
Dada la función siguiente:
𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠). 𝐺(𝑠) … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.1
Evaluamos las funciones:
𝑌(𝑠) = (1
𝑆) (
1
𝑆2 + 𝜏𝑆 + 1)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.2
Hallando las raíces de la función G(s):
Donde utilizamos la siguiente ecuación:
𝑟1,𝑟2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎…𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.3
0
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(t)
t
tao=1
tao=2
tao=3
tao=5
tao=7
tao=9
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Entonces hallamos las raíces mediante la ecuación 3.3:
𝑟1 =−𝜏
2+
√𝜏2 − 4
2
𝑟1 =−𝜏
2−
√𝜏2 − 4
2
Reemplazamos en la ecuación 3.2:
𝑌(𝑠) =1 × 𝑟1 × 𝑟2
𝑆(𝑆 − 𝑟1)(𝑆 − 𝑟2)… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.4
Resolvemos la ecuación compleja mediante la siguiente formula:
𝑦(𝑡) =𝐾
𝑎𝑏[1 +
1
𝑎 − 𝑏(𝑏𝑒𝑎𝑡 + 𝑎𝑒𝑏𝑡)]… 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3.5
Entonces reemplazamos ecuación 3.4:
𝑦(𝑡) =1 × 𝑟1 × 𝑟2
𝑟1 × 𝑟2[1 +
1
𝑟1 − 𝑟2(𝑟2𝑒
𝑟1𝑡 + 𝑟1𝑒𝑟2𝑡)]
𝑦(𝑡) =
[
1 +1
√𝜏2 − 4×
(
(−𝜏
2−
√𝜏2 − 4
2)𝑒
(−𝜏2
+√𝜏2−4
2)𝑡
+ ((−𝜏
2+
√𝜏2 − 4
2) 𝑒
(−𝜏2
−√𝜏2−4
2)𝑡
)
)
]
Simplificando la ecuación:
𝑦(𝑡) =
[
1 +1
2×
(
(−𝜏
√𝜏2 − 4− 1) 𝑒
(−𝜏2
+√𝜏2−4
2)𝑡
+ ((−𝜏
√𝜏2 − 4+ 1) 𝑒
(−𝜏2
−√𝜏2−4
2)𝑡
)
)
]
𝑦(𝑡) =
[
1 + 0.5 ×
(
(1 −𝜏
√𝜏2 − 4) 𝑒
(−𝜏2
−√𝜏2−4
2)𝑡
− ((1 +𝜏
√𝜏2 − 4) 𝑒
(−𝜏2
+√𝜏2−4
2)𝑡
)
)
]
𝑦(𝑡) =
[
1 − 0.5 ×
(
((1 +𝜏
√𝜏2 − 4) 𝑒
(−𝜏2
+√𝜏2−4
2)𝑡
+ (1 −𝜏
√𝜏2 − 4) 𝑒
(−𝜏2
−√𝜏2−4
2)𝑡
)
)
]
Entonces factorizando términos semejantes:
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𝑦(𝑡) =
[
1 − 0.5 × 𝑒(−𝜏𝑡2
)
(
((1 +𝜏
√𝜏2 − 4) 𝑒
(√𝜏2−4
2)+ (1 −
𝜏
√𝜏2 − 4) 𝑒
(−√𝜏2−4
2))
)
]
Evaluamos 𝝉 > 𝟐, obtenemos:
τ
3 4 5 6
t y(t) y(t) y(t) y(t)
0 -1.83262 -3.16117 -5.33899 -8.94122
0.1 -1.43806 -2.40688 -3.93681 -6.36464
0.2 -1.09846 -1.78932 -2.84479 -4.45586
0.3 -0.80616 -1.2837 -1.99433 -3.0418
0.4 -0.55458 -0.86974 -1.33198 -1.99424
0.5 -0.33804 -0.53081 -0.81615 -1.21819
0.6 -0.15166 -0.25332 -0.41442 -0.64327
0.7 0.008758 -0.02613 -0.10155 -0.21737
0.8 0.14683 0.159874 0.142111 0.098153
0.9 0.26567 0.312163 0.331876 0.331895
1 0.367956 0.436846 0.479664 0.505056
1.1 0.455995 0.538929 0.594762 0.633336
1.2 0.531771 0.622507 0.6844 0.728369
1.3 0.596991 0.690935 0.754211 0.798771
1.4 0.653127 0.746959 0.808579 0.850926
1.5 0.701444 0.792827 0.850921 0.889563
1.6 0.74303 0.830381 0.883897 0.918186
1.7 0.778824 0.861128 0.909579 0.939391
1.8 0.809632 0.886301 0.92958 0.9551
1.9 0.836149 0.906911 0.945157 0.966737
2 0.858972 0.923785 0.957288 0.975358
2.1 0.878616 0.937601 0.966736 0.981745
2.2 0.895524 0.948912 0.974094 0.986476
2.3 0.910077 0.958173 0.979824 0.989981
2.4 0.922602 0.965755 0.984287 0.992578
2.5 0.933383 0.971962 0.987763 0.994502
2.6 0.942662 0.977045 0.99047 0.995927
2.7 0.950649 0.981206 0.992578 0.996982
2.8 0.957523 0.984613 0.99422 0.997765
2.9 0.96344 0.987402 0.995498 0.998344
Facultad de Ingeniería Química, Metalurgia y Ambiental
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3 0.968532 0.989685 0.996494 0.998773
3.1 0.972916 0.991555 0.99727 0.999091
3.2 0.976688 0.993086 0.997874 0.999327
3.3 0.979935 0.994339 0.998344 0.999501
3.4 0.98273 0.995365 0.99871 0.99963
3.5 0.985136 0.996206 0.998996 0.999726
3.6 0.987206 0.996893 0.999218 0.999797
3.7 0.988988 0.997456 0.999391 0.99985
3.8 0.990522 0.997918 0.999526 0.999889
3.9 0.991842 0.998295 0.99963 0.999918
4 0.992979 0.998604 0.999712 0.999939
4.1 0.993957 0.998857 0.999776 0.999955
4.2 0.994798 0.999064 0.999825 0.999966
4.3 0.995523 0.999234 0.999864 0.999975
4.4 0.996147 0.999373 0.999894 0.999982
4.5 0.996683 0.999486 0.999918 0.999986
4.6 0.997145 0.99958 0.999936 0.99999
Cuando 𝝉 = 𝟑
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5
y(t)
t
tao=3
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Cuando 𝝉 = 𝟒
Cuando 𝝉 = 𝟓
-3.4-3.2
-3-2.8-2.6-2.4-2.2
-2-1.8-1.6-1.4-1.2
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
11.2
0 1 2 3 4 5
y(t)
t
tao=4
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Cuando 𝝉 = 𝟔
-5.8-5.6-5.4-5.2
-5-4.8-4.6-4.4-4.2
-4-3.8-3.6-3.4-3.2
-3-2.8-2.6-2.4-2.2
-2-1.8-1.6-1.4-1.2
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
11.2
0 1 2 3 4 5
y(t)
t
tao=5
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Evaluacion de τ:
-9.6-9.4-9.2
-9-8.8-8.6-8.4-8.2
-8-7.8-7.6-7.4-7.2
-7-6.8-6.6-6.4-6.2
-6-5.8-5.6-5.4-5.2
-5-4.8-4.6-4.4-4.2
-4-3.8-3.6-3.4-3.2
-3-2.8-2.6-2.4-2.2
-2-1.8-1.6-1.4-1.2
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
11.2
0 1 2 3 4 5y(
t)
t
tao=6
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-10.8
-8.8
-6.8
-4.8
-2.8
-0.8
1.2
0 1 2 3 4 5y(
t)
t
tao=3
tao=4
tao=5
tao=6
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