Eletromagnetismo e osciladores harmรดnicos
๐ป2๐ ๐ซ, ๐ก = ๐0๐0
๐2๐(๐ซ, ๐ก)
๐๐ก2
๐ป ร ๐ ๐ซ, ๐ก = โ๐๐ ๐ซ, ๐ก
๐๐ก
๐ป โ ๐ ๐ซ, ๐ก = 0
๐ป โ ๐ ๐ซ, ๐ก = 0
๐ป ร ๐ ๐ซ, ๐ก = ๐0๐0
๐๐ ๐ซ, ๐ก
๐๐ก
Eqs. de Maxwell no vรกcuo ๐ = ๐ = 0 e a Eq. de onda
(igual para ๐ ๐ซ, ๐ก )
๐๐ฅ2 + ๐๐ฆ
2 + ๐๐ง2
๐โ2
๐ฆ ๐ฅ, ๐ก =
๐=1
โ
๐๐ cos(๐๐๐ก + ๐๐) sin ๐๐๐ฅ
O truque da soluรงรฃo geral (no caso da corda com extremos fixos)
๐2๐ฆ
๐๐ฅ2=
1
๐ฃ2
๐2๐ฆ
๐๐ก2
๐ฆ ๐ฅ, ๐ก =
๐=1
โ
๐๐ cos(๐๐๐ก + ๐๐) sin ๐๐๐ฅ
๐๐ = ๐ฃ๐๐
๐๐ = ๐๐
๐ฟ
Onda Harm. ๐๐ฌ๐ญ๐๐.
A energia da corda
๐ธ =
0
๐ฟ1
2(๐๐๐ฅ)
๐๐ฆ(๐ฅ, ๐ก)
๐๐ก
2
+1
2(๐๐๐ฅ)
๐๐ฆ(๐ฅ, ๐ก)
๐๐ฅ
2
๐ธ =
๐=1
โ๐๐ฟ
4๐๐
2๐๐2
+
๐ฆ ๐ฅ, ๐ก =
๐=1
โ
๐๐ cos(๐๐๐ก + ๐๐) sin ๐๐๐ฅsol. geral:
๐ ๐ซ, ๐ก =
๐ค
๐ =1,2
๐๐ค๐ ๐๐ค๐ sin ๐ค โ ๐ซ โ ๐๐ค๐ก + ๐๐ค๐
๐๐ค = ๐|๐ค|
๐ ๐ซ, ๐ก =1
๐
๐ค
๐ =1,2
( ๐ค ร ๐๐ค๐ ) ๐๐ค๐ sin ๐ค โ ๐ซ โ ๐๐ค๐ก + ๐๐ค๐
Problema da lista
Os campos ๐ e ๐ mais gerais possรญveis no vรกcuo (hรก
outros modos de escrever...)
๐ค = (๐๐ฅ, ๐๐ฆ , ๐๐ง)2๐
๐ฟ
(๐๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2, โฆ )
Condiรงรฃo de contorno periรณdica ๐ค ๐๐ค1
๐๐ค2
Onda Harm. ๐๐ซ๐จ๐ฉ๐๐ .
htt
ps:
//w
ww
.yo
utu
be.
com
/wat
ch?v
=1SQ
V9
kBN
_b4
Onda eletromagnรฉtica propagante: harmรดnica, plana e linearmente polarizada
A energia eletromagnรฉtica (no volume ๐)
๐ธ๐.๐. =
๐ค
๐ =1,2
๐0๐
2๐๐ค๐
2
๐ธ = ๐0
2๐2(๐ซ, ๐ก) +
1
2๐0๐2(๐ซ, ๐ก)
๐
Se quiser, pode redefinir as amplitudes: ๐๐ค๐ โ ๐๐ค๐๐ค๐ โฆ
+
๐ ๐ซ, ๐ก =
๐ค,๐
โฆ ๐ ๐ซ, ๐ก =
๐ค,๐
โฆsol. geral:
๐ธ๐๐๐๐๐ =
๐=1
โ๐๐ฟ
4๐๐
2๐๐2
Campo Eletromagnรฉtico em equilรญbrio tรฉrmico e a
Catรกstrofe do Ultra-Violeta
๐ซ โ ๐ค
๐ซ โ ๐ค
๐ธ =
๐ค
๐ =1,2
๐0๐
2๐๐ค๐
2
๐ธ๐ค๐
2๐/|๐ค|
๐๐ค๐
๐๐ค๐
0 โค ๐๐ค๐ < โ
๐ธ๐ค๐ =๐0๐
2๐๐ค๐
2
0 โค ๐๐ค๐ < โ
๐ธ๐ค๐ = ๐๐ต๐
๐ธ =
๐ค,๐
๐๐ต๐ = โ
A energia mรฉdia de todos os modos รฉ igual...
Energia mรฉdia de cada modo, ๐ธ๐ค๐ , (Boltzmann+Maxwell)
Maxwell:
๐(๐๐ค๐ , ๐๐ค๐ ) =exp(โ๐0๐๐๐ค๐
2 /2๐๐ต๐)
๐,Boltzmann:
๐ธ๐ค๐ = {0, โ๐๐ค๐ , 2โ๐๐ค๐ , โฆ }
Que constante โ = (#) J. s รฉ essa?
๐ธ๐ค๐ =๐0๐
2๐๐ค๐
2
0 โค ๐๐ค๐ < โ
๐ธ๐ค๐ = ๐๐ค๐ โ๐๐ค๐
๐๐ค๐ โ {0, 1, 2, โฆ }
๐๐ค๐
2๐=
๐|๐ค|
2๐
De onde saiu isso?
๐ =
๐๐ค๐ =0
โ
exp(โ๐๐ค๐ โ๐๐ค๐ /๐๐ต๐)
๐ธ๐ค๐ =
๐๐ค๐ =0
โexp(โ๐๐ค๐ โ๐๐ค๐ /๐๐ต๐)
๐(๐๐ค๐ โ๐๐ค๐ ) =
โ๐๐ค๐
exp โ๐๐ค๐ ๐๐ต๐
โ 1
lista
Energia mรฉdia de cada modo, ๐ธ๐ค๐ , (Boltzmann+Planck)
=1
1 โ exp(โโ๐๐ค๐ /๐๐ต๐)
๐ธ๐ค๐ = ๐๐ค๐ โ๐๐ค๐
๐๐ค๐ โ {0, 1, 2, โฆ }
Planck:
๐(๐๐ค๐ ) =exp(โ๐๐ค๐ โ๐๐ค๐ /๐๐ต๐)
๐,Boltzmann:
๐ธ๐ค
๐ [๐
๐ต๐
]
๐๐ค๐ [๐๐ต๐/โ]
๐ธ๐ค๐ =โ๐๐ค๐
exp โ๐๐ค๐ ๐๐ต๐
โ 1๐ธ๐ค๐ = ๐๐ต๐versus
listaconcordam apenas aqui...
๐ธ๐ค๐
A energia mรฉdia total agora รฉ finita?
๐ธ =
๐ค
๐ =1,2
โ๐๐ค๐
exp โ๐๐ค๐ ๐๐ต๐
โ 1
Para calcular isso, precisamos antes aprender uma mudanรงa de variรกvel muito usada na Fรญsica Estatรญstica
Antes, ๐ธ = ๐ค,๐ ๐๐ต๐ = โ
SIM
Densidade de Modos Normais do Campo Eletromagnรฉtico
๐ฟ
๐ฟ๐ฟ
๐/๐ฟ
๐0
Quantos modos normais da corda hรก entre ๐ e ๐ + ๐๐?
๐ ๐ + ๐๐
?
๐ = ๐ฃ๐ โ ๐๐ = ๐ฃ ๐๐
๐๐/๐ฃ
๐ ๐๐ ๐:(๐๐/๐ฃ)
(๐/๐ฟ)
๐๐ = ๐๐
๐ฟ
(๐ = 1,2, โฆ )
๐ ๐ =๐ฟ
๐๐ฃ
Densidade de modos normais da corda
๐ฆ ๐ฅ, ๐ก =
๐=1
โ
๐๐ cos(๐๐๐ก + ๐๐) sin ๐๐๐ฅ
๐ ๐๐ ๐:2[2๐ ๐/๐ ๐๐/๐ ]
(2๐/๐ฟ)2
๐ = ๐๐
๐๐ = ๐ ๐๐
๐ ๐ =๐ฟ2๐
๐๐2
Densidade de modos normais (2D)
๐ค = ๐๐ฅ, ๐๐ฆ
2๐
๐ฟ, (๐๐ โ โค)
2๐/๐ฟ2๐/๐ฟ
๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐/๐
Versรฃo 2D do nosso problema ๐ ๐ซ, ๐ก =
๐ค
๐ =1,2
๐๐ค๐ ๐๐ค๐ sin ๐ค โ ๐ซ โ ๐๐ค๐ก + ๐๐ค๐
๐ = {1,2}
Densidade de modos eletromagnรฉticos no volume ๐ lista
๐ ๐ =1
๐
๐ ๐ =๐๐2
๐2๐3
๐ธ =
๐ค
๐ =1,2
โ๐๐ค๐
exp โ๐๐ค๐ ๐๐ต๐
โ 1
=
0
โ
[๐(๐)๐๐ ]โ๐
exp โ๐๐๐ต๐
โ 1
โ โกโ
2๐
โ๐๐ค๐ โก โ๐๐ค๐
๐ธ = ๐๐2
15
(๐๐ต๐)4
(โ๐)3
De volta ao que querรญamos calcular...
lista
Radiaรงรฃo dentro de uma cavidade (1 m3) ร temperatura ๐ (radiaรงรฃo de corpo negro)
๐ธ๐ =8๐5(๐๐)4
15(โ๐)3๐
๐ = 1,38 ร 10โ23 J/K
โ = 6,62 ร 10โ34 J s
6,1 ร 10โ2 J (3000 K)
6,1 ร 10โ6 J (300 K)
6,1 ร 10โ14 J 3 K
๐๐ ~ 10โ18 kg
๐๐ ~ 10โ24 kg
๐๐ ~ 10โ30 kg (๐๐ ~ 10โ30 kg)
|๐๐| = 0
๐ธ๐ = (๐๐ป2๐ ~ 10โ26 kg)
Hรก como medir ๐ธ e checar
๐ธ = ๐๐2
15
(๐๐ต๐)4
(โ๐)3?
Nรฃo, mas hรก como medir a distribuiรงรฃo espectralde energia (i.e., o integrando em ๐ธ ; por unidade de volume do corpo)
๐ข ๐ ๐๐ =1
๐
โ๐๐ ๐ ๐๐
exp โ๐๐๐ต๐
โ 1
โ
๐ ๐ =๐๐2
๐2๐3
=โ
๐2๐3
๐3 ๐๐
exp โ๐๐๐ต๐
โ 1
๐
๐ข๐
[4๐
๐ต๐
3/โ
2๐
3]
[๐๐ต๐/โ]
2,8
21
A distribuiรงรฃo espectral de energia (em ๐)
๐๐๐๐ฅ = 2,821๐๐ต๐
โ
๐ข๐๐๐ฅ ~ ๐3
๐ข ๐ =โ
๐2๐3
๐3
exp โ๐๐๐ต๐
โ 1
A distribuiรงรฃo espectral de energia (em ๐)
๐ =2๐๐
๐
๐๐ = โ2๐๐
๐2๐๐
๐ข ๐ ๐๐ =โ
๐2๐3
๐3 ๐๐
exp โ๐๐๐ต๐
โ 1
๐ข ๐ ๐๐ = 8๐โ๐๐โ5 ๐๐
exp โ๐๐๐๐ต๐
โ 1
[๐ข ๐ ] =๐ธ
๐ฟ3๐โ1[ ๐ข ๐ ] =
๐ธ
๐ฟ4
๐ [โ๐/๐๐ต๐]
๐ข(๐
)[8
ฯ๐
๐ต๐
5/
โ๐
4]
0,2
01
๐ข ๐ = 8๐โ๐๐โ5
exp โ๐๐๐๐ต๐
โ 1
๐๐๐๐ฅ = 0,201โ๐
๐๐ต๐
๐ข๐๐๐ฅ ~ ๐5
(?) prรณxima aula
matemรกtica: Hรก algo estranho aqui?
๐๐๐๐ฅ = 2,821๐๐ต๐
โ
๐๐๐๐ฅ = 0,201โ๐
๐๐ต๐
๐๐๐๐ฅ
๐๐๐๐ฅ
2๐โ ๐
Me explique isso na prรณxima aula.