Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada
T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
Estadística
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
Intervalos de confianza
Intervalos de confianza: sirven para estimar el valor de un Parámetro de la población.
Un intervalo de confianza del 1-α% para un parámetro es un intervalo de valores calculado a partir de los datos de la muestra
Probabilidad 1-α de que contenga el verdadero valor del parámetro. El nivel de confianza suele ser 0,90 (90%), 0,95 (95%) ó 0,99 (99%). Interpretación práctica
Intervalo de confianza para la media poblacional
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Intervalo de confianza para la media poblacional
Interpretación del nivel de confianza en el intervalo para la Media de una distribución normal
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La media muestral y la desviación estándar son buenos estimadores Estos estimadores son a la vez variables aleatorias. Tienen una determinada distribución, en el caso de la media es Normal. Así pues podemos calcular un intervalo de valores [a,b] tales que
α−=≤≤ 1)( bXaP
Intervalo de confianza para la media poblacional
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Supongamos que disponemos de una población en la que tenemos una v.a. con distribución N(µ,σ) con σ conocida.
Obtenemos una muestra de tamaño n y deseamos estimar la media µ de la población.
El estimador puntual de la misma es la media muestral cuya distribución muestral es conocida
),(n
x σµΝ≡
n
xZσµ−
= tendrá distribución normal estándar El estadístico es
Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida
Ventaja: Valores tabulados
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Sobre la distribución N(0,1) podremos seleccionar dos puntos simétricos -zα/2 y z α/2 , tales que
P(-z α/2 ≤ Z ≤ z α/2 ) = 1-α
Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida
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Gráficamente: para una normal tipificada, un intervalo de confianza del 95% se puede representar como:
95%
2.5% 2.5%
La probabilidad de que una variable normal tipificada tome valores en el intervalo
[-1.96,1.96] es del 95%.
Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida
P(-z α/2 ≤ Z ≤ z α/2 ) = 1-α
P(-1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95
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Sustituyendo Z,
ασµ
αα −=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤−
≤− 12/2/ z
n
xzP
Despejando nos queda el intervalo de confianza,
ασ
µσ
αα −=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +≤≤− 12/2/ n
zxn
zxPn
z σα 2/
Margen de error
(ε)
Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida
n
xZσµ−
=ααα −=≤≤− 1)( 2/2/ zZzP
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ±=±=−
nzx
nzx
nzxxI σσσ
ε αααα
µ 2/2/2/1 ,
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Obtener un I. C. del 95% para el promedio de la talla de una población de tiburón blanco, de la que se miden 25 individuos, obteniéndose =390 cm. Se sabe que σ2 es de 400 cm2.
x
Intervalo de confianza para la media poblacional, σ conocida
Ejemplo
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ±=±=−
nzx
nzx
nzxxI σσσ
ε αααα
µ 2/2/2/1 ,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +−=
252096.1390,
252096.139095.0
µI
)84.397,16.382(95.0 =µI 84.39716.382 ≤≤ µ
La talla media de los tiburones se encuentra entre 382.16 y 397.84 con un nivel de confianza del 95%
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Si la varianza poblacional (σ ) es desconocida y la variable es normal (o se puede aproximar a la normal por el Teorema central del límite) Se usa la t de Student
• Con n–1 grados de libertad • Desviación típica muestral
El intervalo de confianza resulta
Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocida
nSxt µ−
=
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ±=±= −−−−
nStx
nStx
nStxxI nnn 1,2/1,2/1,2/
1 , αααα
µ ε
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Un laboratorio dedicado a la elaboración de piensos para acuicultura, afirma que su producto aumenta el peso promedio de los peces en 30 g mensuales. En una muestra de 9 peces tomados al azar, se obtuvo un aumento promedio de 35 g con desviación típica de 3.04 g. Estimar el intervalo de confianza al 95% para el verdadero aumento promedio.
Intervalo de confianza para la media poblacional, σ desconocida
Ejemplo
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ±=±= −−−−
nStx
nStx
nStxxI nnn 1,2/1,2/1,2/
1 , αααα
µ ε
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=904.3306.235,
904.3306.23595.0
µI
34.3766.32 ≤≤ µ)34.37,66.32(95.0 =µI
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Región de confianza
El estadístico utilizado es: • Sigue distribución no simétrica • Con n–1 grados de libertad
El intervalo de confianza resulta
Intervalo de confianza para la varianza poblacional
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
−−−
−2
2/1,1
2
22/,1
21 )1(,)1(2
αα
ασ χχ nn
SnSnI
2χ2
22 )1(
σχ
Sn−=
22/αχ
22/1 αχ −
αχχχ αα −=≤≤ −−−− 1)( 22/,1
21
22/1,1 nnnP
22/,12
22
2/1,1)1(
αα χσ
χ −−− ≤−
≤ nnSn
22/1,1
22
22/,1
2 )1()1(
αα χσ
χ −−−
−≤≤
−
nn
SnSn
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Se estudia el diámetro de la concha en una población de lapas. Tras medir 25 individuos, se obtiene una media de 170 mm y una desviación típica de 10.206 mm. Calcular un intervalo de confianza con α de 0.05 para la varianza del diámetro de las lapas.
Intervalo de confianza para la varianza poblacional
Ejemplo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
−−−
−2
2/1,1
2
22/,1
21 )1(,)1(2
αα
ασ χχ nn
SnSnI
2505.0206.10
170
=
=
=
=
n
Sx
α
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⋅=
401.12162.10424,
364.39162.1042495.0
2σI
)59.201,50.63(95.02 =
σI 198.14969.7 ≤≤σ
Tabla Chi-cuadrado
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Hipótesis estadística
PROBLEMA
HIPÓTESIS
DISEÑO
RECOLECCIÓN DE DATOS
ANÁLISIS
La hipótesis no se confirma
La hipótesis se confirma
Sin valor científico
Se elimina como explicación
Se establece una teoría
Aplicación
Proceso de la investigación estadística
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Hipótesis estadística
Hipótesis estadística: Afirmación o conjetura sobre la distribución de una o más v.a., o bien sobre alguna característica de la misma. Es una afirmación respecto a alguna característica de una o más poblaciones.
• Hipótesis nula (H0): Hipótesis que se contrasta (siempre contiene la igualdad)
• Hipótesis alternativa (H1): Hipótesis aceptada cuando la evidencia muestral está en contra de la H0
Un test para contrastar la H0 frente a la hipótesis alternativa consiste en decidir, para cada posible muestra, si aceptamos o rechazamos H0; por lo tanto, un test consistirá en dividir el espacio muestral (conjunto de todas las posibles muestras) en dos regiones: una región crítica, o de rechazo de H0 y una región de aceptación de H0
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H0: Hipótesis nula H1: Hipótesis alternativa Los errores pueden ser unilaterales o bilaterales dependiendo de la hipótesis estadística
Contrastes de Hipótesis
β
α
Errores asociados a las hipótesis estadísticas
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La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa
Unilateral Unilateral
Bilateral
H0: µ≥40 H1: µ<40
H0: µ≤40 H1: µ>40
H0: µ=40 H1: µ≠40
Contrastes de Hipótesis
No rechazo H0 Reg. Crit. Reg. Crit.
α/2 α/2
α
α α
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40=µ20=X
Si supongo que H0 es cierta...
... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.
¿qué hace un científico cuando su teoría no coincide con sus predicciones?
H0: µ=40 H1: µ≠40
Contrastes de Hipótesis
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40=µ
... el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.
Rechazo que H0 sea cierta
H0: µ=40 H1: µ≠40 α
• Hay evidencia contra H0
• Se rechaza H0
• El experimento es concluyente (conocemos α)
• El contraste es significativo
Contrastes de Hipótesis
20=X
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38=X
Si supongo que H0 es cierta...
... el resultado del experimento es coherente.
• No hay evidencia contra H0
• No se rechaza H0
• El experimento no es concluyente (no conocemos β)
• El contraste no es significativo
¿Si una teoría hace predicciones con éxito, queda probado que es cierta?
40=µ
H0: µ=40 H1: µ≠40
β? Contrastes de Hipótesis
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H0: µ ≤ 40
α
Contrastes de Hipótesis
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43=X
α
Contrastes de Hipótesis
No se rechaza H0: µ ≤ 40
H1: µ >40
H0: µ ≤ 40
H1: µ >40
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43=X
P-valor
• Probabilidad de tener una muestra que discrepe aún más que la nuestra • Probabilidad de obtener una muestra “más extraña” que la obtenida • P-valor es conocido después de realizar el experimento aleatorio • El contraste es no significativo cuando p-valor>α
P-valor P
α
α
Contrastes de Hipótesis
No se rechaza H0: µ ≤ 40
H1: µ >40
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α
50=X
Se rechaza H0: µ ≤ 40
Se acepta H1: µ >40
Contrastes de Hipótesis
H0: µ ≤ 40
H1: µ >40
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P α
P α
50=X
Se rechaza H0: µ ≤ 40
Se acepta H1: µ >40
• El contraste es estadísticamente significativo cuando p-valor<α • Es decir, si el resultado experimental discrepa más de “lo tolerado” a priori
Contrastes de Hipótesis
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• Sobre α– Probabilidad de rechazar H0
cuando es cierta
– Número pequeño (10%, 5%, 1%), elegido a priori antes de diseñar el experimento
– Conocido α sabemos todo sobre la región crítica
• Sobre P-valor – Probabilidad de obtener un
resultado al menos tan extremo como el que realmente se ha obtenido
– Es conocido tras realizar el experimento
– Conocido p-valor sabemos
todo sobre el resultado del experimento
Rechazamos H0 (contraste significativo) si P-valor < α
Contrastes de Hipótesis
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Aplicación de los contrastes a los parámetros
de la normal
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Cuando no existe ningún tipo de impacto, los niveles de fosfatos en el agua de mar está entorno a 2.5 µM, con una varianza=1. Una actividad antrópica elevada puede causar impactos que hagan variar los niveles de fosfatos. Asumiendo que sigue una distribución normal, determinar si la bahía de Alicante sufre algún tipo de impacto a partir de los niveles de fosfatos obtenidos tras analizar 10 muestras de agua:
3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.4 2.5 2.4 2.6 2.7
Ejemplo
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No se rechaza H0 si: 1. Intervalo de confianza:
2. Región de aceptación:
3. Estadístico experimental:
4. P-valor:
⎩⎨⎧
≠
=
01
00
::
µµ
µµ
HH
rechazoNon
Zn
ZX ⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−∈σ
µσ
µ αα 2/02/0 ,
rechazoNoZn
XZ ⇒<−
= 2/0
exp / ασµ
rechazoNon
ZXn
ZX ⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−∈σσ
µ αα 2/2/0 ,
rechazoNop ⇒>α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −<−=−⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −>=
nXZPvalorp
nXZPp
/12
/2/ 00
σµ
σµ
Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida
n
xZσµ−
=El estadístico a emplear es
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⎩⎨⎧
<
≥
01
00
::
µµ
µµ
HH
ασµ Zn
X<
−
/0
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −<=−
nXZPvalorp/
0
σµ
⎩⎨⎧
>
≤
01
00
::
µµ
µµ
HH
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈n
ZX σµ α0,⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈ ,0 nZX σ
µ α
ασµ Zn
X−>
−
/0
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −>=−
nXZPvalorp/
0
σµ
Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida
No se rechaza H0 si: 1. Región de aceptación:
2. Estadístico
3. P-valor:
No se rechaza H0 si:
1. Región de aceptación:
2. Estadístico:
3. P-valor:
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
⎩⎨⎧
≠
=
01
00
::
µµ
µµ
HH
05.0=α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
nZ σ
µ α+0x
⎩⎨⎧
>
≤
01
00
::
µµ
µµ
HH
025.02/ =α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
025.02/ =α
R. Crítica Rechazo n
Z σµ α 2/0 − n
Z σµ α 2/0 +x
0µ
0µ
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
⎩⎨⎧
≠
=
01
00
::
µµ
µµ
HH
05.0=α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
αZtZ exp
⎩⎨⎧
>
≤
01
00
::
µµ
µµ
HH
025.02/ =α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
025.02/ =α
R. Crítica Rechazo 2/αZ− 2/αZ
tZ exptZexp−
)1,0(/
0 Nn
X≈
−
σµ
p-valor/2 p-valor/2
p-valor
0
0
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
Cuando no existe ningún tipo de impacto, los niveles de fosfatos en el agua de mar está entorno a 2.5 µM, con una varianza=1. Una actividad antrópica elevada puede causar impactos que hagan variar los niveles de fosfatos. Asumiendo que sigue una distribución normal, determinar si la bahía de Alicante sufre algún tipo de impacto a partir de los niveles de fosfatos obtenidos tras analizar 10 muestras de agua:
3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.4 2.5 2.4 2.6 2.7 1. Región de aceptación
⎩⎨⎧
≠
=
5.2:5.2:
1
0
µ
µ
HH
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−∈n
Zn
ZX σµ
σµ αα 2/02/0 ,
10166.2
=
=
=
n
Xσ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−∈10196.15.2,
10196.15.2X
( ) rechazoNo⇒∈ 120.3,880.166.2
Ejemplo Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida
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2. Estadístico experimental 3. Mediante el p-valor
2/0
exp / ασµ Zn
XZ <−
=
96.110/15.266.2
exp <−
=Z
rechazoNovalorp ⇒>=− α610.0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −>=
nXZPp/
2/ 0
σµ
( ) 3050.00.69501)506.0(1506.02/ =−=<−=>= ZPZPp
Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida
rechazoNo⇒< 96.1506.0
No podríamos decir que los niveles de fosfatos estén
alterados
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Una muestra aleatoria de 100 ostras cultivadas en Santa Pola muestra un peso medio de 71.8 g. Asumiendo una desviación estándar de la población de 8.9 g, ¿se puede afirmar que el peso medio de las ostras es mayor de 70 g? Utilizar un nivel de significación del 5%. 1. Región de aceptación
⎩⎨⎧
>
≤
70:70:
1
0
µ
µ
HH
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈n
ZX σµ α0,
1009.88.71
=
=
=
n
Xσ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈1009.8645.170,X
Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida Ejemplo
( ) chazoRe464.71,8.71 ⇒∞−∉
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2. Estadístico de contraste 3. Mediante el p-valor
ασµ Zn
XZ <−
=/
0exp chazoRe645.102.2645.1
100/9.8708.71
⇒>⇒>−
chazovalorp Re05.00217.0 ⇒=<=− α
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −>=−
nXZPvalorp/
0
σµ
( ) 0217.00.97831)02.2(102.2 =−=<−=>=− ZPZPvalorp
Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ conocida
El peso medio de las ostras es superior a 70 g con una seguridad del 95%
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No se rechaza H0 si: 1. Intervalo de confianza:
2. Región de aceptación:
3. Estadístico experimental:
4. P-valor:
⎩⎨⎧
≠
=
01
00
::
µµ
µµ
HH
rechazoNon
Stn
StX nn
nn ⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−∈ −−
−−
12/,10
12/,10 , αα µµ
rechazoNotnS
Xt nn
⇒<−
= −−
2/,11
0exp / α
µ
rechazoNon
StXn
StX nn
nn ⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−∈ −−
−−
12/,1
12/,10 , ααµ
rechazoNop ⇒>α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −>=−⇒⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −>=
−−
−− nS
XtPvalorpnS
XtPpn
nn
n /*2
/2/
1
01
1
01
µµ
Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ desconocida
nSxStudentt µ−
=−El estadístico a emplear es
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
No se rechaza H0 si: 1. Región de aceptación:
2. Estadístico
3. P-valor:
No se rechaza H0 si:
1. Región de aceptación:
2. Estadístico:
3. P-valor:
α
µ,1
1
0
/ −−
<−
nn
tnS
X
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈ −− nStX n
n1
,10, αµ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞−∈ −− ,1,10 nStX n
n αµ
α
µ,1
1
0
/ −−
−>−
nn
tnS
X
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −>=−
−− nS
XtPvalorpn
n /10
1µ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −<=−
−− nS
XtPvalorpn
n /10
1µ
Contrastes de Hipótesis para la media poblacional, σ desconocida
⎩⎨⎧
<
≥
01
00
::
µµ
µµ
HH
⎩⎨⎧
>
≤
01
00
::
µµ
µµ
HH
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
⎩⎨⎧
≠
=
01
00
::
µµ
µµ
HH
05.0=α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
nSt n
n1
,10−
−+ αµx
⎩⎨⎧
>
≤
01
00
::
µµ
µµ
HH
025.02/ =α
Región de aceptación No rechazo
R. Crítica Rechazo
95.01 =−α
025.02/ =α
R. Crítica Rechazo n
St nn
12/,10
−−− αµ
nSt n
n1
2/,10−
−+ αµx
0µ
0µ
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
No se rechaza H0 si: 1. Región de aceptación:
2. Estadístico experimental:
3. P-valor:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠
=20
21
20
20
:
:
σσ
σσ
HH
rechazoNoSnnn ⇒<
−< −−−
22/,12
0
22
2/1,1)1(
αα χσ
χ
rechazoNonn
S nn ⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−∈ −−−
1,
1
22/,1
20
22/1,1
202 αα χσχσ
El estadístico a emplear es
Contrastes de Hipótesis para la varianza poblacional
20
22exp
)1(σ
χSn−
=
rechazoNop ⇒>α
( ) ( )( )2exp
21
2exp
21 ,min2 χχχχ ><=− −− nn PPvalorp
22/αχ
22/1 αχ −
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No se rechaza H0 si: 1. Región de aceptación:
2. Estadístico
3. P-valor:
No se rechaza H0 si:
1. Región de aceptación:
2. Estadístico:
3. P-valor:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥20
21
20
20
:
:
σσ
σσ
H
H
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−∞−∈ −
1,
2,1
202
nS n αχσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∞
−∈ −− ,
1
21,1
202
ns n αχσ
21,12
0
2)1(αχ
σ −−>−
nSn
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤20
21
20
20
:
:
σσ
σσ
H
H
2,12
0
2)1(αχ
σ −<−
nSn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −<=− − 2
0
221
)1(σ
χSnPvalorp n ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −>=− − 2
0
221
)1(σ
χSnPvalorp n
Contrastes de Hipótesis para la varianza poblacional
Estadística :: T5. Contrastes para los parámetros de una población Normal
Contrastes para la media de una pob., de varianzas desconocidas: t.test(x, alternative=c("two.sided", "less", "greater"),
mu=media_hipotetica, conf.level=0.95)
Comando a utilizar con R: