Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Etapa 6, Problema 2 Fie un punct P pe latura BC a triunghiului neisoscel ABC, astfel încât ABP şi ACP au acelaşi perimetru. Fie M mijlocul laturii BC şi I centrul cercului înscris în ABC . Demonstraţi că IM AP .
Soluţie. Din egalitatea perimetrelor deducem că AB BP AC CP şi atunci ,BP p b
AC p c . Din teorema bisectoarei, avem că acBD
b c
şi ab
CDb c
. Dar DM BM
2
a b cBD
b c
, iar
2b c
MP MC CP
, prin urmare
(1)MD aMP b c
.
Aplicând teorema bisectoarei în ADB , obţinem că ID DBIA AB
, aşadar
(2)ID aIA b c
.
Din (1) şi (2) rezultă că MD IDMP IA
, care conduce la IM AP conform reciprocei teoremei lui
Thales.