Transcript
Page 1: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

����� ������� �� ���������� � ���� ����� ��������� � �������� �� ��� ��� ��� ��������� �����

������� �� � �

���������� �� �� ������������ ������� ����� ���� ��� ������� ������ ������ ������� ���

������� �� ������ !���" � ����� �� � !# ��� !��$

��������

��� ��� ����������� ������ � � ����� �� ���������� � ���� ������ � ��� ��������% �� ���% ���� ��% � ���

� ��% ��� ����� �� � ������� � � �����& ���� �� �� ��� ����� ��� ��� ������% ��� ���� �� � ����� ����� ���

��� ���& ��� ���� ���� �� ������ � � �'������� ������ � (�� ������ �� ��� ����� ��� � ����� � � ��������& ������� �� � ��� ��� � � ������ �� �� �� ���� ��������� ��� ���� ��� ��������� ���)�����% ��� ��� ��� ���)�����

�� (��� �� ��� ������ ��������� ������ � � ����*� ����� �� �& ����� ������� �� ��� ����� �� � ��� ����%

��� �������� ���� ������ ��� �� ��� *���� � � ���� ���� �� ����������� �����( ��� ���� ������ �% (�� ��(�

��( ���������� �� ��� ����% �������� �� �� ���� �� �� ��� � �� +� �� ��� ���� ��� ��� � ���� ����� ���� ��� �� �

� ���� ������� �� ��� ������& ,� ������% ����� ������� �� ��� �������� �������� �� ������ ������ � � �

������� (��� ��� �������& � !��$ ������ -����� .��& /�� ���� ��� ���&

����� �! ����� ������" 0��������� � ���� ������ �" ,����������� ���� ��" ��� ����������" 1���� ��� ����� ���"

1��� ���� �� ��" ��������" �� ���

� ���� ������

0��������� � ���� ���� ��� 20345 � � �������� ���� ��� ����������� ������� �� ���� ����������� ��� ���� � ��� ��� �� ����*� ����������% ��������� �� �� �� ����� ��� ��� ��� ��� �������& 6� ��� ��� ������ �����% 034� � � ����������� (�� �������� �� ��� ���� �� � ��� ���&7����� �� ��� ������� �8���� �� ����� ��� ��� �����������% � � ��� ����� �)��� �� ����� ������������ �� ��� �������� � ������ �� 034 (�� ����� ��� � ��� ���& 9 ���� ����� �� ��� ������������ �� 03 ������" ���� ��� ������ �����% �� �������% �� �����(� 2$::;5% 4�� ��� -����� 2$::<5% =� ��� ��� 1��� 2$::<% $:::5% >��� ��� ��� .�? 2$:::5% @��� 2!���5% ��� ������ ���0� � 2!��$5% (�� � �������� ��� ����� ��� �� ����& 0�( (� A ��� ���� ���� �� 03 ��������"���� ���& ,� ������ ��� �� ��� �� �� ����?���� �� � 03 ���� % B���� ��� 0� � 2$:::5 � �������� ��� ��������� ��� ��� �� ��� ������� �� � � ����� ���� ��� ��� ���� ���� � ����������� � ��

,��� ������� �� ��� �� -���� ��� -� �� �� �< 2!��$5 <$<:C<!�D

(((&������ &���E������E������

� 0��F G<<D�D�!�;<;H!&

�#���� � ����! �+�� �I���&��A&��&�( 2�&��& �� �5&

��!��#D<�E�$EJ � ��� � ��� ����� � !��$ ������ -����� .��& /�� ���� ��� ���&9,,F -��!��#D<� 2�$ 5��$<!�!

Page 2: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

���A����& ������� ��� �� (�� �� ��� ����?���� �� ��� �8����� � ��� ��� �� ��� ���� � �� �� �� ����� ��� �� �� �� ����� �& .�A����A 2$:<$5 � �� ����� ��� ���� ���� ��������� ������� �� �� ����� ����������� � ��� ������ �% ��� ����� ���� ����� �� � �����( ������ ��� ��������% ��������� � ��� ��& ��� ���� �� (�� ������ �� �� �������" (�� � ��(� �� ���� �� ��� ������ ���������� ��� ���� � �����& ��� ��� ��� �8��� (�� ��� ������ ��&,� ��� ���� (� ������ ��� ��� ����������� ������ � � ����� �� 03 ������ � ��� ��������%

�� ���% ���� ��% � ��� �� ��� ����� �� � �������& ��� � ����� �� �����������% ���� � �����(� ��� ������ � �������� �� ��� ����������� ������ � �� ������ � � ����� ����� ������ � (��� ����� ��� ��� ��� ����������� � � ��A�� �� �� ��� ����� �� �����& ���� �� �� ��� ����� ��� ��� ��������� �� ��% ��� ���� �� � ����� ����� ����� ���& ��� ���� ���� �� ������ � � �'������� ������ � (�� ������ �� ��� ����� ��� � ����� � � ��������& 6 ���� ���% � ����� ���� ��� ��� ��� ��� ��� ���� ���� � ������ �� ������ �����& 1���� ��� ����� ��� � ��� ������� � ��� ����� ��� ����& ,� ����� � ��� ��� *�� 2 �������� �� ��&% $:<<" 1� �������% $::H5& ��� ������� �� ��� � �����% ��� �� ��� ���� � �(��% ��� ���� � ����� ����� ����� ��� � �����& B�� �� ������% � �� � �A% ��� *������� �(��� �������� ������ �% � � � ��� �����% ��� �� ��� ��� �� 03 ������ � (�� ����� ����� ������ ��� ���� �� � ��� ���& K� ������ �� �� ����� ����� ����� ��� 03 ������ � (�� ���� �� � ���� ��� �� ��� ��������� �� ��� ��� � ���������� ��� ���� ��� ��������� ��� ��� ��� ��� ���)������� (��� �� ��� ������ ��������� ������ � � ����*� ����� �� �& ��� � ����� ����� ��� �� � � ���� �������� �� ��� ������ �� ���� ��� ��� �������� *��� � ���������� �� $& ��� ��� �������� �+ � ������� �� ��� �������� ���� �� �� ���� �� �� ��� � �� +�& /� ���% ��� ��� �8��� � ���������& ,� ������%��� ���� ���� �� �� �� �� ������ �� ��� ������ �� � �������� ����� ������� � ������ ��& ��� ���������� �� ����� ��A�� � ���� �� ���� ��� ��� ����� �� � ��� ����% ��� �������� ���� ����� ����� ��� *���& ,� ����� ��� ���� �� � ��� ��� �����( ��(� ��( ���������� �� �% �%�"� ������� � � �������&0� � �� � � ������ ��������� ���� �� � ��� ���% ��� ������ ��� �� ���� ���� �� ��� ��� �����&/��� �������% ��� 03 ������ ��� �� ������� �� � ������ �������� �� *����� ������ ���� � ��� ����� ����� ����� ��� ���� � ��������� (�� ��� � ����� ��� � �� ��� �������� �������� ���� 2�� ���� K���% !��$�%�5 � ������� ��� ������&��� ������� � �������� �� ��� ���� �� ������� ��� ���������� 27���� ��� K��� % $:D�5 �� ���

���� ���� ��� ��� ����������� ������ �� �� ���(�� � ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� �������& L��� ��� ������% ��� ����� �� � *��� � �������� � ��� ��� ��� ��� �������� ����� � ������� � 2B�(��A%$:#;% $:<D5% ��� ��� ��� ��� ��� ��������� � ������ � � �������& 6� ���� ���� ��� ����� �� � *���� �� ���� �������� �+�����% � � ��� ��� �� � A��(� ������ ��� � �� ����� � ��� ��� ���������+����� �� ���� ��� ��� ��� ��� �� �����& ��� * �� �� � �� ��� ���� � ������ ��� ����� ������� �� ��������� ����� ����� �� � ��� ����� � �����������% �����( ��� ���� ������ ��� � ��� ������ ��� ����� � ��������& ��� ������ �� � � ������ ��� ��� �������� ������� �� ��� ������ ���������� ��� ����������� ����� ��� ��� ���� ���� �� ��& ����� ������� � � ������� �� ��� ���� ����� ����� ��� *��� � ��� ������ ��� ������ �� (��� �� ��������% �� ���% ���� ��% � ��� �� ��� ����� �� ��������&

� ���� ��� ������

&'�' (���" �)������

K� ������ ��� ������ ����� ����� �� � ��� ���� � � ����� ����� ����� ��� � ��� ������ ��� � ��� ��� ��� ��� ����� � ��������& ��� ���� �� � ��� ��� � � ������ �� �� ������ ���������� �� ����� �� � ����������& ���� �� �� ��� � ��� ����� ��� ��� ������ ��� �� ��% ��� 0� � ��( �� ���� �������� � �� ����� ��� ���� ��� �� ��� ����� �� 2�6?�A% $::�5

<$:� *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 3: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

������

�� �� � ��$$ �$! �$��!$ �!! �!���$ ��! ���

�� �� �����$������

�� ��� �$�

(�� � ��% ��% �� � � ��� ���� '�% � ������� ��� ����� �� � ��� ���� � ��� ����% � ����� ��������� ��� �8� ������� (�� ������ �� ��� �)� �� �����% ��� � � ��� ��������� ���)����� �� ��� ������ ����� ����� ��� ���� ��% (��� � � ������ � ��� ����� �� ��� �+ ����� ������ � �!�� � � 2��������� �� � ��� 65 �� � �� �& ,� ��� ���� �� � � ���� ��� (�� ������ �� ��� ����� ��� ��� ������%��� � � �� � �� �& ,� ��� ���� �� � ����� ������ ������" (�� ������ �� $����% �$$ � �!! � ������& K������ ���� �� � ��� ���% �$$ � �!! � ���& 0� ��� ���� ��� �� �� ����� ��� �� � ��������� � ��� ����� ����� �� ���� ��� � ������&��� ���� ������� �+���� �� ������������ ���� �������� (���� ���� ���� ���� �

��$������� � ��$���� � ���� � �� �!�K��� ��� ���� � �������� �� ��� ��� ����� ���� � � ���������� �� $% ��� �� ��� �� ������ (��

������ �� $ � �+�& 2$5 ��� 2!5 �����& 0� ������ ��� � ����� � � ����� ����� ������ �� ��A�� �% ��� ����� � �� � ����� �� ����� ��� ��� ����� ���% ��� � �� �� �� ����% (� ��� ���� �+�& 2$5 ��� 2!5 ���

����

����

� �� ��$!��$$$ �� ���$$$��!!��� ��$!��$$$ ��

� �����

� �� ���

������

� �� ���!!�� �$!��$$$

���!��� �$���$$$

� ����

� �� �H�

(�� � ���� � ��� � ��$�$���$$$ % �� ��� ��� ������ ��� * �� ��� ������ � �� �� ��� �� ������ (�� ������ �� �&�� �� A��� �� ��� ��� ����� � �������� ��� �� ������ ��F 2$5 � ��� ��� � ���� ����� �� �" 2!5

� ��� ��� ���� '� �� ��� ��� � ����" 2�5 ���� ���� � ����� �� ��� � ����& ����� �������� ��� ����� ����� �� � ���� ��������� �� ��� ����� �� � ��� ��� �� ��� ���� '� 21� ���( ��� ����� % $:;:5&0� � ���� ������ (�� ��� �! ���� ��� �� ( ���� ��

�$ �!��� � ����

� � ����!

� ���� �;�

(�� � ��� � � � ��� ��� ������ �� �& ��� ����� � �������� �� ��� * �� ��� ������ A��� � � ��������� ������ �! ��� ��� ���� � ����� ���)���� �$ � �% ����������&0� � �����( ������ ��� ����� � ������� �� ��� ��� � ���� � � �$ �

�$ �!��� � ����

� � ����$

� ���� �D�

(�� � ��� � � � ��� ��� ������&K� ���A ��� ������ �� �+& 2�5 � ��� ������� �� � �� ��� 0� � �� ��

����

� ��

����

��������������

� ����� �#�

(�� � ������ ��� ������� � � ������� ������� �� � �� �� ���� ����&-������� �+& 2#5 � �+�& 2�5 ��� 2H5 ����

��

�����

�����

� �� ���$!��$$$ ���$$$

��!��!! ���$!��$$$

� � ���

�����

� �� �<�

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <$:$

Page 4: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

������

� ��

����

����!! �$!��$$$����!� �$���$$$

� ���

�����

� ����� �:�

6� �������� ��� ��� ��� � ��� ������� 0� � �� ��% �+�& 2;5 ��� 2D5 ������

�$ �!��� � ���

�����

� � ����!

� ��� �$��

�$ �!��� � ���

�����

� � ����$

� �� �$$�

(�� �

��

� �� $

!�

!�

������

� ����� ��� �� � ��$�!� � � ���

,� � �� �� ����� ��� ������ �� �+& 2<5 ���� ����*�� �+& 2$�5 �� � ���� ������ % � �+�& 2$�5 ��� 2$$5�� � �����( ������ % ��� ���������� �� ��� �� � ��� �� ����*��& K� ������ ���� ��� �� � � � ��� ������� ���� ��(� �� � ��� ����

������ � ������ �$!�(�� � ��� � � ���� ���������% � � � ��� ���� & 0� � ���� ������ � ����� �� ����������� � � �� ������ ��� ���� ������� �� � � �& 6������% ������ � � � ����� �� ��� ���� �� � ���������� ����� ��&��� �� ���� �� ��������� �� ��� ����������� ��A� � ������� �� ����� ����� ������� �� ���

034 � (��� ��� ���� �� � ��� ��� � � ������ ���������& 4� � ���� �� ����� �� � ������ ��� ��� ����� ��� ��� ������� ������ �� �� ���� ��� ���� &

&'&' .����� ��� ������� 7��

K�� ��� ��������� ���)����� ����*�� �� �+& 2$!5% �+& 2<5 �������

��

�����

�����

� �� ���$!��$

$$ ������$$$

��!��!!�� ���$!��$$$

� � ���

�����

� �� �$��

(�� � ��!! � �!! � ��$$$ �

!$!&

��� ������ �� �+& 2$�5 ��A�� ��� �� ����

�����

� �� �$��

�!����

� �� �$H�

(�� � �% �$% �! � � ��������� �� �� ���� ����&-������� �+& 2$H5 ��� �+& 2$�5 ���� � ������ �� ���������� ����� �� �+�����& B���� ���

������ ����� ���� � ���� ����� �� ��� ���)���� ��� � �+�� �� ?� �& ��� �����

�! � �!��$!��$$$ � ���� ����$! � ��!!���$

$$ � �� �$;�� �� (��� � � ���� �� ��

��$��!

�� ��;��� ��! � H�!��$$�!! � �!$!���!

$$ �$�!� � ��$!��$$$ � �$D�

(�� � � � ��$�!� � � � � ��� �� � � ��� � ��A�� � � ��� ���� ������ �$$�!! � �!$! � �&

<$:! *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 5: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

,� � ����� ���� ���� ��$ � �% ��! � �� �� ��� �������� � ��� ��� *���& �������� ���� ��$ � ��! � ���� ���� (��� � � � �� ��� �������� � ��� ��� *��� � � �������� ���� ��% (��� ��� ����� ����� � ������ �������� 2�� � ��� K���% !����5& 0� ��� ���������� ���� ��� ��� ���� ��� ���� � � ��(��� �����"�& ��� ���� �� � ��� �� � � "����% "�6�����& K��� � �� �% �����$� � �%�����$ � �� � �% �����!� � �% �����! � �� � � �� � � �% (�� � ����� ������ �� ��� ��� �� � �� �& 0� � ���� ��� ���� �� ��$ ��� ��! � � ���� ������ �$! � �&6� �������� �+& 2$D5 ��� �+& 2$�5% ��� � �����(�������

��������� �

� ���$ ���!

����$! � �$$��$����$�� ����$! � �$$��!����!��

� �� �$� �!

� �� �$#�

(�� � � �$ ��� � �! � � ��������� �� �� ���� ���� � �� ��� ����� � ��������&0� � �����( ������ �+& 2$#5 ��� ������ �+�& 2$�5 ��� 2$$5& /� � ����% (� ����

� �$� �!

� �� ����$� �!� ����!� �!�

����$� �$� ����!� �$�� ��$

��

� �� �$<�

(�� � ���� �� � �$�� � �!���$! � �$$�������$&0� � ���� ������ (� ��� ��� � �! � � � �+& 2$#5 � � �� ���� ��� ����� �� � ��� ���� '� ����

*��� �� � � �& ��� �������� � �$ � ���� ���� �� ��� �+& 2$�5 ��� �$ � �������$� �!�� �$:�

B��� ���� ��� ������ �� ��� ���� ������ ������ �� ������� � �� ���� �� ��� �����( ������ �������� �$ ��� ���� �� ?� �& ��� (�� ���� �� ������� ����� �� � ��� ���� '� �� � � �% (��� �� �� ��� �� �&=���� ���� ���� �+& 2$#5% (� ����� ��� ����� �� � ��� ���� ��

� �����

��������� ��

��� � �$���$��� �� � ���� ������ ��

����� �$���$ � � �!���!���� �� � �����( ������ �

��!��

��� �������� ��� ������ �� ��� ������������ ���� �������� � 03 ������ �& ��� ����� �� � ���� ���� (�� �� ��� �� ���� � ��� ����+��� ��� �������� �������&

� ������������� ��������

/'�' .���� ���"� ��������

K� ������ ��� 03 ������ �� � ����� ����� ����� ��� ���� �� ����� �� ���� ���� ������ ������ �(�� ������ �� ��� ����� ��� � ����� � � ��������& ��� ��� �������� �� ���C����������� ������� � �

��

��

��

���

���

���

��������

�������� �

�$$ �$! �$� �$H � ��$! �!! �!� �!H � ��$� �!� ��� ��H � ��$H �!H ��H �HH � �� � � � �;; �;D� � � � �;D �DD

��������

������������

��$����� � �������

���� � ��$�������� � ����

��$���� � ���� � ��$��

��������

���������

�$�!���H��

��������

��������� � �!$�

(�� � ��� ����� �� � ��� ���� � � � ��� �� � ���� �� �+& 2!�5" ��%��%� � �%��� � � ��� �� ��� ����������"��% ��% �� ��� ����������� ����������" ��� ��� $� ������ ��������� ��� �� ��� ��� ��� ���)����� �� ������� ��& ��� ��� �������� ��������� � � ������ ��������� �� ���� ��� � ������% �� � �����&

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <$:�

Page 6: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

,� ��� ���� �� � � ���� ��� (�� ������ �� ��� ����� ��� ��� ������% �$H � �!H � ��H � �;D � �% ����H � �% ��� ���� �� ��� ���������� ������ ��������� ����� �� ���& ,� ��� ���� �� � � ����� ������� ��� (�� ������ �� $����% � ��� ������ � ������� (�� �$$ � �!!% �$� � �!�% �HH � �;;% �DD ���$$ � �$!��!% ��� �$ � �!& K��� ��� ���� �� � ��� ���% (� ���� �$$ � ��� � �� !�% �$! � �$� � �% �HH ��DD � �% ��� �$ � �! � �� � ������% (�� � � ��� � � � ��� .���� ���������&K��� ��� ������ � �������� �� � ���� � ������ ���� �� ��� �� � ������% ��� �� ��� � ���������� �� $&

0����(�� �� � ��� K��� 2!��$�%�5% ��A�� ��% ��% �� ��� ���% ����% ���� �� ��� � �� � ����� �� �����% (���� ���� �+& 2!$5 ��� ��� �+�� � �+����� ��� � ������ �� * �� � �� �8� ����� �+����� �� �����(�F

����

���������

����

����

��������

�������� �

���$! �$! �$� ��$$$ � ���� $ � � �;; �;D���� � � � �;D �DD�!! �H! �H� ��$! ��� �

��!!�� �;! �;� ���$!�� �$ ���!H�� �D! �D� ���$H�� � �

��������

�����������������

����

����

��������

��������� �

�$��$$$

��

���!��!����H��

��������

��������� � �

�����

��������

��������� �!!�

��� ��� ���� �� ����� ��� ����� � �� �� �� ��� � �� � ����� �� ����� � �

���

���

����

�� �� ��!! �!!�� � �!H��� �!H�� � �!�����!� �!��� � ��H��� ��H�� � �������!H �!H�� � �HH��� �HH�� � ��H���

�� �� ������

�� �����$!��$���$H

�� ����� ���!�����H

�������� � �!��

(�� � � ��� ������ ��� ���� �� ��� � ��� � ����� �� � ��� �% ���

�$! � ����$!�� � ��$H����� �$� � ����$H�� � ��$������ �H! � �!!�� � �!H����

�H� � �!H�� � �!����� �;! � �����!!�� � �!H����� �;� � �����!H�� � �!������

�D! � �����!H�� � �HH����� �D� � �����HH�� � ��H�����

���� � �����$$� ��� � ��� � �$��$���$$� ��� � �� � �$�$���$$�

�;; �;D�;D �DD

� �� $

�;;�DD � �!;D

�DD ��;D��;D �;;

� ��

K��� � ���� � ������ � � � ��� ��� �� � � �! �� � ���� ������ % ��� ����� � ������� ���� ���� ����� ����!

� �!�!��� � �� �� �!H�(�� � �!��� � ��� � ��� ��� � ����� � ��� � � �����% (��� ��� �� � � ���� �������& ��� ����������� ��� �� ����� �� ��� �� � ����� ��� $���� ���� ��� ����( �� ����?� � � ������ � � ��� $ � ������ �� ����� ������ &0� � �����( ������ ��� ����� � �������� � �

��� ���� ����� ����$� �$�$��� �$$��� �$�$���� �� �!;�

��� ���� ����� ����!� �!�!��� �!!��� �!�!���� �� �!D�

(�� � �$% $% �$ ��� �!% !% �! � � ��� � ������ � ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� � �����% ����������& ���� ������ � ��� � ��� $ � ������ � � �������� � ����� ���� ���� ������ ��� ��������

�!$

!�

$����� � �!!

!�

!������ �$

!�

�$����� � �!

!�

�!������ �!#�� � �� �� ������ ����� �+�� � ��� � ���� ��� �� ��� ���������� �� $&

<$:H *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 7: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

��� ��� �������� �+ � ���� ��� �� ��� �������� ��� ��� � ���������� ���� �� �� ���� �� �� ��% ��� +� ��% ��� ������ ������ ������� �$% �!% ��� ���� !�

�!

�$

��������� � ��� �!<�

!�

�!

�$

����������� � ��� �!:�

!�

�!

�$

������ �� ����� � �$� ����

!�

�!

�$

������ ��� ����� � �!� ��$�

,� ������% ��� ������� ���� �� ��� ��� ����� �� ��� ����& ��� �������� � � ����*�� ���������(��� ��� �� ��� � ���������� �� $&K��� ��� �� ��� � ���������� �� $% ��� ���� �� ��� ������ �� ��� ����������� *��� � � 2.�A����A%

$:<$5

�� � ���� �� � �!�� ��� �� �� ���!� ��� ��!�

�� � ���� �� � �!�� �� �� ��� ���!� ���� ��� ����

�� � ���� �� � ���� ��� �� � �� �� �� � ��� ��H�

(�� � �% % � � � �A��(� ������� �� � ��� �" ��% ��% �� � � ��������� (�� ��� �� ���� ������������"��� ��������� � � � ��� � ��������% � � ��� �(���� ����� �� �� ������ ����� $����% 8 ��� ( � ���������� (�� ������ �� ��� ������ &6� �������� �+�& 2�!5 ��� 2��5 � �+�& 2!!5 ��� 2!�5 ��� ���

�� � � ���� � ����!� ��� � � ���� � ����!�

����� �+����� ������

����

������

����

����

��������

�������� �

���$! ���$!�� ���$H�� ��$$$ � ���� $ � � �;; �;D� � � � �;D �DD�!! �!!�� �!H�� ��$! ��� �

��!!�� ��!!��� ��!H��� ���$!�� �$ ���!H�� ��!H��� ��HH��� ���$H�� � �

��������

��������������

����

����

��������

��������� �

�����

��������

��������

� ��!��

���$����!�

��!����H

��������

��������� ��!���

���$����!��!���H

��������

��������� ��

���$����!���

��������

��������� ��!

����!H��

��������

��������� �

�$��$$$

��

���!��!����H��

��������

��������� � ��;�

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <$:;

Page 8: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

���

���

����

������ �

�!! �!!�� �!H���!� �!��� ��H���!H �!H�� �HH��

������ �

�������

��$!��$���$H

��������� �

��!�����H���

����� � ���!�� � ��!��� � ����!������H

������

� ��!�!H��H�HH

������� ��D�

(�� � � � ��� ��!% � � ��� ��!& =������ �� ��� ��� ��� ������� ������� ��������&

/'&' 9������ ������

K� ���A ��� ������ �� �+& 2�;5 � ��� �� � �� ������� 0� � �� ��F

� � � ��� ���� ����� � �����

�� �� �� �� � !�� ����� ��#�

(�� � ��%��%� � �%!� � � �A��(� ������� ������� �� �&-������� �+�& 2!�5 ��� 2�#5 � �+& 2�;5 ������� � �� ��������� ��� �+���� ��� ���� �� � ��� �

�8� ����� �+����� ���� ��� �� ������ �������� (��� ��� ���������� �� ��� ��� �� �� � � � ����*��& .��� ������ ��� ��(� ��( �� ���� �� ��� ��� �������� ��������� ��� ��� �� ��� ����

������ � "����� ����� � #���� ��<�(�� � "�� ��� #� � � ���� ���������% : � � ��� ���� & ,� � �� ���� ��� ��� �������� ��������� �� � ���������� � � *���% : ��� �� �����������& ��� ������ ���� �� � ���������� ���� �� � ������� �������� � � �& ��� ��(� ��( �� ���� (�� ����� ������ � �� ��� ������� �� 03 ������ � 2.�A����A%$:<$" =� ��� ��� 1���% $:::" @���% !���5& ,� � ��� ������� (�� �� �� ������� ��� ��� �������� 03������ ���� �8� �� ����� �������&-������� �+�& 2�#5 ��� 2�<5 � �+& 2�;5 ����� � ��� �����(�� ���� �� ��� � �8� ����� �+�����&2$5 0� � � �%

��

������

� �� ��$ �����!

����� ����$

� �����

� �� �

����

���$���

� �� �

���!���

� �� ��� ����

���$���

� �� �

��

� �� ��:�

(�� � �� � �� �� ��� ��% �� � �� � !�� ��& 6��� �������� ��� � �+& 2�:5 ��� � ��� �����(���+����� � � ���� � /������ / �� ��� ��&�+& 2�:5 � ��� ���� ��� �+���� �� ��� �������� � ���� ����� ��� �� ����� � ��� ������ ���

������ �� ��� ����������� ����� ���� � � ���������� �� �&2!5 0� � � $%

��

���$�$

� �� �$$ ����$!

���$� ���$$

� ��$�$

� �� � �!��$

���!��$

� �� ��$ ���$

���$��$

� �� �H��

��

����$��$

� �� �$$ ����$!

���$� ���$$

� ���$��$

� �� � �!��$

���!��$

� �� ���$

���$

���$��$

� �� �H$�

(�� �

�$ � �$ �$ �$� ��� �$ � �$ $ !$� ���

��$ � ��$ ��$ ��$� ��� ��$ � ��$ �$ !�$� ���

<$:D *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 9: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

�+�& 2H�5 ��� 2H$5 � � ������� ��������% �� � � ��� �������&2�5 0� � � !��� � � � �

��

����

��

� �� ��$ �����!

����� ����$

� ���

��

� �� ���

����

���$���

� �� �H!�

(�� �

�� � �� �� ��� ��� �� � �� � !�� ����+�& 2�:5C2H!5 � � �� ��� ���� �� � ������ �� ��� �������������� �� ��& ��� �������� ������

������� �� ��� ���������� ������ ��� ��� �� ���� ������& ��� ���������� ������ ��A�� ����� �

��

��

� ��

� ������������

� �� �H��

�� � � ��$�!� � � � � (�� � � � �� �A��(� �������� ��� ���% ��� � � �������� ����� � �� �� ���� ����&-������� �+& 2H�5 � �+�& 2�:5C2H!5 ����� �� �� �������� � �����

��$ ��!

��� ����$ � �

� � ������

� �� �

������

� �� �HH�

� (��� � � ��� �������� ��� ������

� ����� ��������� &

B���� ��� ������ �� �+& 2HH5 ����� � ����� ����

��$ � � ��!

��� ����$ � �� �

���� ���� � �� �H;�

� �� (��� �� ��������� ��� ��� �� ���� ���� �� ���� ���� �� �& �� ���� �������� ��� ��� � �� �������� �� ��������� ���

���

� ���& ��� ���� ��������� �� ��� ����������� � ���� ��� ����������

������ �� �+�& 2�:5C2H!5&��� �� ���� ������ �� �+�& 2H�5 ��� 2H$5 � � ������� ��������& ��� ��� �� �+& 2H�5 ��A�� ���

�� �

�$�$

� ��

� �$��!���$

� ���!��$

"$���$��$

#$���$����$

� �� �HD�

(�� � �$� � � ���� �� �+& 2$D5% ��� �$% �!% "$�% #$� � � ��������� �� �� ���� ����&-������� �+& 2HD5 � �+& 2H�5 ���� �

�$�!

� �� �

!� ��$$ ��$!��$� �� � !�� ��

$$

� ��$��$

��$

� �� �H#�

"$�#$�

� �� ��$� � $�� ��$$ ��$!

��$� ��$� � � � $�� ���

$$

� ��$ � $���$

� $���$

� � �H<�

-��� ��% ��� �� ���� ������ �� �+& 2H!5 � ���� �� ��

��

��

� ��

��!��$

"�������$

#���������$

� �� �H:�

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <$:#

Page 10: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

(�� �

"��#��

� �� ���� � $�� ���$ ���!

���� ���� � � � $�� ���

�$

� ��$ � �����

� �����

� �

,� � ������� ��� �� ���� ������ (� �� ��� ����� ��� ����� �������� ���� ��� �������� � ��������� (�� ��� ����� �� ��� � $& ,� � ���� ��� % ��� �� � �� ��� �� ���� ������ ����� �� �� ���*���� �������� ��� ��������� �� �� �� ��� �& ��� ��� �� ����� ����&��� �������� ������ �� �+�& 2�:5C2H!5 ������� �� � ���� ��������� �� �+& 2H�5 ��� ��� �� ����

������

��

��

� ��

�D��$

����������������

� �� ��

��

� ��

� �;��

��� ��������� �� ��� ���� ��������� �� � � ���� ���� �� �+ �� �+& 2;�5 ������ ��� ����� ���������& �� ��� ���% (� ������ ��� � ���� � ������ � ��� ������� 0� � �� �� �� ���� �+�& 2!H5C2!D5 ��

�������!� �� � !�� ����!

� ���!� � �� ����!�;$�

�� � ���� ������ % ���

�������$� �� � !�� ����$

� ���$� ��$� ���$�� ����$� �;!�

�������!� �� � !�� ����!

� ���!� ��!� ���!�� ����!� �;��

�� � �����( ������ % (�� � � � ��$�!� � � � � ���

��!� �!� ��!� ��$� �$� ��$�� � � $

!�

!�

�! ! �! �$ $ �$� ����� ��� �;H�

K�� �+�& 2;!5 ��� 2;�5% ��� �� ��������� �� � �+& 2;�5 � � �+��� ���� ���� �� � �����( ������ & 0� � ���� ������ �+& 2;!5 � ������� �� ��� ������� ���� ��� ������������ ��� �� ����� �� ��� ����� ��� ��*���& ��� ������� ������� ���� ��� �� �� (�� ������� ��(� �� � �� ������� � �� ��� ������&��� ��� ���� �� ����� � � ������� �� �������� �+�& 2�#5 ��� 2;�5 � �+& 2�D5 ��

��

��

���

������ �

����

���$��!! ���!! ���!H��!� ���!� ����H��!H ���!H ���HH

������ ��

����

������

��� � ��$�"$!�"$��"$H

�������� � �� ���

�#!�#��#H���

���������

� ������� � ����� � ����!��������H

������� ����$

��!H���H��HH���

���� �;;�

� � ��� ��������� !�� � ���������� ���"����

K��� ��� ������ ���� � ���������� �� �% ��� ���� ����� ��� �� ����� � ��� ������ � � �������� �&��� ��� ����������� ������ ���� ���� �� �� ��� �������� � ������� ������ ��� ��� ��� ���� ���� ��� �% ��� � � ���� ���� �% �� ���� �� ��% � �� +�% �������� � ���� �� ��� ��� ��� �������� ������ �� � ��� ���� ���� ��

<$:< *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 11: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

��� � � �$ �� � ���� ������ �� �$ � � �!�

�� �� � �����( ������ �

��;D�

(��� � ��� � � � �� � �� �+& 2!�5% (�� � ��� ��������� � �$ ��� � �! ���� ���� ���� ���� � -����� !&!&

;'�' <��� "���� ��

��� ���� ��� �+���� 2�:5 �� ��� �������� � ������� ��� �� ������� ���

��

������

� �� �"$!"�$$$ ���"�$$$

�� ��!! "$!"�$$$

� �����

� �� �

�"$�"�$$$ ���!����$� �

� ����!H���!

� �� �� �$ � � �!�

��� �#$"�$$$ ��#!���$� �

�;#�

��

�� � � � �� �

��!� � �� �;<�

��

���� � �� � ���;; � � ��;D!������ �

���� � ���;D � � ��DD!������ �;:�

� �+& 2;#5 ��� ���� �� �� �� � ��� ���� �������&0� �������� � ������� ��� � ������ �� � � �$ ��� � � �! ��� �� ��� � ��� ����

�������$� �$�$� �������!

� �!�!� �D��

� �����$� �$$� � �����!

� �!!� �D$�

�!�����$� �$�$� �!�����!

� �!�!� �D!�(�� � �$% �!" $% !" �$% �! � � ��� ����% � ���� �����% ��� ���� ���������� �� ��� ��� � � ������& 0� ����� �+�� � � �+ �� $�!$ � !�!! ��� �$�$ � �!�!&��� ������ �� �+& 2;<5 (�� ��� ����� � �������� 2D$5 ��� 2D!5 � �

� � $�!$�� � !�!!��� !� � �$�$ � �!�!� �D���� ����

��� � $�!$��! � !�!!��

!� ��� � �$�$�� � �!�!��� �DH���� ����� ������ ���� ��� � ���� �� � ����� ���� ������ � ��� �����( ������ �� �� ������

������% �������� ����� ����� ����� ��� ���� ��& B��� ���� ��� �� ��� *��� � ���������� �� ������� �� � ��� ���&-����� �+& 2;:5 (�� �+& 2D�5% (� �����

����

� �� ��

� �� ��;;��� � !� ��;D��� � $���;D��� � $� ��DD��� �

!�!!�����$�

�!�!���

� �� �D;�

(�� � "� � � �� ���� �����������&��� ������������ �� ��� �� � � ������� �� �������� �+& 2D;5 � �+�& 2��5 ��� 2�H5% ����

����

� �� ���

��

� �� ��;;��� � !� ��;D��� � $���;D��� � $� ��DD��� �

!�!!�����$�

�!�!���

� �� �DD�

(�� � ��� �� ���� ������������ ���� ���� �������& ��� �� � �� � ��� �� ������ �� ��� �� ��� ������� (�� ��� � ���������� ����� ��� �� ������ ���� $����& ��� �� � �� � �� �� ������ (� ��� ��

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <$::

Page 12: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

��� � ����������& ��� ������������ �� �� ��� � ����� �� ���� ��� ��������� ���� � � ������ �� ������ ������ �������� �;D& ,� ��� ����� �� � ���� ���% � ����� �� ��� ���% � ��� ���% �;D � �% ���� � � ���������&��� �������� ������ �� �+& 2;#5 ������� �� ��� ���������� ������ ��� ��� �� ���� ������& ���

���������� ������ ��A�� ��� �� �

�� ��� �� � ����� �������� �

� �D#�-������� �+& 2D#5 � ��� ���������� �+���� �� �+& 2;#5 ����� � ������ �� ���������� ����� ��

�+�����& B���� ��� ������ ����� � ��� ���� ����� �� ��� ���)���� ��� � �+��� �� ?� �% � �� (����(� ������ ����

�$�!

�� ��;��� ��! � H�"!! � �"$!�"�$$$ �$�!� �D<�

� � �������& 4������������% (��� �! � H�"!! � �"$!�"�$$$ � �% ��� ���� � � �������& 7� � ��( ��"!$! � "$$"!! 2������ ��� �� �� ��� �� ������ ������ � ������ ��*���5% � � ��������� �������� ������� �+ �� : �� �� � ������� ���� &��� � �����(�

����

� ��

� ��$ ��!�"$��$�� �"!��!��

� ��$�!

� �� �D:�

(�� � �"$ � "$! � �$"$$% �"! � "$! � �!"$$% �$ ��� �! � � ����� ���� ��������� �� ��� ���� ���������&��� �� ���� ������ �� �+& 2;#5 �

����

� ��

� �"$�

"!���$

� �� �

"��!

"H���!

� �� ";�

"D���$

� �� "#�$��

"<���$��

� �� �#��

(�� �

"$"!

� �� $

��"$$ � "$!� � "$$ � "!!"$!"�$$$ � ��!� � � � $

"$� ��!! � �"$$ � "$!���!�� �

"�"H

� ��

��!H��"$$ � !"$!� � H"$$ � "!!

$!"$$ � "$!

� ��

";"D

� �� � �$

��"$$ � "$!� � "$$ � "!!#$�� � $� "$!"�$$$ � � �#!�#$ ��!! � �"$$ � "$!��#!

� ��

"#"<

� �� � �!

�� � $� ���$� ��"$$ � �"$! � "!!#$�� � $� �� "$!"�$$$ � � �#!#$ ��!! � ��$� ��"$$ � "$!��#!

� ��

6� ������� �+�& 2D:5 ��� 2#�5% ��� ������ ��� ����� � �������� 2D�5 �� ���� ��� ��� ����������$ ��� �!% (� �����

����

� �� ��$ ��!�"$��$���$ �"!��!���$

� ��$�!

� �� �

"$�"!��

� �� �

"��!

"H���$

� �� ";�

"D��

� �� "#�$��

"<����

� �� �#$�

(�� �

�$�!

� �� �"$��$���$

$ �"!��!���$$�"$��$���$

! �"!��!���$!

� ��$�$ � �"!��$ � �"H���$$ � "D��$ � "<����

$

�! � �"!��! � �"H���$! � "D��! � "<����!

� ��

<!�� *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 13: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

��� ��� ���� �� ����� � � ���� �� ��� � � � �� � �� �+& 2;;5 � (��� �+& 2#$5 � ��������%��

��

���

�� �� ��!��$���$���$ �!��!���!���$

����$���$���$ ����!���!���$

�H��$���$���$ �H��!���!���$

�� �� �$�!

� �� �

! � H

�� ���� � �� !� �� H

�� �����$ � �!���H

�� ���� � ��!�����H�� �������

�#!�(�� � ����� � "!� � �"$�% � � !% �% H"

! � H

�� �� ���!! �"$!��!� �"$���!H �"$H

�� �� "$"!

� ��

��!��������H�� ��� � !� �� H

�� �� ���!! �"$!��!� �"$���!H �"$H

�� �� "�"H

� ��

��!H���H��HH�� ���

�!���H

�� �� ���!! �"$!��!� �"$���!H �"$H

�� �� ";"D

� �� � �$

�#!�#��#H�� ��� ��!�����H

�� �� ���!! �"$!��!� �"$���!H �"$H

�� �� "#"<

� �� � �!

�#!�#��#H�� ���

K��� ��� ������ � ��� ����� ������� ��� ��������� ������� �� � .�A����A 2$:<$5% ������������ � � � � � �$ � � �! � � �� ���� "$ � "! � "� � "H � �& 0� �� � ���� ��� ���� ��% ��� ����������"$H � ��!H � ���H � �#H � � � ������& K�� ����� �������% ��� �� ��� ��� ���� ����A�� �� �� �� (�� �������� �� .�A����A �� ��� ����������� ������ ��� ��� ��� ��� ���� ��� � ��� �& ,� �� ������ ��� .�A����A �� ��� � ����� ��� ������ �� ��� ����������� � ������ ��� ������ �� ��� �� ��� ���� ������ ��� �� ��� ��� ��������&,� ����� �� ����� ���� ��� ����� ���� ����� � ��� ������� (���� ������� ���+��� ���� �� �� ���

�� +� �� ��� ����& ��� �������� � ���� ����� ��� �� ����� ������� � ��� �% �� ��� 8 ��� (& ,����� ��% � ��� � ������ �� ��� �� ?� � � ������������ ��� ������ �� � � ���� ������% � � ���� ������ ����� ���� ���� �� ��� �+�& 2!<5 ��� 2!:5 �� �+ �� ���� ��� �� ��� �������� �� ��� ���� ���� �� ������ �� �� ��� � �� +�& ��� ��� �������� 2��5 ��� 2�$5 � � ����*�� ��������� �� �������� � ���������& ,� � �� ���� ��� ������ � � ��� ����� ���� ����� ����� 2��� ���� � � � � �5% ��� �� ��� ������ �� ��� �� +� ��� �� ������ �� ��� ����&��� �� ����� ������ � ���� �� ��� �����������% ����� ����� ����� ��� �����( ������ ���

������ �� ���� ����� �� � �������% ��� � � ���� � ������% �� ���� �� �� ��� � �� +�& 6� ���������� � �$ � �! � � �� �������� �� �� ���� �� ��% �� � �$ � �! � � �� �� ��� �� � �� +�% ��� �� � �� � ��� ���� �������� � ���� ����� �� ��� ��� ��� ���� ��� � ��� �% ��� � �����(� ��� ������� �� �� �������� �����&,� � ���� �� ��( ���� ��������% �� ���% ��� ���� �������� � ���� ����� �� � ����� ����� ���

��� ��� ������ ��� ���& K��� ��� ����� ����� ����� ��� ������ � �������� �� �� ���� �� ��% ������� ��� ���� ���� �������� ��� ���� ���� ����� �� ���� (� ��� ��� �(����& K��� �������� ��� �� +�% � ������ ���� ��������% ���� ���� ����� �� (��� �� (� ��� ��� �(���� �� ��� � ����������&K��� �������� �� ��� ���% ���� ��� � ��� � ��� � ������ ����� �� � ������% ��� � ���������� (� ����� �(��� �� (���& 1����� �� �������� ��� �� ��� ���� ��� ��� � ��� ����������� ������ ��� ���� ���% � ����� ���� ��� ��� � ��� ��� ���� ���&K��� ������ � � � � �% ��� ������ ����� �� ���� �� � ���������� ������ & ,� ��� �� ���(� ����

(��� � ����������% ����� ����� ����� ��� ������ � �������� �� ��� ��� ��� ���� ��� � ��� � ��� � ���� ����� �� � ������% ��� ����� ���� �� ��� �� ��� � �� ��� ��� � ���� � �!!� �$$% �� � ��� ������ ��� ���������� ��� ��� ���� ��& ��� � ��� � � � �!! � �$$����� ������� �� ��� ����� ������ ��� ������� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��% ��� ������ � ��� � �� (��� �� ��� ���� ��� ��� ���& / ���� ������ (�� ���� ��� �� =� ��� ��� 7���� 2$::D5 � ��� ���� �� � ����������%����� ����� � ���� ��� ���� �� ��� ����� ��� �������& ��� ������ � �� � ���������� � ���� ���

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <!�$

Page 14: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

���� �� � ����������� �� ��� �� ����� � : ��� � ���� ��� ��� �& ��� ����� ���� ��� ������ ����� � ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� � ���� �� � 03 ������ &

;'&' .�� "���� ��

��� ������� �� �+�& 2;<5 ��� 2;:5 ���� ����*�� �+& 2!H5 � � � ��� ����% ���� ��� � ��� � �% ��� � � ��%� � � (��� �� ����� �� ���� ������������ �� ��������& ��� � ���� ����� ��� ���� ������������ ���� ���� ������ ��� �������� � ��� ����������� ������ � � �����

�� � ���� �� � ��� �#��

��� ���� ����������� ��� �� ��� � � ���� ���� �� ������ �+& 2;#5 (�� � �! � �% ������

����

� �� ��$ ��!�"$��$���$ �"!��!���$

� ��$�!

� �� �

"$�"!��

� �� �

"��!

"H���$

� �� ";�

"D��

� �� �#H�

(�� � �$ ��� �! � � ���� �� �+& 2D<5% �$ ��� �! � � ��������� �� �� ���� ����&��� ������ �� � ���� ������ ������ �� ������� � �� ���� �� ��� �����( ������ �� ������ �$ � �&

0� � ���� ������ ��� ������������ ��� �� ����� ��� ���� *��� �� � � �& ,� �����(� ���� ��� �� �� (��������� ��(� �� � ����� �� ������� � �� ��� ������& ������� �+& 2D<5% (� *�� ���� ����!� �������! � � � $� � � ��(��� ������� �� �� �& =���� (� ��� ��� �! � �& 6� ���� ���� �$ � �� �������� � ������� �������!

� �!% ��� ���� ����������� ��� �� ��� � � ���� �� ��

����

� �� �$

��$�"$��$���$

� �� �

"$�"!��

� �� �

"��!

"H���$

� �� ";�

"D��

� �� �#;�

(�� � �$ � ��! � �"!��! � �"H���$! � "D��!����"$��$���$! �&

��� ��� ���� �� ����� � �

��

��

���

�� �� � �$�!��$�����$��H��$�

�� ����$���$ � � ! � H

�� ���� � �� !� �� H

�� �����$ � �!���H

�� ����� �#D�

(�� � ��� �������� � � ��� ���� �� ��*��� � �+& 2#!5& ��� ��������� � ��� � � � ���� ���� �� ��� �+�&2!<5 ��� 2!:5&/� � � �����( ������ % ��������% �� ��� ��� ���� �������� � ���� ����� ��� ���& ,� �+�& 2#;5 ���

2#D5 ��� �� �� �� �� ��� ���$ � � ��� �� ��� �� �� ��� ������� ����� �� � ���� ����� �� � ������% ������ �� �� ��� � �� +�% ���� � � ��(��� *��� �� �� �& ��� �� �� �� ��$ ��� ��$���$ � � ��� �� ��� �� ������ ��� � ��� �% ���� � � *��� (��� �$ � � � $� �& / ����� ������ � ��� (��� �$ � � � $ � �" ����� ��� � �������� �� � � �& -�� ���� ����� ���� ��� ��� � � ���������� ��� ��� ������ & /� � (���A��(�% (��� � ����������% ��� ��� ���� ������ � �������� �� ���� ��� � ��� � �% ��� �� ��� *��� ���� � (�� ��� ���� ��� ���� �� ����� �+�� �� � ��� �(�� �" (�� ��� � ��� ������ (�� � �� ���� �������� ���� �� ��� ��� � �� ��� ����� ��� ��� ��� ���� �� !�& 0� �� �����������% ����� ���������� ��� ������ � ��� �� ���(� ���� �$ � � � $ � � � �� �$� "!!"�$$$ ���$� "$!"�$$$ �& ��� ������� ���(��� ����*�� � ��� ���� �� �� ����������� ��� ��� ������ ���� "!! � "$$ � "$! ��� � � �& ���%�� �� ��� ����� ��� � �� � �� ����������� ��� ��� ������ & K��� ��� ���� �� � ����� ���������� ���% ��� ������� � ��� ��(��� ����*�� �� ��� ������ ���������& -� ��� ����� ��� �� ��� � ��(��� "!!�"$$� $% �� (��� "!!�"$$ � $% ��� ���� ��� � ��� � ���� �� �� �� ��� ����� ��� �� � � � �� �� ��� 03 ������ � � (��� � � �$� "!!"�$$$ ���$� "$!"�$$$ �&

<!�! *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 15: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

# � ��� ��������� !�� �������$ ����� ���

K��� ��� ������ � ������ �� � �������� ����� ������� � ���� ��� $����% ��� ���� ���� �� ����������� � ���� �� �� � � ���! � ��� ���� � �����% (�� � � � ���� � ��� ������ ��������� ���������� �� ��� ���� ��&,��� ��� �� � � �+& 2�:5 ����

��

��

����

� �� �"$!"�$$$ ���"�$$$

�� ��!! "$!"�$$$

� ����

� �� �

�"$�"�$$$ ���!����$�

� ����!H���!

� �� �� �$ � � �!�

��� �#$"�$$$ ��#!���$�

� �!�

�����!� �

� �##�

�� � �����( ������ & ��� ���� �+����� � � ��� ���� �� �+�& 2;<5 ��� 2;:5& ,� � ����� ���(� ���� ���������� �� �+�& 2;<5 ��� 2;:5 ����� (�� ��� � ������� �� ����� � �������� � � � ��� ����% ������ ���� � ��� � � � � � �& ���% ��� � ���� ����� ��� ���� ������������ � ��� ������ ������ � � �����

�� � ���� �� � ��� �#<���� ���������� ������ �� �+& 2##5 � ��� ���� �� �+& 2D:5& ,� ������ �� ��� �� ���� ������ 2#�5%

��� ��� �� �� ��� ���� ���� �� �� ��� �� ������� �� � ����*� �� ���� �� ��� ���� ������& -��������� � ���

% (�� � �� � � ���� ������ ��������% � � ��� ���� & ��� �������� �� ���� ������ �

����

� ��

� �$���!� �!��

�!���!� �!

� �� �#:�

(�� � �$ � "�$$$ ��% �! � � � !� � � "$!"�$$$ ���% � � �"!! � �"$!�"�$$$ � � � !�� � !� ��&,� �����(� � �� ��� �������� ������ �� �+& 2##5 ����

����

� �� ��$ ��!�"$��$���$ �"!��!���$

� ��$�!

� �� �

"$�"!��

� �� �

"��!

"H���$

� �� ";�

"D��

� �� "#�$��

"<����

� �� �$���

!� �!��

�!���!� �$

� ��

�<��(�� � �$ ��� �! � � ����� ���� ���������&0� � �����( ������ ��� ����� � �������� � �

�������$� �� �������!

� �� �<$�,������ �+& 2<$5 �� �+& 2<�5 �����

�$�!

� �� � �"$��$�$$ �"!��!�$$�"$��$�$! �"!��!�$!

� ��$�!���

!� �$��$ � �"! � �"H�$ � "D � "<���

$

�!���!� �$��! � �"! � �"H�! � "D � "<���

!

� �� �<!�

��� ��� ���� �� ����� � �

��

��

���

�� �� ��!��$���$���$ �!��!���!���$

����$���$���$ ����!���!���$

�H��$���$���$ �H��!���!���$

�� �� �$�!

� �� �

! � H

�� ���� � �� !� �� H

�� �����$ � �!���H

�� �����

��!�����H�� ������ � ���

!

��!�����H�� ��� �$� �<��

(�� � ��� � �$ ��!� � �!"$�"�$$$ % ��� ���� �������� � � ��� ���� �� ��*��� � �+& 2#!5& ��� ��������� � ��� �� � ���� ���� �� ��� �+�& 2!<5 ��� 2!:5 (�� �� � �� � �&

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <!��

Page 16: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

0� � ���� ������ ��� ������������ ��� �� ����� ��� ���� *��� �� � � �& =���� (� ��� ��� �! � �� � �� �� ������ ��� �� �� (�� ������� ��(� �� � � �� ��� ������& 6� ���� ���� �$ ��� �������� � ������� �������!

� �% (� �����

����

� �� �$

��$�"$��$���$

� �� "$�

"!��

� �� �$���

!� �!��

�!���!� �$

� �� �<H�

(�� � �$ � ��"�$$ ��!���!� �$! � "!��!���$���$

! &��� ��� ���� �� ����� �� � ���� ������ � �

��

��

���

�� �� � �$�!��$�����$��H��$�

�� ����$���$ � � ! � H

�� ���� � �� !� �� H

�� �����$ � �!���H

�� ���� � ���!

��!�����H�� ��� �$� �<;�

� (��� ��� ��������� � ��� � � � ���� ���� �� ��� �+�& 2!<5 ��� 2!:5 (�� �� � �� � �&��� ������ ������� ���� �� ��� ��� (� ��� �� (��� �� �������� ��� ���� �������� ��� � ���

������ ������ �� � ����� ����� ����� ��� ���� ��& ,� ��� ���� �� � ���� ���% � ����� �� ��� ��� � ��� ���% �� ��� ��� (� ��� �� ��� ��� &,� ��� �� ���(� ���� ��� ����� ���� ��� ���� �� ����� ���� ���� �� ��� ��� �� ��� ��� � ���� ��

�� ����������� �����( ������ % � �� ��� ����� �� �� ����������� ���� ������ % � ���� ��� �� ������������� ��� ��� ���� ��& -��� �������� ��� ���� ������ �� =� ��� ��� 1��� 2$:::5 �� ������������� ��� ��� ������ ������ & ��� ������� �� ��� ����� ���� ��� ���� �� ��� ��������� ��� ���% ��� ������ �����% ��� ���� ������ ��� ���� �� (��� �� ��� ���� �� � ��� ��� �� ��������� & ��� ���� �� ��� ��� � ����?� � � � ����� ����� ����� ��� ������ ������ & ,� ������� � ������� �� � ���� ���% � ����� �� ��� ��� � ��� ���&

% &������

��� �� ����� ������� � ����� � ��������� ��� ���� � ��� ����� ����� ������ �� 03 ����� ��������� � �������� �� ��� ����������� ������& ��� ���� �� ������ � ��� ����� � � ��� � �� �& ������������ ���� ���� ������� �� ��(� ��( �� ����� �� ��� ��� �������� ��������� �� ��� ������ ��� ��������% �� ���% ���� ��% � ��� �� ��� ����� �� � �������&1����� ����� �� ���� �� ���� (� ��� � ��� ���� � � � � �� & ��� ��(� ��( ���������� �� ���

���� �� ������ ��� ��� �� ������& ��� ����������� � ��� 034 � � ����� ������ � ����� ������ ������� ����� �� ��� ��������� ���� ���& ��� ������ ��������� �� � 034 � � ��� �������� �� ���������� �� ����� �� � ���������� ���� ��& ��� ��� ��� ��� � ��� �� �� ���� �� � 034& /����% ��� ���������� �� ��� ������ ���� �� ��� ������ ��� ��� �� ������������ ������& ,� ��� ��� �% � � �������� �� ������� ��� �8����� � ��� ��� �� ��� 034 � �� �� �� ��� � ��� ���% ������ ����� ��� ������ ��� ���� �� �� ���������� �� �������� ��� �������� �� ��� 034 � ��� ���� ����&,� ���� ��� ���� �� � ��� ��� �� � 03 ������ � � ������ ��������� �� �� ��� �� � ���� ��� �� �

��(� ��( ��� ����% ��� ������� � � ��� ������� � ������ �� �8� ����� �+����� (�� ����=�����)����� (��� � ��� ���� �� ���� (�� �����������& /� ����� ������ � �� �� ��� +�����& 6�� ���� � �� ��� ��� ������& /� ��������� �� (� A�� � ��� ����� ����� � ���(� A � ���� ��� ����� �+����� � ������ � ���� ������ �� * ���� �� � ��� � �8� ����� �+����� � ��� ��� �������& @�� � � ��� ����� �������� ��� ����� ������ ��� ����� �� � � �(� ���� ����� � ���� � ����� ���� �+ �������� ���� �� � �8� � �� ����� ���� ���� �� ���� ���� � ����� 29 ��� �� ��&% $::!5& ��� � � � �� A��(�

<!�H *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5

Page 17: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

���� ���� (��� � � � �� ����� �������� ��� ��� ������ �� � �(� ���� ����� � ���� � �����&��� 0 ����� ������ �� ��(� �� �� ��� �� ��������% �� ��� ������ � ����� ��� ����� ����� �� �����(� �� �� ������ � �)��� �� ������& /� ���� ����� (�� �� ������ (�� � ���� �� ���� �� ��������������� 034 � �� ����� ��� ����������� ������ �� � ������ ������� �� ������ �������� ��*����� ���� � �� �8� ��� ���� ���& ���� ��� � ����� ��� �� � ����� �� ��� ����� ����� ��� ���� ���������� (�� ��� � ����� ��� � 2�� � ��� K���% !��$�%�5& ��� ��� ���� � �8����� � ��� ��������������� �� ������� �� ����� ��� ������ �& ,� �+ �� ���� ��������� ��� � ��� ���� (���� ��� ���� � ���� (�� � �������& ,� �������% ��� ������� � �� ��� ������ ������������� ��� ����������� ��� � ��� ��� �� ��� 034 �� ����(�� �������� �������& ��� ��� ��� �� ��� ��� ������� ���� ���� ������� �� ��� ���� �� *����� ���� � ��A��% �� (����� ��� ���� � �� �� � ����� � ��� ����� � �����&K��� ��� ������ � �������� �� ������ ������� �� ��� ����% ��� ���� ����� ��� �� ��� ��� ��

�� ��� � �� ��� � � $ �� �� � ��� ������� 0� � �� �� 2�#5& ��� ���� ��� �+����� 2H�5 ��� 2H$5���� �� �� ������ ����� (�� ��� � ������� �� � ���� ����� � �������� ��� ��� ��� �������� ���� �+ � ���� ��� �� ��� �������� ��� ��� � ���������� ���� �� ��� � ��� ��� ������ �������& ������� ��� ����� ������ �� ��� ������ � ����� � � ������� � �� ���� ��� ��� �� ���� �� �+& 2H;5 ������� �� ��& ��� � ����� ���� ��� ����� �� ���� �)��� �����������& ,� ��� � ��������% � ��������� �� ���� ��� ��� ���� ��� ����� ��� ���� �� � �� ��� �������&��� � ����� ������� ���� ���� ������� �� ��� ���� �� ������� � � ������ �� ��� ����������& ���

��� ���� ��� �� �������� �� � ������ ��� ��� �� ��� ������� ��� �� � ���� �� � ������ �� ��������� ����������& �������� ����� � � � ����� ��� (��&

��'��(�� $������

��� (� A � ���� ��� �� ��� B������ -����� 1���� �� �61 �� ��� � ��� B-1 :��!!$$����D��D�&

�""�� � �

��� �������� ��� � �+�& 2�:5C2H!5 � � ��*��� ��

��� � ��"$� � �� ��� ��� � ��!� � �� ��

� ��� � ��!H � �� ��

��� � #$"�$$$ � �� ��

� ��� � ��#! � �� ��

� � � � �� ���

��;; ��;D��;D ��DD� �

� $�

"DD �";D�";D ";;

� �� � � ";;"DD � "!;D�

�"�� � "��"�$$$ � �#� � #� � #$�"$�� ���� � "�� � "$��"$����$ �

��"$! � �� $ �� � �

�� ��� ��! �"�$$$ � �� ��;; ��;D� ��;D ��DD

�� ��� ��� ���!! � �� � �� � �

�� �����$ � ���� ��$ � ���� ��$ � ��!� ���!� ����H� ��

��$ � ��#! �#! �#H� ��� �$! � ��!�

*'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5 <!�;

Page 18: Exact solutions for functionally graded anisotropic cylinders subjected to thermal and mechanical loads

�$$ ���"$! ��"$! ��"$H� $ �� � �

�� ��� �$� � ��

$� ���!! ��!! ��!H

���!! ��!! ��!H���!H ��!H ��HH

�� ���

��� � ���� ��� � ��#! ��#! ��#H� ��� ��! � ��!�

��$ ���"$! ���"$! ���"$H�� $ �� � �

�� ��� ��� � ��

�� ���!! ���!! ���!H

����!! �! ��!! �! ��!H����!H �! ��!H �! ��HH

�� ���

��!�������

7����% 7&/&% K��� % �&=&% $:D�& ���� � �� ��� ��� -� �����& K���% B�( @� A&

1� ���(% =&-&% ����� % �&1&% $:;:& 1������� �� =��� � -����& 1�� ����� 9 ���% 6��� �&

1� �������% �&4&% $::H& 9 ��� ��� �� �� ��� *�� �& �� ��� �� ��� 4������� ��� 9����� �� -���� H!% D<$CD:;&

��������% 4&-&% ��������% 3&% -��� �% M&% -���% ,&.&% 3����� �% =&/&% $:<<& 3 ����� 0�� � ��� 0�������& -� ��� % 7� ��&

=� ���% 1&6&% 7���� % -&1&% $::D& �8���� �� � ����� ����� ��� �� ������ ������ � �� ����� � ����� ��� ���� ������ �����&

�� ��� �� �������� H!% �$CH<&

=� ���% 1&6&% 1���% /&4&% $::<& �� ��� �� ���������� � ���� ��� ��� ���� �� ������ �� �& �� ��� �� �������� ;!% $<$C$::&

=� ���% 1&6&% 1���% /&4&% $:::& -� ��� ������� �� ���������� � ���� ��� ��� ���� �� ������ ������ ��A�& �� ��� �� ��������

;;% !$:C!��&

.�A����A% -&3&% $:<$& ���� � �� �������� �� �� /���� ��� 7���& 4 % 4����(&

4��% 4&/&% -����� % /&�&4&% $::<& ����� ������� �� ���������� � ���� ��� �������� ������ ���� ���& �� ��� �� ��� 4�������

��� 9����� �� -���� HD% !!<�C!!:;&

B����% �&1&% 0� � % 4&% $:::& 4� ��� �� �� ����?���� �� � ���������� � ���� � ����� ���� ��� ��� ���� & 4������� ��

4��� ��� �$% D�#CD;$&

B�(��A% K&% $:#;& ����� 9 ������ �� ��� ����������& B�� ���8% .�����% ��� B���� �����&

B�(��A% K&% $:<D& ��� ����������% ������ ��& 9� ����� 9 ���% 6��� �&�6?�A% 4&B&% $::�& =��� 1�������& K���% B�( @� A&

9 ���% K&=&% ��A���A�% -&/&% N���� ���% K&�&% 0����� �% 7&9&% $::!& B�� ��� ������ � 1% ������ ��& 1��� ��� L��� ��� 9 ���%

1��� ���&

������% 0&% 0� � % 4&% !��$& ������% ������% ��� '�� � �� ���������� � ���� ������ �& ,��� ������� �� ��� �� -���� ���

-� �� �� �<% H$�CH!$&

�����(�% @&% $::;& -��� ���� ��� �������� � ������ �� ������������� �� �� �� ���� ���& /-4� /����� 4������� ����(

H<% !<#C���&

�� �% �&�&% K���% @&4&% !��$�& .������� �������� ���� ��� ��������% �� ���% ������% ���� �� ��� � ��� ��F � ����� �����

��� ����& ,��� ������� �� ��� �� -���� ��� -� �� ��% � � ���&

�� �% �&�&% K���% @&4&% !��$�& =��� ������� ��� ��� ��� �� ��� ������� �� �������� �������� ����& ,��� ������� �� ��� ��

-���� ��� -� �� ��% ������� �� ��������&

@���% @&@&% !���& ������������� �� ��� ������� � ���������� � ���� ���� ���& ,��� ������� �� ��� �� -���� ��� -� �� �� �#%

#;:�C#D�<&

>��� ���% �&K&% .�?% 4&9&% $:::& ��� ��� �� ����� ��� ��� ��� �������� � � ��� ��� ������ ���������� � ���� ������ &

�� ��� �� ��� ��� -� ����� !!% $##C$<<&

<!�D *'#+' ���� , -����������� *����� .�� � �� .���"����� /0 1&���2 0�0340&�5


Recommended