STA TD05 - Actions mรฉcaniques - Corrigรฉ 18/06/2022 1/25
TD05 ACTIONS MECANIQUES CORRECTION
Exercice 1 : SOLIDE SOUMIS A DEUX GLISSEURS
Question 1 : Dรฉmontrer qu'un solide soumis ร deux forces en รฉquilibre ร nรฉcessairement ses forces extรฉrieures de mรชme direction, de mรชme norme et de sens opposรฉ.
Soit un solide S ร lโรฉquilibre, soumis ร 2 forces.
On isole ๐.
On fait l'Inventaire des Actions Mรฉcaniques Extรฉrieures.
F =1โ๐ ๐ด{๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐
0โ =๐ต{
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐
๐ต๐ดโโโโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐ et F =2โ๐ ๐ต
{๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ๐
0โ
car ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ๐(๐ต) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ๐(๐ด) + ๐ต๐ดโโโโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐
On applique le Principe Fondamental de la Statique en B.
F +1โ๐ F =2โ๐ 0
โน๐ต{๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐ + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ๐ = 0โ
๐ต๐ดโโโโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐ = 0โ โ ๐ 1โโโโ et ๐ 2โโ โโ sont de mรชme direction, de mรชme norme et sens contraire
โ les deux droites dโฒactions sont identiquent et passent par (AB)
donc F =1โ๐ โ F =2โ๐ ๐ด{๐น ๐ฅ
0โ il n'y a plus qu'une inconnue, l'intensitรฉ de la force.
Question 2 : Etudier l'รฉquilibre d'un vรฉrin.
On isole ๐ = {๐ก๐๐๐, ๐๐๐๐๐ }.
Le vรฉrin V est montรฉ entre 2 liaisons sphรฉrique, en A et B.
On fait le BAME :
Hypothรจse : on nรฉglige lโaction de la pesanteur sur le vรฉrin.
F =1โ๐ ๐ด{๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐
0โ
F =2โ๐ ๐ต{๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ๐
0โ
On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en B ร V, et on en dรฉduit :
F =1โ๐ โ F =2โ๐ ๐ด{๐น ๏ฟฝโ๏ฟฝ
0โ
Question 3 : Quels autres systรจmes matรฉriels peut-on rencontrer qui sont soumis ร deux glisseurs ?
Une bouรฉe
Une bielle dont on a nรฉgligรฉ la masse
Un vรฉrin dont on a nรฉgligรฉ la masse
Une roue avant de voiture non motorisรฉe
...
Question 4 : Que se passe-t-il pour un solide en รฉquilibre soumis ร trois forces ?
Si un solide est en รฉquilibre et est soumis ร 3 forces, alors ces forces sont coplanaires et de somme nul, de plus elles sont concourantes en un mรชme point ou parallรจles et la somme des moments est nulle.
๐ฅ
๐ +
๐ด
+
๐ต
๐ฆ
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ๐
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ๐
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Exercice 2 : BALANCE ROMAINE
Question 1 : Dรฉterminer ๐น(๐๐๐ โ 1) et les actions de liaisons ๐0โ1, ๐0โ1 uniquement en fonction de ๐น(๐๐๐ โ 1) a et b.
Etape 1 :
Etape 2 :
On isole 1.
Etape 3 :
On fait le BAME :
F =๐๐๐โ1 ๐ด{โ๐น๐๐๐โ1๐ฆ
0โ =๐{โ๐น๐๐๐โ1๐ฆ
๐๐น๐๐๐โ1๐ง
F =๐๐๐ โ1 ๐ต{โ๐น๐๐๐ โ1๐ฆ
0โ =๐{โ๐น๐๐๐ โ1๐ฆ
โ๐๐น๐๐๐ โ1๐ง
F =๐ก๐๐โ1 ๐{โ๐๐ ๐ฆ
0โ
F =0โ1 ๐{๐0โ1๐ฅ + ๐0โ1๐ฆ + ๐0โ1๐ง
๐ฟ0โ1๐ฅ +๐0โ1๐ฆ + 0โ
Etape 4 :
On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en O :
F +๐๐๐โ1 F +๐๐๐ โ1 F +๐ก๐๐โ1 F =0โ1 0
โ๐{โ๐น๐๐ฅ๐ก1โ1๐ฆ
๐๐น๐๐ฅ๐ก1โ1๐ง +๐{โ๐น๐๐ฅ๐ก2โ1๐ฆ
โ๐๐น๐๐ฅ๐ก2โ1๐ง +๐{โ๐๐ ๐ฆ
0โ +๐{๐0โ1๐ฅ + ๐0โ1๐ฆ + ๐0โ1๐ง
๐ฟ0โ1๐ฅ + ๐0โ1๐ฆ + 0โ = 0
โ
{
๐0โ1 = 0โ๐น๐๐๐โ1 โ ๐น๐๐๐ โ1 โ๐๐ + ๐0โ1 = 0
๐0โ1 = 0๐ฟ0โ1 = 0๐0โ1 = 0
๐๐น๐๐๐โ1 โ ๐๐น๐๐๐ โ1 = 0
๐น๐๐๐โ1 =๐
๐๐น๐๐๐ โ1 =
0,4
0,120 = 80๐
Remarque : La balanรงoire est ร lโรฉquilibre verticalement, toutes les forces verticales se compensent, la balanรงoire nโaccรฉlรจre pas verticalement.
Remarque : La balanรงoire est ร lโรฉquilibre en rotation, toutes les forces font autant tourner dans le sens positif que dans le sens nรฉgatif, la balanรงoire nโaccรฉlรจre pas en rotation. La somme des moments est nulle.
Exercice 3 : SYSTEME DE POSE RAPIDE DE TRAVURES
Remarque : Un camion militaire peut peser 20-50 tonnes, on utilise des poutres en acier avec une section en I pour rรฉsister au flรฉchissement.
Question 1 : Rรฉaliser le graphe dโanalyse de ce systรจme.
Remarque : dans un exercice de statique ou de dynamique, on commence toujours par tracer un graphe de structure, ce nโest pas demandรฉ dans lโรฉnoncรฉe du sujet de concours.
Pivot (๐, ๐ง )
0
1 ๐น ๐๐๐โ1
๐น ๐๐๐ โ1
๐๐ ๐ selon ๐ฅ
๐๐ ๐ selon ๐ฆ
๐๐ ๐ selon ๐ง
๐๐๐ autour de (๐, ๐ฅ )
๐๐๐ autour de (๐, ๐ฆ )
๐๐๐ autour de (๐, ๐ง )
Pivot (๐, ๐ง )
0
๐2๐ ๐1๐
Glissiรจre ๐ฅ 1
Vรฉrin basculeur ๐น 1 Vรฉrin lanceur ๐น 2
1
2
๐น ๐ก๐๐โ1
Exemple de notation concours :
La question compte pour 10/200
2 points pour lโisolement
2 points pour le BAME
2 points pour lโexpression littรฉrale
2 points pour citer le thรฉorรจme ou le principe
2 points pour le rรฉsultat avec unitรฉ et conclusion
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Question 2 : Choisir lโisolement qui permettra, par application du principe fondamental de la statique, de dรฉterminer lโexpression de ๐น2 permettant de maintenir lโensemble (2) en รฉquilibre statique par rapport au basculeur (1). Faire lโinventaire, sous forme de torseurs, des actions mรฉcaniques extรฉrieures ร cet isolement
Remarque : On isole lโextrรฉmitรฉ de la chaรฎne ouverte en conservant lโactionneur ร dimensionner comme action extรฉrieure.
On isole 2.
On fait le BAME :
F =๐บ2
๐ก๐๐โ2 {โ๐2๐๐ฆ
0โ
F =๐บ2
1โ2๐ฃรฉ๐ {
๐น2๐ฅ 1
0โ
F =โ๐1โ2 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2(๐) telle que ๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2 โ ๐ฅ 1 = 0 ou F =
โ๐1โ2 {0โ + ๐1โ2๐ฆ 1 + ๐1โ2๐ง 1
๐ฟ1โ2๐ฅ 1 +๐1โ2๐ฆ 1 + ๐1โ2๐ง 1
Question 3 : Aprรจs avoir choisi lโรฉquation du principe fondamental de la statique qui sera utilisรฉe, reprรฉsenter sur le schรฉma ci-dessous (flรจches pour les forces rรฉsultantes et arcs de cercle orientรฉs pour les moments de force rรฉsultante) les actions mรฉcaniques utilisรฉes dans son application.
On applique le Thรฉorรจme de la Rรฉsultante Statique (TRS) en projection ๐ฅ 1 ร 2.
Question 4 : Dรฉterminer lโexpression de ๐น2 permettant de maintenir lโensemble 2 en รฉquilibre statique par rapport au basculeur 1. En dรฉduire les valeurs maximale et minimale de ๐น2 lors dโune phase de dรฉpose.
On applique le Thรฉorรจme de la Rรฉsultante Statique (TRS) en projection sur ๐ฅ 1
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2ฬโ2 โ ๐ฅ 1 = 0
โ โ๐2๐๐ฆ โ ๐ฅ 1 + ๐น2๐ฅ 1 โ ๐ฅ 1 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2 โ ๐ฅ 1 = 0
โ ๐น2 = ๐2๐โ ๐๐๐ (๐
2โ ๐ผ)
โ ๐น2 = ๐2๐ ๐ ๐๐ ๐ผ
Le vรฉrin devra donc fournir un effort de plus en plus important lorsque ๐ผ augmente.
Pour ๐ผ = 0ยฐ, ๐น2 = 0 ๐
Pour ๐ผ = 10ยฐ, ๐น2 โ 18800.9,81 ๐ ๐๐ 10ยฐ โ 32025 ๐ โ 32 ๐๐
Question 5 : Choisir lโisolement qui permettra, par application du principe fondamental de la statique, de dรฉterminer lโexpression de ๐น1 permettant dโassurer la phase de dรฉpose. Faire lโinventaire, sous forme de torseurs, des actions mรฉcaniques extรฉrieures ร cet isolement.
On isole {1,2}.
Remarque : dans une chaรฎne ouverte, on fait des isolements depuis lโextรฉrieur.
On fait le BAME :
F =๐บ1
๐ก๐๐โ1 {โ๐1๐๐ฆ
0โ
F =๐บ2
๐ก๐๐โ2 {โ๐2๐๐ฆ
0โ
F =๐ต0โ1
๐ฃรฉ๐ {๐น1๐ฅ 1
0โ
F =๐0โ1 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ1
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1(๐) avec ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1(๐) โ ๐ง = 0
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Question 6 : Aprรจs avoir choisi lโรฉquation du principe fondamental de la statique qui sera utilisรฉe, reprรฉsenter sur le schรฉma ci-dessous (flรจches pour les forces rรฉsultantes et arcs de cercle orientรฉs pour les moments de force rรฉsultante) les actions mรฉcaniques utilisรฉes dans son application.
On applique donc le Thรฉorรจme du Moment Statique (TMS) en O en projection sur ๐ง .
Question 7 : Dรฉterminer lโexpression de ๐น1 permettant dโassurer la phase de dรฉpose. En dรฉduire les valeurs maximale et minimale de ๐น1 lors de cette phase.
Le Thรฉorรจme du Moment Statique (TMS) en O en projection sur ๐ง :
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1+2โ1+2(๐) โ ๐ง = 0
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ1(๐) โ ๐ง + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ2(๐) โ ๐ง + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0๐ฃรฉ๐โ 1(๐) โ ๐ง + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1(๐) โ ๐ง = 0
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ1(๐) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ1(๐บ1) + ๐๐บ1โโ โโ โโ โ โง โ๐1๐๐ฆ = (โ๐๐ฅ 1 + ๐๐ฆ 1) โง โ๐1๐๐ฆ = ๐1๐๐ ๐๐๐ ๐ผ ๐ง + ๐1๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ ๐ง
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ2(๐) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ2(๐บ2) + ๐๐บ2โโ โโ โโ โโ โง โ๐2๐๐ฆ = (โ๐ฅ๐ฅ 1 + ๐๐ฆ 1) โง โ๐2๐๐ฆ = ๐2๐๐ฅ ๐๐๐ ๐ผ ๐ง + ๐2๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ ๐ง
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0๐ฃรฉ๐โ 1(๐) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ
0๐ฃรฉ๐โ 1(๐ต) + ๐๐ตโโ โโ โ โง ๐น1๐ฅ 1 = (๐๐ฅ 1 + ๐๐ฆ 1) โง ๐น1๐ฅ 1 = ๐๐น1๐ง
Remarque : Un moment est de la forme ยฑ force ร distance. On peut vรฉrifier ce rรฉsultat sur le schรฉma en regardant la distance normale entre la droite dโaction et le point, ainsi que le signe avec le sens dans lequel la force fait tourner.
โ ๐2๐โ(๐ฅ ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ ๐๐ ๐ผ) + ๐1๐โ(๐ ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ ๐๐ ๐ผ) + ๐๐น1 = 0
โ ๐น1 =โ1
๐(๐2๐โ(๐ฅ ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ ๐๐ ๐ผ) + ๐1๐โ(๐ ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ ๐๐ ๐ผ))
La force ๐น1 est nรฉgative, correspondant ร une rรฉsultante suivant โ๐ฆ 1.
Pour ๐ผ = 0ยฐ, ๐น1 โโ1
2(18800.9,81โ(8) + 7500.9,81โ(0,3)) โ โ748 ๐๐
Pour ๐ผ = 10ยฐ, ๐น1 โโ1
2(18800.9,81โ(8 ๐๐๐ 10ยฐ + 0,2 ๐ ๐๐ 10ยฐ) + 7500.9,81โ(0,3 ๐๐๐ 10ยฐ + 0,2 ๐ ๐๐ 10ยฐ)) โ โ742 k๐
Question 8 : Dรฉterminer lโexpression de ๐ถ๐ permettant dโassurer la phase de dรฉpose. En dรฉduire les valeurs maximale et minimale de ๐ถ๐ lors de cette phase
F =๐0โ1
๐๐๐ก { 0โ
๐ถ๐๐ง
Mรชme dรฉmarche, on applique le TMS en O en projection sur ๐ง .
๐ถ๐ = โ(๐2๐โ(๐ฅ ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ ๐๐ ๐ผ) +๐1๐โ(๐ ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ ๐๐ ๐ผ)) โ โ(18800.9,81โ(8) + 7500.9,81โ(0,3)) โ โ1480 ๐๐๐
Pivot (๐, ๐ง )
0
๐2๐ ๐1๐
Glissiรจre ๐ฅ 1
Moteur ๐ถ ๐ Vรฉrin lanceur ๐น 2
1
2
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Lorsquโune valeur de force est trรจs importante, on peut choisir un vรฉrin car il est facile de mettre une grande section, une grande pression hydraulique et une grande distance pour le moment.
Lorsquโune valeur de couple est trรจs importante, il nโest en revanche pas pertinent de choisir un moteur car le rรฉducteur serait trop encombrant et trop couteux, ร moins dโavoir la place de mettre une grande couronne comme dans certaines grues.
Exercice 4 : ECHELLE EPAS
Question 1 : Rรฉaliser le graphe dโanalyse de ce systรจme. Dans notre รฉtude, on cherche ร dรฉterminer, entre autres, lโeffort que doit fournir le vรฉrin de dressage. On le fera donc apparaitre uniquement sous la forme dโune action mรฉcanique et non pas comme un ensemble de solides {๐ก๐๐๐ 5 , ๐๐๐๐๐ 4}.
Question 2 : Dรฉterminer le couple ๐ถ3โ6 qui doit รชtre fourni afin de garder le systรจme en รฉquilibre.
On isole 6.
On fait le BAME :
F =๐บ๐ก๐๐โ6 {โ๐๐๐ฆ 1
0โ
F =๐ท3โ6
๐๐๐ก { 0โ
๐ถ3โ6๐ง 1
F =๐ท3โ6 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 3โ6
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3โ6(๐ท) avec ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3โ6(๐ท). ๐ง 1 = 0
On applique le Thรฉorรจme du Moment Statique (TMS) en D en projection sur ๐ง 1.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 6โ6(๐ท) โ ๐ง 1 = 0
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ6(๐ท) โ ๐ง 1 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3๐๐๐กโ 6
(๐ท) โ ๐ง 1 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3โ6(๐ท) โ ๐ง 1 = 0
โ โ๐โ๐๐ + ๐ถ3โ6 + 0 = 0
โ ๐ถ3โ6 = ๐๐๐
Le couple ๐ถ3โ6 est positif, correspondant ร un couple dans le sens direct +๐ง 1.
AN : ๐ถ3โ6 = 2650 ๐๐
Question 3 : Dรฉterminer la force ๐น2โ3 qui doit รชtre fournie afin de garder le systรจme en รฉquilibre.
On isole {3,6}.
On fait le BAME :
F =๐บ๐ก๐๐โ6 {โ๐๐๐ฆ 1
0โ
F =๐ท2โ3
๐๐๐ก {๐น2โ3๐ฅ 2
0โ
F =๐ท2โ3 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ3(๐ท) avec ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3. ๐ฅ 2 = 0
Pivot dโaxe (๐, ๐ฆ 0) 0
โ๐๐๐ฆ 1
Moteur C3โ6 Moteur
linรฉaire
Vรฉrin de dressage
Moteur
Pivot dโaxe (๐ด, ๐ง 1)
Glissiรจre de direction ๐ฅ 2
Pivot dโaxe (๐ท, ๐ง 1)
1
3
0
2
6
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On applique le Thรฉorรจme de la Rรฉsultante Statique en projection sur ๐ฅ 2
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2+3โ2+3 โ ๐ฅ 2 = 0
โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ6 โ ๐ฅ 2 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2๐๐๐กโ 3
โ ๐ฅ 2 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3 โ ๐ฅ 2 = 0
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐ โ6 โ ๐ฅ 2 = โ๐๐โ๐ฆ 1 โ ๐ฅ 2 = โ๐๐โ ๐๐๐ (๐
2โ ๐) = โ๐๐ ๐ ๐๐ ๐
โ โ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ + ๐น2โ3 + 0 = 0
โ ๐น2โ3 = ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ = 230.9,81. ๐ ๐๐ 45ยฐ โ 1870 ๐
Question 4 : Dรฉterminer la force ๐น1โ2 qui doit รชtre fournie afin de garder le systรจme en รฉquilibre.
On isole {2,3,6}.
On fait le BAME :
F =๐บ๐ก๐๐โ6 {โ๐๐๐ฆ 1
0โ
F =๐ถ1โ2
๐ฃรฉ๐ {๐น1โ2๐ฆ 4
0โ
F =๐ด1โ2 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2(๐ด) avec ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2. ๐ง 1 = 0
On applique le Thรฉorรจme du Moment Statique en A en projection sur ๐ง 1
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2+3+6โ2+3+6(๐ด) โ ๐ง 1 = 0
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ6(๐ด) โ ๐ง 1 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1๐ฃรฉ๐โ 2(๐ด) โ ๐ง 1 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2(๐ด) โ ๐ง 1 = 0
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ6(๐ด) โ ๐ง 1 = (๐ด๐บโโโโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ6) โ ๐ง 1 = (((๐ + ๐)๐ฅ 2 + ๐๐ฅ 1) โง (โ๐๐โ๐ฆ 1)) โ ๐ง 1 = โ๐๐โ((๐ + ๐) ๐๐๐ ๐ + ๐)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1๐ฃรฉ๐โ 2(๐ด) โ ๐ง 1 = (๐ด๐ถโโโโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ
1 ๐ฃรฉ๐ โ 2
) โ ๐ง 1 = (๐โ๐ฅ 2 โง ๐น1โ2โ๐ฆ 4) โ ๐ง 1 = ๐โ๐น1โ2 ๐๐๐ (๐ผ โ ๐)
โ โ๐๐โ((๐ + ๐) ๐๐๐ ๐ + ๐) + ๐โ๐น1โ2 ๐๐๐ (๐ผ โ ๐) + 0 = 0
โ ๐น1โ2 =๐๐โ((๐ + ๐) ๐๐๐ ๐ + ๐)
๐โ ๐๐๐ (๐ผ โ ๐)
Question 5 : Afin de garder le systรจme en รฉquilibre, dรฉterminer lโexpression du couple ๐ถ๐3โ6 que doit fournir le moteur de la chaรฎne de puissance ยซ orienter la plate-forme 6 ยป. Faire lโapplication numรฉrique.
En rรฉgime permanent :
๐|๐ถ๐3โ6๐๐3โ6| = |๐ถ3โ6๐3โ6|
โ |๐ถ3โ6| = ๐361
๐|๐ถ๐3โ6|
Remarque : le rendement est du cรดtรฉ de lโentrรฉe, le couple en sortie est plus grand que le couple dโentrรฉe.
โ |๐ถ๐3โ6| =๐
๐36|๐ถ3โ6| =
1
0,9.10002650 โ 2,95 ๐๐
Question 6 : Afin de garder le systรจme en รฉquilibre, dรฉterminer lโexpression du couple ๐ถ๐2โ3 que doit fournir le moteur de la chaรฎne de puissance ยซ dรฉplacer le parc รฉchelle 3 ยป. Faire lโapplication numรฉrique.
En rรฉgime permanent :
๐|๐ถ๐2โ3๐๐2โ3| = |๐น2โ3 โ ๐2โ3|
โ |๐น2โ3| = ๐232๐
๐โ|๐ถ๐2โ3|
โ |๐ถ๐2โ3| =1
๐23
๐
2๐|๐น2โ3| =
1
๐23
0,010
2๐1870 โ 4,26 ๐๐
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Exercice 5 : MAQUETTE EN SOUFFLERIE
Question 1 : Rรฉaliser le graphe de structure de ce systรจme.
Question 2 : Dรฉterminer le moment ๐๐ธ,2โ3 en E que doit fournir le vรฉrin V3 afin de garder le systรจme en รฉquilibre.
On isole 3.
On fait le BAME :
F =๐บ3
๐ก๐๐โ3 {โ๐3๐๐ 01
0โ
F =๐บ3
๐โ3 {โ๐น๐๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐
0โ
F =๐ธ2โ3
๐3 {๐น 2โ3
๐2โ3(๐ธ)๐ 0
F =๐ธ2โ3 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ3(๐ธ) avec ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ3(๐ธ). ๐ 0 = 0
On applique le Thรฉorรจme du Moment Statique en E en projection sur i 0
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3โ3(๐ธ) โ ๐ 0 = 0
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ3(๐ธ) โ ๐ 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐โ3(๐ธ) โ ๐ 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2๐ฃรฉ๐โ 3(๐ธ) โ ๐ 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ3(๐ธ) โ ๐ 0 = 0
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ3(๐ธ) โ ๐ 0 = (๐ธ๐บ3โโ โโ โโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐ โ3) โ ๐ 0 = (๐3โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 3 โง (โ๐3๐โ๐ 01)) โ ๐ 0 = ๐3๐โ๐3 ๐ ๐๐ (๐
2+ ๐ผ + ๐ฝ) = ๐3๐โ๐3 ๐๐๐ ( ๐ผ + ๐ฝ)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐โ3(๐ธ) โ ๐ 0 = (๐ธ๐บ3โโ โโ โโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ3) โ ๐ 0 = (๐3โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 3 โง (โ๐น๐โ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐)) โ ๐ 0 = โโ๐3โ๐น๐ ๐ ๐๐ ๐พ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2๐3โ 3(๐ธ) โ ๐ 0 = ๐๐ธ,2โ3
โ ๐๐ธ,2โ3 = โ๐3๐โ๐3 ๐๐๐ ( ๐ผ + ๐ฝ) +โ๐3โ๐น๐ ๐ ๐๐ ๐พ
๐๐ธ,2โ3 < 0 dans la position donnรฉe par la figure
Question 3 : Dรฉterminer le moment ๐๐ด,1โ2 que doit fournir le vรฉrin V2 afin de garder le systรจme en รฉquilibre.
On isole {2,3}.
On fait le BAME :
F =๐บ3
๐ก๐๐โ3 {โ๐3๐๐ 01
0โ
F =๐บ2
๐ก๐๐โ2 {โ๐2๐๐ 01
0โ
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F =๐บ3
๐โ3 {โ๐น๐๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐
0โ
F =๐ธ1โ2
๐2 {๐น 1โ2
๐1โ2(๐ด)๐ 0
F =๐ด1โ2 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2(๐ด) avec ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2(๐ด). ๐ 0 = 0
On applique le Thรฉorรจme du Moment Statique en A en projection sur i 0
โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2+3โ2+3(๐ด) โ ๐ 0 = 0
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ3(๐ด) โ ๐ 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ2(๐ด) โ ๐ 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐โ3(๐ด) โ ๐ 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1๐2โ 2(๐ด) โ ๐ 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2(๐ด) โ ๐ = 0
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ3(๐ด) โ ๐ 0 = (๐ด๐บ3โโ โโ โโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐ โ3) โ ๐ 0 = ((๐2โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2 + ๐3โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 3) โง (โ๐3๐โ๐ 01)) โ ๐ 0 = ๐3๐โ (๐2 ๐ ๐๐ (๐
2+ ๐ผ) + ๐3 ๐ ๐๐ (
๐
2+ ๐ผ + ๐ฝ))
= ๐3๐โ(๐2 ๐๐๐ ๐ผ + ๐3 ๐๐๐ ( ๐ผ + ๐ฝ))
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ2(๐ด) โ ๐ 0 = (๐ด๐บ2โโ โโ โโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐ โ2) โ ๐ 0 = (๐2โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2 โง (โ๐2๐โ๐ 01)) โ ๐ 0 = ๐2๐โ๐2 ๐ ๐๐ (๐
2+ ๐ผ) = ๐2๐โ๐2 ๐๐๐ ๐ผ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐โ3(๐ด) โ ๐ 0 = (๐ด๐บ3โโ โโ โโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ3) โ ๐ 0 = ((๐2โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2 + ๐3โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 3) โง (โ๐น๐โ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐)) โ ๐ 0 = โ๐น๐โ(๐2 โ๐ ๐๐( ๐ฝ + ๐พ) +โ๐3 โ๐ ๐๐ ๐พ)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1๐2โ 2(๐ด) โ ๐ 0 = ๐1โ2(๐ด)
โ ๐1โ2(๐ด) = โ๐3๐(๐2 ๐๐๐ ๐ผ + ๐3 ๐๐๐ ( ๐ผ + ๐ฝ)) โ ๐2๐โ๐2 ๐๐๐ ๐ผ +โ๐น๐(๐2 โ๐ ๐๐( ๐ฝ + ๐พ) +โ๐3 โ๐ ๐๐ ๐พ)
๐1โ2(๐ด) < 0 dans la position donnรฉe par la figure
Question 4 : Dรฉterminer la force ๐น0โ1 que doit fournir le vรฉrin V1 afin de garder le systรจme en รฉquilibre.
On isole {1,2,3}.
On fait le BAME :
F =๐บ3
๐ก๐๐โ3 {โ๐3๐๐ 01
0โ
F =๐บ2
๐ก๐๐โ2 {โ๐2๐๐ 01
0โ
F =๐บ1
๐ก๐๐โ1 {โ๐1๐๐ 01
0โ
F =๐บ3
๐โ3 {โ๐น๐๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐
0โ
F =๐ด0โ1
๐1 {๐น0โ1๏ฟฝโ๏ฟฝ 01
0โ
F =๐ด0โ1 {
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ1
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1(๐ด) avec ๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ1. ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 = 0
On applique le Thรฉorรจme de la Rรฉsultante Statique en projection sur ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01.
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1+2+3โ1+2+3 โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 = 0
โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ3 โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ2 โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ1 โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ3 โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 0๐1โ 1โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ1 โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 = 0
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ3 โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 = โ๐น๐โ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 = โ๐น๐ โ๐๐๐ ( ๐ผ + ๐ฝ + ๐พ)
Remarque : attention ๐พ est nรฉgatif sur le schรฉma cinรฉmatique, donc le moment est bien nรฉgatif.
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๏ฟฝโ๏ฟฝ 0๐1โ 1โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 01 = ๐น0โ1
โ ๐น0โ1 = ๐น๐ โ๐๐๐ ( ๐ผ + ๐ฝ + ๐พ)
Exercice 6 : METHODOLOGIE
Remarque : dans une chaรฎne fermรฉe, on commence par chercher les solides, ou les ensembles de solides soumis ร 2 forces pour rรฉduire ne nombre dโinconnus. Puis on part de ce quโon connait, ici F, pour aller vers ce quโon cherche, ici ๐ถ๐.
Hypothรจse : on nรฉglige lโaction de la pesanteur sur 2 et sur 4.
Les solides 2 et 4 sont des bielles. Elles sont soumises chacune ร 2 glisseurs. En appliquant le PFS, on peut dรฉmontrer que
les directions des forces sont respectivement EHโโโโ โ et ABโโโโ โ.
Hypothรจses :
- Liaisons parfaites sauf celle au contact avec lโobjet.
- On nรฉglige lโaction de la pesanteur.
On isole 1.
On fait le BAME :
- F(p โ 1) =P{Fp xโ p
0โโ
- F(0 โ 1) =H{Y01yโโ p
N01zโ p
- F(2 โ 1) =H{F21 sin ฮฒxโ p+F21 cosฮฒyโโ p
0โโ
รtape Isolement Principe / Thรฉorรจme Rรฉsultat
1 2 PFS sur un solide soumis ร 2 glisseurs ๏ฟฝโ๏ฟฝ (1 โ 2) ๐๐ก ๐ โโ โ(3 โ 2)โ๐ ๐ข๐๐ฃ๐๐๐ก (๐ต, ๐ฅ 2)
๏ฟฝโ๏ฟฝ (1 โ 2) = โ๏ฟฝโ๏ฟฝ (3 โ 2)
2 3 Thรฉorรจme de la rรฉsultante statique
Projection sur ๐ฅ 0 ๏ฟฝโ๏ฟฝ (2 โ 3) = ๐ (๐น)
3 On reprend les รฉquations prรฉcรฉdentes ๏ฟฝโ๏ฟฝ (1 โ 2) = ๐ (๐น)
4 1 Thรฉorรจme du moment statique en O
Projection sur ๐ง 0 ๐ถ๐ = Mโโโ (๐, 0 โ 1). ๐ง 0 = ๐(๐น)
รtape Isolement Principe / Thรฉorรจme Rรฉsultat
1 2, 4, 6 PFS sur un solide soumis ร 2 glisseurs Direction des AM
2 1 TRS en projection sur xโ p F21 = โFp
sin ฮฒ
3 {2,3} TMS en C en projection sur z p X53 + tan ฮฒ Y53 = โ2l2l4Fp
4 5 TRS en projection sur z p Fp =l42l2(tan ฮฒ FS
yโ FS
x)
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On applique le TRS en projection sur xโ p :
Fp + F21 sin ฮฒ = 0
โ F21 = โFp
sin ฮฒ
On isole {2,3}.
On fait le BAME :
- F(1 โ 2) =H{โF21 sin ฮฒxโ pโF21 cos ฮฒyโโ p
0โโ =H{Fpxโ p+
Fp
tanฮฒyโโ p
0โโ =
C{Fpxโ p+
Fp
tanฮฒyโโ p
2l2 sin ฮฒFp
tanฮฒzโ p
- F(0 โ 3) =C{X03xโ p+Y03yโโ p
0โโ
- F(5 โ 3) =D{X53xโ p+Y53yโโ p
0โโ =
C{
X53xโ p+Y53yโโ p
l4 cosฮฒX53zโ p+l4 sin ฮฒY53zโ p
Remarque : pour dรฉterminer les moments on utilise la mรฉthode des bras de levier.
Remarque : ici, lโisolement {2,3} est plus rapide que lโisolement 2 puis 3.
On applique le TMS en C en projection sur z p :
l4 cos ฮฒ X53 + l4 sin ฮฒ Y53 + 2l2 sin ฮฒFp
tan ฮฒ= 0
โ l4X53 + l4 tan ฮฒ Y53 + 2l2Fp = 0
โ X53 + tan ฮฒ Y53 = โ2l2l4Fp
On isole 5.
On fait le BAME :
- F(3 โ 5) =D{โX53xโ pโY53yโโ p
0โโ =
B{โX53xโ pโY53yโโ p
โl3Y53zโ p
- F(4 โ 5) =B{โF45 sin ฮฒxโ p+F45 cos ฮฒyโโ p
0โโ
- F(objet โ 5) =S{FSxxโ pโFS
yyโโ p
0โโ =
B{
FSxxโ pโFS
yyโโ p
โl5FSyzโ pโ(l5+l6)FS
xzโ p
On applique le TRS en projection sur z p :
{โX53 โ F45 sin ฮฒ + FS
x = 0
โY53 + F45 cos ฮฒ โ FSy= 0
โ
{
F45 =
โX53 + FSx
sin ฮฒ
F45 =Y53 + FS
y
cos ฮฒ
โ โX53 + FSx = tan ฮฒ (Y53 + FS
y)
โ X53 tan ฮฒ Y53 = FSx โ tan ฮฒ FS
y
Dโautre part, on avait X53 + tan ฮฒ Y53 = โ2l2
l4Fp
Donc โ2l2
l4Fp = FS
x โ tan ฮฒ FSy
โ Fp =l42l2(tan ฮฒ FS
yโ FS
x)
On constate que Fp ne dรฉpend pas de l5. Lโeffort presseur sera identique quel que soit la position verticale du point S.
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Exercice 7 : CONSOLE PORTANTE DE BATEAU
Question 1 : Colorier le schรฉma cinรฉmatique, placer les distances et les forces sur le schรฉma. Tracer le graphe des structures.
Question 2 : Etudier l'รฉquilibre de l'ensemble {2,3}.
On isole ๐ = {2,3}.
Le vรฉrin V est montรฉ entre 2 rotules en C et D.
On fait le BAME :
F =0โ2 ๐ท{๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ2
0โ
F =1โ3 ๐ถ{๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ3
0โ
On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en C ร V, et on en dรฉduit :
F =0โ2 โ F =1โ3 ๐ถ{๐๐ ๐ฅ
0โ
Question 3 : Quel thรฉorรจme faut-il appliquer pour obtenir lโexpression de la pression ร fournir dans le vรฉrin pour compenser les efforts extรฉrieurs ?
On isole {1,4}. Il faut appliquer le Thรฉorรจme du Moment Statique en A, en projection sur ๐ง . Mais pour lโexemple nous allons tout รฉcrire.
Question 4 : Dรฉterminer la pression du vรฉrin et lโexpression des actions dans les liaisons en A et B. Faire lโapplication numรฉrique.
On isole {1,4}.
On fait le BAME :
F =3โ1 ๐ถ{๐๐ ๐ฅ
0โ =๐ด{
๐๐ ๐ฅ
๐๐(๐ + ๐)๐ฆ + ๐๐๐๐ง
F =๐๐๐โ4 ๐บ{โ๐น๐๐๐๐ฅ
0โ =๐ด{
โ๐น๐๐๐๐ฅ
โ๐น๐๐๐(๐ + ๐)๐ฆ โ ๐น๐๐๐๐๐ง
F =๐ก๐๐โ4 ๐บ{โ๐๐๐ง
0โ =๐ด{
โ๐๐๐ง
โ๐๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฆ
F =1โ2๐
๐ด{๐1โ2๐ ๐ฅ + ๐1โ2
๐ ๐ฆ + ๐1โ2๐ ๐ง
0โ
F =1โ2๐๐ถ
๐ต{๐1โ2๐๐ถ ๐ฅ + ๐1โ2
๐๐ถ ๐ฆ
0โ =๐ด{๐1โ2๐๐ถ ๐ฅ + ๐1โ2
๐๐ถ ๐ฆ
๐1โ2๐๐ถ ๐๐ฆ โ ๐1โ2
๐๐ถ ๐๐ฅ
On applique le PFS en A.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3โ1(๐ด) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3โ1(๐ถ) + ๐ด๐ถโโโโ โ โง ๐๐ ๐ฅ = ((๐ + ๐)๐ง โ ๐๐ฆ ) โง ๐๐ ๐ฅ = ๐๐(๐ + ๐)๐ฆ + ๐๐๐๐ง
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐โ4(๐ด) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐โ4(๐บ) + ๐ด๐บโโโโ โ โง โ๐น๐๐๐ ๐ฅ = ((๐ + ๐)๐ง + ๐๐ฅ + ๐๐ฆ ) โง โ๐น๐๐๐ ๐ฅ = โ๐น๐๐๐(๐ + ๐)๐ฆ + ๐น๐๐๐๐๐ง
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ4(๐ด) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ4(๐บ) + ๐ด๐บโโโโ โ โง โ๐๐๐ง = ((๐ + ๐)๐ง + ๐๐ฅ + ๐๐ฆ ) โง โ๐๐๐ง = โ๐๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฆ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2๐๐ถ (๐ด) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ2
๐๐ถ (๐ต) + ๐ด๐ตโโโโ โ โง โ๐น๐๐๐ ๐ฅ = ๐๐ง โง (๐1โ2๐๐ถ ๐ฅ + ๐1โ2
๐๐ถ ๐ฆ ) = ๐1โ2๐๐ถ ๐๐ฆ โ ๐1โ2
๐๐ถ ๐๐ฅ
Sphรฉrique C
0
Sphรฉrique A
Sphรฉrique D
{1,4}
2
3
Sphรจre cylindre B
Pivot glissant
(๐ถ, ๐ฅ )
Pesanteur
Force du vent
0
Sphรฉrique A
{1,4} Pesanteur
Force du vent
Vรฉrin
Sphรจre cylindre B
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โ
{
๐1โ2๐ + ๐1โ2
๐๐ถ + ๐๐ โ ๐น๐๐๐ = 0
๐1โ2๐ + ๐1โ2
๐๐ถ = 0
๐1โ2๐ โ๐๐ = 0
โ๐๐๐ โ ๐1โ2๐๐ถ ๐ = 0
๐๐(๐ + ๐) โ ๐น๐๐๐(๐ + ๐) + ๐๐๐ + ๐1โ2๐๐ถ ๐ = 0
๐๐๐ + ๐น๐๐๐๐ = 0
โ
{
๐1โ2
๐ =1
๐(๐๐๐ โ ๐น๐๐๐๐ + ๐๐๐)
๐1โ2๐ = ๐๐
๐
๐๐1โ2๐ = ๐๐
๐1โ2๐๐ถ = โ๐๐
๐
๐
๐1โ2๐๐ถ =
1
๐(โ๐๐(๐ + ๐) + ๐น๐๐๐(๐ + ๐) โ ๐๐๐)
๐ = โ๐น๐๐๐๐
๐๐
๐ = โ๐น๐๐๐๐
๐๐ท4
2
๐
= โ15000.2
๐0,104
2
4
= โ0,95 ๐๐๐ = โ9,5 ๐๐๐๐
La pression est nรฉgative, le vรฉrin doit ยซ retenir ยป la structure pour compenser la force du vent.
Question 5 : Dรฉterminer alors lโexpression du couple du motorรฉducteur pour assurer lโรฉquilibre du systรจme dans la position dรฉcrite sur le schรฉma cinรฉmatique. Faire lโapplication numรฉrique.
On isole {1,4}. On applique le Thรฉorรจme du Moment Statique (TMS) en A, en projection sur ๐ง .
๐ถ๐ = โ๐น๐๐๐๐ = โ15000.2 = โ30000 ๐๐
Exercice 8 : GRUE DE CHANTIER
Question 1 : Rรฉaliser le graphe de structure global de ce systรจme, cโest-ร -dire uniquement les solides 0, 1, 2 et 3.
Question 2 : Afin de garder le systรจme en รฉquilibre, dรฉterminer le couple ๐ถ0โ1 qui doit รชtre fourni ร la sortie des rรฉducteurs. Faire lโapplication numรฉrique.
On isole {1,2,3}.
On fait le BAME :
F =๐ก๐๐โ3 ๐บ3{โ๐3๐๐ง 0
0โ
F =๐ก๐๐โ1 ๐บ1{โ๐1๐๐ง 0
0โ
F =๐๐๐โ1 ๐บ1{๐น๐๐๐๐ฆ 1
0โ
F =0โ1๐๐๐ก
๐{ 0โ
๐ถ0โ1๐ง 0
F =0โ1 ๐{๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ1
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1(๐) avec ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1(๐) โ ๐ง 0 = 0
Le Thรฉorรจme du Moment Statique (TMS) en O, en projection sur z 0 :
โ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1+2+3โ1+2+3(๐) โ ๐ง 0 = 0
โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ3(๐) โ ๐ง 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ1(๐) โ ๐ง 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐โ1(๐) โ ๐ง 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0๐๐๐กโ 1
(๐) โ ๐ง 0 + ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1(๐) โ ๐ง 0 = 0
Pivot dโaxe (๐, ๐ง 0)
0
Motorรฉducteur
Tambour-cรขble
2
3
Glissiรจre de direction ๐ง 1
Glissiรจre de direction ๐ฅ 1
1
โ๐3๐๐ง 0
Motorรฉducteur
Motorรฉducteur
โ๐1๐๐ง 0 ๐น๐ฃ๐ฆ 1
๐ถ0โ1๐ง 0
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ1
๐ 0โ1
๐น๐๐๐๐ฆ 1
๐ 0โ1
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ1
โ๐1๐๐ง 0
โ๐3๐๐ง 0
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๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐โ1(๐)๐ง 0 = ๐น๐ฃโ๐ฟ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ1๐ง 0 = ๐ถ0โ1
Remarque : pas besoin de faire Varignon pour calculer ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐โ1(๐). ๐ง 0 on fait un bras de levier.
Remarque : la pesanteur ne fait pas pivoter la grue, donc pas besoin de calculer son moment.
โ ๐ถ0โ1 = โ๐น๐๐๐๐ฟ = โ5000.30 = โ150000 ๐๐
Le couple ๐ถ3โ6 est nรฉgatif, correspondant ร un couple dans le sens โ๐ง 0.
Remarque : lโAN donne bien un couple nรฉgatif, on doit retenir lโaction du vent.
Question 3 : Afin de garder le systรจme en รฉquilibre, dรฉterminer la force ๐น23 que le cรขble doit fournir. Faire lโapplication numรฉrique.
On isole 3.
On fait le BAME :
F =๐ก๐๐โ3 ๐บ3{โ๐3๐๐ง 0
0โ
F =2โ3๐รข๐
๐บ3{๐น23๐ง 0
0โ
F =2โ3 ๐บ3{๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ3(๐บ3) avec ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3 โ ๐ง 0 = 0
On applique le Thรฉorรจme de la Rรฉsultante Statique (TRS) en projection sur ๐ง 0.
โ๏ฟฝโ๏ฟฝ 3โ3 โ ๐ง 0 = 0
โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ก๐๐โ3 โ ๐ง 0 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2๐รข๐โ 3
โ ๐ง 0 + ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3 โ ๐ง 0 = 0
โ ๐น2โ3 = ๐3๐ = 5000.9,81 โ 50000 ๐
La force ๐น2โ3 est positive, correspondant ร une force dans le sens +๐ง 0.
Question 4 : Aprรจs avoir reprรฉsentรฉ partiellement la chaรฎne de puissance ยซ orienter ยป, dรฉterminer le rapport de rรฉduction
global ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ =๐1/0
๐๐๐๐ก๐๐/0.
๐1 =๐๐ด/0
๐๐๐๐ก๐๐/0
๐ =๐๐/๐๐
๐๐/๐๐ = โ
๐ง๐๐ง๐
๐ง๐ ๐ง๐= โ
๐ง๐๐ง๐
โ๐๐/0 โ๐๐๐ /0
โ๐๐๐ /0= โ
๐ง๐๐ง๐
โ ๐๐/0 โ๐๐๐ /0 =๐ง๐๐ง๐๐๐๐ /0
โ ๐๐/0 = (๐ง๐๐ง๐+ 1)๐๐๐ /0
โ ๐โฒ =๐๐๐ /0
๐๐/0=
1๐ง๐๐ง๐+ 1
=๐ง๐
๐ง๐ + ๐ง๐=
๐ง๐
๐ง๐ + ๐ง๐=
18
90 + 18=1
6โ 0,166
๐2 =๐๐ต/0
๐๐ด/0= โ
๐ง๐ด๐ง๐ต= โ
18
153= โ
1
8,5โ โ0,117
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๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ = ๐1โ๐2 = ๐โฒ3๐2 = โ(
1
6)3 1
8,5=โ1
1830โ โ0,000545
Question 5 : Afin de garder le systรจme en รฉquilibre, dรฉterminer en fonction de ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ , lโexpression du couple ๐ถ๐01 que doit fournir le moteur de la chaรฎne de puissance ยซ orienter ยป. Faire lโapplication numรฉrique.
|๐ถ01| =1
๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐โ|๐ถ๐01| โ |๐ถ๐01| =
1
๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐|๐ถ01| โ
1
0,70,000545.150000 โ 117โNm
Question 6 : Pour quelle raison lโรฉpaisseur des pignons varie-t-elle dโun รฉtage ร lโautre ?
Le couple encaissรฉ par les pignons devenant de plus en plus important ร lโapproche de la sortie du rรฉducteur, les piรจces doivent donc รชtre de plus en plus rรฉsistantes (de plus รฉpaisses). ร contrario, elles tournent moins vites.
Question 7 : Aprรจs avoir reprรฉsentรฉ partiellement la chaรฎne de puissance ยซ lever ยป, dรฉterminer la relation entre ๐ฃ3/2 la
vitesse de dรฉplacement de la charge 3 par rapport au chariot 2 et ๐๐๐๐ก๐๐/2 la vitesse de rotation du moteur.
|๐ฃ3/2| = |๐ โ๐14/2|
๐๐รฉ๐ =๐14/2
๐๐๐๐ก๐๐/2= (โ1)2
๐13๐๐14
โ๐12๐13๐
=50
100
50
100=1
4= 0,25
๐ฃ3/2 = ๐ โโ๐๐รฉ๐โ๐๐๐๐ก๐๐/2
Question 8 : Afin de garder le systรจme en รฉquilibre, dรฉterminer en fonction de ๐๐รฉ๐ et R, lโexpression du couple ๐ถ๐2โ3 que doit fournir le moteur de la chaรฎne de puissance ยซ lever ยป. Faire lโapplication numรฉrique.
|๐ถ๐2โ3| =๐
๐๐๐รฉ๐โโ|๐น2โ3| โ
0,2
0,80,25.50000 โ 3125โNm
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Exercice 9 : AIDE AU DEMARRAGE EN PENTE
Question 1 : Rรฉaliser le graphe dโanalyse.
Hypothรจse : problรจme plan (๐ต, ๐ฅ 1, ๐ฆ 1).
On sโintรฉresse ร moitiรฉ de la voiture et donc lโaction dโun seul frein.
Question 2 : Isoler lโensemble 2 et en dรฉduire le modรจle de lโaction mรฉcanique de 0 sur 2.
On isole 2.
2 est un solide soumis ร 2 glisseurs car on nรฉglige lโaction de la pesanteur sur 2.
F =0โ2 ๐ด{๐0โ2๐ฅ 1 + ๐0โ2๐ฆ 1
0โ
F =1โ2 ๐3{๐1โ2๐ฅ 1 + ๐1โ2๐ฆ 1
0โ
On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en A, et on en dรฉduit :
F =0โ2 โ F =1โ2 ๐ด{๐0โ2๐ฆ 1
0โ
Question 3 : Isoler lโensemble {1,2,3} et en dรฉduire ๐03, puis ๐03 et enfin ๐02 en fonction de M et des caractรฉristiques gรฉomรฉtriques.
On isole {1,2,3}.
On fait le BAME :
F =0โ3 ๐ต{๐0โ3๐ฅ 1 + ๐0โ3๐ฆ 1
0โ
avec |๐03| โโค ๐โ|๐03| (loi de Coulomb),
la ยซ tendance au glissement ยป de 3/0 est suivant โ๐ฅ 1 donc ๐03 > 0.
F =0โ2 ๐ด{๐0โ2๐ฆ 1
0โ =๐ต{๐0โ2๐ฆ 1
๐0โ2(๐ + ๐)
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ2(๐ต) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ2(๐ด) + ๐ต๐ดโโโโ โ โง ๐0โ2๐ฆ 1 = (๐ + ๐)๐ฅ 1 โง ๐0โ2๐ฆ 1 = ๐0โ2(๐ + ๐)๐ง 1
La mรฉthode du ยซ bras de levier ยป permet de dรฉterminer plus rapidement les moments que le calcul.
F =๐ก๐๐โ1 ๐บ{โ๐๐
2๐ฆ 0
0โ =๐ต{โ๐๐
2๐ ๐๐ ๐ผ ๐ฅ 1 โ
๐๐
2๐๐๐ ๐ผ ๐ฆ 1
โ๐๐
2๐ ๐๐๐ ๐ผ ๐ง 1 +
๐๐
2โ ๐ ๐๐ ๐ผ ๐ง 1
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ2(๐ต) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 0โ2(๐บ) + ๐ต๐บโโโโ โ โง โ๐๐
2๐ฆ 0 = (๐๐ฅ 1 + โ๐ฆ 1) โง โ
๐๐
2๐ฆ 0 = โ
๐๐
2๐ ๐๐๐ ๐ผ ๐ง 1 +
๐๐
2โ ๐ ๐๐ ๐ผ ๐ง 1
On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS) en B.
Pivot dโaxe (๐2, ๐ง 1)
0
Moitiรฉ de lโaction pesanteur
2 3
1
Couple frein
Pivot dโaxe (๐3, ๐ง 1)
Cylindre plan non parfaite
dโaxe (๐ด, ๐ง 1) et de normale ๐ฆ 1
Cylindre plan non parfaite
dโaxe (๐ด, ๐ง 1) et de normale ๐ฆ 1
๐ 0โ2
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ2
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2 ๐ 1โ2
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ2
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2
๐ 0โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ2
โ๐๐
2๐ฆ 0
๐3
๐ต
๐2
๐บ
๐ด
๐2
๐ด
๐2
๐ด
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{
๐0โ3 โ
๐๐
2๐ ๐๐ ๐ผ = 0
๐0โ2 + ๐0โ3 โ๐๐
2๐๐๐ ๐ผ = 0
๐0โ2(๐ + ๐) โ๐๐
2๐ ๐๐๐ ๐ผ +
๐๐
2โ ๐ ๐๐ ๐ผ = 0
โ
{
๐0โ3 =
๐๐
2๐ ๐๐ ๐ผ
๐0โ3 =๐๐
2๐๐๐ ๐ผ โ
๐๐
2(๐ + ๐)๐ ๐๐๐ ๐ผ +
๐๐
2(๐ + ๐)โ ๐ ๐๐ ๐ผ
๐0โ2 =๐๐
2(๐ + ๐)๐ ๐๐๐ ๐ผ โ
๐๐
2(๐ + ๐)โ ๐ ๐๐ ๐ผ
โ
{
๐0โ3 =
๐๐
2๐ ๐๐ ๐ผ
๐0โ3 =๐๐
2(๐ + ๐)๐ ๐๐๐ ๐ผ +
๐๐
2(๐ + ๐)โ ๐ ๐๐ ๐ผ
๐0โ2 =๐๐
2(๐ + ๐)๐ ๐๐๐ ๐ผ โ
๐๐
2(๐ + ๐)โ ๐ ๐๐ ๐ผ
car
1 โ๐
๐ + ๐=
๐
๐ + ๐
Question 4 : En dรฉduire la pente limite (en %) acceptable au-delร de laquelle le vรฉhicule glisse par rapport au sol.
Il nโy a pas de glissement entre 3 et 0 si on est en phase dโadhรฉrence, cad |๐03| โค ๐|๐03| ( lois de Coulomb ) On cherche donc ๐ผ tel que :
๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ
2โค ๐
๐๐(๐ ๐๐๐ ๐ผ + โ ๐ ๐๐ ๐ผ)
2(๐ + ๐)
โ ๐ ๐๐ ๐ผ โค ๐(๐ ๐๐๐ ๐ผ + โ ๐ ๐๐ ๐ผ)
(๐ + ๐)
โ ๐ ๐๐ ๐ผ ((๐ + ๐) โ ๐โ) โค ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ
โ ๐ผ โค ๐๐๐๐ก๐๐ (๐๐
(๐ + ๐) โ ๐โ) = 17ยฐ = ๐๐๐๐ก๐ ๐๐ 30%
Question 5 : En dรฉduire la pente limite (en %) acceptable au-delร de laquelle le vรฉhicule bascule en arriรจre.
Il nโy a pas de basculement autour de (๐ต, ๐ง ) si la roue avant touche le sol, cad ๐02 โฅ 0
๐๐๐ ๐ผ โ๐ ๐๐๐ ๐ผ + โ ๐ ๐๐ ๐ผ
๐ + ๐โฅ 0
โ (๐ + ๐) ๐๐๐ ๐ผ โ (๐ ๐๐๐ ๐ผ + โ ๐ ๐๐ ๐ผ) โฅ 0
โ ๐ ๐๐๐ ๐ผ โ โ ๐ ๐๐ ๐ผ โฅ 0
โ ๐ผ โค ๐๐๐๐ก๐๐ (๐
โ) = 57ยฐ = ๐๐๐๐ก๐ ๐๐ 155%
Question 6 : Isoler lโensemble 3 et en dรฉduire ๐ถ๐ en fonction de M et des caractรฉristiques gรฉomรฉtriques. Faire lโapplication
numรฉrique pour une pente de 30%.
On isole 3.
On fait le BAME :
F =0โ3 ๐ต{๐0โ3๐ฅ 1 + ๐0โ3๐ฆ 1
0โ
F =1โ3 ๐3{๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1
0โ
F =1โ3๐๐๐๐๐
๐3{0โ
๐ถ๐๐ง
On applique le Thรฉorรจme du Moment Statique (TMS) en ๐3, en projection sur ๐ง 1.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 3ฬโ3(๐3) โ ๐ง 1 = 0
โ ๐ถ๐ + ๐03๐ท
2= 0
โ ๐ถ๐ = โ1
2๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ
๐ท
2โ โ
1
21300.9,81 ๐ ๐๐ (arctan
30
100)0,648
2โ โ1190 ๐๐
On trouve un couple de freinage < 0, ce qui correspond bien au freinage de la voiture.
๐ 0โ2
๏ฟฝโ๏ฟฝ 0โ2
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ2 ๐ 1โ2
๐ถ ๐ ๐3
๐ต
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Exercice 10 : COINCEUR A CAMES
Question 1 : Tracer le graphe de structure du coinceur ร cames dans la phase de vie dโutilisation. Et proposer une dรฉmarche de rรฉsolution en fonction de la structure de ce graphe.
Hypothรจse : problรจme plan (๐ฅ 1, ๐ฆ 1).
Nous sommes en prรฉsence dโune chaรฎne fermรฉe. Nous allons donc dรฉjร รฉtudier lโรฉquilibre dโun solide soumis ร 2 forces pour diminuer le nombre dโinconnues. Puis nous allons รฉtudier un รฉquilibre qui fait intervenir P.
Question 2 : Etudier lโรฉquilibre de la came 3 et en dรฉduire une relation entre ๐13, ๐13 et a, b.
On isole 3.
On fait le BAME :
F =1โ3 ๐ด{๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1
0โ =๐{๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1๐๐1โ3๐ง 1 + ๐๐1โ3๐ง 1
F =2โ3 ๐{๐2โ3๐ฅ 1 + ๐2โ3๐ฆ 1
0โ
En appliquant le PFS en O :
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ3(๐) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ3(๐ด) + ๐๐ดโโโโ โ โง (๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1)= (๐๐ฅ 1 โ ๐๐ฆ 1) โง (๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1)= ๐๐1โ3๐ง 1 + ๐๐1โ3๐ง 1
{
๐1โ3 + ๐2โ3 = 0๐1โ3 + ๐2โ3 = 0๐๐1โ3 + ๐๐1โ3 = 0
โ๐1โ3
๐1โ3= โ
๐
๐
Cylindre plan
non parfaite
dโaxe (๐ด, ๐ฅ 1)
2
4 3
1
P
Cylindre plan
non parfaite
dโaxe (๐ต, ๐ฅ 1)
Pivot
dโaxe (๐, ๐ง 1)
Pivot
dโaxe (๐, ๐ง 1)
๐ 1โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ3
๐ 2โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ3
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Question 3 : Etudier lโรฉquilibre de lโensemble {2,3,4}. Et en dรฉduire un lien entre ๐13, ๐13 et a, b, P.
On isole {2,3,4}.
On fait le BAME :
F =1โ3 ๐ด{๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1
0โ
F =1โ4 ๐ต{๐1โ4๐ฅ 1 + ๐1โ4๐ฆ 1
0โ
F =๐๐ฅ๐กโ2 ๐{โ๐๐ฆ 1
0โ
On applique le PFS en B.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ3(๐ต) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 1โ3(๐ด) + ๐ต๐ดโโโโ โ โง (๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1)= 2๐๐ฅ 1 โง (๐1โ3๐ฅ 1 + ๐1โ3๐ฆ 1) = 2๐๐1โ3๐ง 1
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐ฅ๐กโ2(๐ต) = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐ฅ๐กโ2(๐) + ๐ต๐โโ โโ โ โง โ๐๐ฆ 1 = ๐๐ฅ 1 โง โ๐๐ฆ 1 = โ๐๐๐ง 1
{
๐1โ3 + ๐1โ4 = 0๐1โ3 + ๐1โ4 โ ๐ = 02๐๐1โ3 โ ๐๐ = 0
โ {๐1โ4 =
๐
2
๐1โ3 =๐
2
De plus on avait ๐1โ3
๐1โ3= โ
๐
๐ donc ๐1โ3 = โ
๐
๐
๐
2 . La came est donc bien en compression.
Question 4 : En dรฉduire lโangle minimum de frottement au contact paroi-came pour assurer le coincement.
Il y a coincement si la rรฉsultante reste dans le cรดne de frottement. Or, vu que la came 3 est soumise ร 2 glisseurs, la droite
dโaction de ๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ3 est toujours la droite (OA) et est dirigรฉe par le rapport ๐
๐. On lit graphiquement :
๐
๐ < ๐๐๐๐๐๐/๐๐๐โ๐ โ
1
3 < ๐๐๐๐๐๐/๐๐๐โ๐
Or ๐๐๐๐๐๐/๐๐๐โ๐ = 0,4. Il y a donc toujours coincement.
Remarque : mais si on escalade une paroi de glace, ca ne marche plus car le cรดne serait plus petit.
Question 5 : Pourquoi peut-on dire que ce systรจme est autobloquant ?
Ce systรจme est autobloquant car lโAM de 1 โ 3 est obligatoirement dans le cรดne de frottement si le coefficient de frottement est assez important, il ne dรฉpend pas de lโintensitรฉ de la charge P.
Question 6 : Quelle grandeur gรฉomรฉtrique doit รชtre surveillรฉe pour que le systรจme fonctionne pour des fissures variables
sans que les efforts ne deviennent trop grands pour une mรชme charge P ?
Cโest le rapport ๐
๐ qui est important. Ni, a, ni b, ni P.
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ3
๐ 1โ4
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ4
๐ 1โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ 1โ3
๏ฟฝโ๏ฟฝ
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On obtient une forme de came en spirale logarithmique. Le rapport
๐
๐ est constant pour tout angle dโouverture.
Exercice 11 : RESISTANCE AU ROULEMENT DโUN TGV
Question 1 : Dรฉterminer le moment de rรฉsistance au roulement global subit par le TGV.
Chaque roue supportera un effort normal : ๐๐ =๐๐
๐ oรน i est ne nombre de roue.
Le moment de rรฉsistance au roulement au niveau de chaque roue est donc : ๐๐๐๐๐ข๐ = ๐
๐๐
๐
Le moment de rรฉsistance au roulement global est donc : ๐๐๐๐ข๐ = ๐๐๐ = 3.10โ3. 386.103. 9,81 = 11300โNm
Question 2 : Dรฉterminer la vitesse angulaire des roues en rad/s.
๐ =๐
๐ =300.103/3600
0,92/2= 181โrad/s
Question 3 : En dรฉduire la puissance nรฉcessaire pour vaincre la rรฉsistance au roulement. Vรฉrifier si la puissance installรฉe sur le TGV est suffisante.
๐ = ๐ถโ๐ = ๐๐๐๐ข๐๐ = 2.106โ๐ soit environ un quart de la puissance totale installรฉe.
Si le TGV รฉtait sur pneumatique (comme les camions) le coefficient de rรฉsistance au roulement serait bien supรฉrieur et la puissance actuellement installรฉe sur le TGV ne suffirait pas ร le faire avancer (sans compter les rรฉsistances aรฉrodynamiques et les cรดtes ร franchir).
Les avantages sont plus marquรฉs dans le transport de fret oรน le transport sur rail permet de transporter des charges trรจs importantes avec peu d'รฉnergie. Lโinconvรฉnient par rapport au camion est le rรฉseau ferrรฉ, beaucoup moins dรฉveloppรฉ que le rรฉseau routier et qui ne permet pas de se rendre chez les clients. Des solutions de transport combinรฉ rail-route se dรฉploient progressivement en Europe.
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Exercice 12 : CONSOLE DE DECORATION
Question 1 : Isoler la console 2 et รฉcrire les 3 รฉquations issues du PFS.
On fait lโhypothรจse dโun problรจme plan (๐, ๐ฅ , ๐ฆ ).
On isole 2.
On fait le BAME :
F =1โ2๐ด
๐ด{๐1โ2๐ด ๐ฅ 1 + ๐1โ2
๐ด ๐ฆ 1
0โ avec |๐1โ2
๐ด | โโค ๐|๐1โ2๐ด | (loi de Coulomb)
F =1โ2๐ต
๐ต{๐1โ2๐ต ๐ฅ 1 + ๐1โ2
๐ต ๐ฆ 1
0โ avec |๐1โ2
๐ต | โโค ๐|๐1โ2๐ต | (loi de Coulomb)
F =๐ก๐๐โ2 ๐ถ{โ๐๐ฆ
0โ
On applique le PFS en A.
Pour dรฉterminer les moments, on utilise le bras de levier.
{
๐1โ2๐ด + ๐1โ2
๐ต = 0
๐1โ2๐ด + ๐1โ2
๐ต โ ๐ = 0
๐ (๐ฅ +๐ท
2) โ ๐1โ2
๐ต ๐ท + ๐1โ2๐ต ๐ป = 0
(1)(2)(3)
Question 2 : Si on se place ร la limite du glissement en A et B, en dรฉduire les composantes ๐1โ2๐ด et ๐1โ2
๐ต en fonction de P.
Hypothรจse : On se place ร la limite du glissement. |๐1โ2๐ด | โ= ๐|๐1โ2
๐ด | et |๐1โ2๐ต | โ= ๐|๐1โ2
๐ต | (lois de Coulomb) (4)
Comme la tendance du glissement de 2/1 se fait vers โ๐ฆ , donc ๐1โ2
๐ด = ๐1โ2๐ต > 0
โ ๐1โ2๐ด = ๐1โ2
๐ต =๐
2
Question 3 : Dรฉterminer la composante ๐1โ2๐ต en fonction de P et de f.
La normale de 1 sur 2 en B est dirigรฉe vers โ๐ฅ , donc ๐1โ2๐ต < 0.
Or comme ๐1โ2๐ต > 0, la loi de Coulomb |๐1โ2
๐ต | โ= ๐|๐1โ2๐ต | โ ๐1โ2
๐ต = โ๐โ๐1โ2๐ต
๐1โ2๐ต =
โ๐
2๐
Question 4 : Dรฉterminer alors lโexpression de x pour que la console ne glisse pas.
(3) : ๐ (๐ฅ +๐ท
2) โ ๐๐ต12๐ท + ๐1โ2
๐ต ๐ป = 0
โ ๐ (๐ฅ +๐ท
2) โ
๐
2๐ท +
โ๐
2๐๐ป = 0
โ ๐ฅ =๐ป
2๐
|๐1โ2๐ต | โ= ๐|๐1โ2
๐ต |
โ ๐ =|๐1โ2๐ต |โ
|๐1โ2๐ต |
โ ๐ฅ =๐ป|๐1โ2
๐ต |
2|๐1โ2๐ต |
Si x augmente, alors |๐๐ต12| diminue, la console nโest plus ร la limite du glissement. Les actions en A et en B sont ร lโintรฉrieur des cรดnes de frottement. Il y a arc-boutement : lโรฉquilibre nโest pas fonction de lโintensitรฉ de lโaction mรฉcanique.
Si x diminue, il y a glissement car ๐ฅ =๐ป|๐1โ2
๐ต |
2|๐1โ2๐ต |
nโest plus vรฉrifiรฉ. La condition de glissement est donc : ๐ฅ โฅ๐ป
2๐.
(1) : |๐1โ2๐ด | = โ|๐1โ2
๐ต | (4) : โ |๐1โ2
๐ด | = โ|๐1โ2๐ต |
(2) : โ ๐1โ2๐ด + ๐1โ2
๐ด โ ๐ = 0
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Exercice 13 : BARRAGE POIDS
Question 1 : Donner lโexpression de la force รฉlรฉmentaire de pression de lโeau sur le barrage en un point Q.
Point de vue local :
๐๐น ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐ = ๐(๐)๐๐ ๐ฅ
๐(๐) = ๐๐๐๐ขโ๐โ(โ โ ๐ง) (Lois de lโhydrostatique)
๐๐ = ๐๐ฆ๐๐ง
๐๐น ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ข๐(โ โ ๐ง)โ๐๐ฆ๐๐งโ๐ฅ
Question 2 : Dรฉterminer en O le torseur des actions mรฉcaniques exercรฉes par lโeau sur le barrage.
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐ = โซ๐๐น ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐๐
=โฌ ๐๐๐๐ข๐(โ โ ๐ง)โ๐๐ฆ๐๐งโ๐ฅ ๐ฆ,๐ง
= ๐๐๐๐ข๐โซ ๐๐ฆโโซ(โ โ ๐ง)โ๐๐งโ๐ฅ ๐ง๐ฆ
= ๐๐๐๐ข๐โ[๐ฆ]โ๐ฟ2
+๐ฟ2 [
โ(โ โ ๐ง)2
2]0
โ
โ๐ฅ
= ๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโโ2
2โ๐ฅ
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐(๐) = โซ๐๐โโโโโโ โง ๐๐น ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐๐
=โฌ (๐ฆ๐ฆ + ๐ง๐ง ) โง ๐๐๐๐ข๐(โ โ ๐ง)โ๐๐ฆ๐๐งโ๐ฅ ๐ฆ,๐ง
= ๐๐๐๐ข๐โฌ (โ๐ฆ๐ง + ๐ง๐ฆ )(โ โ ๐ง)โ๐๐ฆ๐๐ง๐ฆ,๐ง
= ๐๐๐๐ข๐ โซ โซ ๐ง(โ โ ๐ง)โ๐๐ฆ๐๐ง
๐ง=โ
๐ง=0
๐ฆ=๐ฟ2
๐ฆ=โ๐ฟ2
๐ฆ + โซ โซ โ๐ฆ(โ โ ๐ง)โ๐๐ฆ๐๐ง
๐ง=โ
๐ง=0
๐ฆ=๐ฟ2
๐ฆ=โ๐ฟ2
๐ง = ๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโ [โโ๐ง2
2โ๐ง3
3]0
โ
๐ฆ
= ๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโโ3
6๐ฆ
F =๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐ ๐{๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโ
โ2
2โ๐ฅ
๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโโ3
6โ๐ฆ ๐ด
{๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโ
โ2
2โ๐ฅ
0โ
On ne connait pas encore la position du point A.
Question 3 : En dรฉduire la position du centre de poussรฉe A : point oรน ou le moment rรฉsultant de lโaction mรฉcanique de lโeau sur le barrage est nul.
On cherche le point A oรน le moment est nul :
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐(๐ด) = 0โ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐(๐) + ๐ด๐โโโโ โ โง ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐
0โ = ๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโโ3
6โ๐ฆ + (โ๐ฆ๐ดโ๐ฆ โ ๐ง๐ดโ๐ง ) โง ๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโ
โ2
2โ๐ฅ
0โ = (๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโโ3
6โ ๐ง๐ดโ๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโ
โ2
2)โ๐ฆ + ๐ฆ๐ดโ๐๐๐๐ข๐โ๐ฟโ
โ2
2โ๐ง
โ {
๐ฆ๐ด = 0
๐ง๐ด =โ
3
Remarque : A est appelรฉ centre de poussรฉe : point oรน lโaction globale de l'eau sur le barrage ne crรฉe pas de moment. O รฉtant dans le plan mรฉdian du barrage, il est logique quโil nโexiste pas de composante de moment suivant ๐ง . On peut faire une analogie avec le centre de gravitรฉ du triangle. Qui est situรฉ aux 1/3 2/3.
A
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Question 4 : Vรฉrifier le critรจre de la fonction 1.2.
โ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐โ = ๐๐๐๐ข๐๐ฟโ2
2= 1000.9,81
252
2โ 245.106๐ < 300.106๐
Le critรจre de la fonction 1.2 est donc respectรฉ.
Exercice 14 : RESTAURANT SOUS-MARIN
Question 1 : Dรฉfinir un systรจme de coordonnรฉes pour repรฉrer tout point Q de la structure. En dรฉduire lโexpression de dS.
On utilise un systรจme de coordonnรฉes cylindrique avec la base direct (๐ ๐ , ๐ ๐ , ๐ ๐ฆ)
๐๐ = ๐ ๐๐๐๐ฆ
Question 2 : Donner lโexpression de la force รฉlรฉmentaire ๐๐น ๐โ๐ (๐) de lโeau sur la structure.
๐๐น ๐โ๐ (๐) = โ๐๐๐โ๐ ๐ = โ๐๐ ๐๐๐๐ฆโ๐ ๐
Question 3 : Dรฉterminer la rรฉsultante dโaction globale de lโeau sur la structure ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ๐ .
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ๐ = โซ ๐๐น ๐โ๐ (๐)๐= โซ โ๐๐ ๐๐๐๐ฆโ๐ ๐๐
= โ๐๐ โซ ๐๐ฆ๐ฟ/2
โ๐ฟ/2โซ ๐ ๐๐๐๐
0= โ๐๐ ๐ฟ โซ ๐ ๐๐๐
๐
0
avec : โซ ๐ ๐๐๐๐
0= โซ (๐๐๐ ๐ ๐ฅ + ๐ ๐๐ ๐ ๐ง )๐๐
๐
0= โซ ๐๐๐ ๐ ๐๐
๐
0๐ฅ + โซ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐
๐
0๐ง = [๐ ๐๐ ๐]0
๐๐ฅ + [โ ๐๐๐ ๐]0๐๐ง = 2๐ง
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ๐ = โ๐. 2๐ ๐ฟโ๐ง
Question 4 : Exprimer โ๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ๐ โ en fonction de S.
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐โ๐ = โ๐. 2๐ ๐ฟโ๐ง = โ๐๐โ๐ง
S est la surface projetรฉe.
Remarque : on a le mรชme calcul dans la rรฉpartition de pression dโun palier lisse dans le guidage dโun arbre.
Question 5 : Dรฉterminer le moment de lโaction globale de lโeau sur la structure en O, ๏ฟฝโโ๏ฟฝ (๐, ๐ โ ๐ ).
๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐โ๐ (๐) = โซ๐๐โโโโโโ โง ๐๐น ๐๐๐ขโ๐๐๐๐๐๐๐๐
=โฌ (๐ฆ๐ฆ + ๐ ๐ ๐) โง โ๐๐ ๐๐ฆ๐๐ ๐ ๐๐ฆ,๐
=โฌ ๐๐ฆ๐ ๐๐ฆ๐๐ ๐ ๐๐ฆ,๐
= ๐๐ โซ ๐ฆ๐๐ฆ๐ฟ/2
โ๐ฟ/2
โซ ๐ ๐๐๐๐
0
= 0โ
Remarque : les forces รฉlรฉmentaires passent par la droite (๐, ๐ฆ ) et elles se compensent 2 ร 2.
Exercice 15 : FREIN DE BUGATTI CHIRON
Question 1 : Reprรฉsenter sur les schรฉmas du disque 1 ci-dessus, la force รฉlรฉmentaire de pression ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) et la force
รฉlรฉmentaire de rรฉsistance au glissement ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ1(๐) en un point P de la surface de contact.
Question 2 : Donner lโexpression de la force รฉlรฉmentaire ๐๐น 2โ1(๐) en fonction de p, f et dS.
๐๐น 2โ1(๐) = ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) + ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ1(๐) Hypothรจse : On se place ร la limite du glissement
โ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ1(๐)โ = ๐โ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐)โ = ๐๐๐๐
๐๐น 2โ1(๐) = โ๐๐๐๐ง 1 + ๐๐๐๐๐ฆ 2
๐๐ = ๐๐๐๐๐
dTโโ 2โ1(P)
dNโโ 2โ1(P)
๐ก๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ก Vโโ 2/1(P)
STA TD05 - Actions mรฉcaniques - Corrigรฉ 18/06/2022 23/25
Question 3 : Indiquer en le justifiant, quelle composante du moment rรฉsultant de lโaction mรฉcanique dโune garniture 2 sur le disque 1 au point O permet de caractรฉriser lโaction de freinage dโune garniture. Dรฉterminer cette composante.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) = โซ๐๐โโโโ โ โง ๐๐น 2โ1๐
= โซ๐๐ฅ 2 โง (โ๐๐๐๐ง 1 + ๐๐๐๐๐ฆ 2)๐
= โ๐โซ๐2๐๐๐๐ ๐ฆ 2๐
+ ๐๐โซ๐2๐๐๐๐ ๐ง 1๐
๐ถ๐ 1๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐ = ๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) โ ๐ง 1 = ๐๐โซ ๐2๐๐๐ ๐
๐ ๐
โซ ๐๐ผ
โ๐ผ
๐ = ๐๐ [๐3
3]๐ ๐
๐ ๐
[๐]โ๐ผ๐ผ =
2
3๐๐๐ผ(๐ ๐
3 โ ๐ ๐3)
Question 4 : En dรฉduire le couple total de freinage avec les deux รฉtriers en fonction de ๐ผ, ๐น, ๐, ๐ ๐ et ๐ ๐, avec F la force normale.
๐ถ๐ n๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐ = 2.2
3๐๐๐ผ(๐ ๐
3 โ ๐ ๐3) = 2.
2
3๐
๐น
๐(๐ ๐2 โ ๐ ๐
2)๐ผ(๐ ๐
3 โ ๐ ๐3) = 2.
2
3๐๐น๐ผ
๐
๐ ๐3 โ ๐ ๐
3
๐ ๐2 โ ๐ ๐
2
Remarque : dans le cas gรฉnรฉral on a ๐ถ๐ n๐๐๐๐๐๐ก๐ข๐๐s = ๐2
3๐๐น
๐ ๐3โ๐ ๐
3
๐ ๐2โ๐ ๐
2 avec ๐ le nombre de surfaces de contact et ๐ผ lโangle
dโenroulement. Pour lโรฉtrier dโun vรฉlo cโest pareil ๐ = 2 et ๐ผ = ๐ผ. Pour lโouvre portail de TP, oรน on a 6 surfaces disques trouรฉs, on aurait : ๐ = 6 et ๐ผ = 2๐ (La composante normale du moment est nulle puisquโintรฉgrรฉ entre 0 et 2๐).
En bleu la CEC du bras, en rose la CEC de la sortie du rรฉducteur. On doit limiter le couple transmissible pour des raisons de sรฉcuritรฉs du portail. En tournant dโun quart de tour la vis, on รฉcrase les disques de friction et on impose une force normale au niveau du ventail de 150N comme lโimpose la norme.
Exercice 16 : ASSEMBLAGE PAR FRETTAGE
Question 1 : Reprรฉsenter sur deux schรฉmas plans ou un schรฉma en perspective, la force รฉlรฉmentaire de pression
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) et la force รฉlรฉmentaire de rรฉsistance au glissement ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ1(๐) en un point Q de la surface de contact.
๐๐ = ๐ ๐๐๐๐ง
1
2
3
4
5
6
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Question 2 : Donner lโexpression de la force รฉlรฉmentaire ๐๐น 2โ1(๐).
๐๐น 2โ1 = ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1 + ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ1 Hypothรจse : on se place ร la limite du glissement :
๐๐น 2โ1 = โ๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐๐ง
Remarque : ๐๐น 2โ1 dรฉpend de t, de Q, mais on nโinsiste pas sur cet aspect dans la notation.
Question 3 : Dรฉterminer, ร la limite du glissement, lโeffort axial maximal transmissible en fonction de p et des caractรฉristiques gรฉomรฉtriques du frettage.
๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ1 = โซ๐๐น 2โ1๐
= โซ(โ๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐๐ง ๐
) = โฌ (โ๐๐ ๐๐๐๐ง๐ ๐ + ๐๐๐ ๐๐๐๐ง๐ง ๐,๐ง
) = โ๐๐ โฌ (๐๐๐๐ง๐ ๐ โ ๐๐๐๐๐ง๐ง )๐,๐ง
= ๐๐ ๐ โซ ๐๐2๐
0
โซ ๐๐ง๐ง
๐ฟ2
โ๐ฟ2
= ๐. ๐. 2๐๐ ๐ฟ ๐ง
Le vecteur ๐ ๐ = ๐๐๐ ๐ ๐ฅ + ๐ ๐๐ ๐ ๐ฆ est un vecteur tournant, sa primitive sur [0,2๐] est nulle. Toutes les forces รฉlรฉmentaires normales sโannulaient entre elles 2 ร 2.
Question 4 : Reprรฉsenter sur deux schรฉmas plans ou un schรฉma en perspective, la force รฉlรฉmentaire de pression
๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) et la force รฉlรฉmentaire de rรฉsistance au glissement en un point Q de la surface de
contact.
Question 5 : Donner lโexpression de la force รฉlรฉmentaire๐๐น 2โ1(๐).
๐๐น 2โ1(๐) = ๐๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) + ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ 2โ1(๐)
Hypothรจse : on se place ร la limite du glissement :
๐๐น 2โ1(๐) = โ๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐๐ ๐
Question 6 : Dรฉterminer, ร la limite du glissement, le couple maximal transmissible en fonction de p et des caractรฉristiques gรฉomรฉtriques du frettage.
๏ฟฝโโ๏ฟฝ 2โ1(๐) = โซ ๐๐โโโโโโ โง ๐๐น 2โ1๐ = โซ(๐ ๐ ๐ + ๐ง๐ง ) โง (โ๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐๐ ๐)๐
= โซ ๐ ๐ ๐ โง (โ๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐๐ ๐)๐ = โซ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ง๐ง
๐ =
๐๐๐ 2 โซ ๐๐2๐
0โซ ๐๐ง๐ง ๐ฟ
2
โ๐ฟ
2
= ๐. ๐. 2๐๐ ๐ฟ. ๐ ๐ง avec 2๐๐ ๐ฟ, la surface du cylindre.
Car z est une fonction impaire que lโon intรจgre sur un intervalle centrรฉ en 0.
Exercice 17 : OUVRANT DE BUGGATI
Question 1 : Dรฉterminer lโexpression littรฉrale de la rรฉsultante selon ๐ง de lโaction mรฉcanique du joint infรฉrieur sur la vitre au cours du dรฉplacement de celle-ci.
Hypothรจse :
- On se place ร la limite du glissement
- On se place dans la phase de vie oรน la vitre monte
- La pression linรฉique est constante
2 1( )dT Qโ
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La force rรฉsultante verticale provient du frottement des deux cรดtรฉs de la vitre.
La force รฉlรฉmentaire est
dRโโ (joint โ vitre) = dN xโ + dT z = pdl xโ โ fpdl z (loi de Coulomb)
Rโโ (joint โ vitre). z = 2โซ dl
Rโโ (joint โ vitre). z = 2โซ โfpdll=L+2z
l=0
= โ2fp(L + 2z)
avec z โ [0, H]
Question 2 : Reprรฉsenter lโรฉvolution au cours du temps de la rรฉsultante des efforts rรฉsistants selon ๐ง de lโensemble des joints sur la vitre (2 joints verticaux de hauteur H et un joint horizontal de longueur L). Donner les valeurs numรฉriques minimale et maximale de cet effort.
La force minimale est : Rโโ (joint โ vitre). z = โ2fpL = โ2.0,5.25.0,776 = โ19,4N
La force maximale est : Rโโ (joint โ vitre). z = โ2fp(L + 2H) = โ2.0,5.25. (0,776 + 2.0,450) = โ41,9๐
Question 3 : Indiquer sur ce schรฉma lโaction du joint horizontal infรฉrieur et lโaction des joints verticaux latรฉraux.
Question 4 : Complรฉter le schรฉma-blocs multiphysique pour prendre en compte cet obstacle. Une palette composรฉe de constituants standards est donnรฉ ci-dessous.
Joint horizontal infรฉrieur Modรฉlisรฉ par une action constante
Joints verticaux latรฉraux Modรฉlisรฉs par une action proportionnelle