Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires
On étudie la structure d’espace vectoriel et les morphismes linéaires.
F∩G
0
F
G
11 Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3III Thérie de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4IV Calculs dans L (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6V Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6VI Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8VII Endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9VIII Projections et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10IX Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12X Indications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019-2020 Laurent Kaczmarek
Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪ , ♪♪ , ♪♪♪ et ♪♪♪♪. Certains énoncéssont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercicesnotés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.
I. Sous-espaces vectoriels
1 . Somme de deux plans
Soient E =R3, F = {(x, y, z) ; x + y − z = 0
}et G = {
(a −b, a +b, a −3b) (a,b) ∈R2}.
a. Établir que F et G sont des sev de E.
b. Déterminer F∩G.
c. Prouver que F+G = E. La somme est-elle directe ?
2 . Calculs de projections
Soient E =R4, G = {(x, y, z, t ) ; z = t = 0
}, et F = A∩B où
A = {(x, y, z, t ) ; x − y + z − t = 0
}, B = {
(x, y, z, t ) ; 2x − y +3z −4t = 0}
a. Prouver que F et G sont des sous-espaces vectoriels de l’espace E.
b. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Trouver une base de E adaptée à cette décompositionen somme directe.
c. Calculer le projeté sur F parallélement à G d’un vecteur (x, y, z, t ) de E. Même question en permutant Fet G.
3 . À propos de +&∩ ♪Soient U,V,W trois sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E tel que U ⊂ V.
a. Montrer que U+ (V ∩W) = (U+V)∩ (U+W).
b. Montrer que ce résultat peut être faux lorsque U 6⊂ V.
4 . Quizz ♪Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel F (R,R) lesquels en sont des sous-espaces vecto-riels ?
a. L’ensemble des fonctions dérivables en 0 ;
b. L’ensemble des fonctions monotones surR ;
c. L’ensemble des fonctions prenant la valeur 1 en 0 ;
d. L’ensemble des fonctions prenant la valeur 0 en 1 ;
e. L’ensemble des fonctions de classe C 1 ;
f. L’ensemble des fonctions f telles que : ∃ x ∈R, f (x) = 0 ;
g. L’ensemble des fonctions nulles sur [−1,1] ;
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 2
2019-2020 Laurent Kaczmarek
h. L’ensemble des fonctions admettant une période rationnelle ;
i. L’ensemble des fonctions ayant une limite dansR∪±∞ en +∞.
5 . Un petit pas vers Lagrange ♪Soient E =C 0([0,1],R), C l’ensemble des fonctions constantes sur [0,1], et A l’ensemble des éléments deE s’annulant en 1.
a. Montrer que C et A sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E.
b. Montrer que C est également un supplémentaire dans E du sous-espace suivant
N ={
f ∈ E ;∫ 1
0f (t )dt = 0
}c. Calculer les projetés sur C parallélement à A puis à N d’une fonction f ∈ E.
d. Donner d’autres exemples de supplémentaires de C dans E.
II. Familles de vecteurs
6 . Etude d’une famille deR4
On considère les quatre vecteurs suivants deR4 :
u1 = (1,0,1,0), u2 = (0,1,0,1), u3 = (1,0,−1,0), u4 = (a,b,c,d)
Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b, c et d pour que la famille (u1,u2,u3,u4) soitlibre.
7 . Une famille à paramètre ♪Soient n ∈N, E unK-ev, (xi )1ÉiÉn une famille libre de E et (α1, . . . ,αn) ∈Rn . On pose
y =n∑
k=1αk xk
Donner une condition nécessaire et suffisante sur les αi pour que (y +xi )1ÉiÉn soit une famille libre.
8 . Algebrist’s corner ♪On note f la fonction sin :R→R. Prouver que la famille ( f , f ◦ f , f ◦ f ◦ f ) est libre dans E =RR.
9 . Etude d’une famille de fonctions ♪On note E =RR+ . Prouver que, pour tout n ∈N, la famille ( fk )0ÉkÉn est libre dans les cas suivants :
a. fk : x 7→ ekx ; b. fk : x 7→ xk ekx ; c. fk : x 7→ |x −n| ; d. fk : x 7→ 1
xk +1.
10 . Dépendance linéaire ? ♪Soient v1, v2, v3, . . . , vn des vecteurs linéairement indépendants d’unK-espace vectoriel E.
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 3
2019-2020 Laurent Kaczmarek
a. Les vecteurs v1 − v2, v2 − v3, v3 − v4, . . . , vn − v1 sont-ils linéairement indépendants ?
b. Même question avec : v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, . . . , vn + v1.
11 . Familles libres dans les espaces fonctionnels, X PC-2012 ♪Soient α1, . . . , αn des nombres complexes distincts et, pour k ∈ �1,n�, fk : x 7→ e iαk x . Montrer que la famille( f1, . . . , fn) est libre dansCR.
12 . Le retour de Tchebychev ♪♪Soit E =RR. Pour tout n ∈N, on pose fn : x 7→ cosn(x) et gn : x 7→ cos(nx). Montrer que pour tout n positif,
Vect( f0, . . . , fn) = Vect(g0, . . . , gn)
13 . Un lemme général sur les ensembles ♪♪♪Soit n ∈N∗ et A1, . . ., An+1 des parties de �1,n�.
a. Déterminer la dimension duR-evR�1,n� muni des opérations usuelles.
b. En déduire l’existence de deux parties distinctes I et J de �1,n� telles que⋃i∈I
Ai =⋃j∈J
A j .
III. Thérie de la dimension
14 . B.A.BA
Soient x1, . . ., xn , y1, . . ., yn des vecteurs d’unK-ev E. On suppose que la famille (x1+y1, . . . , xn+yn) est libre.Démontrer que le rang de la famille (x1, . . . , xn , y1, . . . , yn) est au moins égal à n.
15 . Calculs dansR4
Soient F = Vect(a,b,c) et G = Vect(u, v) avec
a = (0,1,−1,2), b = (1,3,0,−2), c = (2,1,−3,4), u = (0,0,2,1), v = (−1,1,0,3)
Calculer les dimensions des sous-espaces vectoriels F,G,F+G et F∩G.
16 . Extraire une base d’une famille génératrice
DansR4, on considère la famille de vecteurs suivante :
u1 = (1,2,−1,3), u2 = (2,3,−3,2,), u3 = (0,1,1,4), u4 = (1,0,−3,−5)
Déterminer le rang de cette famille, préciser les relations de liaison entre ces vecteurs et donner une basede Vect(u1,u2,u3,u4).
17 . Trigo
Déterminer le rang dansRR de la famille ( fi )1ÉiÉ5 définie par :
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 4
2019-2020 Laurent Kaczmarek
f1 : x → 1, f2 :→ sin(x), f3 : x → sin2(x), f4 : x → cos2(x), f5 : x → cos(2x)
18 . Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial ♪Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n Ê 2. On considère un sous-espace vectoriel F de dimen-sion p, avec 0 < p < n et G un supplémentaire de F.
1) Soit a ∈ F et (ei )i∈�1,r � une base de G.
a) Montrer que la famille (a +ei )i∈�1,r � est libre.
b) Montrer que le sous-espace Ga engendré par (a +ei )i∈�1,r � est un supplémentaire de F dans E.
2) En déduire que F admet une infinité de supplémentaires dans E.
19 . Tricotage de rangs ♪Soient E unK-ev et S un système de n vecteurs de rang s. On extrait de S un système S ′ de r vecteurs derang s′. Établir que s′ Ê r + s −n.
20 . Dimension d’une intersection ♪Soit E unK-espace vectoriel de dimension n.
a. Soient F,G deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives p et q . Montrer que
p +q −n É dim(F∩G) É inf(p, q)
b. Plus généralement, si (Fi )1ÉiÉp sont p sous-espaces vectoriels de E de dimensions ni , établir que
p∑i=1
ni −n(p −1) É dim
(p⋂
i=1Fi
)É inf
1ÉiÉp(ni )
21 . Sweet ♥ trigo ♪Soient E =RR et ( f1, f2, . . . , fn) la famille de vecteurs de E définie par ∀i ∈ �1,n� et fi : x → sin(i +x).
a. Calculer le rang de la famille ( f1, f2, f3).
b. Calculer le rang de la famille ( f1, f2, . . . , fn).
22 . D’après X PC-2015 ♪Soient U , V et W trois sous-espaces vectoriels deRn .
a. On suppose que dim(U )+dim(V ) > n. Montrer que U ∩V ne se réduit pas à {0}.
b. On suppose que dim U +dim V +dim W > 2n. Montrer que U ∩V ∩W ne se réduit pas à {0}.
23 . Supplémentaire commun ♪♪Soient E unK-ev, F et G deux sev de E. Montrer que F et G admettent un supplémentaire commun dans Esi et seulement si dim(F) = dim(G).
24 . X-PC 2012 ♪♪Soient E unK-espace vectoriel de dimension n ∈N∗, (e1, . . . ,en) une base de E, F unK-espace vectoriel dedimension p ∈N∗, ( f1, . . . , fp ) une base de F .
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 5
2019-2020 Laurent Kaczmarek
a. Donner sans démonstration une base de E×F ainsi que sa dimension.
b. Montrer que la famille (e2 −e1, . . . ,en −e1) est libre.
c. Soit G le sous-espace de E×F engendré par les (ei , f j ) pour (i , j ) ∈ �1,n�×�1, p�. Déterminer la dimensionde G.
IV. Calculs dans L (E)
25 . Un endomorphisme deR4
On considère E =R4 muni de sa base canonique B = (e1,e2,e3,e4) et
f : (x, y, z, t ) 7→ (2x + y −3z,−4x +3y +24z −57t , x +2y +5z −19t , y +4z −12t )
a. Calculer f 2(e1) et f 2(e2).
b. Montrer que les familles(e1, f (e1), f 2(e1)
)et
(e2, f (e2), f 2(e2)
)sont liées.
c. On note F1 = Vect(e1, f (e1)) et F2 = Vect(e2, f (e2)). Prouver que les sous-espaces F1 et F2 sont supplé-mentaires dans E.
d. Montrer que la famille B′ = (e1, f (e1),e2, f (e2)
)est une base de E.
e. En déduire l’existence de deux réels α et β tels que α f 2 +β f + idE = 0.
f. Montrer que f ∈ GL(E) et que f −1 ∈ Vect(idE, f ).
26 . Le commutant ♪Soit f , une application linéaire de E dans E. On note C ( f ), l’ensemble des applications linéaires g de E dansE qui commutent avec f :
C ( f ) = {g ∈L (E) ; g ◦ f = f ◦ g
}a. Démontrer que C ( f ) est un sous-espace vectoriel de L (E).
b. Vérifier que C ( f ) est stable par composition.
27 . Caractérisation des homothéties ♪♪Soient E un espace vectoriel surK et u un endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille(x,u(x)) soit liée. Montrer que u est une homothétie de E.
V. Image et noyau
28 . Premières armes
Soit Φ :R3 →R4, (x, y, z) 7→ (x + z, y − z, x + y + z, x − y − z).
a. Montrer que Φ est linéaire.
b. Φ est-elle injective ?
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 6
2019-2020 Laurent Kaczmarek
c. Étudier la surjectivité de Φ. Donner une base de Im(Φ).
29 . B.A.BA
On considère l’application f :R3 →R3, (x, y, z) 7→ (−x + z,−y + z, x −2y + z).
a. Démontrer que f est linéaire.
b. Déterminer une base du noyau de f .
c. Déterminer une famille génératrice de Im( f ). En déduire une base de Im( f ).
d. Vérifier que Ker( f ) ⊂ Im( f ).
e. Calculer ( f ◦ f )(x, y, z) et en déduire que f ◦ f est un projecteur.
30 . Introduction au lemme des noyaux ♪Soient E unK-ev et f ∈L (E) tels que f 2 +2 f −3idE = 0. Prouver que E = Ker( f − idE)⊕Ker( f +3idE).
31 . Liberté, liberté chérie ♪Soient E, un espace vectoriel surK et u1, . . ., un des vecteurs de E.
a. Démontrer que l’application φ :Kn → E, (λ1, . . . ,λn) 7→n∑
k=1λk uk est linéaire.
b. Démontrer que φ est injective si, et seulement si, la famille (u1, . . . ,un) est libre.
c. Démontrer que φ est surjective si, et seulement si, la famille (u1, . . . ,un) est génératrice de E.
32 . Une autre preuve de la formule de Grassmann ♪Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
a. Montrer que l’application s : F×G → E, (x, y) 7→ x + y est linéaire.
b. Déterminer l’image et le noyau de s. Vérifier que Ker(s) est isomorphe à F∩G.
c. Montrer ensuite que :
i. s est injective si et seulement si F∩G = {0} ;
ii. s est surjective si et seulement si F+G = E ;
iii. s est un isomorphisme si et seulement si F⊕G = E.
d. Que retrouve-t-on en appliquant le théorème du rang dans le cas où E est de dimension finie ?
33 . CNS pour que noyau et image soient supplémentaires ♪Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E). Montrer que les propositions suivantes sontéquivalentes :
(i) E = Im( f )⊕Ker( f ) ;
(ii) E = Im( f )+Ker( f ) ;
(iii) Im( f ) = Im(
f 2)
;
(iv) Ker( f ) = Ker(
f 2).
34 . Quelques résultats classiques ♪Soit E unK-espace vectoriel et f , g des endomorphismes de E.
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 7
2019-2020 Laurent Kaczmarek
a. Montrer que, si idE − f ◦ g est injectif, alors idE − g ◦ f est injectif. Montrer que, si idE − f ◦ g est surjectif,alors idE − g ◦ f est surjectif.
b. Montrer que Ker( f ◦ g ) = Ker(g ) si et seulement si Ker( f )∩ Im(g ) = {0}.
c. Établir que Im( f ◦ g ) = Im( f ) si et seulement si Ker( f )+ Im(g ) = E.
d. En déduire que f ◦ g est bijectif si et seulement si Im( f ) = E, Ker(g ) = {0} et Ker( f )⊕ Im(g ) = E.
35 . Un endomorphisme de C ([0,1],R) ♪♪
Pour f ∈C ([0,1],R) et x ∈ [0,1], on pose Φ( f )(x) =∫ 1
0min(x, t ) f (t )dt .
a. Prouver que Φ est un endomorphisme de C ([0,1],R).
b. Montrer que Φ( f ) est de classe C 2 et exprimer Φ( f )′′ en fonction de f .
c. En déduire Ker(Φ) et Im(Φ).
36 . Mines PSI-2016 ♪♪Soient n ∈N∗, F et G deux sous-espaces vectoriels deRn .
a. Montrer que ∃u ∈L (Rn), Im u = F et Ker u = G ⇐⇒ dim F+dim G = n.
b. Dans cette question n = 3, F est le plan d’équation x + y + z = 0 et G = Vect ((1,−1,0)). Déterminer unendomorphisme u dont l’image est F et le noyau est G.
VI. Théorème du rang
37 . Inversibilité à droite au à gauche
Soient 0 < p É n, f ∈L (Rn ,Rp ) et g ∈L (Rp ,Rn) tels que f ◦ g = idRp .
a. Calculer rg( f ) et rg(g ).
b. Quelle est la nature de l’endomorphisme g ◦ f deRn ?
38 . Rang d’une composée ♪Soient E, F et G troisK-ev de dimension finie, f dans L (E,F) et g dans L (F,G). Montrer que
rg( f ◦ g ) = rg(g )−dim(Im(g )∩Ker( f )
)
39 . Inégalités de Sylvester ♪Soient E unK-ev de dimension n, F un espace vectoriel surK et u, v ∈L (E,F).
a. Montrer que |rg(u)− rg(v)| É rg(u + v) É rg(u)+ rg(v).
b. Prouver que rg(u+v) = rg(u)+rg(v) si et seulement si Im(u)∩Im(v) = {0} et Ker(u)+Ker(v) = E. Montrerque dans ce cas Ker(u + v) = Ker(u)∩Ker(v).
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 8
2019-2020 Laurent Kaczmarek
40 . Posé à Centrale ♪Soient E un R-ev de dimension finie n, f et g dans L (E) tels que f + g ∈ GL(E) et f ◦ g = 0. Montrer querg( f )+ rg(g ) = n.
41 . Classique à l’oral ♪Soient E unK-ev de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E.
a. Établir que dim(Ker( f ◦ g )
)É dim(Ker( f )
)+dim(Ker(g )
).
b. Montrer que l’inégalité précédente est une égalité si et seulement si Ker( f ) ⊂ Im(g ).
42 . Inégalité de Frobenius ♪Soient f ∈L (E,F), g ∈L (F,G) et h ∈L (G,H) où E, F, G et H sont des espaces vectoriels de dimension finie.Montrer que
rg(g ◦ f )+ rg(h ◦ g ) É rg(h ◦ g ◦ f )+ rg(g )
43 . X PC-2016 ♪♪♪Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈L (E). Montrer que f ◦ f = 0 si et seulement s’il existeg et h dans L (E) tels que g ◦h = f et h ◦ g = 0.
VII. Endomorphismes nilpotents
44 . Endomorphismes de carré nul
Soient E K-ev de dimension n et f une application linéaire de E dans lui-même. Montrer que les deuxassertions qui suivent sont équivalentes :
a. Ker( f ) = Im( f ) ; b. f 2 = 0, n = 2rg( f ).
45 . Propriétés des endomorphismes nilpotents ♪Soit E unR-ev. Si u ∈L (E), on dit que u est nilpotent si et seulement si existe q ∈N tel que uq = 0. On posep = min{ q ∈N ; uq = 0} ; cet entier est appelé indice de nilpotence de u.
a. Montrer que, si u est nilpotent, alors u n’est ni injectif ni surjectif.
b. Soient u et v nilpotents tels que u ◦ v = v ◦u. Montrer que u + v et u ◦ v sont nilpotents.
c. Supposons u nilpotent et soit p son indice de nilpotence.
i. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que(x,u(x), . . . ,up−1(x)
)soit libre.
ii. En déduire que rg(u) Ê p −1.
iii. Montrer que, si k Ê dim(E), alors uk = 0.
d. Montrer que si u est nilpotent, alors idE −u est inversible.
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 9
2019-2020 Laurent Kaczmarek
e. Pour tout u ∈L (E) nilpotent d’indice p +1, on pose
exp(u) :=p∑
k=0
uk
k !
Vérifier que, si u et v sont deux endomorphismes nilpotents de E qui commutent, on a
exp(u + v) = exp(u)exp(v)
46 . Nilpotent en dimension finie ♪Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E tel que
∀x∈E ∃m ∈N , f m(x) = 0
Montrer que f est nilpotent. Exhiber un contre-exemple en dimension infinie.
47 . Retour des nilpotents ♪Soient E unK-ev de dimension 3 et f appartenant à L (E).
a. On suppose dans cette question que f 2 = 0 et f 6= 0. Calculer le rang de f .
b. On suppose dans cette question que f 3 = 0 et f 2 6= 0. Calculer le rang de f .
48 . Mines ♪♪Soit E unK-ev de dimension finie et f un endomorphisme de E nilpotent d’indice n. On pose
Φ : L (E) −→ L (E)
g 7−→ f ◦ g − g ◦ f
a. Établir que Φ est un endomorphisme nilpotent.
b. Soit a ∈L (E). Montrer que ∃b ∈L (E) tel que a ◦b ◦a = a. En déduire l’indice de Φ.
VIII. Projections et symétries
49 . Inversibilité à droite
Soient E unK-ev, f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g = idE.
a. Établir que f est surjective et g injective.
b. Montrer que p = g ◦ f est un projecteur de E.
c. Établir que Im(p) = Im(g ) et Ker(p) = Ker( f ).
d. Montrer que Ker( f )⊕ Im(g ) = E.
50 . Sous les projecteurs ♪Soient E unK-ev, p1 et p2 deux projecteurs de E tels que p1 ◦p2 = 0. On pose q = p1 +p2 −p2 ◦p1.
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 10
2019-2020 Laurent Kaczmarek
a. Montrer que q est un projecteur de E.
b. Prouver que Ker(q) = Ker(p1)∩Ker(p2) et Im(q) = Im(p1)⊕ Im(p2).
51 . X PC-2019 ♪♪Soit E un K-ev de dimension finie, p et q deux projecteurs de E de même rang. Démontrer l’existence de(u, v) ∈L (E)2 tel que p = u ◦ v et q = v ◦u.
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 11
2019-2020 Laurent Kaczmarek
IX. Indications
1 . Somme de deux plans
F et G sont des plans, F∩G une droite.
2 . Calculs de projections
C’est une routine dès que l’on réussit à écrire A∩B sous forme paramétrique.
3 . À propos de +&∩Raisonner par double inclusion au a). Rechercher un contre-exemple dans le plan au b).
4 . Quizz
Seuls b), c), f) et i) ne sont pas des sev.
5 . Un petit pas vers Lagrange
Procéder à une Analyse-Synthèse.
6 . Etude d’une famille deR4
Se ramener à discuter le rang d’un système linéaire.
7 . Une famille à paramètre
La CNS recherchée estn∑
k=1αk 6= −1.
8 . Algebrist’s corner
Vérifier que la famille est libre en écrivant des DL(0) afin d’obtenir un système linéaire sur les coefficients.
9 . Etude d’une famille de fonctions
Utiliser les croissances comparées.
10 . Dépendance linéaire ?
Revenir à la définition.
11 . Familles libres dans les espaces fonctionnels, X PC-2012
Raisonner par récurrence.
12 . Le retour de Tchebychev
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 12
2019-2020 Laurent Kaczmarek
Utiliser la linéarisation, les nombres complexes. . .
13 . Un lemme général sur les ensembles
Au b., justifier que la famille (1A1 , . . . ,1An+1 ) est liée.
14 . B.A.BA
Le sous-espace vectoriel Vect(x1, . . . , xn , y1, . . . , yn) contient une famille de rang n.
15 . Calculs dansR4
F est de dimension trois et G de dimension deux.
16 . Extraire une base d’une famille génératrice
Le rang vaut 2.
17 . Trigo
Réviser votre formulaire préféré.
18 . Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial
Il suffit de vérifier que (ei )i∈�1,r � est libre.
19 . Tricotage de rangs
Compléter les r vecteurs de S′ par les n−r autres vecteurs de S. Que dire du rang de la famille ainsi obtenue ?
20 . Dimension d’une intersection
Le a) découle des inclusions F∩G ⊂ F, F∩G ⊂ G et F+G ⊂ E. Raisonner par récurrence au b).
21 . Sweet ♥ trigo
Le rang vaut deux pour tout n Ê 2.
22 . D’après X PC-2015
On peut par exemple raisonner par l’absurde.
23 . Supplémentaire commun
Raisonner par récurrence (descendante) sur la dimension commune de F et G.
24 . X-PC 2012
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 13
2019-2020 Laurent Kaczmarek
On trouve dim G = n +p −1.
25 . Un endomorphisme deR4
On trouve f 2 + f + idE = 0.
26 . Le commutant
On pourra vérifier au a) que C ( f ) est le noyau d’une application linéaire de L (E) dans L (E).
27 . Caractérisation des homothéties
Pour tout vecteur x non nul, il existe un unique λx tel que u(x) = λx x. Il faut montrer que λx ne dépend pasde x. Considérer pour cela une famille de vecteurs (x, y). Examiner les cas d’une famille liée puus libre.
28 . Premières armes
L’application est injective mais pas surjective.
29 . B.A.BA
Pour le c) : en cherchant les relations de liaison entre les vecteurs d’une famille génératrice, on peut dimi-nuer cette famille jusqu’à obtenir une base.
30 . Introduction au lemme des noyaux
Analyse-Synthèse, please.
31 . Liberté, liberté chérie
Appliquer simplement la définition d’une famille libre.
32 . Une autre preuve de la formule de Grassmann
L’isomorphisme de F∩G sur Ker(s) est donné par x 7→ (x,−x).
33 . CNS pour que noyau et image soient supplémentaires
Utiliser le théorème du rang pour démontrer (i v) ⇒ (i ).
34 . Quelques résultats classiques
Au a), remarquer que ( f ◦ g )(x) = x implique (g ◦ f )( f (x)) = f (x).
35 . Un endomorphisme de C ([0,1],R)
En utilisant la relation de Chasles, trouver une autre expression de Φ( f )(x) pour établir que Φ( f ) est declasse C 2.
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 14
2019-2020 Laurent Kaczmarek
36 . Mines PSI-2016
Pour l’implication non triviale, considérer un supplémentaire S de G dans E puis s’aider d’une base adaptéeà la décomposition E = G⊕S pour définir u.
37 . Inversibilité à droite au à gauche
Les deux rangs valent p. L’endomorphisme g ◦ f est une projection deRn .
38 . Rang d’une composée
Appliquer le théorème du rang à la restriction de f à Im(g ).
39 . Inégalités de Sylvester
Remarquer que Im(u + v) ⊂ Im(u)+ Im(v) et appliquer la formule de Grassmann.
40 . Posé à Centrale
Appliquer le théorème du rang.
41 . Classique à l’oral
Appliquer le théorème du rang à h = f∣∣Im(g ) .
42 . Inégalité de Frobenius
On pourra remarquer que Im(v ◦u) = Im v| Im(u).
43 . X PC-2016
Pour l’implication non triviale, définir g et h sur une base de E bien choisie.
44 . Endomorphismes de carré nul
On pourra utiliser la formule du rang.
45 . Propriétés des endomorphismes nilpotents
Utiliser la formule de la série géométrique au d).
46 . Nilpotent en dimension finie
Travailler avec une famille génératrice finie.
47 . Retour des nilpotents
Le rang de f est 1 au a) et 2 au b).
48 . Mines
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 15
2019-2020 Laurent Kaczmarek
a. Trouver p tel que k Ê n ou p −k Ê n pour tout 0 É k É p.
b. Souvenez-vous que a induit un isomorphisme d’un supplémentaire de Ker(a) sur Im(a).
49 . Inversibilité à droite
Penser au noyau pour l’injectivité.
50 . Sous les projecteurs
Exploiter sans relâche la relation p2 = p et se souvenir que, si f est un projecteur, y ∈ Im( f ) si et seulementsi f (y) = y .
51 . X PC-2019
Utiliser des bases adaptées aux décompositions E = Im p ⊕Ker p et E = Im q ⊕Ker q .
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 16
2019-2020 Laurent Kaczmarek
X. Indications
1 . Somme de deux plans
F et G sont des plans, F∩G une droite.
2 . Calculs de projections
C’est une routine dès que l’on réussit à écrire A∩B sous forme paramétrique.
3 . À propos de +&∩Raisonner par double inclusion au a). Rechercher un contre-exemple dans le plan au b).
4 . Quizz
Seuls b), c), f) et i) ne sont pas des sev.
5 . Un petit pas vers Lagrange
Procéder à une Analyse-Synthèse.
6 . Etude d’une famille deR4
Se ramener à discuter le rang d’un système linéaire.
7 . Une famille à paramètre
La CNS recherchée estn∑
k=1αk 6= −1.
8 . Algebrist’s corner
Vérifier que la famille est libre en écrivant des DL(0) afin d’obtenir un système linéaire sur les coefficients.
9 . Etude d’une famille de fonctions
Utiliser les croissances comparées.
10 . Dépendance linéaire ?
Revenir à la définition.
11 . Familles libres dans les espaces fonctionnels, X PC-2012
Raisonner par récurrence.
12 . Le retour de Tchebychev
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 17
2019-2020 Laurent Kaczmarek
Utiliser la linéarisation, les nombres complexes. . .
13 . Un lemme général sur les ensembles
Au b., justifier que la famille (1A1 , . . . ,1An+1 ) est liée.
14 . B.A.BA
Le sous-espace vectoriel Vect(x1, . . . , xn , y1, . . . , yn) contient une famille de rang n.
15 . Calculs dansR4
F est de dimension trois et G de dimension deux.
16 . Extraire une base d’une famille génératrice
Le rang vaut 2.
17 . Trigo
Réviser votre formulaire préféré.
18 . Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial
Il suffit de vérifier que (ei )i∈�1,r � est libre.
19 . Tricotage de rangs
Compléter les r vecteurs de S′ par les n−r autres vecteurs de S. Que dire du rang de la famille ainsi obtenue ?
20 . Dimension d’une intersection
Le a) découle des inclusions F∩G ⊂ F, F∩G ⊂ G et F+G ⊂ E. Raisonner par récurrence au b).
21 . Sweet ♥ trigo
Le rang vaut deux pour tout n Ê 2.
22 . D’après X PC-2015
On peut par exemple raisonner par l’absurde.
23 . Supplémentaire commun
Raisonner par récurrence (descendante) sur la dimension commune de F et G.
24 . X-PC 2012
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 18
2019-2020 Laurent Kaczmarek
On trouve dim G = n +p −1.
25 . Un endomorphisme deR4
On trouve f 2 + f + idE = 0.
26 . Le commutant
On pourra vérifier au a) que C ( f ) est le noyau d’une application linéaire de L (E) dans L (E).
27 . Caractérisation des homothéties
Pour tout vecteur x non nul, il existe un unique λx tel que u(x) = λx x. Il faut montrer que λx ne dépend pasde x. Considérer pour cela une famille de vecteurs (x, y). Examiner les cas d’une famille liée puus libre.
28 . Premières armes
L’application est injective mais pas surjective.
29 . B.A.BA
Pour le c) : en cherchant les relations de liaison entre les vecteurs d’une famille génératrice, on peut dimi-nuer cette famille jusqu’à obtenir une base.
30 . Introduction au lemme des noyaux
Analyse-Synthèse, please.
31 . Liberté, liberté chérie
Appliquer simplement la définition d’une famille libre.
32 . Une autre preuve de la formule de Grassmann
L’isomorphisme de F∩G sur Ker(s) est donné par x 7→ (x,−x).
33 . CNS pour que noyau et image soient supplémentaires
Utiliser le théorème du rang pour démontrer (i v) ⇒ (i ).
34 . Quelques résultats classiques
Au a), remarquer que ( f ◦ g )(x) = x implique (g ◦ f )( f (x)) = f (x).
35 . Un endomorphisme de C ([0,1],R)
En utilisant la relation de Chasles, trouver une autre expression de Φ( f )(x) pour établir que Φ( f ) est declasse C 2.
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 19
2019-2020 Laurent Kaczmarek
36 . Mines PSI-2016
Pour l’implication non triviale, considérer un supplémentaire S de G dans E puis s’aider d’une base adaptéeà la décomposition E = G⊕S pour définir u.
37 . Inversibilité à droite au à gauche
Les deux rangs valent p. L’endomorphisme g ◦ f est une projection deRn .
38 . Rang d’une composée
Appliquer le théorème du rang à la restriction de f à Im(g ).
39 . Inégalités de Sylvester
Remarquer que Im(u + v) ⊂ Im(u)+ Im(v) et appliquer la formule de Grassmann.
40 . Posé à Centrale
Appliquer le théorème du rang.
41 . Classique à l’oral
Appliquer le théorème du rang à h = f∣∣Im(g ) .
42 . Inégalité de Frobenius
On pourra remarquer que Im(v ◦u) = Im v| Im(u).
43 . X PC-2016
Pour l’implication non triviale, définir g et h sur une base de E bien choisie.
44 . Endomorphismes de carré nul
On pourra utiliser la formule du rang.
45 . Propriétés des endomorphismes nilpotents
Utiliser la formule de la série géométrique au d).
46 . Nilpotent en dimension finie
Travailler avec une famille génératrice finie.
47 . Retour des nilpotents
Le rang de f est 1 au a) et 2 au b).
48 . Mines
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 20
2019-2020 Laurent Kaczmarek
a. Trouver p tel que k Ê n ou p −k Ê n pour tout 0 É k É p.
b. Souvenez-vous que a induit un isomorphisme d’un supplémentaire de Ker(a) sur Im(a).
49 . Inversibilité à droite
Penser au noyau pour l’injectivité.
50 . Sous les projecteurs
Exploiter sans relâche la relation p2 = p et se souvenir que, si f est un projecteur, y ∈ Im( f ) si et seulementsi f (y) = y .
51 . X PC-2019
Utiliser des bases adaptées aux décompositions E = Im p ⊕Ker p et E = Im q ⊕Ker q .
LLG – PCSI 2 Exercices 11 \ 21