UNIVERZITET U TUZLI
Mašinski fakultet
Proizvodno mašinstvo
Predmet: CAD/CAM sistemi
Seminarski rad Tema: FEM analiza
Tuzla, 2013.
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 2
1.Uvod
Metoda konačnih elemenata spada u savremene metode numeričke
analize.Njezina primjena prvo je počela u oblasti proračuna inženjerskih
konstrukcija.Osnovna ideja o tzv. fizičkoj diskretizaciji kontinuuma, na kojoj se
zasniva MKE je vrlo stara, otprilike koliko i ljudsko nastojanje da se teško
rješivi problemi zamjene jednostavnijim, za koje se lakše nalaze rješenja.Kao
primjer za ilustraciju može se navesti problem određivanja opsega ili
površinekruga, na osnovu njegove podjele na manje dijelove pravilnog oblika.
Grčki matematičar i fizičar Arhimed, računao je broj π , odnosno granice
između kojih se nalazi numerička vrijednost ovog broja na taj način što je
konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim poligonom sa konačnim
brojem stranica. Sa povećanjem broja stranica poligona, odnosno sa
smanjivanjem njihove dužine, smanjivala se i razlika između granica u kojima
se nalazi broj π, a povećavala tačnost njegove numeričke vrijednosti. Otprilike
u isto vrijeme, na sličan način, u starom Egiptu je računat volumen piramide i
površina sfere, a u Kini je dat dokaz poznatog Pitagorinog teorema. Sa ovim
prvim jednostavnim primjerima, otvorena su neka fundamentalna pitanja, kao
što su: tačnost rješenja, gornja i donja granica aproksimacije, monotonost i
brzina konvergencije i dr. koja su i danas u MKE
veoma aktualna i značajna sa teoretskog i praktičnog stajališta. Razvoj
metode konačnih elemenata počeo je polovicom prošlog stoljeća. U početnoj
fazi on se odvijao kroz dva međusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski,
a odmah zatim matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim
proračunima zamjenjivane su diskretnim sustavima koji su se sastojali od
štapova i koji su računati po poznatim postupcima statike linijskih nosača. Od
strane matematičara, tražena su približna rješenja određenih graničnih
zadataka pomoću diskretnih modela uz primjenu varijabilnih postupaka. Ova
dva prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od
ogromnogznačaja za dalji brzi razvoj i široku primjenu MKE.
2. Osnove na kojima se zasniva MKE
Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od
ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji
jednadžbi graničnih problema, MKE se zasniva na fizičkoj diskretizaciji
razmatranog područja. Umjesto elementa diferencijalno malih dimenzija, osnovu
za sva proučavanja predstavlja dio područja konačnih dimenzija, manje
područje ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednadžbe pomoću kojih se
opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formulira i problem u
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 3
cjelini, umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske. Sa stajališta
fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područje, kao kontinuum sa
beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje diskretnim modelom
međusobno povezanih konačnih elemenata, sa konačnim brojem stupnjeva
slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični
problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji
najbolje aproksimira odgovarajući granični problem.
Suština aproksimacije kontinuuma po MKE, sastoji se u sljedećem:
1. Razmatrano područje kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, dijeli
se na određeni broj manjih područja konačnih dimenzija. Pojedina manja
područja se nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cijelo područje sustav
ili mreža konačnih elemenata.
2. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom
broju tačaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te tačke se nazivaju
čvorne tačke ili čvorovi.
3. Stanje u svakom konačnom elementu (npr. polje pomaka, deformacija,
naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoću interpolacionih
funkcija i konačnog broja parametara u čvorovima koji predstavljaju osnovne
nepoznate veličine u MKE.
4. Za analizu i proračun sustava konačnih elemenata važe svi principi i
postupci koji važe za klasične diskretne sustave.
2.1. Različiti aspekti MKE
Prema načinu na koji se izvode i formuliraju osnovne jednadžbe MKE, odnosno
jednadžbe za pojedine konačne elemente, postoje četiri osnovna aspekta MKE
i to:
- direktna metoda,
- varijabilna metoda,
- metoda rezidiuma i
- metoda energetskog balansa.
Direktna metoda je analogna metodi deformacije u proračunu linijskih nosača.
Ova
metoda se može koristiti kod relativno jednostavnih problema, a pogodna je
zbog
jasnog geometrijsko-mehaničkog značenja pojedinih koraka aproksimacije.
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 4
Varijabilna metoda se zasniva na principu o stacionarnosti funkcija. U
problemima
mehanike čvrstog tijela funkcija je obično potencijalna odnosno
komplementarna
energija sustava ili se funkcija formulira na osnovu ove dvije energije. Za
razliku od direktne metode, koja se može primijeniti samo na elemente sasvim
jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na
elemente jednostavnog i elemente složenog oblika.
Metoda reziduuma je opći aspekt aproksimacije po MKE, koji se zasniva na
diferencijalnim jednadžbama razmatranog problema. Ova metoda ima naročito
primjenu kod onih problema kod kojih je teško formulirati funkciju i onih
problema kod kojih funkcija uopće ne egzistira.
Metoda energetskog balansa se zasniva na balansu različitih aspekta energije
i ima primjenu u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontinuuma. Od
navedenih aspekta MKE, u mehanici čvrstih deformacijskih tijela od posebnog
su značaja varijabilna metoda i metoda reziduuma, koje u području primjene
predstavljaju dvije komplementarne metode podjednake tačnosti. Za razliku od
klasičnih varijabilnih metoda u kojima izbor interpolacionih funkcija zavisi od
konfiguracije razmatranog problema, u MKE to nije slučaj, s obzirom na to da
se interpolacione funkcije definiraju isključivo u okvirima pojedinih konačnih
elemenata. Interpolacione funkcije su skup međusobno nezavisnih funkcija,
koje se usvajaju za element, tako da su im vrijednosti u području svih ostalih
elemenata, osim elemenata na koji se odnose, identično jednake nuli.
2.2. Algoritamski koncepti MKE
Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po MKE uvijek se svode na
tzv. proces korak po korak, što je od ogromnog praktičnog značaja za
primjenu računala u efektivnom proračunu. U tom procesu koji se može
prikazati kao jednostavan algoritam, izdvaja se sljedećih šest najvažnijih
koraka:
1. diskretizacija kontinuuma
2. izbor interpolacionih funkcija
3. računanje karakteristika elemenata
4. formiranje jednadžbi za mrežu konačnih elemenata
5. rješavanje sistema jednadžbi
6. proračun potrebnih utjecaja
Od navedenih šest koraka, prva tri su naročito važna. Način diskretizacije,
izbor oblika elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode
problema koji se rješava i potrebne tačnosti traženog rješenja. Pored broja i
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 5
oblika elemenata važan je i izbor čvorova, osnovnih nepoznatih u njima i
interpolacionih funkcija.Pomoću interpolacionih funkcija se definira polje
promjenjivih u svakom elementu, od njihovog izbora neposredno zavisi i
kontinuitet na granicama između pojedinih elemenata, a samim tim i tačnost
aproksimacije. Promjenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili
tenzorske veličine. Karakteristike pojedinih elemenata određuju se nezavisno
od mreže elemenata kao cjeline. Matrica krutosti se formira autonomno za
pojedine elemente, a potom na osnovu njih, sasvim jednostavno, formira se
matrica za sustav u cjelini. S obzirom na to da je geometrija elemenata po
pravilu jednostavna, to praktično znači da se kompleksan problem razbija na
niz jednostavnih. Posljednja tri koraka, iako su za praktične proračune od
velikog značaja, danas spadaju u okvire rutinskog posla, koji je prilagođen
automatskom radu računala.
3. Opća teorija MKE
Osnovni princip na kojem se zasniva MKE, kao što sam već rekao, sastoji se u
podjeli razmatranog područja na konačan broj manjih područja odnosno
elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata, uz pretpostavku o
njihovoj međusobnoj povezanosti, analizira cjelina. Ovaj pristup u analizi, gdje
se od posebnog ide ka općem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se
analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se
primjenjuje u mnogim područjima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema
kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni
pristup je od posebnog značaja.U okviru MKE, razmatrano područje zamjenjuje
se velikim brojem malih dijelova konačnih dimenzija, koji su međusobno
povezani u određenom broju tačaka. Na ovaj način, područje sa
beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje se diskretnim sustavom sa
konačnim brojem stupnjeva slobode i analizira metodama diskretne analize. U
matematičkoj formulaciji, ovo znači da se razmatrani problem prevodi iz
područja analize u područje algebre. MKE se može shvatiti kao metoda
numeričke analize o okviru koje se definira način prevođenja kontinuiranih
fizičkih sustava u diskretne, odnosno način formiranja sustava algebarskih
jednadžbi pomoću kojih se aproksimira određeni konturni zadatak. S obzirom
na to da taj način nije jedinstven, to ni formulacija metoda konačnih
elemenata nije jedinstvena. Postoje različite varijante MKE, koje u suštini
znače isto, ali se razlikuju u pogledu formalnog pristupa.
3.1. Pretpostavke i procedura proračuna:
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 6
- Uspostavljaju se osnovne relacije (funkcije) između geometrijskih i
fizičkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija.
- Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija koje definišu ove veličine.
- Zavisnosti između srednjih vrednosti ovih veličina proširuju se na cijeli
domen.
- Dobijene su diferencijalne jednačine (obične ili parcijalne), odnosno
integralne ili integrodiferencijalne jednačine.
- Utvrđuju se konturni (granični) i inicijalni uslovi.
- Dobijenom jednačinom i graničnim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan
je granični problem.
- Rješenja graničnog problema mogu biti u zatvorenom obliku i/ili približna
rješenja zasnovana na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnog
problema.
- Približna rješenja svode problem na domen algebre, tj. rešavanje sistema
linearnih algebarskih jednačina.
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 7
3.2. Karakteristike Metode konačnih elemenata (MKE)
- Savremena metoda numeričke analize, metoda diskretne analize.
- Jednostavna matematička formulacija i način za rješavanje problema.
- Osnov za razmatranje problema (umjesto diferencijalno malog elementa) je
dio domena konačnih dimenzija, poddomen, konačni element.
- Poddomen, konačni element, ima iste karakteristike kao i domen.
- Jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim konačnim elementima
su obične algebarske jednačine.
- Domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode zamenjen je diskretnim
modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem
stepeni slobode (nepoznate veličine).
- Usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u konačnom
broju tačaka, čvorovima modela.
- Problem izbora diskretnog modela i izbora nepoznatih (stepena slobode)
koji mogu da opišu odgovarajući konturni problem.
- Uslov za primjenu metode je bio razvoj računarske tehnike (mogućnost
rješavanja velikih sistema jednačina).
3.3. Postupak
1. Razmatrani domen (nosač) se dijeli na konačan broj poddomena (konačnih
elemenata) , formiranje mreže konačnih elemenata.
2. Izbor konačnog broja parametara (nepoznatih veličina) u čvorovima za
opisivanje razmatranog problema.
3. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu
pomoću usvojenih nepoznatih veličina.
4. Uvrđivanje parametara na konturi domena.
5. Utvrđivanje čvornog opterećenja.
6. Postavljanje uslovnih jednačina, matrice sistema i vektora slobodnih
članova.
7. Rješavanje nepoznatih parametara (rješavanje sistema algebarskih
jednačina).
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 8
3.4. Metoda deformacija
Na slici je prikazano područje D elastičnog kontinuuma, koji je ograničen
konturom S, tako da su na djelu konture SϬ zadani konturni uvjeti po silama,
a na djelu Su konturni uvjeti po pomacima. U području D djeluju zapreminske
sile F (Fx, F
y, F
z), a na konturi SϬ površinske sile p ( px
, py, p
z). Za pomake u
u području D se predpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata u=u
(x,y,z) odnosno:
u = u (x,y,z)
v = v (x,y,z)
w = w (x,y,z)
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 9
Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formulira po pomacima, odnosno
po metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomaka, koje
zadovoljavaju uvjete ravnoteže i uvjete na konturi, odnosno diferencijalne
jednadžbe i konturne uvjete. Granični zadatak koji je formuliran na ovaj način,
u kinematičkom smislu, predstavlja sustav s beskonačnim brojem stupnjeva
slobode. Zadatak je da se odredi rješenje ovog graničnog problema pomoću
odgovarajućeg diskretnog sustava, sa konačnim brojem stupnjeva slobode,
odnosno kao rješenje odgovarajućeg sustava algebarskih jednačina.
Razmatrano područje D dijeli se na konačan broj malih dijelova –konačnih
elemenata, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka, koje se
nazivaju čvorovi.
Ako se pretpostavi da se pomaci u bilo kojoj tačci konačnog elementa mogu,
na određeni način, prikazati u zavisnosti od pomaka u čvorovima, onda se
problem određivanja polja pomaka u području D svodi na određivanje pomaka
u čvorovima, a broj pomaka u čvorovima je konačan. Pomaci u čvorovima u
području D i na konturi S određuju se iz sustava jednadžbi, koje predstavljaju
uvjete ravnoteže u čvorovima, uvjete kontinuiteta u čvorovima i konturnih
uvjeta na konturi S. Ove jednadžbe se mogu formirati na osnovu principa
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 10
virtualnih pomaka ili na osnovu varijabilnog principa o minimumu potencijalne
energije. Kada je poznato polje pomaka, nije teško dobiti polje deformacija i
polje napona.
3.5. Analiza elemenata
Na slici je prikazan konačni element, koji je izdvojen iz sustava elemenata sa
predhodne slike. Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao
dvodimenzionalni, ograničen sa pravolinijskim konturama. Ovim se ne želi suziti
opseg razmatranja, koja važe za jednodimenzionalne i višedimenzionalne
elemente sa ravnim i krivim konturama.
Na elementu je usvojen određen broj tačaka na konturi, koje se nazivaju
čvorne tačke ili čvorovi. Čvorovi su obilježeni brojevima 1,2, … k … K, gdje je K
ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi se nazivaju vanjski čvorovi, da bi se
razlikovali od čvorova koji mogu biti usvojeni u elementu i koji se nazivaju
unutrašnji čvorovi. Ukupan broj unutrašnjih čvorova obilježen je sa R.U
čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veličine, usvajaju se parametri
pomaka. Pod pomacima, ovdje se podrazumijevaju pomaci u generaliziranom
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 11
smislu, tj. komponente pomaka, njihove kombinacije i sl. Broj parametara
pomaka u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Npr. kod
trodimenzionalnih problema u svakom čvoru, za parametre pomaka se usvajaju
po tri komponente pomaka (u, v, w) kod dvodimenzionalnih po dvije (u, v), kod
savijanja ploča najmanje po tri itd. Parametri pomaka u čvorovima često se
nazivaju stupnjevi slobode, po analogiji sa značenjem koje ove veličine im aju u
statici linijskih sustava. Ako je u svakom čvoru usvojeno po S parametara
pomaka, element ima SxK vanjskih stupnjeva slobode i SxR unutrašnjih
stupnjeva slobode.
4. Naponi i deformacije
Zamislimo da je elastično opterećeno tijelo presječeno na 2 dijela nekom
proizvoljnom ravninom, dejstvo odbačenog desnog dijela tijela zamjenjuju
unutrašnje sile koje nastoje dovesti tijelo u ravnotežu.
Postaviti statičke jednačine ravnoteže, odrediti unutrašnje sile, komponente
glavnog vektora i glavnog momenta.
Odnos unutrašnje sile i površine na koju ona djeluje je srednji napon p
sr.Kada
elementarna površina teži nuli, srednji napon teži totalnom naponu u tački
presjeka.
Komponenta totalnog napona koja leži u pravcu normale presjeka naziva se
normalni napon Ϭ,dok ona koja leži u ravni presjeka predstavlja tangencijalni
napon T. Kroz svaku tačku može se provući beskonačno mnogo ravni, te će u
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 12
svakoj ravni totalni napon imati različitu vrijednost. Skup napona za sve
presjeke koji prolaze kroz tačku karakteriše naponsko stanje u tački.
Naponsko stanje u tački je definisano sa 6 komponenti napona koje
predstavljaju tenzor napona.
Površine u kojima tangencijalnih napona nema su glavne površine, a normalni
naponi koji djeluju u tim površinama su glavni naponi. Kroz svaku tačku
napregnutog tijela mogu da se postave tri međusobno okomite normalne ravni
u kojima djeluju samo normalni naponi.
Složeno naponsko stanje se može predstaviti Von-Misesovim naponom.
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 13
Von-Mises napon je veoma značajna vrijednost čije dejstvo reprezentuje
odgovarajuće troosno stanje. Ovako definisan efektivni napon pri prostornom
naponskom stanju uvijek je moguće uspoređivati sa odgovarajućim stvarnim
naponom pri jednoosnom zatezanju, što je od praktičnog značaja.
Izraz za proračun Von-Mises napona kod složenog naponskog stanja
Hukov zakon
Relativna deformacija:
0
ΔLε=
L
Hukov zakon:
E
E
, E tg
0
FMPa
S
0FLE
S L
Veza između napona i deformacije: k = Ϭ∙(ε+1)
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 14
k – specifični deformacioni otpor
5. FEM analiza u programu CATIA
- modeliranje objekta
- određivanje materijala i njegovih svojstava
- određivanje veličine mreže i njeno postavljanje
- definisanje oslonaca
- definisanje opterećenja
- analiza
Na sljedećem primjeru će biti predstavljen primjer izvođenja FEM analize u
programu Catia, te interpretacija rezultata, na proizvoljno modeliranom
nosaču.
Predmet ispitivanja
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 15
Postavljanje mreže, oslonaca i opterećenja
Von – Mises napon
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 16
Deformacija mreže
Polje deformacija
CAD/CAM sistemi
Mašinski fakultet Tuzla Page 17
Prikaz max Von-Mises napona
Iz analize nosača se vidi da je maximalno naprezanje na području gornjeg
pojasa i iznosi 99,6 N/mm2. Također vidimo i da je najveća deformacija-progib
nosača na gornjoj površini 2,63 mm, na mjestu gdje je rebro nosača najmanjeg
presjeka, te se smanjuje prema osloncu. S obzirom da je max.napon u ovoj
analizi 99,6 N/mm2, a za čelik napon na granici tečenja i zatezna čvrstoća
imaju mnogo veće vrijednosti, možemo zaključiti da nosač može izdržati data
opterećenja.