Fem

UNIVERZITET U TUZLI

Mašinski fakultet

Proizvodno mašinstvo

Predmet: CAD/CAM sistemi

Seminarski rad Tema: FEM analiza

Tuzla, 2013.

CAD/CAM sistemi

Mašinski fakultet Tuzla Page 2

1.Uvod

Metoda konačnih elemenata spada u savremene metode numeričke

analize.Njezina primjena prvo je počela u oblasti proračuna inženjerskih

konstrukcija.Osnovna ideja o tzv. fizičkoj diskretizaciji kontinuuma, na kojoj se

zasniva MKE je vrlo stara, otprilike koliko i ljudsko nastojanje da se teško

rješivi problemi zamjene jednostavnijim, za koje se lakše nalaze rješenja.Kao

primjer za ilustraciju može se navesti problem određivanja opsega ili

površinekruga, na osnovu njegove podjele na manje dijelove pravilnog oblika.

Grčki matematičar i fizičar Arhimed, računao je broj π , odnosno granice

između kojih se nalazi numerička vrijednost ovog broja na taj način što je

konturu kruga aproksimirao upisanim odnosno opisanim poligonom sa konačnim

brojem stranica. Sa povećanjem broja stranica poligona, odnosno sa

smanjivanjem njihove dužine, smanjivala se i razlika između granica u kojima

se nalazi broj π, a povećavala tačnost njegove numeričke vrijednosti. Otprilike

u isto vrijeme, na sličan način, u starom Egiptu je računat volumen piramide i

površina sfere, a u Kini je dat dokaz poznatog Pitagorinog teorema. Sa ovim

prvim jednostavnim primjerima, otvorena su neka fundamentalna pitanja, kao

što su: tačnost rješenja, gornja i donja granica aproksimacije, monotonost i

brzina konvergencije i dr. koja su i danas u MKE

veoma aktualna i značajna sa teoretskog i praktičnog stajališta. Razvoj

metode konačnih elemenata počeo je polovicom prošlog stoljeća. U početnoj

fazi on se odvijao kroz dva međusobno nezavisna pristupa, prvo inženjerski,

a odmah zatim matematički. Složene prostorne konstrukcije, u inženjerskim

proračunima zamjenjivane su diskretnim sustavima koji su se sastojali od

štapova i koji su računati po poznatim postupcima statike linijskih nosača. Od

strane matematičara, tražena su približna rješenja određenih graničnih

zadataka pomoću diskretnih modela uz primjenu varijabilnih postupaka. Ova

dva prilaza, inženjerski i matematički, kasnije su objedinjeni, što je bilo od

ogromnogznačaja za dalji brzi razvoj i široku primjenu MKE.

2. Osnove na kojima se zasniva MKE

Metoda konačnih elemenata spada u metode diskretne analize. Za razliku od

ostalih numeričkih metoda, koje se zasnivaju na matematičkoj diskretizaciji

jednadžbi graničnih problema, MKE se zasniva na fizičkoj diskretizaciji

razmatranog područja. Umjesto elementa diferencijalno malih dimenzija, osnovu

za sva proučavanja predstavlja dio područja konačnih dimenzija, manje

područje ili konačni element. Zbog toga su osnovne jednadžbe pomoću kojih se

opisuje stanje u pojedinim elementima, a pomoću kojih se formulira i problem u

CAD/CAM sistemi


cjelini, umjesto diferencijalnih ili integralnih, obične algebarske. Sa stajališta

fizičke interpretacije, to znači da se razmatrano područje, kao kontinuum sa

beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje diskretnim modelom

međusobno povezanih konačnih elemenata, sa konačnim brojem stupnjeva

slobode. S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granični

problem neograničeno veliki, osnovni zadatak je da se izabere onaj model koji

najbolje aproksimira odgovarajući granični problem.

Suština aproksimacije kontinuuma po MKE, sastoji se u sljedećem:

1. Razmatrano područje kontinuuma, pomoću zamišljenih linija ili površina, dijeli

se na određeni broj manjih područja konačnih dimenzija. Pojedina manja

područja se nazivaju konačni elementi, a njihov skup za cijelo područje sustav

ili mreža konačnih elemenata.

2. Pretpostavlja se da su konačni elementi međusobno povezani u konačnom

broju tačaka, koje se usvajaju na konturi elementa. Te tačke se nazivaju

čvorne tačke ili čvorovi.

3. Stanje u svakom konačnom elementu (npr. polje pomaka, deformacija,

naprezanja, rasprostiranja temperature i sl.) opisuje se pomoću interpolacionih

funkcija i konačnog broja parametara u čvorovima koji predstavljaju osnovne

nepoznate veličine u MKE.

4. Za analizu i proračun sustava konačnih elemenata važe svi principi i

postupci koji važe za klasične diskretne sustave.

2.1. Različiti aspekti MKE

Prema načinu na koji se izvode i formuliraju osnovne jednadžbe MKE, odnosno

jednadžbe za pojedine konačne elemente, postoje četiri osnovna aspekta MKE

i to:

- direktna metoda,

- varijabilna metoda,

- metoda rezidiuma i

- metoda energetskog balansa.

Direktna metoda je analogna metodi deformacije u proračunu linijskih nosača.

Ova

metoda se može koristiti kod relativno jednostavnih problema, a pogodna je

zbog

jasnog geometrijsko-mehaničkog značenja pojedinih koraka aproksimacije.

CAD/CAM sistemi


Varijabilna metoda se zasniva na principu o stacionarnosti funkcija. U

problemima

mehanike čvrstog tijela funkcija je obično potencijalna odnosno

komplementarna

energija sustava ili se funkcija formulira na osnovu ove dvije energije. Za

razliku od direktne metode, koja se može primijeniti samo na elemente sasvim

jednostavnog oblika, varijabilna metoda se podjednako uspješno primjenjuje na

elemente jednostavnog i elemente složenog oblika.

Metoda reziduuma je opći aspekt aproksimacije po MKE, koji se zasniva na

diferencijalnim jednadžbama razmatranog problema. Ova metoda ima naročito

primjenu kod onih problema kod kojih je teško formulirati funkciju i onih

problema kod kojih funkcija uopće ne egzistira.

Metoda energetskog balansa se zasniva na balansu različitih aspekta energije

i ima primjenu u termostatičkoj i termodinamičkoj analizi kontinuuma. Od

navedenih aspekta MKE, u mehanici čvrstih deformacijskih tijela od posebnog

su značaja varijabilna metoda i metoda reziduuma, koje u području primjene

predstavljaju dvije komplementarne metode podjednake tačnosti. Za razliku od

klasičnih varijabilnih metoda u kojima izbor interpolacionih funkcija zavisi od

konfiguracije razmatranog problema, u MKE to nije slučaj, s obzirom na to da

se interpolacione funkcije definiraju isključivo u okvirima pojedinih konačnih

elemenata. Interpolacione funkcije su skup međusobno nezavisnih funkcija,

koje se usvajaju za element, tako da su im vrijednosti u području svih ostalih

elemenata, osim elemenata na koji se odnose, identično jednake nuli.

2.2. Algoritamski koncepti MKE

Analiza i rješavanje problema mehanike kontinuuma po MKE uvijek se svode na

tzv. proces korak po korak, što je od ogromnog praktičnog značaja za

primjenu računala u efektivnom proračunu. U tom procesu koji se može

prikazati kao jednostavan algoritam, izdvaja se sljedećih šest najvažnijih

koraka:

1. diskretizacija kontinuuma

2. izbor interpolacionih funkcija

3. računanje karakteristika elemenata

4. formiranje jednadžbi za mrežu konačnih elemenata

5. rješavanje sistema jednadžbi

6. proračun potrebnih utjecaja

Od navedenih šest koraka, prva tri su naročito važna. Način diskretizacije,

izbor oblika elemenata, kao i ukupnog broja elemenata, zavise od prirode

problema koji se rješava i potrebne tačnosti traženog rješenja. Pored broja i

CAD/CAM sistemi


oblika elemenata važan je i izbor čvorova, osnovnih nepoznatih u njima i

interpolacionih funkcija.Pomoću interpolacionih funkcija se definira polje

promjenjivih u svakom elementu, od njihovog izbora neposredno zavisi i

kontinuitet na granicama između pojedinih elemenata, a samim tim i tačnost

aproksimacije. Promjenjive u elementu mogu biti skalarne, vektorske ili

tenzorske veličine. Karakteristike pojedinih elemenata određuju se nezavisno

od mreže elemenata kao cjeline. Matrica krutosti se formira autonomno za

pojedine elemente, a potom na osnovu njih, sasvim jednostavno, formira se

matrica za sustav u cjelini. S obzirom na to da je geometrija elemenata po

pravilu jednostavna, to praktično znači da se kompleksan problem razbija na

niz jednostavnih. Posljednja tri koraka, iako su za praktične proračune od

velikog značaja, danas spadaju u okvire rutinskog posla, koji je prilagođen

automatskom radu računala.

3. Opća teorija MKE

Osnovni princip na kojem se zasniva MKE, kao što sam već rekao, sastoji se u

podjeli razmatranog područja na konačan broj manjih područja odnosno

elemenata, tako da se analizom pojedinih elemenata, uz pretpostavku o

njihovoj međusobnoj povezanosti, analizira cjelina. Ovaj pristup u analizi, gdje

se od posebnog ide ka općem, od individualnog ka univerzalnom, u kome se

analizom dijelova zaključuje o cjelini, je poznati induktivni pristup, koji se

primjenjuje u mnogim područjima znanosti. Kod inženjerskih i drugih problema

kod kojih se opća rješenja ne mogu dobiti u zatvorenom obliku induktivni

pristup je od posebnog značaja.U okviru MKE, razmatrano područje zamjenjuje

se velikim brojem malih dijelova konačnih dimenzija, koji su međusobno

povezani u određenom broju tačaka. Na ovaj način, područje sa

beskonačno mnogo stupnjeva slobode, zamjenjuje se diskretnim sustavom sa

konačnim brojem stupnjeva slobode i analizira metodama diskretne analize. U

matematičkoj formulaciji, ovo znači da se razmatrani problem prevodi iz

područja analize u područje algebre. MKE se može shvatiti kao metoda

numeričke analize o okviru koje se definira način prevođenja kontinuiranih

fizičkih sustava u diskretne, odnosno način formiranja sustava algebarskih

jednadžbi pomoću kojih se aproksimira određeni konturni zadatak. S obzirom

na to da taj način nije jedinstven, to ni formulacija metoda konačnih

elemenata nije jedinstvena. Postoje različite varijante MKE, koje u suštini

znače isto, ali se razlikuju u pogledu formalnog pristupa.

3.1. Pretpostavke i procedura proračuna:

CAD/CAM sistemi


- Uspostavljaju se osnovne relacije (funkcije) između geometrijskih i

fizičkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija.

- Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija koje definišu ove veličine.

- Zavisnosti između srednjih vrednosti ovih veličina proširuju se na cijeli

domen.

- Dobijene su diferencijalne jednačine (obične ili parcijalne), odnosno

integralne ili integrodiferencijalne jednačine.

- Utvrđuju se konturni (granični) i inicijalni uslovi.

- Dobijenom jednačinom i graničnim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan

je granični problem.

- Rješenja graničnog problema mogu biti u zatvorenom obliku i/ili približna

rješenja zasnovana na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnog

problema.

- Približna rješenja svode problem na domen algebre, tj. rešavanje sistema

linearnih algebarskih jednačina.

CAD/CAM sistemi


3.2. Karakteristike Metode konačnih elemenata (MKE)

- Savremena metoda numeričke analize, metoda diskretne analize.

- Jednostavna matematička formulacija i način za rješavanje problema.

- Osnov za razmatranje problema (umjesto diferencijalno malog elementa) je

dio domena konačnih dimenzija, poddomen, konačni element.

- Poddomen, konačni element, ima iste karakteristike kao i domen.

- Jednačine pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim konačnim elementima

su obične algebarske jednačine.

- Domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode zamenjen je diskretnim

modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem

stepeni slobode (nepoznate veličine).

- Usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u konačnom

broju tačaka, čvorovima modela.

- Problem izbora diskretnog modela i izbora nepoznatih (stepena slobode)

koji mogu da opišu odgovarajući konturni problem.

- Uslov za primjenu metode je bio razvoj računarske tehnike (mogućnost

rješavanja velikih sistema jednačina).

3.3. Postupak

1. Razmatrani domen (nosač) se dijeli na konačan broj poddomena (konačnih

elemenata) , formiranje mreže konačnih elemenata.

2. Izbor konačnog broja parametara (nepoznatih veličina) u čvorovima za

opisivanje razmatranog problema.

3. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu

pomoću usvojenih nepoznatih veličina.

4. Uvrđivanje parametara na konturi domena.

5. Utvrđivanje čvornog opterećenja.

6. Postavljanje uslovnih jednačina, matrice sistema i vektora slobodnih

članova.

7. Rješavanje nepoznatih parametara (rješavanje sistema algebarskih

jednačina).

CAD/CAM sistemi


3.4. Metoda deformacija

Na slici je prikazano područje D elastičnog kontinuuma, koji je ograničen

konturom S, tako da su na djelu konture SϬ zadani konturni uvjeti po silama,

a na djelu Su konturni uvjeti po pomacima. U području D djeluju zapreminske

sile F (Fx, F

y, F

z), a na konturi SϬ površinske sile p ( px

, py, p

z). Za pomake u

u području D se predpostavlja da su neprekidne funkcije koordinata u=u

(x,y,z) odnosno:

u = u (x,y,z)

v = v (x,y,z)

w = w (x,y,z)

CAD/CAM sistemi


Zadatak teorije elastičnosti, kada se problem formulira po pomacima, odnosno

po metodi deformacije, sastoji se u određivanju funkcija pomaka, koje

zadovoljavaju uvjete ravnoteže i uvjete na konturi, odnosno diferencijalne

jednadžbe i konturne uvjete. Granični zadatak koji je formuliran na ovaj način,

u kinematičkom smislu, predstavlja sustav s beskonačnim brojem stupnjeva

slobode. Zadatak je da se odredi rješenje ovog graničnog problema pomoću

odgovarajućeg diskretnog sustava, sa konačnim brojem stupnjeva slobode,

odnosno kao rješenje odgovarajućeg sustava algebarskih jednačina.

Razmatrano područje D dijeli se na konačan broj malih dijelova –konačnih

elemenata, koji su međusobno povezani u određenom broju tačaka, koje se

nazivaju čvorovi.

Ako se pretpostavi da se pomaci u bilo kojoj tačci konačnog elementa mogu,

na određeni način, prikazati u zavisnosti od pomaka u čvorovima, onda se

problem određivanja polja pomaka u području D svodi na određivanje pomaka

u čvorovima, a broj pomaka u čvorovima je konačan. Pomaci u čvorovima u

području D i na konturi S određuju se iz sustava jednadžbi, koje predstavljaju

uvjete ravnoteže u čvorovima, uvjete kontinuiteta u čvorovima i konturnih

uvjeta na konturi S. Ove jednadžbe se mogu formirati na osnovu principa

CAD/CAM sistemi


virtualnih pomaka ili na osnovu varijabilnog principa o minimumu potencijalne

energije. Kada je poznato polje pomaka, nije teško dobiti polje deformacija i

polje napona.

3.5. Analiza elemenata

Na slici je prikazan konačni element, koji je izdvojen iz sustava elemenata sa

predhodne slike. Zbog jednostavnosti, element je prikazan kao

dvodimenzionalni, ograničen sa pravolinijskim konturama. Ovim se ne želi suziti

opseg razmatranja, koja važe za jednodimenzionalne i višedimenzionalne

elemente sa ravnim i krivim konturama.

Na elementu je usvojen određen broj tačaka na konturi, koje se nazivaju

čvorne tačke ili čvorovi. Čvorovi su obilježeni brojevima 1,2, … k … K, gdje je K

ukupan broj čvorova. Ovi čvorovi se nazivaju vanjski čvorovi, da bi se

razlikovali od čvorova koji mogu biti usvojeni u elementu i koji se nazivaju

unutrašnji čvorovi. Ukupan broj unutrašnjih čvorova obilježen je sa R.U

čvorovima elementa kao osnovne nepoznate veličine, usvajaju se parametri

pomaka. Pod pomacima, ovdje se podrazumijevaju pomaci u generaliziranom

CAD/CAM sistemi


smislu, tj. komponente pomaka, njihove kombinacije i sl. Broj parametara

pomaka u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Npr. kod

trodimenzionalnih problema u svakom čvoru, za parametre pomaka se usvajaju

po tri komponente pomaka (u, v, w) kod dvodimenzionalnih po dvije (u, v), kod

savijanja ploča najmanje po tri itd. Parametri pomaka u čvorovima često se

nazivaju stupnjevi slobode, po analogiji sa značenjem koje ove veličine im aju u

statici linijskih sustava. Ako je u svakom čvoru usvojeno po S parametara

pomaka, element ima SxK vanjskih stupnjeva slobode i SxR unutrašnjih

stupnjeva slobode.

4. Naponi i deformacije

Zamislimo da je elastično opterećeno tijelo presječeno na 2 dijela nekom

proizvoljnom ravninom, dejstvo odbačenog desnog dijela tijela zamjenjuju

unutrašnje sile koje nastoje dovesti tijelo u ravnotežu.

Postaviti statičke jednačine ravnoteže, odrediti unutrašnje sile, komponente

glavnog vektora i glavnog momenta.

Odnos unutrašnje sile i površine na koju ona djeluje je srednji napon p

sr.Kada

elementarna površina teži nuli, srednji napon teži totalnom naponu u tački

presjeka.

Komponenta totalnog napona koja leži u pravcu normale presjeka naziva se

normalni napon Ϭ,dok ona koja leži u ravni presjeka predstavlja tangencijalni

napon T. Kroz svaku tačku može se provući beskonačno mnogo ravni, te će u

CAD/CAM sistemi


svakoj ravni totalni napon imati različitu vrijednost. Skup napona za sve

presjeke koji prolaze kroz tačku karakteriše naponsko stanje u tački.

Naponsko stanje u tački je definisano sa 6 komponenti napona koje

predstavljaju tenzor napona.

Površine u kojima tangencijalnih napona nema su glavne površine, a normalni

naponi koji djeluju u tim površinama su glavni naponi. Kroz svaku tačku

napregnutog tijela mogu da se postave tri međusobno okomite normalne ravni

u kojima djeluju samo normalni naponi.

Složeno naponsko stanje se može predstaviti Von-Misesovim naponom.

CAD/CAM sistemi


Von-Mises napon je veoma značajna vrijednost čije dejstvo reprezentuje

odgovarajuće troosno stanje. Ovako definisan efektivni napon pri prostornom

naponskom stanju uvijek je moguće uspoređivati sa odgovarajućim stvarnim

naponom pri jednoosnom zatezanju, što je od praktičnog značaja.

Izraz za proračun Von-Mises napona kod složenog naponskog stanja

Hukov zakon

Relativna deformacija:

0

ΔLε=

L

Hukov zakon:

E

E

, E tg

0

FMPa

S

0FLE

S L

Veza između napona i deformacije: k = Ϭ∙(ε+1)

CAD/CAM sistemi


k – specifični deformacioni otpor

5. FEM analiza u programu CATIA

- modeliranje objekta

- određivanje materijala i njegovih svojstava

- određivanje veličine mreže i njeno postavljanje

- definisanje oslonaca

- definisanje opterećenja

- analiza

Na sljedećem primjeru će biti predstavljen primjer izvođenja FEM analize u

programu Catia, te interpretacija rezultata, na proizvoljno modeliranom

nosaču.

Predmet ispitivanja

CAD/CAM sistemi


Postavljanje mreže, oslonaca i opterećenja

Von – Mises napon

CAD/CAM sistemi


Deformacija mreže

Polje deformacija

CAD/CAM sistemi


Prikaz max Von-Mises napona

Iz analize nosača se vidi da je maximalno naprezanje na području gornjeg

pojasa i iznosi 99,6 N/mm2. Također vidimo i da je najveća deformacija-progib

nosača na gornjoj površini 2,63 mm, na mjestu gdje je rebro nosača najmanjeg

presjeka, te se smanjuje prema osloncu. S obzirom da je max.napon u ovoj

analizi 99,6 N/mm2, a za čelik napon na granici tečenja i zatezna čvrstoća

imaju mnogo veće vrijednosti, možemo zaključiti da nosač može izdržati data

opterećenja.

Documents

Fem