EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
01 – Imagine que você caminha 3km para o leste e depois 4km para o norte. Qual o deslocamento resultante?
Raciocínio da Resolução: Os dois deslocamentos e e o deslocamento resultante aparecem na Fig. 3-4. Uma vez que e são mutuamente perpendiculares, [e a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo valor pode ser calculado, facilmente, pelo teorema de Pitágoras. A direção de é fácil de determinar pelas relações trigonométricas.
Fig.3-4
1. A magnitude, que também se chama módulo, do deslocamento resultante é calculada pelo teorema de Pitágoras.
2. Seja o ângulo entre o eixo de leste e o deslocamento resultante . Pela figura vemos que é possível calcular a tg . Com uma calculadora encontramos?
Observações. Um vetor tem módulo (magnitude) e direção, O deslocamento resultante tem um módulo de 5km e está na direção que faz o ângulo de 53,1º ao norte do leste.
02 – Imagine que você caminha 3km para o oeste e depois 4km para a 60º norte do leste. Calcular o deslocamento resultante (a) por um gráfico e (b) mediante as componentes dos vetores.
Raciocínio da Resolução: O triângulo formado pelos três vetores não é um triângulo retângulo, e os módulos dos vetores não se calculam pelo teorema de Pitágoras. Na resolução gráfica, cada deslocamento é desenhado em escala e o deslocamento resultante é determinado pela figura.
E
N
km
C
5km
B
4
km
A
3
Fig. 3-11
(a) Se o primeiro vetor deslocamento tiver 3cm de comprimento e segundo 4cm, o vetor resultante tem cerca de 3,5cm de comprimento Então, o módulo do deslocamento resultante é de 3,5km. O ângulo entre este vetor e o eixo da direção leste-oeste, medido por um transferidor, é cerca de 75º.
(b) 1. Seja o primeiro vetor deslocamento e seja x o eixo na direção oeste-leste. As Eqs. 3-2 e 3-3 permitem o cálculo das componentes e :
e
2. Da mesma forma, calculam-se as componentes do segundo vetor deslocamento :
3. As componentes do deslocamento resultantes são calculadas por adição:
4. O teorema de Pitágoras, aplicando às componentes, dá o modulo de :
5. A razão entre e dá a tangente do ângulo entre e o eixo dos x:
Observações. Como o deslocamento é um vetor, a resposta tem que explicitar o modulo e a direção, ou então as duas componentes. Em (b) teria sido possível interromper o calculo na etapa 3, pois as componentes x e y definem completamente o vetor de deslocamento.Calculamos, porem, o módulo e a direção a fim de verificar a resposta obtida graficamente na parte (a). veja que na etapa 5 a calculadora levou a . Na figura, vimos que o deslocamento resultante faz um ângulo de 75º com o eixo dos x
E
N
º60W
S
negativos, ou um ângulo da ordem de 105º com o dos x positivos. Os dois resultados são satisfatórios dentro da exatidão do desenho inicial.
03 – Um barco a vela tem as coordenadas no instante . Dois minutos
depois, no instante , as suas coordenadas são . (a) Achar a velocidade média
sobre este intervalo de dois minutos. Dar em termos das componentes cartesianas. (b) Determinar o módulo e a direção desta velocidade média. (c) Quando , posição do barco, em função do tempo, é
e . Determinar a velocidade instantânea num instante
qualquer t além de .
Raciocínio da Resolução: As posições inicial e final do barco a vela aparecem na fig. 3-15. (a) O vetor velocidade média aponta da posição inicial para a final.(b) As componentes da velocidade
instantânea se calculam pela Eq. 3-13: e .
Fig. 3-15
(a) As componentes x e y do vetor velocidade média se calculam diretamente a partir das respectivas definições:
(b) 1. O módulo de se calcula pelo teorema de Pitágoras:
2. A razão entre e dá a tangente do ângulo entre o valor e o eixo dos x:
(c) Determina-se a velocidade instantânea pelo calculo de e :
y
x
230
220
210
200100 110 120 130
110,218
130,205
xv
yv médv
Observação. O módulo de pode ser calculado por e a direção por .
04 – Um avião voa na direção do norte. A sua velocidade em relação ao ar é de e o vento sopra de oeste para leste com a velocidade de 90km/h. (a) Qual o rumo do vôo do avião para ficar na direção do norte? (b) Qual a velocidade do avião em relação ao solo?
Raciocínio da Resolução: Como o vento está soprando para leste, o avião deve orientar-se num rumo a oeste do norte, como mostra a Fig. 3-17. a velocidade do avião em relação ao solo, será a soma do vetor velocidade em relação ao ar, , com o vetor velocidade em relação ao solo, .
Fig. 3-17
(a) 1. A velocidade do avião em relação ao solo é dada pela Eq. 3-14:
2. O seno do ângulo entre o vetor velocidade do avião e o rumo do norte é igual à razão entre e .
(b) Como e são perpendiculares, podemos calcular o módulo pelo teorema de Pitágoras:
05 – A posição de uma bola arremessada é dada por . Determinar a velocidade e a aceleração.
1. As componentes x e y da velocidade são determinadas por simples derivação:
E
N
agv
pgv
pav
W
S
2. Se derivarmos outra vez, chegamos à aceleração:
3. Na notação vetorial compacta, os vetores velocidade e aceleração são:
06 – Um carro avança para o leste a 60km/h. faz uma curva em 5s, e passa a avançar para o norte, a 60km/h. Achar a aceleração média do carro.
Raciocínio da Resolução: O vetor unitário aponta para o leste, e o , para o norte. Vamos calcular
a aceleração média pela definição . Veja que é o vetor que, somado a , leva à resultante
.
Fig. 3-181. A aceleração média é a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo:
2. A variação da velocidade é dada pela diferenças entre os vetores velocidade final e velocidade inicial:
3. Os dois vetores mencionados são:
E
N
S
W
(a)
fv
iv
i
j
(c)
fv
iv
v
(b)
4. Com os resultados anteriores, a aceleração média é:
Observação. Veja que o carro acelera embora o módulo do vetor velocidade não se tenha alterado.
07 – Um estudante arremessa uma bola com a velocidade inicial de 24,5m/s, fazendo um ângulo de 36,9º com a horizontal. Calcular (a) o tempo que a bola fica no ar e (b) a distancia horizontal coberta pela bola.
Raciocínio de Resolução: Seja a origem o ponto do arremesso da bola, , em . O tempo que a bola fica no ar se calcula fazendo-se na Eq. 3-20b. Depois, com o resultado encontrado, entra-se na Eq. 3-20a para calcular a distancia coberta no horizontal.
(a) 1. Seja na Eq. 3-20b e resolva em t:
2. Há duas soluções para t:
(condições iniciais)(condição inicial)
3. Cálculo da componente vertical do vetor velocidade inicial:
4. Com este resultado se tem o tempo que a bola fica no ar:
(b) Com o valor encontrado do tempo, calcula-se a distância coberta na horizontal:
Observação. O tempo que a bola fica no ar coincide com o tempo que o boné do Exemplo 2-7 fica no ar. O boné foi lançado na vertical com velocidade inicial de 14,7m/s. A Fig. 3-20 mostra altura y em função do tempo t no caso da bola. Esta figura é idêntica à Fig. 2-11 (Exemplo 2-7), pois os dois corpos, a bola e o boné, têm a mesma velocidade vertical inicial e a mesma aceleração vertical. A figura pode ser interpretada com um gráfico de y se a escala de tempo for convertida em escala de distâncias. Isto pode ser
feito pela simples multiplicação por 19,6m/s, uma vez que a bola se desloca com esta velocidade na horizontal. A curva de y contra x é uma parábola.
A Fig. 3-21 mostra os gráficos das alturas contra as distâncias horizontais no caso de projeteis lançados com a velocidade inicial de 24,5m/s fazendo ângulos diferentes com a horizontal. As curvas correspondem ao ângulo de 45º, que leva ao alcance máximo, e a pares de ângulos distribuídos simetricamente em torno de 45º. Os alcances de cada par coincidem. Uma das duas curvas que têm quase o alcance máximo corresponde ao ângulo inicial de 36,9º (0,64 rad) como no exemplo.
Fig. 3-20Fig. 3-21
08 – Um guarda corre atrás de um ladrão pelos terraços de uns edifícios. Ambos correm a 5m/s quando chegam a uma separação entre dois edifícios, com 4m de largura e uma diferença de altura de 3m. O ladrão, que sabia um tanto de física, pula com velocidade inicial de 5m/s fazendo um ângulo de 457 com a horizontal e consegue superar o obstáculo. O guarda, que nada sabia de física, acha melhor aproveitar a sua horizontal e pula com velocidade de 5m/s na horizontal. (a) O guarda consegue completar o pulo? (b) Qual a folga do ladrão ao ultrapassar o obstáculo?
Raciocínio de Resolução: O tempo de permanência no ar depende exclusivamente do movimento vertical. Tomemos a origem no ponto de partida, com a direção positiva para cima, de modo que as Eqs. 3-20a e 3-20b se aplicam. A Eq. 3-20b, resolvida em , nos dá o tempo quando . A distância horizontal percorrida é o valor de x correspondente a este tempo. (a) No caso do guarda, , de modo
que as equações do movimento são e . (b) No caso do ladrão, , e então
e .
Fig. 3-24
(a) 1. Determine a equação de para o guarda e resolva em t com .
t,s
Y,m
20
10
19,6
2 31
22m
39,2 58,8 x,m
Y,m
20
10
4020 3010 50 70x,m
5
15
25
30
60
º1,53º45
º61
º9,36
º29
4m
3m
2. Calcule a distancia horizontal coberta durante este intervalo de tempo.
Esta distância é menor do que 4m, e o guarda não consegue pular de um edifício para o outro.
(b) 1. Determine a equação de para o ladrão e resolva em t com .
ou
2. Calcule as duas soluções em t.
ou
3. Calcule a distancia horizontal coberta para a solução positiva em t.
4. Subtraia 4,0m da distância achada.
Folga
Observação. O ladrão provavelmente sabia que deveria pular sob um ângulo um tanto menor que 45º, mas não teve tempo para fazer as contas.
09 – Um helicóptero descarrega suprimentos para uma tropa acampada na clareira de uma floresta. A carga cai do helicóptero, a 100m de altura, voando 25m/s num ângulo de 36,9º com a horizontal. (a) Em que ponto a carga atinge o solo? (b) Se a velocidade do helicóptero for constante, onde estará quando a carga atingir o solo?
Raciocínio de Resolução: A distância horizontal coberta pela carga é dada pela Eq. 3-20a, em que t é o tempo de queda. O valor de t pode ser calculado pela Eq. 3-20b. A origem pode estar no pé da vertical baixada do helicóptero no instante do lançamento da carga. A velocidade inicial da carga é a velocidade inicial do helicóptero.
y
x
smv 25
Fig. 3-25
(a) 1. O ponto de impacto da carga com o solo, x, é dado pelo produto entre a velocidade horizontal e o tempo de queda:
2. Cálculo da velocidade horizontal da carga lançada:
3. Equação de e resolução em t quando :
em e
4. Cálculo de x com a raiz positiva de t:
(b) Coordenadas do helicóptero no instante em que a carga atinge o solo:
Observação 01. A raiz positiva de t é a resposta apropriada, pois corresponde a um instante posterior ao lançamento da carga (que ocorre em ). A raiz negativa é o instante em que a carga estaria se fosse lançada de um ponto , conforme mostra a Fig. 3-26. Observe que o helicóptero se mantém na vertical da carga em todos os instantes da queda, até o instante do impacto com o solo.
s24,3 s30,6
y
t,s-3 -2 -1 1 2 3 4 65
Fig. 3-26
Observação 02. A Fig. 3-27 mostra as curvas de y contra x para a queda da carga, com diferentes ângulos iniciais de lançamento, sempre com a velocidade com módulo de 25m/s. A curva que termina em
corresponde ao lançamento sob o ângulo de 36,9º. Veja que a distância máxima não corresponde ao ângulo de 45º.
Fig. 3-27
10 – Com os dados do exemplo anterior, (a) calcule o tempo para que a carga atinja a altura máxima h, (b) calcule a altura máxima h e (c) calcule o tempo de queda da carga desta altura máxima.
(a) 1. Escreva a equação de da carga.
2. Faça e resolva em .
(b) 1. Calcule durante o tempo em que a carga está movendo-se para cima:
2. Com essa calcule a altura da subida.Depois, calcule h.
,
(c) Calcule o tempo para a carga cair da altura h.
00 40 60 8020 120100 140
120
100
140
80
60
40
20
y,m
x, m
Observação. Veja que , de acordo com o exemplo anterior.
11 – Um guarda florestal pretende atingir com um dardo e tranqüilizante um macaco pendurado num galho de árvore. O guarda aponta diretamente para o macaco, sem levar em conta que a trajetória do dardo será parabólica e não passará pela posição do macaco. O macaco, percebendo o disparo da arma,cai verticalmente do galho, procurando fugir. Mostre que, nessas circunstâncias, o dardo atingirá o macaco qualquer que seja a sua velocidade inicial, desde que suficiente para cobrir a distância horizontal até a árvore antes de cair ao solo. Admitir que o tempo de reação do macaco seja desprezível.
Raciocínio de resolução: Coloquemos a origem na boca da arma e seja o vetor posição inicial do macaco. Como a arma foi apontada para a direção inicial do macaco, a velocidade inicial do dardo é paralela a . Vamos determinar os vetores posição do macaco e do dardo em função do tempo e igualar os dois para resolver a equação em t.
Fig. 3-28
1. A equação do vetor posição do macaco em função do tempo t é:
2. O vetor posição do dardo num instante t, em termos da velocidade inicial é:
3. Quando o dardo atinge o macaco, os vetores posição coincidem e então:
4. Podemos resolver em t em termos da distância x e da velocidade inicial, trabalhando com a componente x da equação anterior:
Observação. De acordo com as equações anteriores, o dado sempre atinge o macaco. Porém, se o macaco ou o dardo atingem o solo num instante , as equações de e de deixam de valer. Numa
x
220 2
1
2
1gthgttvy y
tvh y0
2
2
1gt
yyv0
xv0
0v
Distância
Alt
ura
Distância
Alt
ura
Distância
Alt
ura
Distância
Alt
ura
Quadro 1Quadro 2
Quadro 3Quadro 4
demonstração de classe, muito comum, um alvo fica suspenso por um eletroímã. Quando o dardo sai pela boca da arma, o circuito do eletroímã é aberto e o alvo cai na vertical. A velocidade inicial do dardo pode ser variada, de modo que quando é grande o alvo é atingido em ponto muito próximo da posição inicial. Quando for pequena, o alvo é atingido pouco antes de chegar ao solo.
Fig. 3-29
12 – Num jogo de hóquei, o disco é impulsionado no nível do campo, porém sobe e ultrapassa a barreira de de altura. O tempo de vôo do disco até ultrapassar a barreira é e a distância horizontal é . (a) Achar o valor da velocidade inicial e a respectiva direção. (b) Quando o disco atinge a altura máxima? (c) De quanto é esta altura?
(a) 1. Componente horizontal da velocidade inicial.
2. Na equação de faça e e resolva em .
3. Calcule o módulo v pelas componentes e pela relação .
(b) Resolva a equação geral de em t quando .
(c) Calcule a altura máxima por .
Observação. Neste exemplo, o disco ultrapassa uma barreira de 2,8m de altura que está a 12m do ponto de partida. O disco atinge a altura máxima depois de ultrapassar a barreira. A Fig. 3-30 mostra diversos casos de velocidade iniciais e ângulos iniciais em que o disco também ultrapassa a barreira.
Fig. 3-30
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01 – Estimar o erro percentual na medida de:
a) uma distância de aproximadamente 50cm com um metro de comprimento;b) uma massa de aproximadamente 1g com um balança química;c) um intervalo de tempo de aproximadamente 4 minutos com um cronômetro.
02 – A massa da Terra é de , e o seu raio é . Calcular a densidade da Terra, usando a notação em potências de dez e o número correto de algarismos significativos.
03 – O deslocamento do pistão de um certo motor de automóvel é dado como 2 litros. Usando apenas o fato de 1 litro e de , expressar esse volume em polegadas cúbicas.
04 – Dois pontos, e , são descritos pelas coordenadas x e y, e , respectivamente.
Mostrar que os componentes do deslocamento A de a são e . Derivar também expressões para o módulo e a direção do deslocamento.
05 – Quando dois vetores, A e B, são desenhados a partir de um ponto comum, o ângulo entre eles é . Mostrar que o módulo da soma vetorial é dado por
.
06 – Achar o módulo e a direção dos vetores que cada um dos pares de componentes representa:
a) ;b) ;c) .
00 105 15 20 3025 35
7,5
10,0
5,0
2,5
y,m
x, m
07 – Um caminhão de entregas anda 1km para o norte, em seguida, 2km para o leste e, finalmente, 3km para o nordeste. Achar o deslocamento resultante:
a) desenhando um diagrama em escala;b) usando componentes.
08 – Uma formiga sai do centro de um disco de 12 polegadas e anda ao longo de uma linha reta radial em direção à borda. Enquanto isso, o toca-disco fez um giro de 45º. Desenhar um esboço da situação e descrever o módulo e a direção do deslocamento da formiga.
09 – um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100m em direção ao leste, em seguida 50m em direção a 30º a oeste do norte e, enfim, 150m a 45º a oeste do sul. Após um quarto movimento não medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. Usando um desenho em escala, determinar o quarto deslocamento (módulo e direção).
10 – Obter graficamente a intensidade e a direção da resultante das três forças na figuras abaixo. Usar o método do polígono.
Conferir a precisão do seu resultado usando o método das componentes.
11 – Achar graficamente o vetor soma e o vetor diferença na figura abaixo.
12 – Achar os vetores pedidos no problema anterior pelo método dos componentes.
13 – O vetor A tem 2cm de comprimento e está 60º acima do eixo x no primeiro quadrante. O vetor B tem 2cm de comprimento e está abaixo do eixo x, no quarto quadrante. Achar graficamente: (a) o vetor soma ; (b) os vetores diferença e .
x
y
200N
155N
300N
30º45º53º
x
y
B (20N)
A (7N) 37º
14 – Obter os vetores pedidos no problema anterior pelo método das componentes.
15 – Os componentes do vetor A são e os do vetor B são e . Achar:
a) as componentes da soma vetorial ;b) o módulo e a direção de ;c) as componentes do vetor diferença ;d) o módulo e a direção de ;
16 – Um automóvel anda 5km para o leste, em seguida 4km para o sul e finalmente 2km para o oeste. Achar e a direção do deslocamento resultante/
17 – Um barco a vela navega 2km para oeste, em seguida 4km para sudoeste e, então, navega uma distância adicional em uma direção desconhecida. A sua posição final é a 5km diretamente a leste do ponto de partida. Achar o módulo e a direção do trecho intermediário da jornada.
18 – Dados dois vetores, e :
a) achar o módulo de cada vetor;b) escrever uma expressão para a soma vetorial, usando vetores unitários;c) achar o módulo e a direção do vetor soma;d) escrever uma expressão para o vetor diferença , usando vetores unitários;e) achar o módulo e a direção do vetor diferença .
19 – Dados dois vetores, e :
a) achar o módulo de cada vetor;b) escrever uma expressão para a soma vetorial, usando vetores unitários;c) achar o módulo do vetor soma;d) escrever uma expressão para o vetor diferença , usando vetores unitários;e) achar o módulo e a direção do vetor diferença . Este módulo é o mesmo do que o de
? Explicar.