Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
Instituto de Ciências Exatas - ICEx
Programa de Pós Graduação em Física
Fixando Arbitrariedades em Teoria Quântica de Campos
Alexandre Rodrigues Vieira
Orientador: Prof. Dr. Marcos Donizeti Rodrigues Sampaio
Tese apresentada à UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS
GERAIS, como requisito parcial para a obtenção do grau de
Doutor em Física.
Área de Concentração: Teoria Geral de Partículas e Campos
Agosto de 2016
Agradecimentos
-Ao Marcos e à Carol pela orientação, pela amizade e pela motivação.
-À minha noiva Cláudia pelo apoio, pela compreensão, pelos momentos felizes e tristes do dia a dia e
por estar sempre ao meu lado.
-À minha mãe Márcia, ao meu pai Paulo e aos meus irmãos André e Thamires.
-Ao professor Alan Kostelecký por ter me recebido em Bloomington, ter me orientado durante o
período sanduíche do doutorado e pelas oportunidades que ele me proporcionou. Ao professor Enrico
Lunghi pela oportunidade de trabalharmos no mesmo projeto.
-Aos amigos e colegas de trabalho do grupo de Teoria Quântica de Campos - Adriano, Arthur, Gustavo
Gazzola, Helder, Jean, Joilson e Yuri - pela boa convivência.
-Aos amigos e colegas que tive oportunidade de conhecer em Bloomington, pela boa convivência e por
tudo que aprendi com eles.
-À minha amiga Cíntia pela leitura da primeira versão desta tese.
-Aos amigos e colegas do corredor do doutorado pela boa convivência.
-À Shirley, ao pessoal da biblioteca e da secretaria da pós pela prestatividade no atendimento.
-Ao CNPq e à CAPES pelo apoio �nanceiro.
2
Resumo
Neste trabalho, discutimos sobre como �xar termos arbitrários e dependentes de regularização em
correções quânticas de amplitudes. Em alguns contextos, estas arbitrariedades podem ser �xadas por
simetrias da teoria ou condições físicas, como identidades de Ward ou invariância de rótulo. Por outro
lado, em outros exemplos veremos que as simetrias não são su�cientes para �xar tais arbitrariedades e,
como consequência, a amplitude em questão pode ser arbitrária e dependente de regularização, apesar de
ser �nita. Exemplos apresentados incluem Modelo Padrão e teorias além do Modelo Padrão.
I
Sumário
1 Introdução 1
2 O Decaimento do Higgs em dois fótons e o problema da Hierarquia 4
2.1 O Decaimento do Higgs em dois fótons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 O Decaimento do Higgs em dois fótons está relacionado com o problema da Hierarquia? . 6
2.3 Proposta de abordagem do problema da Hierarquia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Arbitrariedade em termos do tipo Chern-Simons induzidos 11
3.1 A indução de um termo do tipo Chern-Simons na QED estendida . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 A indução de um termo do tipo Chern-Simons em uma teoria fermiônica no espaço curvo 13
4 Anomalia Conforme a 1-loop 18
4.1 Visão geral da anomalia conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Correção a 1-loop para o propagador do gráviton e a anomalia conforme . . . . . . . . . . 20
4.3 Arbitrariedade na anomalia conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 25
5.1 O modelo e as amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Identidades de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Função de 2-pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.2 Função de 3-pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 A relação entre rótulo e simetria de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas 35
6.1 O modelo quiral de Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Revisitando a anomalia de Adler-Bardeen-Bell-Jackiw (ABJ) . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 A relação entre rótulo e simetria de calibre em teorias quirais . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7 Conclusões e perspectivas 45
A Integrais 46
A.1 Integrais das amplitudes do Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.2 Integrais das amplitudes do Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.3 Integrais das amplitudes do Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.4 Integrais das amplitudes do Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II
SUMÁRIO III
B Produção Bibliográ�ca 51
Referências Bibliográ�cas 52
Capítulo 1
Introdução
Desde o início de seu desenvolvimento a Teoria Quântica de Campos (TQC) parecia ser capaz de
descrever satisfatoriamente a natureza em sua forma mais elementar. Basta citarmos, por exemplo, a
teoria de Fermi do decaimento do nêutron e a teoria de Yukawa, capaz de descrever a força forte a nível
nuclear. Com o consequente desenvolvimento da Eletrodinâmica Quântica (QED) e do Modelo Padrão
(SM), a TQC tornou-se talvez a estrutura teórica de maior sucesso na Física. Podemos citar como
exemplos as predições teóricas das seções de choque e as acuradas predições dos momentos magnéticos
anômalos dos elétrons e múons.
Contudo, vimos ao longo desse desenvolvimento que nos deparamos com in�nitos, que pareceram a
princípio inviabilizar estas teorias. A solução exata para TQC's com campos interagentes não é conhecida
e, por isso, esta solução é obtida perturbativamente. Quando consideramos correções para a ordem zero,
ou nível árvore, quantidades divergentes aparecem neste cálculo perturbativo. Elas se manifestam de duas
formas, as divergências infra-vermelhas e as ultra-violetas. As primeiras aparecem em teorias não massivas
e são consequências de idealizações do mundo real, como considerar que o espaço tempo é in�nito. Por
outro lado, as divergências ultra-violetas são intrínsecas das TQC's e um programa de regularização e
renormalização é necessário para dar signi�cado para estas teorias no limite ultra-violeta.
Uma das primeiras propostas desse programa consistia em considerar um "corte"(cuto�) Λ nas inte-
grais de Feynman para parametrizar a divergência na esperança de que a dependência em Λ desaparecesse
no processo de renormalização. Este procedimento tornou-se, todavia, inviável em teorias de calibre, que
a propósito, são nada menos que as teorias que descrevem as interações fundamentais da natureza. Foi
então que surgiu, no início dos anos 70, a chamada regularização dimensional, método que parametrizava
as divergências tornando contínua as dimensões do espaço-tempo. Este método teve grande sucesso em
teorias de calibre, pois preservava a simetria de calibre além do nível árvore. O método foi então crucial
na prova da renormalização do Modelo Padrão [1] e da liberdade assintótica e escravidão infra-vermelha
[2], ambos os trabalhos vencedores do prêmio Nobel de Física.
1
Capítulo 1. Introdução 2
Contudo, após o surgimento de outras teorias, o método de regularização dimensional tornou-se in-
viável, por exemplo, em teorias super-simétricas e modelos com violação de simetria de Lorentz e CPT.
Conforme mostra a literatura, cada programa de regularização explícito tem uma desvantagem: a regu-
larização por cuto�, por exemplo, quebra a simetria de calibre enquanto a regularização na rede (lattice
regularization) quebra a simetria de Lorentz pois discretiza o espaço-tempo. A regularização dimensional,
por sua vez, quebra super-simetria e causa ambiguidades em teorias com objetos de dimensão especí-
�ca. Estas desvantagens tornam o programa de renormalização mais trabalhoso devido à introdução de
contra-termos para remover quebras espúrias de simetria.
No �nal dos anos 90, foi proposto o método de regularização implícita [3]. Este método tem a vantagem
de não quebrar nenhuma simetria da teoria e de não avaliar termos dependentes de regularização. Ele
parte da única premissa de que um regulador implícito Λ (que não dizemos qual é) existe para que faça
sentido manipular o integrando das integrais de Feynman utilizando, por exemplo, a seguinte identidade
∫ Λ d4k
(2π)4
1
(k + p)2 −m2=
∫ Λ d4k
(2π)4
1
k2 −m2−∫ Λ d4k
(2π)4
(p2 + 2p · k)
(k2 −m2)[(k + p)2 −m2]. (1.1)
Com a identidade (1.1) conseguimos extrair parte �nita das amplitudes divergentes sem introduzir um
regulador, que geralmente quebra simetrias da teoria. Esta identidade pode ser implementada recursiva-
mente em uma amplitude até que a parte divergente seja separada da parte �nita. Podemos observar, o
porquê de isto acontecer no segundo termo de (1.1), que possui grau super�cial de divergência menor do
que o do primeiro termo. A parte divergente das amplitudes é escrita na forma de integrais divergentes
básicas1
Iµ1···µ2nlog (m2) ≡∫
k
kµ1 · · · kµ2n(k2 −m2)2+n
(1.2)
e
Iµ1···µ2nquad (m2) ≡∫
k
kµ1 · · · kµ2n(k2 −m2)1+n
(1.3)
que, por sua vez, estão relacionadas aos termos de superfície (TS), que se apresentam na forma de diferença
de in�nitos
Υµν2w = ηµνI2w(m2)− 2(2− w)Iµν2w(m2) ≡ v2wη
µν , (1.4)
Ξµναβ2w = η{µνηαβ}I2w(m2)− 4(3− w)(2− w)Iµναβ2w (m2) ≡ ξ2wη{µνηαβ}, (1.5)
Σµναβγδ2w = η{µνηαβηγδ}I2w(m2)− 8(4− w)(3− w)(2− w)Iµναβγδ2w (m2) ≡
≡ σ2wη{µνηαβηγδ}, (1.6)
onde 2w representa o grau de divergência, substituímos log e quad por 0 e 2, respectivamente, por conve-
niência.
Essas diferenças de integrais in�nitas são chamadas de termos de superfície porque podem ser escritas
1Utilizamos a notação∫k≡∫
d4k(2π)4
.
Capítulo 1. Introdução 3
na forma de integrais de uma quadri-divergência
v2wηµν =
∫
k
∂
∂kν
kµ
(k2 −m2)2−w ,
(1.7)
(ξ2w − v2w)η{µνηαβ} =
∫
k
∂
∂kν
2(2− w)kµkαkβ
(k2 −m2)3−w , (1.8)
e
(σ2w − ξ2w)η{µνηαβηγδ} =
∫
k
∂
∂kν
4(3− w)(2− w)kµkαkβkγkδ
(k2 −m2)4−w . (1.9)
Os TS são dependentes de regularização e são às vezes responsáveis por quebras de simetria da teoria.
Do ponto de vista matemático, estes termos são arbitrários porque o resultado de uma diferença de
in�nitos pode ser qualquer número. Se estes termos sobram na parte �nita da amplitude, ela pode ser
arbitrária e dependente de regularização, apesar de ser �nita, como veremos ao longo deste trabalho. Uma
vez que a parte �nita é mensurável, ela não deve ser arbitrária e os TS são �xados por uma simetria da
teoria (via uma identidade de Ward a ser satisfeita, por exemplo) ou alguma condição física.
Este trabalho está dividido da seguinte forma: no capítulo 2, apresentaremos o decaimento do Higgs
em dois fótons e o problema da Hierarquia como primeiros exemplos de como �xar arbitrariedades via
simetrias a nível quântico. No capítulo 3, estudaremos a indução radiativa de termos do tipo Chern-Simons
e veremos que, neste caso, não temos razões su�cientes para �xar todas as arbitrariedades. Neste exemplo,
este termo induzido é indeterminado e conseguimos explicar o porquê dos diferentes resultados encontrados
na literatura para ele. No capítulo 4, veremos outro exemplo como este, onde não temos condições físicas
su�cientes para �xar as arbitrariedades, no termo �R da anomalia conforme. No capítulo 5, estudaremos
se a simetria de calibre da QED estendida permanece válida a nível quântico. Para responder esta
questão, precisamos exigir a condição física de invariância de rótulo e, diferentemente dos exemplos dos
dois capítulos anteriores, ela é capaz de �xar todos os TS. O exemplo do capítulo 5, em particular, é um
dos resultados centrais deste trabalho, pois com ele conseguimos estabelecer uma relação diagramática
entre simetria de calibre e invariância de rótulo: uma só é garantida se e somente se a outra também
for. Esta conclusão não se restringe apenas a QED estendida. No capítulo 6, apresentaremos esta relação
diagramática entre calibre e rótulo para teorias de calibre quirais abelianas, realizando a prova desta
relação a 1- e a 2- loops e mostrando como estendê-la para ordem arbitrária. Neste mesmo capítulo,
também apresentaremos outro dos resultados centrais deste trabalho que é o fato da anomalia quiral (ou
anomalia ABJ, ou anomalia do triângulo) poder ser independente de rótulo. Ao contrário do que se é
apresentado na literatura, esta anomalia não precisa ser calculada para o rótulo especí�co que satisfaça
as identidades de Ward da simetria de calibre. Nos capítulos 5 e 6, também apresentaremos exemplos
de como tratar ambiguidades envolvendo o traço de matrizes de Dirac com a matriz γ5 em integrais
divergentes. Por último, apresentaremos conclusões e perspectivas do trabalho no capítulo 7.
Capítulo 2
O Decaimento do Higgs em dois fótons e o
problema da Hierarquia
2.1 O Decaimento do Higgs em dois fótons
O decaimento do Higgs em dois fótons foi um dos canais de decaimento utilizados na recente con�rmação
da existência da partícula de Higgs. Este fato deu um maior enfoque à predição teórica da taxa de
decaimento deste processo e, recentemente, essa predição [4] foi questionada em [5]. A razão para esta
aparente controvérsia está relacionada com o tratamento de in�nitos em Teorias Quânticas de Campos.
Uma vez que o Higgs não acopla diretamente com o fóton, este processo, em ordem mais baixa, ocorre
a um loop (as contribuições relevantes correspondem aos loops com bósons W± e quark top). Em [5], os
autores usam esse argumento para dizer que nenhum método de regularização precisa ser aplicado, i. e.,
uma vez que não existe um acoplamento direto entre o Higgs e o fóton, não existe um termo na lagrangiana
de tal forma para renormalizar uma eventual divergência advinda da amplitude. Por isso, esta deve ser
�nita e, aparentemente, não precisa ser regularizada. Não obstante, vários trabalhos que vieram após
[5], calcularam este decaimento em diferentes métodos de regularização: regularização dimensional [6],
Regularização na Rede [7] e Loop Regularization [8]. Todos estes métodos concordaram com o resultado
previamente conhecido [4]. Por outro lado, o cálculo foi também realizado em regularização por Cuto�
[9, 10] e este concorda com [5].
Esta aparente controvérsia foi resolvida em [11, 12]. Neste trabalho o cálculo do loop foi realizado em
Regularização Implícita. Como apresentado antes, a vantagem deste método é que ele não avalia termos
dependentes de regularização, responsáveis por essas ambiguidades e por quebras de simetrias do modelo.
Para sermos mais especí�cos, vamos reapresentar os resultados destes trabalhos neste capítulo.
4
Capítulo 2. O Decaimento do Higgs em dois fótons e o problema da Hierarquia 5
Hp1 + p2
µ
ν
p1
p2
γ
γ
W+
W+
W+
Hp1 + p2
ν
µ
p2
p1
γ
γ
W+
W+
W+
Hp1 + p2
µ
ν
p1
p2
γ
γ
W+
W+
Figura 2.1: Diagramas que contribuem para o decaimento do Higgs em dois fótons.
Vamos considerar os diagramas com loops de bósons W±, �gura 2.1. Após uma simpli�cação, a
amplitude deste decaimento pode ser escrita da seguinte forma:
M = ie2gMw
[M (a)µν +M (b)
µν +M (c)µν
](ε1
µ)∗(ε2ν)∗ + (p1 ↔ p2, µ↔ ν), (2.1)
onde
M (a)µν = − 4
M2w
[ηµν(p1)α(p2)βI
(3)αβ + (p1 · p2)I(3)
µν
−(p1)ν(p2)αI(3)µα − (p2)µ(p1)αI(3)
να
]+
2
M2w
[ηµν(p1 · p2)− (p2)µ(p1)ν
]I
(3)2 , (2.2)
M (b)µν =
∫
k
3(ηµνk2 − 4kµkν)
(q21 −M2
w)(q22 −M2
w)(q23 −M2
w), (2.3)
M (c)µν = 6ηµν
[(p1 · p2)I
(3)0 − (p1)αI(3)
α −M2w
2I
(3)0
]+ 6[2(p1)νI
(3)µ − (p2)µ(p1)νI
(3)0
], (2.4)
I(3)0,2,µ,µν =
∫
k
1, k2, kµ, kµkν(q2
1 −M2w)(q2
2 −M2w)(q2
3 −M2w), (2.5)
Mw, εµi , e e g são a massa dos bósons W±, o vetor de polarização dos fótons, a constante de acoplamento
U(1) e SU(2), respectivamente. O momento de integração está de�nido em qi ≡ k + χi, onde χi é um
rótulo qualquer que pode ser calculado via conservação de momento em cada vértice.
Aplicando a regularização implícita para tratar as integrais divergentes das equações (2.2) e (2.3),
obtemos o seguinte resultado1:
M (a)µν =
[(p2)µ(p1)ν − ηµν(p1 · p2)
]
M2w
[i
16π2− 2υ0
], (2.6)
1De�nimos τ =M2
h4M2
we
f(τ) =
arcsin2(
√τ) para τ ≤ 1 ,
−1
4
[ln
1 +√1− τ−1
1−√1− τ−1
− iπ]2
para τ > 1 .
Capítulo 2. O Decaimento do Higgs em dois fótons e o problema da Hierarquia 6
M (b)µν +M (c)
µν =i
16π2M2w
[(p2)µ(p1)ν − ηµν(p1 · p2)
]×
×[
3τ−1
2+
3(2τ−1 − τ−2)f(τ)
2
]+ ηµν(p1 · p2)
(3τ−1
2M2w
υ0
). (2.7)
Podemos identi�car nas equações (2.6) e (2.7) qual a fonte das contradições entre os trabalhos citados
anteriormente. Como sabemos, υ0 é o termo de superfície que corresponde a seguinte equação:
Υµν0 = ηµνυ0 =
∫d4k
(2π)4
∂
∂kν
kµ
(k2 −M2w)2
= ηµν∫
d4k
(2π)4
1
(k2 −M2w)2− 4
∫d4k
(2π)4
kµkν
(k2 −M2w)3
. (2.8)
Obviamente, o resultado da equação (2.8) é arbitrário, do ponto de vista matemático, pois não podemos
atribuir um único valor a uma diferença de dois in�nitos, neste caso, a diferença entre as duas integrais
logaritmicamente divergentes. Do ponto de vista de regularizações, cada método dá um resultado diferente
para termos desta forma. Em regularização dimensional, υ0 = 0 e em Cuto� υ0 = i32π2 (isto faz a
contribuição (2.6) ser nula, concordando com o resultado de [5]), por exemplo.
Como decidir qual dos resultados é físico? Em [13], o autor comenta sobre estes termos de superfície
em diferentes contextos em que eles aparecem. A sugestão do autor é que estes termos arbitrários sejam
determinados por simetrias do modelo ou fenomenologia. Este ponto de vista é bastante razoável, uma
vez que o resultado �nito da amplitude, medido nos aceleradores, não deve ser arbitrário ou depender
da maneira que tratamos os in�nitos, ou seja, do método de regularização. Contudo, em alguns casos,
essa arbitrariedade não pode ser �xada, como veremos no exemplo do próximo capítulo. No caso do
decaimento do Higgs em dois fótons, se exigirmos que o resultado seja invariante de calibre, podemos
�xar essa arbitrariedade. Se exigirmos pµ1pν2Mµν = 0 na equação (2.6), não conseguimos �xar o termo
de superfície uma vez que esta parte da amplitude já é transversa. Contudo, exigindo pµ1pν2Mµν = 0 na
equação (2.7), vemos que o segundo termo da soma sobra, de forma que υ0 deve ser nulo para satisfazer
a simetria de calibre. Ou seja, neste caso a diferença entre in�nitos é determinada por uma simetria do
modelo. Esta conclusão corrobora os resultados de [4] e [6]-[8].
2.2 O Decaimento do Higgs em dois fótons está relacionado com o pro-
blema da Hierarquia?
Contradições entre resultados obtidos em diferentes métodos de regularização podem levar a interpretações
físicas equivocadas. Ainda sobre o decaimento do Higgs em dois fótons, podemos citar [14]. Uma vez que
acredita-se que o Modelo Padrão não é uma teoria completa, esses autores usam deste argumento para
defender a ideia de que o decaimento H → γγ só é invariante de calibre quando as contribuições de todos
os diagramas possíveis são somadas, incluindo os diagramas de um modelo mais completo como o Modelo
Padrão Super Simétrico Mínimo (MSSM). Esta justi�cativa, aparentemente, permite-os dizer que o termo
que viola calibre da seção anterior, υ0, que é dependente de regularização, seria cancelado se exigíssemos
que a soma desses diagramas fosse nula. Esta é uma analogia com anomalia AVV do Modelo Padrão,
onde cada digrama fermiônico individual apresenta uma quebra de simetria, mas a soma de todos eles
igualada a zero restringe o conteúdo de partículas da teoria.
Em [14], os autores ainda vão além e a�rmam que a amplitude H → γγ está relacionada com diver-
gências quadráticas, o que traria implicações para o problema da Hierarquia. Para entender isto, vamos
Capítulo 2. O Decaimento do Higgs em dois fótons e o problema da Hierarquia 7
H
µν
↓ p
տ q1q2 ր
↓ pH
f
Figura 2.2: Contribuição de loop fermiônico para H → γγ. Existe outro diagrama obtido na troca µ↔ νe q1 ↔ q2.
H
↓ p
f
H
↓ p+ q1
f
H
↓ p+ q2
f
H
↓ p + q1 + q2
f
− − +
Figura 2.3: Representação digramática da expressão obtida aplicando a identidade de Ward à contribuiçãofermiônica para H → γγ.
considerar o diagrama com loop fermiônico do decaimento H → γγ, �gura 2.2. É possível mostrar [14]
que a amplitude contraída com os momentos externos está relacionada com a diferença de tadpoles, �gura
2.3:
iMfµνq
µ1 q
ν2 =−λf√
2e2f
∫d4p
(2π)4Tr
[1
p/−mf− 1
p/+ q/1 −mf−
− 1
p/+ q/2 −mf+
1
p/+ q/1 + q/2 −mf
]. (2.9)
Como no caso da seção anterior, o diagrama de loop fermiônico também depende do termo indetermi-
nado υ0. Utilizando o resultado deste diagrama, a identidade de Ward pode ser escrita como :
iMfµν
∣∣∣q1,2=0
qµ1 qν2 = qµ1 q
ν2
−λf√2e2f
∫d4p
(2π)4Tr
[1
p/−mfγν
1
p/−mfγµ
1
p/−mf+ µ↔ ν
],
= qµ1 qν2
−λf√2e2f (8mf )
[∫d4p
(2π)4
4pµpν(p2 −m2
f )3−∫
d4p
(2π)4
ηµν(p2 −m2
f )2
],
= qµ1 qν2
−λf√2e2f (8mf )(−ηµνυ0). (2.10)
As equações (2.9) e (2.10) sugerem que o termo arbitrário está relacionado com as divergências qua-
dráticas. Desta forma, os autores propõem que se uma condição para o cancelamento da anomalia, que
aparece devido ao termo dependente de regularização, for exigida, isto resultaria também no cancelamento
das divergências quadráticas, responsáveis pelo problema da Hierarquia. Contudo, podemos mostrar que a
diferença de tadpoles da equação (2.9) e �gura 2.3, também resulta no mesmo termo arbitrário e, portanto,
Capítulo 2. O Decaimento do Higgs em dois fótons e o problema da Hierarquia 8
não está relacionada com divergências quadráticas.
Para ver isto, vamos considerar a expansão
f(k + a) = f(k) + aσ∂
∂kσf(k) +
aσaρ2!
∂2
∂kσkρf(k) + · · · . (2.11)
Aplicando (2.11) para um integrando "shiftado", temos
1
(k + a)2 −m2f
=1
k2 −m2f
− 2aσkσ
(k2 −m2f )2− aσaρ
∂
∂kρ
kσ(k2 −m2
f )2+ · · · . (2.12)
Portanto, utilizando as equações (2.8) e (2.12), a diferença de tadpoles dá
∫
k
1
(k + a)2 −m2f
−∫
k
1
k2 −m2f
= −a2υ0. (2.13)
Consequentemente, podemos mostrar que a equação (2.9) pode ser reescrita como
iMfµν
∣∣∣q1,2=0
qµ1 qν2 = (8mf )
λf√2e2f (q1 · q2)υ0. (2.14)
Este resultado coincide com o da equação (2.10). Se exigirmos a simetria de calibre para �xar o termo
arbitrário nesta equação, como �zemos na seção 2.1, concluímos que ele deve ser nulo. Podemos também
exigir uma outra condição, a invariância de rótulo, na equação (2.13) e chegaremos na mesma conclusão.
A invariância de rótulo assume que uma amplitude deve ser independente do rótulo utilizado para nomear
os momentos do loop, por isso, a equação (2.13) é nula com essa condição.
2.3 Proposta de abordagem do problema da Hierarquia
As divergências quadráticas responsáveis pelo problema da Hierarquia estão relacionadas com uma outra
arbitrariedade que não é uma diferença de divergências logarítmicas. Nesta seção mostraremos como ela
aparece e como podemos �xá-la utilizando uma simetria.
As integrais divergentes básicas obedecem às seguintes relações:
∂Ilog(m2)
∂m2=
−i(4π)2m2
, (2.15)
e∂Iquad(m
2)
∂m2= Ilog(m
2). (2.16)
Estas relações são obedecidas por qualquer método de regularização. Isto nos permite escrever uma
parametrização para estas integrais divergentes que depende de uma escala Λ:
Ilog(m2) =
i
(4π)2
[ln
Λ2
m2+ c1
], (2.17)
e
Iquad(m2) =
i
(4π)2
[c2Λ2 + (1 + c1)m2 +m2 ln
Λ2
m2
], (2.18)
Capítulo 2. O Decaimento do Higgs em dois fótons e o problema da Hierarquia 9
onde c1 e c2 são constantes adimensionais arbitrárias, ou seja, podem assumir qualquer valor pois derivando
(2.17) e (2.18) em relação a m2, obtemos (2.15) e (2.16).
A equação (2.18) nos diz que a arbitrariedade de um tadpole não está relacionada a uma diferença de
divergências logarítmicas, como argumentado em [14], e sim a uma constante multiplicativa arbitrária c2.
Utilizando a eq. (1.4) e uma parametrização para a integral divergente quadrática, Iµνquad(m2), podemos
mostrar que:
Υµν2 = ηµνυ2 ∝ ηµν [(c2 − c′2)Λ2 + (c1 − c′1)m2], (2.19)
onde c′1 e c′2 são constantes adimensionais arbitrárias. Ou seja, a arbitrariedade c2 está, de certa forma,
relacionada à diferença de duas integrais quadraticamente divergentes.
Considerando os digramas do Modelo Padrão que contribuem para a correção a um loop para o
propagador do Higgs e reduzindo as integrais das amplitudes às integrais divergentes básicas, podemos
mostrar, considerando as equações (2.17) e (2.18), que a massa renormalizada do Higgs é dada por [15]:
m2H(Λ) = m2 − 3c2
8π2υ2[m2
Z + 2m2W +m2 − 4m2
t ]Λ2 +O
(ln
Λ
m
). (2.20)
onde υ, mW , mZ , m e mt são o valor esperado do vácuo e as massas nível árvore dos bósons W±, Z0,
Higgs e quark top, respectivamente.
Para �xar a constante arbitrária c2 vamos utilizar um argumento de simetria como feito nas seções
anteriores para �xar o termo de superfície. A lagrangiana do setor de Higgs do Modelo Padrão é dada
por:
LH(x) = [DµΦ(x)]†[DµΦ(x)]− µ2Φ(x)†Φ(x)− λ[Φ(x)†Φ(x)]2, (2.21)
onde Φ(x) =
(φ+
φ0
)é o campo de Higgs, Dµ é a derivada co-variante que o acopla aos campos de calibre
e µ2 < 0 é o parâmetro real que quebra espontaneamente a simetria de calibre SU(2)× U(1) na simetria
de calibre U(1).
As transformações de escala
x′ = e−αx, (2.22)
e
φ′(x) = e−αdφ(e−αx), (2.23)
deixam (2.21) invariante para µ2 = 0, onde α é um parâmetro de escala e d é a dimensão de escala do
campo. O termo de massa quebra a lei de conservação relacionada a esta simetria pois ele é o único da
lagrangiana que não possui dimensão de escala igual a quatro, i. e., a massa não transforma de acordo
com as regras (2.22) e (2.23). Portanto, o traço do tensor Energia-Momento, Θµµ, a corrente conservada
neste caso, é dado por
Θµµ = m2Φ(x)†Φ(x), (2.24)
onde m2 = −2µ2 é a massa nível árvore do Higgs. A equação acima nos permite dizer que existe uma
Capítulo 2. O Decaimento do Higgs em dois fótons e o problema da Hierarquia 10
corrente conservada, a nível clássico, no limite de massa nula.
A renormalização do modelo faz as constantes de acoplamento dependerem da escala do Grupo de
Renormalização (que chamaremos de Λ). Como esta última também muda com uma transformação de
escala
x′ = e−αx→ Λ′ = eαΛ, (2.25)
isto leva a
δLH(mH(Λ), λ(Λ)) = α{m2H(Λ)γΦ(x)†Φ(x) + βλ[Φ(x)†Φ(x)]2}, (2.26)
onde m2H(Λ) e λ(Λ) são a massa do Higgs e constante de auto-acoplamento renormalizadas, respectiva-
mente,
γ =Λ2
m2H(Λ)
∂m2H(Λ2)
∂Λ2, (2.27)
e
βλ = Λ∂λ(Λ)
∂Λ, (2.28)
são as funções gama e beta do Grupo de Renormalização. Logo, a corrente de dilatação, quebrada devido
a termo de massa e correções quânticas, é dada por
Θµµ = (m2 +m2
H(Λ)γ)Φ(x)†Φ(x)− βλ[Φ(x)†Φ(x)]2. (2.29)
Usando (2.27) e (2.20), temos
m2H(Λ)γ = − 3c2
8π2υ2[m2
Z + 2m2W +m2 − 4m2
t ]Λ2 +O(m2). (2.30)
Substituímos (2.30) em (2.29). Se tentarmos agora restaurar o limite clássico, tomando m → 0
e βλ → 0 na equação (2.29), o único termo que estraga a restauração da conservação da corrente de
dilatação é
Θµµ =
−3c2
8π2υ2[m2
Z + 2m2W − 4m2
t ]Λ2Φ(x)†Φ(x). (2.31)
Isto signi�ca que não recuperamos o limite clássico quando tomamos o limite clássico. Por isso, em
uma versão não-super-simétrica do Modelo Padrão, para recuperarmos o limite clássico (Θµµ = 0), devemos
escolher c2 = 0.
Este argumento da consistência da quebra da simetria de escala nos permite �xar a arbitrariedade da
divergência quadrática. É válido notar que este argumento da consistência da quebra de uma simetria
clássica pode também ser visto em outros setores. No caso da correção a um loop para o propagador do
elétron, por exemplo, sabemos que a amplitude de partida tem grau super�cial linear de divergência. Por
isso, poderíamos pensar a princípio, que a correção quântica para a massa do elétron fosse da forma δme ∝e2
0Λ, ou seja, variasse linearmente com a escala de energia. Contudo, a simetria quiral da QED é quebrada
pelo termo de massa, de forma que a corrente quiral pode ser escrita como ∂µjµ5 = 2imeψ(x)γ5ψ(x).
Desta forma, se tomarmos o limite me → 0 devemos recuperar o limite clássico, mesmo quando a correção
quântica é incluída. Este é o caso quando fazemos o cálculo desta correção a um loop e descobrimos que
δme ∝ e20 me ln Λ
me, satisfazendo assim a consistência da quebra da simetria quiral.
Capítulo 3
Arbitrariedade em termos do tipo
Chern-Simons induzidos
Invariância de calibre e de Lorentz são os principais critérios para incluir termos na lagrangiana de
uma teoria. O termo de Chern-Simons (CS) respeita estes critérios e tem sido considerado em teorias
(2+1)-dimensionais aplicadas ao estudo do efeito Hall quântico, por exemplo.
Apesar da invariância de Lorentz ser um dos princípios de construção de uma teoria quântica de
campos, a violação desta simetria tem sido investigada [16]. O Modelo Padrão Estendido (SME) acrescenta
ao Modelo Padrão usual todos os termos que violam simetria de Lorentz e CPT. Tais termos ocorrem a
baixas energias devido a uma quebra espontânea de simetria de Lorentz que acontece na escala de Planck
[17]. Na literatura recente da Física de Altas Energias, existe uma gama de experimentos cujo propósito
é o de detectar e limitar tais termos. Uma vez que experimentos para acessar diretamente energias
altíssimas, como a escala de Planck, são impraticáveis, a detecção destes termos a baixas energias é uma
forma de evidenciar uma teoria uni�cada e de Gravitação Quântica que existe nesta escala, dado que a
quebra espontânea ocorre nela.
Um dos termos do setor de calibre do SME é a versão (3+1)-dimensional do termo de Chern-Simons,
que chamamos de termo do tipo Chern-Simons ou termo Carroll-Field-Jackiw. Ao contrário do termo de
Chern-Simons usual, ela não respeita invariância de Lorentz sobre transformações nos campos (particle
Lorentz invariance) e a existência de um termo deste tipo traz consequências fenomenológicas, como
birrefringência do vácuo na Eletrodinâmica [18]. A não-observação desta birrefringência, apoiada por
dados astrofísicos, nos diz o quão pouco a simetria de Lorentz é violada no setor de calibre U(1) por uma
estrutura deste tipo [18, 19].
Tem sido discutido na literatura se este termo do tipo Chern-Simons pode ser induzido por corre-
ções radiativas. Neste capítulo, apresentaremos dois exemplos de modelos que foram objetos de extensa
11
Capítulo 3. Arbitrariedade em termos do tipo Chern-Simons induzidos 12
p
p
k+HΑ+1Lp
k+Αp
Figura 3.1: Correção a um loop para o propagador do fóton com rótulo arbitrário.
discussão na literatura, a QED estendida e o modelo de férmions em um background gravitacional. Os
resultados deste capítulo estão publicados em [20].
3.1 A indução de um termo do tipo Chern-Simons na QED estendida
Vamos revisitar a indução de um termo do tipo Chern-Simons (também chamado de termo de Carroll-
Field-Jackiw (CFJ)) na versão estendida da QED [16] cuja ação é dada por
SestQED =
∫d4x ψ̄(i∂/−A/−m− b/γ5)ψ, (3.1)
onde b é um quadrivetor constante. Este termo, que viola simetria de Lorentz e CPT, é, de acordo com
alguns trabalhos, o responsável pela indução radiativa do termo CFJ.
O coe�ciente do termo CFJ foi calculado por diferentes métodos e os resultados discordam um do
outro [21] -[28]. Por exemplo, em regularização dimensional o termo induzido resultante é LCS =3
32π2 bµεµναβFαβAν [24] e em Pauli-Villars este termo induzido é nulo [16, 21]. Assim como no caso do
capítulo anterior, essas contradições estão relacionadas a termos indeterminados, como veremos adiante.
O termo CFJ é induzido ao considerarmos a correção a um loop para o propagador do fóton. Para
simpli�car o cálculo, consideramos uma QED não-massiva. Neste caso, o propagador do elétron pode ser
decomposto na formai
k/− b/γ5=
i
k/− b/PL +i
k/+ b/PR, (3.2)
onde os projetores quirais são de�nidos como
PR,L =1± γ5
2. (3.3)
Essa decomposição nos permite reescrever a correção a um loop, representada pelo diagrama da �gura
3.1,da seguinte forma
Πµν =1
2
{Πµν
+ + Πµν− + Πµν
5+ + Πµν5−}, (3.4)
com
Πµν± (p, αp± b) =
∫ Λ
ktr
{γν(k/+ αp/± b/)γµ [k/+ (α+ 1)p/± b/]
(k + αp± b)2 [k + (α+ 1)p± b]2}
(3.5)
e
Πµν5±(p, αp± b) = ±
∫ Λ
ktr
{γν(k/+ αp/± b/)γµ [k/+ (α+ 1)p/± b/] γ5
(k + αp± b)2 [k + (α+ 1)p± b]2}, (3.6)
onde∫ Λk ≡
∫ Λ d4k(2π)4
e α é um número real qualquer que representa a liberdade na escolha do rótulo nos
Capítulo 3. Arbitrariedade em termos do tipo Chern-Simons induzidos 13
momentos internos do diagrama.
O termo de Chern-Simons induzido aparece devido unicamente à equação (3.6) uma vez que o traço
da equação (3.5) não resulta em nenhum termo proporcional a um tensor de Levi-Civita. Logo,
Πµν5 =
1
2
[Πµν
5+(p, αp+ b) + Πµν5−(p, αp− b)
]=
1
2
[Πµν
5+(p, b1) + Πµν5−(p, b2)
]=
= 2ipβεναµβ
(∫ Λ
k
(b1 + k)α(k + b1)2(k + p+ b1)2
−∫ Λ
k
(b2 + k)α(k + b2)2(k + p+ b2)2
). (3.7)
Aplicamos então a regularização implícita para tratar as integrais divergentes da amplitude (3.7). O
resultado é
Πµν5 = 4ibαυ0pβε
ναµβ . (3.8)
Este resultado é independente do rótulo α. Como podemos ver, o termo do tipo CS induzido vai
ser de fato dependente de regularização uma vez que, como no caso do capítulo anterior, ele depende
do termo arbitrário υ0. Como já vimos, este termo é uma diferença de in�nitos que deve ser �xada
por uma simetria do modelo e não pelo método de regularização. Contudo, se utilizarmos a identidade
de Ward, pµΠµν5 = 0, como �zemos anteriormente, não conseguimos �xar o termo de superfície porque
ao contrairmos a amplitude com pµ, o tensor de Levi-Civita se anula. O termo do tipo CS induzido é,
portanto, indeterminado.
3.2 A indução de um termo do tipo Chern-Simons em uma teoria fer-
miônica no espaço curvo
Seguindo a mesma ideia da seção anterior, a questão se um termo do tipo Chern-Simons pode ser in-
duzido por correções radiativas também foi considerada em teorias semi-clássicas da gravitação, onde a
matéria é quantizada em um background gravitacional. Da mesma forma que na Eletrodinâmica, o termo
do tipo Chern-Simons gravitacional traz consequências fenomenológicas. Quando adicionado a Relativi-
dade Geral, este termo leva a ondas gravitacionais cujos graus de polarização podem carregar diferentes
intensidades [29].
O termo do tipo Chern-Simons gravitacional induzido é, assim como no caso da seção anterior, de-
pendente de regularização. Por exemplo, em regularização dimensional, o coe�ciente do termo CFJ
gravitacional é 1192π2 [30] enquanto em Proper-time o resultado deste é 1
64π2 [31].
A lagrangiana de férmions no espaço curvo, com um termo que viola Lorentz e CPT, pode ser escrita
como
S =
∫d4x
(i
2e eµa ψ̄γ
a←→D µψ − e eµabµψ̄γaγ5ψ
), (3.9)
onde eµa é a tetrada e e = det eµa .
Na equação (3.9), precisamos de�nir a derivada co-variante que acopla férmions com o campo gravi-
tacional,
Dµψ = ∂µψ +1
2ωµabσ
abψ, (3.10)
onde ωµab é chamada de conexão de spin, que depende da tetrada, e σab = 14 [γa, γb].
Capítulo 3. Arbitrariedade em termos do tipo Chern-Simons induzidos 14
Na aproximação de campo fraco, usamos as seguintes expressões para a métrica e a tetrada:
gµν = ηµν + κhµν (3.11)
e
eµa = ηµa +1
2κhµa. (3.12)
Utilizando as expressões acima, a ação (3.9) pode ser reescrita como
S =
∫d4x
{1
2iψ̄←→D/ψ +
1
2iκ[hψ̄←→D/ψ − 1
2hµaγ
aψ̄←→D/ψ +
1
4ψ̄∂bhcaγ
{aγbγc}ψ − 1
4ψ̄∂chbaγ
{aγbγc}ψ+
+ ψ̄hµabµγaγ5ψ +
1
2ψ̄hb/γ5ψ
]− ψ̄b/γ5ψ
}+O(κ2). (3.13)
Os índices entre chaves correspondem a permutações , i.e., A{α1···αn}B{β1···βn} = Aα1···αnBβ1···βn +
soma sobre as permutações entre os índices do conjunto α1 · · ·αn e β1 · · ·βn. As regras de Feynman,
mostradas na �gura 3.2, podem ser obtidas a partir da ação (3.13).
A. Fermion propagator
p = S(p) =i
p/− b/γ5,
B. Graviton-fermion vertices
ΑΒ
k1
k2
k3
= V αβ(k2, k3) =iκ
8[2ηαβ(k/2 + k/3)− γα(k2 + k3)
β − γβ(k2 + k3)α]
k1
k2
k3
k4
ΑΒ
ΜΝ
= V αβµν(k1, k2, k4) = iκ2[ 5
16(k/1 + k/2)
(2
5ηαβηµν +
1
4γ{αηβ}{µγν} +
1
4γ{µην}{αγβ}
)
+1
32γ{αηβ}{µ(3k4 + 4k2 − 3k1)
ν} − 1
16γ{α(2k4 + k1)
β}ηµν
+1
16γ{µην}{α(3k4 + 4k1 − 3k2)
β} − 1
16γ{µ(2k4 + k2)
ν}ηαβ
− 1
4k/4(η
µ{αηβ}ν − ηµνηαβ)].
Figura 3.2: Regras de Feynman correspondentes à ação (3.13).
Como feito anteriormente na seção 3.1, precisamos calcular a correção a 1-loop, neste caso, para o
propagador do gráviton. A �gura 3.3 mostra os dois diagramas que contribuem. As amplitudes corres-
pondentes a eles são
Πµναβ(a) (p) = i
∫d4k
(2π)4Tr[V µν(k + p, k)S(k + p)V αβ(k, k + p)S(k)] (3.14)
Capítulo 3. Arbitrariedade em termos do tipo Chern-Simons induzidos 15
ΑΒ
ΜΝ
k+p
p
p
k
(a)
p
p
k
ΑΒΜΝ
(b)
Figura 3.3: Correções a 1-loop para o propagador do gráviton. A linha dupla ondulada e a linha sólidarepresentam o gráviton e o férmion, respectivamente.
e
Πµναβ(b) (p) = i
∫d4k
(2π)4Tr[S(k)V αβµν(p, p, k)].
(3.15)
Utilizamos então a seguinte expansão para o propagador do férmion
i
k/− b/γ5=∞∑
n=0
i
k/
{−ib/γ5
i
k/
}n=∞∑
n=0
Sn(k). (3.16)
O termo CFJ que estamos interessados em calcular é linear em b. Os termos correspondentes à
expansão em primeira ordem são
Πµναβ(a)CS(p) = i
∫d4k
(2π)4Tr[V µν(k + p, k)S0(k + p)V αβ(k, k + p)S0(k)b/γ5S0(k)] +
+ i∫
d4k(2π)4
Tr[V αβ(k, k + p)S0(k)V µν(k + p, k)S0(k + p)b/γ5S0(k + p)] (3.17)
e
Πµναβ(b)CS(p) = i
∫d4k
(2π)4Tr[S0(k)b/γ5S0(k)V αβµν(p, p, k)]. (3.18)
A amplitude Πµναβ(b)CS(p) é nula quando tomamos o traço. A amplitude Πµναβ
(a)CS(p) tem grau super�cial
de divergência cúbico. Aplicamos então a regularização implícita para tratar os in�nitos desta amplitude.
O resultado é
Πµναβ(a)CS(p) =
−i8κ2[( i
48π2− 64σ0 − 4υ0 + 4ξ0
)pαpν −
(i
48π2+ 32σ0
)ηανp2
]ελρβµbλpρ+
+(α↔ β) + (µ↔ ν) + (α↔ β, µ↔ ν). (3.19)
Como podemos observar, a equação (3.19) contém três termos de superfície, ξ0, σ0 e υ0. Desta
forma, é de se esperar que o resultado do termo CFJ gravitacional seja, apesar de �nito, dependente
de regularização. Novamente, vamos tentar �xar estes termos arbitrários via simetrias. A identidade de
Capítulo 3. Arbitrariedade em termos do tipo Chern-Simons induzidos 16
Ward vetorial correspondente à equação (3.19) é
pαΠµναβ(a)CS(p) =
−i8κ2(4ξ0 − 4υ0 − 96σ0)(ελρβµpν + ελρβνpµ)p2bλpρ = 0 (3.20)
A equação (3.20) é satisfeita se ξ0 = σ0 = υ0 = 0 ou ξ0 − υ0 = 24σ0. A primeira condição determina
o termo CFJ e a segunda não. Contudo, a segunda condição também satisfaz a simetria de calibre. Se
substituirmos esta condição na equação (3.19) obtemos
Πµναβ(a)CS(p) =
−i24κ2ελρβµbλpρ
(i
16π2+ 96σ0
)(pαpν − ηανp2) + (α↔ β) + (µ↔ ν)+
+ (α↔ β, µ↔ ν). (3.21)
O termo CFJ gravitacional, obtido da lagrangiana efetiva correspondente à equação (3.21), é
LCS =
(1
96π2− 16iσ0
)κ2bλhµνεαµλρ∂
ρ(∂2hαν − ∂ν∂γhγα). (3.22)
Como no caso da seção anterior, não temos razões su�cientes para �xar todos os termos de superfície,
o que nos leva a concluir que o termo CFJ gravitacional é arbitrário, apesar de ser �nito. Podemos ainda
insistir em �xar o termo de superfície restante via uma outra condição, a invariância de rótulo, como feito
na seção 2.2.
ΑΒ
ΜΝ
k+p+l
p
p
k+l
Figura 3.4: Correção a 1-loop para o propagador do gráviton com rótulo arbitrário l.
Exigir que a amplitude seja invariante de rótulo signi�ca fazer
Πµναβ(a) (p, l)−Πµναβ
(a) (p, l′) = 0, (3.23)
onde Πµναβ(a) (p, l) é a amplitude correspondente ao digrama com rótulo arbitrário da �gura 3.4.
Assumindo l = cp, onde c é uma constante real arbitrária, e escolhendo l′ = 0, o resultado da equação
(3.23) é
Πµναβ(a)CS(p, l)−Πµναβ
(a)CS(p, l = 0) = −3
4(c2 − c)iκ2[p2ηαν(υ0 − ξ0 + 24σ0)+
+ 2pαpν(3υ0 − 2ξ0 + 24σ0)]ελρβµbλpρ + (α↔ β, µ↔ ν) + (α↔ β) + (µ↔ ν) = 0 (3.24)
Como podemos ver na equação (3.24), a condição para invariância de rótulo requer ξ0 − υ0 = 24σ0 e
2ξ0 − 3υ0 = 24σ0. A primeira condição é a mesma obtida quando exigimos invariância de calibre. Como
temos três incógnitas para determinar e somente duas equações, concluímos que estas condições não são
su�cientes para determinar o coe�ciente do termo CFJ gravitacional e, como no caso da seção anterior,
Capítulo 3. Arbitrariedade em termos do tipo Chern-Simons induzidos 17
ele é indeterminado. Pode inclusive não ser gerado se o termo de superfície for nulo.
Capítulo 4
Anomalia Conforme a 1-loop
Anomalias são quebras de correntes clássicas causadas por correções quânticas. A existência desta
anomalia depende da questão se o método de regularização preserva todas as simetrias da teoria. Exemplos
bem conhecidos de anomalias são a anomalia quiral (AVV) [32], quando campos de calibre acoplados a
correntes conservadas dão origem a uma corrente axial não conservada, e a anomalia da corrente de
dilatação, ou do traço, que surge devido a introdução de uma escala na teoria.
Neste capítulo revisitamos uma antiga controvérsia relacionada a quebra da corrente conforme a 1-
loop, também chamada de traço do tensor energia-momento, quando campos de matéria estão imersos em
um background gravitacional. Como no caso do capítulo anterior, existem diversos trabalhos na literatura
sobre o cálculo da anomalia conforme em diferentes métodos de regularização. Alguns termos da anomalia
são dependentes de regularização e isto nos motiva estudar se a quebra da corrente conforme é física ou
espúria.
Vamos adotar o mesmo método apresentado na introdução uma vez que este método não avalia
termos dependentes de regularização, não quebra nenhuma simetria do modelo ou muda o número de
dimensões do espaço-tempo. Esta última característica é vantajosa, em particular, em teorias semi-
clássicas da Gravitação, que possuem objetos topológicos, onde o uso da usual regularização dimensional
não é adequado. Além disso, a regularização implícita tem uma vantagem no cenário das anomalias porque
conseguimos responder se a simetria é de fato quebrada ou se a anomalia é espúria, ou seja, causada pelo
método de regularização que não preserva uma ou mais simetrias da teoria. Os resultados deste capítulo
estão publicados em [33].
18
Capítulo 4. Anomalia Conforme a 1-loop 19
4.1 Visão geral da anomalia conforme
Uma teoria é considerada invariante conforme se ela não muda sob as seguintes transformações de seus
campos
Ψ′(x) = edσ(x)Ψ(x), (4.1)
onde Ψ pode ser um campo qualquer (espinor, vetor, métrica ou escalar), σ é um parâmetro de escala e
d é o peso conforme do campo.
A corrente conservada associada à transformação (4.1) é o traço do tensor energia-momento. Em
teorias clássicas de campos, essa corrente é conservada no limite de massa nula. As correções quânticas
quebram a invariância conforme na abordagem semi-clássica da Gravitação (veja [34] para um review).
Trabalhos pioneiros sobre esta anomalia calcularam correções a 1-loop para o propagador do gráviton
devido a acoplamentos vetoriais [35] e espinoriais [36] com o campo de fundo gravitacional. Eles des-
cobriram que, apesar da invariância de calibre (difeomor�smo, neste caso) ser preservada, o traço do
tensor energia-momento não era mais nulo [37] uma vez que este recebia correções �nitas. Assim como
outras anomalias, esta quebra causa problemas de renormalizabilidade [38]. No começo, esta quebra de
simetria foi considerada como espúria [39]-[43], o que equivale dizer que era um artefato da regularização.
Contudo, o traço do tensor energia-momento foi computado por diversos métodos. Em [37] foi calculado
diagramaticamente utilizando regularização dimensional. Posteriormente, foi também mostrado que a
anomalia aparece com a regularização de função ζ [44], regularização point-splitting [45] e no contexto
do método de Schwinger-DeWitt [46]. Uma derivação baseada na correspondência AdS/CFT pode ser
encontrada em [47]. Alguns dos termos de quebra da simetria conforme são dependentes de regularização
como veremos adiante. Um review sobre anomalia conforme e as universalidades e ambiguidades dela em
diferentes métodos de regularização pode ser encontrado em [48].
Vale também destacar que o traço anômalo do tensor energia-momento traz consequências físicas: ele
determina o tensor energia-momento para um buraco negro em duas dimensões [49] e classi�ca os estados
de vácuo em quatro dimensões [50], além de dar origem à condição de estabilidade no modelo in�acionário
modi�cado de Starobinski [51, 52], por exemplo.
A anomalia do traço tem uma forma geral dada por
T =⟨Tµµ⟩
= aC2 + cE + a′�R, (4.2)
onde C2 = R2µναβ − 2R2
αβ + 13R
2 é o quadrado do tensor de Weyl, E = R2µναβ − 4R2
αβ +R2 é o invariante
topológico de Gauss-Bonnet, R é o escalar de Ricci e a, c e a′ estão relacionados com as funções β [48]
β1 =1
(4π)2
(1
120Ns +
1
20Nf +
1
10Nv
),
β2 =1
(4π)2
(1
360Ns +
11
360Nf +
31
180Nv
),
β3 =1
(4π)2
(1
180Ns +
1
30Nf −
1
10Nv
), (4.3)
onde Ns, Nf e Nv correspondem ao número de partículas escalares, fermiônicas e vetoriais, respectiva-
mente.
Os resultados usuais da literatura são a = β1 e c = β2. Contudo, existe uma discordância no coe�ciente
Capítulo 4. Anomalia Conforme a 1-loop 20
a′. Enquanto a maioria dos métodos de regularização prevêem a′ = β3, a regularização dimensional prevê
a′ = 23β1[37]. Além do mais, a′ desaparece na derivação baseada na correspondência AdS/CFT [47] e
possui valor ambíguo na regularização Pauli-Villars [48, 53]. Posteriormente, foi mostrado que o cálculo
em regularização dimensional pode também fornecer um resultado ambíguo [48].
Vamos novamente investigar se estas contradições estão relacionadas com diferenças de in�nitos e
vamos avaliar estas diferenças exigindo alguma simetria. Na próxima seção, vamos calcular a correção a
1-loop para o propagador do gráviton devido a acoplamentos com o campo escalar, vetorial e espinorial.
Relacionamos então o cálculo desta função de dois pontos com o traço 〈Tµµ 〉, obtemos o coe�ciente a′ e
comparamos com os resultados da literatura.
4.2 Correção a 1-loop para o propagador do gráviton e a anomalia con-
forme
Consideramos a abordagem semi-clássica da Gravitação, onde a matéria é quantizada mas o campo
gravitacional não (veja [54] para um review). A parte escalar, fermiônica e vetorial da ação da teoria no
espaço curvo são, respectivamente,
Ss =1
2
∫d4x√−g(gµν∂µφ∂νφ+ ξRφ2), (4.4)
Sf = i
∫d4x e eµa ψ̄γ
aDµψ, (4.5)
e
Sv = −1
4
∫d4x√−gFµνFµν , (4.6)
onde ξ é o acoplamento não mínimo e a derivada covariante é a mesma de�nida no capítulo 3.
As ações expressas em (4.5) e (4.6) são classicamente invariantes conforme e a ação (4.4) também é no
limite conforme ξ → 1/6. Para computar a quebra desta simetria clássica, temos de calcular a correção a
um loop para o propagador do gráviton. Como feito na seção 3.2, utilizamos a expansão de campo fraco
para expandir a métrica e a tetrada. Com esta expansão, obtemos as regras de Feynman, até primeira
ordem em κ, que listamos na �gura 4.1.
Os diagramas que contribuem para a correção a um loop para o propagador do gráviton estão apre-
sentados na �gura 4.2. A parte �nita responsável pela quebra quântica da simetria conforme vem dos
diagramas (a), (b) e (c). Os diagramas (d), (e) e (f) contribuem somente com divergências quárticas
e quadráticas. Divergências quadráticas para campos não massivos são usualmente feitas zero em regu-
larização dimensional [55] e em regularização implícita [12]. Divergências quárticas não são físicas no
sentido de que não contribuem para cálculo de observáveis, como as divergências logarítmicas contribuem
no cálculo das funções beta, por exemplo. Ambas as divergências também aparecem nos diagramas (a),
(b) e (c). Usando integração simétrica, como kµkν → 14η
µνk2, todas as divergências quárticas podem ser
reescritas na forma∫ Λ d4k
(2π)4que pode ser subtraída por um contra-termo cosmológico adequado (detalhes
podem ser encontrados em [56]).
Capítulo 4. Anomalia Conforme a 1-loop 21
ΑΒ
k1
k2k3
= V αβs (k1, k2, k3) =
iκ
2[ηαβk2 · k3 − kα2 kβ3 − kα3 kβ2 − 2ξ(kα1 k
β1 − k2
1ηαβ)]
ΑΒ
k1
k2k3
= V αβf (k2, k3) =
iκ
8[2ηαβ(k/2 + k/3)− γα(k2 + k3)β − γβ(k2 + k3)α]
ΑΒ
ΜΝ
k1
k2k3
= V αβµνv (k2, k3) =
iκ
2[(ηµ{αηβ}ν − ηµνηαβ)k2 · k3 + (ηαβkν2k
µ3 + ηµνkα2 k
β3 +
+ηµνkβ2 kα3 − ηανkβ2 kµ3 − ηµαkν2kβ3 − ηµβkν2kα3 − ηβνkα2 kµ3 )]
Figura 4.1: Regras de Feynman para campos de matéria imersos em um campo de fundo gravitacional.
HaL
HbL
HcL
HdL
HeL
HfL
Figura 4.2: Correções a um loop para o propagador do gráviton. As linhas pontilhada, sólida, onduladae ondulada dupla correspondem ao escalar, férmion, fóton e gráviton, respectivamente.
Precisamos calcular as seguintes amplitudes:
Πµναβ(a) (p) =
1
2
∫
kV µνs (p, k, k + p)
i
k2 −m2s
V αβs (p, k + p, k)
i
(k + p)2 −m2s
, (4.7)
Πµναβ(b) (p) =
1
2
∫
kV αβλθv (k, k + p)
−iηλγk2 −m2
v
V µνγδv (k + p, k)
−iηδθ(k + p)2 −m2
v
, (4.8)
Πµναβ(c) (p) = −
∫
kTr
[V αβf (k, k + p)
i
k/−mfV µνf (k + p, k)
i
k/+ p/−mf
]. (4.9)
Nas equações acima, 1/2 é um fator de simetria e introduzimos massas �ctícias nos propagadores.
Isto é necessário porque, apesar das integrais serem �nitas no infravermelho, a expressão utilizada na
regularização implícita para separar in�nitos quebra a integral original em duas integrais divergentes no
infravermelho. O limite m2i → 0 é tomado no �nal. Neste processo, uma escala de renormalização λ 6= 0
é introduzida. Observe que a outra parte do propagador do bóson vetorial massivo na equação (4.8) não
contribui uma vez que kλkγVαβλθv (k, k + p) = 0 e (k + p)δ(k + p)θV
µνγδv (k + p, k) = 0.
Depois de tomar os limites ms → 0 e ξ → 16 , descobrimos que a amplitude (4.7) é transversa a menos
de termos de superfície:
Capítulo 4. Anomalia Conforme a 1-loop 22
2
κ2pαΠµναβ
(a) (p) =
(37
48pβηµνp2 +
1
16pµηβνp2 +
1
16pνηβµp2 +
2
3pµpβpν
)p2υ0 −
(29
48pβηµνp2
+1
16pµηβνp2 +
1
16pνηβµp2 +
1
3pµpβpν
)p2ξ0 +
(109
8pβηµνp2 +
37
8pµηβνp2 +
37
8pνηβµp2+
+121
4pµpβpν
)p2σ0 +
(1
8pβηµνp2 − 1
8pµηβνp2 +
1
8pνηβµp2 +
1
2pµpβpν
)p2ω0. (4.10)
Podemos ver na equação (4.10) que a invariância de calibre, pαΠµναβa (p) = 0, é garantida se todos os
termos arbitrários forem nulos. Isto não é sempre verdade, como vimos no capítulo anterior, porque eles
podem estar relacionados.
Com essas considerações, nosso resultado �nal para a amplitude (4.7) é:
2
κ2Πµναβ
(a) (p) = p2(ηανηβµp2 + ηαµηβνp2 − pαpµηβν − pβpµηαν − pαpνηβµ − pβpνηαµ)
[23
1800b
+1
240
(Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))]− p2(ηαβηµνp2 − pαpβηµν − pµpνηαβ)
[7
675b+
+1
360
(Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))]+
1
180
(41
15b+ Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))pαpβpµpν , (4.11)
onde λ é a escala do grupo de renormalização.
Este resultado concorda com [57] se identi�carmos Ilog(λ2) como a parte divergente. Agora precisamos
voltar da expansão de campo fraco para a notação de tensor de curvatura. Para fazer isto, escrevemos a
ação na forma covariante e focamos atenção no termo �R
S =
∫d4x√−g(α1C
2 + α2R2)→
∫d4x√−g(2α1W + α2R
2), (4.12)
onde substituímos C2 → 2W = 2R2µν − 2
3R2 uma vez que o invariante topológico de Gauss-Bonnet não
contribui para o propagador [53].
Aplicando a de�nição do tensor energia-momento para a ação (4.12), vemos que o traço deste é dado
por⟨Tµµ⟩
=−2√−g g
µν δS
δgµν= 12α2�R. (4.13)
Portanto, tudo que temos de fazer é determinar a constante α2. Para isso escrevemos W e R2 no
limite de campo fraco até segunda ordem em κ:
∫d4x√−gR2 =
∫d4xhµν [∂µ∂ν∂α∂β + ηµνηαβ∂
4 − (ηµν∂α∂β∂2 + ηαβ∂µ∂ν∂
2)]hαβ,
∫d4x√−gW =
∫d4xhµν
[1
6∂µ∂ν∂α∂β −
1
12ηµνηαβ∂
4 +1
12(ηµν∂α∂β∂
2 + ηαβ∂µ∂ν∂2)+
+1
8(ηµαηνβ + ηναηµβ)∂4 − 1
8ηµα∂ν∂β∂
2
]hαβ. (4.14)
Capítulo 4. Anomalia Conforme a 1-loop 23
Substituindo (4.14) na equação (4.12) e comparando com (4.11) escrita no espaço das posições (a ação
para o propagador do gráviton é S = −12
∫d4xhµνΠ̄µναβh
αβ , onde Π̄µναβ é a transformada de Fourier da
equação (4.11)), obtemos 12α2 = 1180(4π)2
. Portanto, nosso resultado para a anomalia devido ao campo
escalar é ⟨Tµµ⟩scalar
=1
180(4π)2�R. (4.15)
Procedemos usando a mesma ideia para obter as contribuições para a anomalia devido a campos
espinoriais e vetoriais. O resultado da correção a um loop do propagador do gráviton para as amplitudes
(4.8) e (4.9) são, respectivamente (novamente, termos de superfície feitos zero garantem invariância de
calibre, i.e., pαΠµναβ(b) (p) = 0 e pαΠµναβ
(c) (p) = 0)
2
κ2Πµναβ
(b) (p) = p2(ηανηβµp2 + ηαµηβνp2 − pαpµηβν − pβpµηαν − pαpνηβµ − pβpνηαµ)
[4
75b
+1
20
(Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))]− p2(ηαβηµνp2 − pαpβηµν − pµpνηαβ)
[1
450b+
+1
30
(Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))]+
1
15
(47
30b+ Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))pαpβpµpν (4.16)
e
2
κ2Πµναβ
(c) (p) = p2(ηανηβµp2 + ηαµηβνp2 − pαpµηβν − pβpµηαν − pαpνηβµ − pβpνηαµ)
[3
50b
+1
40
(Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))]− p2(ηαβηµνp2 − pαpβηµν − pµpνηαβ)
[23
450b+
+1
60
(Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))]+
1
30
(31
15b+ Ilog(λ
2)− b ln
(− p2
λ2
))pαpβpµpν . (4.17)
Os valores correspondentes para a constante α2 para as equações (4.16) e (4.17) são 12α2 = − 110(4π)2
e
12α2 = 130(4π)2
, respectivamente. Multiplicando cada diagrama pelo número de partículas, nosso resultado
�nal é ⟨Tµµ⟩
=
(1
180(4π)2Ns +
1
30(4π)2Nf −
1
10(4π)2Nv
)�R = β3�R. (4.18)
Este resultado concorda com o obtido em [44]- [46],[48] e discorda do obtido via regularização dimen-
sional em [37]. Alguns autores defendem a ideia de que isso ocorre porque a regularização dimensional
é responsável por uma quebra dura da simetria conforme e fornece na verdade um resultado ambíguo
[48]. Este resultado também difere do obtido em regularização Pauli-Villars, onde um resultado ambíguo
também é obtido [48, 53], e do obtido utilizando a correspondência AdS/CFT [47] onde a′ = 0.
4.3 Arbitrariedade na anomalia conforme
Retornamos ao resultado da seção anterior e investigamos se de fato a única solução possível, para garantir
a simetria de calibre, é necessário fazer os termos de superfície nulos. Como vimos no capítulo anterior,
estes termos podem estar relacionados de forma a também satisfazer a identidade de Ward. Como exemplo,
Capítulo 4. Anomalia Conforme a 1-loop 24
vamos considerar esta identidade para a amplitude (4.8) e exigir que a simetria de calibre seja garantida:
2
κ2pαΠµναβ
(b) (p) =
(1
8pβηµνp2 + pµηβνp2 + pνηβµp2 + pµpβpν
)p2υ0 −
(1
8pβηµνp2 +
+3
4pµηβνp2 +
3
4pνηβµp2 +
1
2pµpβpν
)p2ξ0 +
(37
4pβηµνp2 +
73
4pµηβνp2 +
73
4pνηβµp2 +
+121
2pµpβpν
)p2σ0 −
(1
4pβηµνp2 +
1
4pµηβνp2 +
1
4pνηβµp2 + pµpβpν
)p2ω0 = 0. (4.19)
Uma solução trivial para a equação acima é anular todos os TS, como vimos. Contudo, considerando
a estrutura tensorial desta equação, é fácil ver que
υ0 − ξ0 + 74σ0 − 2ω0 = 0, (4.20)
4υ0 − 3ξ0 + 73σ0 − ω0 = 0, (4.21)
2υ0 − ξ0 + 121σ0 − 2ω0 = 0. (4.22)
Uma vez que temos mais parâmetros do que equações, podemos escrever todos os TS em termos de
apenas um, i. e., υ0 = −47σ0, ξ0 = −2575 σ0 e ω0 = 196
5 σ0. Consequentemente, a amplitude depende do
termo arbitrário σ0 e, da mesma forma, a anomalia também:
⟨Tµµ⟩vector
= − 1
(4π)2
(1
10+
497
15σ0
)�R =
1
(4π)2
(− 1
10+ σ′0
)�R. (4.23)
Um resultado arbitrário também é encontrado via regularização dimensional em [48], onde a extensão
n- dimensional do quadrado do tensor de Weyl, C2, leva a uma arbitrariedade no termo �R. Existe
também uma arbitrariedade encontrada via regularização Pauli-Villars, onde a introdução de uma família
de campos auxiliares massivos (não possuem simetria conforme), para remover divergências, também faz
o termo �R ser arbitrário. Todas essas abordagens são equivalentes a condição de renormalização, onde
podemos adicionar um contra-termo de vácuo da forma 1(4π)
∫d4x√−gαR2, uma vez que isso não altera
a evolução dos parâmetros a, c e a′ no grupo de renormalização.
Capítulo 5
Invariância de rótulo na Eletrodinâmica
Quântica Estendida
Retomamos neste capítulo o estudo do Modelo Padrão Estendido (SME). Em especí�co, o setor
estendido da Eletrodinâmica Quântica (EQED). Conforme apresentamos no capítulo 3, a violação de
simetria de Lorentz em TQC é um assunto recente na literatura da Física de Altas Energias por se tratar
de uma das propostas de se testar Física da escala de Planck. O SME é construído com todos os termos
que violam CPT e simetria de Lorentz via transformações nos campos, mas que são compatíveis com
invariância de Lorentz por transformações de coordenadas. O setor eletrodinâmico do SME tem sido
testado em uma ampla classe de experimentos, como resumido em [58]. Como exemplo, podemos citar os
coe�cientes do setor de elétrons, testado em [59], e os do setor de fótons: o termo do tipo Chern-Simons
testado em [60] e os efeitos de violação de Lorentz na propagação de fótons testados em [61].
O SME é bem estabelecido a nível árvore. A renormalização a um loop para o setor eletromagnético do
SME e cálculo das funções beta foram realizados em [62]. O mesmo foi feito para o setor não-Abeliano do
SME: setor de Yang-Mills puro [63], Eletro-fraco [64] e setor da QCD estendida [65]. Conforme apresentado
no capítulo 3, existem diversos trabalhos considerando a indução radiativa de termos do SME [66]. A
anomalia quiral no SME foi estudada recentemente em [67]. Contudo, além destes trabalhos, pouco é
conhecido sobre correções quânticas no SME. Uma das razões é a falta de uma escolha adequada para
cálculo de correções radiativas em teorias com objetos de dimensão especí�ca, como símbolos de Levi-
Civita e matrizes γ5. Este é o caso do SME, onde o uso da regularização dimensional [1, 69], geralmente
aplicada em teorias de calibre, não é adequado para este caso. Algumas maneiras de contornar a di�culdade
no tratamento de matrizes γ5 em amplitudes divergentes tem sido propostas [70]-[72].
Neste capítulo, avaliamos as identidades de Ward referentes às funções de 2- e 3-pontos da QED
estendida, completando a análise de [62], onde a parte �nita relativa a estas identidades não foi conside-
25
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 26
rada. Mostramos que a invariância de rótulo, mencionada em algumas situações dos capítulos anteriores,
é condição necessária e su�ciente para garantir a invariância de calibre da QED estendida além do nível
árvore. Neste caso, como não podemos assumir a priori que a QED estendida (EQED) é invariante de
calibre após correções radiativas, a invariância de rótulo é uma ferramenta adicional para nos auxiliar.
Os resultados deste capítulo estão publicados em [73].
5.1 O modelo e as amplitudes
A EQED é o resultado do limite de baixas energias do SME. Ela inclui todos os termos que violam simetria
de Lorentz e CPT em uma série de coe�cientes, como podemos ver na lagrangiana abaixo [62]:
L =1
2iψ̄Γµ
←→D µψ − ψ̄Mψ − 1
4FµνFµν −
1
4(kF )κλµνF
µνF κλ +1
2(kAF )κεκλµνA
λFµν , (5.1)
onde Dµ ≡ ∂µ + ieAµ é a derivada covariante, que acopla campos de matéria ao campo de calibre,
Γν = γν + Γν1 ,
Γν1 = cµνγµ + dµνγ5γµ + eν + ifνγ5 +1
2gλµνσλµ (5.2)
e
M = m+m5γ5 + aµγµ + bµγ5γµ +
1
2Hµνσ
µν . (5.3)
Os coe�cientes aµ, bµ, cµν , dµν , eµ, fµ, gλµν , Hµν , (kF )κλµν e (kAF )κ violam simetria de Lorentz e,
entre estes, apenas os coe�cientes aµ, bµ, eµ, fµ, gλµν e (kAF )κ são responsáveis pela violação de CPT,
uma vez que o número de índices é ímpar.
= -i e ΓΜ
= -i e G1Μ
=i
IpΜ ΓΜ - mMp = i pΜ G1Μ
p p
= -2 i HkFLΑ Μ Β Ν pΒ pΑpΝΜ
pΝΜ
= 2 ΕΑ Μ Β ΝHkA FLΑ pΒ
= -i M1
Figura 5.1: Regras de Fenyman da EQED.
Listamos as regras de Feynman da teoria (5.1) na �gura 5.1. Nesta �gura, o ponto e o X correspondem
à primeira ordem no coe�ciente que viola Lorentz em uma expansão do propagador do férmion, conforme
apresentado em (3.16).
A invariância de calibre global de (5.1) leva a uma corrente conservada, pelo teorema de Noether:
jµ = eψ̄Γµψ. (5.4)
Para veri�carmos se jµ é conservada a nível quântico, precisamos veri�car as identidades de Ward
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 27
correspondentes aos diagramas da �gura 5.2 cujas amplitudes são
Πµν(a) = −
∫d4k
(2π)4Tr
[Γν1
1
/k −mγµ1
/k − /p−m
], (5.5)
Πµν(b) = −
∫d4k
(2π)4Tr
[γν
1
/k −mΓµ11
/k − /p−m
], (5.6)
Πµν(c) =
∫d4k
(2π)4Tr
[γν
1
/k −mΓλ1kλ1
/k −mγµ1
/k − /p−m
], (5.7)
Πµν(d) =
∫d4k
(2π)4Tr
[γν
1
/k −mγµ1
/k − /p−mΓλ1(kλ − pλ)
1
/k − /p−m
], (5.8)
Πµν(e) = −
∫d4k
(2π)4Tr
[γν
1
/k −mM11
/k −mγµ1
/k − /p−m
], (5.9)
Πµν(f) = −
∫d4k
(2π)4Tr
[γν
1
/k −mγµ1
/k − /p−mM1
1
/k − /p−m
]. (5.10)
As amplitudes dos diagramas da �gura 5.3, por sua vez, são
Tµνα(a) = −∫
d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mΓα1
1
/k − /p−m
], (5.11)
Tµνα(b) = −∫
d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mΓν11
/k + /q −mγα
1
/k − /p−m
], (5.12)
Tµνα(c) = −∫
d4k
(2π)4Tr
[Γµ1
1
/k −mγν1
/k + /q −mγα
1
/k − /p−m
], (5.13)
Tµνα(d) =
∫d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mΓλ1kλ1
/k −mγν1
/k + /q −mγα
1
/k − /p−m
], (5.14)
Tµνα(e) =
∫d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mΓλ1(k + q)λ
1
/k + /q −mγα
1
/k − /p−m
], (5.15)
Tµνα(f) =
∫d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mγα
1
/k − /p−mΓλ1(k − p)λ
1
/k − /p−m
]. (5.16)
Tµνα(g) = −∫
d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mM11
/k −mγν1
/k + /q −mγα
1
/k − /p−m
], (5.17)
Tµνα(h) = −∫
d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mM1
1
/k + /q −mγα
1
/k − /p−m
], (5.18)
Tµνα(i) = −∫
d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mγα
1
/k − /p−mM1
1
/k − /p−m
]. (5.19)
A invariância de calibre é válida a 1-loop se as identidades de Ward abaixo são satisfeitas:
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 28
HaL HbL HcL
HdL HeL H f L
Figura 5.2: Funções de 2-pontos a 1-loop da EQED.
HaL HbL HcL
HdL HeL H f L
HgL HhL HiL
Figura 5.3: Funções de 3-pontos a 1-loop da EQED.
pµ(Πµν(a) + Πµν
(b) + Πµν(c) + Πµν
(d) + Πµν(e) + Πµν
(f)) = 0. (5.20)
(p+ q)α(Tµνα(a) + Tµνα(b) + Tµνα(c) + Tµνα(d) + Tµνα(e) + Tµνα(f) + Tµνα(g) + Tµνα(h) + Tµνα(i) ) = 0.
(5.21)
Além dos diagramas da �gura 5.3, existem os diagramas de pernas de fótons cruzadas. Por exemplo,
o diagrama Tµνα(a) mais o cruzado dele, nos leva a
Tµνα(a) (p, q) + T νµα(a) (q, p) = −∫
d4k
(2π)4Tr
[γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mΓα1
1
/k − /p−m
]+
+
∫d4k
(2π)4Tr
[1
/k − /p+mΓα1
1
/k + /q +mγν
1
/k +mγµ]. (5.22)
Transpondo o segundo termo da equação acima e usando que (γµ)T = −C−1γµC, obtemos o seguinte
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 29
termo no numerador:
Tr[γµ(/k +m)γν(/k + /q +m)(−C(Γα1 )TC−1 − Γα1 )(/k − /p+m)], (5.23)
onde
− C(Γν1)TC−1 = cµνγµ − dµνγ5γµ − eν − ifνγ5 +1
2gλµνσλµ. (5.24)
Concluímos que os diagramas cruzados cancelam a parte de Γµ1 que preserva simetria C. Podemos
então substituir Γα1 por Γ̄α1 = C(Γα1 )TC−1 +Γα1 nas amplitudes (5.11)-(5.16) para considerar os diagramas
cruzados.
A mesma ideia é válida paraM1 nos diagramas (g), (h) e (i). Neste caso, a soma de um diagrama com
o cruzado dele leva a M1 − C(M1)TC−1 ≡ M̄1 no numerador. Consequentemente, os termos envolvendo
m5 e bµ se cancelam.
5.2 Identidades de Ward
5.2.1 Função de 2-pontos
Nesta seção, avaliamos as identidades de Ward correspondentes às funções de 2-pontos apresentadas na
�gura 5.2. Primeiramente, o lado esquerdo da eq. (5.20) pode ser escrito como:
pµ
f∑
i=a
Πµν(i)(p) =
=[−∫
kTr
(Γν1
1
/k − /p−m
)+
∫
kTr
(Γν1
1
/k −m
)]−[ ∫
kTr
(γν
1
/k −mpµΓµ11
/k − /p−m
)]+
+[ ∫
kTr
(γν
1
/k −mkλΓλ11
/k − /p−m
)−∫
kTr
(γν
1
/k −mkλΓλ11
/k −m
)]+
+[ ∫
kTr
(γν
1
/k − /p−m(k − p)λΓλ1
1
/k − /p−m
)−∫
kTr
(γν
1
/k −m(k − p)λΓλ11
/k − /p−m
)]+
+[−∫
kTr
(γν
1
/k −mM11
/k − /p−m
)+
∫
kTr
(γν
1
/k −mM11
/k −m
)]+
+[−∫
kTr
(γν
1
/k − /p−mM1
1
/k − /p−m
)+
∫
kTr
(γν
1
/k −mM11
/k − /p−m
)](5.25)
Os diagramas das eqs. (5.5)-(5.10) correspondem a cada colchete da eq. (5.25), respectivamente. Nesta
equação, usamos álgebra simples como /p = /k−m−(/k−/p−m) para cancelar um dos propagadores e separar
alguns diagramas em duas partes. A soma do primeiro termo do diagrama (c), com o segundo termo do
diagrama (d) e o diagrama (b), se cancela. Da mesma forma, o primeiro termo diagrama (e) cancela
o segundo termo do diagrama (f). Depois de tomar o traço, avaliamos as integrais via regularização
implícita. A identidade de Ward (IW) é satisfeita a menos de termos de superfície (TS):
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 30
pµ
f∑
i=a
Πµν(i)(p) = 4(12cαβpαpβp
ν + 4p2cναpα + 4p2cανpα)(ξ0 − υ0) + 4(p2(meν − aν) + 2(me · p− a · p)pν)×
× (2υ0 − ξ0) + 4(cναpα + cανpα)(2υ2 − ξ2 − p2σ0)− 8cαβpαpβpνσ0. (5.26)
O resultado acima depende de TS's logarítmicos (υ0, ξ0 e σ0) e de TS's quadráticos (υ2 e ξ2). Conforme
apresentado anteriormente, estes TS's correspondem à diferença de duas integrais divergentes e são, por
isso, indeterminados. Novamente, vamos �xá-los por meio de simetrias [13]. Desta vez, vamos exigir
invariância de rótulo dos diagramas. Essa invariância assume que resultados físicos não devem depender
da maneira que rotulamos as linhas internas dos loops dos diagramas. Existe uma liberdade de escolha
deste rótulo desde que o vínculo de conservação de energia-momento em cada vértice seja respeitado.
Vamos estender esta discussão na próxima seção, após avaliar a IW da função de 3-pontos.
É válido notar que a combinação meν − aν na eq. (5.26) não é observável porque pode ser removida
com uma rede�nição de campo na lagrangiana (5.1). Por outro lado, temos também a parte simétrica
de cµν , que em princípio, é observável. Em ambos os casos, um valor espúrio de um TS levaria à errada
conclusão de uma anomalia de calibre, expressa por coe�cientes observáveis ou não.
5.2.2 Função de 3-pontos
Procedemos avaliando o lado esquerdo da eq.(5.21):
(p+ q)α
i∑
j=a
Tµνα(j) (p, q) =[−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mΓ̄α1 (p+ q)α
1
/k − /p−m
)]+
+[−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −m Γ̄ν11
/k − /p−m
)+
∫
k
Tr
(γµ
1
/k −m Γ̄ν11
/k + /q −m
)]+
+[ ∫
k
Tr
(Γ̄µ1
1
/k −mγν1
/k + /q −m
)−∫
k
Tr
(Γ̄µ1
1
/k −mγν1
/k − /p−m
)]+
+[ ∫
k
Tr
(γµ
1
/k −m Γ̄λ1kλ1
/k −mγν1
/k − /p−m
)−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −m Γ̄λ1kλ1
/k −mγν1
/k + /q −m
)]+
+[ ∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mΓ̄λ1 (k + q)λ
1
/k − /p−m
)−
−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mΓ̄λ1 (k + q)λ
1
/k + /q −m
)]+
+[−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mΓ̄λ1 (k − p)λ
1
/k − /p−m
)+
+
∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k − /p−mΓ̄λ1 (k − p)λ
1
/k − /p−m
)]+
+[−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mM̄11
/k −mγν1
/k − /p−m
)+
∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mM̄11
/k −mγν1
/k + /q −m
)]+
+[ ∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mM̄1
1
/k + /q −m
)−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mM̄1
1
/k − /p−m
)]+
+[ ∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k + /q −mM̄1
1
/k − /p−m
)−∫
k
Tr
(γµ
1
/k −mγν1
/k − /p−mM̄1
1
/k − /p−m
)]. (5.27)
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 31
Os diagramas das eqs. (5.11)-(5.19) correspondem a cada colchete da eq. (5.27), respectivamente.
Novamente, usamos a álgebra simples /p + /q = /k + /q −m − (/k − /p −m), para excluir um propagador e
separar algumas amplitudes em duas partes. A soma do primeiro termo do diagrama (e), com o primeiro
termo do diagrama (f) e o diagrama (a), se cancela. O primeiro termo do diagrama (h) cancela o primeiro
termo do diagrama (i). Nos termos restantes, não realizamos shifts para gerar outros cancelamentos. Isto
porque a operação gera TS's extras, quadráticos e logarítmicos, uma vez que as integrais são divergentes.
Além disso, precisamos de cautela ao avaliar o objeto Tr[γµγβγνγξγαγλγ5] encontrado na equação acima.
Por um lado, é possível usar a seguinte identidade para reduzir o número de matrizes de Dirac:
γµγβγν = gµβγν + gνβγµ − gµνγβ − iεµβνργργ5. (5.28)
Usando a eq. (5.28), Tr[γµγβγνγξγ5] = 4iεµβνξ e γ5γργ5 = −γρ, chegamos ao resultado
Tr[γµγβγνγξγαγλγ5] = 4i(gβµενξαλ + gβνεµξαλ − gµνεβξαλ − gλαεµβνξ + gξλεµβνα − gξαεµβνλ). (5.29)
Por outro lado, é completamente arbitrário quais três matrizes γ escolhemos para aplicar a eq. (5.28).
Uma escolha diferente levaria a uma equação como a (5.29), porém, com índices de Lorentz permutados.
Além disso, a eq. {γ5, γµ} = 0 deve ser evitada dentro de uma integral divergente, uma vez que esta
operação �xa o TS, como mostraremos no próximo capítulo. Esta abordagem também é discutida em
[70]. Por isso, precisamos considerar todas as permutações de índices de Lorentz na eq. (5.29). Para isso,
o traço mais geral seria [70, 74]:
−i4Tr[γµγνγαγβγγγδγ5] = −gαβεγδµν + gαγεβδµν − gαδεβγµν − gαµεβγδν + gανεβγδµ − gβγεαδµν + gβδεαγµν+
+ gβµεαγδν − gβνεαγδµ − gγδεαβµν − gγµεαβδν + gγνεαβδµ + gδµεαβγν − gδνεαβγµ − gµνεαβγδ, (5.30)
que pode ser obtido substituindo a matriz γ5 pela de�nição dela, i. e., γ5 = i4!εµναβγ
µγνγαγβ , e tomando
o traço.
Após tomar os traços em (5.27), regularizamos as integrais e encontramos
(p+ q)α
i∑
j=a
Tµνα(j) = 4i(dλγ + dγλ)pλpαεαγµν(υ0 − ξ0) + 8m(pνeµ + pµeν + gµνe · p)(2υ0 − ξ0)+
+ 8(pνaµ + pµaν + gµνa · p)(2υ0 − ξ0)− (−p→ q). (5.31)
Como na subseção anterior, a IW depende de TS's indeterminados, apenas logarítmicos desta vez,
porque as amplitudes são linearmente divergentes. Novamente, a IW é quebrada apenas por estes termos
arbitrários. Na próxima seção, mostraremos que eles podem ser �xados pela invariância de rótulo.
5.3 A relação entre rótulo e simetria de calibre
Como discutido na seção anterior, a simetria de calibre é quebrada por termos arbitrários e dependentes
de regularização. Veremos adiante que estes termos podem ser determinados via invariância de rótulo.
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 32
Esta última é uma característica compartilhada por qualquer teoria, uma vez que assume que resultados
físicos não devem depender da maneira que rotulamos as linhas internas dos diagramas de Feynman,
desde que respeitemos a conservação de energia-momento em cada vértice. Os TS's são responsáveis não
só pela quebra de invariância de calibre, mas pela quebra de rótulo também. Isto nos permite conjecturar
que exista alguma relação entre rótulo e simetria de calibre. Conjectura esta que também veri�caremos
a seguir.
Primeiramente, recorremos a representação diagramática de uma IW [75]. Por exemplo, para uma IW
de uma função de n-pontos qualquer, precisamos inserir uma perna de fóton externa em uma função de
(n− 1)-pontos em todos os lugares possíveis. Na �gura 5.4, podemos ver um exemplo simples para o caso
da IW da função de 2-pontos.
+ += =
pk
k - p k - p
k
p p pk - p
k
= -
k - p k
Figura 5.4: Relação entre rótulo e simetria de calibre a 1-loop.
A �gura 5.4 é a forma diagramática de uma manipulação simples das amplitudes:
pµΠµν(p) =[ ∫
k
Tr
(γν
1
/k −mkλΓλ11
/k −m/p1
/k − /p−m
)]+
+[ ∫
k
Tr
(γν
1
/k −m/p1
/k − /p−m(k − p)λΓλ1
1
/k − /p−m
)]−[ ∫
k
Tr
(γν
1
/k −mpµΓµ11
/k − /p−m
)]=
=[ ∫
k
Tr
(γν
1
/k −mkλΓλ11
/k − /p−m
)−∫
k
Tr
(γν
1
/k −mkλΓλ11
/k −m
)]+
+[ ∫
k
Tr
(γν
1
/k − /p−m(k − p)λΓλ1
1
/k − /p−m
)−
−∫
k
Tr
(γν
1
/k −m (k − p)λΓλ11
/k − /p−m
)]−∫
k
Tr
(γν
1
/k −mpµΓµ11
/k − /p−m
)=
=
∫
k
Tr
(γν
1
/k − /p−m(k− p)λΓ
λ1
1
/k − /p−m
)−∫
k
Tr
(γν
1
/k −mkλΓ
λ1
1
/k −m
)(5.32)
Vemos em (5.32) que uma IW pode ser escrita como a diferença entre dois diagramas de diferentes
rótulos. Se essa diferença for nula, i. e., a condição para satisfazer invariância de rótulo, a invariância
de calibre é automaticamente satisfeita. O inverso também é válido, se a identidade de Ward for nula,
a invariância de rótulo é automaticamente satisfeita. Avaliando os diagramas explicitamente, obtemos a
condição a seguir para invariância de rótulo.
Na �gura 5.5, l é um rótulo qualquer e podemos fazê-lo proporcional ao momento, i. e., l = αp.
Considerando os tadpoles como funções de l, τν(l), o resultado do lado esquerdo da �gura 5.5 é
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 33
- = 0
k + l
+ -
k + lk + l ' k + l 'HaL HaL HbL HbL
Figura 5.5: Invariância de rótulo de tadpoles.
(τν(a)(l)− τν(a)(l′)) + (τν(b)(l)− τν(b)(l′)) = 4(α′3 − α3)(12cαβpαpβp
ν + 4p2cναpα + 4p2cανpα)(ξ0 − υ0)+
+ 4(α2 − α′2)(p2meν + 2mpνe · p)(2υ0 − ξ0) + 4(α3 − α′3)(2cαβpαpβpν + cναpαp
2 + cανpαp2)σ0+
+ 4(α′ − α)(cναpα + cανpα)(2υ2 − ξ2) (5.33)
Como α 6= α′ por de�nição, a única solução possível da eq. (5.33) é fazer todos os termos de superfície
nulos, i. e., υ0 = ξ0 = σ0 = 0 e υ2 = ξ2 = 0.1 Esta solução garante a invariância de calibre uma vez que
a IW de (5.26) é satisfeita.
De maneira similar, o mesmo ocorre para a função de Green de 3-pontos. A condição para invariância
de rótulo dos diagramas triângulo está apresentada na �gura 5.6.
- + ... = 0k + k3
k + k1
k + k2 k + k '3
k + k '1
k + k '2
Figura 5.6: Representação diagramática da invariância de rótulo para os diagramas triângulo.
Desta vez, temos pelo menos três rótulos diferentes, correspondentes a cada linha interna. Assim, o
que precisamos calcular é
(p+ q)α
f∑
i=a
(Tµνα(i) (k1, k2, k3)− Tµνα(i) (k′1, k′2, k′3)) = 0. (5.34)
Não é necessário considerar os diagramas (g), (h) e (i). Eles apenas contribuem com outros coe�cientes
que violam Lorentz e não alteram as conclusões abaixo.
O rótulo geral ki obedece as seguintes relações devido ao vínculo de conservação de energia-momento
1Na eq. (5.33), existe uma relação entre os TS's quadráticos, υ2 = ξ22, que também é possível. Contudo, o TS υ2 aparece
isolado na condição para invariância de rótulo da QED usual e deve ser nulo para garantir esta condição.
Capítulo 5. Invariância de rótulo na Eletrodinâmica Quântica Estendida 34
em cada vértice:
k2 − k3 =p+ q,
k1 − k3 =p,
k2 − k1 =q. (5.35)
As equações (5.35) nos permite parametrizar os momentos ki como combinação dos momentos externos:
k1 =αp+ (β − 1)q,
k2 =αp+ βq,
k3 =(α− 1)p+ (β − 1)q. (5.36)
Considerando as equações acima, a condição (5.34) nos leva a:
(p+ q)α
f∑
i=a
(Tµνα(i) (k1, k2, k3)− Tµνα(i) (k′1, k′2, k′3)) = 8i(p+ q)α[(dληε
ηµνα + dαη εηνµλ + dνηε
µηλα + dµη ενηαλ+
+ dκκεµνλα)υ0 − dκκεµνλαξ0][(α− α′)pλ + (β − β′)qλ] = 0 (5.37)
Novamente, uma vez que α 6= α′ e β 6= β′ por de�nição, a única solução possível é υ0 = ξ0 = 0.
Podemos então concluir que a invariância de rótulo é condição necessária e su�ciente para garantir a
invariância de calibre a nível quântico, i.e., (p + q)α∑f
i=a Tµνα(i) = 0. Isto signi�ca conservação de carga
elétrica além do nível árvore e a ausência de anomalias de calibre no SME.
A mesma ideia pode ser aplicada para qualquer diagrama com um número arbitrário de pernas e
loops. Por exemplo, se o diagrama de partida tem quatro (ou mais) pernas externas, existe uma equação
equivalente a da �gura 5.4, mas que fornece a diferença entre dois diagramas com quatro (ou mais) pernas
externas cujos rótulos são diferentes. Uma vez que estes diagramas são �nitos e a parte �nita não depende
de rótulo porque é física, a invariância de calibre é trivialmente respeitada neste caso.
Além disso, para completar a prova a 1-loop, precisaríamos calcular a IW correspondente aos diagramas
caixa. Apesar deste cálculo ser mais complicado, podemos novamente fazer o uso da ideia apresentada
na �gura 5.4. Neste caso, para a IW dos diagramas caixa, teríamos a diferença entre dois diagramas de
três pernas de diferentes rótulos. Como mostramos na eq. (5.37) que esta diferença deve ser zero para
assegurar a IW da função de 3-pontos, a IW dos diagramas caixa deve ser também zero.
Capítulo 6
Invariância de rótulo e democracia em
teorias de calibre quirais abelianas
Neste capítulo, apresentaremos a anomalia quiral em duas e em quatro dimensões. Nos diagramas
apresentados, veremos que existem dois tipos de identidades de Ward (IW), um associado à simetria de
calibre e outro associado à simetria quiral. Como conhecido na literatura, não é possível satisfazer ambas
as IW. Se a IW da simetria de calibre é satisfeita, a da simetria quiral é automaticamente violada e vice-
versa. A anomalia quiral é física, responsável pelo decaimento do píon em dois fótons. Ela, geralmente, é
pensada na literatura como uma consequência da quebra da invariância de rótulo, como apresentado em
livros texto de TQC [76, 77], por exemplo. Contudo, nosso objetivo neste capítulo será o de mostrar que
não necessariamente, i.e. é possível obter o resultado físico da anomalia quiral para um rótulo qualquer e
esta invariância de rótulo é, assim como no caso do capítulo anterior, necessária para assegurar a simetria
de calibre. Os resultados deste capítulo estão publicados em [78].
6.1 O modelo quiral de Schwinger
Primeiramente, vamos considerar o modelo quiral de Schwinger como um exemplo de como tratar quanti-
dades dependentes de regularização em teorias com matrizes γ5. Vamos também discutir como a anomalia
aparece do ponto de vista do método de regularização implícita, mostrando como ela pode ser democra-
ticamente apresentada entre as IW axial e vetorial.
A teoria que vamos estudar é de�nida pela seguinte ação efetiva [13]
ΓQS(A) = −i ln det(i∂/− e(1− γ5)A/). (6.1)
Focaremos na função de dois pontos para o fóton com um vértice quiral. Este é o análogo da anomalia
35
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas36
AVV, que discutiremos na próxima seção, para (1+1)-dimensões. Explicitamente, temos o diagrama da
�gura 6.1 cuja amplitude é
Πµν = −e2Tr
∫
qγµ
1
q/− p/γνγ51
q/, (6.2)
onde∫q corresponde a
∫ d2q(2π)2
.
γµ γνγ5
Figura 6.1: Função de dois pontos para o fóton com um vértice axial.
Neste ponto, precisamos adotar um método de regularização para lidar com a amplitude divergente.
Neste caso, adotamos uma versão (1+1)-dimensional da regularização implícita. Podemos também consi-
derar que uma vez que a álgebra das matrizes γ5 é bem de�nida em dimensões inteiras, qualquer identidade
envolvendo tal objeto permanece válida em um método de regularização que mantém a dimensão física da
teoria. Por incrível que pareça, esta a�rmação é falsa, como veremos. Apesar das identidades envolvendo
γ5, em particular {γµ, γ5} = 0, serem verdade em dimensões inteiras, elas podem ser falsas quando estão
dentro de uma integral divergente.
Dando continuidade ao nosso exemplo, a primeira prescrição adotada para tratar as matrizes γ5 será:
γνγ5 = ενθγθ. (6.3)
Depois deste passo, tomamos o traço e regularizamos as integrais. O resultado é
Πµν = −2e2ενθ
[(δθµp
2 − pµpθ)(−2b)
p2− δθµυ0
], (6.4)
onde b = i/4π e gµνυ0 = gµν∫
d2k(2π)2
1(k2−m2)
− 2∫
d2k(2π)2
kµkν
(k2−m2)2é o termo de superfície logarítmico em
duas dimensões.
As duas identidades de Ward correspondentes, a vetorial e a axial, são respectivamente:
pµΠµν = 2e2ενθpθυ0,
pνΠµν = −2e2εµθpθ(2b+ υ0). (6.5)
Notamos que a arbitrariedade expressa pelo termo de superfície permanece na identidade. Isto nos
permite obter uma visão democrática das IW, ou seja, uma não é violada em detrimento da outra devido
a escolha do rótulo ou do método de regularização. Fazendo a escolha adequada de υ0 podemos preservar
(ou violar) uma das identidades e violar (ou preservar) a outra. Se �zermos υ0 = 0, preservamos a vetorial
enquanto que fazendo υ0 = −2b preservamos a axial. Podemos ainda distribuir a anomalia (escolhendo
υ0 = −b). Em outras palavras, as IW são tratadas em pé de igualdade e o TS é o termo arbitrário a ser
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas37
�xado dependendo da situação física.
Vamos agora utilizar uma prescrição diferente na manipulação da matriz γ5 que, a primeira vista,
deveria fornecer o mesmo resultado acima. Usaremos a identidade
{γµ, γ5} = 0, (6.6)
que implica em
Πµν = e2Tr
∫
qγµ
1
q/− p/γ5γν1
q/. (6.7)
Como anteriormente, vamos utilizar a equação (6.3) para escrever
1
q/− p/γ5 =(q − p)α(q − p)2
γαγ5 =(q − p)α(q − p)2
εαθγθ. (6.8)
A avaliação de Πµν agora fornece
Πµν = 2e2 b
p2(pαεανpµ + pαεαµpν) , (6.9)
que é um resultado diferente do anterior. As identidades de Ward desta vez são
pµΠµν = −2e2ενθpθb,
pνΠµν = −2e2εµθpθb. (6.10)
Notamos o desaparecimento do termo de superfície. Isto nos permite conjecturar que, utilizar as
prescrições das equações (6.6) e (6.8), parece implicitamente avaliar integrais divergentes. Se escolhermos
υ0 = −b nas identidades de Ward do primeiro caso, obteríamos as identidades acima.
A maneira com a qual lidamos com objetos de dimensão especí�ca (tais como γ5) dentro de integrais
divergentes parece ser ambígua. Na equação (6.9) vemos que outro tensor de Levi-Civita com um índice
diferente aparece. Se utilizarmos a equação (6.6), o índice do Levi-Civita que aparece quando utilizamos
a equação (6.3) muda, de forma que este índice parece ser arbitrário. A questão agora seria em qual
prescrição deveríamos con�ar. Na verdade, a avaliação do traço deve ser feita de maneira a considerar
todos os índices, uma simetrização do traço como apresentada no capítulo anterior em (3+1)-dimensões,
i. e., traços envolvendo γ5 devem conter todas os termos permitidos pela estrutura tensorial deles. Desta
forma, evitamos ambiguidades ao contrair os índices do termo de superfície com os índices destes traços.
Para o caso de (1+1)-dimensões, deveríamos adotar o seguinte traço simetrizado
Tr(γσγµγαγνγ5) = −2(εσνgαµ − εµνgασ + εανgσµ − εσαgµν + εµαgσν + εσµgαν), (6.11)
que pode ser obtido substituindo γ5 pela de�nição, γ5 = 12!εµργ
µγρ, e tomando o traço.
Substituindo essa identidade na amplitude e usando a prescrição γαγ5 = εαθγθ �nalmente obtemos
Πµν = −2e2ενθ
[(δθµp
2 − pµpθ)(−2b)
p2− δθµυ0
]. (6.12)
O resultado correto é, portanto, o da equação (6.4).
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas38
Figura 6.2: Diagramas triângulo que contribuem para a anomalia ABJ. Rotulamos as linhas internas comrótulos arbitrários ki.
6.2 Revisitando a anomalia de Adler-Bardeen-Bell-Jackiw (ABJ)
Desde sua descoberta [32], a anomalia ABJ foi calculada por diversas abordagens, incluindo a recente
abordagem da "posição mais a direita"(rightmost position)[71], uma prescrição para tratar matrizes γ5
desta amplitude, que permite a regularização dimensional preservar a simetria de calibre neste caso. Uma
visão geral sobre os vários esquemas de regularização aplicados neste cálculo pode ser encontrada em [76].
Nesta seção, vamos obter a anomalia ABJ do ponto de vista da regularização implícita. A vantagem
do método neste caso, como no caso da seção anterior, é obter uma visão democrática das identidades de
Ward. Além disso, nesta abordagem, podemos ver a relação entre rótulo e simetria de calibre em teorias
quirais, como visto no capítulo anterior na QED estendida. Isto nos permite reinterpretar o papel do
rótulo na anomalia quiral.
Novamente, encontramos na amplitude objetos da forma Tr[γµγβγνγξγαγλγ5]. Uma versão (3+1)-
dimensional da simetrização do traço apresentada na seção anterior, também utilizada no capítulo ante-
rior,contém todas as estruturas de Lorentz disponíveis. Esta equação é
−i4Tr[γµγνγαγβγγγδγ5] = −gαβεγδµν + gαγεβδµν − gαδεβγµν − gαµεβγδν + gανεβγδµ − gβγεαδµν+
+ gβδεαγµν + gβµεαγδν − gβνεαγδµ − gγδεαβµν − gγµεαβδν + gγνεαβδµ+
+ gδµεαβγν − gδνεαβγµ − gµνεαβγδ. (6.13)
Temos de usar este resultado não ambíguo na amplitude do triângulo sempre que encontrarmos o traço
de seis matrizes γ com uma matriz γ5. A equação (6.13) já foi usada anteriormente em outros trabalhos
[70, 74]. A amplitude dos diagramas de Feynman da �gura 6.2 é dada por
Tµνα = −∫
kTr
[iγν
i
k/+ k/1 −miγµ
i
k/+ k/3 −miγαγ5
i
k/+ k/2 −m
]+ (µ↔ ν, p↔ q). (6.14)
onde os rotulamentos arbitrários ki obedecem às seguintes relações devido a conservação do momento em
cada vértice
k2 − k3 =p+ q,
k3 − k1 =p,
k1 − k2 =q. (6.15)
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas39
Novamente, as equações (6.15) nos permite parametrizar o rotulamento ki na forma
k1 =αp+ (β − 1)q,
k2 =αp+ βq,
k3 =(α− 1)p+ (β − 1)q, (6.16)
onde α e β são números reais quaisquer que mapeiam a liberdade que temos em escolher o rótulo dos
momentos internos, i. e., podemos adicionar qualquer combinação de q e p em cada linha interna desde
que respeitemos a conservação do momento nas equações (6.15). As equações (6.15) e (6.16) do outro
diagrama são obtidas na troca p↔ q.
Depois de tomar o traço utilizando a equação (6.13), regularizamos as integrais da amplitude (6.14).
O resultado é
Tµνα = 4iυ0(α− β − 1)εµναβ(q − p)β + T finiteµνα , (6.17)
onde υ0 é o termo de superfície e T finiteµνα é a parte �nita da amplitude, detalhada no apêndice juntamente
com as integrais deste capítulo.
Aplicamos então os respectivos momentos externos na equação (6.17) para obter as identidades de
Ward:
pµTµνα = −4iυ0(α− β − 1)εανβλpβqλ,
qνTµνα = 4iυ0(α− β − 1)εαµβλpβqλ,
(p+ q)αTµνα = 2mTµν5 + 8iυ0(α− β − 1)εµνβλpβqλ −
1
2π2εµνβλpβqλ, (6.18)
onde Tµν5 é o usual triângulo vetor-vetor-pseudo escalar.
O número υ0(α − β − 1) é arbitrário uma vez que υ0 é a diferença de dois in�nitos e α e β são
números reais quaisquer. Podemos resumir essa arbitrariedade em um único parâmetro a rede�nindo
4iυ0(α− β − 1) ≡ 14π2 (1 + a). As equações (6.18) �cam na forma
pµTµνα = − 1
4π2(1 + a)εανβλpβqλ,
qνTµνα =
1
4π2(1 + a)εαµβλpβqλ,
(p+ q)αTµνα = 2mTµν5 +
1
2π2aεµνβλpβqλ (6.19)
Como no caso do modelo quiral de Schwinger, podemos ver a democracia nas identidades de Ward
(6.19). Se quisermos respeitar invariância de calibre, escolhemos a = −1 e, automaticamente, a identidade
axial é violada por uma quantidade − 12π2 . Por outro lado, se quisermos manter a simetria quiral a nível
quântico, escolhemos a = 0 e as identidades vetoriais são violadas. A escolha a = −1 faz o termo de
superfície ser nulo ou a combinação de rótulo α−β−1 = 0. A primeira escolha mostra que podemos obter
a anomalia quiral para um rótulo qualquer, ou seja, a anomalia quiral não ocorre por causa da quebra de
invariância de rótulo. É possível escolher o rótulo tal que α − β − 1 = 0. Contudo, também é possível
escolher o termo de superfície e obter um resultado geral e invariante de rótulo. Do ponto de vista físico,
é mais interessante deixar o rótulo geral e escolher a arbitrariedade expressa pelo termo de superfície ao
invés dele.
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas40
Concluímos que, ao contrário do que a literatura sobre anomalias diz, a anomalia ABJ não se manifesta
devido a quebra de invariância de rótulo pois realizamos este cálculo da maneira mais geral possível.
Alguns livros de TQC realizam este cálculo escolhendo o rótulo de tal forma a satisfazer as identidades
vetoriais e violar a axial. Na próxima seção, veremos que invariância de rótulo e simetria de calibre estão
conectadas diagramaticamente, de maneira independente de regularização.
6.3 A relação entre rótulo e simetria de calibre em teorias quirais
Nesta seção, apresentaremos a conexão entre invariância de rótulo e invariância de calibre vetorial em
teorias de calibre quirais abelianas em ordem arbitrária de teoria de perturbação. Adotamos o ponto de
vista diagramático, apresentado no capítulo anterior para a QED estendida. Assim como nesta teoria,
invariância de rótulo também está conectada a simetria de calibre vetorial, mesmo no caso em que temos
um acoplamento axial entre férmions.
O ponto de partida para a prova diagramática de invariância de calibre está apresentado na �g. 6.3,
onde o momento externo p é inserido de todas as maneiras possíveis em cada um dos diagramas desta
�gura fornecendo uma representação diagramática das IW [75], como apresentado na �g. 6.4.
q ΓΑ
Γ5
ΓΜ
ΓΑ
Γ5k + k1
k + k2 + q
k + k2
s
ΓΑ
Γ5
ΓΜ
p + q
r
ΓΝ
k + k3 + r
k + k3
k + k3 + Q
Figura 6.3: Diagramas a partir dos quais a prova de invariância de calibre é construída.
=
ΓΑ Γ5
ΓΜ
p
ΓΝ
ΓΛ
s
r
p + q+
ΓΑ Γ5
ΓΜp
ΓΝ
ΓΛ
p + q
s
r
+ ΓΜ
p
ΓΑ
Γ5
ΓΝ
ΓΛ
p + q
r
spΛ CΛΜΝΑ
pΛ BΛΜΑ =
p
ΓΜ
ΓΑ
Γ5
q
p + q
ΓΛ
+
p
ΓΑ
Γ5
ΓΜ
p + q
q
ΓΛ
pΛ AΛΑ =p Γ
ΑΓ
5Γ
Λ
Figura 6.4: Representação diagramática das IW.
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas41
Explicitamente, obtemos:
pλAλα =
∫
kTr
[1
/k + /k1 −m/p
1
/k + /k1 + /p−mγαγ5
](6.20)
pλBλµα =
∫
kTr
[1
/k + /k2 −m/p
1
/k + /k2 + /p−mγµ
1
/k + /k2 + /p+ /q −mγαγ5
]+
+
∫
kTr
[1
/k + /k2 −mγµ
1
/k + /k2 + /q −m/p1
/k + /k2 + /p+ /q −mγαγ5
](6.21)
pλCλµνα =
∫
kTr
[1
/k + /k3 −m/p
1
/k + /k3 + /p−mγµ
1
/k + /k3 + /p+ /r −mγν1
/k + /k3 + /p+ /Q−mγαγ5
]
+
∫
kTr
[1
/k + /k3 −mγµ
1
/k + /k3 + /r −m/p1
/k + /k3 + /p+ /r −mγν1
/k + /k3 + /p+ /Q−mγαγ5
]
+
∫
kTr
[1
/k + /k3 −mγµ
1
/k + /k3 + /r −mγν1
/k + /k3 + /Q−m/p1
/k + /k3 + /p+ /Q−mγαγ5
]
(6.22)
onde ki são rótulos arbitrários e Q = s+ r.
Diagramas com mais de quatro pernas externas são �nitos, e, portanto, invariantes de rótulo trivial-
mente. Procedemos aplicando a soma e subtração dos momentos internos, /p = (/k+/k1+/p−m)−(/k+/k1−m),
por exemplo, o que nos permite escrever
pλAλα =
∫
kTr
[1
/k + /k1 −mγαγ5
]−∫
kTr
[1
/k + /k1 + /p−mγαγ5
](6.23)
pλBλµα =
∫
kTr
[1
/k + /k2 −mγµ
1
/k + /k2 + /q −mγαγ5
]
−∫
kTr
[1
/k + /k2 + /p−mγµ
1
/k + /k2 + /q + /p−mγαγ5
](6.24)
pλCλµνα =
∫
kTr
[1
/k + /k3 −mγµ
1
/k + /k3 + /r −mγν1
/k + /k3 + /Q−mγαγ5
]
−∫
kTr
[1
/k + /k3 + /p−mγµ
1
/k + /k3 + /r + /p−mγν
1
/k + /k3 + /p+ /Q−mγαγ5
]. (6.25)
A representação diagramática da equação acima é apresentada abaixo na �g. 6.5,
Notando que diagramas de Feynman respeitam invariância de rótulo se a diferença entre diagramas
idênticos, mas com rótulos diferentes, é nula, podemos facilmente ver que o lado direito da equação acima
é apenas uma condição para implementar invariância de rótulo para os diagramas a partir dos quais a
prova de invariância de calibre é construída. Logo, mostramos a partir desta prova diagramática que
a invariância de rótulo está intrinsecamente conectada à simetria de calibre vetorial. Isto signi�ca que
invariância de rótulo é condição necessária e su�ciente para implementar invariância de calibre.
Vale enfatizar que não adotamos nenhum método de regularização para tal prova, mostrando que a
relação entre rótulo e calibre é geral. Isto nos permite concluir que um esquema de regularização que
preserve(ou quebre) uma simetria, automaticamente preserva (ou quebra) a outra. Esta relação também
pode ser vista via termos de superfícies. Se estes forem nulos, a simetria de calibre é garantida, implicando
na invariância de rótulo e vice-versa. A prova diagramática permite a mesma conclusão, sem que os TS's
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas42
=Γ
ΑΓ
5
k + k3 + r
k + k3
k + k3 + Q
-Γ
ΑΓ
5
k + k3 + Q + p
k + k3 + r + p
k + k3 + p
pΛ CΛΜΝΑ
pΛ BΛΜΑ =Γ
ΑΓ
5
k + k2 + q
k + k2
-Γ
ΑΓ
5
k + k2 + p + q
k + k2 + p
pΛ AΛΑ =Γ
ΑΓ
5
k + k1 -Γ
ΑΓ
5
k + k1 + p
Figura 6.5: Representação diagramática da IW, mostrando a conexão dela com a invariância de rótulo.
sejam intermediários. Por completeza vamos avaliar as eqs. (6.20)-(6.22) em regularização implícita, o
que fornece
pλAλα = 0, (6.26)
pλBλµα = 4iυ0ε
µαλβqβpλ, (6.27)
pλCλµνα = 4iυ0pλε
ανµλ, (6.28)
mostrando que o TS aparece como esperado.
Para concluir, apresentamos como a prova acima pode ser estendida para ordem arbitraria de teoria de
perturbação. Para o caso de dois loops, por exemplo, apresentamos os detalhes a seguir. Como explicado
em [75], a ideia por trás da prova de invariância de calibre é a seguinte: consideramos uma amplitude
qualquer M0 com um loop fermiônico. A IW é então obtida inserindo uma perna de fóton externa em
todos os lugares possíveis na amplitude básicaM0. Esta foi a abordagem utilizada no capítulo anterior e
na prova a um loop acima, os diagramas da �g. 6.3 levam a representação das IW da �g. 6.4. Para dois
loops o procedimento é similar, precisamos primeiro desenhar todas as genuínas correções a dois loops1.
Por simplicidade, desenhamos apenas as funções de 1- e 2-pontos na �g. 6.6.
O próximo passo é inserir a perna externa de fóton de todas as maneiras possíveis, obtendo assim a
representação diagramática da IW, como �zemos a um loop. Explicitamente, para a função de 2-pontos,
temos o resultado da �g. 6.7.
A amplitude correspondente à primeira contribuição da �g. 6.7 pode ser reescrita como abaixo
∫
k1
∫
k2
Tr
[1
/k1 −m/p
1
/k1 + /p−mγσ
1
/k2 + /p−mγρ
1
/k1 + /p−mγαγ5
]gσρ
(k1 − k2)2 −m2=
=
∫
k1
∫
k2
Tr
[1
/k1 −mγσ
1
/k2 + /p−mγρ
1
/k1 + /p−mγαγ5
]gσρ
(k1 − k2)2 −m2−
−∫
k1
∫
k2
Tr
[1
/k1 + /p−mγσ
1
/k2 + /p−mγρ
1
/k1 + /p−mγαγ5
]gσρ
(k1 − k2)2 −m2, (6.29)
1Diagramas genuínos são diagramas sem loops fermiônicos fechados como sub-diagramas, caso já estudado anteriormente.
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas43
ga g5
ga g5 ga g5
ga g5
Figura 6.6: Funções de 1- e 2-pontos necessárias para a prova diagramática de invariância de calibre adois loops.
= + +
Figura 6.7: Representação diagramática da IW a dois loops para a função de 1-ponto.
onde substituímos /k = (/k + /p1−m)− (/p1
−m) para chegar na segunda linha.
De maneira similar, calculamos o resultado das outras duas inserções. Apresentamos o resultado
diagramático destas inserções na �g. 6.8.
= -
k1 k2
k1
k1
k1 + p
k2
k1 + p
k1
k2
k1
= -
k1 + p
k1
p
p
k1 + p
k2 + p
= -k2p
k2 + p
k1 + p
k1k2 + p
k1 + p
k1 + p
k1 + p
k1 k2
k2 + p k1 + p
k1
k1 + p
k2 + p
k1
Figura 6.8: Representação diagramática do resultado de cada inserção no tadpole.
Assim, somando todas as contribuições obtemos o resultado apresentado na �g. 6.9(a).
Capítulo 6. Invariância de rótulo e democracia em teorias de calibre quirais abelianas44
= -k2
k1
k1 + p
p
k2 + p
k1
k1 + p
(a)
= -
p
k1 +q k2 +q
k1 k2
k1 +q + p k2 +q + p
k1 + p k2 + p
(b)
Figura 6.9: Representação diagramática da relação entre rótulo e calibre para diagramas a dois loopsdas funções de dois- e 3-pontos, (a) e (b) respectivamente. O momento externo p age como um rótuloarbitrário. Fazer o lado direito nulo corresponde a condição de invariância de rótulo, enquanto fazer olado esquerdo nulo, corresponde a condição de invariância de calibre.
A �gura acima mostra, para o caso a dois loops, que invariância de calibre está conectada à invariância
de rótulo.
Para completar a prova, temos que calcular as outras IW (pλBλµα, pλCλµνα) que possuem, respec-
tivamente, as funções de 2- e 3-pontos a dois loops como ponto de partida. Este cálculo é análogo aos
anteriores, apresentamos o resultado de outro exemplo da �g. 6.6 na �g. 6.9. Obtivemos o resultado da
�g. 6.9(b) que nos mostra mais um exemplo da relação entre rótulo e calibre. Da mesma forma, este
procedimento pode ser aplicado para os outros diagramas da �g. 6.6 e para diagramas além de dois loops.
A conclusão que cada um destes exemplos nos mostra é que a invariância de rótulo é garantida se, e
somente se, a invariância de calibre também é.
Capítulo 7
Conclusões e perspectivas
Neste trabalho, mostramos que o tratamento de in�nitos em amplitudes divergentes de Teoria Quântica
de Campos pode ser feito de maneira consistente na dimensão física da teoria e sem a introdução de um
regulador explícito. Como consequência deste procedimento, tais amplitudes �cam contaminadas por
termos de superfície, as chamadas arbitrariedades, que precisam ser �xados por simetrias da teoria ou
por uma condição física. Desta maneira, uma dada simetria de uma certa teoria não é quebrada a nível
quântico pelo método de regularização, mas sim pela condição física imposta pelo modelo. Como vimos
ao longo dos exemplos apresentados, as simetrias ou as condições físicas podem ou não ser su�cientes para
�xar as arbitrariedades. Caso não sejam su�cientes, a amplitude em questão é indeterminada e não tem
signi�cado físico.
Uma das condições utilizadas como critério para �xar arbitrariedades, apresentada nos capítulos 5 e
6, foi a invariância de rótulo dos diagramas de Feynman. Mostramos, diagramaticamente e de maneira
independente de regularização, que ela é condição necessária e su�ciente para garantir a simetria de
calibre da teoria, além do nível árvore. O próximo passo será veri�car se esta invariância de rótulo pode
ser entendida como uma simetria do ponto de vista lagrangiano, i.e., transformações nos campos da
teoria que deixam a ação invariante, e se existe tal relação diagramática entre esta invariância e a simetria
de calibre em teorias de calibre não-abelianas. Este caso não é tão simples quanto os dos exemplos
apresentados devido aos fantasmas e às auto-interações dos bósons de calibre, o que aumenta o número
de diagramas a serem veri�cados nestas teorias.
45
Apêndice A
Integrais
A.1 Integrais das amplitudes do Capítulo 3
∫
k
k2
k4(k + p)2=Ilog(λ
2) + 2b̃− b̃ ln(−p2
λ2), (A.1)
∫
k
k2kα
k4(k + p)2=
1
2pα[−Ilog(λ2) + υ0 − 2b̃+ b̃ ln
(−p
2
λ2
)], (A.2)
∫
k
kαkβ
k4(k + p)2=
1
4ηαβ
[Ilog(λ
2)− υ0 + 2b̃− b̃ ln
(−p
2
λ2
)]+
1
2b̃pαpβ
p2, (A.3)
∫
k
kµkαkβ
k4(k + p)2=
1
12p{µηαβ}
[−Ilog(λ2) + ξ0 + b̃ ln
(−p
2
λ2
)− 5
3b̃
]− 1
3b̃pµpαpβ
p2, (A.4)
∫
k
k2kαkβ
k4(k + p)2=− 1
4ηαβp2[Ilog(λ
2)− υ0] +1
6(p2ηαβ + 2pαpβ)[Ilog(λ
2)− ξ0]+
+1
2b̃p2ηαβ
[1
6ln
(−p
2
λ2
)− 4
9
]− b̃pαpβ
[1
3ln
(−p
2
λ2
)− 13
18
], (A.5)
∫
k
kµkνkαkβ
k4(k + p)2=− 1
24η{µνηαβ}p2[Ilog(λ
2)− ξ0] +1
48(p2η{αβηµν} + p{αpβηµν})[Ilog(λ
2)− ξ0 − 24σ0]
+1
8b̃p2η{µνηαβ}
[1
6ln
(−p
2
λ2
)− 4
9
]− 1
72b̃p{αpβηµν}
[3
2ln
(−p
2
λ2
)− 5
2
]+
1
4b̃pαpβpµpν
p2,
(A.6)
46
Apêndice A. Integrais 47
∫
k
k2kµkαkβ
(k4(k + p)2=
1
6p{µηαβ}p2[Ilog(λ
2)− ξ0]− 1
8
(p2p{µηαβ} + 2pαpβpµ
)[Ilog(λ
2)− ξ0 − 24σ0]−
− 1
4b̃p2p{µηαβ}
[1
6ln
(−p
2
λ2
)− 4
9
]+ b̃pαpβpµ
[1
4ln
(−p
2
λ2
)− 7
12
], (A.7)
onde λ é a escala do Grupo de Renormalização e b̃ ≡ i(4π)2
.
A.2 Integrais das amplitudes do Capítulo 4
∫
k
1
k2(k + p)2= Ilog(λ
2) + 2b− b ln
(−p
2
λ2
), (A.8)
∫
k
k2
k2(k + p)2= −p2υ0, (A.9)
∫
k
k2kα
k2(k + p)2= p2pα(ξ0 − υ0), (A.10)
∫
k
k4
k2(k + p)2= p4(3υ0 − 2ξ0), (A.11)
∫
k
kα
k2(k + p)2=
1
2pα[−Ilog(λ2) + υ0 − 2b+ b ln
(−p
2
λ2
)], (A.12)
∫
k
kαkβ
k2(k + p)2=
(1
3pαpβ − 1
12p2ηαβ
)[Ilog(λ
2)− b ln
(−p
2
λ2
)]−(
1
3pαpβ +
1
6p2ηαβ
)ξ0+
+1
4p2ηαβυ0 +
13
18bpαpβ − 2
9p2bηαβ, (A.13)
∫
k
kµkαkβ
k2(k + p)2=
1
24(p{µηαβ}p2 − 6pαpβpµ)
[Ilog(λ
2)− ξ0 − b ln
(−p
2
λ2
)]+
+ 3(p{µηαβ}p2 + 2pαpβpµ)σ0 +1
9bp{µηαβ}p2 − 7
12bpµpαpβ, (A.14)
∫
k
k2kαkβ
k2(k + p)2=
1
4p4ηαβ(ξ0 − υ0)− 6p2(4pαpβ + ηαβp2)σ0, (A.15)
∫
k
kµkνkαkβ
k2(k + p)2=
1
240(η{µνηαβ}p4 − 3p2p{µpνηαβ} + 48pαpβpµpν)
[Ilog(λ
2)− b ln
(−p
2
λ2
)]
+1
48η{µνηαβ}p4
(26σ0 − ξ0 −
6
5ω0
)+
1
48p{αpβηµν}p2
(26σ0 + ξ0 −
12
5ω0
)
+1
600b
(23
3p4η{αβηµν} − 41
2p2p{αpβηµν}
)+
149
300bpµpνpαpβ − 1
5pµpνpαpβω0, (A.16)
Por simplicidade, omitimos integrais quarticamente divergentes. Os termos de superfície estão de�nidos
no Capítulo 1.
Apêndice A. Integrais 48
A.3 Integrais das amplitudes do Capítulo 5
I =
∫
k
1
(k2 −m2)2[(k + p)2 −m2]= −b
∫ 1
0dx
(1− x)
∆2(A.17)
Iβ1 =
∫
k
kβ
(k2 −m2)2[(k + p)2 −m2]= b pβ
∫ 1
0dxx(1− x)
∆2(A.18)
Jβ1 =
∫
k
kβ
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2]2= Iβ1 + pβI (A.19)
I2 =
∫
k
k2
(k2 −m2)2[(k + p)2 −m2]= Ilog(m
2)− b Z0(p2,m2)− b m2
∫ 1
0dx
(1− x)
∆2(A.20)
J2 =
∫
k
k2
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2]2= I2 + p2I + 2pβI
β1 (A.21)
Iβν2 =
∫
k
kβkν
(k2 −m2)2[(k + p)2 −m2]=
1
4gβν(Ilog(m
2)− υ0)− 1
2b gβν [Z0(p2,m2)− Z1(p2,m2)]−
− b pβpν∫ 1
0dxx2(1− x)
∆2(A.22)
Jβν2 =
∫
k
kβkν
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2]2= Iβν2 + pβpνI + Iβ1 p
ν + Iν1 pβ (A.23)
Iν3 =
∫
k
k2kν
(k2 −m2)2[(k + p)2 −m2]= −1
2pν(Ilog(m
2)− υ0) + b pνZ1(p2,m2) + b m2 pν∫ 1
0dxx(1− x)
∆2
(A.24)
Jν3 =
∫
k
k2kν
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2]2= Iν3 + pνI2 + p2Iν1 + p2pνI + 2pγI
γν2 + 2pγp
νIγ1 − pνυ0 (A.25)
Iβνα5 =
∫
k
kβkνkα
(k2 −m2)2[(k + p)2 −m2]=−1
12bp{αgβν}(Ilog(m
2)− ξ0) + b pαpβpν∫ 1
0dxx3(1− x)
∆2+
+1
2b p{αgβν}[Z1(p2,m2)− Z2(p2,m2)] (A.26)
Jβνα5 =
∫
k
kβkνkα
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2]2= Iβνα5 + pβpνpαI + p{νpβI
α}1 + p{βI
να}2 +
1
4p{αgβν}(υ0 − ξ0)
(A.27)
Iβν4 =
∫
k
k2kβkν
(k2 −m2)2[(k + p)2 −m2]=
1
2gβν(Iquad(m
2)− υ2) +1
4(m2 − p2)gβν(Ilog(m
2)− υ0)+
+1
6(p2gνβ + 2pβpν)(Ilog(m
2)− ξ0)− b (−gβνp2 + pνpβ)Z2(p2,m2) +1
2b(m2 − 3p2) gβνZ1(p2,m2)+
+1
2b(p2 −m2)gβνZ0(p2,m2)− b pβpνm2
∫ 1
0dxx2(1− x)
∆2(A.28)
Jβν4 =
∫
k
k2kβkν
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2]2=
1
2gνβ(Iquad(m
2)− υ2) + (m2 − p2)Jβν2 + 2pλJβνλ5 − 2pλI
βνλ5 − p2Iβν2 ,
(A.29)
onde Zk(p2,m2) é de�nido como
Zk(p2,m2) =
∫ 1
0dzzk ln
m2 − p2z(1− z)m2
. (A.30)
Apêndice A. Integrais 49
A.4 Integrais das amplitudes do Capítulo 6
Resultado das integrais da seção 6.1∫
q
1
(q2 − µ2)((q − p)2 − µ2)= − 2
p2b ln
(−p2
µ2
), (A.31)
∫
q
qα
(q2 − µ2)((q − p)2 − µ2)= −p
α
p2b ln
(−p2
µ2
), (A.32)
∫
q
qαqβ
(q2 − µ2)((q − p)2 − µ2)= 1
2gαβ(Ilog(µ
2)− υ0)− bp2
(gαβp2 − pαpβ)(
1− 12 ln
(−p2µ2
))−
−pαpβ
2p2b ln
(−p2µ2
), (A.33)
onde∫q ≡
∫ Λ d2q(2π)2
, b = i4π e µ é um regulador infra-vermelho.
Parte �nita do diagrama triângulo da seção 6.2
Realizamos o cálculo da parte �nita do diagrama triângulo, T finiteµνα . Uma vez que ele não depende de
rótulo, podemos escolher k1 = 0, k2 = q e k3 = −p e teremos:
Tµνα =− i∫
kTr
[γµ
i
/k −mγνi
/k + /q −mγαγ5
i
/k − /p−m
]+ (µ↔ ν, p↔ q) =
= −8iυ0εµναβ(q − p)β + T finiteµνα (A.34)
Após tomar o traço e regularizar, encontramos a parte �nita da amplitude. Listamos o resultado de
cada integral no �nal desta seção. O resultado desta parte �nita é
T finiteµνα =4ib{εαµνλqλ(p2ξ01(p, q)− q2ξ10(p, q)) + εαµνλqλ(1 + 2m2ξ00(p, q))+
+ 4εανλτpλqτ [(ξ01(p, q)− ξ02(p, q))pµ + ξ11(p, q)qµ] + (µ↔ ν, p↔ q)}, (A.35)
onde as funções ξnm(p, q) são de�nidas como
ξnm(p, q) =
∫ 1
0dz
∫ 1−z
0dy
znym
Q(y, z), (A.36)
com
Q(y, z) = [p2y(1− y) + q2z(1− z) + 2(p · q)yz −m2] (A.37)
e elas tem a propriedade ξnm(p, q) = ξmn(q, p).
Apêndice A. Integrais 50
As funções ξ também obedecem às relações abaixo, utilizadas para obter (A.35)
q2ξ11(p, q)− (p · q)ξ02(p, q) = 12
[−1
2Z0((p+ q)2,m2) + 12Z0(p2,m2) + q2ξ01(p, q)
], (A.38)
p2ξ11(p, q)− (p · q)ξ20(p, q) = 12
[−1
2Z0((p+ q)2,m2) + 12Z0(q2,m2) + p2ξ10(p, q)
], (A.39)
q2ξ10(p, q)− (p · q)ξ01(p, q) = 12 [−Z0((p+ q)2,m2) + Z0(p2,m2) + q2ξ00(p, q)], (A.40)
p2ξ01(p, q)− (p · q)ξ10(p, q) = 12 [−Z0((p+ q)2,m2) + Z0(q2,m2) + p2ξ00(p, q)], (A.41)
q2ξ20(p, q)− (p · q)ξ11(p, q) = 12
[−(
12 +m2ξ00(p, q)
)+ 1
2p2ξ01(p, q) + 3
2q2ξ10(p, q)
], (A.42)
p2ξ02(p, q)− (p · q)ξ11(p, q) = 12
[−(
12 +m2ξ00(p, q)
)+ 1
2q2ξ10(p, q) + 3
2p2ξ01(p, q)
]. (A.43)
Podemos obter as relações(A.38)-(A.43) através de integração por partes.
Resultado das integrais da seção 6.2∫
k
1
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2][(k + q)2 −m2]= bξ00(p, q), (A.44)
∫
k
kα
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2][(k + q)2 −m2]= b(pαξ01(p, q)− qαξ10(p, q)), (A.45)
∫
k
k2
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2][(k + q)2 −m2]=Ilog(m
2)− bZ0(q2,m2) + b(m2 − p2)ξ00(p, q)+
+ 2b(p2ξ01(p, q)− (p · q)ξ10(p, q)), (A.46)
∫
k
kαkβ
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2][(k + q)2 −m2]=
1
4gαβ(Ilog(m
2)− υ0)− 1
4bgαβZ0(q2,m2)−
− b[1
2gαβp2(ξ00(p, q)− 3ξ01(p, q)− ξ10(p, q) + 2ξ02(p, q) + 2ξ11(p, q))− ξ02(p, q)pαpβ+
+ ξ11(p, q)qαpβ + ξ11(p, q)pαqβ − ξ20(p, q)qαqβ + (ξ10(p, q)− ξ11(p, q)− ξ20(p, q))gαβ(p · q)], (A.47)
∫
k
kαk2
(k2 −m2)[(k − p)2 −m2][(k + q)2 −m2]=
1
2(pα − qα)(Ilog(m
2)− υ0) +1
2b(qαZ0(q2,m2)−
− pαZ0(p2,m2)) + b(m2 − q2)(pαξ01(p, q)− qαξ10(p, q)) + b[qαp2(ξ00(p, q)− 3ξ01(p, q)− ξ10(p, q)+
+ 2ξ02(p, q) + 2ξ11(p, q))− 2(p · q)pαξ02(p, q) + 2q2pαξ11(p, q) + 2(p · q)qα(ξ10(p, q)−− ξ20(p, q))− 2q2qαξ20(p, q))], (A.48)
onde∫k ≡
∫ Λ d4k(2π)4
e b = i(4π)2
.
Apêndice B
Produção Bibliográ�ca
• Artigo publicado em periódico indexado
J. C. C. Felipe, A. R. Vieira, A. L. Cherchiglia, A. P. Baêta Scarpelli and Marcos Sampaio, Ar-
bitrariness in the Gravitational Chern-Simons-like term induced radiatively publicado em Physical
Review D 89, 105034 no ano de 2014.
• Artigo publicado em periódico indexado
A. L. Cherchiglia, A. R. Vieira, B. Hiller, Marcos Sampaio and A. P. Baêta Scarpelli, Guises and
disguises of quadratic divergences publicado em Annals of Physics 351, 751 no ano de 2014.
• Artigo publicado em periódico indexado
A. R. Vieira, J. C. C. Felipe, G. Gazzola and Marcos Sampaio, One-loop conformal anomaly in an
implicit momentum space regularization framework publicado em European Physical Journal C 75,
338 no ano de 2015.
• Artigo publicado em periódico indexado
A. R. Vieira, A. L. Cherchiglia and Marcos Sampaio, Momentum routing invariance in extended
QED: Assuring gauge invariance beyond tree level publicado em Physical Review D 93, 025029 no
ano de 2016.
• Artigo preprint
A. C. D. Viglioni, A. L. Cherchiglia, A. R. Vieira, Brigitte Hiller and Marcos Sampaio, γ5 algebra
ambiguities in Feynman amplitudes: Momentum routing invariance and anomalies in D=4 and D=2
publicado em arXiv:1606.01772 no ano de 2016.
51
Referências Bibliográ�cas
[1] G. 't Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 44, 189 (1972).
[2] D. J. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973).
[3] O. A. Battistel, A. L. Motta and M. C. Nemes, Mod. Phys. Lett. A 13, 1597 (1998).
[4] J. R. Ellis, M. K. Gaillard and D. V. Nanopoulos, Nucl. Phys. B 106, 292 (1976).
[5] R. Gastmans, S. L. Wu and T. T. Wu, CERN-PH-TH/2011-201, arXiv:1108.5872, (2011).
[6] W. J. Marciano, C. Zhang and S. Willenbrock, Phys. Rev. D 85, 013002 (2012).
[7] F. Bursa, A. Cherman, T. C. Hammant, R. R. Horgan and M. Wingate, Phys. Rev. D 85, 093009
(2012).
[8] D. Huang, Y. Tang and Y.-L. Wu, Commun. Theor. Phys. 57, 427 (2012).
[9] F. Piccinini, A. Pilloni and A. Polosa, Chin. Phys. C 37, 043102 (2013).
[10] H.-S. Shao, Y.-J. Zhang and K.-T. Chao, J. High Energy Phys. 1201, 053 (2012).
[11] A. L. Cherchiglia, L. A. Cabral, M. C. Nemes and Marcos Sampaio, Phys. Rev. D 87, 065011 (2013)
[12] A. L. Cherchiglia, A. R. Vieira, Brigitte Hiller, A.P. Baêta Scarpelli and Marcos Sampaio, Annals
Phys. 351, 751 (2014).
[13] R. Jackiw, Int. J. Mod. Phys. B14, 2011 (2000).
[14] A. de Gouvea, J. Kile and R. Vega-Morales, FERMILAB-PUB-13-212-T, arXiv: 1306.5767, (2013).
[15] A. R. Vieira, Brigitte Hiller, M. C. Nemes and Marcos Sampaio, Internat. J. Theoret. Phys. 52, 3494
(2013).
[16] D. Colladay and V. A. Kostelecky, Phys. Rev. D 58, 116002 (1998).
[17] V. A. Kostelecky and S. Samuel, Phys. Rev. D 39, 683 (1989).
[18] S. M. Carroll, G. Field and R. Jackiw, Phys. Rev. D 41, 1231 (1990).
[19] M. Goldhaber and V. Trimble, J. Astrophys. Astron.17, 17 (1996).
[20] J. C. C. Felipe, A. R. Vieira, A. L. Cherchiglia, A. P. Baêta Scarpelli and Marcos Sampaio, Phys.
Rev. D 89, 105034 (2014)
52
Referências Bibliográficas 53
[21] R. Jackiw and V.A. Kostelecky, Phys. Rev. Lett. 82, 3572 (1999).
[22] M. Perez-Victoria, Phys. Rev. Lett. 83, 2518 (1999).
[23] M. Perez-Victoria, J. High. Energy Phys. 0104, 032 (2001).
[24] J.M. Chung and P. Oh, Phys. Rev. D 60, 067702 (1999).
[25] G. Bonneau, PAR/LPTHE/01-36, arXix: hep-th/0109105 (2001).
[26] C. Adam and F. R. Klinkhamer, Phys. Lett. B 513, 245 (2001).
[27] B. Altschul, Phys. Rev. D 69, 125009 (2004).
[28] B. Altschul, Phys. Rev. D 70, 101701 (2004).
[29] R. Jackiw and S.-Y. Pi, Phys. Rev. D 68, 104012 (2003).
[30] T. Mariz, J. R. Nascimento, E. Passos and R. F. Ribeiro, Phys. Rev. D 70, 024014 (2004).
[31] T. Mariz, J. R. Nascimento, A. Yu. Petrov, L. Y. Santos and A. J. da Silva, Phys. Lett. B 661,
312-318(2008).
[32] J. S. Bell and R. Jackiw, Nuovo Cimento 60, 47 (1969); S. L. Adler Phys. Rev. 177, 2426 (1969).
[33] A. R. Vieira, J. C. C. Felipe, G. Gazzola and Marcos Sampaio, Eur. Phys. J. C 75, 338 (2015).
[34] M. J. Du�, Class. and Quantum Grav. 11, 1387 (1994).
[35] D. M. Capper, M. J. Du� and L. Halpern, Phys. Rev. D 10, 461 (1974).
[36] D. M. Capper and M. J. Du�, Nucl. Phys. B 182, 147 (1974).
[37] D. M. Capper and M. J. Du�, Nuovo Cimento A 23, 173 (1974).
[38] D. M. Capper and M. J. Du�, Phys. Lett. A 53, 361 (1974).
[39] R. Kallosh, Phys. Lett. B 55, 321 (1975).
[40] E. S. Fradkin and G. A. Vilkovisky, Phys. Lett. B 73, 209 (1978).
[41] I. Antoniadis and N. C. Tsamis, Phys. Lett. B 144, 55 (1984).
[42] I. Antoniadis, J. Iliopoulus and T. N. Tomaras, Nucl. Phys. B 261, 157 (1985).
[43] I. Antoniadis, C. Kounnas and D. V. Nanopoulos, Phys. Lett. B 162, 309 (1985).
[44] S. Hawking, Commun. Math. Phys. 55, 133 (1977).
[45] S. M. Christensen, Phys. Rev. D 14, 2490 (1976); S. M. Christensen, Phys. Rev. D 17, 946 (1978).
[46] A. O. Barvinsky and G. A. Vilkovisky, Nucl. Phys. B 333, 471 (1990); A. O. Barvinsky, Y. V. Gusev,
G. A. Vilkovisky and V. V. Zhitnikov, Nucl. Phys. B 439, 561 (1995).
[47] M. Henningson and K. Skenderis, J. High Energy Phys. JHEP07(1998)023.
Referências Bibliográficas 54
[48] M. Asorey, E. V. Gorbar and I. L. Shapiro, Class. and Quantum Grav. 21, 163 (2004).
[49] S. M. Christensen and S. A. Fulling, Phys. Rev. D 15, 2088 (1977).
[50] R. Balbinot, A. Fabbri, I. Shapiro, Nucl. Phys. B 559, 301 (1999).
[51] A. A. Starobinski, Phys. Lett. B 91, 99 (1980).
[52] I. L. Shapiro, Int. J. Mod. Phys. D 11, 1159 (2002).
[53] M. Asorey, G. Berredo-Peixoto and I. L. Shapiro, Phys. Rev. D 74, 124011 (2006).
[54] I. L. Shapiro, Class. and Quantum Grav. 25, 103001 (2008).
[55] G. Leibbrandt, Rev. Mod. Phys. 47, 849 (1975).
[56] R. Utiyama and B. S. DeWitt, J. of Math. Phys. 3, 608 (1962).
[57] E. V. Gorbar and I. L. Shapiro, J. High Energy Phys. JHEP02(2003)021.
[58] V. A. Kostelecký and N. Russell, Rev. Mod. Phys. 83, 11 (2011).
[59] T. Pruttivarasin et al., Nature 517, 592 (2015); V.A. Kostelecký and A.J. Vargas, Phys. Rev. D 92,
956992 (2015); M.A. Hohensee et al., Phys. Rev. Lett. 111, 050401 (2013); A. Matveev et al., Phys.
Rev. Lett. 110, 230801 (2013); V.A. Kostelecký and M. Mewes, Phys. Rev. D 88, 096006 (2013); B.
Altschul, Phys. Rev. D 82, 016002 (2010); Phys. Rev. D 81, 041701 (2010); B.R. Heckel et al., Phys.
Rev. D 78, 092006 (2008); H. Müller et al., Phys. Rev. Lett. 99, 050401 (2007); L.-S. Hou, W.-T. Ni,
and Y.-C.M. Li, Phys. Rev. Lett. 90, 201101 (2003); C.D. Lane, Phys. Rev. D 72, 016005 (2005); D.
Colladay and V.A. Kostelecký, Phys. Lett. B 511, 209 (2001); R. Bluhm and V.A. Kostelecký, Phys.
Rev. Lett. 84, 1381 (2000); H. Dehmelt et al., Phys. Rev. Lett. 83, 4694 (1999); R.K. Mittleman et
al., Phys. Rev. Lett. 83, 2116 (1999); R. Bluhm et al., Phys. Rev. Lett. 82, 2254 (1999); Phys. Rev.
D 57, 3932 (1998); Phys. Rev. Lett. 79, 1432 (1997).
[60] E. Komatsu et al., Astrophys. J. Suppl. 192, 18 (2011); J.-Q. Xia, H. Li, and X. Zhang, Phys. Lett.
B 687, 129 (2010); M.L. Brown et al., Astrophys. J. 705, 978 (2009); M. Mewes, Phys. Rev. D 78,
096008 (2008); V.A. Kostelecký and M. Mewes, Phys. Rev. D 80, 015020 (2009); Ap. J. Lett. 689,
L1 (2008); Phys. Rev. Lett. 99, 011601 (2007); P. Cabella, P. Natoli, and J. Silk, Phys. Rev. D 76,
123014 (2007); Phys. Rev. Lett. 99, 011601 (2007); S.M. Carroll, G.B. Field, and R. Jackiw, Phys.
Rev. D 41, 1231 (1990);
[61] M. Nagel et al., Nature Commun. 6, 8174 (2015); Y. Michimura et al., Phys. Rev. Lett. 110, 200401
(2013); V.A. Kostelecký and M. Mewes, Phys. Rev. Lett. 110, 201601 (2013); Phys. Rev. Lett. 97,
140401 (2006); Phys. Rev. D 66, 056005 (2002); S. Parker et al., Phys. Rev. Lett. 106, 180401 (2011);
M.A. Hohensee et al., Phys. Rev. D 82, 076001 (2010); J.-P. Bocquet et al., Phys. Rev. Lett. 104,
241601 (2010); S. Herrmann et al., Phys. Rev. D 80, 105011 (2009); Ch. Eisele, A.Yu. Nevsky, and
S. Schiller, Phys. Rev. Lett. 103, 090401 (2009); B. Altschul, Phys. Rev. D 80 091901(R) (2009);
F.R. Klinkhamer and M. Risse, Phys. Rev. D 77, 117901 (2008); S. Reinhardt et al., Nature Physics
3, 861 (2007); P.L. Stanwix et al., Phys. Rev. D 74, 081101(R) (2006); C.D. Carone, M. Sher, and
M. Vanderhaeghen, Phys. Rev. D 74, 077901 (2006); P. Wolf et al., Phys. Rev. D 70, 051902 (2004);
Referências Bibliográficas 55
H. Müller et al., Phys. Rev. Lett. 91 020401 (2003); J.A. Lipa et al., Phys. Rev. Lett. 90, 060403
(2003).
[62] V. A. Kostelecký, C. D. Lane and A. G. Pickering, Phys. Rev. D 65, 056006 (2002).
[63] D. Colladay and P. McDonald, Phys. Rev. D 75, 105002 (2007).
[64] D. Colladay and P. McDonald, Phys. Rev. D 79, 125019 (2009).
[65] D. Colladay and P. McDonald, Phys. Rev. D 77, 085006 (2008).
[66] J. R. Nascimento, E. Passos, A. Yu. Petrov and F. A. Brito, J. High Energy Phys. 06 (2007) 016; J.
Alfaro, A. A. Andrianov, M. Cambiaso, P. Giacconi and R. Soldati, Int. J. Mod. Phys. A 25, 3271
(2010); A. P. B. Scarpelli, M. Sampaio, M. C. Nemes and B. Hiller, Eur. Phys. J. C 56, 571 (2008);
G. Gazzola, H. G. Fargnoli, A. P. B. Scarpelli, M. Sampaio, M. C. Nemes, J. Phys. G 39, 035002
(2012).
[67] A. P. Baeta Scarpelli, T. Mariz, J.R. Nascimento and A. Yu. Petrov, Int. J. Mod. Phys. 31, 1650063
(2016).
[68] G. 't Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 44, 189 (1972).
[69] C. G. Bollini and J. J. Giambiagi, Nuovo Cim. 12, 20 (1972).
[70] G. Cynolter and E. Lendvai, Mod. Phys. Lett. A 26, 1537 (2011).
[71] Er-Cheng Tsai, Phys. Rev. D 83, 025020 (2011).
[72] G. Bonneau, Phys. Lett. B 96, 147 (1980); J. G. Korner et al., Z. Phys. C 54, 503 (1992); R. Ferrari,
A. Le Yaouanc, L. Oliver and J.-C. Raynal, Phys. Rev. D 52, 3036 (1995); F. Jegerlehner, Eur.
Phys. J. C 18, 673 (2001); D. Sanchez-Ruiz, Phys. Rev. D 68, 025009 (2013), R. Ferrari, arXiV:
1503.07410; B. K. El-Menou�a and G. A. White, arXiv:1505.01754.
[73] A. R. Vieira, A. L. Cherchiglia ans Marcos Sampaio, Phys. Rev. D 93, 025029 (2016).
[74] F. del Aguila and M. Perez-Victoria, Acta Phys. Pol. B 29, 2857 (1998); Y. L. Ma and Y. L. Wu,
Int. J. Mod. Phys. A 21, 6383 (2006).
[75] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press,
(1995).
[76] R. A. Bertlmann, Anomalies in Quantum Field Theory, International Series Series of Monographs in
Physics (Oxford University Press, Oxford, 1996).
[77] A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press, (2003).
[78] A. C. D. Viglioni, A. L. Cherchiglia, A. R. Vieira, Brigitte Hiller and Marcos Sampaio, ar-
Xiv:1606.01772 (2016).